Парная и множественная корреляция

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Филиал в г. Уфе

Кафедра математики и информатики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Эконометрика»

Исполнитель

Ишмухаметова Эльвира Айдаровна

специальность ФиК

группа 3дФК

№ зачетки 08ФФБ03207

Преподаватель:

Анферов Михаил Анисимович

Уфа 2011

Содержание

1. Практическая задача 1

1.1 Условие и исходные данные

1.2 Решение задачи

2. Практическая задача 2

2.1 Условие и исходные данные

2.2 Решение задачи

1. Практическая задача 1

1.1 Условие и исходные данные

Условие задачи: По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) (табл. 1.1).

Таблица 1.1 - Исходные данные: Х - объем капиталовложений (млн. руб.); Y - объем выпуска продукции (млн. руб.)

Обозначения	Числовые значения
1	2	3	4	5	6	7	8
Y	11,95745	5,736358	10,35786	9,577711	10,11871	9,630527	12,65125
X	12,49972	6,244372	10,91421	10,1779	10,48216	10,55336	13,00481

Требуется:

1. Для характеристики Y от X построить следующие модели:

- линейную,

- степенную,

- показательную,

- гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

- индекс корреляции,

- среднюю относительную ошибку,

- коэффициент детерминации,

- F-критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. Рассчитать прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% относительно среднего уровня.

5. Результаты расчетов отобразить на графике.

1.2 Решение задачи

1. Построим для характеристики Y от X следующие модели:

Линейная модель парной регрессии

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров.

Уравнение регрессии имеет вид: .

Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). Решая систему нормальных уравнений относительно а и b:

получим следующие формулы:

.

Промежуточные расчеты проведем в Excel. В работе будем приводить таблицы на рабочих листах Excel. Значения параметров a и b определим, используя данные представленные в таблице 1.1.

Таблица 1.2 - Расчет параметров для линейной модели в Excel

t	y	x	y*x	x*x
1	11,95745	12,49972	149,46	156,243	1,95	3,81	1,95	3,79	3,80	11,95	0,00
2	5,736358	6,244372	35,82	38,99218	-4,27	18,22	-4,31	18,57	18,39	5,64	0,01
3	10,35786	10,91421	113,05	119,12	0,35	0,13	0,36	0,13	0,13	10,35	0,00
4	9,577711	10,1779	97,48	103,5896	-0,43	0,18	-0,38	0,14	0,16	9,61	0,00
5	10,11871	10,48216	106,07	109,8757	0,11	0,01	-0,07	0,01	-0,01	9,92	0,04
6	9,630527	10,55336	101,63	111,3734	-0,37	0,14	0,00	0,00	0,00	9,99	0,13
7	12,65125	13,00481	164,53	169,1251	2,65	7,01	2,45	6,01	6,49	12,46	0,03
Итого	70,02987	73,87653	768,041	808,319	0,00	29,50		28,64	28,96		0,21
Ср. знач.	10,00	10,55	109,72	115,47

Отсюда получаем:

b=;

а =.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

Степенная модель

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим

Тогда уравнение примет вид: - линейное уравнение регрессии.

Таблица 1.3 - Расчет параметров для степенной модели в Excel

t	y	Y	x	X	Y*X	X2
1	11,95745	1,077639	12,49972	1,0969	1,182062058	1,20319	11,96	-0,01	0,0000	3,81
2	5,736358	0,758636	6,244372	0,795489	0,603486614	0,632802	5,71	0,03	0,0009	18,22
3	10,35786	1,01527	10,91421	1,037992	1,053842486	1,077428	10,35	0,01	0,0000	0,13
4	9,577711	0,981262	10,1779	1,007658	0,988776407	1,015375	9,61	-0,03	0,0009	0,18
5	10,11871	1,005125	10,48216	1,020451	1,025680747	1,04132	9,91	0,20	0,0415	0,01
6	9,630527	0,98365	10,55336	1,023391	1,006658369	1,047329	9,99	-0,36	0,1269	0,14
7	12,65125	1,102133	13,00481	1,114104	1,227891284	1,241228	12,48	0,17	0,0296	7,01
Итого	70,02987	6,923715	73,87653	7,095985	7,088397965	7,258672		0,02	0,2000	29,50
срзнач	10,00	0,99	10,55	1,01	1,01	1,0370

Рассчитаем его параметры, используя данные, приведенные в таблице 1.3:

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Перейдем к исходным переменным х и y, выполнив потенцирование данного уравнения, получим уравнение степенной модели регрессии:

=0,81*

Показательная модель

Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии: .

Таблица 1.4 - Расчет параметров для показательной модели в Excel

t	y	Y	x	Y*x	x*x
1	11,95745	1,077639	12,49972	13,47018	156,243	12,24	-0,29	0,08	3,81
2	5,736358	0,758636	6,244372	4,737207	38,99218	5,89	-0,16	0,02	18,22
3	10,35786	1,01527	10,91421	11,08087	119,12	10,17	0,19	0,03	0,13
4	9,577711	0,981262	10,1779	9,987184	103,5896	9,33	0,24	0,06	0,18
5	10,11871	1,005125	10,48216	10,53588	109,8757	9,67	0,45	0,20	0,01
6	9,630527	0,98365	10,55336	10,38081	111,3734	9,75	-0,12	0,01	0,14
7	12,65125	1,102133	13,00481	14,33304	169,1251	12,99	-0,34	0,11	7,01
Итого	70,02987	6,923715	73,87653	511,5001	808,319		-0,02	0,53	29,50
срзнач	10,00	0,99	10,55	10,65	115,47

Рассчитаем его параметры, используя данные, приведенные в таблице 1.4:

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Перейдем к исходным переменным х и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

.

Гиперболическая функция

Уравнение гиперболической функции: .

Произведем линеаризацию модели путем замены

.

В результате получим линейное уравнение . Рассчитаем его параметры, используя данные, приведенные в таблице 1.5.

Таблица 1.5 Расчет параметров для гиперболической модели в Excel

t	y	x	X	y *X	X*X
1	11,95745	12,49972	0,080002	0,96	0,0064	11,96	-0,01	0,000	3,81
2	5,736358	6,244372	0,160144	0,92	0,0256	5,71	0,03	0,001	18,22
3	10,35786	10,91421	0,091624	0,95	0,0084	10,35	0,01	0,000	0,13
4	9,577711	10,1779	0,098252	0,94	0,0097	9,61	-0,03	0,001	0,18
5	10,11871	10,48216	0,0954	0,97	0,0091	9,91	0,20	0,042	0,01
6	9,630527	10,55336	0,094757	0,91	0,0090	9,99	-0,36	0,127	0,14
7	12,65125	13,00481	0,076895	0,97	0,0059	12,48	0,17	0,030	7,01
Итого	70,02987	73,87653	0,697073	6,62	0,0741		0,02	0,200	29,50
срзнач	10,00	10,55	0,10	0,95	0,0106

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

2. Оценим каждую модель и составим сводную таблицу вычислений, определив: индекс корреляции по следующей модели:

Для линейной модели можно вычислить линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

Данные для вычислений возьмем из таблиц 1.2. - 1.5. соответственно.

Стандартная ошибка равна:

.

По условию задачи количество наблюдений , количество факторов .

Среднюю относительную ошибку рассчитаем по формуле:

.

Коэффициент детерминации равен :

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

.

3. Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов (табл. 1.6).

Таблица 1.6 - Сводная таблица результатов

Параметры Модель	Индекс корреляции (линейный коэффициент)	Стандартная ошибка	Средняя относительная ошибка	Коэффициент детерминации	F - критерий Фишера
Линейная	0,996	0,207	1,332%	0,9928	686,678
Степенная	0,997	0,200	1,147%	0,9932	732,467
Показательная	0,991	0,325	2,545%	0,9821	274,137
Гиперболическая	0,964	0,650	5,023%	0,9285	64,911

Выберем лучшую модель и дадим интерпретацию рассчитанных характеристик.

Степенная модель имеет меньшее значение стандартной ошибки, а также большее значение F - критерий Фишера и большее значение коэффициента детерминации R2. Ее можно взять в качестве лучшей модели для построения прогноза.

Значение средней относительной ошибки говорит о том, что в среднем расчетные значения для степенной функции отличается от фактических на 1,15%.

Связь между показателем у и фактором х можно считать весьма тесной, т.к. индекс корреляции примерно равен 0,997.

Коэффициент детерминации равен 0,9932, следовательно, вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 99,32% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

 для =0,05;

Т.к. , то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо.

4. Рассчитаем прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% относительно максимального уровня.

следовательно,

(млн. руб.).

Прогнозное значение результативного признака (объема выпуска продукции) определим по уравнению степенной функции, подставив в него планируемую величину объема капиталовложений:

(млн.руб.).

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости =0,05; следовательно, доверительная вероятность равна 95%, а критерий Стьюдента при равен 2,57.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

.

Интервальный прогноз найдем по следующей формуле:

.

Верхняя граница равна: 14,472 (млн. руб.)

Нижняя граница: 13,157 (млн. руб.).

Фактические, расчетные и прогнозные значения по лучшей модели отобразим на графике (рис. 1.5).

5. Результаты расчетов отобразим на графике.

Рисунок 1.1. - Прогноз по лучшей (степенной) модели: х - объем капиталовложений, млн. руб.; y - объем выпуска продукции, млн. руб.

линейная регрессия корреляция прогнозный

2. Практическая задача 2

2.1 Условие и исходные данные

Условие задачи: По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X1), ставки по депозитам (Х2) и размера внутрибанковских расходов (Х3) (табл. 2.1).

Таблица 2.1 - Исходные данные: X1 - среднегодовой ставки по кредитам; Х2 -ставка по депозитам; Х3 - размер внутрибанковских расходов; Y - объема прибыли

Y	X1	X2	X3
39,9573	136,8263	82,66037	-48,04
-45,4157	-247,619	-173,312	106,7567
-10,6174	-80,474	-60,3473	38,55368
-35,4631	-208,994	-149,167	93,46888
-91,4663	-405,57	-273,035	167,3665
-91,4241	-358,422	-234,767	142,3765
-92,0873	-360,689	-233,722	138,7201
-40,6464	-202,06	-140,801	86,66781
-90,392	-369,868	-244,584	149,9707
45,47677	127,4481	72,91611	-39,653

Требуется:

1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.

2. Рассчитать параметры модели.

3. Для характеристики модели определить:

- линейный коэффициент множественной корреляции,

- коэффициент детерминации,

- средние коэффициенты эластичности,

- бета - , дельта - коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить анализ остатков (график и оценка с использованием d-критерия Дарбина-Уотсона).

5. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.

6. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

7. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.

8. Отразить результаты расчетов на графике.

2.2 Решение задачи

1. Осуществим выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели:

Проведем корреляционный анализ, используя инструмент Корреляция (Анализ данных в Excel) (табл. 2.2).

Таблица 2.2 - Результат корреляционного анализа

	Объем прибыли,Y	Среднегодовая ставка по кредитам,X1	Ставка по депозитам, X2	Размер внутрибанковских расходов, X3
Y	1
X1	0,992657	1
X2	0,988145	0,999443	1
X3	-0,9856	-0,99868	-0,99978	1

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. объем прибыли имеет весьма тесную связь со среднегодовой ставки по кредитам (Х1).

Х2 и Х3 весьма тесно связаны между собой (), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Целесообразно включить фактор Х3, , а не Х2 , так как слабее межфакторная корреляция . Поэтому для построения двухфакторной регрессионной модели из трех переменных оставим в модели Х1 и Х3.

В итоге получаем двухфакторную модель с факторами Х1 (Среднегодовая ставка по кредитам) и Х3 (Размер внутрибанковских расходов).

2. Рассчитаем параметры модели:

Оценка параметров регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов по формуле:

.

Таблица 2.3 - Исходные данные двухфакторной модели

t	Y	X0	X1	X2
	Объем прибыли		Среднегодовая ставка по кредитам	Размер внутрибанковских расходов
1	39,9573	1	136,8263	-48,04
2	-45,4157	1	-247,619	106,7567
3	-10,6174	1	-80,474	38,55368
4	-35,4631	1	-208,994	93,46888
5	-91,4663	1	-405,57	167,3665
6	-91,4241	1	-358,422	142,3765
7	-92,0873	1	-360,689	138,7201
8	-40,6464	1	-202,06	86,66781
9	-90,392	1	-369,868	149,9707
10	45,47677	1	127,4481	-39,653
Среднее значение	-41,208		-196,942	83,619
средн.кв.отклонение фактора	52,85639511	0	199,7922608	76,81680715

Используя данные, приведенные в таблице 2.3, и применив инструмент Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 2.4), получим следующие коэффициенты:

.

Таблица 2.4 - Параметры модели

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	-1,46328	2,25426	-0,64912
Переменная X 1	0,837544	0,089814	9,325316
Переменная X 2	1,497309	0,233597	6,409807

Уравнение регрессии зависимости объема прибыли от ставки по депозитам и среднегодовой ставки по кредитам можно записать в следующем виде:

.

Расчетные значения Y определяются путем подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения.

3. Для характеристики модели определим следующие показатели и дадим их интерпретацию:

линейный коэффициент множественной корреляции вычисляется по формуле:

,

но мы воспользуемся инструментом Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 2.5).

; что говорит о том, что связь между факторами прямая и весьма тесная.

Коэффициент детерминации равен (табл. 2.5). Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 99,787 % изменений в объеме прибыли учтено в модели и обусловлено влиянием среднегодовой ставки по кредитам и размер внутрибанковских расходов.

Таблица 2.5 - Регрессионная статистика

Регрессионная статистика
Множественный R	0,998934
R-квадрат	0,99787
Нормированный R-квадрат	0,997261
Стандартная ошибка	2,766169
Наблюдения	10

Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем средний коэффициент эластичности:

.

Для расчета коэффициентов используем данные из таблицы 2.3 и 2.4 соответственно.

.

Следовательно, наименьшее влияние на объем прибыли оказывает размер внутрибанкоских расходов. При неизменном размере внутрибанковских расходов объем прибыли с ростом размера среднегодовой ставки по кредитам на 1% увеличится в среднем на 4,003 %, тогда как с уменьшением размера внутрибанковских расходов на 1% объем прибыли в среднем по совокупности кредитных учреждений сократится на 3,038 % при неизменном размере среднегодовых ставок по кредитам.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значений остальных независимых переменных:

,

где (табл. 2.3),

;

Это означает, что размер внутрибанковских расходов оказывает меньшее влияние на объем прибыли, т.к. при ее увеличении на 76,82 руб., объем прибыли уменьшится на 115,02 руб. (2,176*52,856), тогда как при росте среднегодовой ставки по кредитам на 199,79 руб., объем прибыли увеличится на 116,33 руб. (3,166*52,856).

Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта - коэффициентов:

(табл. 2.2, 2.5)

; .

Это означает, что среднегодовая ставка по кредитам в суммарном влиянии всех факторов имеет большее влияние на объем прибыли, чем размер внутрибанковских расходов.

4. График остатков приведен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - График остатков: t -наблюдение, e -остатки.

Проверку независимости проведем с помощью d-критерия Дарвина-Уотсона.

Воспользуемся инструментом Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 2.6):

Таблица 2.6 - Вывод остатка

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	41,20403499	-1,246735		1,554348146
2	-49,00729684	3,59159684	23,40945494	12,89956786
3	-11,13701388	0,51961388	9,437079304	0,269998585
4	-36,55313533	1,09003533	0,325380629	1,188177018
5	-90,54659771	-0,9197023	4,039045285	0,845852297
6	-88,47582896	-2,948271	4,115091181	8,692302119
7	-95,84930175	3,76200175	45,02776087	14,15265715
8	-40,92890918	0,28250918	12,10686852	0,079811438
9	-86,69149261	-3,7005074	15,86442099	13,69375493
10	45,90731127	-0,4305413	10,69267841	0,185365785
			125,0177801	53,56183532



В качестве критических табличных уровней при N=10, двух объясняющих факторах при уровне значимости в 5% при k=2 возьмем табличные величины d1=0,70 и d2=1,64.

Значение сравнивают с табличными значениями d1 и d2.

Т.к. dw >2, это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. dw= 4 - dw= 4 - 2,33= 1,67

При сравнении расчетного значения dw статистики с табличным:

- ряд остатков не коррелирован.

5. Осуществим оценку надежности уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

.

Значение F-критерия Фишера можно найти с помощью инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel): (табл. 2.7).

Таблица 2.7 - Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	25090,62	12545,31	1639,548	4,46E-10
Остаток	7	53,56184	7,651691
Итого	9	25144,19

Табличное значение F-критерия можно найти с помощью функции FРАСПОБР: при доверительной вероятности 0,95 при и составляет 4,737.

Поскольку , уравнение регрессии следует признать адекватным.

6. Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии:

где - коэффициенты в матрице .

Воспользуемся инструментом Регрессия (Анализ данных в Excel (табл. 2.4):

.

Табличное значение t-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР; при уровне значимости 5% и степенях свободы составляет 2,365.

Т.к. для двух коэффициентов, то коэффициенты и существенны (значимы).

7. Построим точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.

Прогнозные значения Х1,11, Х2,11 можно определить с помощью методов экспертных оценок, с помощью средних абсолютных приростов или вычислить на основе экстраполяционных методов.

В качестве аппроксимирующей функции выберем полином второй степени (парабола), по которой построим прогноз на один шаг вперед.

Уравнение фактора - Среднегодовая ставка по кредитам:

и прогнозное значение .

Уравнение для Размера внутрибанковских расходов выглядит следующим образом:

.

Подставляя в него вместо , получим прогнозное значение среднегодовой ставки по кредитам .

Отобразим результаты расчетов на графике (рис.2.2; рис. 2.3).

Для получения прогнозных оценок зависимостей переменной по модели

Подставим в нее найденные прогнозные значения факторов Х1 и Х2.

.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза: .

Нижняя граница прогноза: .

.

- стандартная ошибка, найдена с помощью инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 2.5).

tкр = 2,365 (найдено выше с помощью функции СТЬЮРАСПРОБР).

Тогда получаем.U(1)= 4,699240149

Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в таблице 2.8.

Таблица 2.8 - Таблица прогнозов (р=95%)

Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
1	58,66008	53,96084237	63,35932267

8.

Рисунок 2.2 - Прогноз показателя Среднегодовая ставка по кредитам:

t - количество кредитных учреждений, Х1 -Среднегодовая ставка по кредитам

Рисунок 2.3 - Прогноз показателя Размер внутрибанковских расходов: t - количество кредитных учреждений, Х3 - Размер внутрибанковских расходов

Размещено на Allbest.ru