При моделюванні випадкових елементів (ВЕ) на ЕОМ розглядають три об'єкти: реальний фізичний об'єкт, його математичну модель, алгоритм моделювання на ЕОМ реалізацій ВЕ на основі вибранної математичної моделі. Наприклад, в системах та мережах зв'язку такими реальними фізичними об'єктами можуть бути повідомлення, сигнали-переносчики, модульовані сигнали, завади, потоки заявок, процеси обслуговування заявок, процеси комутації. Математичні моделі цих фізичних процесів - це різні класи випадкових процесів з імовірнісними характеристиками, що відповідають реальним фізичним процесам. Результатом моделювання на ЕОМ є вибірки реалізацій процесів, що одержуються за допомогою спеціальних моделюючих алгоритмів. Моделювання ВЕ базується на таких принципах:

ВЕ визначається (“конструюється”) як відповідна борелівська функція від найпростіших базових випадкових величин (БВВ);

повинна бути забезпечена близькість (за вибраним критерієм) імовірнісних характеристик реальних фізичних процесів та змодельованих реалізацій випадкових процесів.

БВВ одержують в результаті проведення на ЕОМ найпростішого випадкового експерименту.

Експеримент полягає в “киданні точки навмання“ в інтервал [0,1) (мал.1). Математичною моделлю такого експерименту є ймовірнісний простір , де - це простір незалежних елементарних подій ; - це елементарна подія, яка полягає в тому, що координата кинутої точки дорівнює ; - це -алгебра, що породжена напівінтервалами з простору ; - це імовірнісна міра, яка визначена для підмножин і збігається з мірою Лебега, так що

Рисунок 1 - Графічне пояснення найпростішого випадкового експерименту для одержання реалізацій БВВ

Випадкова величина , що задана на просторі , породжує інший імовірнісний простір , де - це множина значень на числовій осі; - борельова алгебра, - індуктована імовірнісна міра. Фактично, - це функція розподілу БВВ , що у даному випадку має вигляд

(1)

Відповідна їй щільність розподілу рівномірна на півінтервалі [0,1]

(2)

На рис.2 наведені графічні зображення функції і щільності розподілу ВВ .

моделювання випадкова величина алгоритм

а б

Рисунок 2 - Графічне зображення функції розподілу (а) та щільності розподілу (б) БВВ.

У кожній ЕОМ є генератори (спеціальні програми) одержання випадкових величин, що мають вказані ймовірнісні характеристики. При послідовному звертанні раз до таких програм моделюється вибірка із незалежних реалізацій БВВ , яка в подальшому використовується для побудови ВЕ із необхідними ймовірнісними характеристиками.

При моделюванні на ЕОМ складних ВЕ, зокрема, випадкової величини (ВВ) або випадкового процесу (ВП) з заданими ймовірнісними характеристиками розглядається складний випадковий експеримент, що полягає в проведенні раз описаного вище найпростішого експерименту. Цей складний експеримент описується імовірнісним простором , де - декартовий добуток: ; - найменша - алгебра, що побудована на ; - імовірнісна міра, отримана як добуток імовірнісних мір для найпростішого експерименту.

В результаті проведення такого складного експерименту отримуємо БВВ. Далі відповідно до першого принципу моделювання ВЕ на ЕОМ будь-який складний випадковий елемент отримується як борелівська функція від БВВ

. (4)

Підбирають функцію і число таким, щоб імовірнісні характеристики отриманого ВЕ збігалися з імовірнісними характеристиками оригіналу, що моделюється. Існують різні критерії близькості імовірнісних характеристик ВЕ - оригіналу і ВЕ, отриманого при моделюванні, зокрема, критерій Пірсона, критерій Колмогорова.

2. Моделювання випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками

Моделювання випадкових величин із заданими щільностями імовірностей методом обернених функцій

. (10)

Якщо функція є строго монотонно зростаючою, то із рівняння можна знайти обернену функцію

. (11)

Підставивши замість БВВ , можна одержати алгоритм моделювання ВВ із заданим розподілом:

. (12)

Таким чином, для моделювання на ЕОМ ВВ із заданою щільністю ймовірності, потрібно виконати такі операції:

знайти функцію розподілу, користуючись заданою щільністю ймовірності;

знайти функцію, що буде оберненою до функції розподілу;

одержувати реалізації БВВ ;

обчислювати значення ВВ як значення знайденої функції .

Виконуючи ці операції - разів, одержимо вибірку реалізацій . Скориставшись нею, можна побудувати гістограму розподілу і порівняти її з заданою щільністю ймовірності.

Даний метод моделювання має недоліки тому, що не завжди вдається аналітично розрахувати для заданої щільності ймовірностей інтеграл для одержання , і не для всякої функції розподілу вдається одержати обернену функцію.

Моделювання випадкових величин із заданими щільностями імовірностей методом суперпозиції