Размещено на http://www.allbest.ru/

33

Содержание

• Введение 2
• Глава 1. Описание методики проектирования. 5
• 1.1. Что такое метод анализа иерархий 5
• 1.2. Иерархии как воспроизведение сложности 7
• Глава 2. Метод анализа иерархий. 11
• 2.1. Структурирование иерархии. 11
• 2.2. Нахождение приоритетов 12
• Глава 3. Практическая часть на примере выбор дома для покупки. 15
• 3.1. Построение трёхуровневой иерархии на примере о покупке дома. 16
• 3.2. Построение матриц парных сравнений. 17
• 3.3. Нахождение локальных приоритетов. 21
• 3.4. Нахождение приоритетов для 3-го уровня. 26
• 3.5. Нахождение глобальных приоритетов 30
• Заключение. 33
• Список литературы. 34
• Введение

Теория принятия решений является одним из важнейших направлений системного анализа. При принятии решений и прогнозировании возможных результатов лицо, принимающее решение (ЛПР), обычно сталкивается со сложной системой взаимозависимых компонент (ресурсы, желаемые исходы или цели и т.д.), которую нужно проанализировать. Принято считать, что чем глубже человек вникает в эту сложность, тем лучше будут принимаемые им решения. Практика принятия решений связана со взвешиванием альтернатив, каждая из которых удовлетворяет некоторому набору желаемых целей. Задача заключается в выборе той альтернативы, которая наиболее полно удовлетворяет весь набор целей. Причём при иерархическом представлении проблемы представляет интерес получение числовых весов для альтернатив относительно подцелей и для подцелей относительно целей более высокого порядка.

Иерархии являются основным способом, с помощью которого человек подразделяет реальность на кластеры и подкластеры. Это наиболее мощный метод классификации, исследуемый человеком для приведения в порядок опыта, наблюдений и информации. Исторически использование иерархического упорядочения, также старо, как и человеческий мир.

Действенность и польза иерархического структурирования проявляется в двух аспектах.

Первый заключается в том, что реальный мир, как показал опыт, во многих случаях эффективно моделируется иерархически.

Второй аспект свидетельствует о реальной силе иерархий в изучении окружающего мира. Он заключается в расчленении рассматриваемых вещей на большие группы или кластеры, которые далее расчленяются на меньшие кластеры и т.д. Такая процедура последовательной кластеризации элементов значительно эффективнее для их изучения, в частности для получения приоритетов элементов, чем обработка всех элементов совместно.

Иерархическое структурирование представляет очень эффективный способ исследования сложных систем.

В последние десятилетия в задачах социальных и поведенческих наук своё место нашёл «системный подход» наряду со старыми редукционистскими методами, которые очевидно более приемлемы для физических наук.

По существу система является абстрактной моделью имеющегося в реальности объекта, который мы выделяем как часть реального мира. Понятие системы, определённой как «совокупность взаимодействующих частей» впервые было отчётливо высказано биологом Людвигом фон Берталанфи.

Берталанфи сформулировал теорию открытых систем, которая описывает процесс обмена между живым организмом и окружающей его средой. В отличие от замкнутых систем, которые достигают состояния равновесия, характеризуемого максимальной энтропией или хаосом и минимальным использованием свободной энергии, открытые системы достигают устойчивого состояния непрерывным потоком веществ между организмом и окружающей средой. Использование свободной энергии организмом производит отрицательную энтропию и определяет рост и устойчивость.

В чём же состоит системный подход? Каковы его основные отличия от традиционного редукционизма?

Первое, что надо отметить, что при системном подходе к решению сложной проблемы, сама эта проблема не определяется как раз и навсегда заданная, а напротив, может переопределяться.

Во-первых, по мере получения новых знаний о предметной области, относящейся к проблеме и, во-вторых, поскольку она является продуктом субъективного восприятия фрагмента реальной действительности, т.е. некой умозрительной моделью реальной действительности, которая в процессе решения совершенствуется и адаптируется к средствам и методам, находящимся в арсенале исследователя.

Второе не менее важное, это зависимость выделенной проблемы как системы от окружающего мира. Исследуемую систему нельзя рассматривать отдельно от среды, она является подсистемой некоторой большей системы, её содержащей, и находится под постоянным влиянием, которое оказывается на неё из вне, и сама в свою очередь влияет на среду.

Третью особенностью системного подхода можно выразить фразой: «целое больше суммы составляющих его частей». Философское противопостановление «часть-целое» нашло своё отражение в двух научных методологиях - редукционизм и холизм. Редукционизм опирается на тезис: свойства целого объяснимы через свойства составляющих его элементов. Холизм же отрицает этот тезис и утверждает, что нельзя без потерь анализировать целое сточки зрения его частей. Системный подход разрешает это противоречие, пытаясь включить обе конфликтующие идеологии в исследование системы. Для системного подхода обе эти позиции допустимы. С одной стороны, можно спустится на более низкий уровень и изучать свойства компонентов, не принимая во внимание их системной взаимосвязи. С другой стороны, можно, не обращая внимания на структуру компонентов, исследовать их поведение только с точки зрения их вклада в поведение большей системы.

Глава 1. Описание методики проектирования.

1.1. Что такое метод анализа иерархий.

Метод анализа иерархий (МАИ) является систематической процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части введением иерархического структурирования. После задания иерархической структуры, моделирующей исследуемую проблему, возникает задача выявления относительной степени взаимодействия элементов представленных в иерархии. Окончательной целью МАИ является выявление степени влияния элементов низшего уровня, иерархии на элемент высшего уровня - фокус, в котором сформулирована сама проблема.

В МАИ эта задача названа определением глобальных приоритетов элементов низшего уровня иерархии относительно фокуса. Искомый глобальный вектор приоритетов находится в результате синтезирования локальных векторов приоритетов, представляющих вектора влияния элементов данного уровня на элементы уровня непосредственно предшествующего данному уровню. Процедура отыскания локального вектора приоритетов состоит из двух основных этапов. На первом этапе строятся матрицы парных сравнений элементов данного уровня относительно некоторого элемента непосредственно предшествующего уровня. Эта матрица парных сравнений строится на основе суждений экспертов или ЛПР, высказывающих свои мнения о предпочтениях одного элемента над другим данного уровня иерархии относительно элемента непосредственно предшествующего уровня.

Далее эти высказывания экспертов, посредством шкалы сравнений, приведённой в методе переводятся в числовые данные, представляющие собой цифры от 1 до 9. Далее заполняется матрица парных сравнений, с учётом того, что в целях элементарной согласованности она должна быть обратно симметричной. На втором этапе задачи нахождения локального вектора приоритетов для построенной матрицы парных сравнений элементов ищется главный собственный вектор щ, определяемый как решение уравнения:

А·щ = л_max щ .

Этот главный собственный вектор и будет представлять собой вектор локальных приоритетов элементов.

Для того, чтобы найти глобальный приоритет элементов низшего уровня относительно фокуса, необходимо отыскать все локальные приоритеты элементов каждого уровня иерархии относительно каждого элемента непосредственно выше стоящего уровня. После этого глобальный приоритет ищется посредством процедуры синтеза локальных приоритетов. Процедура синтеза локальных приоритетов является интерактивной состоящего из конечного числа шагов, в зависимости от числа уровней иерархии. На каждом шаге этой процедуры отыскиваются вектора приоритетов элементов низшего уровня относительно элементов расположенных строго двумя уровнями выше. Двигаясь последовательно снизу вверх по уровням иерархии, на каждом шаге процедуры синтеза убирается второй снизу уровень иерархии и таким образом глубина иерархии на каждом шаге процедуры уменьшается на единицу. Процедуры синтеза заканчиваются, когда иерархия становится двухуровневой.

Отсюда следует, что для трёхуровневой иерархии процедура синтеза является одношаговой. На каждом шаге процедуры синтеза для отыскания вектора приоритетов низшего уровня относительно произвольного элемента

расположенного двумя уровнями выше W, перемножаются матрицы B и W, где:

b₁₁, b₁₂, …b_1n

b₂₁, b₂₂, …b_2n

B = ………………

b_m1, b_m2, …b_mn

есть матрица, каждый i-ый столбец которой есть вектор приоритетов; m-

элементов низшего уровня относительно i-го элемента непосредственно предыдущего уровня.

Таким образом элемент b_ij матрицы В есть приоритет i-го элемента низшего уровня относительно j-го элемента непосредственно предыдущего уровня. Вектор W есть вектор приоритетов или весов n элементов второго снизу уровня относительно данного элемента третьего снизу уровня.

В результате для отыскания вектора приоритетов W мы имеем равенство:

W= B · W

1.2. Иерархии как воспроизведение сложности.

Сложность - понятие очень ёмкое и многогранное. Обычно под сложностью понимается свойство «иметь много различных взаимосвязанных

частей, структур или элементов и, следовательно, быть труднопонимаемым»

или «включать множество частей, аспектов, деталей, понятий, требующих

для понимания серьёзного исследования». В этом общем описании отсутствует характеристика объектов, к которым применимо это понятие.

Поэтому оно потенциально применимо к любым типам объектов - материальным, абстрактным, естественным и искусственным, к творениям науки или искусства, а также к задачам, методам, теориям, языкам, организациям и к любым другим объектам. Независимо от того, что рассматривается, как сложное или простое, в общем случае степень связана с числом различаемых частей и мерой их взаимосвязанности. Следует отметить, что понятие сложности имеет субъективную обусловленность, поскольку оно связано со способностью понимания или использования исследуемого объекта. Таким образом, то, что сложно для одного может считаться довольно простым для другого.

В теории систем сама система рассматривается как умозрительное образование, как модель реального объекта, выделенного как часть мира. Поэтому сложность - это свойство, которое не является неотъемлемым атрибутом исследуемого объекта, но представляет следствием способа, которым исследователь отображает этот объект. Другими словами, когда мы говорим о сложности, мы подразумеваем не сложность реального объекта, а сложность системы, определённой на этом объекте.

Сложность, как уже было сказано, характеризуется большим числом взаимодействий между многими субъективными и объективными факторами различного типа степеней сложности, а также группами людей с различными целями и противоположными интересами. Эти факторы определяют вероятность или невозможность выбора из допустимых альтернатив, которая приемлема для всех с определённой степенью компромисса. Чтобы успешно решать сложные проблемы, нужна организованная структура для представления групп, их целей, критериев и поведения направляемых этими целями альтернативных исходов и ресурсов, распределяемых по этим альтернативам.

Иерархия является некоторой абстракцией структуры сложной проблемы или системы, предназначенной для изучения функциональных взаимодействий её компонент и их взаимодействий на систему в целом. Эта абстракция может принимать различные родственные формы, в каждой из которых, по существу, производится спуск с вершины (общей цели) вниз к подцелям, далее к силам, которые влияют на эти подцели, к индивидуумам, влияющим на эти цели, к целям отдельных индивидуумов, их намерениям и интересам, ещё дальше к стратегиям и, наконец, к исходам, являющимся результатами этих стратегий. Подобное иерархическое представление структуры обладает некоторой степенью инвариантности, в том смысле, что высший уровень иерархии имеет отношение к ограничениям и силам окружающей среды и, по мере продвижения вниз по иерархии, уровни представляют соответственно действующих лиц, оказывающих весомое влияние на функционирование системы, цели, которые преследуют эти действующие силы, допустимые средства, находящиеся в арсенале у этих сил для достижения целей и, наконец, возможные исходы (сценарии), которые получаются в результате применения действующими силами своих средств.

В наиболее общем виде структурирование сложной проблемы (системы) или её декомпозиция в иерархию мажет быть представлена следующими уровнями.

1. Макроограничения окружающей среды.

2. Социальные, экономические и политические ограничения.

3. Кластеры по интересам или обобщённые силы, влияющие на систему.

4. Их цели.

5. Действующие силы, оказывающие активное влияния на систему и являющиеся элементами кластеров.

6. Их цели

7. Возможные средства, которые используют действующие силы для достижения своих целей.

8. Исходы или контрастные сценарии, которые получаются в результате использования своих средств действующими силами.

При структурировании каждой конкретной проблемы в иерархию, некоторые из представленных здесь уровней иерархии могут вовсе отсутствовать, другие же, напротив, могут повторяться. Таким образом, декомпозиция в иерархию каждой конкретной проблемы или системы является делом абсолютно индивидуальным, требующим творческого подхода.

Глава 2. Метод анализа иерархий

2.1. Структурирование иерархии.

Метод анализа иерархий (МАИ) является систематической процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые

Составляющие части введением иерархического структурирования и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решения (ЛПР) по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Метод анализа иерархий включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.

Решение представляет собой процесс поэтапного установления приоритетов.

На первом этапе выявляются наиболее важные элементы проблемы.

На втором - наилучший способ проверки наблюдений, испытания и оценки элементов.

Следующий этап состоит в выработке способа применения решения и оценке его качества. Весь процесс подвергается проверке и переосмыслению до тех пор, пока не будет уверенности, что процесс охватил все важнейшие характеристики, необходимые для представления и решения проблемы.

Как я отмечала выше, структурирование проблемы в виде иерархии или в виде обобщения иерархии - сети является первым этапом МАИ. В наиболее элементарном виде иерархия строится с вершины (цель), через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят последующие уровни) к самому низкому уровню (который обычно является перечнем альтернатив).

Существует несколько видов иерархии. Самые простые - доминантные иерархии, которые имеют вид перевёрнутого дерева с основой в вершине. Холлархии - это те же доминантные иерархии с наличием обратной связи. Китайский ящик или модулярные иерархии растёт в размерах от простейших элементов или компонент (внутренние ящики) к всё более крупным совокупностям (внешние ящики). Остановимся на доминантных иерархиях.

Иерархия называется полной, если каждый элемент заданного уровня функционирует как критерий для всех элементов нижестоящего уровня. В Противном случае иерархия - неполная. Процесс определения приоритетов (весов) в случае неполной иерархии аналогичен тому, как это делается и для полной иерархической структуры, так как используются приоритеты соответствующего элемента, по отношению к которому производится оценка, т. е. Иерархия может быть разделена на подъиерархии, имеющие общим самый верхний элемент.

2.2. Нахождение приоритетов.

После иерархического или сетевого воспроизведения проблемы возникает вопрос: «Как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, выявив самую важную из них?». В МАИ элементы каждого иерархии сравниваются попарно между собой по отношению их воздействия на общую для них характеристику, которая представлена в иерархии некоторым элементом, расположенным на следующем высшем уровне. Проведя парные сравнения элементов уровня, можно построить матрицу сравнений:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n

a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n

a_n1 a_n2 a_n3 … a_nn

представляющую собой квадратную матрицу nЧn, n - число элементов на

уровне. Эта матрица называется матрицей парных сравнений и обратной

симметричности, так как для любых i и j , i = 1,2…,n, j = 1,2…,n имеет равенство a_ij = 1/ a_ij, где индексы i и j относятся к строке и столбцу соответственно.

Обозначим через А₁, А₂, …, А_n элементы из некоторого уравнения и допустим, что известны приоритеты (веса или интенсивности) этих элементов. Используя МАИ, можно записать матрицу парных сравнений, не прибегая к опросу ЛПР. Пусть w₁, w₂, … w_n - приоритеты (веса) элементов А₁, А₂, …, А_n, тогда матрица парных сравнений будет иметь вид:

А₁, А₂, …. А_n

А₁ w₁ w₁ w₁

w₁ w₂ …… w_n

А₂ w₂ w₂ w₂

w₁ w₂ …… w_n

. . . .

. . . .

А_n w_n w_n w_n

w₁ w₂ …… w_n

В этой матрице элемент w_i / w_j, представляющий отношение веса i-го

элемента к весу j-го элемента определяет степень превосходства i-го элемента над j-ым элементом относительно некоторого фактора, т.е. фактически является элементом a_ij в матрице парных сравнений. В действительности веса w₁, w₂, … w_n неизвестны, они находятся в результате различных численных методов, которые применяются к матрице парных сравнений. Для построения этой матрицы, а именно для определения степени превосходства i-го элемента над j-ым элементом a_ij, используются субъективные суждения экспертов, численно оцениваемые по определённой шкале сравнений. Эта шкала представлена Таблицей № 2.

В целях удобства дальнейшего изложения, повторим этапы МАИ. Первый этап состоит в декомпозиции проблемы в виде иерархий. Затем

элементы на втором уровне иерархии (непосредственно под фокусом) располагают в матрице для того, чтобы установить характер суждения изучающих проблему людей о сравнительной важности элементов по отношению к общей цели.

Относительная важность любого элемента, сравнимого с самим собой, равна 1, поэтому диагональ матрицы парных сравнений содержит только единицы. Элементы матрицы, расположенные симметрично относительно диагонали, должны иметь численные значения, обратные друг другу, т.е. элемент А воспринимается как «слегка более важный» (3 на шкале) относительно элемента В, то считается, что элемент В «слегка менее важен» (1/3 по шкале) относительно элемента А. Это требование, которое называется обратной симметричностью. Любая матрица парных оценок является положительной и обратносимметричной и требует для построения проведения n(n-1)/2 парных сравнений, где n - общее число сравниваемых элементов.

Исходя из опыта проведения парных сравнений, полученного в результате многочисленного применения МАИ, в основном ставятся следующие вопросы при сравнении элементов А и В:

1. Какой из них важнее или имеет большее значение?

2. Какой из них более вероятен?

3. Какой из них наиболее предпочтителен?

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен, при сравнении альтернатив по отношению к критерию - какая из альтернатив более желательна; при сравнении сценариев, получаемых из критериев - какой из сценариев более вероятен.

Глава 3. Практическая часть на примере выбор дома для покупки

В данной главе мы рассмотрим пример по покупке дома одной семьей среднего достатка, которая в результате совместных обсуждений пришла к восьми критериям, которым должен удовлетворять покупаемый дом.

В Таблице № 1 приведено краткое описание домов, выставленных на продажу (для Варианта № 2) по каждому из восьми критериев.

Таблица № 1. Краткое описание вариантов домов, представленных для покупки.

Варианты домов Критерии	Дом № 2	Дом № 3	Дом №12	Дом № 5
Размер дома	Больше среднего	Больше малого	Маленький	Средний
Цена	Выше среднего	Средняя	Выше среднего	Ниже средней
Возраст дома	до 15 лет	до 10 лет	до 15 лет	до 20 лет
Общее состояние	Среднее	Выше среднего	Выше среднего	Хорошее
Наличие современных удобств	Среднее	Хорошее	Очень хорошее	Очень хорошее
Транспортные удобства	Среднее	Ниже среднего	Плохое	Среднее
Состояние и размеры двора	Хорошее	Выше среднего	Хорошее	Ниже среднего
Экология и состояние окрестности	Среднее	Выше среднего	Выше среднего	Ниже среднего

Эти критерии можно разбить на три кластера: экономический, физический и географический и построить четырёхуровневую иерархию. Затем приступить к определению приоритетов элементов, находящихся на каждом уровне, относительно элемента, стоящего выше по иерархии. Тогда первый шаг определения приоритетов будет состоять в исследовании сравнительной важности каждого из кластеров по отношению фокуса - покупка дома.

Но поскольку структурирование проблемы является субъективный процесс, данную задачу мы упростим, исключив уровень кластеров, и построим трехуровневую иерархию.

3.1. Построение трёхуровневой иерархии на примере о покупке дома

На первом уровне находится глобальная цель - «Покупка дома». На втором уровне располагаются восемь факторов или критериев, уточняющих цель. На третьем уровне - четыре дома - кандидата, которые должны быть оценены относительно критериев второго уровня.

На Рисунке 1 показана иерархия покупки дома.

Рисунок 1

Размещено на http://www.allbest.ru/

33

Оценка имеющихся критериев (2 уровень):

1. Размер дома: общая площадь дома, число комнат, их площадь, емкость подсобных помещений;

2. Цена: ориентировочная цена дома, о которой удастся договориться с продавцом после проведения переговоров;

3. Возраст дома: когда построен дом;

4. Общее состояние: потребность в ремонте, состояние стен, пола, крыши, электропроводки, водопровода, канализации т.д.;

5. Наличие современных удобств: включает все атрибуты, касающиеся бытовых удобств;

6. Транспортные удобства: доступность общественного транспорта;

7. Состояние и размеры двора: включает пространство перед домом, сзади дома, сбоку, ухоженность двора, близость соседей;

8. Экология и состояние окрестностей: интенсивность движения транспорта, экологическая обстановка, безопасность, хороший вид, ухоженные окрестности.

Закон иерархической непрерывности, присущий МАИ, требует, чтобы элементы нижнего уровня иерархии были сравнимы попарно по отношению к элементам следующего высшего уровня и т.д. вплоть до вершины иерархии.

Например, надо получить ответы на вопросы такого вида: «Насколько дом А лучше дома В, С или D по критерию «Окрестности»? или «Насколько по отношению к глобальной цели критерий «Размеры дома» важнее критерия «Транспортные удобства»? и т.д.

Таким образом, закон иерархической непрерывности обеспечивает выбор уровней в иерархии. Выбираются те уровни, которые удовлетворяют условию: элементы любого уровня, кроме высшего, должны быть сравнимы между собой относительно элементов следующего высшего уровня.

3.2. Построение матриц парных сравнений.

В МАИ элементы каждого уровня иерархии попарно сравниваются между собой по отношению их воздействия на общую для них характеристику, которая представлена в иерархии некоторым элементом, расположенным на следующем высшем уровне. Проведя парные сравнения элементов уровня, можно построить матрицу сравнений с помощью шкалы относительной важности Таблица № 2.

Эта шкала оказалась эффективной не только во многих приложениях, ее правомочность доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами.

Таблица № 2. Шкала относительной важности.

Интенсивность относительной важности	Определение	Комментарии
1	Равная важность	Равный вклад двух видов деятельности в цель
2	Промежуточное решение между двумя соседними решениями	Применяется в компромиссных случаях
3	Умеренное превосходство одного над другим	Опыт и суждения дают легкое превосходство одного вида деятельности над другим
4	Промежуточное решение между двумя соседними решениями	Применяется в компромиссных случаях
5	Существенное или сильное Превосходство	Опыт и суждения дают сильное превосходство одного вида деятельности над другим
6	Промежуточное решение между двумя соседними решениями	Применяется в компромиссных случаях
7	Значительное превосходство	Одному виду деятельности дается настолько сильное превосходство, что оно становится практически значительным
8	Промежуточное решение между двумя соседними решениями	Применяется в компромиссных случаях
9	Очень сильное превосходство	Очевидность превосходства одного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно
Обратные величины интенсивностей	Если при сравнении одного вида деятельности с другим получена одна из вышеуказанных интенсивностей, то при обратном сравнении второго вида деятельности с первым берут обратную величину

В нашем примере структурирование проблемы в трехуровневую иерархию (см. Рисунок 1), с восьмью критериями на втором уровне и четырьмя альтернативами на третьем уровне требует построения 9 матриц парных сравнений. Одна матрица строится для определения весов (степеней превосходства) критериев остальные восемь для определения весов альтернатив по каждому из восьми критериев, расположенных уровнем выше.

Согласно Таблицы № 2 высказывания экспертов, в данном случае членов семьи, покупающей дом, для перевода вербальных оценок и суждений в числовые данные и матрица заполняется. Эта матрица называется матрицей парных сравнений и обратной симметричности, так как для любых i и j, где i=1,2…n, j=1,2…n, имеем равенство

a_ji = 1 / a_ij

i - индекс строки матрицы;

j - индекс столбца матрицы.

Относительная важность любого элемента, сравнимого с самим собой, равна 1 (поэтому диагональ матрицы содержит только единицы). Элементы матрицы, расположенные симметрично относительно диагонали должны иметь численные значения, обратные друг другу. Это требование называется обратной симметричностью и есть единственным требованием относительно согласованности суждений и оценок лиц. Поэтому любая матрица парных оценок есть положительная и обратносимметричная и требует провести n(n-1)/2 парных сравнений, где n-общее число сравниваемых элементов.

8(8-1) / 2=28 парных сравнений (для матрицы 8х8);

4(4-1) / 2=6 парных сравнений (для матрицы 4х4).

Например, на вопрос: какова важность размеров дома относительно транспортных удобств по отношению к общей цели (фокусу)? Члены семьи пришли к согласию что размеры дома значительно важнее и поэтому, согласно шкалы относительной важности, они внесли цифру 5 в соответствующую клетку матрицы; тогда в симметричную относительно диагонали клетку автоматически заносится обратное число 1/5, что соответствует противоположному сравнению.

Таблица № 3

Матрица парных сравнений для 2-го уровня.

Общая удовлетворен- ность домом	Размеры дома	Транспортные удобства	Экология и состояние окрестности	Возраст дома	Состояние и размеры двора	Наличие современных удобства	Общее состояние	Цена
Размеры дома	1	5	3	7	2	6	2	1/3
Транспортные удобства	1/5	1	1/3	4	1/4	2	3	1/6
Экология и состояние окрестности	1/3	3	1	6	2	1/4	3	1/5
Возраст дома	1/7	1/4	1/6	1	1/5	1/3	1/6	1/7
Состояние и размеры двора	1/2	4	1/2	5	1	5	4	1/4
Наличие современных удобства	1/6	1/2	4	3	1/5	1	1/2	1/6
Общее состояние	1/2	1/3	1/3	6	1/4	2	1	1/5
Цена	3	6	5	7	4	6	5	1

Следует обратить особое внимание на возможную взаимозависимость критериев, например, таких, как «возраст дома» и «общее состояние», чтобы избежать ощутимых перекрытий. Поэтому суждения о сравнительной важности таких факторов, как состояние и время постройки дома, должны производиться настолько независимо, насколько это возможно.

После построения матрицы парных сравнений для 2 уровня иерархии перейдём к парным сравнениям элементов 3 уровня. Сравнимые попарно элементы - это возможные варианты выбора дома. Сравнивается, насколько более желателен или хорош тот или иной дом для удовлетворения каждого критерия 2 уровня. Получаем восемь матриц суждений размерностью 4Ч4 каждая, поскольку имеет восемь критериев на 2 уровне и четыре дома, которые попарно сравниваются по каждому из критериев. Матрицы вновь содержат суждения и оценки членов семьи, отображённые в числовые данные с помощью шкалы относительной важности.

Такому описанию альтернативных домов соответствует восемь матриц парных сравнений по числу критериев на 2 уровне, сведённых в единую форму Таблица № 4.

Таблица № 4. Матрица парных сравнений для 3-го уровня

Размеры					Транспортные
дома	№ 2	№ 3	№ 12	№ 5	удобства	№ 2	№ 3	№ 12	№ 5
№ 2	1	4	6	2	№ 2	1	3	6	2
№ 3	1/4	1	1/2	1/4	№ 3	1/3	1	4	1/5
№ 12	1/6	2	1	1/6	№ 12	1/6	1/4	1	1/7
№ 5	1/2	4	6	1	№ 5	1/2	5	7	1
					Состояние и
Цена	№ 2	№ 3	№ 12	№ 5	размеры	№ 2	№ 3	№ 12	№ 5
					двора
№ 2	1	1/3	2	1/7	№ 2	1	4	2	7
№ 3	3	1	4	1/5	№ 3	1/4	1	1/3	5
№ 12	1/2	1/4	1	1/6	№ 12	1/2	3	1	6
№ 5	7	5	6	1	№ 5	1/7	1/5	1/6	1
Возраст					Общее
дома	№ 2	№ 3	№ 12	№ 5	состояние	№ 2	№ 3	№ 12	№ 5
№ 2	1	1/3	2	3	№ 2	1	1/6	1/5	1/3
№ 3	3	1	3	5	№ 3	6	1	2	1/4
№ 12	1/2	1/3	1	1/4	№ 12	5	1/2	1	1/5
№ 5	1/3	1/5	4	1	№ 5	3	4	5	1
Наличие					Экология,
современных	№ 2	№ 3	№ 12	№ 5	состояние	№ 2	№ 3	№ 12	№ 5
удобств					окрестностей
№ 2	1	1/3	1/5	1/6	№ 2	1	1/5	1/4	3
№ 3	3	1	1/7	1/8	№ 3	5	1	2	8
№ 12	5	7	1	1/2	№ 12	4	1/2	1	7
№ 5	6	8	2	1	№ 5	1/3	1/8	1/7	1

3.3. Нахождение локальных приоритетов.

Теперь находим приоритеты элементов, т.е. оцениваем их относительно того конкретного элемента, расположенного на высшем уровне.

В МАИ численные методы «решения» матриц для отыскания весов, заключаются в основном в отыскании собственных векторов полученных матриц парных сравнений. Для упрощения задачи вычисление собственных векторов заменяем манипуляциями с элементами матрицы и получаем хорошее приближение к вектору приоритетов.

Главный собственный вектор находится методом геометрического среднего. Для этого нужно перемножить элементы в каждой строке и затем извлечь корень n - степени, где n - число элементов, подлежащих ранжированию. В нашем случае n=8 (матрица 8х8).

Размеры дома:

1 Ч 5 Ч 3 Ч 7 Ч 2 Ч 6 Ч 2 Ч 1/3 = 840;

v840 = 28,983;

Транспортные удобства:

1/5 Ч 1 Ч 1/3 Ч 4 Ч 1/4 Ч 2 Ч 3 Ч 1/6 = 0,067;

v0,067 = 0,819;

Экология и состояние окрестности:

1/3 Ч 3 Ч 1 Ч 6 Ч 2 Ч 1/4 Ч 3 Ч 1/5 =1,800;

v1,800 = 1,342;

Возраст дома:

1/7 Ч 1/4 Ч 1/6 Ч 1 Ч 1/5 Ч 1/3 Ч 1/6 Ч 1/7 = 0,00000945;

v0,00000945 = 0,003;

Состояние и размеры двора:

1/2 Ч 4 Ч 1/2 Ч 5 Ч 1 Ч 5 Ч 4 Ч 1/3 = 33,333;

v33,333 = 5,773;

Наличие современных удобств:

1/6 Ч1/2 Ч 4 Ч 3 Ч 1/5 Ч 1 Ч 1/2 Ч 1/6 = 0,017;

v0,017 = 0,130;

Общее состояние:

1/2 Ч 1/3 Ч 1/3 Ч 6 Ч 1/4 Ч 2 Ч 1 Ч 1/5 = 0,033;

v0,033 = 0,182;

Цена:

3 Ч 6 Ч 5 Ч 7 Ч 4 Ч 6 Ч 5 Ч 1 = 75600;

v75600 = 274,955;

Затем суммируем все значения и разделим каждое полученное значение на сумму всех элементов. Таким образом, можно определить не только порядок приоритетов каждого отдельного элемента, но и величину этого приоритета, т.е. оценить в числах вес каждого элемента.

У = 28,983+0,819+1,342+0,003+5,773+0,130+0,182+274,955 = 312,187

Таблица № 5. Векторы приоритетов

Общая удовлетворен- ность домом	Размеры дома	Транспортные удобства	Экология и состояние окрестности	Возраст дома	Состояние и размеры двора	Наличие современных удобств	Общее состояние	Цена	Вектор приорите- тов
Размеры дома	1	5	3	7	2	6	2	1/3	0,093
Транспортные удобства	1/5	1	1/3	4	1/4	2	3	1/6	0,003
Экология и состояние окрестности	1/3	3	1	6	2	1/4	3	1/5	0,004
Возраст дома	1/7	1/4	1/6	1	1/5	1/3	1/6	1/7	0,00001
Состояние и размеры двора	1/2	4	1/2	5	1	5	4	1/4	0,018
Наличие современных удобств	1/6	1/2	4	3	1/5	1	1/2	1/6	0,0004
Общее состояние	1/2	1/3	1/3	6	1/4	2	1	1/5	0,0006
Цена	3	6	5	7	4	6	5	1	0,881

Анализируя полученные вектора приоритетов в Таблице № 5, мы видим, что критерий «цена» оказался наиболее важный для членов семьи при покупке дома. Очевидно, это вполне ожидаемый факт. Мы видим, что цена дома много важнее его размеров и важнее возраста дома, имеющего самый наименьший приоритет 0,00001. Найденные компоненты вектора приоритетов показывают, что можно было бы выбрать для рассмотрения четыре наиболее весомых критерия - цена, размер дома, состояние размеры двора, экология и состояние окрестности, так как они оказывают наибольшее влияние на выбор дома.

Также важно заметить, что под согласованностью матрицы понимают такое ее свойство: для любых индексов i, j, k є {1,…..,n} имеем свойство численной согласованности:

a_ija_jk=a_ik

Согласованность матрицы определяется удовлетворением равенства ее максимального собственного значения л_max числу ее строк или столбцов n

л_{max =} n

Для нашего примера находим максимальное собственное значение л_max. Сначала суммируем каждый столбец матрицы, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго на вторую компоненту и так далее.

1+1/5+1/3+1/7+1/2+1/6+1/2+3 = 5,84Ч0,093 = 0,543

5+1+3+1/4+4+1/2+1/3+6 = 20,08Ч0,003 = 0,060

3+1/3+1+1/6+1/2+4+1/3+5 = 14,33Ч0,004 = 0,057

7+4+6+1+5+3+6+7 = 39Ч0,00001 = 0,00039

2+1/4+2+1/5+1+1/5+1/4+4 = 9,9Ч0,18 = 1,782

6+2+1/4+1/3+5+1+2+6 = 22,58Ч0,0004 = 0,009

2+3+3+1/6+4+1/2+1+5 = 18,67Ч0,0006 = 0,011

1/3+1/6+1/5+1/7+1/4+1/6+1/5+1 = 2,46Ч0,881 = 2,167

Затем полученные числа суммируются, и мы получаем приближенное значение л_max:

л_max = 0,543+0,060+0,057+0,00039+1,782+0,009+0,011+2,167 = 5,169

Насколько плоха согласованность определенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного для конкретной матрицы значения величины индекса согласованности (ИС):

ИС= (л_max-n)/n-1,

с ее значением из случайно выбранных суждений и соответствующих обратных величин того же размера, представленных в Таблице № 6.

Статистические исследования (СИ), проведённые в лабораториях США, по генерации средних СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 500 случайных выборок дали следующие результаты:

Таблица № 6. Таблица случайных индексов.

1 0.00	2 0.00	3 0.58	4 0.9	5 1.12	6 1.24	7 1.32	8 1.41	9 1.45	10 1.49	11 1.51	12 1.48	13 1.56	14 1.57	15 1.59

где,

- первая строка - порядок матрицы;

- вторая строка - сгенерированный средний СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 500 случайных выборок;

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС).

ИС = (5,169-8) / (8-1)= -2,831// 7 = -0,404;

ОС = ИС / СИ = -0,404 / 1,41 = -0,287;

В нашем случае матрица согласованная, так как значение отношения согласованности меньше 0,10.

3.4. Нахождение приоритетов для 3-го уровня.

Теперь перейдем к ранжированию альтернативных домов по отношению к каждому критерию второго уровня.

Цена:

1Ч1/3Ч2Ч1/7 = 0,095;

v0,095 = 0,308;

3Ч1Ч4Ч1/5 = 2,400;

v2,400 = 1,549;

1/2Ч1/4Ч1Ч1/6 = 0,021;

v0,021 = 0,145;

7Ч5Ч6Ч1 = 210,000;

v210,000 = 14,491;

? = 0,308+1,549+0,145+14,491 = 16,493;

0,308 / 16,493 = 0,019;

1,549 / 16,493 = 0,094;

0,145 / 16,493 = 0,009;

14,491 / 16,493 = 0,879;

? = 0,019+0,094+0,009+0,879 = 1,001;

1+3+1/2+7 = 11,500Ч0,019 = 0,219;

1/3+1+1/4+5 = 6,583Ч0,094 = 0,619;

2+4+1+6 = 11,000Ч0,009 = 0,099;

1/7+1/5+1/6+1 = 1,510Ч0,879 = 1,327;

л_max = 0,219+0,619+0,099+1,327 = 2,264;

ИС = (2,264 - 4) / (4 - 1) = 0,579;

ОС = 0,579 / 0,90 = 0,643;

Состояние и размеры двора:

? = 7,483+0,646+3+0,071 = 11,200;

7,483/11,200 = 0,668

0,646/11,200 = 0,058

3,000/11,200 = 0,268

0,071/11,200 = 0,006

л_max = 1,258+0,476+0,938+0,114 = 2,786;

ИС = (2,786 - 4) / (4 - 1) = 0,405;

ОС = 0,405 / 0,90 = 0,450;

Размеры дома:

? = 6,928+0,176+0,237+3,464 = 10,805;

6,928/10,805 = 0,641

0,176/10,805 = 0,016

0,237/10,805 = 0,022

3,464/10,805 = 0,321

л_max = 1,228+0,176+0,297+1,097 = 2,798;

ИС = (2,798 - 4) / (4 - 1) = 0,401;

ОС = 0,401 / 0,90 = 0,446;

Наличие современных удобства:

? = 0,105+0,232+4,183+9,798 = 14,318;

0,105/14,318 = 0,007

0,232/14318 = 0,016

4,183/14,318 = 0,292

9,798/14,318 = 0,684

л_max = 0,105+0,261+0,976+2,620 = 3,962;

ИС = (3,962 - 4) / (4 - 1) = 0,013;

ОС = 0,013 / 0,90 = 0,144;

Транспортные удобства:

? = 6,000+0,517+0,077+4,183 = 10,777;

6,000/10,777 = 0,557

0,517/10,777 = 0,048

0,077/10,777 = 0,007

4,183/10,777 = 0,388

л_max = 1,114+0,444+0,126+1,297= 2,981;

ИС = (2,981 - 4) / (4 - 1) = 0,340;

ОС = 0,340 / 0,90 = 0,378;

Возраст дома:

? = 1,414+6,708+0,205+0,517 = 8,844;

1,414/8,844 = 0,160

6,708/8,844 = 0,758

0,205/8,844 = 0,023

0,517/8,844 = 0,058

л_max = 0,773+1,414+0,230+0,537= 2,954;

ИС = (2,954 - 4) / (4 - 1) = 0,349;

ОС = 0,349 / 0,90 = 0,388;

Общее состояние дома:

? = 0,105+1,732+0,707+7,746 = 10,290;

0,105/10,290 = 0,010

1,732/10,290 = 0,168

0,707/10,290 = 0,069

7,746/10,290 = 0,753

л_max = 1,500+0,952+0,566+1,343= 4,361;

ИС = (4,361 - 4) / (4 - 1) = 0,120;

ОС = 0,120 / 0,90 = 0,133;

Экология и состояние окрестности:

? = 0,387+8,944+3,742+0,077 = 13,150;

0,387/13,150 = 0,029

8,944/13,150 = 0,680

3,742/13,150 = 0,285

0,077/13,150 = 0,006

л_max = 0,300+1,241+0,967+0,114= 2,622;

ИС = (2,622 - 4) / (4 - 1) = 0,459;

ОС = 0,459 / 0,90 = 0,510;

Таблица № 7. Матрица парных сравнений для 3-го уровня, решения и согласованность

Размеры дома	№2	№3	№12	№5	Вектор приоритетов	Наличие современных удобств	№2	№3	№12	№5	Вектор приоритетов
№ 2	1	4	6	2	0,641	№ 2	1	7	5	6	0,007
№ 3	1/4	1	1/2	1/4	0,016	№ 3	1/7	1	1/7	1/5	0,016
№ 12	1/6	2	1	1/6	0,022	№ 12	1/5	7	1	5	0,292
№ 5	1/2	4	6	1	0,321	№ 5	1/6	5	1/5	1	0,684
					1						0,999
					лmax = 2,978 ИС = 0,401 ОС =0,446						лmax = 3,962 ИС = 0,013 ОС = 0,144
Цена	№2	№3	№12	№5	Вектор приоритетов	Транспортные удобства	№2	№3	№12	№5	Вектор приоритетов
№ 2	1	1/3	2	1/7	0,019	№ 2	1	3	6	2	0,557
№ 3	3	1	4	1/5	0,094	№ 3	1/3	1	4	1/5	0,048
№ 12	1/2	1/4	1	1/6	0,009	№ 12	1/6	1/4	1	1/7	0,007
№ 5	7	5	6	1	0,879	№ 5	1/2	5	7	1	0,388
					1,001						1
					лmax = 2,264 ИС = 0,579 ОС = 0,643						лmax = 2,981 ИС = 0,340 ОС = 0,378
Возраст дома	№2	№3	№12	№5	Вектор приоритетов	Состояние и размеры двора	№2

Подобные документы

• Методы построения функции принадлежности требований к заданному уровню качества

  Построение матриц и функций принадлежности на основе парных сравнений мнения эксперта об относительному соответствию элементов множеству. Использование статистических данных, ранговых оценок и параметрического подхода. Понятие лингвистической переменной.
  
  контрольная работа [65,5 K], добавлен 22.03.2011
  

• Использование математических методов для сравнительного анализа ипотечных кредитов

  Характеристика ипотечного кредитования на примере Брянской области. Обзор математических методов принятия решений: экспертных оценок, последовательных и парных сравнений, анализа иерархий. Разработка программы поиска оптимального ипотечного кредита.
  
  курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.11.2012
  

• Метод анализа иерархий

  Построение графического дерева решений по установленному критерию оптимальности. Анализ узлов дерева решений с точки зрения доступности информации. Определение вектора приоритетов альтернатив, используя метод анализа иерархий и матрицы парных сравнений.
  
  контрольная работа [106,4 K], добавлен 09.07.2014
  

• Оценка конкурентоспособности и рыночной стоимости радиомодема МЕТА

  Расчет рыночной стоимости и оценка конкурентоспособности радиомодема МЕТА: выбор коэффициентов; определение величины затрат. Сравнение радиомодемов МЕТА, Риф Файндер-801, ГАММА методом построения и анализа иерархии. Расчет матриц сравнения и приоритетов.
  
  курсовая работа [245,3 K], добавлен 30.06.2012
  

• Задачи принятия решений в условиях неполной определённости

  Решение задач при помощи пакета прикладных программ MatLab. Загрузка в MatLab матриц A и P. Нахождение оптимальной стратегии для заданных матриц с использованием критериев принятия решений в условиях неопределённости Вальда, Гурвица, Лапласа, Сэвиджа.
  
  лабораторная работа [80,2 K], добавлен 18.03.2015
  

• Принятие решений в условиях риска. Выбор варианта производимого товара

  Математическая модель задачи принятия решения в условиях риска. Нахождение оптимального решения по паре критериев. Построение реализационной структуры задачи принятия решения. Ориентация на математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение.
  
  курсовая работа [79,0 K], добавлен 16.09.2013
  

• Теория принятия решений

  Алгоритм решения задачи выбора места предполагаемого трудоустройства из трех возможных вариантов по заданным критериям (удовлетворенность работой, карьерный рост, уровень доходов, репутация фирмы) методом анализа иерархии проблемы несколькими экспертами.
  
  курсовая работа [350,1 K], добавлен 07.05.2011
  

• Пакет программ Майкрософт, как эффективное средство эконометрического анализа

  Корреляционный и регрессионный анализ экономических показателей. Построение матрицы парных коэффициентов корреляции. Расчет и сравнение частных и парных коэффициентов корреляции. Построение регрессионной модели и её интерпретация, мультиколлинеарность.
  
  курсовая работа [314,1 K], добавлен 21.01.2011
  

• Основы эконометрии

  Определение зависимой и независимой переменной. Построение корреляционного поля зависимости издержек производства от объема затраченных ресурсов и их цены. Произведение статистического анализа регрессионной модели. Нахождение коэффициента детерминации.
  
  лабораторная работа [62,3 K], добавлен 26.12.2011
  

• Модели замены оборудования

  Характеристика модели замены оборудования. Принцип оптимальности Беллмана. Информационно-методическое обеспечение экономического моделирования. Задачи организации ремонтных работ на предприятии. Нахождение удельных затрат по покупке нового оборудования.
  
  курсовая работа [2,5 M], добавлен 30.03.2013
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам