Математические методы и модели

Задача 1

Определить зависимость между фактором и результатирующим признаком по данным, приведенным в таблице. Рассчитать коэффициент корреляции, определить вид зависимости, параметры линии регрессии, корреляционное отношение и оценить точность аппроксимации. Выбор варианта осуществляется по последней цифре порядкового номера студента

Решение:

Построим расчетную таблицу

Вычислим коэффициент корреляции по формуле:

r

где X и Y- текущие значения наблюдаемых величин;

N- число наблюдений.

Получим:

Коэффициент корреляции лежит в пределах 0 / r / 1 . При положительном коэффициенте корреляции наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной увеличивается и зависимая.

В нашем примере r = 0,852 связь тесная

Вычислим уравнение регрессии:

- уравнение регрессии

Построим корреляционное поле

Теснота связи для аппроксимации криволинейных зависимостей определяется при помощи корреляционного отношения

r =

Дополнительной оценкой точности аппроксимации является средняя относительная ошибка аппроксимации. Линия регрессии - аппроксимирующая функция. Чем меньше E, тем точнее выбранная зависимость аппроксимирует существующую зависимость

Вычислим точность аппроксимации:

где Yi- наблюденное значение зависимой переменной ;

- рассчитанное по формуле значение;

- среднее значение;

Вывод:

1. Между факторами имеется тесная связь.

2. Связь прямая

3. Прямолинейная зависимость лучше отображает связь.

Задача 2

2.1 По приведенным ниже данным - матрицы прибыли в зависимости от выбранной стратегии и состоянии факторов внешней среды, выбрать наиболее предпочтительную стратегию по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа.

Критерий Лапласа.

Критерием выбора стратегии выступает максимизации математического ожидания.

Вывод: В соответствии с критерием Лапласа стратегии СЕ и СИ характеризуются максимальным математическим ожиданием прибыли.

Критерий Вальда

В соответствии с критерием Вальда субъект, принимающий решение, избирает чистую стратегию, гарантирующую ему наибольший (максимальный) вариант из всех наихудших (минимальных) возможных исходов действия по каждой стратегии. На этой основе получается решение, определяемое как

W = 100

Вывод: В соответствии с критерием рекомендуемые стратегии СА, СГ, СД, СЖ, СИ гарантируют максимальный результат (100) в самой неблагоприятной ситуации.

Критерий Гурвица

Согласно критерию Гурвица при выборе решения разумней придерживаться некоторой промежуточной позиции. В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей

,

где a- показатель пессимизма-оптимизма, принимающий значения 0 a1,

Вывод: Согласно критерию Гурвица стратегия СЕ обеспечивает максимальное значение линейной комбинации

Критерий Сэвиджа

Чтобы оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход в соответствии с критерием Сэвиджа вводится показатель риска(r ij), определяемый как разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии (Rj) и выигрышем при выбранной стратегии (Si)

; при ,

где rij - показатель риска;

j - максимально возможный выигрыш;

x ij - выигрыш при выбранной стратегии

На этой основе строят матрицу рисков, которая показывает "сожаление между действительным выбором и наиболее благоприятным, если бы были известны намерения природы". Затем выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации

S = 50

Вывод: В соответствие с критерием рекомендуемая стратегия СИ, выбирая её в самом худшем случаи наше сожаление не превысит 50.д.ед.

2.2 При заданном распределении состояний факторов внешней среды определить стандартные статистические показатели (среднюю ожидаемую прибыль, дисперсию, коэффициент вариации прибыли) и обосновать выбор стратегии по индивидуальному отношению к риску.

Вычислим среднюю ожидаемую прибыль по формуле:

МА=100*0,2+120*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+110*0,05=118,5

МБ=110*0,2+90*0,4+150*0,1+120*0,2+120*0,05+100*0,05=108

МВ=150*0,2+150*0,4+100*01+90*0,2+100*0,05+90*0,05=127,5

МГ=130*0,2+100*0,4+110*0,1+120*0,2+120*0,05+110*0,05=112,5

МД=150*0,2+110*0,4+110*0,1+100*0,2+100*0,05+150*0,05=119

МЕ=190*0,2+90*0,4+100*0,1+170*0,2+120*0,05+90*0,05=128,5

МЖ=100*0,2+140*0,4+140*0,1+140*0,2+130*0,05+100*0,05=129,5

МЗ=120*0,2+150*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+90*0,05=133,5

МИ=140*0,2+120*0,4+130*0,1+120*0,2+150*0,05+100*0,05=125,5

Вычислим среднее квадратичное (стандартное) отклонение:

где - стандартное отклонение;

Ax - результат для вероятности Px;

- среднее ожидаемое значение результата;

Px - вероятность появления этого результата

Коэффициент вариации используют для сравнения рассеивания двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеивания, выраженную в процентах. Он вычисляется по формуле:

,

где - искомый показатель, - среднее квадратичное отклонение, - средняя величина.

Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Построим таблицу

Вывод: на мой взгляд самая оптимальная стратегия СЕ, т.к во время кризиса мы потеряем много прибыли, но в тоже время в благоприятных условиях мы приобретем много прибыли.