Преимущество рейтинговых систем заключается в возможности учитывать не только показатели, вычисляемые на основании числового материала, но и неформализованные показатели, так называемые, показатели анкетного типа [24]. Это свойство позволяет строить всеобъемлющие рейтинги.

Преимущества рейтинговых моделей оценки кредитоспособности очевидны и по сравнению с другими методиками позволяют:

учитывать множество факторов одновременно. Комплексная интерпретация большого количества содержательных значений различных показателей и параметров представляются для человека достаточно сложной задачей.

сокращать убытки от выдачи безнадежных кредитов. Этот способ помогает кредитным инспекторам, не имеющим достаточного опыта, правильно оценить заявки.

экономить на найме высококвалифицированных кредитных инспекторов.

Только рейтинговые модели могут учесть все аспекты оценки кредитоспособности заемщика, о которых упоминалось выше: отраслевой, финансовый, управленческий и качество обеспечения.

Именно разработка данного рода моделей для оперативной оценки кредитоспособности представляется наиболее целесообразной с точки зрения простоты их использования и надежности получаемого по ним результата для принятия решений. Однако их разработка сопряжена с рядом серьезных трудностей.

Во-первых, модель включает в себя достаточно большой объем различных показателей, как количественных, так и качественных. Разнородность этих показателей делает затруднительным применение обширного математического аппарата, к которому, в данном случае, должны предъявляться повышенные требования.

Во-вторых, для ранжирования по степени значимости и определения пороговых баллов каждого из факторов, включаемых в рейтинговую модель, требует присутствие высококвалифицированных экспертов, к которым также предъявляются определенные требования. Поэтому построение этих моделей представляется достаточно сложным.

В-третьих, с течением времени эти модели, как впрочем и все остальные, требуют пересмотра или корректировки, что влечет за собой повторение ряда трудоемких операций.

В последующих главах будет сделаны попытки проанализировать и сравнить разные классы математических инструментов, пригодных для разработки методик оценки кредитоспособности компаний-заемщиков. Наибольшее внимание будет уделено разработки рейтинговой модели, как наиболее приемлемой среди всего набора имеющихся моделей.

3 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ В РАЗРАБОТКЕ МОДЕЛЕЙ ОЦЕНКИ ЗАЕМЩИКОВ

Для экономического анализа традиционные методики предоставляют и рекомендуют использовать определенный набор приемов и методов. Под приемами понимаются действия, которые не имеют под собой каких-либо формальных обоснований. Под методами анализа понимается использование обоснованных строгих формальных или математических методов.

При проведении экономического анализа для выявления и измерения реальных экономических особенностей традиционно используют следующие приемы анализа:

сравнение отчета с планом;

расчленение показателя;

сводку;

группировку;

графики и диаграммы;

сплошные и выборочные наблюдения;

составление балансов.

В действительности, существует несоответствие между количеством методов, рекомендуемых методиками к применению, и числом реально существующих разработанных экономико-математических методов, предназначенных для анализа. Иными словами, присутствует низкий уровень практического применения формальных методов. Это связано с тем, что применение методов требует определенной подготовки, а также временных и трудовых затрат. Кроме того, возникает необходимость адекватно интерпретировать полученные результаты, что представляет собой отдельную содержательную задачу.

Доля работ, связанная со сбором и анализом информации о компаниях-заемщиках, достаточно велика, а доля использования экономико-математических моделей при этом, значительно мала.

Собственно подход к построению моделей может быть индуктивным и дедуктивным. Индуктивный подход состоит в конструировании частных моделей, а затем переходе к более общим моделям всего рассматриваемого процесса.

При дедуктивном подходе - сначала строится общая модель, а затем на ее основе конструируются частные модели, устанавливаются алгоритмы конкретных математических расчетов.

Экономико-математические методы можно условно разделить на детерминированные и недетерминированные. Это связано с существованием функциональных зависимостей между показателями и параметрами.

Основная особенность методов и моделей состоит в том, что в результате рассчитывается значительное дополнительное количество содержательных числовых величин. Это могут быть параметры моделей, индексы, разложения, коэффициенты и т.д. В итоге, для успешного анализа важен не только правильный подбор и использование соответствующих методов, но и корректное рассмотрение полученных результатов.

3.1 Математические модели классических схем экономического анализа

Итак, помимо простейших приемов, для проведения экономического анализа используют экономико-математические модели.

Всю совокупность экономико-математических моделей можно классифицировать следующим образом:

Экономико-математические модели:

по степени упрощения модели

по глубине охвата объекта исследования

по полноте формализации

по степени огрубления свойств элементов и структурных отношений

по степени огрубления формы структурных отношений

по степени огрубления структуры в целом

по виду математической формализации

по концепции формализации

по соотношению экзогенных и эндогенных параметров

по конструкции

по средствам описания

по типу изменения переменных

по характеру исходной информации

Для дальнейшего рассмотрения, всю совокупность методов, применяемых в экономическом анализе, удобно разделить следующим образом.

Экономико-математические методы:

детерминированные

недетерминированные

К первой группе относятся методы, которые предполагают полную определенность, методы детерминированного анализа. В этом случае предполагается, что все рассматриваемые в анализе функциональные связи между параметрами и показателями известны и строго определены. При этом задача нахождения самих функциональных зависимостей между рассматриваемыми величинами остается отдельной проблемой по моделированию самой факторной системы.

К этой группе относится семейство методов, которое используется для оценки вклада факторов в изменение результативного показателя:

методы индексного анализа;

метод цепных подстановок (в модификациях);

метод построения динамических рядов;

интегральный метод;

обобщенный интегральный метод.

Вторая группа содержит методы, которые иначе можно назвать стохастическими, и которые опираются на результаты математической статистики и других дисциплин. Они представляют собой методы конструирования или построения модели экономического объекта на основе исходного фактического материала, а именно;

статистические методы;

методы группировки (кластерный анализ);

построение многофакторных моделей;

метод экстраполяции;

метод производственных функций;

К ним можно отнести следующие задачи:

нахождение аналитических зависимостей или интенсивностей связей между факторами;

ранжирование или классификация объектов и факторов;

сглаживание.

Следует признать, что для обеих групп методов имеет место ряд специфических недостатков, на которые, обычно, обращают внимание. Для детерминированных методов они следующие:

не существует достаточно научно обоснованной расчетной базы для определения влияния многих важнейших факторов, вызывающих изменения в уровне эффективности производства;

не учитывается то обстоятельство, что действие большинства факторов является:

во-первых: одновременным, в этом случае не учитывается возможность их взаимного влияния,

во-вторых: характер связей в общем случае является нелинейным.

В отношении недетерминированных методов критика затрагивает такие моменты:

взаимосвязь корреляционного характера проявляется в среднем в большой массе явлений и не может точно отражать индивидуальные особенности проявления той же по характеру взаимосвязи у отдельных единиц анализируемой совокупности;

невыполнение многих необходимых соглашений и допущений;

выявление попарной корреляции требует большого статистического материала, чего обычно нет;

использование сложной функции в ряде случаев становится самоцелью и исключает этап разработки различного рода гипотез, например о существовании и форме связи.

С определенной долей условности можно рассматривать указанные две группы методов как своего рода аналитическую и синтетическую составляющие методологической основы экономического анализа.

Методы детерминированного анализа предполагают существование и известность всех функциональных зависимостей, описывающих рассматриваемый объект или явление. Предполагаются известными как формулы расчета показателей, так и все виды условных функциональных связей между параметрами.

Недетерминированные методы не предполагают изначальную заданность модели исследуемого экономического объекта, а позволяют ее конструировать. К таким методам относятся:

методы экстраполяции временных рядов, выявление параметров периодических колебаний экономических показателей;

методы кластерного анализа (выбор существенных факторов);

методы построения многофакторных моделей;

методы производственных функций;

корреляционный и регрессионный анализ;

группировка многомерных наблюдений;

дисперсионный анализ;

факторный анализ.

Методы недетерминированного анализа опираются на результаты специальных дисциплин. Традиционно сюда относятся математическая статистика и математическая логика. Для формальных методов, применяемых для недетерминированного анализа, можно указать следующие особенности:

они направлены на изучение косвенных связей, то есть на углубление анализа по факторам, для которых затруднительно указать прямую детерминированную модель.

обеспечивают возможность в случае необходимости сравнить влияние факторов, которые невозможно включить в одну и ту же детерминированную модель.

с применением этих методов модели составляются не путем теоретического анализа, а путем количественного анализа эмпирических данных.

Таким образом, недетерминированный подход опирается на обобщение закономерностей, варьирование значений показателей и количественных характеристик факторов.

Предпосылками применения указанной группы методов является:

возможность составить обучающую выборку;

возможность обеспечить качественную однородность обучающей выборки;

достаточность обучающей выборки;

существование методов, позволяющих выявить параметры связей экономических показателей из массовых данных варьирования уровня показателей;

обеспечение необходимых условий метода

Математический аппарат, применяемый в недетерминированных методах, предъявляет существенные требования к эмпирическому материалу. Выполнение этих требований является важной предпосылкой результативности этих методов и полезности получаемых результатов .

В таблице 4 приводится соответствие некоторых недетерминированных методов и их недостатков [3].

Таблица 4. Недетерминированные методы: методы-недостатки

	недостатки
	1	2	3	4	5
1.Экстраполяция временных рядов	+			+
2.Кластерный анализ
3.Факторный анализ		+	+
4.Построение многопараметрических моделей		+	+	+
5.Производственные функции		+	+	+
6.Методы группировки наблюдений				+	+
7.Дисперсионный анализ		+		+
8.Корреляционный и регрессионный анализ	+	+	+	+

Недостатки:

1.Проявление необоснованной взаимосвязи корреляционного характера.

2.Допущение о "нормальности" распределения случайных возмущений.

3.Необходимость в достаточном количестве статистического материала.

4.Процесс использования методов является "творческим".

5.Требования специальных методов.

Традиционное применение метода из этой группы, например метода производственных функций, для решения некоторой конкретной задачи экономического анализа, состоит из следующих шагов:

формирования цели анализа;

выборе множества показателей;

реализации основного алгоритма метода экономического анализа, определение так называемых параметров;

интерпретации полученных численных значений.

Показателями будем называть величины, являющиеся исходными данными при использовании экономико-математического метода анализа. Параметрами будем называть величины, получаемые в результате применения традиционных. приемов и методов экономического анализа.

Интерпретация рассчитанных значений, то есть получение конкретных выводов - это завершающая стадия анализа. Она представляется качественно весьма сложной и остается без внимания. Этот этап содержит определенное количество технических и методологических трудностей и требует вмешательства экономиста высокой квалификации.

Алгоритмы, которые осуществляют индуктивный вывод, можно отнести к рассматриваемой группе методов. Более того, реализацию индуктивного вывода в виде практических алгоритмов можно рассматривать как естественное развитие класса недетерминированных методов. Индуктивный вывод представляет собой построение специальных критериев или решающих правил для распознавания различных ситуаций, формирование содержательных обобщений, а также основу для построения специальной системы - советника.

Следует подчеркнуть, что применение алгоритмов индуктивного вывода не только расширяет группу недетерминированных методов, но открывает возможность оперативно и эффективно применять традиционные экономико-математические методы.

На основе высокого уровня автоматизации обработки экономической информации, использования существующих экономико-математических методов анализа и систематизации фактического материала с помощью алгоритмов автоматического обобщения можно говорить о новом подходе к построению методик (моделей) экономического анализа.

Использование алгоритмов индуктивного вывода для накопления фактического материала о конкретном объекте хозяйствования позволяет формировать такую методику анализа, на основе которой можно оперативно проводить оценку экономической ситуации.

Обоснованная формальная схема этапа интерпретации позволяет минимизировать определенные недостатки, связанные с методологическими моментами. Схема формальной интерпретации, построенная на основе применения алгоритмов индуктивного вывода, позволяет получать заключения на основе совокупности значений имеющихся показателей и параметров. Это не исключает присутствия экономиста, однако дает ему в руки дополнительный инструмент широкомасштабного оперативного анализа.

3.2 Реализация алгоритмов индуктивного вывода

Под индуктивным выводом или алгоритмом индуктивного вывода будем понимать такой алгоритм, который обеспечивает построение обобщений, формирование гипотез, конструирование формальных описаний конкретных знаний.

Индуктивный вывод рекомендуется использовать для плохоформализуемых задач, которые не удовлетворяют всем необходимым условиям, например статистическим допущениям. К причинам плохой формализации можно отнести следующие моменты.

недостаточное количество информации о самом моделируемом объекте;

неоднородность признаков, описывающих рассматриваемый объект;

сложность взаимосвязей между - отдельными компонентами объекта и подсистемами;

наличие противоречивой информации об объекте.

Первый этап развития методов индуктивного вывода состоял в использовании логик первого порядка и получении знаний от экспертов. В настоящее время актуальным является направление создания алгоритмов организации индуктивного вывода знаний исключительно из примеров.

Такие алгоритмы предназначены для прямого формирования обобщений, объясняющих все существующие факты. В своей основе они опираются на измерение количества информации в кибернетическом смысле, а также на различные виды логик.

Для экономического анализа такие алгоритмы представляют собой естественное продолжение группы методов недетерминированного анализа.

3.2.1 Обзор методов индуктивного вывода

Дедуктивный вывод или дедуктивное заключение определяется как переход от общего к частному, единичному. В противоположность дедуктивному существует семейство так называемых редуктивных заключений, которые обладают следующими признаками:

1.Между посылками и заключениями формируется связь, выражаемая в форме "если - то", логической основой которого является репликация. Если посылки редуктивного заключения истинны, то заключение может иметь значение "истинно", а может "ложно".

2.Редуктивные заключения не могут быть получены исключительно по формальным правилам, нельзя полностью абстрагироваться от содержания суждений.

Редуктивное заключение дает лишь относительную уверенность в том, что заключение истинно при истинности посылок.

Практический интерес представляет важнейший класс редуктивных заключений - индукция (см. иллюстрацию 2), которая делится на следующие виды [3]:

Энумеративная - когда для обоснования общего высказывания собирают единичные или частные высказывания.

Конструктивная - когда обобщение строится так, чтобы оно удовлетворяло всем имеющимся на данный момент частным фактам.

Элиминативная - обобщение производится на основе специальных аксиом, отражающих здравый смысл.

Иллюстрация 2.Классификация редуктивных заключений

Редукция:
Индукция
Энумеративная
полное перечисление
неполное перечисление
конструктивная
построение деревьев
построение функций
элиминативная (аксиоматическая)
Аксиома сходства
Аксиома различия . '
Аксиома остатков
Аксиома сопутствующих изменений
Абдукция

Кроме индуктивного вывода к редуктивным заключениям относится абдукция - поиск заключений по аналогии.

По применению математического аппарата алгоритмы индуктивного вывода подразделяются на:

конструктивные;

продукционные;

вероятностные;

логико-вероятностные.;

логические;

ассоциативные.

Наименование подхода	Вид обобщений
Конструктивный	дерево (решающее правило)
Продукционный	система продукций
Вероятностный	функциональная зависимость
Логико-вероятностный	логическая формула в эмпирическом исчислении
Логический	матрица причинно-следственных связей
Ассоциативный	сеть (например нейронная сеть)

После рассмотрения различных подходов и алгоритмов, осуществляющих индуктивный вывод, можно указать на невозможность прямого использования одного из них для построения методики экономического анализа.

Ниже полностью изложен алгоритм индуктивного вывода, реализующий конструктивный подход и предназначенный для практического использования.

3.2.2 Основной алгоритм

Рассмотрим задачу анализа экономического объекта, которая решается с определенной целью, выраженной в указании конкретного заключения, определяющего управленческое решение [5].

Задача анализа представляет собой определение и расчет совокупности показателей и параметров, адекватной интерпретации полученных значений и выборе необходимого заключения из множества допустимых (см рис. 6).

Рисунок 6. Алгоритм формирования решающего правила

Показатели и параметры

Основу анализа образует специальная система показателей, под которой понимается совокупность учетных и рассчитываемых величин. Собственно анализ представляет комплексное исследование, то есть одновременное и согласованное изучение совокупности величин, отражающих различные аспекты хозяйственных процессов и содержащих обобщающие выводы о результатах деятельности компании.

Все показатели можно разбить на первичные, собственно показатели, и вторичные, иначе называемые параметрами.

Система показателей:

Первичные показатели (показатели - Р)

показатели бухгалтерского учета, счета

статистические показатели.

другие учетные показатели

качественные показатели

Вторичные показатели (параметры - Q)

основные показатели, рассчитываемые показатели

показатели, рассчитываемые с применением традиционных приемов и методов анализа.

Для определенности все множество показателей и параметров, используемое для решения конкретной задачи экономического анализа будем обозначать X.

Х={Хi}, i=1,N. где N - общее число показателей и параметров.

Система показателей должна адекватно отражать специфику анализируемого объекта хозяйствования. Огромное число показателей, характеризующих финансовые и другие результаты деятельности, создает трудности для их системного рассмотрения. Различие в назначении показателей затрудняет выбор тех, которые в наибольшей степени удовлетворяют потребности в информации о реальном состоянии.

Множество допустимых заключений

Применение алгоритма индуктивного вывода требует представления задачи в специальном виде. Основную сложность представляет этап формирования множества допустимых заключений (МДЗ). Оно представляет собой исчерпывающую совокупность всех возможных результатов анализа. Это множество в скрытом виде отражает как собственные цели объекта, так и цели самого анализа.

Из практических соображений все множество допустимых заключений разбивают на подмножества - темы, каждая из которых отражает определенные особенности и имеет вполне определенное назначение.

К примеру, множество допустимых заключений можно разбить на три темы:

общая характеристика объекта анализа;

наименование факторов, определяющих основные положительные и отрицательные стороны анализируемого объекта, определяющие факторы;

наименование мероприятий, рекомендуемых в сложившейся ситуации исходя из имеющихся целей.

Пусть V - множество всевозможных заключений, которые характеризуют рассматриваемый экономический объект или явление.

V={Vi}, i=1,М где М - число различных тем, входящих в множество допустимых заключений.

С целью повышения надежности результатов должны быть сформулированы определенные требования к множеству допустимых заключений.

Определения

Задача экономического анализа - совокупность операций по формированию и обработке значений подмножества системы показателей экономического объекта с целью получения содержательных заключений.

Свойство - конкретная экономическая особенность, выраженная с помощью логической функции от показателей и параметров. Свойства образуются на основе множества элементарных свойств (А), которое задается специальным образом.

Информационная мера G(...,...) - функционал на предикатах, который каждому предикату aА ставит в соответствие вещественное значение g=G(а,...), gR

Решающее дерево - это разновидность решающего правила, которое в данном случае является бинарным деревом и представляет собой древовидную структуру, содержащую в своих узлах проверки условий. (см. рис. 7).

Узел дерева - это проверка некоторого условия, то есть расчет значения соответствующего предиката в зависимости от конкретного набора показателей и параметров.

a=а(Х₁, Х₂,... ,Х_n)

Узел может содержать также некоторое заключение (v_ij).

Лист дерева - завершающая, концевая вершина решающего правила, которая содержит конкретное заключение из множества допустимых заключений (v_ij).

Пороговым значением r_i^k или k-м пороговым значением параметра Хi называется величина, которая находится "между" соседними значениями параметра Хi базы фактов.

Расчет пороговых значений может производиться различными способами, например, следующим:

где v_i^k, v_i^k+1V_i

w^j - величина, аналогичная весу

Рисунок 7. Фрагмент решающего дерева с последовательным разбиением базы фактов

Информационная мера

Работа алгоритма индуктивного вывода основана на использовании информационной меры (см. рис.8). Она представляет собой функционал, который на каждом шаге построения решающего правила производит оценку информативности (полезности) имеющихся элементарных свойств.

Для конкретного свойства а функционал G(а), который и называется информационной мерой, рассчитывается следующим образом:

где а - элементарное свойство, т.е. логическая функция от показателей и параметров;

p - число примеров в базе фактов, на которых свойство а принимает значение «истинно»;

n - число примеров в базе фактов, на которых свойство а принимает значение «ложно»;

N_p - число групп различных значений заключений Y для той части базы фактов, на которой свойство а принимает значение «истинно»;

N_n - число групп различных значений заключений Y для той части базы фактов, на которой свойство а принимает значение «ложно»;

p_i =m_i/p, где m_i - число примеров, принадлежащих к i-й группе, находящейся в той части базы фактов, где свойство а принимает значение «истинно»;

q_i =m_i/n, где m_i - число примеров, принадлежащих к i-й группе, находящейся в той части базы фактов, где свойство а принимает значение «ложно».

Рисунок 8. Расчет информационной меры

Множество элементарных свойств

При формировании решающего правила алгоритм индуктивного вывода использует специальное множество - множество элементарных свойств, обозначим его через А.

Множество А образуют элементарные предикаты - логические функции от показателей и параметров простейшего вида. Они являются основой для построения более сложных.

С практической стороны множество элементарных свойств - это множество простейших реально существующих свойств экономического объекта или явления, которые образуют более сложные, содержательные.

Использование в качестве множества А элементарных свойств типа "сравнение показателя с пороговым значением" образует семейство сравнений следующего вида:

X_i<r_i^k где

X_i - величина показателя или параметра;

r_i^k - величина порогового значения.

В качестве элементарных свойств могут быть рассмотрены предикаты типа "сравнение значений показателей между собой":

X_i<X_j , где X_i ,X_j - значения показателей или параметров.

Дальнейшее расширение множества А может состоять в сравнении арифметических выражений показателей и параметров между собой и с пороговыми значениями. На самом деле, в качестве множества А может быть использовано любое количество логических функций на показателях и параметрах.

Характер множества элементарных свойств определяет многообразие решающих правил, а, соответственно, и многообразие содержательных свойств экономического объекта или явления, которые определяются (регистрируются) решающим правилом.

Пример

Оно может состоять из следующих подмножеств;

А = А₁А₂А₃А₄ , где

А₁ - сравнение параметров с пороговыми значениями;

А₂ - сравнение параметров между собой;

А₃ - сравнение арифметических выражений параметров с пороговыми значениями;

А₄ - сравнение арифметических выражений параметров между собой.

База фактов

Основой для построения решающего правила является база фактов, которая содержит значения показателей и параметров, а также соответствующие значения заключений.

Пусть Х - множество показателей и параметров, характеризующих экономический объект или явление.

Х={Х_i}, i=1,N где N - число параметров.

Пусть Y множество заключений, которые характеризуют рассматриваемый экономический объект или явление.

Y={Yj}, j=1,М где М - число тем.

Пусть V множество допустимых заключений.

V={Vj) , где Vj - множество заключений j-й темы, причем

Vj={Vj^-} , =1,Lj где Lj - число различных заключений j-й темы.

Множество фактов, состоящих из совокупности значений параметров, соответствующих экономической ситуации, и характеризующих их заключений, образуют базу фактов.

{Х₁^k, Х₂^k,...,Х_N^k, Y^k₁, Y^k₂,...,Y^k_M, W^k}, k=1,К,

где К - общее число записей в базе фактов;

W^k - значимость k-го факта.

Каждый факт, содержащийся в базе фактов, представляет собой соответствие совокупности значений показателей и параметров и множеству заключений из множества допустимых заключений.

F = {<X,Y>_f } = {<Х₁, Х₂, ... ,Х_N, Y₁, Y₂,...,Y_M, W>_f} .

Каждому отдельному факту f соответствует своя совокупность конкретных значений показателей и параметров. Каждое элементарное свойство из множества А принимает на этой совокупности значения "истинно" или "ложно".

aA a(<Х₁, Х₂, ... ,Х_N, Y₁, Y₂,...,Y_M, W>_f) = {"истинно" , "ложно"}

Предварительно для базы фактов следует провести специальное преобразование, которое состоит в следующем. Все одинаковые комбинации значений Хi, в том случае, если им соответствуют различные значения Yi, назовем "противоречивыми". Для каждой "противоречивой" комбинации значений параметров образуем специальное заключение - класс, который содержит все встречающиеся значения заключений со своими эмпирическими весами w_i.

w_i=q_i/Q, где Q - общее количество значений рассматриваемой "противоречивой" комбинации;

q_i - количество значений рассматриваемой "противоречивой" комбинации i-го типа.

Пример. На рисунке представлен простейший вариант предварительного преобразования базы фактов.

X1	X2	Y		X1	X2	Y
1	1	1		1	1	<1:2/3 , 2:1/3>
1	1	1		1	2	2
1	1	2		2	1	3
1	1	2
2	1	3

Построение дерева

Решающее правило в виде бинарного дерева строится на основе базы фактов, множества элементарных свойств и процедуры расчета информационной меры G. Собственно построение бинарного дерева производится по следующему алгоритму.

1. Находятся значения a^* и i^* , при которых информационная мера G достигает своего максимума, где А - множество элементарных свойств, М - число тем.

g^* = G(a^*, i^*) = max(max( G(a, i) | F)), aA i=1,M

g^* - значение максимума G-меры;

а^* - элементарное свойство, на котором G-мера достигает своего максимума;

i^* - номер темы, на котором G-мера достигает своего максимума.

Значение G(a, i) при аА и i=1,M рассчитывается по всей базе факторов F.

2. В качестве очередного (первого) узла бинарного дерева следует рассматривать элементарное свойство а^* (см. рис. 7)

Замечания

В общем случае существует подмножество элементарных свойств А^*А, такое что для любого аА^* G(a,i^*)=g^*

То есть все свойства из множества А^* имеют одинаковое максимальное значение информационной меры.

В этом случае в качестве узла дерева следует брать любое из свойств, принадлежащих множеству А^*.

Свойства из А^* - это наиболее информативные гипотезы, которые можно использовать различными способами. Наиболее очевидны следующие:

а) в узел дерева помещается элементарное свойство а^*, которое является наиболее простым (общим) в А^*.

б) в узел дерева помещается конъюнкция всех элементарных свойств из А^*: а^* = а , аА^*.

3. Элементарное свойство а^*, обладающее максимальной классифицирующей силой, разбивает фазу факторов F на две части:

F⁺(a^*) и F^-(a^*), причем F= F⁺(a^*) F^-(a^*), где

F⁺(a^*) - подмножество фактов, на котором элементарное свойство а^* принимает значение “истино”;

F^-(a^*) - подмножество фактов, на котором элементарное свойство а^* принимает значение “ложно”

Для сформированных частей базы фактов вновь производится поиск элементарного свойства и номера темы, на которых информационная мера достигает своего максимума.

а) F⁺(a^*)F

g^*₁ = G(b^*, j^*) = max(max( G(b, j) | F)), bA j=1,M

б) F⁺(a^*)F

g^*₂ = G(с^*, k^*) = max(max( G(с, k) | F)), cA k=1,M

далее переходим к шагу 1.

Итак, каждое полученное подмножество базы фактов рассматривается далее рекурсивно до момента остановки.

4. Если для текущей базы фактов F все заключения темы i^* имеют одинаковые значения равные v, то это значение помещается в узел дерева.

5. Остановка алгоритма производится в тот момент, когда в текущей базе фактов F все факты имеют одинаковые значения заключений

i i=1,M v^f1_i=v^f2_i , f1,f2F

и больше текущих баз фактов не осталось.

Особенности алгоритма

Приведенный алгоритм не содержит специальных требований к фактическому материалу, так как основан на измерении информации и логике. В связи с этим алгоритм обладает достаточной широтой применимости.

1.Более того, при достаточном фактическом материале алгоритм формирует решающее правило, которое сколь угодно точно приближает любую непрерывную функцию. Иными словами, если базу фактов заполнить табличными значениями некоторой непрерывной функции, то построенное решающее правило будет представлять ее ступенчатое приближение. Тем самым алгоритм обеспечивает асимптотическую сходимость к любой непрерывной функции.

2.Приведенный алгоритм полностью свободен от следующих недостатков:

неустойчивость к зашумленным данным;

отсутствие составных проверок и проверок, содержащих арифметические и логические функции;

невозможность сравнивать два показателя.

Это дает ему существенное преимущество при использовании в практических приложениях.

3.В отличие от алгоритмов вероятностного направления приведенный не требует теоретико-вероятностных допущений, а также построения специальных статистик и вероятностной логики.

4.Результатом работы алгоритма является бинарное дерево. В него входят:

Х - множество показателей и параметров;

А - множество элементарных свойств;

С(А)- множество проверяемых свойств, которые располагаются в узлах дерева;

V - множество заключений, находящихся в узлах и листьях дерева.

Построенное дерево может быть использовано также следующим образом. Для любого интересующего значения vV по дереву можно построить возможные интервалы изменения для каждого показателя и параметра x_iX.

Таким образом, может быть рассмотрена "обратная" задача анализа, то есть по конкретному заключению можно указать наименование параметров, которые используются при проверке, а также совокупность самих проверок, которые представляют собой отдельное множество.

Заключительные замечания по алгоритму

1.Алгоритм может быть использован для организации автоматического пополнения знаний в экспертных системах, предназначенных для анализа деятельности предприятия.

2.Представленный алгоритм индуктивного вывода позволяет повысить методологическую надежность экономического анализа за счет пересмотра и формализации некоторых моментов.

3.Практическое применение данного алгоритма целесообразно в интеллектуальной системе, которая организует и модифицирует анализ хозяйственной деятельности предприятия.

4.Особенности использования знаний экспертов.

При формировании базы фактов необходимо обращение к эксперту. Однако, настоящий подход предполагает взаимодействие с ним в виде, отличном от традиционного. Рассмотрим эти отличия.

а) Происходит изменение характера вопросов эксперту. Эксперт не отвечает на вопрос; "Как он это делает?", то есть не выдает методику, а работает в области фактических высказываний, отвечает на вопрос: "Что это такое?"

b) При ответах на вопросы, связанных с констатацией фактов, эксперт может оказаться в следующих ситуациях;

Если факт, относительно которого ему предстоит сделать заключение, является измеримой и наблюдаемой величиной, то это очень хорошо. В этом случае формируемое решающее правило - это научная формализация.

Если, факт, относительно которого эксперту предстоит высказаться, таковым не является, то эксперт опирается на множество известных ему методик, доводов, приемов и других оснований. В этом случае решающее правило является рациональным обобщением всех оснований, которыми пользуется эксперт.

Если эксперт опирается при ответе только на собственную интуицию, опыт, то результатом сформированного решающего правила будет формализация его интуитивной деятельности. Это представляет интерес для формализации и последующего активного использования его опыта.

3.2.3 Обоснование использования индуктивного вывода

Применение индуктивного вывода, как обобщения фактического материала, в экономическом анализе привлекательно по следующим причинам.

1. Основная причина состоит в особенностях заложенных собственно в самой индукции, как процедуре получения абсолютно нового полезного знания. Методику экономического анализа можно рассматривать как конкретный объект применения индуктивного вывода или результат использования такого вывода, который обобщает имеющийся фактический или псевдофактический материал.

2. Как следствие, в зависимости от особенностей алгоритма индуктивного вывода, формируемые конструкции представляют собой непротиворечивые и в каком-то смысле объективные обобщения (на самом деле, знания) ровно в том объеме, который дают принципы, на которых базируется сам алгоритм индуктивного вывода. Это могут быть, как аксиомы типа аксиом "здравого смысла", так и положения конкретных полноценных теорий, например, теории информации.

3. В том случае, если при формировании методики экономического анализа основываться на измерении информации в традиционном кибернетическом смысле, то это дает определенную уверенность в научности получаемых результатов, то есть объективности конструируемых методик экономического анализа. Сложности могут содержаться в сборе фактического материала.

4.Более того, никакой другой способ формирования методик, кроме индуктивного, не дает такого содержательного эффекта, который необходим на практике. Так дедуктивный подход, на самом деле, изначально предполагает существование знаний, которые используются при анализе. Поэтому, обеспечить построение методики достаточно содержательной и адекватной может только индукция.

5.Имеет место значительное количество менее принципиальных, но также весьма ощутимых причин, которые обусловливают использование индуктивного вывода.

Поскольку характер получаемых при анализе заключений определяется целями экономического объекта и целями проведения анализа, то при разработке методики имеет смысл сместить акцент именно на этап интерпретации аналитических показателей. Индуктивный вывод - это реальный инструмент для построения формализмов, с помощью которых может проводиться содержательное комплексное рассмотрение совокупности рассчитанных показателей, их интерпретации. Такой подход гарантирует устойчивость формируемых методик к изменениям в информативности показателей.

Использование индукции позволяет существенно увеличить скорость формирования методики экономического анализа. С одной стороны, повышается оперативность формирования модели знаний, так как это производится напрямую, на основе имеющегося фактического материала. Противоречивость имеющихся фактов, а также "пропущенные" данные не представляют для индуктивного обобщения серьезной опасности.

С другой стороны, сводятся к минимуму временные затраты, связанные с проведением собственно анализа, как интерпретации совокупности рассчитанных значений показателей и параметров. Это может автоматически проводиться на основе решающего правила.

Скорость, обеспечиваемая использованием алгоритмов индуктивного вывода, дает возможность отслеживать текущие изменения во внешних и внутренних условиях функционирования экономического объекта. Это выражается в учете последних фактов, отражающих все имеющиеся изменения, то есть настройка решающих правил на текущую ситуацию производится в реальном времени.

Так как основной алгоритм, предложенный в работе, опирается на формальную логику и классическое (кибернетическое) измерение количества информации, так что если в качестве исходного материала при формировании методики использовать полноценный фактический материал, то результатом работы алгоритма индуктивного вывода будет научно обоснованное формальное обобщение. Далее его можно использовать для проведения анализа. Применение подобного подхода позволяет сконцентрировать внимание на некоторых методологических проблемах, связанных с проверяемостью экономических утверждений, измеримостью и операциональным определением экономических переменных, а также фальсифицируемостью имеющихся результатов. Подобный подход позволяет работать одновременно с большим количеством числовых значений, что дает возможность применять для решения задач анализа большее количество экономико-математических методов. В процессе формального построения методики экономического анализа производится выявление информативных соотношений между показателями и параметрами, которые представляют собой содержательные гипотезы и выражены в виде логических функций на показателях и параметрах. На самом деле, соотношения подобного типа представляют собой формальное выражение некоторых реально существующих экономических свойств.

3.2.4 Выводы

Применение методов, реализующих индуктивный вывод, является естественным развитием недетерминированных методов экономического анализа, которое обусловлено развитием методов искусственного интеллекта и новых информационных технологий.

Использование алгоритмов индуктивного вывода для экономического анализа обладает следующими дополнительными особенностями.

1. Представленный подход, связанный с применением индуктивного вывода для формирования методик экономического анализа, может быть применим для проведения анализа хозяйственной деятельности на предприятии.

2. Подход позволяет преодолеть трудности этапа интерпретации большой совокупности показателей и параметров во время проведения анализа.

3. В результате использования алгоритма индуктивного вывода выделяются существенные информативные показатели, параметры и свойства.

4. Повышается надежность аналитических выводов в силу учета значений всех доступных показателей и параметров.

4 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТРУМЕНТАРИЯ

В данной части будет продемонстрирован пример работы алгоритма индуктивного вывода согласно теории, изложенной выше. Здесь не ставиться задача построения полноценной модели балльной оценки кредитоспособности заемщика, поскольку недостаток информации и опыта работы в банковском бизнесе, необходимые для этого, не дают возможности сделать это. Для реализации алгоритма будет использована программная оболочка first-class. Оболочка first-class предназначена для построения экспертных систем на основе индуцирования правил из примеров, составленных экспертом. Функциональным назначением оболочки является нахождение оптимального решения при заданном множестве базовых знаний и фактических данных. Рассмотрим вариант построения простого бинарного дерева. В нем каждый объект характеризуется двумя параметрами:

Х1 - коэффициент абсолютной ликвидности;

Х2 - коэффициент финансового рычага (в %).

Значение результата является качественной величиной и состоит из двух классов заключений V = {good, bad}, где good - хороший кредит, а bad - плохой кредит.

База фактов представлена в таблице 5

Таблица 5. База фактов F

№	X1	X2	Result
1	0,25	40	bad
2	0,3	40	good
3	0,1	60	good
4	0,2	70	good
5	0,2	30	bad
6	0,15	50	bad
7	0,25	65	good

Решающее дерево, построенное с помощью программы first-class по базе фактов (табл. 5) имеет следующий вид:

Поясним, как работает алгоритм индуктивного вывода на основе полученных результатов.

На первом этапе работы алгоритма определяется множество пороговых значений для базы фактов:

r₁¹ = 55 r₂¹ = 55

r₁² = 0,275 r₂² = 0,275

Величина информационной меры для простейших условий с пороговыми значениями выглядит следующим образом:

G(r₁¹) = -0,68291

G(r₂¹) = -0,32133 *

G(r₁²) = -0,59413

G(r₂²) = -0,68291

Здесь пороговое значение r₂¹ обладает наибольшей классифицирующей силой и разбивает базу фактов на два подмножества. Далее следует рассматривать два случая:

Случай «А».

Ему соответствуют факты с номерами: 3, 4, 7 (табл. 6)

Все примеры принадлежат одному классу {good}.

Таблица 6. База фактов F⁺ (Х2 55)

№	X1	X2	Result
3	0,1	60	good
4	0,2	70	good
7	0,25	65	good

Случай «Б».

Ему соответствуют факты с номерами 1, 2, 5, 6, которые принадлежат разным классам (табл. 7).

Таблица 7. База фактов F (Х2 55)

№	X1	X2	Result
1	0,25	40	bad
2	0,3	40	good
5	0,2	30	bad
6	0,15	50	bad

Пороговые значения для случая «Б»:

r₁¹ = 55

r₁² = 0,275

Информационная мера:

G(r₁¹) = -0,56234

G(r₁²) = 0

Выбираем порог r₁² как наиболее информативный. Разбиваем подмножество «Б» базы фактов на две части «Б1» и «Б2» (табл. 8 и 9).

Примеры каждой из полученных частей принадлежат одному классу. Таким образом, построение дерева завершено.

Таблица 8. База фактов F⁺ (Х1 0,275)

№	X1	X2	Result
2	0,3	40	good

Таблица 9. База фактов F (Х1 < 0,275)

№	X1	X2	Result
1	0,25	40	bad
5	0,2	30	bad
6	0,15	50	bad

Наглядно разбиение множества объектов на классы изображено на диаграмме 1.

Диаграмм 1. Пространство параметров

где через обозначены точки, соответствующие плохим кредитам, а через - точки, соответствующие хорошим кредитам.

Теперь - для сравнения - построим на исходной статистики (табл.5) двухфакторную модель следующего вида:

Result = aX1 + bX2 ,

где a, b - коэффициенты модели.

В качестве значений параметра Result будем использовать числовые значения 1, если заключение {bad}, и 2, если заключение {good}.

Построение осуществим в программной оболочке Statistica. Результаты построения модели приведены в Приложении №3. В итоге имеем модель со следующими параметрами:

Result = 1,791045X1 + 0,023881X2 (*)

Для графического отображения модели (*) на плоскости примем значение параметра result равным 1,5. При этом точки, соответствующие параметрам Х1 и Х2, которые лежат ниже построенной линии, будут относится к плохим кредитам, и, наоборот, точки выше линии будут относиться к хорошим кредитам (см. диаграмму 2)

Диаграмма 2. Пространство параметров

На диаграмме 2 хорошо видно, что факторная модель недостаточно четко разграничивает множество параметров на подмножества, относящиеся к хорошим и плохим кредитам. Заметим также, что линия разбивает пространство параметров на две плоскости. В отличии от этого, метод индуктивного вывода делит пространство уже на четыре плоскости, и тем самым более качественно выделяет параметры, относящиеся к разным классам заключений.

Приведенный пример является наипростейшим, так как использует всего два параметра, которые в свою очередь характеризуются числовыми значениями.

При возрастании набора показателей, в том числе и качественных, в значительной степени усложняется использование статистических методов построения моделей.

В этом случае алгоритм индуктивного вывода представляется более гибким, так как он может работать с большим количеством показателей разного рода, и при этом быть менее требовательным к количеству и качеству статистики по каждому из них.

Рассмотрим более сложную задачу, где будут фигурировать семь различных показателей и параметров, характеризующих деятельность компаний. К ним отнесем следующие:

Х1 - темпы роста рынка (подъем, зрелость, спад), на котором присутствует предприятие;

Х2 - спрос на продукцию (устойчивый, неустойчивый);

Х3 - зависимость от поставщиков (значительна, незначительна);

Х4 - коэффициент покрытия анализируемого кредитного продукта;

Х5 - коэффициент абсолютной ликвидности;

Х6 - чистая норма прибыли;

Х7 - коэффициент рентабельности активов;

В скобках указан фиксированный набор возможных вариантов значений показателей.

Расширим, по сравнению с первым примером, возможный класс заключений по предоставленным кредитам до трех вариантов: хороший кредит {good}, кредит с некоторыми отклонениями - удовлетворительный {satisfy}, плохой кредит {bad}.

Сформированная база фактов представлена в таблице 10.

Таблица 10. База фактов

№	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Y
1	подъем	неустойчивый	значительная	0,5	0,15	8%	6%	satisfy
2	зрелость	устойчивый	незначительная	0,5	0,2	15%	10%	good
3	спад	неустойчивый	незначительная	0,8	0,08	6%	5%	bad
4	зрелость	устойчивый	значительная	1,6	0,18	15%	12%	good
5	спад	неустойчивый	незначительная	0,5	0,07	2%	1%	bad
6	подъем	неустойчивый	незначительная	0,5	0,3	11%	3%	good
7	спад	устойчивый	незначительная	0,9	0,1	9%	6%	satisfy
8	спад	устойчивый	незначительная	0,7	0,2	13%	15%	good
9	зрелость	устойчивый	значительная	1,3	0,13	17%	12%	satisfy
10	подъем	неустойчивый	значительная	1,4	0,15	23%	9%	bad
11	зрелость	неустойчивый	незначительная	1	0,25	22%	16%	satisfy
12	спад	устойчивый	незначительная	1,5	0,2	16%	3%	bad
13	зрелость	устойчивый	значительная	0,6	0,15	10%	17%	good
14	подъем	неустойчивый	значительная	1,3	0,2	9%	11%	satisfy
15	подъем	устойчивый	незначительная	2	0,27	7%	7%	good

При использовании оболочки first-class получаем следующий вид дерева решений:

На иллюстрации видно, что коэффициент рентабельности активов (показатель Х7), обладая наибольшей классифицирующей силой, разбивает базу фактов на два подмножества второго уровня, где наибольшую силу имеют показатели абсолютной ликвидности (Х5) и спроса на продукцию (Х2), которые, в свою очередь, разбивают базу фактов на подмножества третьего уровня и т.д. Заметим, что показатель Х2 является качественной характеристикой.

В итоге имеем некоторую методику последовательного анализа деятельности предприятия и предельные интервалы показателей, характеризующих эту деятельность.

Этот пример нагляднее демонстрирует возможности применения алгоритмов индуктивного вывода, в частности, тех знаний, которые индуцируются с их помощью, для разработки различных методик экономического анализа, в том числе и для построения балльной системы оценки кредитоспособности заемщика.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ: ВЫВОД И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

Исследование в рамках дипломной работы, конечно, не могло охватить всю широту и многоаспектность проблемы поиска экономико-математических методов способных быстро и качественно строить и корректировать модели, используемые при оценки корпоративных заемщиков.

Исследования, затронутые в данной работе и касающиеся применения математических методов, основанных на алгоритмах индуктивного вывода, имеют элемент новизны и представляются одним из наиболее перспективных направлений развития недетермированных методов, применяемых в экономическом анализе.