Главная База знаний "Allbest" Экономико-математическое моделирование Трендовые и корреляционные модели

Трендовые и корреляционные модели

Изучение методов получения трендовых и корреляционных моделей, их основные виды. Определение тесноты связей между различными факторами и закономерностей развития описываемых событий. Графики результатов расчета по полученным корреляционным моделям.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 11.04.2012
Размер файла 559,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

"МАМИ"

Курсовая работа

"Трендовые и корреляционные модели"

(дисциплина "Информационные технологии в экономике")

Выполнил: студентка 5 курса

Проверил: д. т. н., проф.

Н.Т. Катанаев

Москва 2011

Содержание

  • Введение
  • 1. Задание по курсовой работе
  • 2. Выполнение задания по курсовой работе
  • 3. Определение простой средней арифметической ар:
  • 4. Трендовые модели
  • 4.1 Трендовые модели с линейной выравнивающей функцией
  • 4.2 Метод расчленения исходных данных динамического ряда
  • 4.3 Выравнивание методом наименьших квадратов (МНК)
  • 4.4 Выравнивание методом наименьших квадратов с переносом начала координат в середину динамического ряда
  • 4.5 Трендовые модели с квадратичной выравнивающей функцией
  • 4.6 Определение коэффициентов вариации трендовых моделей
  • 4.7 Интерполяция и экстраполяция (прогноз) по трендовой модели
  • 5. Корреляционные модели
  • 5.1 Корреляционная модель производственного процесса
  • 5.2 Линейная корреляционная модель
  • 5.3 Выравнивание квадратичной функцией
  • 5.4 Коэффициент корреляции конкурирующих описаний
  • 5.5 Использование модели в оптимизационной задаче
  • 6. Графическое изображение результатов расчета по различным конкурирующим моделям
  • 7. Проверка правильности выполнения работы
  • 8. Графики результатов расчета по полученным корреляционным моделям
  • Заключение
  • Литература

Введение

Экономико-статистические модели (ЭСМ) на сегодняшний день являются одним из основных инструментов анализа финансово-производственной деятельности экономических субъектов, а также установления тесноты взаимосвязей между элементами этих субъектов. Цель их применения - это возможность правильно выбрать решение в условиях неопределенности сложившейся ситуации, умение спрогнозировать и предугадать социально-экономические явления, сделать правильные выводы и внести коррективы в управление экономическим процессом.

Исследования связей осуществляются в условиях массового наблюдения при действии случайных факторов и формализуются они в виде экономико-статистических моделей. В широком смысле модель - это аналог или условный образ какого-либо объекта, процесса или события, приближенно воссоздающий "оригинал". Модель представляет собой логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса. Она даёт возможность установить основные закономерности изменения функциональных и статистических связей оригинала. В модели оперируют количественными и качественными показателями однородных массовых явлений - совокупностей. Статистические связи устанавливаются при расчёте средних значений моделируемого показателя по набору множества значений доминирующих факторов. Эти связи позволяют выявить степень воздействия как отдельных факторов, так и всей совокупности факторов, на изучаемый процесс.

Целью данной курсовой работы является изучение методов получения таких ЭСМ, как трендовые и корреляционные модели, а также определение с их помощью тесноты связей между различными факторами и закономерностей развития описываемых событий.

1. Задание по курсовой работе

1. Составить таблицу исходных данных производительности завода по годам в интервале 1, где N - количество лет, подлежащих исследованию. Производительность формируется в соответствии с моделью:

a0 + a1t + a2f (t), 0<t7 (0.1)

Yt =

Yt=7 - 0,5a1 (t-7) + a2f (t), 7<t13, (0.2)

где:

a0 = 10v, v - номер варианта (Иллариошина - 6);

a1 = v + 0,2Г, Г - номер группы (последние цифры в номере группы, например, для группы 9ЭФМа-4 принять Г = 4);

a2 = 0,5v;

sin 1,57t для четных v

f (t) =

сos 1,57t для нечетных v

Для упрощения расчетов воспользоваться следующей таблицей (0.1)

Таблица (0.1)

t

Sin 1,57t

Cos 1,57t

0

4

8

12

0

1

1

5

9

13

1

0

2

6

10

0

-1

3

7

11

-1

0

2. Определить простую среднюю арифметическую;

3. Получить трендовую модель с выравнивающей функцией = A + Bt способами:

3.1 расчленением динамического ряда на 2 части;

3.2 выравниванием методом наименьших квадратов;

3.3 методом наименьших квадратов (МНК) с подбором начала отсчета в середине динамического диапазона.

4. Провести выравнивание по квадратичной формуле = A + Bt + Ct2 методом наименьших квадратов с подбором начала отсчета в середине динамического диапазона;

5. С использованием коэффициента вариации определить точность полученных МНК линейной и параболической трендовых моделей;

6. Выбрать из конкурирующих достоверную модель и провести интерполяцию уровня динамического ряда при t = 10,5 и экстраполяцию (прогноз) при t = 15;

7. Построить корреляционную модель следующего производственного процесса: пусть 13 одноотраслевых заводов выпускают однотипную продукцию Yx в некоторых условных единицах. Производительность завода связана с количеством рабочих хi на заводе. Определить уравнение связи между объемом выпускаемой продукции Yx и количеством хi рабочих на заводе: Yx = f (xi).

В качестве исходных в таблице данных принять исходную расчетную таблицу для трендовых моделей, осуществив замену:

Yx = Yt

хi = 100 ti.

Для упрощенных расчетов перейти к новой независимой переменной:

xi = X i / 100;

8. Определить коэффициент корреляции конкурирующих описаний;

9. Найти оптимальное количество рабочих на заводе, обеспечивающее максимальный выпуск продукции;

10. Представить график исходных данных, а также графическое изображение результатов корреляционного моделирования.

трендовая корреляционная модель

2. Выполнение задания по курсовой работе

1. Таблица исходных данных производительности завода по годам в течение 13 лет.

Задание дается для группы 9ЭФМа-4. Фамилия студента (Иллариошина) в списке группы включена под четным номером 56. Тогда в соответствии с заданием коэффициенты исходной модели примут значения:

v = 6; Г = 4; N=13;

а0 = 10?v = 60;

a1 = v + 0,2?Г = 6 + 0,2?4 =6,8;

a2=0,5?v = 0,5?6 = 3;

f (t) = sin 1,57t.

Модель производительности завода (уравнения (0.1) и (0.2)) с учетом значений подсчитанных коэффициентов примет вид:

60 + 6,8t + 3sin1,57t,0 < t ? 7;

Yt=Yt=7 - 0,5?6,8? (t - 7) + 3 sin 1,57t,7 < t ? 13.

Значения sin 1,57t при изменении аргумента t от 0 до 13 определяются из таблицы (0.1).

Расчет значений производительности предприятия по годам определяется по вышеприведенным формулам:

Yt=1= 60+6,8*1+3*sin (l.57*1) =60+6.8+3*1=69,8;

Yt=2=60+6,8*2+3*sin (l.57*2) =60+13,6+3*0=73,6;

Yt=3=60+6,8*3+3*sin (l.57*3) =60+20,4+3* (-1) =77,4

Yt=4=60+6,8*4+3*sin (l.57*4) =60+27,2+3*0=87,2

Yt=5=60+6,8*5+3*sin (l.57*5) =60+34+3*1=97

Yt=6=60+6,8*6+3*sin (l.57*6) =60+40,8+3*0=100,8

Yt=7=60+6,8*7+3*sin (1.57*7) =60+47.6+3* (-1) =104,6; Yt = 7 =104,6;

Yt=8=104,6-0.5*6,8* (8-7) +3*sin (1.57*8) =101,2;

Yt=9=104,6-0.5*6,8* (9-7) +3*sin (1.57*9) =100,8;

Yt=10=104,6-0.5*6,8* (10-7) +3*sin (1.57*10) =94,4;

Yt=11=104,6-0.5*6,8* (11-7) +3*sin (1.57*11) =88;

Yt=12=104,6-0.5*6,8* (12-7) +3*sin (1.57*12) =87,6;

Yt=13=104,6-0.5*6,8* (13-7) +3*sin (1.57*13) =87.2;

Полученные значения включаем в таблицу 1 при этом дополнительно включаем в нее во второй столбец t2 и в четвертый столбец произведение Ytt, необходимые для дальнейших расчетов.

Таблица исходных данных Таблица 1

1

2

3

4

t

t2

Yt

Ytt

1

1

69,8

69,8

2

4

73,6

147,2

3

9

77,4

232,2

4

16

87,2

348,8

5

25

97

485

6

36

100,8

604,8

7

49

104,6

732,2

8

64

101,2

809,6

9

81

100,8

907,2

10

100

94,4

944

11

121

88

968

12

144

87,6

1051,2

13

169

87,2

1133,6

? t=91

? t2 =819

?Yt =1169,6

?Ytt = 8433,6

3. Определение простой средней арифметической ар:

ар= ?Yt/ N; (1)

ар = 1169,6/13;

ар = 89,97.

4. Трендовые модели

4.1 Трендовые модели с линейной выравнивающей функцией

Основная цель анализа состоит в подборе параметров выбранной выравнивающей функции таким образом, чтобы суммарные отклонения результатов эксперимента Yt от результатов, полученных по идентифицированной корреляционной функции , равнялись нулю.

Используя в качестве выравнивающей линейную функцию, получим трендовую модель следующими способами.

4.2 Метод расчленения исходных данных динамического ряда

Делим динамический ряд 1 на количество частей, равное количеству неизвестных коэффициентов выравнивающей функции.

Получим трендовую модель с выравнивающей функцией

= A + Bt (2)

Запишем функцию цели:

S = (Yt - ) =0 (3)

Подставим (2) в (3)

S = (Yt - A - Bt) =0 (4)

Расчленим динамический ряд на 2 части (по числу определяемых коэффициентов - А и В).

Приведем систему исходных уравнений, записанных для каждой из двух частей:

(Yt - A - Bt) =0; (5)

(Yt - A - Bt) =0. (6)

Теперь перейдем к системе нормальных уравнений:

Аt1+Bt=; (7)

A (N-1) +Bt=Yt. (8)

Первая часть (см. табл.1) составлена по годам от 1 до 6, а вторая - от 7 до 13, так, что t=1, t1=6, t1+1=7, N=13.

Подставив в уравнение (7) подсчитанные для первой части табл.1 суммы: t; Yt, и в уравнение (8) для второй части - суммы: t; Yt, получим:

6A + 21B = 505,8 (9)

7A + 70B = 663,8 (10)

Выразим из уравнения (10) параметр А:

A= 94,83-10B (11)

Подставим (11) в уравнение (9), получим

6 (94,83-10В) +21В=505,8. Откуда:

B=1.62 (12)

Подставим (12) в (9), получим

A=78,63 (13)

Линейная корреляционная функция окончательно примет вид:

=78,63+1.62t. (I) (14)

4.3 Выравнивание методом наименьших квадратов (МНК)

В качестве целевой функции в данном методе используется функционал

S = (Yt - ) 2 > min, (15)

представляющий собой минимизируемую сумму квадрата отклонений экспериментальных значений Yt от соответствующих результатов, полученных по выравнивающей функции . Принципиальные отличия функционала (15) от (3) состоят в следующем. Для функционала (3) весь диапазон исходных данных приходится разбивать на равные части, количество которых должно быть равно количеству определяемых коэффициентов выравнивающей функции (А, В, С и т.д.).

В функционале (15) интервал суммирования охватывает весь диапазон от t=1 до t= N и сам функционал стремится к min, а разность (Yt - ) возводится в квадрат.

Примем в качестве выравнивающей линейную функцию

= A + Bt (16)

Так как мы используем весь заданный интервал для t (от 1 до 13), то при написании знака суммы пределы суммирования опустим.

Подставим (16) в (15)

S=? (Yt - A - Bt) 2>min. (17)

Функционал (17) содержит два неизвестных коэффициента (АиВ). Для получения двух уравнений запишем частные производные функционала по неизвестным коэффициентам:

= 2 ? (Yt - A - Bt) * (-1) =0, (18)

= 2 ? (Yt - A - Bt) * (-t) =0. (19)

Перепишем эту систему в виде нормальных уравнений

NА + В?t = ?Yt, (20)

А?t + В?t2 = ?Ytt. (21)

Подставим в полученную систему из табл.1 расчетные параметры: ?t; ?Yt; ?t2; ?Ytt:

13A+91B=1169,6; (22)

91A+819B=8433,6. (23)

Решением системы уравнений (22) и (23) является результат:

A= 80,52, B=1,35. (24)

Полученное уравнение тренда примет вид:

= 80,52+1,35t. (II) (25)

4.4 Выравнивание методом наименьших квадратов с переносом начала координат в середину динамического ряда

В этом случае начало координат переносится в середину динамического ряда таким образом, чтобы количество значений аргумента слева от начала координат было равно количеству значений справа. Для нашего случая середина диапазона изменения аргумента совпадает с точкой t=7. Эта точка принимается за нуль. Тогда слева от нуля записываются отрицательные значения времени (по годам), справа - положительные. В этом случае сумма нечётных степеней аргумента равна нулю

?t= ? t3 = ?t5= …0. (26)

Пусть в качестве выравнивающей принята линейная функция:

= A + Bt (27)

Тогда система нормальных уравнений примет вид

NА + В?t = ?Yt, (28)

А?t + В?t2 = ?Ytt. (29)

С учетом (26) система уравнений (28) - (29) запишется как:

NА= ?Yt, (30)

В?t2 = ?Ytt. (31)

Составим новую таблицу данных в связи с переносом оси ординат в середину диапазона аргумента t, то есть в точку t=7:

Таблица 2

1

2

3

4

5

6

t

t2

Yt

Ytt

t4

Ytt2

-6

36

69,8

-418,8

1296

2512,8

-5

25

73,6

-368

625

1840

-4

16

77,4

-309,6

256

1238,4

-3

9

87,2

-261,6

81

784,8

-2

4

97

-194

16

388

-1

1

100,8

-100,8

1

100,8

0

0

104,6

0

0

0

1

1

101,2

101,2

1

101,2

2

4

100,8

201,6

16

403,2

3

9

94,4

283,2

81

849,6

4

16

88

352

256

1408

5

25

87,6

438

625

2190

6

36

87,2

523,2

1296

3139,2

?t=0

?t2=182

?Yt = 971.3

?Ytt=246,4

?t4=4550

?Ytt2=14956

Подставив в (30) и (31) вычисленные в табл.2 значения: ?Yt, ?t2, ?Ytt, получим:

13A = 1169,6

182B = 246,4

Откуда

A=89,97; B=1,35. (32)

Таким образом, трендовая модель может быть записана как:

=89,97+1.35. (III) (33)

4.5 Трендовые модели с квадратичной выравнивающей функцией

Выравнивание по квадратичной функции осуществим методом наименьших квадратов с началом отсчёта в середине динамического диапазона. Это задание решается аналогично двум предыдущим. Запишем функционал

S =? (Yt - ) 2>min. (34)

Пусть выравнивающая функция представлена квадратичной функцией

=A+Bt+Сt2. (35)

Подставим (35) в (34)

S=? (Yt - A - Bt - Сt2) 2>min. (36)

Запишем (36) в частных производных по искомым параметрам А, В и С:

= 2 ? (Yt - A - Bt - Сt2) * (-1) =0, (37)

= 2 ? (Yt - A - Bt - Сt2) * (-t) =0, (38)

= 2 ? (Yt - A - Bt - Сt2) * (-t2) =0. (39)

В нормальной форме система уравнений (37) - (39) может быть представлена в виде

NА + В?t + С?t2 = ?Yt, (40)

А?t + В?t2 +С?t3 = ?Ytt, (41)

А?t2 + В?t3 +С?t4 = ?Ytt2. (42)

Так как ?t=?t3=0, то система нормальных уравнений примет вид:

NА + С?t2 = ?Yt, (43)

В?t2 = ?Ytt, (44)

А?t2 +С?t4 = ?Ytt2. (45)

Подставим данные табл.2 в систему урав нений (43) - (45) и получим:

13A + 182C = 1169,6;

182B = 246,4;

182A + 4550C = 14956.

Решение этой системы уравнений дает возможность получить искомые коэффициенты:

A = 99,77; B = 1.35; C = - 0.7. (46)

Тогда квадратическая трендовая модель примет вид:

= 99.77+ 1.35t - 0.7t2. (IV) (47)

4.6 Определение коэффициентов вариации трендовых моделей

С использованием коэффициентов вариации Vr по формуле (48) определим точность полученных методом наименьших квадратов линейной модели-11 (уравнение (25)) и параболической модели-1V (уравнение (47))

Vr= (48)

Исходные данные для расчета входящих в уравнение (48) составляющих параметров представлены в таблице 3.

Таблица 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t (2)

t (4)

Yt

Yt модель-11

Yt-

(Yt-) 2

Yt модель1V

Yt-

(Yt-) 2

1

-6

69,8

81,7

-11,9

141,61

66,47

3,33

11,0889

2

-5

73,6

83,05

-9,45

89,3025

75,52

-1,92

3,6864

3

-4

77,4

84,4

-7

49

83,17

-5,77

33,2929

4

-3

87,2

85,75

1,45

2,1025

89,42

-2,22

4,9284

5

-2

97

87,1

9,9

98,01

94,27

2,73

7,4529

6

-1

100,8

88,45

12,35

152,5225

97,72

3,08

9,4864

7

0

104,6

89,8

14,8

219,04

99,77

4,83

23,3289

8

1

101,2

91,15

10,05

101,0025

100,42

0,78

0,6084

9

2

100,8

92,5

8,3

68,89

99,67

1,13

1,2769

10

3

94,4

93,85

0,55

0,3025

97,52

-3,12

9,7344

11

4

88

95,2

-7,2

51,84

93,97

-5,97

35,6409

12

5

87,6

96,55

-8,95

80,1025

89,02

-1,42

2,0164

13

6

87,2

97,9

-10,7

114,49

82,67

4,53

20,5209

=91

=0

?Y= 1169,6

Yt=80,52+1,35t

?=1168,215

Yt=99.77+ 1.35t - 0.7t2

?=163,0627

Фрагменты расчета исходных данных для таблицы 3:

=80,52+1.35tYt-

Yt1=80,52+1,35*1=81,7 69,8 - 81,7=-11,9

Yt2=80,52+1,35*2=83,05 73,6 - 83,05= - 9,45

Yt3=80,52+1,35*3=84,4 77,4 - 84,4= - 7

Yt4=80,52+1,35*4=85,75 87,2 - 85,75=1,45

Yt5=80,52+1,35*5=87,1 97 - 87,1=9,9

Yt6=80,52+1,35*6=88,45 100,8 - 88,45=12,35

Yt7=80,52+1,35*7=89,8 104,6 - 89,8=14,8

Yt8=80,52+1,35*8=91,15 101,2 - 91,15=10,05

Yt9=80,52+1,35*9=92,5 100,8 - 92,5=8,3

Yt10=80,52+1,35*10=93,85 94,4 - 93,85=0,55

Yt11=80,52+1,35*11=95,2 88 - 95,2= - 7,2

Yt12=80,52+1,35*12=96,55 87,6 - 96,55= - 8,95

Yt13=80,52+1,35*13=97,9 87,2 - 97,9 = - 10,7

= 99,77+ 1,35t - 0.7t2 Yt-

Yt1=99,77+1.35 (-6) - 0.7*36=66,47 69,8 - 66,47=3.33

Yt2=99,77+1.35 (-5) - 0.7*25=75,5273,6 - 75,52= - 1.92

Yt3=99,77+1.35 (-4) - 0.7*16=83,1777,4 - 83,17= - 5.77

Yt4=99,77+1.35 (-3) - 0.7*9=89,4287,2 - 89,42=-2,22

Yt5=99,77+1.35 (-2) - 0.7*4=94,2797 - 94,27= 2,73

Yt6=99,77+1.35 (-1) - 0.7*1=97,72 100,8 - 97,72=3,08

Yt7=99,77+1.35*0-0.7*0=99,77 104,6 - 99,77=4.83

Yt8=99,77+1.35*1-0.7*1=100,42 101,2 - 100,42=0,78

Yt9=99,77+1.35*2-0.7*4=99,67 100,8 - 99,67= 1,13

Yt10=99,77+1.35*3-0.7*9=97,52 94,4 - 97,52= - 3,12

Yt11=99,77+1.35*4-0.7*16=93,97 88 - 93,97= - 5,97

Yt12=99,77+1.35*5-0.7*25=89,0287,6 - 89,02=-1,42

Yt13=99,77+1.35*6-0.7*36=82,6787,2 - 82,67=4,53

Расчеты по формуле (48) с использованием данных таблицы 3 позволили получить следующие результаты.

Линейная трендовая модель - 11

Vr= v (1168,215/ 13) / 89,97?100% = 10,5%

Квадратичная трендовая модель - 1V

Vr= v (163,0627/13) / 89,97?100% = 3,9%

Чем меньше процентное отношение, тем точнее модель. Из двух сравниваемых моделей следует отдать предпочтение модели - IV. Поэтому дальнейшие исследования будем проводить с использованием модели - IV, представленной уравнением (47).

4.7 Интерполяция и экстраполяция (прогноз) по трендовой модели

Осуществим интерполяцию выпуска продукции при t=10,5 и экстраполяцию (прогноз) при t=15 с помощью полученной трендовой модели.

Поскольку из двух конкурирующих моделей наиболее достоверной является квадратичная трендовая модель, все расчетные исследования будем проводить именно с этой моделью, поочередно подставляя значения t = 10.5 и t= 15 в модель - 1V или в уравнение (47). Так как наша модель готовилась со смещением начала координат вправо на 7 лет, а значения даны в абсолютной системе координат, то при вычислении мы будем из значений t вычитать 7. Таким образом: при t = (10,5 - 7):

= 99.77+1,35t-0.7t2=99.77+1.35 (10.5-7) - 0.7 (10.5-7) 299,77+4.75-8,575=95,92.

Это значит, что на 10,5 году объем производства составит 95,92 у. е.

При t = (15 - 7)

=99,77+1.35t-0.7t2=99,77+1.35 (15-7) - 0.7 (15-7) 2=99,77+10,8-44.8=65,77.

Предполагается, что на 15 году объем производства составит по прогнозу 65,77 у. е.

5. Корреляционные модели

5.1 Корреляционная модель производственного процесса

Пусть 13 одноотраслевых заводов выпускают однотипную продукцию Yx в некоторых условных единицах. Производительность завода связана с количеством рабочих Xi зависимостью

Yx = f (Xi).

Определить уравнение связи между объемом выпускаемой продукции Yx и количеством рабочих на заводе Xi.

В качестве исходной примем исходную расчетную таблицу 2 для трендовых моделей, осуществив замену:

Yx = Yt; Xi = 100ti

xi = 100-1?Xi.

5.2 Линейная корреляционная модель

Поскольку мы используем весь заданный интервал для х (от 1 до 13), при написании пределов суммы не будем указывать параметры интервала.

Запишем функционал:

S=? (Yх-) 2>min. (49)

В качестве выравнивающей примем линейную функцию

=A+Bх. (50)

Тогда (49) с учетом (50) примет вид

S=? (Yх - A - Bх) 2>min. (51)

Частные производные по искомым параметрам А и В запишутся в виде системы:

= 2 ? (Yх - A - Bх) * (-1) = 0, (52)

= 2 ? (Yх - A - Bх) * (-х) = 0. (53)

Откуда можно записать систему нормальных уравнений

NА + В? х = ?Yх, (54)

А? х+ В? х 2 = ?Yх х. (55)

Подставим известные из таблицы 4 значения ? х, ?Yх, ? х 2 и ?Yх х в уравнения (54) и (55), получим:

13A + 91B = 1169,6, (56)

91A + 819B = 8433,6. (57)

Решение этой системы дает:

A=80,52; B=1.35. (58)

Таким образом, линейная корреляционная модель представляет собой уравнение:

=80,52+1,35х. (V) (59)

5.3 Выравнивание квадратичной функцией

Как и в предыдущих задачах, решение начинается с записи функционала:

S=? (Yх - ) 2>min. (60)

Далее записывается уравнение выравнивающей функции в виде полинома второго порядка

=A+B х +С х 2. (61)

Уравнение (61) подставляется в (60)

S=? (Yх - A - B х - С х 2) 2>min. (62)

Затем записываются частные производные по искомым параметрам: А, В и С

= 2 ? (Yх - A - Bх - Сх2) * (-1) =0, (63)

= 2 ? (Yх - A - Bх - Сх2) * (-t) =0, (64)

= 2 ? (Yх - A - Bх - Сх2) * (-х2) =0. (65)

Систему (63) - (65) преобразуем в систему нормальных уравнений

NА + В? х + С? х 2 = ?Yх, (66)

А? х + В? х 2 +С? х 3 = ?Yх х, (67)

А? х 2 + В? х 3 +С? х 4 = ?Yх х 2. (68)

Так как мы используем метод наименьших квадратов с переносом оси ординат в середину диапазона аргумента (то есть в точку х=7), то слева от нуля записываются отрицательные значения аргумента х, справа - положительные. В этом случае сумма нечётных степеней аргумента равна нулю (?х=? х 3 = …=0).

Таким образом, система уравнений примет вид:

NА + С? х 2 = ?Yх, (69)

В? х 2 = ?Yх х, (70)

А? х 2 +С? х 4 = ?Yх х 2. (71)

Составим новую таблицу 4 данных в связи с переносом оси ординат в середину диапазона аргумента, то есть в точку х =7.

Таблица 4

1

2

3

4

5

6

7

Xi

x

x2

X4

Yx

Yxx

Yxx2

100

-6

36

1296

69,8

-418,8

2512,8

200

-5

25

625

73,6

-368

1840

300

-4

16

256

77,4

-309,6

1238,4

400

-3

9

81

87,2

-261,6

784,8

500

-2

4

16

97

-194

388

600

-1

1

1

100,8

-100,8

100,8

700

0

0

0

104,6

0

0

800

1

1

1

101,2

101,2

101,2

900

2

4

16

100,8

201,6

403,2

1000

3

9

81

94,4

283,2

849,6

1100

4

16

256

88

352

1408

1200

5

25

625

87,6

438

2190

1300

6

36

1296

87,2

523,2

3139,2

?x=

182

?x4=

4550

?Yt =1169,6

?Yхх= 246,4

?Yхх2= 14956

Подставим известные нам значения из таблицы 4 и получим:

13A + 182C = 1169,6; (72)

182B = 246,4; (73)

182A + 4550C = 14956. (74)

Из (73) получим:

B=1.35.

Уравнения (72) (74) сводятся к системе:

13A+182C=1169,6

A+25C=82,18,

Из которой определены коэффициенты А и С:

A = 99,77; C= - 0,7.

Таким образом, уравнение корреляции с квадратической выравнивающей функцией имеет вид:

= 99,77 + 1,35х - 0,7х2. (VI) (75)

5.4 Коэффициент корреляции конкурирующих описаний

Оценка силы связи аргумента с функцией осуществляется с помощью коэффициента корреляции r, определяемого из выражения:

, (76)

где: , , 0 ? r ? 1. (77)

Для расчета значений коэффициентов корреляции для моделей (V) и (VІ) по формулам (76) и (77) составлена таблица 5:

Таблица 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Yx

Yx-Yар

(Yx-Yар) 2

Yx (V)

Yx-

(Yx-) 2

Yx (VІ)

Yx-

(Yx-) 2

69,8

-20,17

406,8289

81,7

-11,9

141,61

66,47

3,33

11,0889

73,6

-16,37

267,9769

83,05

-9,45

89,3025

75,52

-1,92

3,6864

77,4

-12,57

158,0049

84,4

-7

49

83,17

-5,77

33,2929

87,2

-2,77

7,6729

85,75

1,45

2,1025

89,42

-2,22

4,9284

97

7,03

49,4209

87,1

9,9

98,01

94,27

2,73

7,4529

100,8

10,83

117,2889

88,45

12,35

152,5225

97,72

3,08

9,4864

104,6

14,63

214,0369

89,8

14,8

219,04

99,77

4,83

23,3289

101,2

11,23

126,1129

91,15

10,05

101,0025

100,42

0,78

0,6084

100,8

10,83

117,2889

92,5

8,3

68,89

99,67

1,13

1,2769

94,4

4,43

19,6249

93,85

0,55

0,3025

97,52

-3,12

9,7344

88

-1,97

3,8809

95,2

-7,2

51,84

93,97

-5,97

35,6409

87,6

-2,37

5,6169

96,55

-8,95

80,1025

89,02

-1,42

2,0164

87,2

-2,77

7,6729

97,9

-10,7

114,49

82,67

4,53

20,5209

?Yх=1169,6

Yар=89,97

?=1501,4277

Yх=80,52+1,35х

?=1168,215

Yх=99,77+1,35х-0,7х2

?=163,0627

Для квадратичной корреляционной функции (VI)

= 99,77 + 1,35х - 0,7х2

Находим

у2 y =1501,4277/13=115,49; у2 yx =163,0627/13=12,54

r = v (115,49 - 12,54) / 115,49 = 0,94.

Для линейной функции (V)

=80,52+1.35x

дисперсии равны следующим величинам:

у2 y =1501,4277/13 = 115,49; у2 yx =1168,215/13 =89,86

Коэффициент корреляции оказался равным

r =v (115,49 - 89,86) /115,49 = 0,47.

По результатам выполненных расчетов видно, что более достоверной является квадратичная корреляционная модель (V1), т.к. ее коэффициент корреляции выше (r = 0,94).

5.5 Использование модели в оптимизационной задаче

Полученная корреляционная модель

= 99,77 + 1,35х - 0,7х2

имеет экстремум и может быть использована в оптимизационных процедурах.

dYx/dx=1,35 - 2*0,7x

Откуда

xопт = 1.35/ 1.4= 0,96.

Так как ось ординат смещена на величину (х +7), то хопт = 0,96+7=7,96

Хопт = хопт *100=7,96*100=796

(оптимальное количество рабочих на заводе).

Подставим полученное значение хопт в уравнение модели (V1) мы найдём оптимальный выпуск продукции:

max =99,77+1.35*0,96-0.7 (0,96) 2= 99,77+1.296-0.6451=100,42

При оптимальном количестве рабочих на заводе, равном 796 человеку, максимальный выпуск продукции составит 100,42 условных единиц.

6. Графическое изображение результатов расчета по различным конкурирующим моделям

График статистической зависимости с линией тренда, апроксимированной полиномом 2 порядка, и с указанием коэффициента детерминации R2

Рис.1

Уравнение линии тренда, апроксимированной полиномом 2 порядка, с указанием коэффициента детерминации R2 имеет вид:

y= - 0,7085x2+11,273x+55,695

R2 =0,8915

График статистической зависимости с линией тренда, апроксимированной полиномом 1 порядка

Рис.2

Уравнение линии тренда, апроксимированной полиномом 1 порядка имеет вид:

y=1,3538x+80,492

R2=0.2222

7. Проверка правильности выполнения работы

Проверка правильности выполнения работы осуществляется путем сравнения результатов, полученных при прямом аналитическом моделировании (пункты 2 - 6) и при моделировании с помощью электронных таблиц Excel (пункт 8).

Сравниваются между собой полученные различными аппаратными средствами уравнения регрессии и характеристики силы связи между переменными (пары линейных трендов: А,1 и А,2, а также пары квадратичных трендов: В,1 и В,2)

1 Y =80,52+1.35х

r=0,47

A

2 y = 1,3538x + 80,492;

R2 = 0,2222.

1 Y =99,77+1,35х-0,7x2

r=0,94

B

2 y = - 0,7085x2+11,273x+55,695

R2 = 0,8915.

8. Графики результатов расчета по полученным корреляционным моделям

На рисунке 3 представлены результаты расчетов по различным конкурирующим описаниям. Кривые динамических моделей изображены в осях (Yt - t), кривые корреляционных моделей - в осях (Yx - x). При переходе к количеству рабочих X необходимо произвести пересчет X=100x.

График дополнен таблицей с результатами расчетов по уравнениям конкурирующих описаний. Это в существенной мере упрощает анализ процессов, описываемых различными моделями.

График результатов расчета по полученным корреляционным моделям

Рис.3

Заключение

По полученным исходным данным в форме множества расчетных точек, имитирующих производительность завода по годам, найдена простая средняя арифметическая производительности. С использованием различных методов получены трендовые модели с различными выравнивающими функциями:

для линейной модели:

1. Расчленением динамического ряда на количество частей, равное количеству коэффициентов выравнивающей функции;

2. Выравниванием с использованием метода наименьших квадратов;

3. Выравниванием с использованием метода наименьших квадратов и с переносом начала системы координат в середину динамического диапазона.

для квадратичной модели:

1. Выравниванием с использованием метода наименьших квадратов и с переносом начала системы координат в середину динамического диапазона.

Определена точность полученных линейной (Y=80,52+1.35t) и параболической (Y = 99,77 + 1,35t - 0,7t2) трендовых моделей с использованием коэффициента вариации. Для линейной трендовой модели он составил 10,5%, а для параболической 3,9%. Чем меньше отклонение, тем точнее модель. Следовательно, точнее параболическая трендовая модель. Осуществлен прогноз на 15-й год (объем производства продукции завода составил 65,77).

Построена корреляционную модель. В качестве исходной таблицы данных принята исходная расчетная таблица для трендовых моделей путем замены Yx=Yt; Хi=100ti Для упрощения расчетов перешли к новой независимой переменной Xi=xi/100.

Построили корреляционные модели производственного процесса методом наименьших квадратов для линейной функции и методом наименьших квадратов с переносом начала координат в середину динамического диапазона для квадратичной функции.

Для этих моделей определены коэффициент корреляции конкурирующих описаний. Для линейной корреляционной модели он составил 0,47, а для квадратичной 0,94. По выполненным расчетам видно, что достоверной является квадратичная корреляционная модель, так как ее коэффициент корреляции больше.

По полученной квадратичной корреляционной модели найдено оптимальное количество рабочих на заводе =796 человеку, обеспечивающее оптимальный выпуск продукции =100,42. Результаты исследований проиллюстрированы на графиках.

Литература

1. Альсевич В.В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория. - М.: Издательство ЛКИ, 2007. -256 с.

2. Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики (учебное пособие). - М.: МАКС Пресс, 2005. - 272 с.

3. Замков О.О., Тостопятенко А.В., Черемных Ю.В. Математические методы в экономике: учебник/ Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича. - 4-е изд., стереотип. - М.: Издательство «Дело и Сервис», 2004. - 368 с. (Учебники МГУ им. М.В. Ломоносова).

4. Просветов Г.И. Математические методы и модели в экономике: задачи и решения. - М..: Издательство «Альфа-Пресс», 2008. - 344 с.

5. Синявская Э.Г., Голубева Н.В. Микроэкономика: практика решения задач: учеб.пособие для вузов. - Новосибирск: Издательство СО РАН, 2006. - 274 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Корреляционный анализ

    Понятие корреляционных связей, их классификация. Корреляционные поля и цель их построения. Коэффициенты корреляции, их виды, свойства и проверка значимости. Расчет факторным экспериментом влияние давления, жирности и кислотности на качество продукции.

    курсовая работа [377,1 K], добавлен 25.11.2010

  • Расчет показателей тесноты связи

    Построение описательной экономической модели. Матрица корреляций между исходными статистическими признаками. Оценка параметров модели. Определение и графическое изображение регрессионной зависимости между показателями. Оценка адекватности модели.

    контрольная работа [215,8 K], добавлен 13.10.2011

  • Построение экономических моделей. Оптимизация и прогнозирование производства

    Определение оптимального выпуска товаров, обеспечивающего максимум прибыли. Построение модели, описывающей зависимость между факторами и объемом продажи. Нахождение нового объема продаж при измененных факторах. Вычисление неизвестных параметров модели.

    контрольная работа [279,8 K], добавлен 16.04.2013

  • Анализ и построение имитационной модели заданного временного ряда

    Изучение понятия имитационного моделирования. Имитационная модель временного ряда. Анализ показателей динамики развития экономических процессов. Аномальные уровни ряда. Автокорреляция и временной лаг. Оценка адекватности и точности трендовых моделей.

    курсовая работа [148,3 K], добавлен 26.12.2014

  • Прогноз объема продаж

    Сущность трендовых моделей и их использование для прогнозов. Алгоритм построения прогнозной модели. Применение алгоритма на примере исследования информации об объемах сбыта мороженого "Пломбир". Определение величины сезонной компоненты в MS Excel.

    курсовая работа [317,6 K], добавлен 25.12.2011

  • Экономико-математические методы и модели

    Резервы снижения электроемкости за счет усовершенствования и обновления производственных фондов. Уровень связи между производственными факторами. Оценка режимов функционирования предприятия. Паспорт и расчет полиномиальных моделей, ресурсоемкости.

    контрольная работа [405,5 K], добавлен 01.04.2009

  • Экономическое прогнозирование

    Зависимость объемов розничного товарооборота от времени. Расчет коэффициентов корреляции, оценка тесноты связи между показателями промышленного производства. Прогнозирование по уравнениям трендов, однофакторным и многофакторным регрессионным моделям.

    контрольная работа [237,5 K], добавлен 18.02.2011

  • Определение коэффициентов корреляции и оценка адекватности регрессионной модели

    Определение методом регрессионного и корреляционного анализа линейных и нелинейных связей между показателями макроэкономического развития. Расчет среднего арифметического по столбцам таблицы. Определение коэффициента корреляции и уравнения регрессии.

    контрольная работа [4,2 M], добавлен 14.06.2014

  • Трендовые модели

    Структурные компоненты детерминированной составляющей. Основная цель статистического анализа временных рядов. Экстраполяционное прогнозирование экономических процессов. Выявление аномальных наблюдений, а также построение моделей временных рядов.

    курсовая работа [126,0 K], добавлен 11.03.2014

  • Основные этапы и цели моделирования

    Постановка цели моделирования. Идентификация реальных объектов. Выбор вида моделей, математической схемы. Построение непрерывно-стахостической модели. Основные понятия теории массового обслуживания. Определение потока событий. Постановка алгоритмов.

    курсовая работа [50,0 K], добавлен 20.11.2008

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены