Економіко–математичне моделювання

У вивченні політики використовування кількісних методів, зокрема, статистики, має достатньо давню традицію. Статистика як наука все більш зв'язується з сукупністю числових прийомів обробки даних незалежно від природи самих даних, „таким чином, переймаючи термінологію англійських статистиків Джорджа Юла і Моріса Кендалла, можна сказати, що суспільні науки - „батьки” статистичних методів; Вживання чисто статистичних прийомів в суспільних науках не могло не спричинити вживання і інших математичних теорій, наприклад, теорії диференціальних рівнянь, операційного числення і т.д. Труднощі вживання математики в соціальних науках обумовлені цілим рядом причин, серед яких складність соціальних явищ, наявність суб'єктивізму в досліджуваному матеріалі, наявністю зв'язку між спостерігачем і спостережуваним явищем. „фізика досягла великого успіху, зокрема, тому, що аксіоми арифметики реалізовувалися у всіх областях фізичних явищ. Це останнє не має місця в соціальних науках. Мабуть, в соціальних науках потрібна інша, ніж в природних науках теорія измерения.4 „Нерідко доводиться чути вислови про те, що методи кількісного аналізу, математика і сучасна електронно-обчислювальна техніка не застосовні до області теорії і практики політичної діяльності. Прихильники таких поглядів чаші всього посилаються на надзвичайну складність політичних процесів, величезна кількість впливаючих на їх розвиток чинників, велику роль випадковостей, на трудності обліку і кількісної оцінки „суб'єктивних чинників” і т.д. Ці думки можна зрозуміти, але згодитися з ними не можна. Всі згадані вище чинники і обставини, природно, утрудняють і утруднятимуть упровадження методів, що органічно поєднують якісний і кількісний аналіз політичних систем і процесів. Проте ці області людської діяльності не можуть представляти якогось виключення і так само, як і інші сфери її, піддаються раціональному якісному і кількісному аналізу. Кількісний аналіз і математичні засоби дають можливість більш точного розрахунку, передбачення і використовування найраціональнішого варіанту ведення справи без тих втрат, які неминучі при емпіричному розрахунку „на очко”. Іншою крайністю є поширена думка використовування математичних методів в політиці як панацею, як критерій правильності соціально-політичних теорій і концепцій, абсолютизуючи принципи і формули цієї науки. Такі погляди висловлювалися, зокрема, представниками позитивістської школи, якими заперечувалася специфіка соціальних наук.

„у міру розвитку і поглиблення процесу пізнання наука прагне вдягнутися свої положення і ідеї в точні абстрактні математичні форми і моделі, що відображають в єдності якісні і кількісні сторони об'єктів, систем і процесів, що вивчаються. Розробка такого роду моделей в тій або іншій галузі науки є доказом того, що система понять цієї науки уточнилася настільки, що вона може бути піддана як якісному, так і кількісному дослідженню”. Такий напрям науки був помічений ще До. Марксом, який говорив, що „наука тільки тоді досягає досконалості, коли їй вдається користуватися математикою”. Математизація (формалізація) науки політики - це по суті переклад категорій, положень, понять політології на мову математичних категорій, понять, формул, алгоритмів. Заміна початкового об'єкту аналізу на його образ у вигляді математичної моделі є визнаним інструментарієм наукового пізнання. Труднощі на цьому шляху пов'язані в основному з адекватністю моделі реальному об'єкту. Практично модель періодично коректується у міру надходження додаткової інформації про систему.

Теорія міжнародних відносин, а також її розділи, що відносяться до вивчення міжнародних політичних відносин, перш ніж звернулися до методів математичної науки пройшли власні етапи розвитку. Виникнувши на початку XX століття в США, політична наука розвивалася під сильним впливом потреб політичної діяльності держави і на відміну від колишніх суб'єктивістських або догматичних державно-правових теорій зробила спробу більш реалістично підійти до аналізу діяльності державного апарату в цілому і окремих його установ, звернулася до вивчення практичних і навіть технічних проблем управління. Прискорений рух науки міжнародних відносин в США в 50-70 роках був до певної міри мабуть інтенсивним і далеке не у всьому стихійним стикуванням цієї науки Л іншими гуманітарними і природними науками, своєрідною експлуатацією політологами інших галузей науки, спробами сприйняти „чужі” для політології поняття, методи і результати дослідження включивши їх в свій арсенал. Науково-технічний прогрес дав в руки політологів електронно-обчислювальне устаткування і ознайомив з технікою його вживання. Але і „політологічний бум”, у свою чергу, відобразився на інших галузях науки, стимулюючи їх розвиток. По суті відбувалася перебудові значної області багатьох наук, що виявилися „суміжними”, взаємозв'язане мі. Фахівці інших галузей перемикалися на дану область досліджень, підпорядковувавши їх загальною ціллю аналізу і прогнозу міжнародних відносин по прямому або непрямому „соціальному замовленню” правлячих класів. В результаті за останні десятиріччя в США була створена вельми обширна, складна ncpeJ плетуча структура науки міжнародних відносин вчених і їх досліджень. Цій системі властиві свій розподіл праці, суперництво і боротьба різних угрупувань. Межі такої науково-академічної інфраструктури щодо практичних зовнішньополітичних органів держави виявилися досить умовними, а їх взаємозв'язки - украй різноманітними по рівню і формам, В той же час США прагнули привернути до своїх розробок також вчених інших капіталістичних країн за допомогою особистих контактів або через інститути університети. Склалася міжнародна інфраструктура дослідницький] центрів і наукових робіт у сфері міжнародних відносин з властивими їй міжнародними розподілом праці, співпрацею і суперечностями.

В спробах теоретичного обгрунтовування зовнішньої політики з початку XX вік! висувалися різні теорії міжнародних відносин і зовнішньої політики, втом числі, і на ідеях, що черпнули з політичного життя античної Греції i Рима. Ці дослідження велися в рамках історико-філософського, морально етичного і правового підходів, які в американській літературі сталі називати збірним терміном „політичний ідеалізм”. Це поняття було привласнено групі дослідників тому, що вони будували свої міркування (зовнішній політиці і міжнародних відносинах, виходячи з морально-етично; і правових ідеалів, норм і критеріїв, що носили абстрактний характер. Синонімами терміну „політичний ідеалізм” сталі назви „моралізм”, „нормативізм”, „легалізм”. До ідеалістів в американській літературі часто причислювали навіть таких практиків, як колишній державний секретар Дж. Ф. Дал ліс. Практичний досвід передвоєнної кризи і другої світової війни висунув нові ідеї прагматизму, який дозволив би пов'язати теорію і практик; зовнішньої політики США до реальностям середини XX століття. Ці ідеї послужилш основою для створення школи „політичного реалізму”. Духовним батьком політичних реалістів став Р. Нібур, ідеї якого, проголошені в роботі „Моральна людина і аморальне суспільство”, надалі широко використовувалися реалістами. Професор університету Чікаго і постійний консультант держдепартаменту США Г. Моргентау - лідер школи політичного реалізму, писав в своїй основоположній праці „Національна політика” як домінанта політичного і людського спілкування оголошує всепоглинаючу боротьбу людей за владу, прагнення до панування над собі подібними. Саме, категорія „сили” є основоположною у всій концепції політичного реалізму”. Як прихильники „політичного ідеалізму”, так і прихильники „політичного реалізму” в основній своїй масі розуміли скованість своїх теорій від ідеології, хоча і розуміли необхідність розділення науки і ідеології. До 50-м рокам XX століття з'явилися тенденції зайнятися „деідеологізованим” збором і вивченням фактів і цифр як „індикаторів” реальних процесів міжнародних відносин. Прихильниками збору і аналізу емпіричних даних як елемента пізнання міжнародної політики виступили представники школи політичного реалізму, в першу чергу, Д. Розенау, К. Норр і ін. Розвиток науки міжнародних відносин в тих напрямах, які були зв'язані з використанням емпіричних даних, одержав стимул у вигляді систематичного збору і порівняльного аналізу відповідних кількісних даних. Були зроблені спроби не тільки створити методи збору даних і їх кореляцій, але і визначати на їх основі якісні описи політичних характеристик низки країн. Основоположними працями по методах збору і аналізу емпіричних даних по міжнародних відносинах і світовій політиці є роботи Д. Сінгера. В цих роботах сам Д. Сінгер відзначав, що він ставив свою за мету продемонструвати можливості використовування „строгих кількісних методів” для вирішення важливих теоретичних питань в області світової політики. Д. Сінгер указував на необхідність побудови строгої теорії міжнародної політики, заснованої на емпіричних даних. Як тільки нагромаджується достатня кількість емпіричного матеріалу, виникає настійна потреба привести весь цей матеріал в порядок, іншими словами, повинна бути розроблена теоретична база для його осмислення. Залишаючись на позиції матеріалістичного детермінізму, слід визнати, що виникаючі кількісні теорії обробки і аналізу емпіричної інформації повинні нас привести до істинного розуміння міжнародної політики. В своєму президентському посланні 66-й річній зустрічі американської асоціації політичних наук К. Дойч відзначав: „можна розглядати широке збільшення інформаційної бази політичної науки як „кошмар” і можна відкидати систематичний аналіз великих сум даних просто як що не відноситься до розуміння політики, як це пропонують деякі видатні старші політологи традиційно орієнтованого історичного або літературного складу розуму. Немає підстав для політологів боятися велике число свідоцтв про те, як народ діє у сфері політики. Сучасні методи зберігання і повернення інформації, електронні комп'ютери роблять можливим обіг великого об'єму даних, якщо ми знаємо, що хочемо з ними зробити, і якщо ми маємо адекватну політичну теорію, здатну допомогти сформулювати питання і інтерпретувати одержувані відповіді. Комп'ютери не можуть бути використані як заміна мислення, також як дані не можуть замінювати оцінки. Але комп'ютери можуть допомогти нам здійснити аналіз, який пропонує теорії наше мислення... Доступність великих мас відповідних даних і комп'ютерні методи їх обробки відкривають широкі і глибокі підстави для політичної теорії, в той же час це відрізняється від теорії більш широкими і складними задачами”.

Розвиток емпіричних досліджень і запозичення методів інших гуманітарних і природних наук сталі двома сторонами одного і того ж процесу. Найбільшу популярність в комплекс досліджень, що інтегруються політичною наукою, ввійшли разом з розділами математики також і розділи економіки, соціології, психології і географії. Так, зокрема, перенесення понятті біхейвіорізму як наукового напряму в психології, що вивчає поведінку живих істот, в суспільні науки для вивчення поведінки соціальних і політичних систем привело до становлення наукового напряму в теорії міжнародних відносин під назвою „біхейвіоралізм”. Одна з центральних робіт К. Дойча „Нерви уряду” привела до створення нового наукового підходу, що одержав назву „політична кібернетика”. В цій роботі К. Дойч ввів поняття і методи теорії комунікацій, передачі інформації в дослідження міжнародних відносин. Обгрунтувавши свої висновки, К. Дойч відзначає, зокрема, що „... спосіб, яким політик або державний діяч одержує повідомлення крізь сумбур, плутанину емоцій, відволікаючих моментів і нерозуміння, має формальні аналогії із способом яким інженер-електронщик веде телефонну розмову крізь потріскування статичних електричних імпульсів і перешкоди. Обидва випадки включають проблему передачі імпульсу через шум. Рішення в обох випадках включають знання про відношення шумового сигналу, терпимий рівень шуму і методи відновлення первинного сигналу. „ряд формальних ідей, що мають своє походження в біології, хімії, психології і соціології знайшли своє продовження в створенні самостійних дисциплін, таких як кластерний аналіз. Задача розробки методів класифікації виникала незалежно в різних областях наукового знання будь то класифікація в тваринному і рослинному світі (До. Лінней), або періодична система елементів Д. Менделєєва. Ідея вивчати класифікацію а системі міжнародних відносин належить американському досліднику З. Би. Брамсу. Зрештою, течія в теорії міжнародних відносин, пов'язана з пропагандою і упровадженням математичного інструментарію, одержала назву „модернізм”, або „сайентизм”. Ця течія була широко підтримана не тільки університетською наукою, але і практичними, частіше всього військовими установами. „хрещеним батьком” модерністського напряму в теорії міжнародних відносин називають До. Райта. За оцінкою американських політологів саме міждисциплінарний підхід К. Райта до теорії міжнародних відносин, в якому органічно поєднуються емпіричний і теоретичний підходи, має перспективу.

Ідея абсолютизації того або іншого походу до теорії міжнародних відносин не принесла відчутного результату. Різноманіття питань в теорії міжнародних відносин і зовнішній політиці, що піднімаються, різноманітність вживаних підходів і теорій приводять до необхідності гнучкого походу до всього комплексу задач світової політики. З одного боку, цей підхід повинен забезпечити точність і адекватність якнайкращого в даній ситуації кількісного методу (алгоритму), з другого боку повинен бути забезпечений цілісний, системний підхід, що дозволяє знайти не локальний оптимум, а забезпечити інтереси держави в цілому. Для ілюстрації такого підходу розглянемо приватний приклад. Якщо ставити задачу оптимального регулювання дорожнього руху крупного міста, то задача може бути вирішена, наприклад, установкою на кожному перехресті регулювальника, який направлятиме потоки машин з урахуванням обстановки, що складається на даному перехресті. Чи оптимальна система регулювання руху в місті в цілому, якщо кожний конкретний регулювальник вирішує свою задачу якнайкращим для даного перехрестя чином? Оскільки критерієм функціонування системи руху в місті в цілому може бути деяка функція параметрів всіх перехресть (наприклад, сума часів простоїв всіх автомобілів на всіх перехрестях за відрізок часу), то неважко придумати ситуацію, яка буде неприйнятна для системи в цілому, хоча кожний регулювальник діятиме оптимально в рамках свого перехрестя. Очевидно, повинна функціонувати система зв'язку між окремими регулювальниками і рішення повинні прийматися з урахуванням всієї інформації на всіх перехрестях. Цей простий приклад говорить на користь того, що приватні алгоритми обробки зовнішньополітичної інформації, ухвалення політичного рішення повинні бути зв'язані в єдину систему з єдиною цільовою функцією, яка характеризує якість функціонування системи в цілому. Очевидно, також, що до рішення подібної задачі повинні бути привернуті нові інформаційні технології, що включають методи зберігання, передачі і” обробки великих масивів інформації. Такий підхід дозволяє зберегти все найцінніше в локальних алгоритмах обробки зовнішньополітичної інформації і одночасно забезпечить системність і цілісність в розрахунках.

Вживані математичні методи в політичних дослідженнях носять достатньо стійкий характер. Існує стійке мнение,1 що по суті єдиним математичним методом, винайденим спеціально для моделювання міжнародної політики, є модель шотландського математика і метеоролога Люїса Річардсона динаміки озброєння двох країн. Ідеї Л. Річардсона одержали подальший розвиток в роботах У.Р. Каспарі, в М. Вульфсона В. Холіста Р. Абельсона, проте до теперішнього часу ранні роботи Л. Річардсона продовжують служити джерелом нових робіт по динаміці озброєнь. Моделі конфліктної взаємодії, засновані на інших ідеях, приведені, наприклад, в роботах. Інший тип моделей взаємодії держав заснований на припущенні, що політика держав визначається в основному економічними чинниками, тобто, що розвиток політичних процесів зв'язується з економічними показниками, які достатньо хороше виміряні. Статистичні методи на противагу вказаним методам теорії диференціальних рівнянь широко застосовуються при аналізі числового матеріалу. Одна з основних ідей в спробах кількісно зміряти політику полягає в задачі формалізації поведінки держав на Генеральній Асамблеї ООН, де як в дзеркалі відображаються істинні наміри держав, виражені підсумками голосування по резолюціях, що обговорювалися. Найзначніші результати у вказаному направлениии приведені в монографії професорів Масачусетського технологічного інституту X. Алкера і Б. Расета, заснованої на залученні техніки анализа1 чинника. До статистичних методів відноситься також робота З. Брамса і проект „Вимірність націй”, виконаний під керівництвом Р. Раммеля. статистично-логічні методи присутні і в інших аналітичних методах аналізу міжнародних відносин, таких як контент-зал, івент-аналіз і метод когнітивного картирування. Вживанню івент-аналізу в сучасній політології присвячена стаття С.И. Лобанова .

В напрямі, пов'язаному з моделюванням, помітне місце займає експериментально-ігрове, засноване на імітації економічних, військових, соціальних і політичних аспектів реальності. Звідси виникають „соціологічні ігри”, „економічні ділові ігри”, „військові ігри”. Відзначимо основні з таких ігор. Відомі моделі інформаційної взаємодії учасників міжнародного кризису - CRISISCOM, IN§, INSKIT, GASCON, створені а США в Північно-західному і Стенфордському університетах. Відзначимо також спроби проаналізувати в'єтнамський конфлікт в массачусетському технологічному інституті за допомогою „теорії метаігор”.

Модель професора Оклахомського університету О. Бенсона, названа „Проста дипломатична гра”, пов'язана з ідеєю наявності в міжнародних відносинах схеми „стимул-реакція”. Асоціація з грою тут виявляється в тому, що кожна дія однієї сторони інтерпретується як хід („стимул”), а у відповідь дія іншої сторони, як „реакцію „- у відповідь хід. Висловимо ідею „Простої дипломатичної гри” в її модернізованому варіанті Дж. Кренда. Є сукупність держав, що характеризуються деякими параметрами і взаємними зв'язками. Деяка держава скоює проти деякого іншого ворожу акцію, яка розглядається як „стимул” певної інтенсивності. Цей „стимул” викликає, по-перше, у відповідь „реакцію” не тільки з боку держави, яка з'явилася об'єктом дії, але і з боку всієї решти держав, і, по-друге, - зміна параметрів, що характеризують всі держави, і їх зв'язків. На цьому цикл „гри” закінчується. Дослідник, який ввів в ЕОМ вказаний „стимул”, може продовжити „гру” в умовах, що змінилися, ввівши новий „стимул”, відповідний ворожій дії деякої іншої держави проти деякої нової „держави-мети” і одержати нову реакцію і т.д. Дослідник може також повернутися до первинної ситуації і спробувати ввести інший „стимул” як по спрямованості, так і по інтенсивності, і подивитися, що з цього вийде.

Як приклад приведемо конкретні приватні методики використовування комп'ютерних засобів у вивченні міжнародних відносин. До ігрових імітаційних засобів відносяться настільна гра КБК, створена М. Катаному, А. Бернсом і Р. Квондом і названа так по перших буквах їх прізвищ.

Мета авторів ігри - допомогти теоретикам в розумінні їх власних побудов. Автори не намагаються імітувати якийсь реальний політичний процес, а хочуть лише виявити внутрішню теорії і моделі, визначити і відтворити механізми, які визначають стабільність даної системи, Під стабільністю автори розуміють такий стан, при якому жодна навіть сама слабка країна не може бути поглинена іншими державами, зруйнована або розділена між ними, Загальний ігровий простір є сумою підпросторів, кожне з яких знаходиться у винятковому розпорядженні окремого гравця. Цей підпростір є системою лунок, в яких розміщуються однорідні фішки-ресурси: економіка, військовий резерв, межі. Правила ходів визначають дозволені способи переміщення фішок в лунках. Економічні ресурси можуть збільшуватися з часом за заданою стохастичною процедурою, що символізує економічний розвиток держави. Озброєні сили, розгорнені на межах, можуть вступати у війну, тобто можуть бути зняті з дошки за певною процедурою, що нагадує рішення рівнянь Ланчестера методом Монте-Карло. Війна ведеться до повного виснаження сторін. Ходи робляться по черзі по кругу. Гравець при своїй черзі може звернутися до інших з пропозицією про висновок або розірвання союзу. Союзники відводять війська, розташовані на межах один одного. Якщо при своїй черзі ходу гравець залишається без фішок, то він вибуває з гри, тобто програє. Що залишився в грі признається абсолютним переможцем, хоча гра може продовжуватися і нескінченно довго, оскільки можливе нескінченне балансування гравців, охочих лише утриматися в грі. Не володіючи практичною цінністю, ця гра проте має теоретичне значення, утілюючи в собі деякий підхід до методики моделювання системи міжнародних відносин. Складнішої і багатої ідеями є гра INS, або „Міжнародна імітація”, розроблена Г. Гетцковим із співробітниками, в основному Для навчання студентів (Північно-західний університет, США); в південно-каліфорнійському університеті створена інформаційно-аналітична і прогнозуюча людино-машинна система-ВБИС2.

1.2.2. Необхідність побудови математичних моделей зовнішньополітичної поведінки на єдиній методологічній основі

Основний недолік існуючих моделей полягає в тому, що кожний ним слідчий в основу своїх висновків кладе власну систему індикаторів (показників), користується своєю базою даних, відмінною від іншого дослідника і, нарешті, розглядає задачу у власному просторі з своєю системою координат. Недивно, що часто висновки різних дослідників в характері поведінки політичного процесу виявляються діаметрально протилежними. Мабуть, немає ніякого інструментарію, що дозволяє погоджуватись висновки різних математичних моделей в різних математичних структурах. В той же час, ці математичні моделі можуть бути цілком коректними і далеко нетривіальними. Подібне положення справ підриває довір'я до кількісних методів дослідження політичних процесів; у не математиків складається враження про можливість „строгого доказу” будь-якого наперед заданого висновку (навіть невірного) в політичних дослідженнях. Як відомо, математична софістика (тобто мистецтво доводити помилкові положення) процвітає саме тоді, коли-небудь відсутні чіткі визначення в теорії, або суперечлива система аксіом, що використовується. Остання вимога спонукає до необхідності логічного аналізу всієї системи структур і визначень в математичних моделях системи міжнародних відносин для того, щоб усунути виникаючі суперечності. Але це і означає, що нова теорія автоматично включить як структурні одиниці деякий набір локальних моделей, може бути містить його моделлю більш високого рівня, що покривається. Таким чином, універсальна модель політичної поведінки може бути інтерпретована як банк локальних математичних моделей, що описують окремі ситуації. Така модель автоматично стає моделлю глобальної динаміки, оскільки економічні, військові, наукові, екологічні і інші аспекти міжнародних відносин, очевидно, виявляться взаємозв'язані в універсальній моделі, якщо тільки ми хочемо мати скільки-небудь представницьку систему аналізу світової динаміки. Як відомо, дотепер не утихають суперечки про те, що первинне - політика або економіка: політичні відносини визначають рівень економічної взаємодії держав або ж навпаки рівень економічного співробітництва визначає політичні пристрасті держав. Моделі світового розвитку є потужним інструментарієм для вивчення і прогнозування глобальної динаміки. Велику популярність здобули проекти, розроблені за замовленням римського клубу - міжнародної неурядової організації, створеної в 1968 р. італійським промисловцем А, Печчеї з метою вивчення глобальних проблем.

Технократичний підхід, домінуючий в перших докладах римському клубу (Форрестер, Медоуз і ін.) згодом стимулював розвиток і чисто гуманітарних аспектів проблеми. Глобальне моделювання стало модним науковим напрямом, в якому опинилися задіяними дослідники самих різних спеціальностей: математики, економісти, політологи, демографи. Різноманітність підходів і проектів в дослідженні процесів світового розвитку привела до необхідності класифікації моделей і їх осмислення, визначення місця і ролі конкретних моделей в існуючому їх різноманітті. Таким чином, поставлена проблема узгодження локальних моделей повинна бути вирішена в системі багатопараметричної макромоделі світового розвитку, об'єднуючої основні національні, регіональні і глобальні моделі розвитку. Частково ця ідея реалізована у відомій системі LINK. Універсальна модель світового розвитку виявляє собою своєрідний банк моделей, заснованої на системі класифікації, кодування і програмно-орієнтованого доступу, передбаченого системою генерації нових локальних моделей.

Ситуація з організацією подібного банку моделей багато в чому аналогічна з ситуацією навкруги різноманіття методів кластерного аналізу, широко вживаного для структурної класифікації потоків інформації. Не існує єдиного алгоритму кластер-аналізу, однаково добре працюючого як на слабо структурованих масивах інформації, так і на масивах, з яскраво вираженими „згустками”. Тому, для дослідження конкретного інформаційного масиву має сенс вибирати з банку алгоритмів той метод, який дасть якнайкращу (в значенні відповідного критерію) класифікацію. Такий вибір відповідного методу може бути здійснений автоматично з використанням попередньої процедури детермінації початкового масиву. Функціонал якості класифікації може бути вибраний різним чином на наявній безлічі алгоритмів кластер-аналізу.

У відмінності від ситуації з побудовою універсального алгоритму кластер-аналізу створення універсальної моделі світового розвитку як своєрідного банку національних, регіональних і глобальних моделей полегшується наявністю в безлічі існуючих моделей світового розвитку часткового порядку по вкладенню: регіональні і глобальні моделі створюються в основному як синтез національних моделей. Тому нижнім (початковим) рівнем універсальної моделі буде набір національних і регіональних моделей розвитку. Верхнім же рівнем будуть як існуючі макромоделі, засновані на синтезі національних моделей, так і нові моделі, що описують взаємодію вибраних моделей нижнього рівня. При цьому основну роль гратиме взаємозв'язка (балансування) моделей нижнього рівня, з яких будується модель верхнього рівня. Загальна ідея взаємозв'язки моделей розвитку належить Л. Клейну - професору пенсільванського університету (США), яка реалізована в розробленому під його керівництвом проекті „ЛІНК”. Основною задачею при такому підході до ув'язки різних національних моделей є прогнозування матриці парних взаємостосунків між країнами (торгових потоків в економічних моделях), що в системі „ЛІНК” робиться за допомогою методу Стоуна-Морігучі. Для підвищення точності прогнозів можна також використовувати метод Бокса-Дженкінса прогнозування тимчасових рядів або - спектральні методи, які можуть бути ефективні як при довгостроковому, так і при короткостроковому прогнозуванні. Принципова відмінність побудови універсальної моделі світового розвитку як спеціально організованого банку національних моделей від побудови універсального алгоритму кластер-аналізу як банка окремих процедур класифікації полягає в наступному. Окремі алгоритми структурної класифікації даних займають відносно невеликий об'єм машинної пам'яті і не вимагають, як правило, скільки-небудь значної витрати машинного часу. Універсальна модель, що вибирає для дослідження пропонованого інформаційного масиву відповідну систему класифікації з тих, що є в банку, принципово може бути створена. Такі моделі у вигляді пакетів прикладних програм для статистичної обробки даних створені, наприклад, в ЦЕМІ РАН під керівництвом С.А. Айвазяна. Створення ж аналогічного пакета національних моделей в одній системі зіткнеться з великими технічними труднощами, викликаними необхідністю мати в машинній пам'яті великий набір програм, що реалізовують моделі національного, регіонального або світового розвитку.

Таким чином, на перший план висувається задача організації кодування

і класифікації окремих моделей, що входять в банк - каталог, що виявляє собою шукану універсальну модель. Роль універсальної моделі в дослідженні заданого об'єкту (країни, регіону) припускає тим самим не остаточне обчислення значень фазових змінних, а вказівка параметрів моделі, кото-1 раю дасть ці значення з найбільшою правдоподібністю в порівнянні з іншими моделями. Відзначимо, що в задачах ухвалення рішення в багатокритерійному випадку згортка критеріїв приводить до втрати інформації: будь-який вектор несе в собі більше інформації, ніж одержуваний з нього скаляр. Точно також, якщо ми хочемо, щоб універсальна модель несла в собі інформації не менше ніж будь-які з існуючих локальних моделей національного, регіонального або світового розвитку, потрібна не „згортка” цих моделей, а організація доступу до всієї групи, що представляється, моделей.

Нарешті, взаємозв'язка моделей в універсальній моделі повинна бути під контролем деякого глобального універсального векторного критерію. В системі міжнародних відносин дослідник, що стоїть на позиції детермінізму, повинен визнавати наявність світового порядку як вищої мети над національними (локальними) критеріями. Такий критерій може реалізовуватися в конкретних випадках по-різному, він може бути інтерпретований різними способами, але, безумовно, одне - такий критерій повинен бути вкладений в інший, більш могутній, але він не може бути незрівнянний з іншим таким критерієм. Одним з таких критеріїв в теорії міжнародних відносин є поняття „потужності”, „могутність” - термін „POWER”, введений Г. Моргентау і має витоки в античній теорії державного пристрою як символ справедливого правління.

1.2.3. Функціональні простори і проблема представлення залежності як суперпозиції елементарних

Розглядаючи політичні процеси і об'єкти як функції на безлічі політичних індикаторів, ми тим самим стаємо перед проблемою характеризації цих математичних об'єктів, знаходженні серед них основних, базових, з яких виходить безліч інших досліджуваних об'єктів. Інша виникаюча проблема - це проблема метрики, тобто, які об'єкти (функції) ми вважатимемо близькими (схожими), а які навпроти далекими, істотно тими, що розрізняються по своїх характеристиках.

У виникаючих моделях в системі міжнародних відносин разом з проблемою метрики (тобто, фактично характеризації виникаючих функціональних просторів) виникає проблема допустимості даних математичних абстракцій. Відомий парадокс Кантора, пов'язаний з категорією „безлічі взагалі всіх множин” приводить до нерозв'язної суперечності, вихід з якої, очевидно, тільки один - заборонити розгляд подібних конструкцій. Тим самим ставляться певні межі абстрагуванню. Це ж питання виникає при розгляді допустимої безлічі функцій, створюючи дані функціональні простори (ясно, що раз не можна розглядати „безліч узагалі всіх множин”, отже, не можна розглядати і характеристичну функцію цієї множини.

Проблема функціональної залежності, проте, багато складніше апорій Зенона. Кантора і т.п.

Інтуїтивне сприйняття функціональної залежності як прояв зв'язку явищ в різних модифікаціях властиве людству з давніх часів, математика протягом всієї історії свого розвитку тими або іншими засобами намагалася виразити цей зв'язок.

Починаючи з навчанням античних математиків про геометричні місця і складанням всіляких таблиць поняття функції зазнавало всі нові і нові зміни. Згадки про функціональну залежність зустрічаються у П. Ферма( 1636 р.), Р. Декарта (1637 р.), И. Барроу (1669 р.). Термін „функція” зобов'язаний своєю появою В. Лейбніцу(1692 р.). Так чи інакше поняття функції зв'язувалося з якимсь аналітичним виразом, задаючим її, Так у И. Бернуллі (1718 р.) „функція, це величина, складена із змінної і постійної”; у Л. Ейлера „функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений яким-небудь чином з цієї змінної кількості, чисел або постійних кількостей”.

Перехід від інтуїтивного сприйняття функції до її більш менш схожому на сучасне визначення намітився в знаменитій суперечці про звучну струну.

В XVIII столітті, закінчивши вивчення систем з одним ступенем свободи, математики переходять до систем з декількома ступенями. В 1727 р. Іоганн Бернуллі, а в 1732-1736 рр. Данило Бернуллі і Леонард Ейлер розглядають тільки головні коливання навантаженої невагомої струни. Розглядаючи тільки головні коливання системи, ні Бернуллі, ні Ейлер не помітили, що у разі довільного руху справедливий принцип суперпозиції, тобто складання головних коливань, хоча теоретики музики (Рамо, наприклад, в 1726 р.) давно указували, що окрім основного тону музичного інструменту є ще і обертони. Існував навіть помилковий погляд, що головними коливаннями струни і вичерпуються всі можливі коливання системи (Тейлор, Д. Бернуллі).

Рішення задачі про струну, дане майже одночасно Д'Аламбером і Л. Ейлером (відповідно в 1747 і 1748 рр.) при зовні формальній схожості мали принципово різний зміст, що виражається в різному розумінні Функції. Якщо Д'Аламбер усюди під функцією розумів певний аналітичний вираз, то Ейлер, не відкидаючи це, допуску функції як відповідність за допомогою кривої, утвореної „вільним рухом руки”, або навіть Функції змішаного типу, тобто на одних ділянках один аналітичний вираз, на інших інше або навіть довільна крива.

Трапилося так, що розвиток конкретного матеріалу переріс рамки концепцій і точок зору, що склалися раніше, на основні поняття аналізу. Відсутність належної строгості в обгрунтовуванні накопичених результатів, настійні вимоги коштують практичних задач приводили до перегляду основ аналізу таких як „довільна крива”, „функція”, „інтеграл” і т.п. Губився органічний зв'язок між чистим і прикладним знанням, здорова рівновага між абстрактною спільністю і повнокровною конкретністю була порушена „...віддавшись справжній оргії інтуїтивних припущень, перемішуючи несуперечливі висновки з безглуздими, підлога у містично мі твердженнями, сліпи довіряючись надлюдській силі формальних процедур (математики) відкрили новий математичний світ, повний незчисленних багатств...”. Але вимоги евклідової строгості і внутрішньої естетики брали своє.

„в XIX сторіччі усвідомлення необхідності консолідувати науку, особливо) у зв'язку з потребами вищої освіти ... повело до ревізії основ математики з'ясуванню понять межі. Таким чином, XIX не тільки став епохою нових успіхів, але і був ознаменований плідним поверненням до класичного ідеалі точності і строгості доказів. „ Зараз, озираючись назад, важко дати об'єктивну оцінку позицій всіх сторін, що сперечаються, і аналіз всі XVIII труднощів, що стоять перед математиками, можна лише з певним ступенем упевненості сказати, що основне питання в полеміці Ейлера і Д'Аламбера було таким якщо відхилювати струну довільним чином, то чи існує формула, що дає її форму? Рішення цього питання немає ні у Ейлера і Д' Аламбера, ні в більш пізніх роботах Бернуллі і Лагранжа. Питання актуальне дотепер. „суперечка про звучну струну все ще триває, тільки, зрозуміло, вже зовсім в іншій науковій обстановці, іншими особами і в іншій термінології”. Безперервне поглиблення поняття функції і його еволюція продовжується і понині. Жодне формальне визначення, як пише Н.Н. Лузін, не може охопити всього зміст поняття функції, засвоїти яке можна лише прослідивши основні лінії розвитку, пов'язаного з розвитком природознавства, зокрема, математичної фізики. Нас цікавить, природно, таке питання: коли, на якому етапі свого розвитку поняття функції і тригонометричного ряду стикуються між собою! даючи могутній апарат аналітичного уявлення на додаток до служимо шему роками вірним і, мабуть, єдиним засобом аналітичного уявлення - апарату статечних рядів?

Тригонометричні ряди як такі мають свою історію, висхідну до Ейлеру. В листі до Гольдбаха в 1744 р. Ейлер наводить приклад розкладання:

одержуючи його методом статечних рядів. „поява вказаного ряду у Ейлере була справою чисто випадковим і в усякому разі нічого по суті для розуміння природи і характеру, а також можливості уявності довільних функцій тригонометричними рядами не давало. Ейлер тут стояв на чисто аналітичній точці зору.”5

Поява тригонометричних рядів у Ейлера, як рахує А.Б. Паплаускас має прикладний характер, а самі ряди були лише інструментом дослідження різних питань астрономії, зокрема, небесної механіки. Тому Ейлер і не піднімає питань обгрунтовування збіжності і розкладності. Узгодження на практиці одержаних результатів з дійсністю наштовхує Ейлера на інші розкладання. „часто говорять, що Ейлер... інстинктивно знаходив тільки правильні результати, хоча і слідуючи помилковим шляхом: але сказати це - значить дуже багато: математика перейшла до свого порядку денного через свої неправильні результати”.

Досліди із звучною струною з'явилися тим пробним, на якому перевірялася концепція Д. Бернуллі. Вони поколивали його первинну думку про існування тільки головних коливань, приводячи до відкриття принципу суперпозиції, д. Бернуллі знайшов, що найзагальніший рух струни описується виразом

Тут основний тон визначається першій складовій, їй відповідає період Т,=2 I/a, іншим відповідають періоди Т₂=1/2Т₁, і т.д. Рішення, повне фізичного змісту, перевірене експериментом і що узгоджується з миючими вченням про обертони, привело Д. Бернулли до переконання, що всі рішення Д'Аламбера і Ейлера охоплюються цим. Таким чином, виникнувши з прикладних задач тригонометричні ряди знаходили в практиці як своє непряме обгрунтовування, так і місце додатку.

Робота Бернуллі була піддана критиці як з боку Ейлера, так і з боку Д'Аламбера. Ніхто не вірив, що за допомогою тригонометричних рядів можна представляти будь-які функції, задані графічно. Позначалася відсутність чіткого поняття функції (у всіх були різні думки), і дуже сильно тиснув на все нове важкий вантаж аналітичного уявлення статечними рядами, що служили протягом років єдиним засобом аналітичного уявлення.

Свіжий струмінь вдихнув Лагранж, застосувавши новий, відкритий ним метод. Одержавши результат Бернуллі аналітичним чином і частина результатів Ейлера, він проте не зміг їх строго обгрунтувати, змішуючи поняття великого і бесконечного, дискретного і безперервного, не обгрунтовувавши постійні переходи до межі. Д'Аламбер критикував нестрогість міркувань Лагранжа, його тези „...ні одна людина, замінивши ряд 1 + х + х² +... на 1/(1 -х ) ще не вчинив помилку”, „...природа не може зупинити викладень, оскільки фізично кутових крапок у струни немає, а завжди є той, що деяка закруглює, викликана жорсткістю струни”.

Лагранж майже дійшов до формул Фур'є, але так і не відкрив їх. В 1807 р. Французький математик і фізик Жан Батист Фур'є в роботах по аналітичній теорії тепла вказав, що зв'язні лінії, задані на кінцевих ділянках рівняннями, уявних на будь-якій такій ділянці тригонометричним рядом

Тим самим всі Ейлерові криві, накреслені вільним рухом руки, виявилися охопленими апаратом тригонометричних рядів. Згладилася невідповідність між уявленням про функціональну залежність і обмеженістю аналітичних засобів їх виразу. Відкриття Фур'є поставило крапку в багаторічній суперечці про струну і послужило великим поштовхом до подальшого розвитку поняття функції і аналізу в цілому.

Необхідно відзначити, що поява парових машин, різних систем і механізмів, пов'язаних з періодичними процесами, поставлена безліч практичних задач, непіддатливих рішенню старими методами, виявивши тим самим потребу у відповідному аналітичному апараті. Створення такого апарату, саме, апарату тригонометричних рядів в роботах Фур'є історично дав новий стимул в розвитку математики в цілому. Подальший розвиток цього апарату йшов по лінії додатків всередині самому математики.

З сучасної точки зору цей факт є однією із закономірностей процесу творчого мислення, коли від індуктивного синтезу (в даному випадку величезного практичного матеріалу і аналітичної техніки XVII-XVHM століть) через стадію аксіоматизації (тобто створення визначень, аксіом, що служать основою теорії, що розвивається) слідує перехід до додатків створеної індуктивної теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебеггі Кантора, Веєрштрасса.

Слід зазначити, що відкриття Фур'є стоїть на шляху відвернення від таких властивостей функцій як аналітичність, гладкість, зображена єдиним аналітичним виразом, збереженням властивостей, що мають місце в деякій околиці на всю область визначення. Подальший розвиток теорії функцій має, на наш погляд, дві тенденції.

Одна з них виявляється в подальшому підвищенні рівня абстракції, відвернення від приватних властивостей, таких як безперервність, вимірність в значенні Бореля, інтегрується. Це приводить Лебега до створення нового інтеграла, Лузіна до нового поняття первісної, Цермело до понять, основними, що є, в аксіоматиці теорії функцій і множин. З другого боку, видне прагнення індивідуалізуватися деякі класи функцій по сукупностям властивостей, конкретизувати об'єкти, що вивчаються. Відзначимо на цьому шляху результати С.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про виділення класів функцій речовинного змінного і Веєрштрасса, Мітгаг-Леффлера в комплексному аналізі. Ці тенденції взаємно зв'язані, бо знаходячи достатньо загальні властивості функцій, не можна, очевидно, приписати їх взагалі всім функціям, тобто йде конкретизація класу функцій по знайденій властивості. Нарешті, в математиці завжди бажано знати, наскільки даний клас функцій можна розширити, якщо абстрагуватися від деяких приватних властивостей. Так, наприклад, від аналітичних функцій переходять до квазіаналітичних, гармонійних до квазігармонійних гільбертові простори L^p підсумовуваних функцій до нормованого і навіть метричному просторам і т.п. Цей взаємозв'язок абстрактного і I конкретного є однією з внутрішніх причин розвитку математики. Але відкриття Фурье не означало проголошення спокійного життя математикам, хоча і дозволило більшість проблем. І не тільки тому, що (як це з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) поняття функції достатньо змістовне, щоб допускати вичерпну формалізацію, „...раз виникнувши, ідеї не тільки існують самостійно, але і можуть породжувати нові ідеї. Тому внутрішні логічні взаємозв'язки придбавають величезне значення в розвиток науки, особливо такою абстрактною, як математика.”

Відкриття Фур'є створило умови трактування функції як відповідності вельми загального вигляду. З'явилися визначення у Лакруа, Лобачевського, Діріхле вельми близькі до сучасного. Було ясно, що поняття функції і її аналітичного виразу апріорі не адекватні. Основні питання, що виникли після відкриття Фур'є - це питання збіжності і можливості представлення функції рядами - вже для своєї коректної постановки зажадали введення нових понять. Приклад безперервної функції з рядом Фур'є, що не всюди сходиться, даний Дю-Буа-Раймондом, поставив природне питання: якщо вже для безперервних функцій не вдається добитися уявлення у вигляді ряду Фур'є, що усюди сходиться, то може бути слід уточнити саме поняття „уявлення”? Сприймати функцію як щось дане в завершеному стані, або вимагати можливості конструктивної побудови; які засоби допустимі як елементи конструкцій? Грубо кажучи, кривих виявилося більш ніж формул, як вже наголошувалося знов утворився розрив між арсеналом засобів аналітичної зображеної функцій і самими функціями. Слід зазначити, що в подоланні виникаючих утруднень і зароджуються нові методи, які представляють якісні скачки в розвитку математики. Найбільші математики, як правило, стояли на позиціях того, що математика розвивалася і якісно розвиватиметься, що неминучі ті, що революціонізували, відкриття, що надовго визначають напрями розвитку математики, а, отже, неминучі парадокси і суперечності. Можна привести багато прикладів „мертвих” розділів науки, які раптом „оживали” (наприклад, теорія магнетизму у фізиці). Проте, тезу про безперечну наявність постійних якісних стрибків в розвитку слід застосовувати лише до достатньо широких, змістовних областей знання (порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвивається, окремі її ділянки можуть деградувати). На питання про можливість відкриття” в проективної геометрії, що „революціонізувало, фахівці, напевно, відповідять негативно. Таким чином, разом з рішенням основної задачі зображеної функції тригонометричним рядом Фур'є дали плідну їжу для розвитку різних розділів математики.

Які ж шляхи подальшого розвитку функціональної залежності, її сучасний стан; як розв'язуються питання онтологічного і субстанціонального статусів функції - ці проблеми завжди виникають навкруги будь-якого змістовного поняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а також приклади Веєрштрасса і Ван-дер-Вардена спонукали математиків до розгляду і більш загальних функцій, ніж безперервні або входять в класифікацію Бера. нерозуміння і недовір'я панувало в кругах старих консервативних математиків.

„ Я з жахом і огидою відвертаюся від цієї розростаючої язви функцій, похідної”-, що не мають, писав Ерміт. Виникнення нових модних методів (теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла і заходи Лебега) спричинило за собою появу нових функціональних просторів і видів сходи-Мости. В роботах Діріхле, Пуассона, Жордана указуються класи функцій, для яких збіжність ряду Фур'є безумовно гарантована. Тригонометричні ряди виявляють цікаві властивості (явище Гібса, принцип локалізації), нарешті „наводиться теорія” на диференціювання і інтеграцію тригонометричних рядів, що зустрічаються ще у Ейлера. Докторська дисертація Римана намічає нові підходи до загальних тригонометричних рядів. Надзвичайно тонкі технічні методи дозволили Д.Е. Меньшову майже остаточно вирішити питання про зображену функції тригонометричним рядом, а також питання про цілісність.

В 1905 р. А. Лебег ввів поняття аналітично зображеної функції, як Функції, значення якої виходять з аргументу і постійних величин за допомогою арифметичних операцій і граничних переходів. Приклад А. Лебега, ті. Створення такого апарату, саме, апарату тригонометричних рядів в роботах Фур'є історично дав новий стимул в розвитку математики в цілій. Подальший розвиток цього апарату йшов по лінії додатків усередині самої математики.

З сучасної точки зору цей факт є однією із закономірностей процесу творчого мислення, коли від індуктивного синтезу (в даному випадку величезного практичного матеріалу і аналітичної техніки XVII-XVIM століть) через стадію аксіоматизації (тобто створення визначень, аксіом, які слугують основою теорії, що розвивається) слідує перехід до додатків створеної індуктивної теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебеге, Кантора, Веєрштраса.

Слід зазначити, що відкриття Фур'є стоїть на шляху відвернення від таких властивостей функцій як аналітичність, гладкість, зображена єдиним аналітичним виразом, збереженням властивостей, що мають місце в деякій околиці на всю область визначення. Подальший розвиток теорії функцій має, на наш погляд, дві тенденції.

Одна з них виявляється в подальшому підвищенні рівня абстракції, відвернення від приватних властивостей, таких як безперервність, вимірність в значенні; Бореля, інтегрується. Це приводить Лебега до створення нового інтеграла, Лузіна до нового поняття первісної, Цермело до понять, що є, в аксіоматиці теорії функцій і множин. З другого боку, видне прагнення індивідуалізуватися деякі класи функцій по сукупності властивостей, конкретизувати об'єкти, що вивчаються. Відзначимо на цьому шляху результати С.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про виділення класів функцій речовинного змінного і Веєрштраса, Міттаг-Леффлера в комплексному аналізі. Ці тенденції взаємно зв'язані, бо знаходячи достатньо загальні властивості функцій, не можна, очевидно, приписати їх взагалі всім функціям, тобто йде конкретизація класу функцій по знайденій властивості. Нарешті, в математиці завжди бажано знати, наскільки даний клас функцій можна розширити, якщо абстрагуватися від деяких приватних властивостей. Так, наприклад, від аналітичних функцій переходять до квазіаналітичних, гармонійних до квазігармонійних гільбертового простору L² підсумовуваних функцій до нормованого L^p (p > 1) і навіть метричному L^p (0 < р < 1) просторам і т.п. Цей взаємозв'язок абстрактного і конкретного є однією з внутрішніх причин розвитку математики. Але відкриття Фур'є не означало проголошення спокійного життя математикам, хоча і дозволило більшість проблем. І не тільки тому, що (як це з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) поняття функції достатньо змістовне, щоб допускати вичерпну формалізацію, „...раз виникнувши, ідеї не тільки існують самостійно, але і можуть породжувати нові ідеї. Тому внутрішні логічні взаємозв'язки придбавають величезне значення в розвиток науки, особливо такою абстрактною, як математика"

Відкриття Фур'є створило умови трактування функції як відповідності вельми загального вигляду. З'явилися визначення у Лакруа, Лобачевського, Діріхле вельми близькі до сучасного. Було ясно, що поняття функції і її аналітичного виразу апріорі не адекватні. Основні питання, що виникли після відкриття Фур'є - це питання збіжності і можливості представлення функції рядами - вже для своєї коректної постановки зажадали введення нових понять. Приклад безперервної функції з рядом Фур'є, що не всюди сходиться, ванний Дю-Буа-Раймондом, поставив природне питання: якщо вже для безперервних функцій не вдається добитися уявлення у вигляді ряду Фур'є, що усюди сходиться, то може бути слід уточнити саме поняття „уявлення”? Сприймати функцію як щось дане в завершеному стані, або вимагати можливості конструктивної побудови; які засоби допустимі як елементи конструкцій? Грубо кажучи, кривих виявилося більш ніж формул, як вже наголошувалося знов утворився розрив між арсеналом засобів аналітичної зображеної функцій і самими функціями. Слід зазначити, що в подоланні виникаючих утруднень і зароджуються нові методи, що представляють якісні скачки в розвитку математики. Найбільші математики, як правило, стояли на позиціях того, що математика розвивалася і якісно розвиватиметься, що неминучі ті, що революціонізували, відкриття, що надовго визначають напрями розвитку математики, а, отже, неминучі парадокси і суперечності. Можна привести багато прикладів „мертвих” розділів науки, які раптом „оживали” (наприклад, теорія магнетизму у фізиці). Проте, тезу про безперечну наявність постійних якісних стрибків в розвитку слід застосовувати лише до достатньо широких, змістовних областей знання (порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвивається, окремі її ділянки можуть деградувати). На питання про можливість відкриття” в проектованої геометрії, що „революціонізувало, фахівці, напевно, відповідять негативно. Таким чином, разом з рішенням основної задачі зображеної функції тригонометричним рядом Фур'є дали плідну їжу для розвитку різних розділів математики.