Економіко–математичне моделювання

Які ж шляхи подальшого розвитку функціональної залежності, її сучасний стан; як розв'язуються питання онтологічного і субстанціонального статусів функції - ці проблеми завжди виникають навкруги будь-якого змістовного поняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а також приклади Веєрштраса і Ван-дер-Вардена спонукали математиків до розгляду і більш загальних функцій, ніж безперервні або входять в класифікацію Бера. нерозуміння і недовір'я панувало в кругах старих консервативних математиків.

„ Я з жахом і огидою відвертаюся від цієї розростаючої язви Функцій, похідної”-, що не мають, писав Ерміт. Виникнення нових модних методів (теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла і заходи Лебега) потягло за собою поява нових функціональних просторів і видів сходи-Мости. В роботах Діріхле, Пуассона, Жордана указуються класи функцій, для яких збіжність ряду Фур'є безумовно гарантована. Тригонометричні ряди виявляють цікаві властивості (явище Гиббса, принцип локалізації), нарешті „наводиться теорія” на диференціювання і інтеграцію тригонометричних рядів, що зустрічаються ще у Ейлера. Докторська дисертація Рімана намічає нові підходи до загальних тригонометричних рядів. Тонкі технічні методи дозволили Д.Е, Меньшову майже остаточно зшити питання про зображену функції тригонометричним рядом, а також просто єдиності.

В 1905 р. А. Лебег ввів поняття аналітично зображеної функції, як функції, значення якої виходять з аргументу і постійних величин при допомозі арифметичних операцій і граничних переходів. Приклад А. Лебега, вимірної функції, що не допускає згадане зображення, провів наЯ що коштує фурору.

Здавалося б беззмістовне за часів Ейлера і Д' Аламбера запитання що приписати як сума ряду, що розходиться, - одержав остаточний розвиток в роботах Пуассона, Рімана, Фейера. Ейлерові операції з розбіжними рядами знайшли своє обгрунтовування. Наполеону приписуються слова: „я спочатку завоюю цю землю, а потім знайдуться юристи, щоб обгрунтувати цей акт.” Н математиці відмова від строгих обгрунтовувань часто приводила до сильних результатам, не говорячи вже про пріоритет. Багато результатів Якобі носили бездоказовий характер, „для гаусової строгості у нас немає часу” - говорив він на лекції своїм студентам. Але Якобі випередив багато своїх сучасників, які згодом строге передоказали його результати.

„...в теперішній час математика менш ніж коли-небудь зводиться до чисто механічної гри з ізольованими формулами, біліше ніж коли-небудь інтуїція неподільно панує в генезисі відкриттів. „в той же час „зневага до розробки логічної основи нових теорій часто приводить до кустарництва. Взаємозв'язок інтуїтивного і логічного є необхідний момент в розвитку будь-якої галузі математики. Функції комплексного змінною були набагато більш детально вивчені, коли комплексні числа сталі інтерпретувати як точки площини; назад, комплексний аналіз лише тоді придбав постійну форму, коли став логічно спроможний. Вимоги логічної строгості і консистентності (повнота) основних положень теорії разом із строгим” правилами висновку є одним з критеріїв істинності теорії.

Основне питання в теорії рядів Фур'є - питання збіжності. Після Фур'є вся перші спроби дати строге доведення загальної теореми про збіжність тригонометричних рядів закінчилися невдачею. І, проте, доведення назрівало.

Недоліком існуючих робіт була відсутність точних формулювань умов, при яких указувалися теореми. Честь відкриття умов, що гарантували збіжність, як вже указувалося випалу Діріхле. Питання про те, наскільки повно дозволяє судити ряд Фур'є функції про її поведінку залишався відкритим. Леопольд Феєр своїм результатом про (С,1) - торб мируемости майже усюди ряду Фур'є до Функції, що породила його, показав, що ряд визначає функцію по модулю безлічі міри нуль, про те, що (С,1) сумування тут не можна замінити на звичайну збіжність було доведено в набагато більш пізній роботі А.Н. Колмогорова. Зусиллями Карлесона і Хантл питання про структурні властивості функцій з тими, що сходяться майже усюди рядами Фур'є одержало, мабуть, достатньо вичерпне рішення. Апарат що використовується в цих новітніх роботах, показує, наскільки глибоко розвивалась теорія тригонометричних рядів.

Приблизно до XIX століття математиків цікавили і питання опис субстанціональних об'єктів (числа, прямі, множини, функції і т.п.), питання про „реальне” існування таких об'єктів як, скажімо, ряд або послідовність. Прагнення виражати мовою логіки всі поняття математики з основних привело до переконання про необхідність не визначати деякі об'єкти.

„математики XIX сторіччя сталі потроху зміцнюватися в думці, що питання Ll значенні цих понять як субстанціональних об'єктів в рамках математики

і взагалі де б то не було) просто не має сенсу. Математичні твердження, в які входять ці терміни, відносяться не до фізичної реальності... Питання про те, „ніж насправді” є крапки, прямі і числа, не може і не повинна обговорювати математична наука. „ Звичайно ж математика повинна обговорювати питання про логічну спроможність тих або інших визначень, наприклад, визначення „кардинальне число безлічі всіх кардиналів” і т.п.; проблеми ж природи математичних абстракцій суть прерогатива філософії і вони є окремим випадком так званої проблеми „про онтологічний статус універсалій”. Вживання математичних методів повинне бути обмежено розумними межами. Відома критика Е. Маху, який в своїх роботах зводив всі зв'язки в природі до функціональних („в природі немає ні причини, ні слідства...”). З точки ж зору сучасної математики єство поняття функції полягає в способі відповідності між двома сортами об'єктів вельми загальної природи. Придбаваючи свою конкретну реалізацію в різних способах завдання (словесному, табличному, аналітичному, графічному) воно лише відображає істоту відповідності. Питання, пов'язані з бажанням знайти спосіб зображеної функції, що охоплює всі вказані способи, одержали достатньо вичерпне рішення завдяки апарату тригонометричних рядів.

Таким чином, виникнувши в різний час з потреб практики і потреб самої математики, пройшовши тривалий шлях розвитку від інтуїтивного рівня розуміння до розвиненого сучасного апарату, поняття функції і тригонометричного ряду виявилися вельми спорідненими і взаємозв'язаними.

1.2.4. Основні підходи використовування систем індикаторів для аналізу зовнішньополітичних процесів

Існуючі теорії зовнішньої політики так чи інакше засновані на використовуванні як початковий елемент деякої статистичної бази. Така база повинна грунтуватися на прийнятому порядку формування емпіричного матеріалу, тобто на виборі системи показників, що описують систему міжнародних відносин. Характерним прикладом послідовного вживання цієї ідеї в теорії зовнішньої політики є діяльність професора університету штату Огайо (США) Джеймс Розенау. Серед безлічі розрізнених чинників, що впливають на зовнішню політику, Д. Розенау виділяє п'ять груп змінних: індивідуальні чинники (якість, досвід, талант політичного діяча), ролеві фактори (чинники зовнішньої поведінки, обумовлені посадами політичних діячів), урядові чинники (що стосуються рамок функціонуючої урядової структури), суспільні змінні (основні цінності суспільства і т.п.), системні індикатори, або „зовнішні змінні”. Професор Ч. Л. Тейлор, організував спеціальну конференцію в 1978 р., присвячену розвитку теорії політичних індикаторів, за наслідками якої були опубліковані основні доповіді. В роботі П. Бекмана система індикаторів світової політики розглядається для дослідження поняття „могутності” („потужності”) держави, метою їх порівняльного розташовує. У вказаній роботі продовжені дослідження Р. Моргентау, До. Норра, О. Моргенштерна, що стосуються порівняння держав за системою індикаторів. Потужність держави по Бекману - це середнє арифметичне відсотка світової здобичі сталі досліджуваної держави і деякий! величини, що є твором індексу політичної стабільності і відсотка світового народонаселення. Макромоделі такого роду особливе характерні для робіт Мортона Каштана. Проблеми оптимальної поведінки (управління ідеології, що розглядаються в рамках, збереження державного „могутності мають зовнішню схожість із знаменитим „категоричним імперативом „І. Канта поступай так, щоб максима твого вчинку мислилася світовим законом.” М.1 Каплан „правила „ політичної поведінки формулює так:

дій так, щоб збільшити свій бойовий потенціал, але вступай в nepero-J злодії всякий раз, щоб уникнути війни вступай у війну, якщо без цього буде упущена можливість збільшити свій бойовий потенціал;

припиняй військові дії, якщо виникла загроза ліквідації основної національної дійової особи;

надай протидію будь-якої коаліції або дійовій особі, яка прагне оволодіти пануючим положенням в системі;

надай стримуюче вплив на дійових осіб, які керуються наднаціональними організаційними принципами;

дозволяй переможеним або стримуваним основним національним діючим особам приєднатися знов до системи як прийнятні ролеві партнери або ж допомагай збільшити свій статус якому-небудь з дійових осіб, доти неосновних. Поводься зі всіма дійовими особами як з прийнятними партнерами по ролі і т.п. На думку М. Каштана орієнтація учасника світової політики, що дотримується подібних правил, є оптимальній з погляду досягнення безпеці.

Відома нам критика макромоделей світової політики, подібної моделі М. Каплана, зводиться по суті лише до неповноти систем, що використовуються. Так, за словами керівника Центру стратегічних і міжнародних досліджень Джоржтаунського університету М. Самюэлса помилка американських політичних діячів у визначенні поняття „національна безпека” полягає в тому, що вони, враховуючи військову потужність, ігнорують економічний аспект проблеми. Фахівці вказаного центру пропонують алгебраїчну модель „сукупної могутності держави у вигляді формули:

де Р_р - „сукупна могутність держави”; C - критична маса (сума коефіцієнтів чисельності населення і площі території країни); Е - экономическая1 потужність; М- військова потужність; S - стратегічна мета держави; W- бажання населення слідувати існуючій в країні стратегії .

У свою чергу, фахівці з Міжамериканського військового коледжу пропонують ввести додатково показник Р - силу переконання політичного керівництва країни, його здатність повести за собою не тільки населення власної країни, але і союзників. Цей показник пропонується ввести як адитивна компоненти в другий співмножник приведеної формули.

1.2.5. Простір індикаторів в системі міжнародних відносин: основні задачі метатеорії

Як вже наголошувалося, погоджувати результати політичних досліджень, одержаних по різних системах індикаторів, можна таким чином. Системи індикаторів є різними підмножинами якоїсь однієї універсальної множини, яка, очевидно, нескінченна. Кожна задача аналізу ситуації з фіксованим набором індикаторів відповідає вибору деякої кінцевої (фінітного) підмножини з вказаного універсуму.

Залежно від виду цього універсуму виникають три основні моделі:

Як початковий універсум береться деяка кінцева множина, тоді кожній підсистемі показників відповідає деяка підмножина, що є носієм всіх функцій, визначених на цій підмножині (і рівних нулю зовні нього). Політичний об'єкт, що характеризується у вибраній системі показників, є фінітну функцією, визначеною на деякій підмножині універсуму. Разом з цією функцією можна розглядати її дискретне перетворення Фур'є. Можливий і подвійний підхід - кожній такій функції може бути поставлений у відповідність дискретний ряд Фурье, коефіцієнти якого рівні відповідним значенням функції.

Як початковий універсум вибирається відрізок прямою. Політичним об'єктам в цьому випадку відповідатимуть фінітні функції, визначені на відрізку. Виникаючі задачі можуть бути досліджені апаратом рядів Фур'є.

Нарешті, як початковий універсум береться вся речовинна. Властивості фінітних на прямій функцій можуть бути досліджені інтегралом Фур'є (або перетворенням Фур'є). В окремому випадку дискретного спектру виникають ряди по рахунковій множині взагалі кажучи нецілих показників - в цьому випадку застосуємо апарат майже періодичних функцій.

4. Більш окремі випадки, коли як початковий набір функцій допускаються лише лінійні (полілінійні) функції (функціонали) приводять до задач лінійної алгебри або тензорного аналізу.

Наукова основа пізнання соціально-економічної сфери полягає в аналізі Емпіричного матеріалу про поведінку цієї системи, що міститься в різних довідниках і світових класифікаторах. В різноманітті всіх видів відносин в соціальній сфері однією з якнайменше формалізованих є область політичних взаємостосунків між державами. Основний статистичний інструментарій - апарат аналізу чинника - запропонував разом з одиничними показниками (індикаторами) політичної поведінки держав на світовій арені розглядати більш вузьку сукупність нових показників - чинників, які є лінійною комбінацією початкових індикаторів. По суті справи, це означає розгляд нових показників, які проводяться у відповідність з підмножинами безлічі початкових показників. Такі нові показники, звані інакше суперпроблемами”, можуть і мають бути змістовним чином інтерпретовані. Як відзначає Я. Окунь, „той дослідник повинен перетворитися із статистика, що піклується в першу черга про правильність і точність обчислень, в експерта по проблемі, закономірності якої досліджувалися за допомогою аналізу” чинника.

Приведені міркування, з погляду математичного аналізу, означають лише те, що безліч одиничних показників може бути доповнене системою додаткових показників - „суперпроблем” - до групи з операцією) симетричної різниці. Політичний процес в цьому випадку описується відповідною функцією на групі суперпроблем, в яку, зрозуміло, як підмножини входять одноелементні підмножини - початковий набір політичних індикаторів. Серед таких функцій виділяються найпростіші (основні), які і є своєрідним будівельним матеріалом для опису довільних функцій на групі, тобто довільних політичних процесів в значенні введеної відповідності. В теорії груп як такі найпростіші функції розглядаються мультиплікативні функції на групі. Тим самим політичний процес може бути охарактеризований через властивості його розкладання за системою мультиплікативних функцій, інакше званих характерами групи.

Однією з основних проблем при дослідженнях в соціальній сфері є проблема метрики, заходів близькості або „дистанцій ” між об'єктами, що вивчаються. Різноманіття метрик, що використовуються, достатньо велике. Найпоширенішими є традиційна метрика Евкліда, а також метрики Мінковського і Хеммінга. Не маючи свій в розпорядженні серйозних аргументів на користь тієї або іншої метрики в конкретних дослідженнях, можна задатися метою виділити клас задач, на якому метрики Евкліда (в просторі L₂) і Мінковського (L_р, , р > 0) будуть еквівалентні. Опис класу функцій, для якого справедлива еквівалентність вказаних метрик, представляється складною задачею.

Перейдемо до строгих визначень.

Визначення 1. Підмножина безліч індексів тригонометричної системи або системи Уолша називається ?(р) - множиною для деякого р > 0, якщо для деякого q > р > 0 і для будь-якого полінома R(x) із спектром в Е справедлива нерівність:

де постійна С > 0 не залежить від вибору полінома R(x).

Задача побудови класу функцій, на якому відповідні метрики еквівалентні, зводиться тим самим до вивчення структури послідовностей Е.

Визначення 2. Множина G називається групою, якщо для будь-яких двох елементів а, b цієї множини однозначно визначений третій елемент з цієї множини (тобто введена бінарна операція, що позначається, наприклад, ) з наступними властивостями:

- асоціативність.

В G є елемент О, званий нулем, такий, що для будь-якого елемента a із G справедлива рівність .

Для кожного елемента а існує протилежний (зворотний) елемент -а такий, що .

Групи, для яких для будь-кого а, в із G, називаються комутативними (або абелевими) групами. Нижче ми обмежимося розглядом лише абелевих груп. Прикладом некомутативної групи є, наприклад, група підстановок кінцевої множини, або група лінійних перетворень евклідова простору. Разом з групою підмножин кінцевої множини (індикаторів) ми розглянемо також кінцеву циклічну групу і групу дійсних чисел відрізка [0, 2л] з операцією складання по модулю 2тс.

Визначення 3. Симетричною різницею множин А і В (позначається ) називається така множина З, яке складається з елементів, що належать рівно одній з множин А і В. Легко бачити, що .

Визначення 4. Групи G і Н називаються ізоморфними, якщо існує таке взаємно однозначна відповідність ? між цими групами, яка зберігає групову операцію, тобто для будь-кого а, в G .

Визначення 5. Лінійним простором Е над полем з двох елементів (0, 1) називається безліч всіх n - рядків () з покоординатним складанням модулю 2, де () рівні 0 або 1.

Добре відомо, що група підмножин початкової кінцевої множини по операції симетричної різниці ізоморфна як група лінійному простору над полем з двох елементів. Відомо також, що в такому середовищі можна ввести другу операцію - множення - певним чином злагоджену з складанням, внаслідок чого подібна структура називається ще кінцевим полем, або полемо Галуа (на ім'я видатного французького математика Еваріста Галуа, що застосував їх властивості для вирішення питання про можливості розв'язання рівнянь алгебри в радикалах).

Основна ідея аналізу - апроксимація функцій довільної природи Битвами, що складаються з функцій більш простої природи, реалізується за рахунок вибору як такий основний набір системи мультиплікативних функцій.

Визначення 6. Характером групи З називають таку комплекснозначну функцію, яка задовольняє функціональному рівнянню: .

Як показано в роботі, групою характерів групи підмножин кінцевої множини по операції симетричної різниці є система функцій Уолша, про яку мова піде нижчим. В цій же роботі показано, що групою характерів безлічі дійсних чисел відрізка [0, 2?] з операцією складання по модулю 2к є класична система ортогональних функцій , а групою характерів кінцевої циклічної групи з n елементів є безліч коренів n-й ступінь з 1:

.

Саме ці групи ми і використовуємо надалі для характеристики політичного процесу як функції політичних індикаторів. При цьому континуальний випадок є природним узагальненням дискретного випадку в припущенні ухвалення концепції актуальної нескінченності для безлічі політичних індикаторів, що представляється самим загальним випадком. Крім того, з тригонометричною системою пов'язана, як вже наголошувалося, класична проблема представлення функції (суперечка Ейлера і Д'Аламбера). Нижче за показ? але, як метричні задачі для загальних тригонометричних рядів будуть зведені до вивчення рядів (насправді, кінцевих ідемпотентних поліномів) за системою характерів кінцевої циклічної групи.

На базі наступної допоміжної леми здійснено зведення метричних задач до вивчення властивостей ідемпотентних поліномів, які можна також потрактувати як тригонометричні суми або їх аналог за системою Уолша.

Лема. Хай функція. Якщо, то існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , . Назад, якщо існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , для деякого ? > 0, то функція , при будь-кому р, 0 < р < 1 + е, причому при р = 0 твердження втрачає силу. Крім того, функція f(x) істотно обмежена на [0,2л] тоді і тільки тоді, коли існує постійна С>0 така, що для будь-якої вимірної множини , .

Доведення: Хай , , тоді:

.

і в одну сторону затвердження леми доведено.

Хай тепер для будь-якої вимірної множини Е, , і деякого . Хай ,.

Якщо f(x) - дійснозначна функція, то:

.

Якщо f(x) = u(x)+iv(x), то:

; ;

і значить:

.

Нехай ,

k=1,2, ..., і хай , р>0, р<1+?.

Тоді:

(1)

Легко бачити, що для k = 1,2....

,

тому:

(2)

Зіставляючи (1) і (2), маємо:

будь-яке , тобто , що і вимагалося довести.

Те, що твердження втрачає силу при р = 0, видно на прикладі функції .

Для цієї функції:

, але .

Нарешті, якщо , то:

то

Якщо ж, навпаки, функція f(x) така, що:

,

то:

звідки при всіх k=l, 2,.... Це можливо лише у випадку, коли починаючи з деяким k₀, при всіх k>k₀, тобто у разі, коли функція f(x) істотно обмежена, і лема повністю доведена.

Теорема 1. Якщо послідовність цілих чисел

то існує постійна , така, що для будь-кого натурального числа р і будь-якого полінома , де або ,

справедлива нерівність:

(3)

Назад, якщо для послідовності {n_k} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натурального р і для будь-якого полінома , або , , справедлива оцінка (3), то послідовність для любого .

Доведення: Доведемо спочатку необхідність.

Хай:

де

Утворюємо множину Е на відрізку [0,2?] таким чином:

Оцінимо інтеграл по множині Е від функції , де коефіцієнти a_k підберемо пізніше:

тобто:

(4)

Хай тепер f(x) вибрана так, що:

(5)

Тоді в силу (4) маємо:

(6)

Оскільки , то існує постійна , така, що:

(7)

З другого боку, зважаючи на нерівність маємо в силу (6)

(8)

Зіставляючи (7) і (8), одержуємо:

і нерівність (З) доведена з постійною:

Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {n_k} справедлива нерівність (3) всякий раз, коли число р і поліном R(x) вибрано в відповідності з умовою теореми. Доведемо, що всяка функція:

належатиме і простору для будь-яке ? (0,2 + ?), звідси і витікатиме, що послідовність при будь-яке .

Хай спочатку f(x) - поліном і хай:

(9)

З рівності (4) виходить, що:

(10)

Використовуючи (3) і (10), маємо:

(11)

Нерівність (11), будучи виконано для фіксованої функції

і всіх простих множин Е з достатньо дрібними становлячими інтервалами, очевидно, буде виконано для цієї ж функції і для будь-яких вимірних множин Е на відрізку [0,2л]. Але тоді нерівність

(11) буде виконано і для будь-яких функцій f(x) вигляду

і будь-яких вимірних множин Е. По лемі [*=1 для будь-яких , і теорема 1 повністю доведена.

Теорема 2. Хай , ?>0 за системою Уолша, тоді існує постійна С>0, така, що для будь-кого натурального р = 2ⁿ і будь-якого полінома:

справедлива нерівність:

(12)

Назад, якщо для послідовності {n_k} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натурального р = 2ⁿ і будь-якого полінома:

справедлива оцінка (12), то послідовність для будь-кого ?,.

Доведення. Доведемо спочатку необхідність.

Хай:

Утворюємо множину:

Хай далі:

Оцінимо , тоді:

(13)

Помітимо тепер, що на інтервалі цифри х в двійковому розкладанні до номера n співпадають з відповідними цифрами у числа , якщо не допускати в двійковому розкладанні нескінченних послідовностей одиниць.

Хай:

Тоді, як відомо:

якщо Тому:

і в силу (13):

(14)

Якщо у визначенні функції f(х) покласти:

то нерівності (13) і (14) звернуться в рівність.

Для такої функції маємо в силу (14) і умови теореми:

звідки:

або:

що і доводить необхідність теореми.

Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {n_k} справедлива нерівність (12) при будь-кому р=2ⁿ і поліномі:

або

Тоді для полінома:

і множини:

справедлива оцінка (14), тобто:

(15)

Через умову теореми права частина нерівності (15) не перевершує величини:

тобто:

(16)

Оцінка (16), будучи справедлива для простих множин Е з умовою , розповсюджується для фіксованого полінома f(х) і на довільні вимірювання множини , а, отже, і на довільні функції

з умовою . Через лему нерівність (16) тягне за собою

умова при всіх , тобто при

всіх .

Теорема повністю доведена.

Наступні два кількісні результати торкаються густини лакунарних послідовностей Уолша і розподілу значень іденпотентних поліномів (терезів лінійних кодів). Ці оцінки представляють як самостійний інтерес (перша з них значно усилює аналогічний результат А. Бонами так і можуть мати додаток в загальній математичній теорії кодування Л передачі інформації.

Теорема 3. Хай Е_n n-мірне лінійний простір над полем з двох елементів. - пряма сума двох екземплярів цього простору, яке ми потрактуємо так само, як безліч всіх пар (а, b), де а, b - елементи Е_n.

Тоді безліч U всіх пар вигляду (а, а^-1), де і символом а^-1 позначений елемент, зворотний до елемента а в полі Е_n має потужність 2ⁿ-1, лежить в лінійному просторі W_2n потужності 2²ⁿ. Іншими словами, множина U є щільним B₂ (або (4)) множиною в тому значенні, що на ньому досягається верхня грань густини В3-последовательностей.

Доведення. Допустимо осоружне, тоді знайдуться такі 4 різний елемента а, b, c, d з U, що:

Остання система еквівалентна системі:

а + b = c + d, a^-l + b^-1 = с^-1 + d^-1.

що рівносильне:

а + b = c + d, ab = cd

яка, як неважко бачити, може мати не більше одного рішення (з точністю до перестановки). Дійсно, останнє твердження рівносильне тверждення про те, що рівняння х(х + k) = r має не більше двох різних розв'язків по х для х, k, r з Е_n. Покажемо це. Хай є інше рішення у: у(у + k) =r.

Тоді , звідки , тобто , звідки або x = у, або у = х + k ( нагадаємо, що E_n - поле характеристики 2).Тим самим теорема 3 повністю доведена.

Справедлива

Теорема 4. Хай на E_n заданий ідемпотентний поліном Уолша:

Хай з E_n такі, що все r_j, незалежні і , . Тоді:

де

Доказ. Без обмеження спільності можна вважати, що все {r_j} утворюють стандартний базис в Е_t (загальний випадок зводиться до цього лінійним перетворенням E_t). Тоді на підпросторі E_t, поліном R(x) запишеться у вигляді:

де d_j, - цілі ненегативні числа, в сумі даючі s. Легко бачити, що шукана сума квадратів значень полінома R(x) на підпросторі Е_t, рівна .

Оцінимо знизу суму . Оскільки значення полінома R(x) на векторах E_t

рівні ?s, те, як вже наголошувалося, ідемпотентному поліному R(x) на підпросторі Е, відповідатиме двійковий код з 2^t стовпців і із загальним числом кодових слів 2^t, причому базисні кодові слова складаються з ,одиниць

і мінус одиниць в мультиплікативному записі двійкового коду.

Ми маємо у результаті г випадкових величин, розподілених по одному і тому ж

закону - вони приймають два значення з ймовірностями відповідно і мають ентропію Н_? кожна. Крім того, ці випадкові величини утворюють багатовимірний розподіл з вірогідністю По властивості субадитивності ентропії маємо:

Застосовуючи відому нерівність Юнга:

маємо:

або:

або:

Остаточно:

що і доводить теорему 4.

Структура виняткової безлічі індексів, які забезпечують >квв валентність метрик Мінковського, тісно примикає до задач побудови і вивчення лінійних кодів.

Під кріптологією в широкому значенні розуміється мистецтво проектуванні і злому секретних систем, при цьому проектування називається криптографією а зламуюча частина - кріптоаналізом. При цьому треба мати у вигляді, що є багато кодів, жодним чином не пов'язаних з проблемою секретності, - це код ASCII для перетворення символів алфавіту в двійкову форму для з'явившися лінія в ЕОМ, а також універсальний промисловий код (штриховий) з ряд чорних вертикальних ліній, що містять інформацію про вироби. Історично перший код, призначений для передачі повідомлень, пов'язаний з ім'ям винахідника телеграфного апарату Семюеля Морзе і відомий всім як азбука Морзе. Код Морзе заснований на короткочасних (крапка) і тривалих (тире) їм пульсах струму; інший код (Бодо) для кодування використовує два елементарні сигнали - імпульс і паузу. Зручно, відволікаючись від фізичної природи сигналів, позначати два елементарні сигнали символами 0 і 1, тоді кодові слів представляються послідовністю нулів і одиниць.

При передачі повідомлення в умовах перешкод основна помилка пов'язана з тим, чий ряд символів може бути переданий неправильно, тобто Про замість і навпаки. Для того, щоб можна було однозначно декодувати повідомлення, слід накласти додаткові умови на сам спосіб кодування повідомлень, тобто на код. Є слова а₁, а₂,..., а_n повинні бути декодовані як b₁, b₂ ..., b_n, але передане слів декодувалося в деяке слово b, не співпадаюче ні з одним з b_i то приписати слову b „найближче” із слів b₁, b₂..., b_n. Основна задача, виникаюча на цьому шляху така: який повинен бути код з n символів, щоб він правильно декодував передане слово, при умові, якщо вчинено не більш t - помилок в передачі? Легко показати, що, якщо слова коду відстоять один від одного на віддаль Хемінга, не менше ніж 2t + 1, то така задача розв'язується однозначно по кодуванню в найближче слово. Дійсно, якщо передане слово відстоїть від двох різних кодових слів на відстані, не перевершуючі t( тобто при передачі його зроблено не більш t помилок по відношенню до цих двох слів), то по формулі трикутника самі ці кодові слова відстоять один від одного на відстань, що не перевершує 2t, в суперечності з початковою властивістю коду мати всі свої слова на відстані не меншому 2t + 1 один від одного. Таким чином, для упевненого декодування в умовах перешкод потрібно уміти будувати коди з великою кодовою відстанню, яка визначається як мінімум попарних відстаней слів коду в метриці Хемінга. Оскільки безліч всіх слів довжини п цією властивістю, очевидно, не володіє, слід виділяти деякі підмножини з вказаної множини. Звичайно безліч всіх послідовностей з 0 і 1 довжини n вважають лінійним простором над полем з двох елементів з метрикою (нормою) Хемінга; число одиниць в слові називають нормою цього слова. Серед таких підмножин особливе місце займають коди, які замкнуті по відношенню до операції суми, так звані лінійні коди. Лінійний (n, k) - код є лінійний підпростір розмірності до в множині всі 0-1 рядків довжини п, тобто в просторі Е_n. При цьому матриця з до базисних векторів коду називається матрицею коду, що породжує, а матриця з n-k базисних векторів подвійного коду (тобто ортогонального доповнення до E_n) називається перевірочною матрицею. Природно вважати до символів (n, k) - коду основними, а інші n-k- перевірочними, необхідними лише для визначення правильності передаючого повідомлення. Величинами називається швидкістю передачі.

Як багато може бути кодових слів в коді довжини n, у якого кодова відстань d, тобто яка величина А(n,d)? Відомі межі Хемінга, Джонсона, оцінюючі величину А(n,d). Так, межа Хемінга встановлює:

де

(17)

Ця межа ще називається межею сферичної упаковки, оскільки рівність (17) Досягається у тому випадку, коли непересічні кулі радіусу t з центрами кодових словах цілком заповнюють всю безліч n - буквенних слів. Такі коди ще називаються вчиненими або щільно упакованими.

Межа Джонсона А(n,d) 2d/(2d - n), d> n/2 може бути використана для оцінки потужності коду, що складається із слів ваги Лисиць кодовою відстанню d. га оцінка А(n,k,d)d/(2n²+dn-2nk), за умови, що знаменник дробу позитивний, 2n²+dn-2nk>0. Оцінки типу межі Джонсона неодноразово уточнювалися різними авторами, оскільки остаточного результату до теперішнього часу не одержано. Такі оцінки мають значення при побудові кодів з сильними коректуючими властивостями, оскільки указують межі можливого. Наступна оцінка уточняє оцінку Джонсона.

Теорема 5. Хай задані t слів довжини s ваги L= s(l-?)/2, де ?(0,1). Нехай

D={d_i}, безліч попарних відстаней між кодовими словами. Хай середнє арифметичне всіх попарних відстаней між перерахованими t словами. Тоді:

Доведення.

Хай в матриці коду h_i, - число одиниць в і-ому стовпці.

Тоді

і, отже

Якщо

Застосуємо тепер ці міркування до нового коду, який виходить з виходящого попарним складанням різних стовпців. Тоді рядки нового коли матимуть вагу L(s - L), попарні відстані нового коду будуть d_i(s - d_i). Застосовуючи аналогічні міркування, маємо:

Тоді:

і остаточно:

Якщо , то:

Приведений математичний апарат виявляє собою дієвий інструментарій для дослідження зовнішньополітичних процесів, що розглядаються як фінітних функцій на просторі індикаторів.

Висновок

Розвиток методології економіко-математичного моделювання має довгу історію. Становлення двох по суті різних наукових дисциплін - економіки і математики - протягом багатьох століть проходило по власних законах, що відображали природу цих дисциплін, і одночасно стикаючись один з одним.

Вживання математичних методів в дослідженні зовнішньополітичних процесів є привабливим науковим інструментарієм. Ідея вивчати явище по його образу (моделі) властива не тільки політиці - ця ідея давно і грунтовно знайшла своє вживання в різних областях наукового знання.

Список літератури

Ашманов С. А. Введення в математичну економіку. М.: Наука 1984.

Петров Е. Г., Новожилова М. В.. Методи і засоби прийняття рішень у соціально - економічних системах: Навчальний посібник./ За ред. Е. Г. Петрова. - К.: Техніка, 2004 - 256с.

Замков О. О., Товстопятенко А. В. Математичні методи в економіці: посібник М.: Дис. 1997.