Имеются данные о продаже трехкомнатных квартир на рынке жилья в Кемерово на 24 августа 2004 года (табл. 12)

1. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции.

2. Постройте парные уравнения регрессии, оцените их статистическую значимость и их параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

3. Постройте модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов.

4. Существует ли разница в ценах квартир, расположенных в Центральном районе и в периферийных районах Кемерово?

N - номер по порядку; price- цена квартиры (тыс. руб.);

totsp - общая площадь квартиры (м²);

ivesp - жилая площадь квартиры (м²);

kitsp - площадь кухни (m²);

flоог - этаж: 1 - крайний этаж.

0 - средний этаж;

balk - наличие балкона/лоджии:

1 - квартира с балконом/лоджией,

0 - квартира без балкона/лоджии,

raion - квартира расположена в:

1 - Центральном р-не,

2 - Ленинском р-не,

3 - Заводском р-не.

Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:

Y = f(в, X) + е

где X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; в - вектор параметров (подлежащих определению); е - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.

Теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

Y = в0 + в1X1 + в2X2 + ... + вmXm + е

в0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.

Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.

Предпосылки МНК.

1. Математическое ожидание случайного отклонения еi равно 0 для всех наблюдений (M(еi) = 0).

2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений еi постоянна: D(еi) = D(еj) = S2 для любых i и j.

3. отсутствие автокорреляции.

4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Yeixi = 0.

5. Модель является линейное относительно параметров.

6. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.

7. Ошибки еi имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:

Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e

Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений в0, в1, в2, ..., вm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения е.

При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок еi, оценки b0, b1, ..., bm параметров в0, в1, в2, ..., вm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.

1. Оценка уравнения регрессии.

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (XTX)-1XTY

К матрице с переменными Xj добавляем единичный столбец:

Матрица Y

Делаем матрицу XT, а затем перемножаем матрицы, (XTX)

В матрице, (XTX) число 86, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы, (XTY)

Находим обратную матрицу (XTX)-1

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

Y(X) = (XTX)-1XTY =

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = 569.36-1.39X1 + 27.81X2-20.91X3-246.78X4-188.75X5-153.7X6

2. Матрица парных коэффициентов корреляции R.

Число наблюдений n = 86.

Число независимых переменных в модели равно 6, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов.

С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 8.

Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (86 х 8).

Матрица, составленная из Y и X

Транспонированная матрица (приведена частично)

Матрица ATA

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

Найдем парные коэффициенты корреляции.

EQ rxy = \f(\x\to(x * y) -\x\to(x) * \x\to(y) ;s(x) * s(y))

EQ ryx1 = \f(67583.14 - 72 * 1004.64;75.52 * 462.49) = -0.136

EQ ryx2 = \f(44815.16 - 43.62 * 1004.64;6.72 * 462.49) = 0.32

EQ ryx3 = \f(7328.53 - 7.27 * 1004.64;1.82 * 462.49) = 0.0325

EQ ryx4 = \f(552.43 - 0.59 * 1004.64;0.49 * 462.49) = -0.191

EQ ryx5 = \f(412.79 - 0.42 * 1004.64;0.49 * 462.49) = -0.034

EQ ryx6 = \f(1862.41 - 1.95 * 1004.64;0.82 * 462.49) = -0.264

EQ rx1 x2 = \f(3307.66 - 43.62 * 72;6.72 * 75.52) = 0.329

EQ rx1 x3 = \f(523.63 - 7.27 * 72;1.82 * 75.52) = 0.00271

EQ rx1 x4 = \f(44.51 - 0.59 * 72;0.49 * 75.52) = 0.0489

EQ rx1 x5 = \f(27.44 - 0.42 * 72;0.49 * 75.52) = -0.0724

EQ rx1 x6 = \f(150.6 - 1.95 * 72;0.82 * 75.52) = 0.161

EQ rx2 x3 = \f(321.28 - 7.27 * 43.62;1.82 * 6.72) = 0.351

EQ rx2 x4 = \f(25.17 - 0.59 * 43.62;0.49 * 6.72) = -0.209

EQ rx2 x5 = \f(18.55 - 0.42 * 43.62;0.49 * 6.72) = 0.087

EQ rx2 x6 = \f(85.56 - 1.95 * 43.62;0.82 * 6.72) = 0.0643

EQ rx3 x4 = \f(4.08 - 0.59 * 7.27;0.49 * 1.82) = -0.255

EQ rx3 x5 = \f(3.28 - 0.42 * 7.27;0.49 * 1.82) = 0.264

EQ rx3 x6 = \f(14.42 - 1.95 * 7.27;0.82 * 1.82) = 0.149

EQ rx4 x5 = \f(0.12 - 0.42 * 0.59;0.49 * 0.49) = -0.544

EQ rx4 x6 = \f(1.1 - 1.95 * 0.59;0.82 * 0.49) = -0.134

EQ rx5 x6 = \f(0.83 - 1.95 * 0.42;0.82 * 0.49) = 0.0194

Матрица парных коэффициентов корреляции R:

Коллинеарность - зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

r(xjy) > r(xkxj); r(xky) > r(xkxj).

Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр xk или xj, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.

Для отбора наиболее значимых факторов xi учитываются следующие условия:

- связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;

- связь между факторами должна быть не более 0.7. Если в матрице есть межфакторный коэффициент корреляции rxjxi > 0.7, то в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность.;

- при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.

Если факторные переменные связаны строгой функциональной зависимостью, то говорят о полной мультиколлинеарности. В этом случае среди столбцов матрицы факторных переменных Х имеются линейно зависимые столбцы, и, по свойству определителей матрицы, det(XTX = 0).

Вид мультиколлинеарности, при котором факторные переменные связаны некоторой стохастической зависимостью, называется частичной. Если между факторными переменными имеется высокая степень корреляции, то матрица (XTX) близка к вырожденной, т. е. det(XTX ? 0) (чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии).

В нашем случае все парные коэффициенты корреляции |r|<0.7, что говорит об отсутствии мультиколлинеарности факторов.

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых |ryxi| < 0.5 исключают из модели. Можно дать следующую качественную интерпретацию возможных значений коэффициента корреляции (по шкале Чеддока): если |r|>0.3 - связь практически отсутствует; 0.3 ? |r| ? 0.7 - связь средняя; 0.7 ? |r| ? 0.9 - связь сильная; |r| > 0.9 - связь весьма сильная.

Проверим значимость полученных парных коэффициентов корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. Коэффициенты, для которых значения t-статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми.

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx1 по формуле:

EQ tнабл = ryx1 \f(\r(n-m-1);\r(1 - ryx1 2))

где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессии.

EQ tнабл = 0.14 \f(\r(86 - 1 - 1);\r(1 - 0.142)) = 1.26

По таблице Стьюдента находим Tтабл

tкрит(n-m-1;б/2) = (84;0.025) = 1.984

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx2 по формуле:

EQ tнабл = 0.32 \f(\r(86 - 1 - 1);\r(1 - 0.322)) = 3.1

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx3 по формуле:

EQ tнабл = 0.0325 \f(\r(86 - 1 - 1);\r(1 - 0.03252)) = 0.3

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx4 по формуле:

EQ tнабл = 0.19 \f(\r(86 - 1 - 1);\r(1 - 0.192)) = 1.78

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx5 по формуле:

EQ tнабл = 0.034 \f(\r(86 - 1 - 1);\r(1 - 0.0342)) = 0.31

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx6 по формуле:

EQ tнабл = 0.26 \f(\r(86 - 1 - 1);\r(1 - 0.262)) = 2.51

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

Таким образом, связь между (y и xx2 ), (y и xx6 ) является существенной, т.е. цена квартир зависит от жилой площади и расположения в центре или на окраине.

Наибольшее влияние на результативный признак оказывает фактор x2 (r = 0.32), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым.

Тестирование и устранение мультиколлинеарности.

Наиболее полным алгоритмом исследования мультиколлинеарности является алгоритм Фаррара-Глобера. С его помощью тестируют три вида мультиколлинеарности:

1. Всех факторов (ч2 - хи-квадрат).

2. Каждого фактора с остальными (критерий Фишера).

3. Каждой пары факторов (критерий Стьюдента).

Проверим переменные на мультиколлинеарность методом Фаррара-Глоубера по первому виду статистических критериев (критерий "хи-квадрат").

Формула для расчета значения статистики Фаррара-Глоубера:

ч2 = -[n-1-(2m+5)/6]ln(det[R])

где m = 6 - количество факторов, n = 86 - количество наблюдений, det[R] - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции R.

Сравниваем его с табличным значением при v = m/2(m-1) = 15 степенях свободы и уровне значимости б. Если ч2 > чтабл2, то в векторе факторов есть присутствует мультиколлинеарность.

чтабл2(15;0.05) = 24.99579

Проверим переменные на мультиколлинеарность по второму виду статистических критериев (критерий Фишера).

Определяем обратную матрицу D = R-1:

Вычисляем F-критерии Фишера:

EQ Fk = (dkk-1)\f(n-m;m-1)

где dkk - диагональные элементы матрицы.

Рассчитанные значения критериев сравниваются с табличными при v1=n-m и v2=m-1 степенях свободы и уровне значимости б. Если Fk > FТабл, то k-я переменная мультиколлинеарна с другими.

v1=86-6 = 80; v2=6-1 = 5. FТабл(80;5) = 4.4

EQ F1 = (1.402-1)\f(86-6;6-1) = 6.43

оскольку F1 > Fтабл, то переменная y мультиколлинеарна с другими.

EQ F2 = (1.264-1)\f(86-6;6-1) = 4.23

Поскольку F2 ? Fтабл, то переменная x1 немультиколлинеарна с другими.

EQ F3 = (1.578-1)\f(86-6;6-1) = 9.25

Поскольку F3 > Fтабл, то переменная x2 мультиколлинеарна с другими.

EQ F4 = (1.273-1)\f(86-6;6-1) = 4.37

Поскольку F4 ? Fтабл, то переменная x3 немультиколлинеарна с другими.

EQ F5 = (1.622-1)\f(86-6;6-1) = 9.95

Поскольку F5 > Fтабл, то переменная x4 мультиколлинеарна с другими.

EQ F6 = (1.535-1)\f(86-6;6-1) = 8.55

Поскольку F6 > Fтабл, то переменная x5 мультиколлинеарна с другими.

EQ F7 = (1.179-1)\f(86-6;6-1) = 2.86

Поскольку F7 ? Fтабл, то переменная x6 немультиколлинеарна с другими.

Проверим переменные на мультиколлинеарность по третьему виду статистических критериев (критерий Стьюдента). Для этого найдем частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты корреляции.

Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено.

На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели.

Можно сделать вывод, что при построении регрессионного уравнения следует отобрать факторы x2, x6.

Модель регрессии в стандартном масштабе.

Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

EQ tj = \f(xji-\x\to(xj);S(xj))

где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.

EQ ty = \f(yi-\x\to(xj);S(y))

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.

Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

ty = ?вjtxj

Для оценки в-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

rx1y=в1+rx1x2*в2 + ... + rx1xm*вm

rx2y=rx2x1*в1 + в2 + ... + rx2xm*вm

...

rxmy=rxmx1*в1 + rxmx2*в2 + ... + вm

Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):

-0.136 = в1 + 0.329в2 + 0.00271в3 + 0.0489в4 -0.0724в5 + 0.161в6

0.32 = 0.329в1 + в2 + 0.351в3 -0.209в4 + 0.087в5 + 0.0643в6

0.0325 = 0.00271в1 + 0.351в2 + в3 -0.255в4 + 0.264в5 + 0.149в6

-0.191 = 0.0489в1 -0.209в2 -0.255в3 + в4 -0.544в5 -0.134в6

-0.034 = -0.0724в1 + 0.087в2 + 0.264в3 -0.544в4 + в5 + 0.0194в6

-0.264 = 0.161в1 + 0.0643в2 + 0.149в3 -0.134в4 + 0.0194в5 + в6

Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса:

в1 = -0.227; в2 = 0.404; в3 = -0.0823; в4 = -0.262; в5 = -0.201; в6 = -0.272;

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

y0 = -0.227x1 + 0.404x2 -0.0823x3 -0.262x4 -0.201x5 -0.272x6

Найденные из данной системы в-коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

EQ bj = в\f(S(y);S(xj))

EQ a = \x\to(y) - ?bj\x\to(xj)

3. Анализ параметров уравнения регрессии.

Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации

Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:

Несмещенная ошибка е = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

Средняя ошибка аппроксимации

EQ A = \f(?|е : Y|;n) 100% = \f(21.06;86) 100% = 24.488

Оценка дисперсии равна:

se2 = (Y - X*Y(X))T(Y - X*Y(X)) = 13123967.15

Несмещенная оценка дисперсии равна:

EQ s2 = \f(1;n-m-1) s2e = \f(1;86 - 6 - 1)13123967.15 = 166126.17

Оценка среднеквадратичного отклонения (стандартная ошибка для оценки Y):

EQ S = \r(S2) = \r(166126.17) = 407.59

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S * (XTX)-1

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали

Показатели тесноты связи факторов с результатом.

Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии bj при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат.

К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, в-коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты эластичности.

С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:

EQ Ei = bi \f(\x\to(x)i; \x\to(y) )

Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора хj на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели.

EQ E1 = -1.39 \f(72; 1004.64 ) = -0.0996

Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

EQ E2 = 27.81 \f(43.62; 1004.64 ) = 1.21

Частные коэффициент эластичности |E2| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y.

EQ E3 = -20.91 \f(7.27; 1004.64 ) = -0.15

Частный коэффициент эластичности |E3| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

EQ E4 = -246.78 \f(0.59; 1004.64 ) = -0.15

Частный коэффициент эластичности |E4| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

EQ E5 = -188.75 \f(0.42; 1004.64 ) = -0.0786

Частный коэффициент эластичности |E5| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

EQ E6 = -153.7 \f(1.95; 1004.64 ) = -0.3

Частный коэффициент эластичности |E6| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - в-коэффициенты (вj) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора хj на величину своего среднего квадратического отклонения (Sхj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).

По максимальному вj можно судить, какой фактор сильнее влияет на результат Y.

По коэффициентам эластичности и в-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.

Коэффициент вj может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (xj) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).

Косвенное влияние измеряется величиной: ?вirxj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - rxj,y.

Так для нашего примера непосредственное влияние фактора x1 на результат Y в уравнении регрессии измеряется вj и составляет -0.227; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как:

rx1x2в2 = 0.329 * 0.404 = 0.1332

Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак.

5. Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак производится:

- средним коэффициентом эластичности, показывающим на сколько процентов среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора xi на 1% от своего среднего значения;

- в-коэффициенты, показывающие, что, если величина фактора изменится на одно среднеквадратическое отклонение Sxi, то значение результативного признака изменится в среднем на в своего среднеквадратического отклонения;

- долю каждого фактора в общей вариации результативного признака определяют коэффициенты раздельной детерминации (отдельного определения):

d2i = ryxiвi.

d21 = -0.14 * (-0.227) = 0.0309

d22 = 0.32 * 0.404 = 0.13

d23 = 0.0325 * (-0.0823) = -0.00268

d24 = -0.19 * (-0.262) = 0.05

d25 = -0.034 * (-0.201) = 0.00684

d26 = -0.26 * (-0.272) = 0.072

При этом должно выполняться равенство:

?d2i = R2 = 0.29

Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции).

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.

В отличие от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.

Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).

Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

EQ R = \r(1 - \f(s2e; ?(yi - \x\to(y))2)) = \r(1 - \f(13123967.15;18395389.83)) = 0.535

Связь между признаком Y факторами X умеренная

Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и в-коэффициентов.

EQ R = \r(?ryxiвyxi) = \r(ryx1вyx1 + ryx2вyx2 + ryx3вyx3 + ryx4вyx4 + ryx5вyx5 + ryx6вyx6)

EQ R = \r(-0.136 * -0.227 + 0.32 * 0.404 + 0.0325 * -0.0823 + -0.191 * -0.262 + -0.034 * -0.201 + -0.264 * -0.272) = 0.535

Коэффициент детерминации.

R2= 0.5352 = 0.287

5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).

Число v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.

1) t-статистика

Tтабл (n-m-1;б/2) = (79;0.025) = 1.99

EQ ti = \f(bi;Sbi)

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:

EQ Sb0 = \r(313.71) = 17.71

EQ t0 = \f(569.36;17.71) = 32.15>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:

EQ Sb1 = \r(0.000991) = 0.0315

EQ t1 = \f(-1.39;0.0315) = 44.16>1.99

атистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:

EQ Sb2 = \r(0.14) = 0.38

EQ t2 = \f(27.81;0.38) = 73.95>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b3:

EQ Sb3 = \r(1.81) = 1.34

EQ t3 = \f(-20.91;1.34) = 15.55>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b3 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b4:

EQ Sb4 = \r(29.96) = 5.47

EQ t4 = \f(-246.78;5.47) = 45.08>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b4 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b5:

EQ Sb5 = \r(28.78) = 5.36

EQ t5 = \f(-188.75;5.36) = 35.19>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b5 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b6:

EQ Sb6 = \r(7.58) = 2.75

EQ t6 = \f(-153.7;2.75) = 55.84>1.99

Статистическая значимость коэффициента регрессии b6 подтверждается.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi)

b0: (569.36 - 1.99 * 17.71 ; 569.36 + 1.99 * 17.71) = (534.12;604.61)

b1: (-1.39 - 1.99 * 0.0315 ; -1.39 + 1.99 * 0.0315) = (-1.45;-1.33)

b2: (27.81 - 1.99 * 0.38 ; 27.81 + 1.99 * 0.38) = (27.06;28.56)

b3: (-20.91 - 1.99 * 1.34 ; -20.91 + 1.99 * 1.34) = (-23.59;-18.23)

b4: (-246.78 - 1.99 * 5.47 ; -246.78 + 1.99 * 5.47) = (-257.68;-235.89)

b5: (-188.75 - 1.99 * 5.36 ; -188.75 + 1.99 * 5.36) = (-199.43;-178.07)

b6: (-153.7 - 1.99 * 2.75 ; -153.7 + 1.99 * 2.75) = (-159.18;-148.22)

6. Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения.

По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости б (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1.

2) F-статистика. Критерий Фишера.

EQ R2 = 1 - \f(s2e;?(yi - \x\to(y))2) = 1 - \f(13123967.15;18395389.83) = 0,287

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.

Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

EQ \x\to(R)2 = 1 - (1 - R2)\f(n-1;n-m-1)

EQ \x\to(R)2 = 1 - (1 - 0.287)\f(86-1;86-6-1) = 0.232

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.

Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H0: R2 = 0; в1 = в2 = ... = вm = 0.

H1: R2 ? 0.

Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка).

Если F < Fkp = Fб ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.

EQ F = \f(R2;1 - R2)\f((n - m -1);m) = \f(0.287;1 - 0.287)\f(86-6-1;6) = 5,29

Табличное значение при степенях свободы k1 = 6 и k2 = n-m-1 = 86 - 6 - 1 = 79, Fkp(6;79) = 2.17

Отметим значения на числовой оси.

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

Оценка значимости дополнительного включения фактора (частный F-критерий).

Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличить долю объясненной вариации результативного признака. Это может быть связано с последовательностью вводимых факторов (т. к. существует корреляция между самими факторами).

Мерой оценки значимости улучшения качества модели, после включения в нее фактора хj, служит частный F-критерий - Fxj:

EQ Fxj = \f(R2 - R2(x1,xn);1-R2) (n - m - 1)

где m - число оцениваемых параметров.

В числителе - прирост доли вариации у за счет дополнительно включенного в модель фактора хj.

Если наблюдаемое значение Fxj больше Fkp, то дополнительное введение фактора xj в модель статистически оправдано.

Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов "чистой" регрессии (bj). Существует взаимосвязь между частным F-критерием - Fxj и t-критерием, используемым для оценки значимости коэффициента регрессии при j-м факторе:

EQ t(bj=0) = \r(Fxj)

Список литературы