В дальнейшем появились аналогичные работы, которые рассматривали другие наборы моделей [Sabal 2001; Von Jenner 2008].

Дальнейшим витком исследований моделей ценообразования активов стали односторонние меры риска. Это было связано с тем, что двустороння дисперсия является достаточно спорной мерой риска. Она предполагает, что ожидаемые доходности распределены симметрично, что на практике не выполняется. Так, в работе [Bekaert, Wu 2000] показано, что волатильность на фондовом рынке несимметрична. В более ранних работах были сделаны аналогичные выводы касательно асимметрии на фондовом рынке [Bondt, Thaler 1985; Campbell, Hentschel 1992; Miller, Leiblein 1996]. Более того, предположение о нормальности данных тоже не выполняется на практике [Fama 1965; Kon 1984; Edwards, Susmel 2001; Dufour, Khalaf, Beaulieu 2003]. Как следствие, появилось достаточно большое чисто модификаций коэффициента бета, которые бы использовали односторонние меры риска [Bawa, Lindenberg 1977; Harlow, Rao 1989; Estrada 2002]. Особую популярность заслужила модель Эстрады. Остановимся на ней подробнее

, (5)

где единственным отличием от классической CAPM является расчет коэффициента бета:

, (6)

Эстрада делает вывод в своей статье [Estrada 2002], что DCAPM является более подходящей для развивающихся рынков, чем классическая CAPM. В своем исследовании он охватывает 28 развивающихся рынков, включая Россию. Используются месячные доходности за период с января 1988 г. по конец 2001 г. В его исследовании односторонние коэффициенты бета получаются значимо больше, чем коэффициенты, получаемые из классической модели. Как следствие, требуемые доходности для развивающихся рынков также получается больше.

Хоть модель и стала привлекательна как для исследователей, так и для практиков, можем заметить, что при таком расчёте коэффициента бета не учитывается возможность захеджировать доходность ниже средней одного актива в портфеле доходностью выше средней другого актива [Cheremushkin 2011]. Это может привести к завышенной оценке коэффициента.

По этой причине необходимо было модифицировать методику расчета коэффициента бета так, чтобы учитывалась асимметрия, но при этом доходности выше среднего не выпадали из анализа. Другими словами, необходимо было придумать модель, которая бы давала больший «вес» негативным движениям рынка, но и не оставляла без внимания положительные тенденции.

Одним из возможных решений данной проблемы было использование моментов более высокого порядка. Так, CAPM учитывает только лишь первые два момента (среднее и дисперсию), поэтому исследователи стали включать в модель коэффициенты асимметрии и эксцесса. Тем не менее, результаты тестов показывают неоднозначные результаты. Например, в статье [Teplova, Shutova 2011] тестируются различные модификации CAPM на российском фондовом рынке за период 2004-2009 гг. с разделением на докризисный период и кризис: классическая, DCAPM и CAPM с моментами 3-го и 4-го порядков (асимметрия и эксцесс). Авторы делают вывод, что модели с моментами более высокого порядка не могут дать значимого увеличения в объясняющей способности (explanatory power) модели. В то же время модели с односторонними коэффициентами бета обладают значительно большей объясняющей способностью.

Следовательно, использование моментов более высокого порядка на российском рынке не является решением. В последние годы в финансовой математике начала становиться популярной концепция энтропии [Cherny, Maslov 2004]. Она использовалась, например, для оптимизации портфеля [Kapur 1992; Qin, Li, Ji 2009]. В статье [Dranev 2012] энтропия использовалась для нового метода расчета коэффициента бета в CAPM. Автор отмечает, что энтропическая дисперсия [entropic variance] придает большой вес одностороннему риску, т.е. вероятности того, что доходность окажется меньше средней, но при этому все еще учитывает и положительное движение, т.е. вероятность того, что доходность может оказаться выше среднего.

Автор выводит энтропические меры риска, а затем и энтропическую бету:

, (7)

где, - энтропическая ковариация, а - энтропическая дисперсия.

Сама модель же не отличается от классической CAPM, кроме расчета коэффициента бета:

, (8)

Тем самым, мы можем сделать небольшое заключение о развитии CAPM и ее модификаций.

Рисунок 2. Эволюция CAPM

Можно сделать вывод, что модель становилась все сложнее в плане расчета меры риска, сохраняя при этом относительную простоту конструкции. В результате чего, она все еще остается одной из наиболее популярных моделей ценообразования активов.

1.2 Модели GARCH

ценообразование актив финансовый шварц

Неопределенность играет важнейшую роль в современной финансовой теории. Она требует повышенной доходности по причине того, что возникает риск отсутствия прибыли или даже невозврата инвестиций. Со временем в научной литературе возникло понимание того, что неопределенность, в частности неопределенность цен за акции, меняется во времени [Mandelbrot 1963; Fama 1965]. Другими словами, методы подсчета, оценки неопределённости, риска должны учитывать это.

Одним из самых распространённых инструментов, который в своей конструкции учитывает данную особенность является ARCH модель [Bollerslev 2001]. С момента ее первого появления было написано более нескольких сотен научных работ, которые использовали данную модель или/и ее модификацию [Bollerslev 2009].

Впервые ARCH модель была представлена в работе Энгла [Engle 1982]. ARCH модель предполагала меняющуюся во времени условную дисперсию, которая зависит от доступной информации, в отличие от модели ARMA, которая предполагала постоянство условной дисперсии [Box, Jenkins 1970]. Более того, модель ARCH позволяет смоделировать гетероскедастичную волатильность во времени, как следствие, появляется возможность объяснить кластеризацию волатильности [volatility clustering], которая является распространенной особенностью финансовых рынков [Mandelbrot, Taylor 1967]. Рассмотрим модель ARCH подробнее.

Пусть - логарифм доходности актива в момент времени t. Также дадим определения условному среднему и дисперсии

, (9)

где - информация, доступная в момент времени t-1. Чаще всего является линейной функцией прошлых доходностей, а уравнение для определяется некоторым процессом, описывающим динамику математического ожидания доходности. Получаем,

, (10)

где - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (iid - independent and identically distributed) с нулевым математическим ожиданием. С практической точки зрения - это шок в момент времени t.

Тогда:

, (11)

Непосредственно сама модель ARCH(m) выглядит следующим образом:

, (12)

где - последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, .

GARCH модель была впервые представлена в работе Боллерслева [Bollerslev 1986] в качестве обобщения ARCH модели. Причиной модификации ARCH модели служило то, что ей не хватало гибкости в структуре лагов. Она медленно реагировала на крупные, изолированные шоки в доходностях. Согласно статье Сильвеннойнена и Тарасвирта [Silvennoinen, Tarasvirta 2009] семейство моделей GARCH является одним из наиболее подходящих для моделирования доходностей акций, индексов.

Рассмотрим простейшую GARCH(m, s) модель:

, (13)

где - последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, .

В дальнейшем одномерная GARCH модель подверглась множеству модификаций: интегрированная GARCH (IGARCH) [Bollerslev, Engle 1986], экспоненциальная GARCH модель (EGARCH) [Nelson 1991], модель GJR-GARCH [Glosten et al., 1993], асимметричная GARCH (AGARCH) [Engle 1990], нелинейная AGARCH (NAGARCH) [Engle, Ng 1993], пороговая GARCH (Threshold GARCH) [Zakoian 1991], GARCH в среднем (GARCH-M) [Engle et al. 1987] и другие. Все они были созданы для решения основных проблем обычной GARCH модели: возможные единичные корни ( может быть равно 1 на практике), эффект рычага (асимметричное воздействие новостей на волатильность, т.е. плохие новости оказывают большее влияние на волатильность, чем хорошие) [Black 1976], борьба с большим количество оцениваемых параметров и невозможность интерпретации некоторых коэффициентов.

Переход к многомерным моделям был обусловлен тем, что исследователей стала интересовать взаимосвязанность финансовых рынков и феноменов, которые возникали на одном рынке, а затем влияли на другие. Например, влияет ли сильная волатильность одного рынка на волатильность другого, волатильность одного актива на волатильность другого. Если да, то насколько. Примеры таких исследований приводятся в работах [Kearney, Patton 2000; Karolyi 1995]. В частности, среди современных исследований, посвященных данной тематике, распространение стали получать исследования влияния волатильностей развивающихся стран на развитые и наоборот. Так, в статье [Fedorova, Gilenko 2014] используется многомерная модель BEKK GARCH в среднем для проверки влияния волатильности рынков стран BRIC на развитые рынки капитала.

Первой многомерной GARCH моделью была VEC модель [Bollerslev, Engle, Wooldridge 1988].

Рассмотрим ее структуру:

Пусть логарифм доходностей k активов. Применим тот же способ, что и в одномерном случае:

, (14)

где, - условное математическое ожидание при доступной в момент t-1 информации, а - вектор независимых и одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием. Условное математическое ожидание определяется некоторым процессом, описывающим динамику математического ожидания доходности.

Теперь же происходит переход от одномерной дисперсии к ковариационной матрице:

, (15)

где - положительно определённая матрица доступной информации в момент t-1 размерности . Тогда VEC GARCH(m, s) будет выглядеть следующим образом:

, (16)

где - симметричные матрицы, а - произведение Адамара (или произведение Шура) - покомпонентное произведение [Chandler 1962].

Альтернативная запись:

, (17)

где - матричный оператор, складывает элементы матрицы в вектор-столбец [Roth 1934]

Она обладала существенным недостатком. Модель требовала оценить большое число параметров. Также ковариационная матрица должна была быть положительно определена, но такая модель не гарантировала выполнение данного условия. Для того, чтобы справиться с этими проблемами авторы предложили использовать диагональные матрицы , благодаря чему матрица стала положительно определенной в любой момент времени t [Bollerslev, Engle, Nelson 1994]. Тем не менее предпосылка о том, что матрицы диагональные, т.е. все элементы вне главной диагонали равны нулю, ведет к тому, что невозможно взаимодействие между различными условными ковариациями и дисперсиями [Silvennoinen, Terasvirta 2008]. Такая предпосылка является слишком ограничивающей.

Дальнейшее развитие многомерных GARCH моделей было направлено на преодоление этих недостатков. Так, модель BEKK, представленная Энглом и Кронером [Engle, Kroner 1995], предлагала новый способ определения ковариационной матрицы, который гарантировал положительную определенность.

, (18)

где - нижне-треугольная матрица, - матрицы размерности . Тем самым матрица всегда положительная определена в силу того, что положительно определена. К тому же такая структура делает возможной динамическую зависимость между волатильностями. К сожалению, параметры матриц не могут быть напрямую интерпретированы. Во-вторых, опять требуется оценка большого числа параметров.

В рассмотренных выше исследованиях матрица определялась напрямую с помощью условных ковариаций. Альтернативным способом является моделирование условных дисперсий и корреляций вместо «прямого» моделирования условной ковариации. Основным преимуществом данного способа является интуитивная интерпретация корреляции.

Первая подобная модель была предложена Боллерслевом [Bollerslev, 1990] - CCC M-GARCH (constant conditional correlation multivariate GARCH):

, (19)

где - условная положительно определенная симметричная корреляционная матрица, которая не изменяется во времени (, - диагональная матрица размерности , состоящая из условных стандартных отклонений (). Тогда элементы матрицы , стоящие вне главной диагонали определяются следующим образом:

. (20)

Условные дисперсии моделируются как:

, (21)

где - вектор размерности , - диагональные матрицы размерности и .

Боллерслев в своей статье использовал 5 номинальных европейских обменных курсов с долларом, чтобы показать объясняющую способность данной модели. Он обнаружил, что после введения европейской монетарной системы в марте 1979, корреляция между курсами значительно возросла. Боллерслев отмечает, что данная модель не столь сложна для оценки по сравнению с диагональной VEC GARCH [Bollerslev, Engle, Wooldridge 1988]

CCC GARCH часто применялась в исследованиях, посвященных изменяющимся во времени коэффициентам бета [De Santis and Gerard (1998), Hafner and Herwartz 1999]. Тем не менее, такая модель все равно требовала оценивания большого числа неизвестных параметров [Pagan 1996].

Следующим этапом развития исследований CCC M-GARCH моделей было использование не постоянной условной корреляции, а динамической. Предпосылка о не изменяющейся во времени корреляции является неправдоподобной с практической точки зрения, особенно при длинных временных рядах, и может привести к неверным результатам [Ledoit et al. 2003].

Впервые DCC M-GARCH была предложена в статье Энгла [Engle 2002]. Она использовала двухшаговый метод оценки с помощью функции правдоподобия. Согласно результатам Энгла DCC M-GARCH демонстрировала устойчивые результаты.

Внешне динамическая модель не сильно отличается от CCC GARCH:

, (22)

Платой за более приближенные к реальности предпосылки является потеря относительной простоты оценки коэффициентов, т.к. теперь для матрицы должна быть посчитана обратная матрица в каждый момент времени t, в то время как для CCC GARCH из-за независимости матрицы P от времени требуется расчет обратной матрицы лишь один раз.

Встает вопрос о том, как именно должна быть смоделирована матрица . Один из первых способов был предложен в работе [Tse, Tsui 2002]:

, (23)

где S - положительно определенная матрица параметров размерности с единичными диагональными элементами, a и b - скалярные параметры, что , - выборочная корреляционная матрица размерности прошлых M стандартизированных остатков (). Положительная определенность матрицы гарантирована, если положительно определены. Это выполняется, если . Коэффициент отсылается к идее о таргетировании дисперсии [variance targeting] [Engle, Mezrich 1996].

Второй способ был предложен Энглом [Eangle 2002]:

, (24)

, (25)

Минусом обоих способов было то, что они хоть и предполагали динамическую корреляцию, но структура динамики была одинакова.

Стоит отметить, что возросло число многомерных моделей, учитывающих асимметрию (смотри [Tsay 2006]), как логичное продолжение данных исследований.

1.3 Тестирование CAPM

Эмпирические тесты модели показали большое число недостатков, например, неточные оценки коэффициента бета. Поэтому некоторые экономисты стали отходить от базовой концепции. Блюм [Blume 1970], Блэк, Йенсен и Шоулз [Black, Jensen, Scholes 1972] применяли модель не на отдельных ценных бумагах, а на портфеле. Такой подход оказался весьма удачным.

Йенсен [Jensen 1968] в своей работе представил тест, основанный на временных рядах, который отвергал классическую версию CAPM Шарпа-Линтнера-Моссина. Йенсен модифицировал классическую модель включив в нее, так называемую, альфу Йенсена, константу. Оказалось, что константа значима и даже больше безрисковой ставки. Данное направление тестирования модели CAPM является одним из основных и наиболее популярных. Исследования Миллера и Шоулза [Miller, Scholes 1972], Блюма и Френда [Blume, Friend 1973] и Фамы и Френча [Fama, French 1992] приходят к аналогичным результатам, что и Йенсен.

Другим направлением тестирования модели было тестирование коэффициента бета. Проверялось, может ли данный коэффициент объяснять тот или иной уровень ожидаемой доходности [Fama, MacBeth 1973].

Однако, Ролл [Roll 1977] в своей работе утверждал, что все тесты модели не являются достоверными и никогда не будут, потому что прокси, используемые в тестах, не являются полноценными, они не могут быть сконструированы так, что будут включать в себя абсолютно все активы. В продолжение критики Ролла Фама и Френч [Fama, French 2004] считают возможной причиной такого эмпирического «провала» невозможность тестирования модели и слишком упрощенные предпосылки. Другая проблема по мнению авторов состоит в том, что некоторые определения интерпретируются неверно, например рыночный портфель

Тем не менее, это не мешало исследователям продолжать тестировать модификации CAPM. Например, в работе [Gibbons 1982] отвергается как CAPM в модификации Блэка, так и классическая версия модели. Однако, в тот же год в работе [Stambaugh 1982] делаются противоположные выводы.

В дальнейшем появилось большое число исследований условной CAPM. Впервые способность условной CAPM объяснить различия в средних доходностях на большом количестве портфелей была протестирована в работе [Jagannathan, Wang 1996]. Они пришли к выводу, что условная CAPM вполне способна справиться с рыночными неэффективностями. К такому же выводы пришли [Lettau, Ludvigson 2001; Gomes et al. 2003; Petkova, Zhang 2005]. С другой стороны, в работе [Lewellen, Nagel 2006] авторы делают вывод, что условная CAPM не способна объяснить специфичные рыночные аномалии, но, что более важно, условные константы велики и значимы, что отвергает применимость условной CAPM.

Модель Эстрады также получило широкую огласку среди исследователей. Так в статьях [Post, Vliet 2004; Estrada 2006; Estrada 2007] показывается, что односторонний подход к оценке коэффициента бета является более предпочтительным, чем классический. Аналогично, в работе [Abbas et al 2011] утверждается, что DCAPM является решением проблемы ценообразования активов.

Со временем стали тестироваться модели с более высокими моментами в качестве меры риска. В частности, на американском фондовом рынке тестировалась модель с коэффициентами асимметрии [Harvey, Siddique 2000] и эксцесса [Dittmar 2002]. Авторы делают вывод, что подобные модели подходят для американского рынка больше, чем классическая. Напомним, что и на российском рынке было проведено аналогичное исследование Тепловой и Шутовой [Teplova, Shutova 2011], в котором делаются неоднозначные выводы касательно объясняющей способности подобных моделей.

Тесты условной CAPM с применением многомерных моделей GARCH позволяют учесть тот факт, что условная ковариация сильно меняется во времени, как следствие, и коэффициент бета тоже меняется во времени.

Первой работой, посвященной тестированию CAPM с помощью многомерной GARCH модели считается работа [Bollerslev, Engle, Wooldridge 1988]. В ней впервые используется многомерная диагональная VEC GARCH модель. Авторы тестируют CAPM для квартальных доходностей 6-ти месячных казначейских векселей США, 20-ти летних казначейских облигаций США и акций за период от 1-го квартала 1959 г. до 2-го квартала 1989 г. В качестве безрисковой ставки берутся 3-х месячные казначейские векселя США. Они делают вывод, что модель с учетом условных ковариациях показывает лучший результат, чем модель с безусловными ковариациями. Авторы делают вывод, что CAPM отвергается, т.к. лаговая зависимая переменная, добавленная в модель, значима, т.е. классическая CAPM не способна полностью предсказать избыточные доходности.

Немного другая методология использовалась в статье [Ng 1991]. В ней тестировалась CAPM не на отдельных ценных бумагах, а на портфеле. Были применены различные методики конструирования портфеля. Портфели состояли из всех торгующихся на Нью-Йоркской фондовой бирже ценных бумаг за период от января 1926 г. до декабря 1987 г. Использовались месячные доходности. Были протестированы как классическая CAPM Шарпа-Линтнера-Моссина, так и CAPM в модификации Блэка без безрискового актива. Автор делает вывод, что результаты тестирования зависят от методики конструирования портфеля. Так, при тестировании CAPM на сортированных по размеру портфелях делается вывод о том, что модели отвергаются. При тестировании модели на сортированных по коэффициенту бета портфелей CAPM не отвергается.

Подобные исследования стали весьма популярными и были проведены и на других развитых рынках. В частности, в статье [Hansson, Hordahl 1998] проводились тесты условной CAPM на Шведском фондовом рынке за период с 1977 по 1990 гг. Авторы использовали различные методики конструирования портфеля и месячные доходности. Они приходят к выводу, что условная CAPM не может быть отвергнута в пользу других ее модификаций (например, авторы использовали в качестве альтернативной модели zero-beta CAPM).

Дальнейшим витком тестирований CAPM с помощью многомерных GARCH моделей был переход от развитых рынков на развивающиеся. Так, [Godeiro 2013] тестирует условную CAPM на бразильском фондовом рынке с помощью многомерной VCC GARCH. Используются ежедневные доходности акций, входящих в рыночный индекс Бразилии за период с 1-го января 1995 г. по 20-е марта 2012 г. Автор не использует портфель, а тестирует CAPM для каждой акции в отдельности. Он делает вывод, что условная CAPM отвергается.

На российском фондовом также проводились тесты как классической CAPM, так и ее модификаций. Одной из первых можно считать работу [Бухвалов, Окулов 2006]. В своей статье авторы тестируют CAPM, zero-beta CAPM, двухфакторную zero-beta CAPM и DCAPM. Были взяты недельные доходности 7 отраслевых индексов SKATE и индекс Moscow Times за период с июля 1996 г. по июль 1998 г. В качестве рыночного портфеля был взят индекс SKATE-100 Russia. Использовались различные безрисковые активы: ценовой индекс ГКО агентства SKATE, вложения в доллары США (доходность вложений в валюту определялась как относительное изменение цены) и 7-дневные кредиты на межбанковском рынке. Для тестирования DCAPM были взяты средние недельные доходности 74 акций и индекса РТС за период с 1996 г. по 2002 г. Авторы делают вывод, что классическая CAPM не может быть отвергнута при использовании в качестве безрискового актива индекс ГКО и вложения в доллары, но при использовании ставок на МБК модель отвергается. Авторы подводят итог, что CAPM все же не соответствует данным российского рынка ценных бумаг. Аналогичные выводы были сделаны и для остальных моделей: модель Блэка как и в однофакторном, так и в двухфакторном виде, отвергается, модель DCAPM также отвергается.

Другие результаты были получены в работе [Теплова, Селиванова 2007]. Авторы делают вывод, что DCAPM является более подходящей для российского рынка на периоде с 2003 г. по 2006 г. Аналогично, в статье [Teplova, Shutova 2011] делается вывод, что односторонние меры риска являются более подходящими для объяснения доходностей. Тем не менее, авторы обеих статей отмечают слабую объясняющую способность моделей.

В дальнейшем проводились тесты односторонних мер риска не только в рамках DCAPM. Так, в статье [Dranev, Fomkina 2012] проводились тесты различных способов определения риска: стандартное отклонение, односторонние меры риска, энтропическое отклонение, энтропическая дисперсия, классическая бета, энтропическая бета и односторонняя бета. Брался период за 2003-2012 гг. Использовались недельные и месячные доходности 63 акций. В качестве рыночного портфеля был взят индекс ММВБ, а в качестве безриского актива были взят долгосрочные облигации (ОФЗ). Авторы делают вывод, что энтропические меры риска являются более подходящими на стабильном рынке. В условиях же сильной волатильности ни одна из модификаций беты не является значимой.

Подведем небольшой итог тестирования CAPM и ее модификаций. Во-первых, среди исследователей нет единого мнения ни о способах тестирования моделей. Различные методологии давали совершенно различные результаты даже на относительно одинаковых данных, что говорит о нестабильности результатов. Во-вторых, нет однозначных выводов о применимости тех или иных модификаций моделей в зависимости от рынка (развивающийся или развитый). В-третьих, также нет однозначных выводов и о применимости различных способов подсчета риска. Бета оказывалась как значима, так и не значима. Аналогичные результаты как для ее модификаций, так и для других мер риска, например, стандартное отклонение, энтропическое стандартное отклонение и т.д. В-четвертых, на российском фондовом рынке также не достигнуто единое мнение о применимости CAPM и ее модификаций.

Глава 2. Методология

2.1 Алгоритм эмпирического исследования

Для проведения исследования необходимо, во-первых, получить доходности из котировок. Для этого была использована формула непрерывного начисления процентов:

, (26)

где - стоимость ценной бумаги в момент времени t.

Для приведения годовых доходностей безрискового актива к доходностям за нужный временной период была использована формула сложного процента:

, (27)

где - годовая доходность. В качестве n брались значения 365, 52 и 12 для дневных, недельных и месячных доходностей соответственно.

Затем была посчитана избыточная доходность. Она считалась как:

, (28)

После расчета доходностей необходимо было сконструировать портфель. Для этого была использована методика равновзвешенного портфеля. Такая методика была выбрана, потому что такой портфель является эффективным [DeMiguel, Garlappi, Uppal 2009]. К тому же, он довольно часто используется на практике [Bernartzi, Thaler 2001; Windcliff, Boyle 2004; Plyakha, Uppal, Vilkov 2014].

Доходность такого портфеля считается следующим образом:

, (29)

Избыточная доходность портфеля () считалась аналогичным способом.

Стоит отдельно отметить, что для DCAPM и ECAPM доходности требовалось модифицировать:

, (30)

, (31)

, (32)

, (33)

где - доходности портфеля и рыночного индекса соответственно для DCAPM в момент времени t, - средние доходности портфеля и рыночного индекса за анализируемый период соответственно, - доходности портфеля и рыночного индекса соответственно для ECAPM в момент времени t.

После этого необходимо выбрать лучшую модель GARCH среди различных спецификаций CCC GARCH, DCC GARCH и VCC GARCH. Для этого использовались критерий Акаике и критерий Шварца. Спецификации многомерных моделей состояли в различных уравнениях для среднего (модели с и без константы, с лаговой переменной с константой и без константы), разном количество лагов для ARCH и GARCH эффектов (первый и второй лаги). Тем самым, требовалось оценить около 64 модификаций. Они оценивались для каждого временного промежутка (2006-2015, 2006-2007, 2008-2009, 2010-2015, 2010-2013, 2014-2015), для каждого набора доходностей отдельно (дневные, недельные и месячные) и для каждой модели (CAPM, zero-beta CAPM, DCAPM и две ковариации для ECAPM). Месячные модели оценивались только на всем промежутке из-за небольшого числа наблюдений. В итоге, было оценено около 5000 моделей GARCH.

Такое большое число моделей для оценки обусловлено тем, что выбор наилучшей модели GARCH является решающим при тестировании CAPM и ее модификаций.

После получения лучшей модели GARCH, с ее помощью были посчитаны коэффициенты бета. Результатом оценивания многомерной модели GARCH являются оценки ковариаций между доходностью портфеля и рыночного портфеля и оценки дисперсий рыночного портфеля, затем используется выражение (2). В результате чего рассчитывается оцененный коэффициент бета.

После этого была построена регрессия вида:

, (34)

где - посчитанные с помощью многомерной GARCH модели беты (как классические, так и беты для DCAPM, ECAPM), k принимает значения -1, 0,5, 2, как наиболее распространенные и интуитивно понятные нелинейности финансовых моделей, - случайный член. Включение в уравнение регрессии обусловлено тем, что все проверяемые в данной работе модификации CAPM предполагают линейность по коэффициенту бета. Тем самым, в работе проверяется возможная нелинейная связь между требуемой доходностью и систематическим риском. При оценивании регрессии использовались робастные стандартные ошибки, т.к. они дают более эффективные оценки стандартных ошибок. Модель оценивалась как с коэффициентом , так и без него.

Если предпосылки CAPM, DCAPM и ECAPM выполняются, то:

1. , модель полностью описывает изменение избыточных доходностей, т.е. избыточная доходность определяется систематическим риском [Bodie, Kane, Marcus 2009]

2. и значима,

3. , модель предполагает линейность

По-другому выглядит тестирование CAPM в модификации Блэка. Причина в том, что модель считается не в избыточных доходностях, отсутствует безрисковый актив. Для ее тестирования также были рассчитаны коэффициенты бета, а затем найдены доходности по портфелю с нулевой бетой. Выразим из уравнения (3) доходность подобного портфеля:

, (35)

Тем самым, становятся известны доходности портфеля, доходность рыночного портфеля и оценены коэффициенты бета. С помощью них находится доходность портфеля с нулевой бетой.

После этого делается небольшая перегруппировка уравнения (3) и оценивается следующая регрессия:

, (36)

где - оценка доходности портфеля с нулевой бетой. Модель Блэка не отвергается при тех же условиях, что и классическая CAPM, DCAPM и ECAPM, кроме того, что теперь необходимо, чтобы коэффициент и был значим.

Тем самым в данном исследовании используется модифицированная версия двухшагового теста, представленного в работе [Fama, MacBeth 1973]

2.2 Постановка гипотез

В данной работе будут проверены следующие гипотезы:

1. Классическая версия CAPM не может описать ценообразование активов на российском фондовом рынке за рассматриваемые периоды. Эта гипотеза обусловлена большим числом статей, которые были рассмотрены в обзоре литературы, в которых делается вывод о несостоятельности классической CAPM на развивающихся рынках

2. Модель Блэка не может описать ценообразование активов на российском фондовом рынке. Данная гипотеза обусловлена тем, что в работе [Бухвалов, Окулов 2006] делается вывод о несостоятельности модели Блэка на российском фондовом рынке, но за более ранний период. В данной работе предполагается, что и на выбранном временном интервале модель Блэка будет отвергнута.

3. Модель Эстрады может описать ценообразование активов на российском фондовом рынке. Данная гипотеза вытекает из исследований, подтверждающих, что на развивающихся рынках односторонние меры риска оказываются лучше [Post, Vliet 2004; Estrada 2006; Estrada 2007; Abbas et al 2011]

4. Модель с энтропической мерой систематического риска может описать ценообразование активов. Данная гипотеза является продолжением работы [Dranev, Fomkina 2012].

2.3 Описание выборки

В рамках данного исследования были использованы дневные, недельные и месячные котировки 15 крупнейших по капитализации и наиболее ликвидных российских компаний, входящих в индекс ММВБ, которые составляют более 75% капитализации рынка, за 2006-2015 гг. Тем самым, наиболее ликвидная часть российского фондового рынка охватывается в исследовании. В качестве безрисковой ставки была взята доходность по однолетним ОФЗ, публикуемые на ежедневной основе на официальном сайте Центрального Банка Российской Федерации. В качестве рыночного портфеля был взят индекс ММВБ.

Ранее было упомянуто, что брались различные временные промежутки. Для данного исследования разбивка временного промежутка выглядит следующим образом:

1. 2006-2015 гг. - весь период отдельно

2. 2006-2007 гг. - докризисный период, стабильный рост рынка

3. 2008-2009 гг. - кризис, сильное падение рынка

4. 2010-2013 гг. - относительно спокойный период

5. 2014-2015 гг. - санкции

6. 2010-2015 гг. - данный период был выделен, чтобы посмотреть, как изменятся результаты тестирования, т.е. для рассмотрения влияния санкций на рынок.

Немного подробнее про 2010-2015 гг. Из рисунка 1, что был в начале работы, можно заметить, что кризис 2008-го года очень сильно сказался на котировках рыночного индекса, на рынке в целом. Однако подобное не наблюдается для 2014-2015 гг. Наоборот, рыночный индекс вырос и почти вернулся к значениям 2011 г. Тем не менее, для данного исследования куда большую важность имеют не котировки, а доходности. Доходность рыночного индекса за весь период представлена на рисунке далее.

Рисунок 3. График доходностей индекса ММВБ за 2006-2015 гг.

Тем самым, можно наблюдать, что и доходности за 2014-2015 не сильно отличались от доходностей за предыдущие периоды.

Аналогично, доходность портфеля за 2014-2015 гг. не сильно отличалась от доходностей предыдущих периодов.

Рисунок 4. График доходности портфеля за 2006-2015 гг.

В таблице ниже приведено более точное количественное описание рыночного индекса.

Таблица 2. Показатели риска и доходности индекса ММВБ

Можно заметить, что наибольшие стандартные отклонения наблюдались в годы кризиса 2008 г. Что же касается 2014-2015 гг., то рынок был менее волатилен, чем в 2011 году.

Тесты на нормальное распределение доходностей рыночного индекса и портфеля показывают следующее:

Таблица 3. Результаты тестирования гипотезы о нормальности распределения доходностей

Переменная	Количество наблюдений	P-value (асимметрия)	P-value (эксцесс)		P-value
ММВБ (дневные)	2480	0,0035	0,0000	619,79	0,0000
Портфель (дневные)	2480	0,0109	0,0000	738,21	0,0000
ММВБ (недельные)	515	0,3692	0,0000	105,75	0,0000
Портфель (недельные)	515	0,6723	0,0000	111,77	0,0000
ММВБ (месячные)	120	0,0001	0,0004	27,89	0,0000
Портфель (месячные)	120	0,0000	0,0000	42,52	0,0000

Тем самым дневные, недельные и месячные доходности рыночного индекса и портфеля имеют не нормальное распределение, т.к. нулевая гипотеза о нормальности распределения отвергается на любом адекватном уровне значимости.

Теперь же рассмотрим многомерные модели GARCH, которые оказались лучшими по критериями Акаике и Шварца.

Таблица 4. Лучшие по критерию Акаике многомерные модели GARCH на дневных данных

	2006-2015	2006-2007	2008-2009	2010-2013	2014-2015	2010-2015
	DCC (1,1)	CCC (1,2)	СCC (2,1)	DCC (2,2)	DCC (1,1)	DCC (2,1)
	VCC (2,2)	CCC (1,2)	DCC (2,2)	DCC (2,2)	DCC (1,1)	DCC (2,1)
	DCC (2,2)	DCC (2,2)	DCC (2,2)	DCC (2,2)	DCC (2,1)	DCC (1,1)
	DCC (2,2) DCC (1,2)	CCC (2,2) CCC (2,2)	DCC (1,2) DCC (1,2)	DCC (1,1) VCC (1,2)	DCC (2,2) DCC (2,2)	DCC (2,1) DCC (2,1)



Таблица 5. Лучшие по критерию Шварца многомерные GARCH на дневных данных

	2006-2015	2006-2007	2008-2009	2010-2013	2014-2015	2010-2015
	DCC (1,1)	CCC (1,1)	СCC (1,2)	DCC (1,1)	CCC (1,1)	DCC (2,1)
	VCC (1,1)	CCC (1,1)	DCC (2,1)	VCC (1,1)	CCC (1,1)	DCC (1,1)
	DCC (1,1)	DCC (2,2)	DCC (1,1)	DCC (1,1)	CCC (2,1)	DCC (1,1)
	DCC (2,2) DCC (1,1)	DCC (2,2) CCC (1,1)	DCC (1,2) DCC (1,2)	DCC (2,2) VCC (1,1)	DCC (2,2) DCC (2,2)	DCC (2,2) DCC (1,2)

Модели с динамической корреляцией в большинстве случаев лучше подходят для российских дневных данных. Модели с постоянной корреляцией в большинстве случаев оказываются лучше для недельных и месячных доходностей на российском рынке как по критерию Акаике, так и по критерию Шварца.



Глава 3. Эмпирическое тестирование моделей ценообразования активов

3.1 Анализ полученных результатов

Далее будут представлены результаты тестирования CAPM и ее модификаций с нелинейными составляющими с помощью моделей GARCH, выбранных на основе информационного критерия Акаике. В приложение вынесены результаты тестирования CAPM и ее модификаций с помощью моделей GARCH, выбранных на основе информационного критерия Шварца

Таблица 6. Результаты тестирования CAPM на дневных данных с помощью модели GARCH, выбранной по критерию Акаике

CAPM	2006-2015	2006-2007	2008-2009	2010-2013	2014-2015	2010-2015
	0,0000666 (0,0005154)	0,0079202* (0,0020841)	-0,0019773 (0,0073743)	0,0000927 (0,0005531)	-0,0249** (0,0118796)	0,000012 (0,00058)
	0,0000867 (0,0007604)	-0,346713* (0,0940443)	-0,016766 (0,0811154)	0,0000504 (0,0009171)	0,026123** (0,0122346)	0,0003068 (0,0008124)
	0,0000	0,0502	0,0004	0,0000	0,0095	0,0001
	0,0000102 (0,0005271)	0,0025001 (0,0032681)	0,0150427 (0,0112966)	0,0001022 (0,0005549)	-0,046021* (0,0114026)	0,0000336 (0,0005816)
	-0,0017856 (0,0039465)	0,0657748 (0,2206047)	0,2272685 (0,1491331)

Страница:

•  1 
•  2 
•  3 

дипломная работа "Модель ценообразования финансовых активов" скачать

Подобные документы

• Разработка веб-приложения для прогнозирования временных рядов методом фрактального анализа

  Сущность фрактальной теории и изучение методов фрактального анализа временных рядов. Разработка нейронной сети для прогнозирования временных рядов финансовых рынков в основе выборного анализа. Разработка веб-интерфейса для взаимодействия с пользователем.
  
  дипломная работа [1,8 M], добавлен 14.02.2015
  

• Особенности оценки капитальных активов

  Характеристика модели оценки капитальных активов (САРМ). Риск и доходность в модели, проблемы и перспективы ее применения в российской практике. Применение альтернативных моделей оценки капитальных активов. Анализ моделей Марковитца и выровненной цены.
  
  курсовая работа [782,0 K], добавлен 04.03.2014
  

• Теория портфеля Г.Марковица и модель оценки доходности финансовых активов

  Суть теории портфельных инвестиций. Модель оценки доходности финансовых активов. Основные постулаты и принципы теории. Практическое применение и значимость теории. Математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
  
  контрольная работа [23,7 K], добавлен 28.02.2006
  

• Портфельные риски и модель оценки доходности финансовых активов

  Общее понятие и теории инвестиционного портфеля. Сущность портфельных рисков, пути их диверсификации. Модель оценки доходности финансовых активов (САРМ): основные предпосылки и особенности построения. Бета-коэффициенты ликвидных Российских акций.
  
  контрольная работа [270,6 K], добавлен 16.02.2011
  

• Оценка финансовых активов

  Базовая модель оценки финансовых активов. Оценка долговых ценных бумаг: облигаций с нулевым купоном, бессрочных облигаций, безотзывных облигаций с постоянным доходом. Оценка акций с равномерно возрастающими дивидендами и с изменяющимся темпом прироста.
  
  контрольная работа [184,6 K], добавлен 15.01.2011
  

• Анализ и классификация финансовых активов предприятия ООО "Уралпромснаб"

  Теоретические аспекты анализа и структуры источников формирования активов. Сущность, принципы и классификация финансовых активов предприятия. Методы анализа финансовой устойчивости предприятия. Совершенствование структуры источников формирования активов.
  
  дипломная работа [483,1 K], добавлен 20.04.2011
  

• Оценка доходов финансовых активов и эффективности инвестиционного портфеля

  Характеристики риска при анализе инвестиционных проектов. Оценка единичного и рыночного рисков. Статистические критерии риска. Сущность теории портфеля Г. Марковица и модель оценки доходов финансовых активов. Метод оптимизации инвестиционного портфеля.
  
  курсовая работа [608,2 K], добавлен 21.11.2011
  

• Анализ финансовой отчетности с использованием метода финансовых коэффициентов

  Показатели структуры финансовых отчетов. Анализ структуры и динамики активов, пассивов и сравнительный анализ активов и капитала компании. Расчет финансовых коэффициентов по платежеспособности, финансовой устойчивости, деловой активности, рентабельности.
  
  курсовая работа [88,1 K], добавлен 31.05.2013
  

• Доходность финансовых активов. Кругооборот оборотных средств

  Оценка будущей и текущей стоимости денег. Оценка доходности финансовых активов (на примере акции и облигации). Составление плана погашения кредита. Оценка стоимости финансовых ресурсов различными методами расчетов. Финансы страховых организаций.
  
  контрольная работа [87,5 K], добавлен 14.11.2010
  

• Риск и доходность в принятии финансовых решений

  Понятие риска, его разновидности. Особенности управления риском, методы защиты от финансовых рисков, специфика страхования от них. Главные инструменты статистического метода расчета финансового риска. Модель оценки доходности финансовых активов.
  
  реферат [43,7 K], добавлен 16.03.2011
  

Другие документы, подобные "Модель ценообразования финансовых активов"

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам