Теорія масового обслуговування: сутність і сфери застосування в управлінні операціями

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

ДВНЗ «Національний гірничий університет»

Інститут економіки

Кафедра менеджменту виробничої сфери

Курсовий проект

з дисципліни: «Операційний менеджмент»

на тему

Теорія масового обслуговування: сутність і сфери застосування в управлінні операціями

Виконала

Безштанько Анастасія

Дніпропетровськ

2012

ЗМІСТ

теорія масове обслуговування управління операція

Вступ

I. Теоретична частина

1.1Теорія масового обслуговування: сутність і сфери застосування

1.2 Структура математичної моделі та класифікація систем масового обслуговування

1.3 Сфери застосування теорії масового обслуговування в управлінні операціями

Висновки до розділу 1

II. Розрахункова частина

2.1 Визначення параметрів СМО

2.2 Перевірка плану виробництва та реалізації продукції на оптимальність

Висновки

Література

ВСТУП

Актуальність теми полягає в тому, що черги і управління ними - один з найважливіших аспектів операційного менеджменту. Знання теорії черг необхідно при складанні графіків, проектуванні операцій, плануванні товарно-матеріальних запасів і т.д. Практично в будь-якій ситуації, пов'язаної з чергами, основним є пошук компромісного рішення. Менеджер повинен оцінити, як співвідносяться між собою додаткова вартість, необхідна для прискорення процесу обслуговування, і витрати, пов'язані з очікуванням у черзі.

Теорія масового обслуговування вивчає процеси, що пов'язані з масовим обслуговуванням. Такі процеси часто зустрічаються на промислових підприємствах при обслуговуванні цехів, виробничих ліній, при здійсненні транспортного обслуговування виробничого процесу. Виникнення черг пояснює математична теорія масового обслуговування. Апарат цієї теорії дозволяє намітити конкретні шляхи скорочення черг та забезпечити оптимізацію процесів обслуговування на промислових підприємствах.

При використанні теорії масового обслуговування необхідно врахувати, що ця теорія не дає можливості отримати безпосередньо оптимальне рішення. Вона дозволяє тільки моделювати характер зміни параметрів функціонування системи обслуговування при різноманітних вихідних даних.

Завдання теорії масового обслуговування полягає в тому, щоб встановити функціональну залежність показників, що характеризують якість роботи обслуговуючої системи, від параметрів вхідного на обслуговування потоку заявок, від кількості обслуговуючих каналів (приборів, апаратів тощо), від способів організації обслуговування.

Шляхами покращення роботи усієї системи в цілому можуть бути: збільшення числа обслуговуючих апаратів та їх пропускної здатності, упорядкування надходження заявок в систему, упорядкування їх обслуговування на основі вдосконалення організації роботи.Рішення задач масового обслуговування використовують для подальшої оптимізації процесу обслуговування, тобто визначення мінімуму загальних витрат, пов'язаних з утриманням, експлуатацією апаратів, що здійснюють обслуговування, а також з утриманням в системі на обслуговуванні усіх заявок.

Метою даного курсового проекту є дослідження теоретичних, методичних та практичних аспектів теорії масового обслуговування та сфер застосування в управлінні операціями.

Теоретико-методологічною основою дослідження є положення сучасної теорії масового обслуговування.

У ході дослідження було вивчено та узагальнено вітчизняні та закордонні літературні джерела з питань теорії масового обслуговування.Слід відзначити піонерську роль у цих дослідженнях відомих учених: Б.О. Севастьянова; учнів Б.В. Гнєденка - І.М. Коваленка, Т.П. Мар'яновича, Т.І. Насірової та інших; В.А. та О.В. Івницьких; О.М. Дудіна, В.І. Кліменок, Ю.В. Маленковича та деяких інших.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні завдання:

1. Розкрити сутність та сфери застосування теорії масового обслуговування.

2. Розглянути структуру математичної моделі та класифікацію систем масового обслуговування.

3. Дослідити сфери застовування теорії масового обслуговування в управлінні операціями.

4. Розрахувати параметри системи масового обслуговування на приклдаі підприємства ТОВ «Ант-Пласт» (м. Кривий Ріг, Дніпропетровська обл.).

I. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1Теорія масового обслуговування: сутність і сфери застосування

Теорія масового обслуговування (теорія черг) -- розділ теорії ймовірностей, метою досліджень якого є раціональний вибір структури системи обслуговування та процесу обслуговування на основі вивчення потоків вимог на обслуговування, що надходять у систему і виходять з неї, тривалості очікування і довжини черг [1]. У теорії масового обслуговування використовуються методи теорії ймовірностей та математичної статистики.

Основи теорії систем масового обслуговування були закладені в працях датського математика, співробітника Копенгагенської телефонної компанії А. К. Ерланга і отримали широкий розвиток у подальших дослідженнях.

Системи масового обслуговування (СМО) зустрічаються повсюди, і це пояснюється широкою розповсюдженістю черг. Такі процеси утворення черг або затримок в обслуговуванні ефективно аналізуються методами дослідження операцій. Проте витрати, пов'язані з науковим аналізом тієї чи іншої практичної задачі масового обслуговування, вважаються (як і в будь-якій іншій галузі організаційного управління) виправданими лише за умови, що економічні наслідки керуючих рішень в сфері, яка аналізується, мають істотний вплив. Як показує досвід, практичне застосування моделей масового обслуговування є економічно вигідним при розв'язуванні двох типів задач, між якими не можна провести чіткої межі, так що можуть існувати різноманітні проміжні варіанти [2].

До першого типу належать задачі проектування й експлуатації систем, що складаються з великого числа тотожних або подібних елементів.

Як приклади, що ілюструють характер таких задач, можна розглядати:

ь задачу визначення кількості касових апаратів у кожному з продовольчих магазинів, що належать фірмі, яка має розгалужену торгову мережу;

ь задачу визначення кількості бензоколонок і чисельності обслуговуючого персоналу на кожній бензозаправній станції великої нафтової компанії;

ь задачу визначення кількості магістральних ліній зв'язку на кожній місцевій автоматичній телефонній станції.

Незважаючи на те, що умови функціонування різноманітних підсистем великої операційної системи масового обслуговування можуть виявитися неоднаковими, при аналізі, орієнтованому на оптимізацію кількісних показників, що належать до різноманітних однотипних компонентів системи (таких, як кількість вузлів обслуговування, чисельність обслуговуючого персоналу і т.п.), можна використовувати цілком ідентичні процедури. Отже, розроблені одноразово методологію дослідження і методи розв'язання задачі можна застосовувати багаторазово, тому що в кожному конкретному випадку фірмі потрібно лише врахувати відповідні чисельні значення параметрів, які фігурують у моделі, що використовується.

До другого типу належать задачі параметричної оптимізації окремої системи масового обслуговування.

Наприклад, визначення кількості і вантажопідіймальності швидкісних ліфтів у багатоповерховому будинку, що проектується для адміністративних підрозділів фірми, задачу пошуку оптимального комплекту устаткування для великого сталеварного заводу, задачу визначення кількості і габаритних характеристик злітно-посадкових смут у великому аеропорту і т.п.

Разом з тим існують задачі, у яких сполучаються елементи й особливості як систем першого, так і систем другого типу.

В теорії СМО розглядаються моделі масового обслуговування, що піддаються кількісному аналізу [3]. Системи масового обслуговування, подані цими моделями, видаються на фоні реальних ситуацій сильно спрощеними. Але відносно прості моделі можуть бути використані і для одержання якісного або наближеного кількісного уявлення про поведінку систем, що мають складнішу структуру.

Науковий аналіз процесів масового обслуговування в багатьох випадках є складним, тому що при оцінці виливів на режим функціонування системи таких показників, як частота надходження вимог на обслуговування, час обслуговування вимог, що надходять, кількість і розміщення різноманітних компонентів обслуговуючого комплексу і т.д., далеко не завжди можна покладатися на одну лише інтуїцію.

Основну увагу звертатимемо на операційні характеристики моделей. До цих характеристик належать: середня довжина черги, середній час очікування на обслуговування, вірогідність того, що всі компоненти обслуговуючої системи виявляться зайнятими, а також інші показники функціональної ефективності системи. Після оцінювання цих характеристик можна переходити до побудови відповідної економічної моделі і до наступних процедур пошуку оптимальних керуючих рішень.

Ступінь складності задачі оптимізації залежить від структурних особливостей самої системи масового обслуговування і від того, наскільки широкий є діапазон альтернатив, які ми маємо намір проаналізувати. Так, наприклад, якщо потрібно обрати один із двох конкретних варіантів розв'язків, що визначають число касових апаратів у супермаркеті, то оптимальний розв'язок знаходиться за допомогою простого порівняння кількісних характеристик кожного з розглянутих варіантів. На даний час не існує єдиного підходу до розв'язання задач оптимізації в сфері масового обслуговування. У більшості випадків для розв'язання кожної конкретної задачі застосовується метод оптимізації з вузькою цільовою настановою (тобто метод, придатний для розв'язання лише даного класу задач). Якщо ж система виявляється занадто складною, застосовуються методи імітаційного моделювання [4].

1.2 Структура математичної моделі та класифікація систем масового обслуговування

Математична модель системи масового обслуговування (СМО) включає наступні основні елементи: потік вимог, що надходять на вхід системи (вхідний потік); чергу, що складається з вимог, які очікують на обслуговування; систему обслуговування; вихідні потоки обслужених, втрачених вимог та вимог, що надходять на повторне обслуговування; характеристики якості системи; механізм (дисципліну) обслуговування, які зображені схематично на рис.1.

Рис.1. Структура СМО [4]

Вхідний потік. Для описання вхідного потоку потрібно задати закон розподілу вірогідностей, що керує послідовністю моментів надходження вимог на обслуговування і зазначити кількість таких вимог у кожному черговому надходженні. Так, наприклад, вимоги на обслуговування в перукарні або в ресторані можуть надходити в середньому кожні 10 хв. При цьому в умовах перукарні щоразу надходить одинична вимога (клієнти приходять у перукарню по одному), а в умовах ресторану можуть надходити як одиничні, так і групові вимоги (відвідувачі можуть входити в ресторан як по одному, так і групами). Системи, у яких вимоги можуть надходити пакетами, що містять більш однієї вимоги, будемо називати системами з груповим обслуговуванням). Тривалості інтервалів між послідовними надходженнями вимог у багатьох випадках практично є статистично незалежними і стаціонарними протягом тривалого періоду часу, хоча, зрозуміло, можливі ситуації і цілком іншого характеру. Діаметрально протилежними за своїм характером є, з одного боку, потоки, у яких моменти надходження вимог строго визначені, і, з іншого боку, потоки, у яких тривалості інтервалів між надходженнями вимог є цілком незалежними.

Джерело, що генерує вимоги, звичайно вважають невичерпним. Як приклад, що ілюструє СМО з джерелом вимог необмеженої потужності, можна навести велику залізничну станцію.

До числа СМО з джерелом вимог обмеженої потужності належать, наприклад, парк верстатів певного підприємства, ремонт яких при їхній несправності виконує спеціальна механічна майстерня.

У деяких випадках при наявності великої черги вимога може відмовитися від чекання (тобто в чергу не стає або відмовляється від очікування, простоявши певний час в черзі). У залежності від обставин вона може надійти на вхід обслуговуючої системи пізніше (на повторне обслуговування) або вибути назавжди (втрачена вимога). Так, у оптичному виробництві цілком можливі і дозволяються технологією повернення на попередні етапи (це є типовим явищем при шліфуванні великих лінз). У ряді випадків вимога не може стати в чергу через відсутність вільних місць у блоці чекання (черга з обмеженим числом місць). Таким чином, характеристики вхідного потоку (тобто потоку заявок на обслуговування) частково залежать від стану самої обслуговуючої системи.

Дисципліна черги. Ця характеристика дозволяє описати порядок обслуговування вимог, що надходять на вхід системи. Частіше всього використовується дисципліна черги типу: першим прийшов - першим обслуговуєшся. Такий порядок обслуговування з погляду математичного моделювання є найпростішим; слід також зауважити, що він стосується лише таких ситуацій, коли вимоги в чеканні обслуговування вибудовуються в послідовну чергу. Можливі численні види дисципліни черги, що відрізняються від згаданої вище. Іноді використовується дисципліна ”прийшов останнім - обслуговуєшся першим” -- це звичайний стек.

У деяких випадках порядок обслуговування є фактично випадковим. Він часто практикується, наприклад, шкільними вчителями при опитуванні учнів. Іноді дисципліна черги будується за деякою системою пріоритетів (так, наприклад, у випадку, коли приймаються заходи для порятунку пасажирів потопаючого корабля, у рятувальні шлюпки першими садять жінок і дітей). Нарешті, за тими чи іншими міркуваннями клієнт може відмовитися від чекання і прийняти рішення покинути чергу до того, як його встигнуть обслужити (тобто має місце черга з обмеженим часом чекання вимог, що надходять).

Механізм обслуговування. Обслуговуючий механізм характеризується тривалістю процедур обслуговування і кількістю вимог, які обслужені в результаті виконання кожної такої процедури. У наведеному вище прикладі, де мова йшла про обслуговування клієнтів у перукарні або в ресторані, процедура обслуговування вважається завершеною, коли клієнт (а у випадку обслуговування в ресторані, можливо, і ціла група клієнтів) залишає відповідний заклад після надання йому послуг. Тривалість інтервалу часу, необхідного для реалізації процедури обслуговування, частково залежить від запитів клієнта (або групи клієнтів). Але вона може залежати також і від стану самої обслуговуючої системи: так, наприклад, обслуговуючий персонал може форсувати процедури обслуговування, якщо обслуговування очікує велике число клієнтів. Як і тривалості інтервалів між надходженнями вимог, тривалості обслуговування в кожній з обслуговуючих точок можуть (хоча це і не обов'язково) описуватися за допомогою незалежних випадкових змінних з ідентичними розподілами вірогідностей їхніх чисельних значень. У ряді випадків необхідно також враховувати вірогідність виходу обслуговуючого приладу з ладу після закінчення деякого обмеженого інтервалу часу.

Для описання механізму обслуговування потрібно також зазначити кількість і взаємне розташування обслуговуючих приладів або каналів.

Так, наприклад, прилетівши з Нью-Йорка в аеропорт Лондона, пасажир повинен пройти там паспортну перевірку. При цьому всі пасажири вишиковуються в одну лінію і кожен із пасажирів, що дочекалися своєї черги, скеровується до одного з чиновників, що звільнилися і виконують перевірку паспорта (єдина черга).

Цілком інша картина спостерігається, наприклад, у години пік на вокзалі біля білетних кас, коли черги утворюються до всіх без винятку касирів. У цьому випадку відвідувач повинен обрати одну з черг і очікувати обслуговування з боку цілком визначеного касира. Якщо Ваш вибір виявився невдалим, перебування в черзі може забрати у Вас навіть більше часу, ніж у деяких із тих, що прийшли після Вас, яким пощастило стати в „швидші” черги. (Якщо черги не занадто великі, можна перейти від обраного спочатку вікна до іншого, біля якого черга стала коротшою).

У кожному з наведених вище прикладів прилади (або канали) функціонують паралельно. Існує також множина СМО, у яких прилади розташовані послідовно, так що клієнт змушений переходити від одного приладу до іншого, іноді простоюючи біля кожного з них у черзі. До таких систем належать, наприклад, підприємство з дрібносерійним виробництвом, де для виготовлення партії замовлених виробів вони повинні пройти послідовне опрацювання в ряді цехів [6].

Ще одна ситуація, для котрої характерно послідовне розташування обслуговуючих приладів, виникає при русі автомобіля по одній з міських магістралей із великою кількістю регульованих перехресть, що викликає кількаразові вимушені зупинки машини перед світлофорами.

СМО класифікуються за різноманітними ознаками в залежності від характеристик перебування в черзі, вхідного потоку та дисципліни обслуговування вимог [5].

За складом обслуговуючих пристроїв розрізняють одно - (з одним обслуговуючим пристроєм) та багатоканальні (з багатьма обслуговуючими пристроями, що паралельно можуть обслуговувати вимоги) СМО. Якщо для обслуговування в СМО вимога повинна послідовно пройти через декілька обслуговуючих пристроїв (фаз обслуговування), то така система є багатофазною, якщо ж після проходження одного пристрою обслуговування вимога вважається обслуженою то однофазною.

За характеристиками вхідного потоку розрізняються системи з пріоритетами (вимоги з вищим пріоритетом мають переваги як при визначенні місця в черзі, так і при обслуговуванні) та системи без пріоритетів (вимоги рівноправні).

В залежності від наявності чи відсутності черги СМО поділяються на системи без черг- з відмовами (якщо вимога, що надійшла на вхід СМО, не може бути обслужена, вона покидає систему) та системи з чергами (вимога має можливість стати в чергу і очікувати на обслуговування).

В залежності від довжини черги СМО можуть бути з обмеженою чергою (кількість місць в черзі скінчена) та системи з необмеженою чергою.

В залежності від часу перебування в черзі розрізняються СМО з необмеженим часом перебування в черзі (вимога, що погранила в чергу, перебуває в ній до моменту початку обслуговування) та СМО з обмеженим часом очікування (вимога, що перебуває в черзі, вибуває з неї і виходить з системи після того, як час очікування перевищує певне критичне значення).

В залежності від кількості черг системи поділяються на системи з однією спільною чергою та системи з багатьма чергами. В системах з багатьма чергами розглядаються підкласи систем без переходів між чергами та системи з переходами між чергами.

1.3 Сфери застосування теорії масового обслуговування в управлінні операціями

До основних характеристик якості обслуговування належать:

1) вірогідність прямої або умовної втрати вимоги;

2) середній час обслуговування вимоги;

3) середня довжина черги;

4) вірогідність втрати вимоги, що надійшла;

5) завантаження обслуговуючих апаратів і ін.

Аналіз систем масового обслуговування. Кожен із можливих варіантів СМО неважко описати точною математичного моделлю, проте це часто майже нічого не дає, якщо оцінювати одержані на основі такого типу описань результати із практичної точки зору. Тому при аналізі СМО в більшості випадків практикується комбіноване застосування наступних двох підходів до розв'язання таких задач.

Перший підхід полягає у використанні для наближених описань реальної системи простих математичних моделей. Потім, керуючись результатами аналізу первісних простих моделей і використовуючи ці результати як певний орієнтир, операційник може розробити імітаційну модель, що дозволить за допомогою комп'ютера врахувати ті аспекти задачі, які є істотними, але у той же час важко піддаються аналізу на першому етапі математичного моделювання.

Відповідь на питання про те, які операційні характеристики є найважливішими для формування керуючих рішень, зрозуміло, може бути дана лише з врахуванням конкретних умов задачі. Проте слід зазначити, що операційиика, як правило, цікавлять розподіли вірогідностей для числа вимог, що надійшли в систему, і для тривалостей їх очікування, або принаймні середні значення випадкових змінних, що описують ці характеристики на великому відтинку часу. Крім того, іноді потрібно знати вірогідність того, що всі обслуговуючі прилади виявляться вільними або зайнятими; розподіл вірогідностей для тривалості вільних або, навпаки, зайнятих періодів; вірогідність того, що довжина черги (число вимог, що очікують на обслуговування в черзі) перевищить деяке наперед задане число, а також розподіл вірогідностей для інтервалу між послідовними моментами завершення процедур обслуговування. Якщо модель масового обслуговування не дуже складна, то для всіх згаданих вище характеристик вдасться одержати точні, аналітичні вирази, зручні для обчислень.

Операційні методи дослідження СМО орієнтовані на оптимізацію відповідних керуючих рішень. При аналізі прикладів виявляється, що практично в кожній із ситуацій керівник повинен брати до уваги всі три компоненти системи масового обслуговування: вхідний потік вимог на обслуговування, дисципліну черги і механізм обслуговування. Більш того, між різноманітними варіантами керуючих рішень існує ряд складних взаємозв'зків. Наприклад, середню тривалість очікування для вимоги на обслуговування можна зменшити шляхом зміни частоти надходжень вимог на вхід обслуговуючої системи, збільшенням кількості обслуговуючих приладів, використанням більш швидкодіючих приладів, а також шляхом скорочення розкиду часів обслуговування.

Результати дослідження системи обслуговування також можна використовувати для оптимізації моделі з вартісними характеристиками, в якій мінімізується сума витрат, пов'язаних з наданням послуг і втрат, обумовлених затримками в їх наданні. На рис.2 зображена типова вартісна модель системи обслуговування (в грошових одиницях за одиницю часу), де витрати на обслуговування зростають із зростанням його рівня. В той же час втрати, обумовлені затримками в наданні послуг, зменшуються зі зростанням рівня обслуговування.

Рис.2. Вартісна модель СМО [7]

Головною проблемою, пов'язаною із застосуванням вартісних моделей, є складність оцінювання втрат в одиницю часу, обумовлених затримками в наданні послуг. Зокрема, це особливо відчутно, коли послуги надаються індивідууму, чия поведінка може не співпадати з інтересами функціонування системи обслуговування.

При дослідженні СМО розв'язуються одна чи декілька наступних задач:

1) задачі аналізу СМО - визначення характеристик якості обслуговування в залежності від параметрів і властивостей вхідного потоку вимог, параметрів і структури системи обслуговування і дисципліни обслуговування;

2) задачі параметричного синтезу - визначення параметрів системи обслуговування при її заданій структурі залежно від параметрів і властивостей потоку вимог, дисципліни і якості обслуговування.

3) задачі синтезу структури системи з оптимізацією її параметрів -- необхідно досягти того, щоб при заданих потоках, дисципліні і якості обслуговування вартість СМО була мінімальною або були мінімальними втрати викликів при заданих потоках, дисципліні і вартості системи.

В операційному менеджменті може використовуватись широка різноманітність моделей черг. В таблиці 1 представлено чотири найбільш широко використовувані моделі. Всі чотири моделі черг - проста система, багатоканальна, з постійним часом обслуговування та з обмеженим розміром джерела - мають три загальних характеристики. Вони всі припускають :

1) прибуття розподіляються за законом Пуассона;

2) FIFO-дисципліна;

3) однофазне обслуговування.

На додаток до цього вони описують системи сервісу, які оперують у стабільних умовах. Це означає, що прибуття та обслуговування залишаються стабільними під час аналізу [8].

Таблиця 1. Моделі черг

В таблиці 1 наведені чотири види моделей черг. Розглянемо кожну з них та наведемо детальну характеристику.

Модель А. Одноканальна модель черг з пуасонівським розподілом прибуттів і експоненціальним часом обслуговування. Найбільш загальний випадок теорії черг представляє собою одноканальну, або односервісну, чергу обслуговування. У цьому разі прибуття формують просту чергу на обслуговування до однієї станції. Ми допускаємо, що подальші умови відносяться до цього типу систем.

1. Прибуття обслуговуються за правилом «перший прийшов - перший пішов» (FIFO) і кожне прибуття очікує обслуговування в залежності від довжини черги.

2. Прибуття є незалежними від попередніх прибуттів, але середнє число прибуттів не змінюється в часі.

3. Прибуття описуються пуасонівським розподілом ймовірностей і надходять з необмеженого (або дуже-дуже великого джерела).

4. Час обслуговування змінюється від одного клієнта до другого, ці відрізки часу незалежні один від одного, але їх середній час відомо.

5. Час обслуговування підпорядковане негативному експоненціальному закону розподілу.

6. Час обслуговування менше часу між прибуттям.

Коли ці умови виконані, можна застосувати ряд формул для моделі черг А.

Формули для моделі черг А ( М/М/1):

l - середня кількість прибуттів за період часу;

m - середня кількість обслугованих за період часу;

Ls - середнє число одиниць (клієнтів) в системі = l / l - m;

Ws - середній час одиниці, що проводиться в системі (час очікування час обслуговування) = 1 / m - l;

Lq - середнє число одиниць у черзі =

l² / m (m - l);

Wq - середній час одиниці, що проводиться в очікуванні в черзі =

l / m (m - l);

r - коефіцієнт використання системи = l / m;

Р0 - імовірність 0 одиниць в системі (коли обслуговування марно) =

1 - l / m;

Рп > k -- імовірність більш ніж k одиниць в системі= (l / m)^{k + 1}

Модель В. Багатоканальна модель черг. Наступний логічний крок - це розгляд багатоканальної системи черг, в якій два або більше сервера, чи каналу, здатні обслуговувати клієнтів. Приклад такої багатоканальної однофазної черзі ми знаходимо сьогодні в багатьох банках. Загальна черга формується, і клієнт з початку черги обслуговується першим вільним оператором.

Багатоканальна система допускає, що заявки слідують пуасонівському розподілу імовірністі та що час обслуговування має експоненційний розподіл. Обслуговування ведеться за правилом «перший прийшов - перший пішов», і всі сервери працюють за цим правилом. Інші припущення, описані раніше для одноканальної моделі, застосовні і тут.

Рівняння черг для моделі В (яка також іменується в техніці M / M / S) є, очевидно, більш загальними, ніж ті, які використовуються в одноканальній моделі. Вони застосовуютья точно так само і вимагають такого ж типу даних, що і в простих моделях.

Формули для моделі черг В - багатоканальної (M/M/S):

М - число відкритих каналів;

l - середня швидкість прибуттів;

т - середня швидкість обслуговування для кожного каналу.

Імовірність того, що в системі нуль клієнтів чи одиниць обслуговування:

Середнє число клієнтів чи одиниць обслуговування в системі:

Середній час одиниці, яке витрачається на очікування чи обслуговування (тобто саме в системі):

Середнє число клієнтів чи одиниць в черзі на обслуговування:

Lq = Ls - l / m .

Середній час одиниці, яке витрачається на очівання в черзі на обслуговування:

Wq= Ws - 1 / m = Lq / l .

Модель С. Модель з постійним часом обслуговування.

Такі моделі системи обслуговування мають постійний час обслуговування натомість експоненціального розподілу часу обслуговування. Згідно незмінного циклу, як у випадку автоматичної мийки автомобіля, постійний час обслуговування є відповідним цієї нагоди. Так як постійні величини визначені, то розмір формул для Lq, Wq, Ls, Ws завжди менше, ніж були б у моделі А, яка має змінні параметри обслуговування. Насправді як середня довжина черги, так і середній час очікування в черзі в два рази менше для моделі С. Модель С в технічній літературі з теорії черг також іменується M/D/1.

Формули для моделі черг С - з постійним часом обслуговування (M/D/1)

Модель D. Модель з обмеженим джерелом. Коли є обмежене джерело потенційних клієнтів для центру обслуговування, нам необхідна інша модель черг. Ця модель буде використана, якщо, наприклад, потрібно ремонтувати обладнання, маючи тільки п'ять машин; якщо ви відповідальні за обслуговування в польоті 10 літаків або якщо ви працюєте у відділенні госпіталю, розрахованому на 20 ліжок. Модель з обмеженим джерелом має справу з деяким числом об'єктів, що вимагають уваги.

Зміст цієї моделі відрізняється від трьох раніше описаних моделей черг тим, що тепер існує зв'язок між довжиною черги і правилом появи заявки.

Проілюструємо екстремальну ситуацію, коли підприємство має п'ять машин і всі п'ять зламалися і чекають ремонту. Загалом, чим довша черга в моделі очікування з обмеженим джерелом, тим менше прибуттів клієнтів або машин. Зауважимо, що формули для моделі з обмеженим джерелом використовують інші змінні в порівнянні з моделями А, В і С. Причому D представляє ймовірність того, що машина, потребує ремонту, буде чекати в черзі; F означає коефіцієнт ефективності часу очікування. Зауважимо, що D і F необхідні для розрахунків більше, ніж інші кінцеві формули моделі.

Формули і позначення для моделі черг D - з обмеженим розміром джерела

D - імовірність того, що одиниця буде очікувати в черзі;

F - коефіцієнт ефективності;

Н - середнє число обслугованих одиниць;

J - середнє число опрацьованих одиниць;

L - середнє число одиниць, які очікують обслуговування;

М - число каналів обслуговування;

N - число потенційних клієнтів;

Т - середній час обслуговування;

U - середній час між одиницями, які поступають на обслуговування;

W - середній час очікування одиниці в черзі;

X - сервісний показник.

Для розрахунку треба виконати чотири кроки.

1. Розрахунок Х (сервісний показник, де ).

2. Знаходження X и відповідне М (де М - число каналів обслуговування).

3. Установлення відповідно D і F.

4. Розрахунок L, W, J, H чи щось інше, яке необхідне для вимірювання работи системи обслуговування.

Висновки до розділу 1

Черги є важливою частиною світового операційного менеджменту. У цьому розділі було описано ряд систем черг і представлено математичні моделі для їх аналізу.Керівникові промислового підприємства важливо мати надійний апарат, метод прогнозування ситуації в залежності від конкретних умов роботи, умов експлуатації обслуговуючих систем, параметрів вхідних заявок на обслуговування та різних умов обслуговування.

Теорія масового обслуговування вивчає процеси, що пов'язані з масовим обслуговуванням. Такі процеси часто зустрічаються на промислових підприємствах при обслуговуванні цехів, виробничих ліній, при здійсненні транспортного обслуговування виробничого процесу. Виникнення черг пояснює математична теорія масового обслуговування. Апарат цієї теорії дозволяє намітити конкретні шляхи скорочення черг та забезпечити оптимізацію процесів обслуговування на промислових підприємствах.

При використанні теорії масового обслуговування необхідно врахувати, що ця теорія не дає можливості отримати безпосередньо оптимальне рішення. Вона дозволяє тільки моделювати характер зміни параметрів функціонування системи обслуговування при різноманітних вихідних даних.

Шляхами покращення роботи усієї системи в цілому можуть бути: збільшення числа обслуговуючих апаратів та їх пропускної здатності, упорядкування надходження заявок в систему, упорядкування їх обслуговування на основі вдосконалення організації роботи.Рішення задач масового обслуговування використовують для подальшої оптимізації процесу обслуговування, тобто визначення мінімуму загальних витрат, пов'язаних з утриманням, експлуатацією апаратів, що здійснюють обслуговування, а також з утриманням в системі на обслуговуванні усіх заявок.

II. РОЗРАХУНКОВА ЧАСТИНА

2.1 Задача на визначення параметрів СМО

Підприємство ТОВ «Ант-Пласт» вирішило відкрити довідкове бюро, яке допоможе більш оперативно бути на зв'язку зі своїми клієнтами та надавати всю необхідну інформацію потенційним клієнтам про можливість замовлення продукції. При цьому було найнято для цих цілей 1 робітника. Відомо, що люди телефонують до бюро зі швидкістю 8 осіб на годину. Потрібно в середньому 6 хвилин для відповіді на питання. Відомо, що прибуття мають розподіл Пуассона, а час відповідей розподілено експоненціально.

а) Яка ймовірність того, що робітник вільний.

б) Визначте, яку частину часу робітник зайнятий.

в) Знайдіть середнє число людей, що обслуговуються і чекають в черзі.

г) Знайдіть середнє число людей у ??черзі до довідкового бюро.

д) Знайдіть середній час на людину, витрачений на довідкове обслуговування.

е) Знайдіть середній час на людину, витрачений на очікування у черзі, щоб отримати довідкове обслуговування.

l = 8 / год; m = 10 / ч.

а) P₀ = 1 - (l / m) = 1 - (8/ 10) = 0,2 = 20%;

б) р = l / m = 8/10=0,8;

в) Ls = l (m - l) = 8 / (10 - 8) = 2 чол.;

г) Lq = l²/ [т (т - l)] = 8² / [10 (10 - 8)] = 3,2 чол.;

д) Ws = 1 / (т - l) = 1 / (10 - 8) = 0,5 год;

е) Wq = l /[т (т - l)] = 8 / [10 (10 - 8)] = 0,4 год

2.2 Перевірка плану виробництва та реалізації продукції на оптимальність

ТОВ «Ант-Пласт» - це підприємство, яке виготовляє вішалки (тремпелі, плічки) і працює на ринку з 2004 року. Використовуючи новітні технології та обладнання, компанія динамічно розвивається, постійно підвищуючи рівень надаваних послуг і розширюючи асортимент з максимальною орієнтацією на потреби замовників. Основними видами продукції є:

- дерев'яна вішалка-плечико;

- металева вішалка-плечико;

- пластикова вішалка-плечико;

- комбінована вішалка-плечико;

При цьому можливі варіації цих видів вішалок-плечиків: з зажимом та без зажиму; різних кольорів; з індивідуальним логотипом компанії-замовника та ін.

Основою успішної роботи компанії є:

- широкий асортимент виробленої продукції;

- гнучка цінова політика;

- cприятливі умови для розвитку партнерських відносин на основі дилерського співпраці з регіональними представниками. Перед керівництвом ТОВ «Ант-Пласт» постало завдання підвищення ефективності діяльності підприємства. Першим етапом має стати перевірка фактичного плану виробництва та реалізації продукції на оптимальність. Фактичні показники роботи підприємства ТОВ «Ант-Пласт» в 2010 році представлені в таблиці 2.1. За результатами звітного року підприємство отримало прибуток в розмірі 2405,5 тис. грн. при фактичних витратах на виробництво та реалізацію продукції - 10269,5 тис. грн (рентабельність реалізованої продукції становить 23,4%).Таблиця 2.1.План виробництва та реалізації продукції ТОВ «Ант-Пласт» за 2010р.

Продукція	Дерев'яна вішалка-плечико	Металева вішалка-плечико	Пластикова вішалка-плечико	Комбіновані вішалка-плечико	Всього по підприємству	Всього
	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	Дерев'яна вішалка-плечико	Металева вішалка-плечико	Пластикова вішалка-плечико	Комбіновані вішалка-плечико
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Собівартість од. продукції, грн./шт.	8,00	6,10	6,15	5,15	3,10	1,95	9,05	8,15	x	x	x	x	x
Ціна, грн./шт.	10,00	7,50	7,50	6,25	3,75	2,50	11,25	10,00	x	x	x	x	x
Прибуток на од.продукції , грн.	2,00	1,40	1,35	1,10	0,65	0,55	2,20	1,85	x	x	x	x	x
Фактичний обсяг реалізації, шт.	100000	70000	180000	150000	320000	370000	350000	280000	170000	650000	370000	630000	x
Обсяг контрактів, шт.	90000	63000	162000	135000	288000	333000	315000	252000	153000	585000	333000	567000	1638000
Попит, шт.	110000	77000	198000	165000	352000	407000	385000	308000	187000	715000	407000	693000	2002000
Дефіцит продукції на ринку, шт.	10000	7000	18000	15000	32000	37000	35000	28000	17000	65000	37000	63000	182000
Виробнича потужність, шт	x	x	x	x	x	x	x	x	250000	850000	500000	800000	x
Коефіцієнт використання виробничої потужності, %	x	x	x	x	x	x	x	x	0,68	0,76	0,74	0,79	0,74
Дохід від реалізації продукції, грн.	1000000	525000	1350000	937500	1200000	925000	3937500	2800000	1525000	3487500	925000	6737500	12675000
Фінансові ресурси, грн.	800000	427000	1107000	772500	992000	721500	3167500	2282000	1227000	2871500	721500	5449500	10269500
Прибуток, грн.	200000	98000	243000	165000	208000	203500	770000	518000	298000	616000	203500	1288000	2405500
Рентабельність продукції, %	25,0	23,0	22,0	21,4	21,0	28,2	24,3	22,7	24,3	21,5	28,2	23,6	23,4

Для перевірки плану виробництва та реалізації продукції на оптимальність і визначення ефективності менеджменту на підприємстві ТОВ «Ант-Пласт» необхідно скласти економіко-математичну модель:

Цільова функція (максимізація прибутку):

F= ? (ц_і - с_і)*х_і>max,

де ц_і - ціна одиниці продукції, грн.;

с_і - собівартість одиниці продукції, грн;

х_і - обсяг реалізації продукції, шт.

Обмеження економіко-математичної моделі:

· Умова невід'ємності: х_і ? 0, тобто обсяг реалізації має набувати невід'ємного значення.

· Умова ринкового попиту: ?х_і ? РП, тобто обсяг реалізації повинен бути в межах попиту і не перевищувати його.

· Умова виконання контрактів: ?х_і ? К, тобто обсяг реалізації продукції має в повному обсязі забезпечити виконання контрактів.

· Умова обмеженості по виробничим потужностям: ? ? , де - к-тий продукт, - виробнича потужність по к-ому продукту. Підприємтво має змогу підвищувати випуск продукції до того моменту, коли будуть резерви виробничої потужності.

· Умова обмеженості фінансових ресурсів: ?с_і*х_і ? ФР, тобто використання наявних фінансових ресурсів на підприємстві.

В таблиці 2.2 представлені результати перевірки плану виробництва та реалізації продукції. Відповідно до розрахунків з урахуванням контрактів прибуток підприємства по оптимальній програмі виробництва та реалізації більше на 14,6 тис. грн. порівняно з фактичним (в 2010 році), при цьому рентабельність підприємства збільшилася на 0,2% і становить - 23,6%. При цьому варто зауважити, що обсяг реалізації дерев'яних (з зажимом та без зажиму), пластикових (без зажиму) та комбінованих (з зажимом) вішалок-плечиків більше на 10 % порівнянно з фактичним випуском, тоді як металевих (з зажмом та без зажиму), пластикових(з зажимом) та комбінованих (без зажиму) вішалок-плечиків менше на 10%. Такі зміни пояснюються різною рентабельністю кожної групи товарів: збільшення товарів з високою рентабельністю за рахунок зменшення товарів з відносно низькою рентабельністю при існуючих обмеженнях ресурсів. Робота менеджменту підприємства за звітний рік оцінюється задовільно, оскільки не було достатньо ефективно використано наявні ресурси для досягнення кінцевої мети, тобто отримання максимально можливого прибутку. При цьому резерв підвищення ефективності виробництва та реалізації продукції становить 14,6 тис.грн.

Таблиця 2.2.Результати оптимізації плану виробництва та реалізації продукції з урахуванням контрактів

Показники	Дерев'яна вішалка-плечико	Металева вішалка-плечико	Пластикова вішалка-плечико	Комбіновані вішалка-плечико	Всього по підприємству	Всього
	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	Дерев'яна вішалка-плечико	Металева вішалка-плечико	Пластикова вішалка-плечико	Комбіновані вішалка-плечико
Отимальний обсяг реалізації, шт.	110000	77000	162000	135000	288000	407000	385000	252460	187000	297000	695000	637460	x
Дохід, грн.	1100000	577500	1215000	843750	1080000	1017500	4331250	2524601	1677500	2058750	2097500	6855851	12689601
Витрати, грн.	880000	469700	996300	695250	892800	793650	3484250	2057550	1349700	1691550	1686450	5541800	10269500
Прибуток, грн.	220000	107800	218700	148500	187200	223850	847000	467051	327800	367200	411050	1314051	2420101
Рентабельність, %	25,0	23,0	22,0	21,4	21,0	28,2	24,3	22,7	24,3	21,7	24,4	23,7	23,6

В таблиці 2.3 представлені результати перевірки плану виробництва та реалізації продукції. Розрахунки показали, що без урахуванням контрактів прибуток підприємства при оптимальному обсягу реалізованої продукції більше на 25,2 тис. грн. порівняно з фактичним, а також рентабельність підприємства збільшилася на 0,3% і становить 23,7%. При варто відзначити, що збільшення обсягу реалізації майже усіх груп товарів на 10% відбулося за рахунок зменшення обсягу реалізації пластикових вішалок-плечиків (з зажимом) на 10 %, що пов'язано з відносно низькою рентабельністю (21,0%). При цьому було визначено, що існує також дефіцит на ринку на цей вид товару, який становить 1026950 шт, для покриття якого підприємству потрібно залучити інвестиції у розмірі 1027 тис.грн. Таким чином, нові фінансові ресурси підприємства становитимуть 11296,5 тис.грн.

Таблиця 2.3.Результати оптимізації плану виробництва та реалізації продукції без урахуванням контрактів

Показники	Дерев'яна вішалка-плечико	Металева вішалка-плечико	Пластикова вішалка-плечико	Комбіновані вішалка-плечико	Всього по підприємству	Всього
	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	Дерев'яна вішалка-плечико	Металева вішалка-плечико	Пластикова вішалка-плечико	Комбіновані вішалка-плечико
Отимальний обсяг реалізації, шт.	110000	77000	198000	165000	20726	407000	385000	308000	187000	363000	427726	693000	x
Дохід, грн.	1100000	577500	1485000	1031250	77722	1017500	4331250	3080000	1677500	2516250	1095222	7411250	12700222
Витрати, грн.	880000	469700	1217700	849750	64250	793650	3484250	2510200	1349700	2067450	857900	5994450	10269500
Прибуток, грн.	220000	107800	267300	181500	13472	223850	847000	569800	327800	448800	237322	1416800	2430722
Рентабельність, %	25,0	23,0	22,0	21,4	21,0	28,2	24,3	22,7	24,3	21,7	27,7	23,6	23,7
Дефіцит продукції на ринку, шт.	0	0	0	0	331274	0	0	0	0	0	331274	0	x
Інвестиції , грн.	0	0	0	0	1026950	0	0	0	0	0	1026950	0	1026950
Фінансові ресурси (з урахуванням інвестицій), грн.	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	11296450

В таблиці 2.4 представлені результати розрахунку оптимального плану виробництва та реалізації продукції з урахуванням інвестицій. Прибуток підприємства при оптимальному обсягу виробництва та реалізації збільшився на 240,5 тис. грн., що на 10 % більше порівнянно з фактичним при тій же рентабельності (23,4%) за рахунок збільшення обсягу реалізації пластикових вішалок-плечиків (з зажимом). При цьому рентабельність інвестицій становить 21%, як і рентабельність пластикових вішалок-плечиків (з зажимом). Підприємcтву необхідно розглянути можливість збільшення випуску даного виду продукції, на який існує дефіцит на ринку, при рівні інфляції та процентній ставці, яка буде менше 21%.

Таблиця 2.4 Результати оптимізації плану виробництва та реалізації продукції з урахуванням інвестицій

Показники	Дерев'яна вішалка-плечико	Металева вішалка-плечико	Пластикова вішалка-плечико	Комбіновані вішалка-плечико	Всього по підприємству	Всього
	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	зажим	без зажиму	Дерев'яна вішалка-плечико	Металева вішалка-плечико	Пластикова вішалка-плечико	Комбіновані вішалка-плечико
Отимальний обсяг реалізації, шт.	110000	77000	198000	165000	352000	407000	385000	308000	187000	363000	759000	693000	x
Дохід, грн.	1100000	577500	1485000	1031250	1320000	1017500	4331250	3080000	1677500	2516250	2337500	7411250	13942500
Витрати, грн.	880000	469700	1217700	849750	1091200	793650	3484250	2510200	1349700	2067450	1884850	5994450	11296450
Прибуток, грн.	220000	107800	267300	181500	228800	223850	847000	569800	327800	448800	452650	1416800	2646050
Рентабельність, %	25,0	23,0	22,0	21,4	21,0	28,2	24,3	22,7	24,3	21,7	24,0	23,6	23,4
Рентабельність інвестицій, %	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	21,0

Висновки

Оптимальна виробнича програма - це програма, яка відповідає структурі ресурсів підприємства та забезпечує найкращі результати його діяльності за прийнятим критерієм. Оптимізацію виробничої програми здійснюють з метою:

1) планування оптимальної структури номенклатури продукції;

2) визначення максимально можливого обсягу виробництва продукції та економічної межі нарощування виробництва.

Отже, керівництву підприємтва ТОВ «Ант-Пласт» варто взяти до уваги результати оптимізації плану виробництва та реалізації продукції і розробити заходи підвищення ефективності роботи. При цьому резерв підвищення ефективності виробництва та реалізації становить 14,6 тис.грн при незмінних умовах ( з урахування контрактів та без інвестицій).

Література

1. Теория массового обслуживания//Математический энциклопедический словарь, М., «Советская энциклопедия», 1988, стр. 327-328

2. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. -М.: Мир, 1964.

3. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций. Сов. радио, 1964.

4. Пономаренко О.І., Пономаренко В.О. Системні методи в економіці, бізнесі й менеджменті. -К.: Либідь, 1995.

5. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Основи математичної економіки. -К.: Інформтехніка, 1995.

6. Горелик В.А., Ушаков М.А. Исследование операций. -М.: Машиностроение, 1986.

7. Чейз, Ричард, Б, Эквилэйн, Николас, Дж. Якобе Производственный и операционный менеджмент, 8-е издание Пер с англ М Издательский дом "Вильяме", 2004

8. Козловский В.А., Маркина Т.В., Макаров В.М. Производственный и операционный менеджмент: Учебник. -- СПб.: Специальная литература, 1998. - 366с.

9. Гаврилов Д.А. Управление производством на базе стандарта MRP II. - СПб.: Питер, 2002. - 320 с.

10. Гэлловэй Л. Операционный менеджмент: Пер. с англ. -- СПб.: Питер, 2001. - 320 с.

11. Климов А.Н., Оленев И.Д., Соколицын С.А. Организация и планирование производства на машиностроительном заводе: Учебник. - Л.: Машиностроение, 1973. - 495 с.

12. 6. Козловский В.А., Кобзев В.В., Савруков Н.Т. Логистика: Конспект лекций. - СПб.: Политехника, 1998. - 176 с.

13. Козловский В.А., Козловская Э.А., Савруков Н. Т1. Логистический менеджмент: Конспект лекций. -- СПб.: Политехника, 1999. -- 275 с. 8

14. Козловский В.А., Маркина Т.В., Макаров В.М. Производственный и операционный менеджмент: Практикум. - СПб.: Специальная литература, 1998. - 244 с.

15. Макаров В.М. Производственный менеджмент. Модели и методы организации производственного процесса: Практикум. -- СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. - 73 с.

16. Гинзбург Е.Г. Законы и методология организации производственных систем. -- Иваново, 1988

17. Фандель Г. Теорія виробництва і витрат / Пер. з нім. під керівництвом і наук. ред. М.Г. Грещака. -- К.: ТАКСОН, 2000. -- 520 с.

18. Фатхутдинов Р.А. Организация производства: Учеб. -- М.: ИНФРА-М, 2001. -- 672 с.

19. Фатхутдинов Р.А. Производственный менеджмент: Учеб. для вузов. -- М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. -- 447 с.

20. Стивенсон В.Дж. Управление производством: Пер. с англ. -- М.: БИНОМ, Лаб. базовых знаний, 1999. -- 928с.

21. Чейз Р., Эквилайн Н., Якобс Р. Производственный и операционный менеджмент

22. Хан Д. Планирование и контроль: концепция контроллинга. Пер. с нем./Под ред. А.А. Турчака, Л.Г. Головача, М.Л. Лукашевича. - М.: Финансы и статистика. - 1997.

23. Макаренко М.В., Махалина О.М. Производственный менеджмент: Учеб. пособие для вузов. -- М.: ПРИОР, 1998. -- 384 с.

24. Минаев Э.С., Агеева Н.Г., Аббата Дага А. Управление производством и операциями: 17-модульная программа для менеджеров «Управление развитием организации». Модуль 15. -- М.: ИНФРА-М, 1999.

Размещено на Allbest