Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Техническая система S состоит из трех элементов схемы, соединения которых приведены в вариантах заданий на курсовую работу. Времена безотказной работы Х₁, Х₂, Х₃ элементов системы являются непрерывными случайными величинами с известными законами распределения вероятностей. Внешняя среда Е оказывает воздействие на работу систем виде случайной величины V с известным дискретным распределением вероятностей.

Требуется оценить надежность системы S методом статистического моделирования на ЭВМ с последующей обработкой результатов эксперимента.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Разработка алгоритма статистического моделирования

2. Статистическая обработка данных

2.1 Вычисление основных характеристик выборки

2.2 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

2.3 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

3. Определение характеристик надежности системы

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Разработка математических моделей и методов, позволяющих определить время безотказной работы системы аналитически, является сложной, а подчас и неразрешимой задачей. С этой целью часто используется метод статистического моделирования с последующей обработкой результатов эксперимента. Предметом статистического моделирования является изучение сложных процессов и систем, подверженных, как правило, воздействию случайных факторов, путем проведения экспериментов с их моделями.

Суть метода проста -- имитируется “жизнь” системы при многократном повторении испытаний. При этом моделируются и регистрируются случайно меняющиеся внешние воздействия на систему. Для каждой ситуации по сравнениям модели просчитываются системные показатели. Существующие современные методы математической статистики позволяют ответить на вопрос, можно ли и с каким доверием использовать данные моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы можем использовать модель для изучения данной системы.

Можно говорить об универсальности статистического моделирования, поскольку оно является одним из наиболее эффективных средств исследования и проектирования сложных систем по критериям надежности и часто единственным практически реализуемым методом исследования процесса их функционирования.

1. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Проведем имитацию работы системы, структурная схема которой изображена на рисунке 1.1. Согласно схеме, сначала работают элементы 1 и 3, а элемент 2 находится в резерве. При отказе элемента X3 наступает отказ системы. При отказе элемента X1 в работу включается элемент X2, но это событие не является отказом системы. Система откажет, если после этого произойдет отказ элемента X3 или X2.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Законы распределения времени безотказной работы элементов и воздействия внешней среды сведены в таблицу 1.

Таблица 1.1 - Законы распределения времени безотказной работы элементов и V

X1	X2	X3	V
U(15;22)	U(15;22)	N(19; 2,2)	П(0;5)

В таблице 1 приняты следующие обозначения законов распределения:

- N - нормальное распределение;

- U - равномерное распределение;

- П - распределение Пуассона;

В скобках указаны параметры распределений.

На листе Excel (таблица 2) предусмотрим место для значений случайных величин. Колонки А и В - вспомогательные, в них заносятся равномерно распределенные случайные числа (РРСЧ) из промежутка [0; 1]. В колонки С, D, Е и F заносятся значения заданных случайных величин Х₁, Х₂, Х₃ и V соответственно, полученные путем преобразования РРСЧ. Колонка G служит для значений случайной величины Y, а колонка Н- для значений случайной величины Z.

Таблица 1.2 - Получение случайных чисел

	A	B	C	D	E	F	G	H
	РРСЧ	РРСЧ	X1	X2	X3	V	Y	Z
1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0.171	0.19231	16.1971	16.3461	22.9949	0	22.9949	22.99489
3	0.8873	0.2987	21.2108	17.0909	22.42	1	22.42	22.52002
4	0.3579	0.05191	17.5056	15.3634	24.3513	2	24.3513	24.55127
5	0.5222	0.14113	18.6552	15.9879	23.3536	1	23.3536	23.45365
6	0.0538	0.64018	15.3767	19.4812	21.0778	1	21.0778	21.17783
7	0.7393	0.08815	20.1754	15.617	23.8487	0	23.8487	23.84872
8	0.5923	0.73397	19.1462	20.1378	20.7303	0	20.7303	20.73028
9	0.6062	0.55668	19.2434	18.8968	21.3812	0	21.3812	21.38121
10	0.0735	0.19348	15.5143	16.3543	22.9875	0	22.9875	22.98753
11	0.7643	0.97502	20.3502	21.8251	19.4949	1	19.4949	19.5949
12	0.3379	0.19516	17.3655	16.3662	22.977	0	22.977	22.97697
13	0.5278	0.98716	18.6943	21.9101	19.3537	0	19.3537	19.35373
14	0.29	0.67286	17.0299	19.71	20.9584	1	20.9584	21.05841
15	0.5915	0.0468	19.1404	15.3276	24.4442	1	24.4442	24.54423
16	0.2785	0.48554	16.9495	18.3988	21.6446	0	21.6446	21.64457
17	0.3325	0.38124	17.3272	17.6687	22.0553	0	22.0553	22.05527
18	0.1347	0.29248	15.943	17.0474	22.4496	0	22.4496	22.44964
19	0.1228	0.08858	15.8596	15.6201	23.8438	0	23.8438	23.84384
20	0.2	0.18879	16.4001	16.3215	23.0172	1	23.0172	23.11719
21	0.183	0.64497	16.2812	19.5148	21.0604	0	21.0604	21.06039
22	0.2911	0.88163	17.0375	21.1714	20.1043	0	20.1043	20.10433
23	0.3324	0.24364	17.3271	16.7055	22.6971	1	22.6971	22.79714
24	0.9455	0.76149	21.6187	20.3304	20.6241	0	20.6241	20.62407
25	0.3737	0.75757	17.6162	20.303	20.6394	0	20.6394	20.63937
26	0.082	0.37502	15.5738	17.6252	22.0812	1	22.0812	22.1812
27	0.75	0.58438	20.2497	19.0907	21.2804	2	21.2804	21.48037
28	0.9783	0.19576	21.8478	16.3703	22.9733	0	22.9733	22.97325
29	0.2289	0.91018	16.6025	21.3713	19.9545	0	19.9545	19.95447
30	0.2389	0.18616	16.6726	16.3031	23.034	0	23.034	23.03403
31	0.2318	0.89009	16.6223	21.2307	20.0616	1	20.0616	20.16161
32	0.6252	0.46095	19.3764	18.2267	21.738	1	21.738	21.83803
33	0.4595	0.21629	18.2166	16.514	22.8499	0	22.8499	22.84985
34	0.9072	0.53285	21.3505	18.73	21.4685	1	21.4685	21.56854
35	0.5605	0.43412	18.9238	18.0389	21.842	0	21.842	21.84205
36	0.5025	0.1617	18.5174	16.1319	23.1997	0	23.1997	23.19968
37	0.9112	0.88768	21.3782	21.2138	20.0739	0	20.0739	20.07392
38	0.7037	0.80659	19.926	20.6461	20.4424	0	20.4424	20.44243
39	0.3227	0.76105	17.2586	20.3273	20.6258	2	20.6258	20.82579
40	0.3619	0.80267	17.5336	20.6187	20.4587	1	20.4587	20.55869
41	0.1935	0.18994	16.3547	16.3296	23.0098	1	23.0098	23.10985
42	0.1079	0.19205	15.7551	16.3443	22.9965	0	22.9965	22.9965
43	0.5064	0.63815	18.5447	19.467	21.0852	1	21.0852	21.18521
44	0.7882	0.91819	20.5176	21.4274	19.9089	1	19.9089	20.00893
45	0.7903	0.40227	20.5324	17.8159	21.969	1	21.969	22.06898
46	0.778	0.72986	20.4458	20.109	20.7459	1	20.7459	20.84592
47	0.4819	0.07686	18.373	15.538	23.9837	2	23.9837	24.18368
48	0.7193	0.09148	20.035	15.6404	23.8115	0	23.8115	23.81152
49	0.7091	0.48441	19.9636	18.3909	21.6488	0	21.6488	21.64882
50	0.3251	0.10511	17.2759	15.7358	23.6697	1	23.6697	23.76975
51	0.4855	0.51527	18.3987	18.6069	21.5335	1	21.5335	21.63346
52	0.5394	0.85791	18.7761	21.0054	20.218	0	20.218	20.21799
53	0.2186	0.35398	16.5303	17.4778	22.1706	0	22.1706	22.17064
54	0.3895	0.07278	17.7268	15.5095	24.0363	0	24.0363	24.0363
55	0.5179	0.9639	18.625	21.7473	19.5966	1	19.5966	19.69657
56	0.8626	0.79521	21.0382	20.5665	20.4894	0	20.4894	20.48935
57	0.7789	0.57993	20.4526	19.0595	21.2965	0	21.2965	21.29654
58	0.1587	0.21327	16.111	16.4929	22.8675	1	22.8675	22.96752
59	0.8317	0.77336	20.8219	20.4135	20.5773	0	20.5773	20.5773
60	0.721	0.1639	20.0467	16.1473	23.184	1	23.184	23.28404
61	0.5082	0.34413	18.5571	17.4089	22.2134	1	22.2134	22.31341
62	0.7356	0.23895	20.1492	16.6727	22.7225	0	22.7225	22.72246
63	0.365	0.86286	17.5548	21.04	20.1949	1	20.1949	20.29492
64	0.4651	0.1716	18.2555	16.2012	23.1306	0	23.1306	23.13058
65	0.7983	0.07606	20.5882	15.5324	23.9938	0	23.9938	23.99381
66	0.5702	0.23739	18.9911	16.6617	22.731	1	22.731	22.83101
67	0.6109	0.82403	19.2762	20.7682	20.3688	0	20.3688	20.36877
68	0.0041	0.2783	15.0285	16.9481	22.5187	0	22.5187	22.51872
69	0.785	0.9443	20.4949	21.6101	19.7449	1	19.7449	19.84486
70	0.8918	0.53466	21.2424	18.7426	21.4619	0	21.4619	21.4619
71	0.2876	0.93123	17.0131	21.5186	19.8305	1	19.8305	19.93049
72	0.7099	0.42221	19.9692	17.9555	21.8891	1	21.8891	21.98905
73	0.4713	0.22849	18.2991	16.5994	22.7803	0	22.7803	22.78025
74	0.0006	0.52785	15.004	18.695	21.4869	0	21.4869	21.48695
75	0.0344	0.74589	15.241	20.2213	20.6846	0	20.6846	20.68461
76	0.2828	0.17089	16.9793	16.1963	23.1354	2	23.1354	23.33543
77	0.345	0.70212	17.4153	19.9148	20.8502	0	20.8502	20.85024
78	0.701	0.64212	19.9067	19.4948	21.0708	0	21.0708	21.07078
79	0.1174	0.87807	15.822	21.1465	20.1219	0	20.1219	20.12192
80	0.2169	0.4916	16.5182	18.4412	21.6218	0	21.6218	21.62176
81	0.5866	0.03539	19.1064	15.2477	24.6872	2	24.6872	24.88724
82	0.0043	0.12656	15.0301	15.8859	23.4732	0	23.4732	23.47316
83	0.8089	0.457	20.6624	18.199	21.7532	1	21.7532	21.85319
84	0.7906	0.85221	20.5345	20.9655	20.2442	1	20.2442	20.34419
85	0.8737	0.40368	21.1159	17.8258	21.9633	1	21.9633	22.06329
86	0.4599	0.18859	18.2193	16.3201	23.0185	1	23.0185	23.11848
87	0.5394	0.25531	18.7761	16.7871	22.6354	0	22.6354	22.63539
88	0.3042	0.54338	17.1297	18.8037	21.4299	2	21.4299	21.62985
89	0.3317	0.91946	17.3216	21.4363	19.9015	0	19.9015	19.90154
90	0.8826	0.82901	21.1779	20.8031	20.3473	1	20.3473	20.44729
91	0.184	0.56785	16.288	18.975	21.3405	0	21.3405	21.34049
92	0.7566	0.30612	20.2964	17.1428	22.3851	0	22.3851	22.38513
93	0.8152	0.53524	20.7063	18.7467	21.4598	0	21.4598	21.45975
94	0.5689	0.25779	18.9825	16.8045	22.6225	0	22.6225	22.62249
95	0.0808	0.00626	15.5656	15.0438	26.0083	1	26.0083	26.10827
96	0.3424	0.9551	17.3965	21.6857	19.6669	0	19.6669	19.66686
97	0.8418	0.38299	20.8929	17.6809	22.048	0	22.048	22.04801
98	0.9332	0.33859	21.5325	17.3701	22.2378	0	22.2378	22.23776
99	0.3413	0.16508	17.3889	16.1556	23.1757	0	23.1757	23.17575
100	0.8572	0.19002	21.0002	16.3301	23.0094	0	23.0094	23.00937
101	0.2131	0.14993	16.4914	16.0495	23.2859	1	23.2859	23.38588

В ячейки первой строки A1, B1,..,H1 помещаются заголовки таблицы. В ячейки A2 и В2 помещаются РРСЧ в соответствии с формулами А2=СЛЧИС(), В2=СЛЧИС().

В ячейки C2, D2, E2 помещаются значения случайных величин X₁, X₂, X₃, первые две которые имеют равномерное распределение, а третья - нормальное распределение в соответствии с формулами разыгрывания:

C2=15+(22-15)*A2,

D2=15+(22-15)*B2,

E2 =19+2.2*КОРЕНЬ(-2*LN(C3))*COS(2*ПИ()).

В ячейку F2 помещается значение дискретной случайной величины V, подчиненной распределению Пуассона.

Рассмотрим структурную схему, изображенную на рисунке 1. При отказе элемента X3 наступает отказ системы. При отказе элемента X1 в работу включается элемент X2, но это событие не является отказом системы. Система откажет, если после этого произойдет отказ элемента X3 или X2. Время до отказа этой системы равно наименьшему из времени совместной работы элементов X1 и X2 или X3, т.е Y=МИН(X1+X2;X3).

По этому в ячейку G2 помещается формула, расчет по которой даст значение случайной величины Y:

G2 =МИН(С2+D2;E2),

В ячейку Н2 помещается формула для расчета случайной величины Z:

Z= =G2/1+0.1*F2.

В результате этих действий будут заполнены ячейки второй строки А2, В2,..,H2. По заданию необходимо получить 100 значений данных случайных величин. Поэтому содержимое ячеек А2, В2,..,H2 копируется в следующие строки, вплоть до 101 строки (таблица 1.2)

2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

2.1 ВЫЧЕСЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ

Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности являются: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс.

Для расчета указанных характеристик в Excel необходимо поставить курсор в ячейку, в которую будет записано значение характеристики, вызвать соответствующую функцию и в качестве ее аргумента указать блок ячеек со статистическими данными.

Для удобства следующих операций значения случайной величины Z (статистические данные) перепишем на другой лист в прямоугольный блок ячеек, например в ячейки Al: J10.

Значения вычисляемых характеристик будем располагать в ячейках с G12 по G19, как показано в таблице 4.3.

Вычисление выборочных характеристик осуществляется по формулам:

- выборочное среднее: G12 = СРЗНАЧ (А1: J10),

- выборочная дисперсия: G13 = ДИСП (Al: J10),

- выборочное среднее квадратическое отклонение:

G14 = СТАНДОТКЛОН(Al: J10) ИЛИ G14 = КОРЕНЬ(G13),

- наименьшее значение: G15 = МИН(А1: J10),

- наибольшее значение: G16 = МАКС (Al: J10),

- размах выборки: G17 = G16 - G15,

- асимметрия: G18 = СКОС (Al: J10),

- эксцесс: G19 = ЭКСЦЕСС(Al: J10).

Таблица 2.1 - Расчет выборочных характеристик

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	22.995	22.977	20.104	21.838	22.996	20.218	22.722	21.989	23.473	22.385
2	22.52	19.3537	22.797	22.85	21.185	22.171	20.295	22.78	21.853	21.46
3	24.551	21.0584	20.624	21.569	20.009	24.036	23.131	21.487	20.344	22.622
4	23.454	24.5442	20.639	21.842	22.069	19.697	23.994	20.685	22.063	26.108
5	21.178	21.6446	22.181	23.2	20.846	20.489	22.831	23.335	23.118	19.667
6	23.849	22.0553	21.48	20.074	24.184	21.297	20.369	20.85	22.635	22.048
7	20.73	22.4496	22.973	20.442	23.812	22.968	22.519	21.071	21.63	22.238
8	21.381	23.8438	19.954	20.826	21.649	20.577	19.845	20.122	19.902	23.176
9	22.988	23.1172	23.034	20.559	23.77	23.284	21.462	21.622	20.447	23.009
10	19.595	21.0604	20.162	23.11	21.633	22.313	19.93	24.887	21.34	23.386
11
12	Выборочное среднее	21.936
13	Выборочная дисперсия	1.967
14	Выборочное ср. квадратичное отклонение	1.4025
15	Наименьшее значение	19.354
16	Наибольшее значение	26.108
17	Размах выборки	6.7545
18	Асимметрия	0.2381
19	Эксцесс	-0.449

2.2 ФОРМИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА И ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Для наглядного представления статистических данных используется группировка. Числовая ось разбивается на интервалы, и для каждого интервала подсчитывается число элементов выборки, которые в него попали. Группировка данных производится в следующей последовательности:

- наименьшее значение округляется в меньшую сторону, а наибольшее -- в большую сторону до "хороших" чисел х_min и х_max;

- выбирается количество групп k, удовлетворяющее неравенству 6 < k < 20; иногда оно определяется по формуле . Например, если объем выборки п=100, то к = 10;

- находится шаг по формуле

,

где R = х_тах - х_min -- длина промежутка, в котором содержатся статистические данные;

- определяются границы частичных интервалов:

, , ,... ; (1)

- в каждом интервале вычисляются средние значения ;

- для каждого интервала , i = 1, 2,...,k находятся:

а) частоты п_i, т. е. число выборочных значений, попавших в интервал;

б) относительные частоты ;

в) накопленные частоты ;

г) накопленные относительные частоты .

Для выборочной совокупности (таблица 3.3) результаты группировки в Excel представлены в таблице 3.4.

Сначала следует указать объем выборки, максимальное и минимальное значения, размах выборки, количество групп и шаг:

А23 = 100, В23 = 100, С23 = 0, D23 = В23 - С23, Е23 = 10, F23 = D23 / Е23.

В ячейках А25: Н25 указываются заголовки таблицы. В этой таблице колонки В и С можно заполнить в соответствии с формулами (1) или заполнить две строки и скопировать их в последующие так, чтобы всего получилось k = 10 строк. Колонку D можно заполнить, используя формулу:

D26 = (В26 + С26) / 2

надежность система статистический моделирование

с последующим копированием в ячейки D27: D35.

Таблица 2.2 - Группировка статистических данных

	A	B	C	D	E	F	G	H
22	n	Xmax	Xmin	R	k	h
23	100	29	19	10	10	1
24
25	Группа	Левая граница	Правая граница	Середина	Частота	Относ. Частота	Накоп. Частота	Накоп. Относит. Частота
26	1	19	20	19.5	8	0.08	8	0.08
27	2	20	21	20.5	21	0.21	29	0.29
28	3	21	22	21.5	22	0.22	51	0.51
29	4	22	23	22.5	25	0.25	76	0.76
30	5	23	24	23.5	18	0.18	94	0.94
31	6	24	25	24.5	5	0.05	99	0.99
32	7	25	26	25.5	0	0	99	0.99
33	8	26	27	26.5	1	0.01	100	1
34	9	27	28	27.5	0	0	100	1
35	10	28	29	28.5	0	0	100	1

Для заполнения колонки Е следует выделить ячейки Е26: Е35 и обратиться к функции ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов:

{= ЧАСТОТА (А1:J10; С26:С35)}.

Одновременное нажатие клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter> приведет к заполнению выделенных ячеек.

Заполнение колонки F производится по формуле:

F26 = Е26 / $А$23

с последующим копированием в ячейки F27: F35.

Далее заполняются две ячейки колонки G по формулам:

G26 = Е26, G27 = G26 + Е27

с последующим копированием G27 в ячейки G28: G35.

Колонка Н заполняется по формуле: Н26 = G26 / $А$23

с последующим копированием в ячейки Н27: Н35.

Середины

Рисунок 1 - Полигон частот

середины

Рисунок 2 - Кумулята частот

Данные, собранные в таблице 2.2, нуждаются в наглядном представлении. Формами такого наглядного представления являются:

- полигоны частот - графическая зависимость частот (относительных частот) от середин интервалов (рисунок 1);

- кумуляты частот - графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середин интервалов (рисунок 2).

2.3 ПОДБОР ПОДХОДЯЩЕГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

При достаточно большом объеме выборки статистические данные позволяют подобрать подходящее распределение вероятностей. С этой целью можно рассмотреть некоторые известные распределения, например равномерное, нормальное и гамма-распределение.

Предположим, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x). Будем называть это предположение гипотезой о виде распределения случайной величины X. Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения или их некоторые оценки. Как правило, параметры распределений берутся такими, чтобы математическое ожидание случайной величины X было равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины X - выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные выборочные характеристики находятся в ячейках G12 и G14 соответственно.

Откроем новый лист Excel и поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 3.5). Определим параметры равномерного, нормального и гамма-распределений в соответствии с формулами:

, , ,

и запишем их в ячейки:

B5 = А2 - В2·КОРЕНЬ(3),

B6 = А2 + В2·КОРЕНЬ(3),

B8 = А2,

B9 = В2,

B11 = (А2/В2)^{^}2,

B12 = В2^{^}2/А2.

Далее построим таблицу, шапка которой располагается в ячейках А14: Е14.

В ячейках А15: А24 содержатся середины частичных интервалов, взятые из ячеек D26: D35 предыдущего листа. В ячейках В15: В24 вычислены плотности относительных частот как частное от деления относительных частот предыдущего листа (ячейки F26: F35) на шаг (ячейка $F$23).

Таблица 2.3 - Значения плотностей распределения

	A	B	C	D	E
1	Матем. Ожидание	Сред. кв. отклонение
2	21.93637526	1.402484928
3
4	Равн.расп
5	a	19.50720011
6	b	24.36555041
7	Норм.распр.
8	m	21.93637526
9	у	1.402484928
10	Гамма-распр.
11	б	244.6433013
12	в	0.089666773
13
14	Середина	Плотность относит. частот	Плотность равномерного распр.	Плотность норм. распр.	плотность Гамма-распр.
15	19.5	0.08	0	0.062908	#ЧИСЛО!
16	20.5	0.21	0.205831185	0.168362	#ЧИСЛО!
17	21.5	0.22	0.205831185	0.271013	#ЧИСЛО!
18	22.5	0.25	0.205831185	0.262387	#ЧИСЛО!
19	23.5	0.18	0.205831185	0.152792	#ЧИСЛО!
20	24.5	0.05	0	0.053513	#ЧИСЛО!
21	25.5	0	0	0.011273	#ЧИСЛО!
22	26.5	0.01	0	0.001428	#ЧИСЛО!
23	27.5	0	0	0.000109	#ЧИСЛО!
24	28.5	0	0	0.000005	#ЧИСЛО!

Плотности равномерного, нормального и гамма-распределения рассчитываются в соответствии с формулами:

,

,

,

затем они копируются в блок ячеек С16:Е24.

Построим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Гистограмма частот- это графическое изображение зависимости плотности относительных частот n_i / nh от соответствующего интервала группировки. В этом случае площадь гистограммы равна единице, и гистограмма может служить аналогом плотности распределения вероятностей случайной величины X. Графическое изображение гистограммы и кривых различных распределений приведено на рисунках 3 - 5. При этом используется нестандартная диаграмма типа "График | гистограмма".

t,час

Рисунок 3 - Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения

t,час

Рисунок 4 - Сглаживание гистограммы плотностью нормаьного распределения

По внешнему виду этих графиков вполне можно судить о соответствии кривой распределения данной гистограмме, т. е. о том, какая кривая ближе к полученной гистограмме.

Используя критерий , надо установить, верна ли принятая нами гипотеза о распределении случайной величины X, т. е. о соответствии функции распределения F(x) экспериментальным данным, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).

t,час

Рисунок 5 - Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения

Для применения критерия необходимо, чтобы частоты п_i, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Если это не так, рядом стоящие интервалы объединяются, а их частоты суммируются. В результате общее количество интервалов может уменьшиться до значения . Далее вычисляется следующая сумма:

, (2)

где р_i - теоретическая вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала [a_i-1, а_i]. Мы предположили, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x), поэтому p_t =F(a_i)-F(a_i-1). Образец расчетов по формуле (2) в Excel для трех распределений показан в таблице 6.

В колонке А содержатся левые, а в колонке В - правые границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. Заметим, что интервалы с 5-го по 10-й объединены в один, чтобы все частоты были не менее пяти. Количество интервалов вместо k = 10 стало равным k' = 5. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения. Как обычно, вычисляется одно значение, которое копируется в другие ячейки:

- для равномерного распределения:

D45 = ЕСЛИ(В45 < $В$5; 0; ЕСЛИ(В45 <= $В$6,

(В45 - $В$5)/($В$6 - $В$5); 1)) - ЕСЛИ(А45 < $В$5; 0,

ЕСЛИ(А45 <= $В$6; (А45 - $В$5)/($В$6 - $В$5); 1)).

- для нормального распределения:

D52 = НОРМРАСП(В53; $В$8; $В$9; ИСТИНА) - НОРМРАСП(А53; $В$8; $В$9; ИСТИНА).

- для гамма-распределения:

D59 =ГАММАРАСП(В61; $В$11; $В$12; ИСТИНА)- ГАММАРАСП(А61; $В$11; $В$12; ИСТИНА).

Таблица 2.4 - Подбор распределения на основе критерия ч²

	A	B	C	D	E
43	Левая граница	Правая граница	Частота	Вероятности	чІ
44				Равномерное распределение
45	19	20	8	0.101433585	0.452905772
46	20	21	21	0.205831185	0.008443336
47	21	22	22	0.205831185	0.097533966
48	22	23	25	0.205831185	я
49	23	24	18	0.205831185	0.324173482
50	24	29	6	0.075241675	0.308749983
51	Сумма	1.191806539
52				Нормальное распределение
53	19	20	8	0.06554593	0.318738516
54	20	21	21	0.168487582	1.022793981
55	21	22	22	0.265914992	0.792804683
56	22	23	25	0.257797892	0.02358713
57	23	24	18	0.153519334	0.456766991
58	24	29	6	0.070590439	0.158884685
59	Сумма	2.773575986
60				Гамма-распределение
61	19	20	8	0.065581985	0.316976029
62	20	21	21	0.175459958	0.679935488
63	21	22	22	0.270652617	0.947963351
64	22	23	25	0.252103096	0.001754447
65	23	24	18	0.147637418	0.709397903
66	24	29	6	0.073695366	0.254511305
67	Сумма	2.910538523
68
69	Критическое значение критерия	5.991464547

В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения (2) по формуле:

Е45 = (С45 - 100·D45)^{^}2/(100·D45), которая копируется в другие ячейки колонки Е.

Согласно (2) для каждого рассмотренного распределения определяются итоговые суммы:

Е51 = СУММ(Е45:Е50),

Е59 = СУММ(Е53:Е58),

Е67 = СУММ(Е61:Е66),

которые равны соответственно 11,095, 10,945и 2,576.

Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение достаточно мало, а именно не превосходит критического значения которое определяется по распределению в зависимости от заданного уровня значимости и числа степеней свободы . Здесь s - число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке (для равномерного, нормального и гамма-распределения s = 2). В данном примере r = k'-s-1 = 5-3 = 2. Полагая = 0,05, критическое значение критерия в Excel рассчитывается по формуле:

Е66 = ХИ2ОБР(0,05;2)

Поскольку 2.77< 5,991, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют нормальное распределение с параметрам m=21.936 и у =1.402 соответственно.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ

В разделе 2.3 было установлено, что случайная величина Z принадлежит множеству Г(244.64;0.089) с плотностью распределения вероятностей:

(3)

Основными характеристиками надежности невосстанавливаемой системы являются среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы в течение времени t.

Среднее время безотказной работы системы T₁ равно математическому ожиданию m, т. е. T₁ = 26,38 час.

Вероятность безотказной работы вычисляется по формуле:

. (4)

Построим график функции , используя Excel. В ячейках А71: А91 запишем значения аргумента t, изменяющегося от 0 до 27 часов с шагом 1 час.

Так как случайная величина Z имеет нормальное распределение, то в ячейку В71 записывается формула:

В71 = 1 - НОРМРАСП(А71; $В$8; $В$9; ИСТИНА),

которая затем копируется в ячейки В72: В98 (таблица 3.7). При этом используется аргумент истина, который, согласно равенству (3), соответствует интегральной функции распределения (а не плотности распределения). В результате будет получена таблица значений вероятности безотказной работы , график которой представлен на рисунке 6.

Таблица 3 - Значения вероятности безотказной работы системы

68	A	B
69	Вероятность безотказной работы
70	t,час	P(t)
71	0	1
72	1	1
73	2	1
74	3	1
75	4	1
76	5	1
77	6	1
78	7	1
79	8	1
80	9	1
81	10	1
82	11	1
83	12	1
84	13	1
85	14	0.999999992
86	15	0.999999621
87	16	0.999988458
88	17	0.999784011
89	18	0.997497524
90	19	0.981856407
91	20	0.916310477

По таблице 3 и графику функции (рисунок 6) можно определить вероятность того, что система безотказно проработает в течение заданного времени.

t,час

Рисунок 6 - График вероятности безотказной работы системы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе изучили методы статистического моделирования применительно к задачам нахождения законов распределения времени безотказной работы и показателей надежности технических систем с использованием прикладных программных средств.

Оценили надежность системы S методом статистического моделирования на ЭВМ.

Разработали алгоритмы разыгрывания случайных величин Х1,Х2,Х3 и V с использованием генераторов случайных чисел, содержащихся в Microsoft Excel.

Определили время безотказной работы системы Y в зависимости от времени безотказной работы Х1,Х2,Х3 элементов на основе структурной схемы расчета надежности.

Определили время безотказной работы системы с учетом влияния внешней среды Z.

Построили моделирующий алгоритм, имитирующий работу системы S и учитывающий возможность отказа элементов и случайные воздействия внешней среды E. Реализовали полученный алгоритм на ЭВМ.

Выполнили статистическую обработку полученных результатов. Для каждой случайной величины рассчитали основные статистические характеристики: выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрию, эксцесс.

Сформировали статистический ряд, содержащий границы и середины частичных интервалов, а также соответствующие частоты; вычислили относительные, накопленные и накопленные относительные частоты.

Для величины Z построили полигон и кумуляту частот. Рассмотрели три непрерывных распределения(равномерное, нормальное, гамма-), изобразили на гистограмме для Z плотности этих распределений.

С помощью критерия выполнили проверку справедливости гипотезы о соответствии статистических данных выбранным распределениям, в данном случае статические данные имеют нормальное распределение.

Определили плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени безотказной работы Z системы. Определили основные характеристики надежности системы.

ЛИТЕРАТУРА

1 Зорин В.А., Бочаров B.C. Надежность машин: Учебник. - Орел: Изд. ОрелГТУ,2010. - 549с.

2 Шарыпов А.В., Осипов Г.В. Основы теории надежности транспортных систем: Учебное пособие. - Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2006.- 128 с.

3 Половко А.М.,Гуров С.В. Основы теории надежности. - СПб.: БХВ-Петербург, 2009. - 704 с.

4 Половко А.М.,Гуров С.В. Основы теории надежности. Практикум. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 560 с.

Размещено на Allbest.ru