Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов

Разработка алгоритма статистического моделирования. Вычисление характеристик выборки. Формирование статистического ряда и графическое представление данных. Подбор подходящего закона распределения вероятностей. Определение характеристик надежности системы.

Рубрика Производство и технологии
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 19.08.2014
Размер файла 322,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Техническая система S состоит из трех элементов схемы, соединения которых приведены в вариантах заданий на курсовую работу. Времена безотказной работы Х1, Х2, Х3 элементов системы являются непрерывными случайными величинами с известными законами распределения вероятностей. Внешняя среда Е оказывает воздействие на работу систем виде случайной величины V с известным дискретным распределением вероятностей.

Требуется оценить надежность системы S методом статистического моделирования на ЭВМ с последующей обработкой результатов эксперимента.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Разработка алгоритма статистического моделирования

2. Статистическая обработка данных

2.1 Вычисление основных характеристик выборки

2.2 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

2.3 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

3. Определение характеристик надежности системы

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Разработка математических моделей и методов, позволяющих определить время безотказной работы системы аналитически, является сложной, а подчас и неразрешимой задачей. С этой целью часто используется метод статистического моделирования с последующей обработкой результатов эксперимента. Предметом статистического моделирования является изучение сложных процессов и систем, подверженных, как правило, воздействию случайных факторов, путем проведения экспериментов с их моделями.

Суть метода проста -- имитируется “жизнь” системы при многократном повторении испытаний. При этом моделируются и регистрируются случайно меняющиеся внешние воздействия на систему. Для каждой ситуации по сравнениям модели просчитываются системные показатели. Существующие современные методы математической статистики позволяют ответить на вопрос, можно ли и с каким доверием использовать данные моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы можем использовать модель для изучения данной системы.

Можно говорить об универсальности статистического моделирования, поскольку оно является одним из наиболее эффективных средств исследования и проектирования сложных систем по критериям надежности и часто единственным практически реализуемым методом исследования процесса их функционирования.

1. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Проведем имитацию работы системы, структурная схема которой изображена на рисунке 1.1. Согласно схеме, сначала работают элементы 1 и 3, а элемент 2 находится в резерве. При отказе элемента X3 наступает отказ системы. При отказе элемента X1 в работу включается элемент X2, но это событие не является отказом системы. Система откажет, если после этого произойдет отказ элемента X3 или X2.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Законы распределения времени безотказной работы элементов и воздействия внешней среды сведены в таблицу 1.

Таблица 1.1 - Законы распределения времени безотказной работы элементов и V

X1

X2

X3

V

U(15;22)

U(15;22)

N(19; 2,2)

П(0;5)

В таблице 1 приняты следующие обозначения законов распределения:

- N - нормальное распределение;

- U - равномерное распределение;

- П - распределение Пуассона;

В скобках указаны параметры распределений.

На листе Excel (таблица 2) предусмотрим место для значений случайных величин. Колонки А и В - вспомогательные, в них заносятся равномерно распределенные случайные числа (РРСЧ) из промежутка [0; 1]. В колонки С, D, Е и F заносятся значения заданных случайных величин Х1, Х2, Х3 и V соответственно, полученные путем преобразования РРСЧ. Колонка G служит для значений случайной величины Y, а колонка Н- для значений случайной величины Z.

Таблица 1.2 - Получение случайных чисел

A

B

C

D

E

F

G

H

РРСЧ

РРСЧ

X1

X2

X3

V

Y

Z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

0.171

0.19231

16.1971

16.3461

22.9949

0

22.9949

22.99489

3

0.8873

0.2987

21.2108

17.0909

22.42

1

22.42

22.52002

4

0.3579

0.05191

17.5056

15.3634

24.3513

2

24.3513

24.55127

5

0.5222

0.14113

18.6552

15.9879

23.3536

1

23.3536

23.45365

6

0.0538

0.64018

15.3767

19.4812

21.0778

1

21.0778

21.17783

7

0.7393

0.08815

20.1754

15.617

23.8487

0

23.8487

23.84872

8

0.5923

0.73397

19.1462

20.1378

20.7303

0

20.7303

20.73028

9

0.6062

0.55668

19.2434

18.8968

21.3812

0

21.3812

21.38121

10

0.0735

0.19348

15.5143

16.3543

22.9875

0

22.9875

22.98753

11

0.7643

0.97502

20.3502

21.8251

19.4949

1

19.4949

19.5949

12

0.3379

0.19516

17.3655

16.3662

22.977

0

22.977

22.97697

13

0.5278

0.98716

18.6943

21.9101

19.3537

0

19.3537

19.35373

14

0.29

0.67286

17.0299

19.71

20.9584

1

20.9584

21.05841

15

0.5915

0.0468

19.1404

15.3276

24.4442

1

24.4442

24.54423

16

0.2785

0.48554

16.9495

18.3988

21.6446

0

21.6446

21.64457

17

0.3325

0.38124

17.3272

17.6687

22.0553

0

22.0553

22.05527

18

0.1347

0.29248

15.943

17.0474

22.4496

0

22.4496

22.44964

19

0.1228

0.08858

15.8596

15.6201

23.8438

0

23.8438

23.84384

20

0.2

0.18879

16.4001

16.3215

23.0172

1

23.0172

23.11719

21

0.183

0.64497

16.2812

19.5148

21.0604

0

21.0604

21.06039

22

0.2911

0.88163

17.0375

21.1714

20.1043

0

20.1043

20.10433

23

0.3324

0.24364

17.3271

16.7055

22.6971

1

22.6971

22.79714

24

0.9455

0.76149

21.6187

20.3304

20.6241

0

20.6241

20.62407

25

0.3737

0.75757

17.6162

20.303

20.6394

0

20.6394

20.63937

26

0.082

0.37502

15.5738

17.6252

22.0812

1

22.0812

22.1812

27

0.75

0.58438

20.2497

19.0907

21.2804

2

21.2804

21.48037

28

0.9783

0.19576

21.8478

16.3703

22.9733

0

22.9733

22.97325

29

0.2289

0.91018

16.6025

21.3713

19.9545

0

19.9545

19.95447

30

0.2389

0.18616

16.6726

16.3031

23.034

0

23.034

23.03403

31

0.2318

0.89009

16.6223

21.2307

20.0616

1

20.0616

20.16161

32

0.6252

0.46095

19.3764

18.2267

21.738

1

21.738

21.83803

33

0.4595

0.21629

18.2166

16.514

22.8499

0

22.8499

22.84985

34

0.9072

0.53285

21.3505

18.73

21.4685

1

21.4685

21.56854

35

0.5605

0.43412

18.9238

18.0389

21.842

0

21.842

21.84205

36

0.5025

0.1617

18.5174

16.1319

23.1997

0

23.1997

23.19968

37

0.9112

0.88768

21.3782

21.2138

20.0739

0

20.0739

20.07392

38

0.7037

0.80659

19.926

20.6461

20.4424

0

20.4424

20.44243

39

0.3227

0.76105

17.2586

20.3273

20.6258

2

20.6258

20.82579

40

0.3619

0.80267

17.5336

20.6187

20.4587

1

20.4587

20.55869

41

0.1935

0.18994

16.3547

16.3296

23.0098

1

23.0098

23.10985

42

0.1079

0.19205

15.7551

16.3443

22.9965

0

22.9965

22.9965

43

0.5064

0.63815

18.5447

19.467

21.0852

1

21.0852

21.18521

44

0.7882

0.91819

20.5176

21.4274

19.9089

1

19.9089

20.00893

45

0.7903

0.40227

20.5324

17.8159

21.969

1

21.969

22.06898

46

0.778

0.72986

20.4458

20.109

20.7459

1

20.7459

20.84592

47

0.4819

0.07686

18.373

15.538

23.9837

2

23.9837

24.18368

48

0.7193

0.09148

20.035

15.6404

23.8115

0

23.8115

23.81152

49

0.7091

0.48441

19.9636

18.3909

21.6488

0

21.6488

21.64882

50

0.3251

0.10511

17.2759

15.7358

23.6697

1

23.6697

23.76975

51

0.4855

0.51527

18.3987

18.6069

21.5335

1

21.5335

21.63346

52

0.5394

0.85791

18.7761

21.0054

20.218

0

20.218

20.21799

53

0.2186

0.35398

16.5303

17.4778

22.1706

0

22.1706

22.17064

54

0.3895

0.07278

17.7268

15.5095

24.0363

0

24.0363

24.0363

55

0.5179

0.9639

18.625

21.7473

19.5966

1

19.5966

19.69657

56

0.8626

0.79521

21.0382

20.5665

20.4894

0

20.4894

20.48935

57

0.7789

0.57993

20.4526

19.0595

21.2965

0

21.2965

21.29654

58

0.1587

0.21327

16.111

16.4929

22.8675

1

22.8675

22.96752

59

0.8317

0.77336

20.8219

20.4135

20.5773

0

20.5773

20.5773

60

0.721

0.1639

20.0467

16.1473

23.184

1

23.184

23.28404

61

0.5082

0.34413

18.5571

17.4089

22.2134

1

22.2134

22.31341

62

0.7356

0.23895

20.1492

16.6727

22.7225

0

22.7225

22.72246

63

0.365

0.86286

17.5548

21.04

20.1949

1

20.1949

20.29492

64

0.4651

0.1716

18.2555

16.2012

23.1306

0

23.1306

23.13058

65

0.7983

0.07606

20.5882

15.5324

23.9938

0

23.9938

23.99381

66

0.5702

0.23739

18.9911

16.6617

22.731

1

22.731

22.83101

67

0.6109

0.82403

19.2762

20.7682

20.3688

0

20.3688

20.36877

68

0.0041

0.2783

15.0285

16.9481

22.5187

0

22.5187

22.51872

69

0.785

0.9443

20.4949

21.6101

19.7449

1

19.7449

19.84486

70

0.8918

0.53466

21.2424

18.7426

21.4619

0

21.4619

21.4619

71

0.2876

0.93123

17.0131

21.5186

19.8305

1

19.8305

19.93049

72

0.7099

0.42221

19.9692

17.9555

21.8891

1

21.8891

21.98905

73

0.4713

0.22849

18.2991

16.5994

22.7803

0

22.7803

22.78025

74

0.0006

0.52785

15.004

18.695

21.4869

0

21.4869

21.48695

75

0.0344

0.74589

15.241

20.2213

20.6846

0

20.6846

20.68461

76

0.2828

0.17089

16.9793

16.1963

23.1354

2

23.1354

23.33543

77

0.345

0.70212

17.4153

19.9148

20.8502

0

20.8502

20.85024

78

0.701

0.64212

19.9067

19.4948

21.0708

0

21.0708

21.07078

79

0.1174

0.87807

15.822

21.1465

20.1219

0

20.1219

20.12192

80

0.2169

0.4916

16.5182

18.4412

21.6218

0

21.6218

21.62176

81

0.5866

0.03539

19.1064

15.2477

24.6872

2

24.6872

24.88724

82

0.0043

0.12656

15.0301

15.8859

23.4732

0

23.4732

23.47316

83

0.8089

0.457

20.6624

18.199

21.7532

1

21.7532

21.85319

84

0.7906

0.85221

20.5345

20.9655

20.2442

1

20.2442

20.34419

85

0.8737

0.40368

21.1159

17.8258

21.9633

1

21.9633

22.06329

86

0.4599

0.18859

18.2193

16.3201

23.0185

1

23.0185

23.11848

87

0.5394

0.25531

18.7761

16.7871

22.6354

0

22.6354

22.63539

88

0.3042

0.54338

17.1297

18.8037

21.4299

2

21.4299

21.62985

89

0.3317

0.91946

17.3216

21.4363

19.9015

0

19.9015

19.90154

90

0.8826

0.82901

21.1779

20.8031

20.3473

1

20.3473

20.44729

91

0.184

0.56785

16.288

18.975

21.3405

0

21.3405

21.34049

92

0.7566

0.30612

20.2964

17.1428

22.3851

0

22.3851

22.38513

93

0.8152

0.53524

20.7063

18.7467

21.4598

0

21.4598

21.45975

94

0.5689

0.25779

18.9825

16.8045

22.6225

0

22.6225

22.62249

95

0.0808

0.00626

15.5656

15.0438

26.0083

1

26.0083

26.10827

96

0.3424

0.9551

17.3965

21.6857

19.6669

0

19.6669

19.66686

97

0.8418

0.38299

20.8929

17.6809

22.048

0

22.048

22.04801

98

0.9332

0.33859

21.5325

17.3701

22.2378

0

22.2378

22.23776

99

0.3413

0.16508

17.3889

16.1556

23.1757

0

23.1757

23.17575

100

0.8572

0.19002

21.0002

16.3301

23.0094

0

23.0094

23.00937

101

0.2131

0.14993

16.4914

16.0495

23.2859

1

23.2859

23.38588

В ячейки первой строки A1, B1,..,H1 помещаются заголовки таблицы. В ячейки A2 и В2 помещаются РРСЧ в соответствии с формулами А2=СЛЧИС(), В2=СЛЧИС().

В ячейки C2, D2, E2 помещаются значения случайных величин X1, X2, X3, первые две которые имеют равномерное распределение, а третья - нормальное распределение в соответствии с формулами разыгрывания:

C2=15+(22-15)*A2,

D2=15+(22-15)*B2,

E2 =19+2.2*КОРЕНЬ(-2*LN(C3))*COS(2*ПИ()).

В ячейку F2 помещается значение дискретной случайной величины V, подчиненной распределению Пуассона.

Рассмотрим структурную схему, изображенную на рисунке 1. При отказе элемента X3 наступает отказ системы. При отказе элемента X1 в работу включается элемент X2, но это событие не является отказом системы. Система откажет, если после этого произойдет отказ элемента X3 или X2. Время до отказа этой системы равно наименьшему из времени совместной работы элементов X1 и X2 или X3, т.е Y=МИН(X1+X2;X3).

По этому в ячейку G2 помещается формула, расчет по которой даст значение случайной величины Y:

G2 =МИН(С2+D2;E2),

В ячейку Н2 помещается формула для расчета случайной величины Z:

Z= =G2/1+0.1*F2.

В результате этих действий будут заполнены ячейки второй строки А2, В2,..,H2. По заданию необходимо получить 100 значений данных случайных величин. Поэтому содержимое ячеек А2, В2,..,H2 копируется в следующие строки, вплоть до 101 строки (таблица 1.2)

2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

2.1 ВЫЧЕСЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ

Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности являются: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс.

Для расчета указанных характеристик в Excel необходимо поставить курсор в ячейку, в которую будет записано значение характеристики, вызвать соответствующую функцию и в качестве ее аргумента указать блок ячеек со статистическими данными.

Для удобства следующих операций значения случайной величины Z (статистические данные) перепишем на другой лист в прямоугольный блок ячеек, например в ячейки Al: J10.

Значения вычисляемых характеристик будем располагать в ячейках с G12 по G19, как показано в таблице 4.3.

Вычисление выборочных характеристик осуществляется по формулам:

- выборочное среднее: G12 = СРЗНАЧ (А1: J10),

- выборочная дисперсия: G13 = ДИСП (Al: J10),

- выборочное среднее квадратическое отклонение:

G14 = СТАНДОТКЛОН(Al: J10) ИЛИ G14 = КОРЕНЬ(G13),

- наименьшее значение: G15 = МИН(А1: J10),

- наибольшее значение: G16 = МАКС (Al: J10),

- размах выборки: G17 = G16 - G15,

- асимметрия: G18 = СКОС (Al: J10),

- эксцесс: G19 = ЭКСЦЕСС(Al: J10).

Таблица 2.1 - Расчет выборочных характеристик

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1

22.995

22.977

20.104

21.838

22.996

20.218

22.722

21.989

23.473

22.385

2

22.52

19.3537

22.797

22.85

21.185

22.171

20.295

22.78

21.853

21.46

3

24.551

21.0584

20.624

21.569

20.009

24.036

23.131

21.487

20.344

22.622

4

23.454

24.5442

20.639

21.842

22.069

19.697

23.994

20.685

22.063

26.108

5

21.178

21.6446

22.181

23.2

20.846

20.489

22.831

23.335

23.118

19.667

6

23.849

22.0553

21.48

20.074

24.184

21.297

20.369

20.85

22.635

22.048

7

20.73

22.4496

22.973

20.442

23.812

22.968

22.519

21.071

21.63

22.238

8

21.381

23.8438

19.954

20.826

21.649

20.577

19.845

20.122

19.902

23.176

9

22.988

23.1172

23.034

20.559

23.77

23.284

21.462

21.622

20.447

23.009

10

19.595

21.0604

20.162

23.11

21.633

22.313

19.93

24.887

21.34

23.386

11

12

Выборочное среднее

21.936

13

Выборочная дисперсия

1.967

14

Выборочное ср. квадратичное отклонение

1.4025

15

Наименьшее значение

19.354

16

Наибольшее значение

26.108

17

Размах выборки

6.7545

18

Асимметрия

0.2381

19

Эксцесс

-0.449

2.2 ФОРМИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА И ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Для наглядного представления статистических данных используется группировка. Числовая ось разбивается на интервалы, и для каждого интервала подсчитывается число элементов выборки, которые в него попали. Группировка данных производится в следующей последовательности:

- наименьшее значение округляется в меньшую сторону, а наибольшее -- в большую сторону до "хороших" чисел хmin и хmax;

- выбирается количество групп k, удовлетворяющее неравенству 6 < k < 20; иногда оно определяется по формуле . Например, если объем выборки п=100, то к = 10;

- находится шаг по формуле

,

где R = хтах - хmin -- длина промежутка, в котором содержатся статистические данные;

- определяются границы частичных интервалов:

, , ,... ; (1)

- в каждом интервале вычисляются средние значения ;

- для каждого интервала , i = 1, 2,...,k находятся:

а) частоты пi, т. е. число выборочных значений, попавших в интервал;

б) относительные частоты ;

в) накопленные частоты ;

г) накопленные относительные частоты .

Для выборочной совокупности (таблица 3.3) результаты группировки в Excel представлены в таблице 3.4.

Сначала следует указать объем выборки, максимальное и минимальное значения, размах выборки, количество групп и шаг:

А23 = 100, В23 = 100, С23 = 0, D23 = В23 - С23, Е23 = 10, F23 = D23 / Е23.

В ячейках А25: Н25 указываются заголовки таблицы. В этой таблице колонки В и С можно заполнить в соответствии с формулами (1) или заполнить две строки и скопировать их в последующие так, чтобы всего получилось k = 10 строк. Колонку D можно заполнить, используя формулу:

D26 = (В26 + С26) / 2

надежность система статистический моделирование

с последующим копированием в ячейки D27: D35.

Таблица 2.2 - Группировка статистических данных

A

B

C

D

E

F

G

H

22

n

Xmax

Xmin

R

k

h

23

100

29

19

10

10

1

24

25

Группа

Левая граница

Правая граница

Середина

Частота

Относ. Частота

Накоп. Частота

Накоп. Относит. Частота

26

1

19

20

19.5

8

0.08

8

0.08

27

2

20

21

20.5

21

0.21

29

0.29

28

3

21

22

21.5

22

0.22

51

0.51

29

4

22

23

22.5

25

0.25

76

0.76

30

5

23

24

23.5

18

0.18

94

0.94

31

6

24

25

24.5

5

0.05

99

0.99

32

7

25

26

25.5

0

0

99

0.99

33

8

26

27

26.5

1

0.01

100

1

34

9

27

28

27.5

0

0

100

1

35

10

28

29

28.5

0

0

100

1

Для заполнения колонки Е следует выделить ячейки Е26: Е35 и обратиться к функции ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов:

{= ЧАСТОТА (А1:J10; С26:С35)}.

Одновременное нажатие клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter> приведет к заполнению выделенных ячеек.

Заполнение колонки F производится по формуле:

F26 = Е26 / $А$23

с последующим копированием в ячейки F27: F35.

Далее заполняются две ячейки колонки G по формулам:

G26 = Е26, G27 = G26 + Е27

с последующим копированием G27 в ячейки G28: G35.

Колонка Н заполняется по формуле: Н26 = G26 / $А$23

с последующим копированием в ячейки Н27: Н35.

Середины

Рисунок 1 - Полигон частот

середины

Рисунок 2 - Кумулята частот

Данные, собранные в таблице 2.2, нуждаются в наглядном представлении. Формами такого наглядного представления являются:

- полигоны частот - графическая зависимость частот (относительных частот) от середин интервалов (рисунок 1);

- кумуляты частот - графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середин интервалов (рисунок 2).

2.3 ПОДБОР ПОДХОДЯЩЕГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

При достаточно большом объеме выборки статистические данные позволяют подобрать подходящее распределение вероятностей. С этой целью можно рассмотреть некоторые известные распределения, например равномерное, нормальное и гамма-распределение.

Предположим, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x). Будем называть это предположение гипотезой о виде распределения случайной величины X. Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения или их некоторые оценки. Как правило, параметры распределений берутся такими, чтобы математическое ожидание случайной величины X было равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины X - выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные выборочные характеристики находятся в ячейках G12 и G14 соответственно.

Откроем новый лист Excel и поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 3.5). Определим параметры равномерного, нормального и гамма-распределений в соответствии с формулами:

, , ,

и запишем их в ячейки:

B5 = А2 - В2·КОРЕНЬ(3),

B6 = А2 + В2·КОРЕНЬ(3),

B8 = А2,

B9 = В2,

B11 = (А2/В2)^2,

B12 = В2^2/А2.

Далее построим таблицу, шапка которой располагается в ячейках А14: Е14.

В ячейках А15: А24 содержатся середины частичных интервалов, взятые из ячеек D26: D35 предыдущего листа. В ячейках В15: В24 вычислены плотности относительных частот как частное от деления относительных частот предыдущего листа (ячейки F26: F35) на шаг (ячейка $F$23).

Таблица 2.3 - Значения плотностей распределения

A

B

C

D

E

1

Матем. Ожидание

Сред. кв. отклонение

2

21.93637526

1.402484928

3

4

Равн.расп

5

a

19.50720011

6

b

24.36555041

7

Норм.распр.

8

m

21.93637526

9

у

1.402484928

10

Гамма-распр.

11

б

244.6433013

12

в

0.089666773

13

14

Середина

Плотность относит. частот

Плотность равномерного распр.

Плотность норм. распр.

плотность Гамма-распр.

15

19.5

0.08

0

0.062908

#ЧИСЛО!

16

20.5

0.21

0.205831185

0.168362

#ЧИСЛО!

17

21.5

0.22

0.205831185

0.271013

#ЧИСЛО!

18

22.5

0.25

0.205831185

0.262387

#ЧИСЛО!

19

23.5

0.18

0.205831185

0.152792

#ЧИСЛО!

20

24.5

0.05

0

0.053513

#ЧИСЛО!

21

25.5

0

0

0.011273

#ЧИСЛО!

22

26.5

0.01

0

0.001428

#ЧИСЛО!

23

27.5

0

0

0.000109

#ЧИСЛО!

24

28.5

0

0

0.000005

#ЧИСЛО!

Плотности равномерного, нормального и гамма-распределения рассчитываются в соответствии с формулами:

,

,

,

затем они копируются в блок ячеек С16:Е24.

Построим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Гистограмма частот- это графическое изображение зависимости плотности относительных частот ni / nh от соответствующего интервала группировки. В этом случае площадь гистограммы равна единице, и гистограмма может служить аналогом плотности распределения вероятностей случайной величины X. Графическое изображение гистограммы и кривых различных распределений приведено на рисунках 3 - 5. При этом используется нестандартная диаграмма типа "График | гистограмма".

t,час

Рисунок 3 - Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения

t,час

Рисунок 4 - Сглаживание гистограммы плотностью нормаьного распределения

По внешнему виду этих графиков вполне можно судить о соответствии кривой распределения данной гистограмме, т. е. о том, какая кривая ближе к полученной гистограмме.

Используя критерий , надо установить, верна ли принятая нами гипотеза о распределении случайной величины X, т. е. о соответствии функции распределения F(x) экспериментальным данным, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).

t,час

Рисунок 5 - Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения

Для применения критерия необходимо, чтобы частоты пi, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Если это не так, рядом стоящие интервалы объединяются, а их частоты суммируются. В результате общее количество интервалов может уменьшиться до значения . Далее вычисляется следующая сумма:

, (2)

где рi - теоретическая вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала [ai-1, аi]. Мы предположили, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x), поэтому pt =F(ai)-F(ai-1). Образец расчетов по формуле (2) в Excel для трех распределений показан в таблице 6.

В колонке А содержатся левые, а в колонке В - правые границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. Заметим, что интервалы с 5-го по 10-й объединены в один, чтобы все частоты были не менее пяти. Количество интервалов вместо k = 10 стало равным k' = 5. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения. Как обычно, вычисляется одно значение, которое копируется в другие ячейки:

- для равномерного распределения:

D45 = ЕСЛИ(В45 < $В$5; 0; ЕСЛИ(В45 <= $В$6,

(В45 - $В$5)/($В$6 - $В$5); 1)) - ЕСЛИ(А45 < $В$5; 0,

ЕСЛИ(А45 <= $В$6; (А45 - $В$5)/($В$6 - $В$5); 1)).

- для нормального распределения:

D52 = НОРМРАСП(В53; $В$8; $В$9; ИСТИНА) - НОРМРАСП(А53; $В$8; $В$9; ИСТИНА).

- для гамма-распределения:

D59 =ГАММАРАСП(В61; $В$11; $В$12; ИСТИНА)- ГАММАРАСП(А61; $В$11; $В$12; ИСТИНА).

Таблица 2.4 - Подбор распределения на основе критерия ч2

A

B

C

D

E

43

Левая граница

Правая граница

Частота

Вероятности

чІ

44

Равномерное распределение

45

19

20

8

0.101433585

0.452905772

46

20

21

21

0.205831185

0.008443336

47

21

22

22

0.205831185

0.097533966

48

22

23

25

0.205831185

я

49

23

24

18

0.205831185

0.324173482

50

24

29

6

0.075241675

0.308749983

51

Сумма

1.191806539

52

Нормальное распределение

53

19

20

8

0.06554593

0.318738516

54

20

21

21

0.168487582

1.022793981

55

21

22

22

0.265914992

0.792804683

56

22

23

25

0.257797892

0.02358713

57

23

24

18

0.153519334

0.456766991

58

24

29

6

0.070590439

0.158884685

59

Сумма

2.773575986

60

Гамма-распределение

61

19

20

8

0.065581985

0.316976029

62

20

21

21

0.175459958

0.679935488

63

21

22

22

0.270652617

0.947963351

64

22

23

25

0.252103096

0.001754447

65

23

24

18

0.147637418

0.709397903

66

24

29

6

0.073695366

0.254511305

67

Сумма

2.910538523

68

69

Критическое значение критерия

5.991464547

В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения (2) по формуле:

Е45 = (С45 - 100·D45)^2/(100·D45), которая копируется в другие ячейки колонки Е.

Согласно (2) для каждого рассмотренного распределения определяются итоговые суммы:

Е51 = СУММ(Е45:Е50),

Е59 = СУММ(Е53:Е58),

Е67 = СУММ(Е61:Е66),

которые равны соответственно 11,095, 10,945и 2,576.

Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение достаточно мало, а именно не превосходит критического значения которое определяется по распределению в зависимости от заданного уровня значимости и числа степеней свободы . Здесь s - число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке (для равномерного, нормального и гамма-распределения s = 2). В данном примере r = k'-s-1 = 5-3 = 2. Полагая = 0,05, критическое значение критерия в Excel рассчитывается по формуле:

Е66 = ХИ2ОБР(0,05;2)

Поскольку 2.77< 5,991, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют нормальное распределение с параметрам m=21.936 и у =1.402 соответственно.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ

В разделе 2.3 было установлено, что случайная величина Z принадлежит множеству Г(244.64;0.089) с плотностью распределения вероятностей:

(3)

Основными характеристиками надежности невосстанавливаемой системы являются среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы в течение времени t.

Среднее время безотказной работы системы T1 равно математическому ожиданию m, т. е. T1 = 26,38 час.

Вероятность безотказной работы вычисляется по формуле:

. (4)

Построим график функции , используя Excel. В ячейках А71: А91 запишем значения аргумента t, изменяющегося от 0 до 27 часов с шагом 1 час.

Так как случайная величина Z имеет нормальное распределение, то в ячейку В71 записывается формула:

В71 = 1 - НОРМРАСП(А71; $В$8; $В$9; ИСТИНА),

которая затем копируется в ячейки В72: В98 (таблица 3.7). При этом используется аргумент истина, который, согласно равенству (3), соответствует интегральной функции распределения (а не плотности распределения). В результате будет получена таблица значений вероятности безотказной работы , график которой представлен на рисунке 6.

Таблица 3 - Значения вероятности безотказной работы системы

68

A

B

69

Вероятность безотказной работы

70

t,час

P(t)

71

0

1

72

1

1

73

2

1

74

3

1

75

4

1

76

5

1

77

6

1

78

7

1

79

8

1

80

9

1

81

10

1

82

11

1

83

12

1

84

13

1

85

14

0.999999992

86

15

0.999999621

87

16

0.999988458

88

17

0.999784011

89

18

0.997497524

90

19

0.981856407

91

20

0.916310477

По таблице 3 и графику функции (рисунок 6) можно определить вероятность того, что система безотказно проработает в течение заданного времени.

t,час

Рисунок 6 - График вероятности безотказной работы системы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе изучили методы статистического моделирования применительно к задачам нахождения законов распределения времени безотказной работы и показателей надежности технических систем с использованием прикладных программных средств.

Оценили надежность системы S методом статистического моделирования на ЭВМ.

Разработали алгоритмы разыгрывания случайных величин Х1,Х2,Х3 и V с использованием генераторов случайных чисел, содержащихся в Microsoft Excel.

Определили время безотказной работы системы Y в зависимости от времени безотказной работы Х1,Х2,Х3 элементов на основе структурной схемы расчета надежности.

Определили время безотказной работы системы с учетом влияния внешней среды Z.

Построили моделирующий алгоритм, имитирующий работу системы S и учитывающий возможность отказа элементов и случайные воздействия внешней среды E. Реализовали полученный алгоритм на ЭВМ.

Выполнили статистическую обработку полученных результатов. Для каждой случайной величины рассчитали основные статистические характеристики: выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрию, эксцесс.

Сформировали статистический ряд, содержащий границы и середины частичных интервалов, а также соответствующие частоты; вычислили относительные, накопленные и накопленные относительные частоты.

Для величины Z построили полигон и кумуляту частот. Рассмотрели три непрерывных распределения(равномерное, нормальное, гамма-), изобразили на гистограмме для Z плотности этих распределений.

С помощью критерия выполнили проверку справедливости гипотезы о соответствии статистических данных выбранным распределениям, в данном случае статические данные имеют нормальное распределение.

Определили плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени безотказной работы Z системы. Определили основные характеристики надежности системы.

ЛИТЕРАТУРА

1 Зорин В.А., Бочаров B.C. Надежность машин: Учебник. - Орел: Изд. ОрелГТУ,2010. - 549с.

2 Шарыпов А.В., Осипов Г.В. Основы теории надежности транспортных систем: Учебное пособие. - Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2006.- 128 с.

3 Половко А.М.,Гуров С.В. Основы теории надежности. - СПб.: БХВ-Петербург, 2009. - 704 с.

4 Половко А.М.,Гуров С.В. Основы теории надежности. Практикум. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 560 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Расчет допустимого значения диагностического параметра. Определение периодичности профилактики. Расчет надежности (безотказности) заданного механизма, агрегата, системы. Расчет эмпирических характеристик распределения и его теоретических параметров.

    курсовая работа [264,0 K], добавлен 11.11.2013

  • Построение эмпирической вероятности безотказной работы. Определение параметров распределения итерационным методом. Рассмотрение количественных характеристик каждого фактора в отдельности. Определение средней наработки до первого отказа устройства.

    отчет по практике [500,8 K], добавлен 13.12.2017

  • Анализ изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки. Понятие процентной наработки технической системы, особенности обеспечения ее увеличения за счет повышения надежности элементов и структурного резервирования элементов системы.

    контрольная работа [558,6 K], добавлен 16.04.2010

  • Сбор и обработка информации по надёжности. Определение закона распределения наработки до отказа. Анализ кривых и определение процента гильз, подлежащих обработке под ремонтный размер. Теоретический закон распределения и определение его параметров.

    курсовая работа [313,5 K], добавлен 28.03.2012

  • Оценка живучести узлов нагрузки и надежности схем систем электроснабжения. Функции распределения интервалов времени между выходами из строя оборудования по вине человека. Отказы элементов схемы. Многопроцессорные вычислительные системы реального времени.

    курсовая работа [282,8 K], добавлен 23.01.2009

  • Определение технических требований к анализируемой поверхности и износов деталей. Составление вариационного ряда, статистического ряда износов. Определение числовых характеристик статистической совокупности износов. Проверка правдоподобия (сходимости).

    курсовая работа [156,3 K], добавлен 25.04.2010

  • Назначение, конструкции и условия работы оборудования. Технологический процесс ремонта КМУ-50. Техника безопасности при работе с ключом. Обработка статистической информации о надежности оборудования. Выбор закона распределения показателей стойкости.

    курсовая работа [298,0 K], добавлен 13.04.2014

  • Порядок и методика выполнения прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями. Обработка наблюдений и оценка их погрешностей. Формулировка и проверка гипотезы тождественности теоретического и эмпирического закона распределения выборки.

    курсовая работа [762,7 K], добавлен 09.03.2012

  • Структурная схема надежности технической системы. График изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки до уровня 0,1-0,2. 2. Определение Y-процентной наработки технической системы.

    практическая работа [218,7 K], добавлен 05.05.2009

  • Сбор и обработка информации о надежности. Построение статистического ряда и статистических графиков. Определение математического ожидания, среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации. Задачи микрометража партии деталей, методика измерений.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 18.04.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.