Кручение, изгиб, сжатие

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Статически определимые стержни при растяжении - сжатии

3 типа задач на прочность

Рис. 1

Задача № 1 (проверка прочности)

Стержень (Рис.1) нагружен силами:

Расстояния, на которых приложены силы:

Допускаемое нормальное напряжение [?] = 144 Мпа. Модуль упругости Е = 2 Mпа. Площадь поперечного сечения стержня F = 4,8 с

Требуется:

1) изобразить схему, показав направление сил согласно заданию;

2) построить эпюры N и ?;

3) из условия прочности на опасном участке оценить прочность.

Решение:

Схема стержня показана на Рис. 2.

Рис. 2

Обозначим сечения, в которых приложены силы буквами А,Б,В,Г,Д. Сечениями, где приложены силы, стержень разбивается на четыре участка, в пределах которых действует определённая продольная сила, поэтому для определения её значений нужно рассечь каждый участок и из условия равновесия отсечённой части, не содержащей заделку, определить величину продольной силы (Рис. 3).

Рис. 3.

Проведём на участке АБ произвольное сечение 1 - 1, отбросим часть стержня, содержащую заделку, и рассмотрим условие равновесия оставшейся правой части.

?Х = -

Положительный знак продольной силыговорит о том, что первый участок испытывает растяжение.

Проведём на участке БВ произвольное сечение 2 - 2 и рассмотрим равновесие отсечённой части стержня, не содержащей заделку.

?Х =

Положительный знак продольной силы свидетельствует о том, что второй участок испытывает растяжение.

Проведем на участке ВГ произвольное сечение 3 - 3 и рассмотрим равновесие отсеченной части стержня, не содержащей заделку.

? Х =

Отрицательный знак продольной силы свидетельствует о том, что третий участок испытывает сжатие.

Проведем на участке ГД произвольное сечение 4 - 4 и рассмотрим равновесие отсеченной части стержня, не содержащей заделку.

? Х =

Положительный знак продольной силы свидетельствует о том, что третий участок испытывает растяжение.

По найденным значениям продольных сил строим эпюру N (Рис.4).

Определим нормальные напряжения в сечениях по формуле (1):

? = (1)

Участок АБ:

= = 59 Мпа;

Участок БВ:

= = 9Мпа;

Участок ВГ:

= = - 25 Мпа;

Участок ГД:

= = 19 Мпа.

По найденным значениям нормальных напряжений строим эпюру ? (Рис.4).

Рис. 4.

Участок АБ является опасным участком, так как на нем действует максимальная сила = 28,5 кН. Максимальное нормальное напряжение:

= = 59 Мпа ;

Условие прочности выполнено.

Задача № 2 (определение размеров сечения)

Стержень (Рис.1) нагружен силами:

Расстояния, на которых приложены силы:

Допускаемое нормальное напряжение [?] = 144 Мпа. Модуль упругости Е = 2 Mпа. Площадь поперечного сечения стержня - квадрат

Требуется:

1) изобразить схему, показав направление сил согласно заданию;

2) построить эпюру N;

3) из условия прочности на опасном участке определить размеры заданного сечения;

4) определить полное удлинение стержня.

Решение:

Схема стержня показана на Рис. 4.

Рис. 4

Обозначим сечения, в которых приложены силы буквами А,Б,В,Г,Д. Сечениями, где приложены силы, стержень разбивается на четыре участка, в пределах которых действует определённая продольная сила, поэтому для определения её значений нужно рассечь каждый участок и из условия равновесия отсечённой части, не содержащей заделку, определить величину продольной силы (Рис. 5).

Рис. 5.

Проведём на участке АБ произвольное сечение 1 - 1, отбросим часть стержня, содержащую заделку, и рассмотрим условие равновесия оставшейся правой части.

?Х = -



Положительный знак продольной силыговорит о том, что первый участок испытывает растяжение.

Проведём на участке БВ произвольное сечение 2 - 2 и рассмотрим равновесие отсечённой части стержня, не содержащей заделку.

?Х =

Положительный знак продольной силы свидетельствует о том, что второй участок испытывает растяжение.

Проведем на участке ВГ произвольное сечение 3 - 3 и рассмотрим равновесие отсеченной части стержня, не содержащей заделку.

? Х =

Отрицательный знак продольной силы свидетельствует о том, что третий участок испытывает сжатие.

Проведем на участке ГД произвольное сечение 4 - 4 и рассмотрим равновесие отсеченной части стержня, не содержащей заделку.

? Х =

Положительный знак продольной силы свидетельствует о том, что третий участок испытывает растяжение.

По найденным значениям продольных сил строим эпюру N (Рис.6).



Рис. 6.

Участок АБ является опасным участком, так как на нем действует максимальная сила = 28,5 кН. Определим из условия прочности сечение стержня - квадрат по формуле (2):

F = N / [??]; (2)

F = / 144 * = 0, 0002

Сторона квадрата будет равна:

в = = = 1,4 см.

Определим перемещения в сечениях по формуле (3):

; (3).

Участок АБ:

= 0,0854 см;

Участок БВ:

= 0,0189 см;

Участок ВГ:

= 0,042см;

Участок ВГ:

= 0,0294см;

Перемещение свободного конца стержня будет равно:

= +++= 0,0854+0,0189-0,042 + 0,0294 = 0,0917 см.

Задача № 3 (определение допускаемой нагрузки [P])

Стержень (Рис.1) нагружен силами:

Расстояния, на которых приложены силы:

Допускаемое нормальное напряжение [?] = 144 Мпа. Модуль упругости Е = 2 Mпа. Площадь поперечного сечения стержня F = 3,7 с

Требуется:

4) изобразить схему, показав направление сил согласно заданию;

5) построить эпюры N и ? в общем виде;

6) из условия прочности на опасном участке найти величину [Р], величины всех сил.

Решение:

Схема стержня показана на Рис. 7.

Рис. 7.

Обозначим сечения, в которых приложены силы буквами А,Б,В,Г,Д. Сечениями, где приложены силы, стержень разбивается на четыре участка, в пределах которых действует определённая продольная сила, поэтому для определения её значений нужно рассечь каждый участок и из условия равновесия отсечённой части, не содержащей заделку, определить величину продольной силы (Рис. 8).

Рис. 8

Проведём на участке АБ произвольное сечение 1 - 1, отбросим часть стержня, содержащую заделку, и рассмотрим условие равновесия оставшейся правой части.

?Х = -

Положительный знак продольной силыговорит о том, что первый участок испытывает растяжение.

Проведём на участке БВ произвольное сечение 2 - 2 и рассмотрим равновесие отсечённой части стержня, не содержащей заделку.

?Х =

Положительный знак продольной силы свидетельствует о том, что второй участок испытывает растяжение.

Проведем на участке ВГ произвольное сечение 3 - 3 и рассмотрим равновесие отсеченной части стержня, не содержащей заделку.

? Х = 

Отрицательный знак продольной силы свидетельствует о том, что третий участок испытывает сжатие.

Проведем на участке ГД произвольное сечение 4 - 4 и рассмотрим равновесие отсеченной части стержня, не содержащей заделку.

? Х =

Положительный знак продольной силы свидетельствует о том, что третий участок испытывает растяжение.

По найденным значениям продольных сил строим эпюру N (Рис.9).

Определим нормальные напряжения в сечениях по формуле (1):

? = (1)

Участок АБ:

= ;

Участок БВ:

= ;

Участок ВГ:

= ;

Участок ГД:

= .

По найденным значениям нормальных напряжений строим эпюру ? (Рис.10).



Рис. 10

Из условия прочности, исходя из формулы (2), определим величину допустимой силы [Р]:

[Р] = * = 1,44т/*3,7 = 5,33 тс = 53,3кН.

На опасном участке АБ, определим по допустимой силе [Р] силу Р:

Р = [Р] / 28,5 = 53,3кН / 28,5 = 1,87кН.

Определим все силы, действующие на стержень:

= 24

16,5Р = - 16,5*1,87 = - 30,86кН;

= 21Р = 21*1,87 = 39,27кН.

2. Статически определимые стержни при кручении.

3 типа задач на прочность

Рис. 1

Задача № 1 (проверка прочности).

Cтержень, защемленный слева, трубчатого сечения D = 98 мм крутят моменты = 5кНм, = 2,5кНм, = 5кНм, = 4кНм на расстояниях

= 0,4 м, = 0,6 м, =0,7 м,=0,9м. Допускаемое касательное напряжение

= 82Мпа = 8200 тс/. Значение б = = 0,9, откуда d = 0,9*98=88,2мм.

Требуется:

1) изобразить схему, показав направление моментов согласно заданию;

2) построить эпюры и ;

3) из условия прочности на опасном участке оценить прочность.

Решение.

Схема стержня показана на рис. 2.

Рис. 2

Для данной схемы крутящие моменты направлены в одну сторону, против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть бруса со стороны внешней нормали к сечению.

Для построения эпюры крутящих моментов применяем метод сечений к каждому участку стержня в отдельности.

Определим крутящие моменты на каждом участке, проведя последовательно сечения на четырех участках стержня, и рассмотрим равновесие соответствующих оставшихся левых частей.

В сечении 1 - 1 Мкр = = 5кНм;

В сечении 2 - 2 Мкр = + = 5кНм + 2, 5кНм= 7,5кНм;

В сечении 3 - 3 Мкр = = 5кНм + 2, 5кНм5кНм = 12,5 кНм;

В сечении 4 - 4 Мкр = += 5кНм + 2,5кНм 5кНм + 4кНм = 16,5кНм.

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов, откладывая по вертикальной оси значения моментов (Рис. 3).

Рис. 3.



По найденным значениям крутящих моментов определяем, что опасное сечение находится на участке 4, где максимальный крутящий момент. Максимальное касательное напряжение на 4 участке определим по формуле:

(1)

; (2)

- полярный момент сопротивления для кольцевого сечения. 1 = 10МПа.

= 63,52

Эпюра максимального касательного напряжения дана на Рис. 4.

Рис. 4

Условие прочности проверяется по формуле: . (3)

В нашем случае условие прочности не выполняется:

260Мпа

Задача № 2 (определение размеров сечения при заданной форме).

Стержень, защемленный слева, трубчатого сечения D = 98 мм крутят моменты = 5кНм, = 2,5кНм, = 5кНм, = 4кНм на расстояниях

= 0,4 м, = 0,6 м, =0,7 м,=0,9м. Допускаемое касательное напряжение

= 82Мпа = 8200 тс/. Значение б = = 0,9, откуда d = 0,9*98=88,2мм.

G = 8 *10?Мпа = 8 ; [?] = 0,4 град/м.

Требуется:

1) изобразить схему, показав направление моментов согласно заданию;

2) построить эпюры .

3) определить размеры сечения на опасном участке из условия прочности;

4) определить размеры сечения из условия жесткости;

5) выбрать окончательные размеры поперечного сечения d и D (мм).

Решение

Схема стержня показана на Рис. 5.

Рис. 5

Для данной схемы крутящие моменты направлены в одну сторону против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть бруса со стороны внешней нормали к сечению.

Для построения эпюры крутящих моментов применяем метод сечений к каждому участку стержня в отдельности.

Определим крутящие моменты на каждом участке, проведя последовательно сечения на четырех участках стержня, и рассмотрим равновесие соответствующих оставшихся левых частей.

В сечении 1 - 1 Мкр = = 5кНм;

В сечении 2 - 2 Мкр = + = 5кНм +2, 5кНм= 7,5кНм;

В сечении 3 - 3 Мкр = = 5кНм +2, 5кНм5кНм =12,5 кНм;

В сечении 4 - 4 Мкр = += 5кНм + 2,5кНм 5кНм + 4кНм = 16,5кНм.

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов, откладывая по вертикальной оси значения моментов. Эпюра крутящих моментов дана на Рис. 6.

Рис. 6.

Расчет на прочность выполняем по касательным напряжениям по формулам (2) и (3). На опасном участке определим диаметры поперечного сечения стержня. Подставляя значение d в формулу (2), из нее получаем выражение для диаметра D из условия прочности:

= 0,103 м = 10,3 см;



Расчет на жесткость ведется по допускаемому относительному углу закручивания в соответствии с формулой (4):

? [?]; (4)

где G = 8 10?МПа - модуль сдвига; - полярный момент сопротивления кольцевого сечения, определяемый по формуле:

В соответствии с формулой (4) при d = 0,9*D определим диаметр стержня из условия жесткости;

D = = = 0,075м = 7,5 см;

Из условия прочности диаметр стержня больше, поэтому принимаем диаметр D = 10,3см, d = 0,9*10,3 = 9,3 см. Полученные значения диаметров принимаем за конструктивные.

Задача № 3 (определение допускаемой нагрузки [M]).

Стержень, защемленный слева, трубчатого сечения D = 82 мм крутят моменты = 5М, = 2,5М, = 5М, = 4М на расстояниях = 0,4 м, = 0,6 м, =0,7 м,=0,9м. Допускаемое касательное напряжение = 82Мпа= = 8200 тс/. Значение б = = 0,9, откуда d = 0,9*82 = 73,8мм.

Требуется:

4) изобразить схему, показав направление моментов согласно заданию;

5) построить эпюры ив общем виде;

6) из условия прочности на опасном участке найти величину [М] и указать величины всех моментов.

Решение

Схема стержня показана на Рис. 7.

Рис. 7

Для данной схемы крутящие моменты направлены в одну сторону против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть стержня со стороны внешней нормали к сечению.

Для построения эпюры крутящих моментов применяем метод сечений к каждому участку вала в отдельности.

Определим крутящие моменты на каждом участке, проведя последовательно сечения на четырех участках бруса, и рассмотрим равновесие соответствующих оставшихся левых частей.

В сечении 1 - 1 Мкр = = 5М;

В сечении 2 - 2 Мкр = + = 5М +2, 5= 7,5М;

В сечении 3 - 3 Мкр = = 5М + 2, 55М =12,5М;

В сечении 4 - 4 Мкр = += 5М + 2,5 5 + 4 = 16,5М.

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов, откладывая по вертикальной оси значения моментов (Рис. 7).

По найденным значениям крутящих моментов определяем, касательное напряжение на всех участках по формуле:

(6)

; (2)

- полярный момент сопротивления для кольцевого сечения. 1 = 10МПа.

= 37,21

В сечении 1 - 1 = 13М;

В сечении 2 - 2 = 2;

В сечении 3 - 3 = 34М;

В сечении 4 - 4 = 44,3;

По полученным данным строим эпюру касательных напряжений (Рис.8).



Рис. 8

Из условия прочности, исходя из формулы (3), определим величину допустимого момента:

[М] = ]* = 0,82т/*37,21 = 0,30тсм = 3кНм.

На опасном участке (сеч. Б-Б), определим по допустимому моменту [М] момент М:

М = [М] / 16,5 = 3кНм / 16,5 = 0,18кНм.

Определим все моменты, действующие на стержень:

= 2,5

5М = 5*0,1 8 = 0,9кНм;

= 4М = 4*0,18 = 0,72 кНм.



Крутящие моменты будут равны:

В сечении 1 - 1 Мкр = = 0,8кНм;

В сечении 2 - 2 Мкр = + = 1,35кНм;

В сечении 3 - 3 Мкр = = 2,25кНм;

В сечении 4 - 4 Мкр = += 3кНм.



3. Плоский изгиб

Исходные схемы:

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Требуется:

1. Изобразить схемы балок в соответствии с индивидуальным заданием и числовыми данными.

2. Построить эпюры Q и Мх для каждой схемы, найти положение опасного сечения и величину Мх в нем.

3. Из условия прочности по ? подобрать размеры поперечного сечения балки при заданной форме сечения.

Схема № 1

Балка длиной = 5,9м, которая жёстко защемлена справа на опоре А, нагружена равномерно распределённой нагрузкой q = 3,4 кН/м, сосредоточенной силой Р = 5,3 кН, действующих на расстоянии от конца балки и моментом М = 8,8 кНм действующим на расстоянии

а + b = 2,5 м от конца балки (рис.4).

Требуется:

- подобрать стальную балку двутаврового сечения при = 160 Мпа.

Рис. 4

Для консольной балки опорные реакции можно не определять, если при рассмотрении сечений отбрасывать часть содержащую жёсткую заделку.

Обозначим на балке характерные сечения 1, 2, 3, 4, 5, 6 (Рис.5) и напишем выражения Q_(x) и M_(x) на каждом участке и вычислим Q и М.

Рис. 5



Выполним определение значений поперечной силы в характерных сечениях.

Участок 1: ;

;

Участок 2: ;

Участок 3:

Выполним определение величин изгибающих моментов в характерных сечениях.

Участок 1:

Участок 2:

Участок 3:

По найденным значениям моментов строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М (Рис. 6).



Рис. 6

Из эпюры изгибающих моментов находим опасное сечение 6-6 с абсолютным значением

Из условия прочности:, найдём необходимый момент сопротивления сечения:

По ГОСТ 8239 - 86 подбираем двутавр № 24а, = 317,

F = 37,5.

Схема № 2

Балка длиной = 5,9м, которая опирается на две опоры А и B, нагружена равномерно распределённой нагрузкой q = 3,4 кН/м и сосредоточенной силой Р = 5,3 кН на расстоянии 5,1м от опоры B, и моментом М = 8,8 кНм на расстоянии 3,4 м от опоры B (рис.7).

Требуется:

- подобрать деревянную балку круглого сечения при = 10 Мпа.



Рис. 7

Определим опорные реакции в точках А и B. Под действием действующих внешних нагрузок и реактивных сил балка находится в равновесии. Составим уравнения статического равновесия:

(1); ;

(2);

(3); Р*0,8;

из (з): = = = = 7,64кН;

из (2):

После определения опорных реакций R_A и R_B делаем проверку, составляя следующее уравнение:

: - М = 26 + 27 - 44,2 - 8,8 = 0;



Условие удовлетворяется. Реакции определены правильно.

Рис. 8

Обозначим на балке характерные сечения 1, 2, 3, 4, 5, 6 (Рис.8) и напишем выражения Q_(x) и M_(x) на каждом участке и вычислим Q и М.

Выполним определение значений поперечной силы в характерных сечениях.

Участок 1: ;

;

Участок 2: ;

Участок 3:

Выполним определение величин изгибающих моментов в характерных сечениях.

Участок 1:

Участок 2:

Участок 3:

По найденным значениям моментов строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М (Рис. 9).

Рис. 9

Из эпюры изгибающих моментов находим опасное сечение 4 - 4 с абсолютным значением

Из условия прочности: , найдём необходимый момент сопротивления сечения:

.

Момент сопротивления круглого сечения равен:

; (5) откуда

= 24,9 см; F = .

Схема № 3

Балка длиной = 5,9м опирается на две опоры А и B, имеет консоль длиной 3,4 м со стороны опоры B. Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой q = 3,4кН/м и сосредоточенной силой Р = 5,3кН на конце консоли. В пролете действует момент М = 8,8 кНм на расстоянии 1,7 м от опоры B (рис.10).

Требуется:

- подобрать деревянную балку прямоугольного сечения при = 10 Мпа и отношении сторон h/b = 2 (h - высота сечения, b - ширина).

Определим опорные реакции в точках А и B. Под действием действующих внешних нагрузок и реактивных сил балка находится в равновесии. Составим уравнения статического равновесия:

(6); ;

(7);

(8); Р*5,9

из (8): = = = = 3,4кН;

из (2):

После определения опорных реакций R_A и R_B делаем проверку, составляя следующее уравнение:

: - М = - 7,15 + 18,02 - 19,65 + 8,8 = 0;

Условие удовлетворяется. Реакции определены правильно.

Рис. 11

Обозначим на балке характерные сечения 1, 2, 3, 4, 5, 6 (Рис.11) и напишем выражения Q_(x) и M_(x) на каждом участке и вычислим Q и М.

Выполним определение значений поперечной силы в характерных сечениях.

Участок 1: ;

;

Участок 2: ;

Участок 3:

- пойдем справа налево (для консолей).

Выполним определение величин изгибающих моментов в характерных сечениях.



Участок 1:

Участок 2:

Участок 3:

= -15,95кНм;

- пойдем справа налево (для консолей).

По найденным значениям моментов строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М (Рис. 12).

Рис. 12

Из эпюры изгибающих моментов находим опасное сечение 4 - 4, 5 - 5 с абсолютным значением

Из условия прочности: , найдём необходимый момент сопротивления сечения:

.

Момент сопротивления прямоугольного сечения равен:

эпюра сечение сжатие

; (10) при h = 2b, ; откуда

= 13,4 см; h = 13,4*2 = 26,8см;

F = .

Размещено на Allbest.ru