Численные решения задач устойчивости прямого стержня с при осевом сжатии с кручением

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

Введение

Глава 1. Непротиворечивый вариант геометрически нелинейной теории плоских криволинейных стержней в квадратичном приближении

1.1 Кинематические соотношения

1.2 Геометрически нелинейные уравнения равновесия

1.3 Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия

Глава 2. Численные решения задач устойчивости прямого стержня с при осевом сжатии с кручением

2.1 Постановка задачи

2.2 Алгоритм численного решения задачи

2.3 Численные результаты решения уравнений и их анализ

Глава 3. Численные решения задач устойчивости плоского криволинейного стержня

3.1 Постановка задачи

3.2 Алгоритм численного решения задачи НДС плоского криволинейного стержня при

3.3 Алгоритм численного решения задачи НДС плоского

криволинейного стержня при

3.4 Алгоритм численного решения задачи устойчивости плоского криволинейного стержня

Глава 4. Проверка и анализ результатов, полученных численным решением задач НДС и устойчивости плоских криволинейных стержней

4.1 Проверка алгоритма решения задач НДС

4.2 Решения задач устойчивости криволинейного плоского стержня (арки)

Глава 5. Безопасность и экологичность проекта

5.1 Электробезопасность

5.2 Пожарная безопасность

5.3 Построение дерева отказов

5.4 Требования к уровням шума и вибрации

5.5 Пыль и вредные химические вещества

5.6 Микроклимат

5.7 Эргономические принципы при создании ПО АСУ

5.8 Эргономические требования к системам отображения информации

5.9 Описание зрительной работы оператора

5.10 Эргономическое обеспечение рабочего места оператора ЭВМ

5.11 Освещение производственных помещений ВЦ

5.12 Электромагнитное воздействие

5.13 Методы защиты от электромагнитных полей

5.14 Охрана окружающей среды

5.15 Расчёт коэффициента безвредности

Глава 6. Расчёт затрат и цены на разработку программы

6.1 Расчёт затрат на оплату труда инженера-программиста

6.2 Расчёт затрат на оплату труда научного руководителя

6.3 Расчёт затрат на машинное время

6.4 Расчёт отчислений на единый социальный налог

6.5 Расчёт накладных расходов

Литература

Приложение

численный задача стержень устойчивость

Введение

Исследования в области теории устойчивости стержней, как известно, берут свое начало еще с работ Л.Эйлера. Казалось бы, к настоящему времени все давно известной детально изучено. Необходимость проведения дальнейших и более глубоких исследований выявилась практически недавно и связана с результатами, которые были изложены в работах [1-4]. В первой из этих работ было показано, что при малых деформациях использование известных соотношений нелинейной теории упругости в квадратичном приближении, считающихся на сегодняшний день абсолютно корректными, при некоторых видах нагружения приводят к появлению "ложных" бифуркационных решений. В связи с этим для случая малых деформаций и произвольных перемещений в работах [1,2] был построен непротиворечивый вариант геометрически нелинейных уравнений теории упругости, а также рассмотрены простейшие примеры его применения, связанные с редукцией двумерной нелинейной задачи деформирования полосы в виде стержня к одномерным уравнениям и последующим их использованием для выявления возможных форм потери устойчивости (ФПУ) при характерных видах их нагружения. Полученные результаты оказались принципиально новыми, которые потребовали проведения определенной ревизии всех вариантов нелинейной теории стержней при произвольных перемещениях, известных к настоящему времени, а также разработки таких ее вариантов, использование которых позволило бы выявить и корректно исследовать все возможные известные и неизвестные ФПУ стержней.

В связи с этим для прямолинейных ортотропных упругих стержней, подверженных действию консервативных внешних сил, на основе использования модели Тимошенко в работах [3,4] была проведена редукция построенных ранее [1,2] непротиворечивых трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости к одномерным уравнениям. На основе выведенных уравнений с целью анализа их содержательности был сформулирован ряд новых неклассических задач устойчивости стержней и найдены их точные аналитические решения для различных случаев закрепления торцевых сечений. К ним относятся задачи о крутильных, изгибных и чисто сдвиговых ФПУ стержня при продольном осевом, двухстороннем поперечном и трехстороннем сжатии, об изгибно-крутильной ФПУ при чистом изгибе и осевом сжатии совместно с чистым изгибом, а также о пространственно изгибной и крутильной (чисто сдвиговой) ФПУ стержня при кручении, плоской изгибной и изгибно-крутильной ФПУ в условиях чистого сдвига.

С целью дальнейшего развития и обобщения описанных выше результатов в работе [5] для плоских криволинейных стержней произвольного вида были построены линеаризованные уравнения нейтрального равновесия, позволяющие исследовать все возможные классические и неклассические ФПУ стержней из ортотропного материала без учета в уравнениях деформационных параметрических слагаемых. В ней же на основе построенных линеаризованных уравнений найдены точные аналитические решения задачи об известных плоских классических изгибно-сдвиговых и неизвестных ранее неклассических изгибно-крутильных ФПУ кругового кольца при совместном и раздельном действии равномерного внешнего давления и сжатии в радиальном направлении силами, приложенными к обеим лицевым поверхностям. Оказалось, что вторая из найденных ФПУ, являющаяся изгибно-крутильной, реализуется при гораздо меньшем значении критического внешнего давления, чем первая плоская изгибно-сдвиговая, даже если поперечное сечение кольца имеет одинаковое значение моментов инерции относительно главных центральных осей. Данный результат является абсолютно новым и принципиально важным и указывает на необходимость дальнейшего исследования задач устойчивости криволинейных стержней.

В настоящей работе на основе уравнений [5] проводится численное исследование линеаризованных задач о неклассических ФПУ прямых и криволинейных стержней при различных видах их нагружения консервативными усилиями и формировании в них неоднородных вдоль осевой линии внутренних докритических усилий и моментов.

Численное решение указанных задач осуществляется в два этапа. На первом этапе численно определяются параметры невозмущенного напряженно-деформированного состояния (НДС), которые являются исходными данными на втором этапе- численном решении самой задачи устойчивости.

В рамках предлагаемой численной методики для дискретизации краевых задач, которыми описывается невозмущенное НДС и нейтральное равновесие стержней, используется хорошо зарекомендовавший себя метод конечных сумм. В соответствии с ним исходная система дифференциальных уравнений сводится к системе интегральных равнений Вольтера 2-го рода, численное решение которой осуществляется методом механических квадратур с заменой входящих в неё интегральных операторов конечно-суммарными аналогами.

На основе построенной вычислительной методики создан пакет прикладных программ для системы MATLAB и проведены вычислительные эксперименты по выявлению и всестороннему исследованию неклассических форм потери устойчивости прямых и криволинейных стержней при различных видах их нагружения и закрепления торцевых сечений.

В первой главе дипломной работы изложена непротиворечивый вариант геометрически нелинейной теории плоских криволинейных стержней в квадратичном приближении.

Во второй главе численно решён частный случай задач устойчивости криволинейного плоского стержня. Показано, что при действии на прямолинейный стержень осевой силы совместно с крутящим моментом система уравнений распадается на две. Система из четырёх уравнений, включающих функции (прогибы и углы поворота относительно осей и ), описывающая изгибные ФПУ, решена методом механических квадратур.

В третьей главе рассмотрено численное решение восьми линеаризованных уравнений равновесия устойчивости прямолинейных плоских стержней в двух вариантах.

В четвёртой главе устанавливается достоверность полученных результатов и рассмотрены возможные ФПУ криволинейных плоских стержней при различных видах нагружения и закрепления торцов.

В пятой главе изложены техника безопасности и эргономика рабочего места оператора ЭВМ.

В шестой главе дана экономическая оценка составленного алгоритма и рассчитана его себестоимость.

Глава 1. Непротиворечивый вариант геометрически нелинейной теории

плоских криволинейных стержней в квадратичном приближении

1.1 Кинематические соотношения

Примем для пространства стержня параметризацию (рис.1.1),

Рис.1.1

где - уравнение осевой линии L, отнесенный к лонгальному параметру , - вектор, направленный по касательной к осевой линии L, - единичные векторы естественного базиса на L (рис.1.2).



Рис.1.2

Причем , и для линии с нулевым кручением плоской кривой имеют место формулы Серре-Френе

, , ,

где k- кривизна осевой линии L.

В принятой параметризации (1.1) в силу (1.2) параметры Ляме =/, /,/ будут равны

= + + ,

а деформации удлинений и сдвигов в полном квадратичном приближении, использование которых не приводит к появлению «ложных» бифуркационных решений, в соответствии с результатами работ [1, 2] через компоненты перемещений выражаются по формулам

(1.4)

где

(1.5)

В дальнейшем будем считать, что стержень относится к классу тонких, у которого кривизна и размеры поперечного сечения удовлетворяют условию , где . В силу этого условия в знаменателях формул (1.5) с точностью допустимо принять , а для вектора перемещений =+ примем представление

(1.6)

в котором одномерные функции от являются компонентами вектора перемещений точек осевой линии ; - компонентами вектора поворотов вокруг ортов и , а функциями и описываются поперечные деформации стержня.

Если выражения для из (1.6) внести в формулы (1.5), то в рамках приближения с точностью до слагаемых, содержащих и , для определения величин можно получить приближенные формулы

(1.7)

При их подстановке в формулы (1.4) с той же степенью точности для получим приближенное выражение

(1.8)

где

(1.9)

для - «точные» выражения

,(1.10)

а для сдвиговых деформаций - неупрощенные соотношения вида

(1.11а)

В соответствии с результатами работы [6] соотношения (1.11а), допустимо принять и в упрощенном виде

(1.11б)

В них, как и в выражениях (1.8), (1.10), с принятой степенью точности сохранены главные слагаемые, позволяющие в рамках уточненной модели Тимошенко описывать деформации растяжения-сжатия и изгиба в двух направлениях и (формулы (1.10)), поперечные сдвиговые деформации в плоскостях и их осредненными значениями в поперечных сечениях, а также деформацию кручения в рамках классической стержневой модели.

1.2 Геометрически нелинейные уравнения равновесия

Введя для описания процессов деформирования стержней гипотезу , составим выражение для вариации потенциальной энергии деформации

.(1.12)

После подстановки выражений (1.8) - (1.10), (1.11а) в (1.12), интегрирования слагаемых (1.12) по частям и введения обозначений для внутренних усилий и моментов (рис 1.3)

Рис.1.3

(1.13)

выражение (1.12) можно привести к виду

(1.14)

где

(1.15)



Если материал стержня является ортотропным, у которого оси ортотропии совпадают с осями , то входящие в (1.12), (1.13) компоненты напряжений в пределах линейно упругого поведения с компонентами деформаций (1.8), (1.10), (1.11) связаны соотношениями упругости

(1.16)

в которых через обозначены модули сдвигов, а упругие характеристики через модули упругости и коэффициенты Пуассона выражаются известными зависимостями, приведенными, в частности, в [6].

В дальнейшем будем считать, что в каждом поперечном сечении стержня оси и являются главными центральными осями инерции. Тогда в соответствии с выражениями (1.8), (1.10), (1.11), (1.16), (1.13) приходим к физическим зависимостям

(1.17)

где - главные моменты инерции поперечного сечения.

Предположим, что в каждом поперечном сечении стержня его контурная линия задана параметрическим уравнением , , где - длина дуги вдоль направляющей, а все внешние поверхностные силы, действующие на стержень в точках его боковой поверхности - , представлены разложением . Вариация работы этих сил на возможных перемещениях

.

а также объемных сил

на возможных перемещениях будет равна

(1.18)

где в силу того, что оси и в каждом поперечном сечении являются главными центральными осями инерции, для введенных в рассмотрение внешних усилий и моментов, приведенных к осевой линии стержня, имеют место формулы

(1.19)

В дальнейшем введенные в рассмотрение внешние поверхностные силы , будем считать приведенными к четырем векторам погонных сил (рис.1.4),



Рис.1.4

приложенных в точках линий с координатами . Векторы перемещений точек этих линий будут равны

(1.20)

Если векторы сил заданы разложениями

(1.21)

и в процессе деформирования сохраняют свои направления, то при использовании выражений (1.20) формулы (1.19) примут вид

(1.22)

Обозначим через векторы заданных поверхностных сил, приложенных в точках торцевых поперечных сечений . Если в процессе деформирования стержня они сохраняют свои направления и заданы разложениями

,(1.23)

то совершаемая ими работа на вариациях соответствующих перемещений будет равна

(1.24)

Где (1.25)

Внеся теперь составленные выражения (1.14), (1.20), (1.24) в вариационное уравнение принципа возможных перемещений , получим

(1.26)

из которого следует система восьми обыкновенных дифференциальных уравнений равновесия

(1.27)

отнесенных к недеформированным осям, и соответствующие им статические граничные условия

при при , при ,

при при при,

при , при .

При подстановке в (1.12) упрощенных выражений (1.11б) после преобразований следует система из шести обыкновенных дифференциальных и двух алгебраических уравнений равновесия, что соответствует принятию равенств

(1.28)

и шесть соответствующих им статических граничных условий

при при , при ,

при при при(1.29)

1.3 Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия

При подстановке составленных соотношений (1.17) в формулы (1.15) для усилий и моментов, входящих в (1.14), (1.27), (1.28), получаются весьма громоздкие выражения. Проведя их анализ, можно убедиться в том, что они содержат в себе как «главные» члены, присутствующие и в известных уравнениях теории гибких стержней, построенных при введении более сильных ограничений по сравнению с принятыми выше, так и другие («не главные») члены, связанные, в частности, с введением дополнительных неизвестных для учета поперечных деформаций стержня. Как следует из анализа результатов, полученных в работе [2,3], возможность пренебрежения теми или иными слагаемыми, содержащимися в соотношениях (1.15) и (1.17), главным образом определяется характером внешнего нагружения стержня и видом формирующегося в нем напряженного состояния. При этом для оценки степени «главности» слагаемых, содержащихся в (1.15), одним из критериев может служить степень их влияния на возможность реализации в стержне тех или иных форм потери устойчивости.

В связи с изложенным, будем считать, что на некотором этапе нагружения стержня в нем сформировано такое начальное напряженное состояние, которое характеризуется начальными усилиями и моментами . Проведя в окрестности этого равновесного состояния линеаризацию соотношений (1.15), при введении стандартных предположений о малости приращений функций и их равенстве нулю в начальном состоянии для приращений усилий и моментов получим выражения

(1.30)

в которых, в отличие от (1.17),

(1.31)

Используя последние два выражения (1.31), для внутреннего крутящего момента приходим к зависимости

,(1.32)

где - жесткость на кручение поперечного сечения стержня из ортотропного материала, введенная в рассмотрение в работе [3] для прямого стержня.

Если при некоторых значениях приложенных к стержню «мертвых» [7] внешних сил наряду с начальным равновесным состоянием возможно и возмущенное равновесное состояние, то для определения их бифуркационных значений, при достижении которых происходит переход от начального состояния равновесия в возмущенное, служит вариационное уравнение , в котором выражение для по виду совпадает с выражением (1.14). Из этого уравнения после стандартных преобразований следует система восьми однородных дифференциальных уравнений нейтрального равновесия

(1.33)

и статические граничные условия в торцевых сечениях стержня ,

при при , при ,

при , при , при ,(1.34)

при , при .

Используя соотношения (1.30) и (1.31), составленные уравнения (1.33) можно привести к виду

(1.35)

(1.36)

,

где

(1.37)

Из (1.37) видно, что дифференциальные выражения и содержат разные искомые функции. Поэтому в том случае, когда в стержне от действия «мертвых» сил формируются лишь начальные усилия и моменты , а , следовательно, и , системы уравнений (1.35) и (1.36) становятся обособленными.

Первой из них, принимающей вид

(1.38)

при описываются изгибно-крутильные ФПУ стержня, а при формировании лишь усилия - чисто изгибная ФПУ стержня с прямой осью[3]. Если исходить из самого распространенного варианта кинематических соотношений, имеющих место при среднем изгибе, то в уравнениях (1.38) остается лишь одно параметрическое слагаемое , являющееся главным. Но при главными в (1.38) становятся другие параметрические слагаемые, которые также приводят к потере устойчивости стержня. Некоторые из них для прямолинейного стержня изучены в работах [1,3].

Вторая система уравнений (1.36) в рассматриваемом случае принимает вид

(1.39)

Составленные уравнения без потери содержательности и точности допускают значительные упрощения, если считать справедливыми равенства , что эквивалентно определению сдвиговых деформаций соотношениями (1.11б). При этом из последних двух уравнений системы (1.39) функции легко могут быть выражены через три оставшиеся функции , а система однородных дифференциальных уравнений (1.33) превращается в систему, состоящую из шести дифференциальных и двух алгебраических уравнений (1.40)

(1.40)

и шести статически граничных условий (1.41)

при при , при ,

при при (1.41)

при.

Глава 2. Численные решения задач устойчивости прямого стержня с при осевом сжатии с кручением

В данной главе рассмотрен частный случай решения системы уравнений (1.27), соответствующий действию сжимающей силы совместно с крутящим моментом, представляющий большой интерес.

На основе линеаризованных уравнений теории упругой устойчивости прямых стержней, построенных исходя из непротиворечивых геометрически нелинейных уравнений теории упругости и произвольных перемещениях и кинематической модели типа Тимошенко, выведенных а Главе 1, разработан алгоритм численного решения сформулированных задач. Показано, что такие численные решения существуют лишь для некоторых диапазонов изменения определяющих параметров стержня и параметра крутящего момента.

2.1 Постановка задачи

Предположим, что прямолинейный стержень, имеющий длину и площадь поперечного сечения ,отнесен к прямоугольной декартовой системе координат (рис.2.1),



Рис.2.1

в которой оси и являются главными центральными осями инерции. Если в начальном (докритическом) состоянии стержень нагружен осевой силой и крутящим моментом неизменных направлений (рис.2.2),

Рис.2.2

то составленная в Главе 1 система восьми линеаризованных уравнений (1.33) теории статической устойчивости стержней, основанной на использовании для вектора перемещений уточненной кинематической модели Тимошенко (1.6) и непротиворечивых кинематических соотношений теории упругости в полном квадратичном приближении (1.4) распадается на две несвязанные между собой системы уравнений. Первая из них, выраженная через перемещение точек осевой линии , угол закручивания и функции обжатия в поперечных направлениях, имеет вид

(2.1)

где - крутильная жесткость поперечного сечения.

При раздельном действии сжимающего усилия и крутящего момента , исходя из уравнений (1.3), в работе [3] установлены их критические значения, при достижении которых в стержне происходит крутильная форма потери устойчивости. В частности, при из второго уравнения системы (2.1) в силу следует формула для определения значения критической сжимающей силы

,(2.2)

из которой видно, что , где - модуль поперечного сдвига. Следовательно, для реальных стержней определяемые решением системы уравнений (2.1) крутильные ФПУ и соответствующие им критические нагрузки не представляют особого практического интереса.

Вторая из указанных систем уравнений относительно функций (прогибов в направлениях осей и ), (углов поворотов нормальных сечений вокруг осей и ) и соответствующие им граничные условия имеют вид

при при при (2.3)

при

Где

(2.4)

Составленной системой уравнений (2.3), (2.4) описываются изгибные ФПУ стержня, при реализации которых исходная его прямолинейная ось превращается в некоторую кривую линию с формой, зависящей от граничных условий. Если торцевые сечения стержня защемлены, то эти условия имеют вид

(2.5)

В отличие от (1.8) не так однозначно формулируются условия шарнирного опирания. Вообще говоря, следует различать два варианта таких условий. Первый из них соответствует цилиндрическому шарниру, для которого вместо (2.5), например, имеют место условия

,(2.6)

препятствующие повороту сечения вокруг оси . А второй вариант соответствует сферическому шарниру, для которого вместо (2.6) формулируются граничные условия вида

.(2.7)

Если торцевое сечение стержня не закреплено, то вместо кинематических граничных условий (2.5) формулируются статические условия

.

Для стержней, геометрические и упругие характеристики которых постоянны по длине, после подстановки соотношений (2.4) система уравнений (2.3) может быть представлена в виде

(2.8)

(2.9)

где введены обозначения

(2.10)

Для дальнейших исследований введем в рассмотрение безразмерный параметр нагрузки , связанный с и зависимостями ( - заданное число, - плечо пары сил , создающей крутящий момент)

(2.11)

и безразмерные определяющие параметры

(2.12)

в соответствии с которыми

 (2.13)

Используя соотношения (2.4) с учётом (2.10) уравнения (2.3) представим в виде

(2.14)

2.2 Алгоритм численного решения задачи

Построим алгоритм численного решения сформулированной задачи, основанный на их сведении к системам интегро-алгебраических уравнений, содержащих операторы типа Вольтера, и отыскания их решений методом механических квадратур (конечных сумм).

Для приведения уравнений (2.14) к интегральному виду введем далее вектор , с компонентами из функций перемещений и углов поворотов, определенных на интервале , относительно которых формулируются кинематические граничные условия задачи, т.е. . Здесь и далее через обозначается (m,n) - мерное линейное пространство всех вещественных матриц размера (m x n). Определим вектор , с компонентами, принимаемыми далее в качестве основных неизвестных функций, т.е. . Тогда уравнения (2.14) могут быть представлены в следующем матричном виде

(2.15)

где - матрицы с функциональными коэффициентами, равными сомножителям при компонентах векторов и в уравнениях нейтрального равновесия (2.14).

Заполнение матриц представлено ниже

; ; ; (2.16)

; ; ;

(2.17)

Проинтегрируем далее уравнение (2.15) по , сводя его к равенству

(2.18)

где вектор , (неизвестных статических констант интегрирования) определяется соотношением

(2.19)

В матричном уравнении (2.18) выполним замену по правилу

(2.20)

где через , обозначен вектор с компонентами, равными неизвестным кинематическим константам интегрирования. С учетом (2.20) равенство (2.18) перепишется в виде

(2.21)

Для матричного представления граничных условий введем в рассмотрение некоторые величины. Пусть , вектор, определяемый равенством

(2.22)

Обозначим через матрицы (2.23), у которых отличны от нуля могут быть только диагональные компоненты . Значение последних определяется видом граничных условий.

; (2.23)

Если перемещение или угол поворота на торце или стержня зафиксирован (т.е. выполняется кинематическое граничное условие), то значение соответствующего компонента равно нулю. В противном случае оно равно единице, т.е. выполняется соответствующее статическое граничное условие. Через обозначим единичную матрицу. С учетом введенных величин граничные условия можно представить в комбинированной матричной форме

(2.24)

где учтено, что и .

Численное решение составленных уравнений (2.21), (2.24) методом механических квадратур требует замены входящих в них интегральных операторов конечносуммарными с использованием тех или иных квадратурных формул относительно дискретных узловых значений искомых неизвестных. Один из вариантов этого метода, предложенный М.Б.Вахитовым [ 8], получил в литературе название метода интегрирующих матриц. В соответствии с этим методом на отрезке построим сетку и введем в рассмотрение множество , необходимое для нумерации компонент соответствующих матриц. В качестве неизвестных дескретизированной краевой задачи будем рассматривать вектор , составленный из значений искомых неизвестных в узлах сетки по правилу

(2.25)

Графическое представление вектора дано ниже

Тогда столбец компонент вектора перемещений и углов поворотов, производные которых образуют вектор неизвестных, обозначим через . Порядок следования компонент в этом векторе соответствует последнему в векторе .

Введем матричные аналоги интегральных операторов

.(2.26)

Эти матрицы представляют собой блочно-диагональные матрицы с соответствующими интегрирующими матрицами в качестве указанных блоков. Здесь интегрирующие матрицы являются аналогами интегральных операторов

(2.27)

Построение интегрирующих матриц и анализ соответствующих задач подробно рассмотрен в работе [9]

С учетом введенных величин зависимость (2.20) в матричном виде запишется как

(2.28)

Здесь - четырехблочно-диагональная матрица (2.29) с ненулевыми единичными столбцами в качестве блоков.

(2.29)

Система уравнений нейтрального равновесия (2.14), матричная форма которой определяется равенством (2.21), после замены соответствующих интегральных операторов их матричными аналогами запишется в дискретном матричном виде

(2.30)

где - блочные матрицы с компонентами, равными значениям соответствующих компонентов в узлах сетки. Вводя обозначения

;

;(2.31)

;

,

перепишем систему (2.30) в более компактном виде, допускающем непосредственное программирование

. (2.32)

Произведем дискретизацию граничных условий. Для этого введем в рассмотрение матрицы: (2.33) с ненулевыми элементами

;

(2.33)

четырехблочно-диагональную матрицу (2.34), у которой в качестве блоков строк используется первая строка интегрирующей матрицы .

 (2.34)

Тогда граничные условия (2.24) в дискретной матричной форме определяются соотношениями

. (2.35)

В (2.35) компоненты матриц равны значениям функциональных коэффициентов представления (2.15) в узле . Обозначая

(2.36)

преобразуем (2.35) к виду

;

. (2.37)

Объединяя (2.32) и (2.37) в одну матричную систему, получим

, (2.38)

Где

(2.39)

Проводя стандартные для задач на собственные значения преобразования, система (2.38) приводится к виду

, (2.40)

где , а - единичная матрица.

Численная процедура формирования матриц, поиска собственных значений и соответствующих собственных векторов задачи реализована в среде пакета MATLAB.

2.3 Численные результаты решения уравнений и их анализ

Для проверки правильности формирования алгоритма численного решения уравнений (2.14) был исследован классический случай потери устойчивости- сжатие шарнирно-опёртого прямолинейного стержня осевой силой (рис.2.3).



Рис.2.3

Из (2.11) видно, что при соотношение принимает вид формулы Эйлера,

(2.41)

вывод которой приведён, например, в [10]. Т.к. нас интересует наименьшая критическая нагрузка, то в (2.41) принимаем и выражение приобретает вид

(2.42)

Возьмём стержень длинной 1м, сечением мм и , . Аналитическое решение следует из (2.42)

.

Найдём численное решение этой задачи с помощью составленного алгоритма. Для стержня с параметрами, приведёнными выше, из (2.12) следует . Форма потери устойчивости показана на рис.2.4 и 2.5.

Рис.2.4.



Рис.2.5

В этом случае . Подставив в (2.11), получим . Как видим, численный метод даёт хорошую сходимость с теоретическим результатом при исследовании устойчивости стойки Эйлера.

Рассмотрим точность решения используемого численного метода от количества сечений на стержне, т.е. от шага сетки.

Таблица 2.1

	5	7	9	11	13	15	17	19	21
	1,3011	1,0895	1,0391	1,0204	1,0120	1,0076	1,0050	1,0035	1,0025
	23	25	27	29	51	57	59	99
	1,0018	1,0014	1,0010	1,0008	1,000	0,9999	0,9999	0,9999

В таблице 2.1 представлены численные решения шарнирно-опёртого стержня при различном количестве сечений на стержне. А на (рис.2.6) дана графическая интерпретация этой таблицы.

Рис.2.6

Видно, что при решения стабилизируется и далее не изменяется. Поэтому в дальнейшем следует задавать в пределах . Увеличение приводит к увеличению времени решения.

Далее с целью исследования влияния способов закрепления стержня и введенных в рассмотрение определяющих параметров на минимальное положительное значения параметра критической нагрузки для некоторых диапазонов их изменения были проведены соответствующие расчеты. Полученные результаты для стержня с параметрами приведены в таблице 2.2. Расшифровка условий закрепления дана на (рис.2.7).

Рис.2.7

	Условия закреп-ления
0.5	А	3.84	3.84	3.81	3.21	2.42	1.08	0.72	0.38
	В	0.25	0.25	0.25	0.25	0.24	0.18	0.15	0.09
	С	2.0	2.0	1.99	1.84	1.54	0.77	0.53	0.28
	D	0.99	0.99	0.99	0.99	0.97	0.77	0.51	0.27
1.0	А	3.84	реше	ния	отсутст	вуют
	B	0.25	реше	ния	отсутст	вуют
	C	2.02	реше	ния	отсутст	вуют
	D	0.99	реше	ния	отсутст	вуют
5.0	А	0.79	0.79	0.79	0.73	0.62	0.32	0.22	0.12
	B	0.05	0.05	0.05	0.05	0.05	0.04	0.032	0.021
	C	0.41	0.41	0.41	0.40	0.36	0.22	0.16	0.09
	D	0.20	0.20	0.20	0.19	0.19	0.16	0.14	0.08

Таблица 2.2

Видно, что одновременное действие на стержень сжимающей силы и крутящего момента приводит к снижению параметра нагрузки при всех видах закрепления стержня. Стержень с увеличением теряет устойчивость не в одной плоскости наименьшего момента инерции, а изгибается по пространственной линии, что можно увидеть на (рис 2.8).



Рис.2.8.

Для примера, в случае жёсткого защемления стержня с обоих торцов (случай А) приведём график, показывающий зависимость параметра от коэффициента крутящего момента при (рис.2.9).

Рис.2.9

Далее для иллюстрации влияния параметра поперечного сдвига для общего случая, когда , параметр нагрузки , найденный для стержня с шарнирным опиранием на обоих торцах (случай D) при различных значениях параметров , и , приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

		0	0.01	0.1	0.5	1		5	10
		1.000	1.000	1.000	0.999	0.996	0.954	0.709	0.376
0.25		0.990	0.990	0.990	0.986	0.975	0.871	0.709	0.376
		0.909	0.909	0.986	0.894	0.856	0.626	0.481	0.287
		1.000	1.000	0.999	0.995	0.982	0.549	0.363	0.190
1		0.990	0.990	0.990	0.983	0.962	0.549	0.363	0.190
		0.909	0.909	0.908	0.888	0.834	0.545	0.362	0.190
		0.800	0.800	0.792	0.666	0.506	0.232	0.157	0.083
5		0.794	0.794	0.786	0.663	0.505	0.232	0.157	0.083
		0.741	0.741	0.735	0.635	0.494	0.231	0.156	0.083

Для иллюстрации таблицы 2.3. приведём график зависимости , когда при и различных параметрах .

Рис.2.9

Видно что при () снижение параметра нагрузки не происходит. Это объясняется тем, что при чистом кручении стержня потеря устойчивости происходит чисто по изгибной форме без проявления деформаций поперечных сдвигов, а при (т.е. ) влияние на поперечных сдвигов является наиболее заметным.

Как видно из приведённых численных экспериментов при всех значениях определяющего параметра численные решения существуют только в случае чистого сжатия стержня, когда . При этом система уравнений (2.14) распадается на две не связанные между собой системы, численные решения которых методом механических квадратур являются абсолютно устойчивыми и быстро сходящимися при увеличении количества сечений . При , когда , численных решений задачи вообще не удалось получить, а при и увеличении полученные решения, как следует из таблицы 2.2 оказались завышенными, по сравнению с аналитическими решениями, найденными в [11]. Такое поведение численных решений методом, показавшим свою высокую точность и хорошую сходимость на многих задачах механики деформируемых твердых тел за сорок лет его успешного применения (см., например [12]), по видимому, объясняется лишь не исследованными в данной работе свойствами исходных уравнений (2.14) при .

Глава 3. Численные решения задач устойчивости криволинейного

плоского стержня

3.1 Постановка задачи

В Главе 1 были получены непротиворечивые соотношения геометрически нелинейной теории плоских криволинейных стержней в квадратичном приближении (1.33) и (1.40). Решим поставленную задачу методом механических квадратур, как это было сделано в Главе 2 для прямолинейного стержня. Только в этом случае усилия и моменты (1.13) при формировании в стержне докритического НДС не будут постоянны по длине стрежня. В этом случае задача будет решаться в два этапа:

На первом этапе- этапе нагружения, решается задача НДС. Находятся докритические усилия и моменты в линеаризованных уравнениях (1.35) и (1.36). При этом численно решается система однородных алгебраических уравнений вида , где -матрица, элементами которой являются коэффициенты уравнений, -столбец, элементами которого являются восемь неизвестных (перемещения и углы поворота), -столбец, элементами которого являются нагрузки (распределённые усилия и моменты по длине стержня, а также силы и моменты на концах), действующие на стержень.

На втором этапе, после нахождения усилий и моментов, действующих на стержень, решаются уравнения (1.33). При этом решается задача на собственные значения. Находятся собственные значения и собственные вектора матриц уравнений и на основе их производится анализ и делается заключение о форме потери устойчивости и критической нагрузке.

Как уже было сказано в Главе 1, при действии на стержень «мертвых» сил формируются лишь начальные усилия и моменты , а , следовательно, и , системы уравнений (1.35) и (1.36) становятся обособленными, поэтому алгоритм будет построен таким образом, чтобы учитывать это разделение уравнений. При действии соответствующих сил и моментов будут решаться либо три, либо пять, либо восемь уравнений.

Уравнения НДС (1.27) и уравнения устойчивости (1.33) решаются двух видов: при и . Ниже будут рассмотрены оба численных алгоритма решения задач НДС и устойчивости и дан анализ результатов.

3.2 Алгоритм численного решения задачи НДС плоского криволинейного стержня при

Алгоритм решения задачи НДС методом механических квадратур аналогичен алгоритму, представленному в Главе 2. Отличие состоит лишь в том, что в данной задаче определяется столбец неизвестных , компонентами которого являются производные перемещений и углов поворота узлов сетки. Также в правой части уравнений НДС (1.27) имеются члены, являющиеся действующими силами и моментами, которые содержит столбец .

Для их приведения к интегральному виду введем далее вектор , с компонентами из функций перемещений и углов поворотов, определенных на интервале , относительно которых формулируются кинематические граничные условия задачи, т.е. . Здесь и далее через обозначается (m,n) - мерное линейное пространство всех вещественных матриц размера (m x n). Определим вектор , с компонентами, принимаемыми далее в качестве основных неизвестных функций, т.е. ,

и вектор с компонентами, равными распределенным нагрузкам т.е . Тогда уравнения (1.27) могут быть представлены в следующем матричном виде

, (3.1)

где - матрицы с функциональными коэффициентами, равными сомножителям при компонентах векторов и в уравнениях нейтрального равновесия (2.16). Заполнение матриц представлено на (рис.3.1- 3.4).

Рис.3.1

Рис.3.2

Рис.3.3

Рис.3.4Проинтегрируем далее уравнение (3.1) по , сводя его к равенству

(3.2)

где вектор , (неизвестных статических констант интегрирования) определяется соотношением

. (3.5)

В матричном уравнении (3.2) выполним замену по правилу

, (3.6)

где через , обозначен вектор с компонентами, равными неизвестным кинематическим константам интегрирования. С учетом (3.6) равенство (3.2) перепишется в виде

(3.7)

Для матричного представления граничных условий введем в рассмотрение некоторые величины. Пусть , вектор, определяемый равенством

. (3.8)

Обозначим через матрицы, у которых отличны от нуля могут быть только диагональные компоненты (рис.3.5).

Рис.3.5

Значение последних определяется видом граничных условий. Если перемещение или угол поворота на торце или стержня зафиксирован (т.е. выполняется кинематическое граничное условие), то значение соответствующего компонента равно нулю. В противном случае оно равно единице, т.е. выполняется соответствующее статическое граничное условие. Через обозначим единичную матрицу (рис.3.6).

Рис.3.6

С учетом введенных величин граничные условия можно представить в комбинированной матричной форме

, (3.9)

где вектор, элементами которого являются силы и моменты приложенные на концах стержня, т.е.

,

где учтено, что и .

Численное решение составленных уравнений (3.7), (3.9) методом механических квадратур требует замены входящих в них интегральных операторов конечносуммарными с использованием тех или иных квадратурных формул относительно дискретных узловых значений искомых неизвестных. Один из вариантов этого метода, предложенный М.Б.Вахитовым [8], получил в литературе название метода интегрирующих матриц. В соответствии с этим методом на отрезке построим сетку и введем в рассмотрение множество , необходимое для нумерации компонент соответствующих матриц. В качестве неизвестных дескретизированной краевой задачи будем рассматривать вектор , составленный из значений искомых неизвестных в узлах сетки по правилу

. (3.10)

Тогда столбец компонент вектора перемещений и углов поворотов, производные которых образуют вектор неизвестных, обозначим через . Порядок следования компонент в этом векторе соответствует последнему в векторе .

Введем матричные аналоги интегральных операторов

. (3.11)

Эти матрицы представляют собой блочно-диагональные матрицы с соответствующими интегрирующими матрицами в качестве указанных блоков (рис.3.7).

Рис.3.7

Здесь интегрирующие матрицы являются аналогами интегральных операторов

.(3.12)

Построение интегрирующих матриц и анализ соответствующих задач подробно рассмотрен в работе [9]

С учетом введенных величин зависимость (3.6) в матричном виде запишется как

(3.13)

Здесь - восьмиблочная-диагональная матрица с ненулевыми единичными столбцами в качестве блоков (рис.3.8).

Рис.3.8

Система уравнений нейтрального равновесия (1.27), матричная форма которой определяется равенством (3.2), после замены соответствующих интегральных операторов их матричными аналогами запишется в дискретном матричном виде

(3.14)

где - блочные матрицы с компонентами, равными значениям соответствующих компонентов в узлах сетки. Вводя обозначения

;

; (3.15)

;

,

перепишем систему (3.15) в более компактном виде, допускающем непосредственное программирование

. (3.16)

Произведем дискретизацию граничных условий. Для этого введем в рассмотрение матрицы: с ненулевыми элементами (рис.3.9);

Рис.3.9

восьмиблочную-диагональную матрицу , у которой в качестве блоков строк используется первая строка интегрирующей матрицы (рис.3.10).

Рис.3.10

Тогда граничные условия (3.9) в дискретной матричной форме определяются соотношениями

. (3.17)

В (3.17) компоненты матриц равны значениям функциональных коэффициентов представления (3.1) в узле . Обозначая

(3.18)

преобразуем (3.18) к виду

;

. (3.19)

Объединяя (3.15) и (3.19) в одну матричную систему, получим

, (3.20)

Где

(3.21)

Вектор находим решением системы (3.20)

Графическое представление матричного уравнения (3.20) дано на (рис.3.11).

								1 8	1 8
1 8									0
1 8
1
7n+1 8n
1 8
1 8
1
7n+1 8n
1 8
1 8

Рис.3.11

(3.22)

Численная процедура формирования матриц, поиска решения уравнения (3.22) задачи реализована в среде пакета MATLAB.

3.3 Алгоритм численного решения задачи НДС плоского криволинейного стержня при

В предыдущем разделе был описан алгоритм формирования матриц и решения системы восьми обыкновенных дифференциальных уравнений (1.27) методом механических квадратур исходя из того, что во всех восьми уравнениях присутствуют производные первого и второго порядка. При решении уравнений (1.40) совместно решаются шесть дифференциальных и два алгебраических уравнения, что приводит к некоторому изменению существующего алгоритма.

Введём вектор , с компонентами из функций перемещений и углов поворотов, определенных на интервале , относительно которых формулируются кинематические граничные условия задачи, т.е. . Здесь через обозначается (m,n) - мерное линейное пространство всех вещественных матриц размера (m x n). Определим вектор , с компонентами, принимаемыми далее в качестве основных неизвестных функций, т.е. , и вектор с компонентами, равными распределенным нагрузкам т.е . Тогда уравнения (1.28) могут быть представлены в следующем матричном виде

(3.23)

где

(3.24)

,- матрицы с функциональными коэффициентами, равными сомножителям при компонентах векторов и . Матрицы и представлены на рис.(3.12-3.15).

Рис.3.12

Рис.3.13



Рис.3.14



Рис.3.15



Рис.3.16

Пусть - столбец констант интегрирования, тогда столбец неизвестных может быть представлен в виде

, , (3.25)

где ()- матрица-фильтр, структура которой изображена на (рис.3.17)

1		8
1 n

Рис.3.17

Интегрирующую матрицу заполним следующим образом



1 n		7n+1 8n
1 n
7n+1 8n

Рис.3.18

В матричном виде соотношение (3.24) будет иметь вид

(3.26)

После подстановки (3.24),(3.26) в (3.23) и некоторых преобразований, получим систему уравнений

(3.27)

(3.28)

Далее введём интегральный матричный оператор , и блочно-диагональную матрицу - (рис.3.19).

Рис.3.19

Пусть - столбец констант интегрирования, тогда после интегрирования выражения (3.27) система (3.27)-(3.28) запишется в виде

(3.29)

(3.30)

Введём обозначения

(3.31)

Тогда система (3.28)-(3.29) запишется в виде

(3.32)

Для представления граничных условий в (3.24) введём систему коэффициентов , тогда граничные условия в комбинированной форме можно записать в виде

(3.33)

(3.34)

где

(3.35)

В (3.33) и (3.34) , где - единичная матрица, только не квадратная, а прямоугольная, представленная на (рис.3.20)

Из (3.34) следует , а из (3.33)-

(3.36)

С учётом (3.35) и (3.36) граничные условия (3.33) и (3.34) запишутся в виде

(3.37)

(3.38)

Далее введём в (3.37) обозначение

(3.39)

а в (3.38)

(3.40)

где , представленная на (рис.3.21)- шестиблочно-диагональная матрица, у которой в качестве блоков используется последняя строка интегрирующей матрицы .



Рис.3.21

В (3.33) введём преобразование

(3.41)

где , блочно-диагональная матрица с ненулевыми элементами

(рис.3.9).

Далее преобразуем (3.33)

(3.42)

Блочно-диагональные матрицы и представлены на (рис.3.22-3.23)



С учётом введённых обозначений граничные условия запишутся в виде

(3.43)

(3.44)

Далее введём матрицы

(3.45)

(3.46)

(3.47)

Дополнительные строки в матрице

(3.48)

Графическое представление матричного уравнения (3.23) и граничных условий дано на (рис.3.34)

								1 8	1 6
5n+1 6n
6n+1 7n
7n+1 8n
1 6
7
1 6
7
1 6n
6n+1 8n
1 6
	0
1 6
	0
1
7n+1 8n
1 8
1 6

Рис.3.34

3.4 Алгоритм численного решения задачи устойчивости плоского криволинейного стержня

После численного решения задачи НДС и нахождения докритических усилий и моментов , их подстановки в соотношения (1.35) и (1.36) получим систему линеаризованных однородных дифференциальных уравнений устойчивости. Уравнения устойчивости, в отличие от уравнений НДС не разделяются. Учитываю это построим алгоритм их решения.

Введем далее вектор , с компонентами из функций перемещений и углов поворотов, определенных на интервале, относительно которых формулируются кинематические граничные условия задачи, т.е. . Здесь и далее через обозначается (m,n) - мерное линейное пространство всех вещественных матриц размера (m x n).

Определим вектор , с компонентами, принимаемыми далее в качестве основных неизвестных функций, т.е.

.

Тогда уравнения (1.33) могут быть представлены в следующем матричном виде

, (3.49)

где - матрицы с функциональными коэффициентами, равными сомножителям при компонентах векторов и в уравнениях нейтрального равновесия (1.33). Матрицы функциональных коэффициентов представлены на (рис.3.35-3.42).

Рис.3.35

 Рис.3.36

Рис.3.37



Рис.3.38



Рис.3.39

Рис.3.40



Рис.3.41

Рис.3.42Проинтегрируем далее уравнение (3.49) по , сводя его к равенству

(3.49)

Г

де вектор , (неизвестных статических констант интегрирования),представленный на (рис.3.43)

Рис.3.43

определяется соотношением

(3.50)

В матричном уравнении (3.49) выполним замену по правилу

(3.51)

где через , обозначен вектор с компонентами, равными неизвестным кинематическим константам интегрирования. С учетом (3.51) равенство (3.49) перепишется в виде

(3.52)

Для матричного представления граничных условий введем в рассмотрение некоторые величины. Пусть , вектор, определяемый равенством

(3.53)

Обозначим через матрицы, представленные на (рис.3.5), у которых отличны от нуля могут быть только диагональные компоненты . Значение последних определяется видом граничных условий. Если перемещение или угол поворота на торце стержня зафиксирован (т.е. выполняется кинематическое граничное условие), то значение соответствующего компонента равно нулю. В противном случае оно равно единице, т.е. выполняется соответствующее статическое граничное условие. Через обозначим единичную матрицу (рис.3.6). С учетом введенных величин граничные условия можно представить в комбинированной матричной форме

при (3.54)

где вектор, элементами которого являются силы и моменты приложенные на концах стержня, т.е.

при (3.55)

где учтено, что и .

Построим сетку и введем в рассмотрение множество , необходимое для нумерации компонент соответствующих матриц. В качестве неизвестных дескретизированной краевой задачи будем рассматривать вектор , составленный из значений искомых неизвестных в узлах сетки по правилу

(3.56)

Тогда столбец компонент вектора перемещений и углов поворотов, производные которых образуют вектор неизвестных, обозначим через . Порядок следования компонент в этом векторе соответствует последнему в векторе .

Введем матричные аналоги интегральных операторов

; ; (3.57)

Эти матрицы представляют собой блочно-диагональные матрицы с соответствующими интегрирующими матрицами в качестве указанных блоков. Здесь интегрирующие матрицы являются аналогами интегральных операторов , .

С учетом введенных величин зависимость (3.51) в матричном виде запишется как

(3.58)

Здесь - восьмиблочная-диагональная матрица с ненулевыми единичными столбцами в качестве блоков- (рис.3.8).

Система уравнений нейтрального равновесия

(3.59)

где - блочные матрицы с компонентами, равными значениям соответствующих компонентов в узлах сетки. Вводя обозначения

,

, (3.60)

,

,

перепишем систему в более компактном виде, допускающем непосредственное программирование

(3.61)

Произведем дискретизацию граничных условий. Для этого введем в рассмотрение матрицы: с ненулевыми элементами ; восьмиблочно-диагональную матрицу , у которой в качестве блоков строк используется первая строка интегрирующей матрицы . Тогда граничные условия в дискретной матричной форме определяются соотношениями

при (3.62)

при

Компоненты матриц равны значениям функциональных коэффициентов в узле . Обозначая

,

,

,

, (3.63)

,

,

преобразуем (3.62) к виду

при

при (3.64)

Объединяя все в одну матричную систему, получим

, (3.65)

где

, , (3.66)

Проводя стандартные для задач на собственные значения преобразования, система приводится к виду

, (3.67)

где , , а - единичная матрица.

Численная процедура формирования матриц, нахождения собственных значений и собственных векторов уравнений производилась на языке MatLab.

Глава 4. Проверка и анализ результатов, полученных численным решением задач НДС и устойчивости плоских криволинейных стержней

4.1 Проверка алгоритма решения задач НДС

При решении задач численными методами всегда возникает потребность в проверке созданного алгоритма. Проверяется решение, как правило, на простых задачах, решение которых известно или может быть найдено точно.

Рассмотрим несколько классических случаев нагружения балки и рассчитаем перемещения формулами сопротивления материалов, методом конечных элементов (МКЭ) в программном комплексе Ansys, и созданном алгоритме. В МКЭ используем два вида конечных элементов, которые моделируют балку Кирхгофа-Лява (без учёта поперечных сдвиговых деформаций) и балку типа Тимошенко (с учётом поперечных сдвиговых деформаций).

Исследуем балку квадратного сечения со сторонами 0,05м- (рис.4.1)

Рис.4.1

Характеристика материала: , , длина балки . Схема нагружения и расчётные формулы сопротивления материалов, которые выведены, например, в [13] сведены в табл.4.1.

Таблица 4.1

Схема нагружения	Расчётные формулы
	; ;
	;
	;
	;
	;
	; ; ;

Далее вычислим максимальные прогибы для вышеперечисленных видов нагружения методом конечных элементов. Для последующего анализа используем три вида конечных элементов: одномерный элемент балки Кирхгофа-Лява Beam4, одномерный элемент балки типа Тимошенко Beam188 и для того, чтобы окончательно проверить результат- трёхмерный элемент Solid86, т.е. смоделируем балку как трёхмерное тело. В таблице 4.2 представлены результаты расчёта МКЭ.

Таблица 4.2

Схема нагружения	Перемещения, м (балка Кирхгофа-Лява)	Перемещения,м (балка Тимошенко)
	-2,0·10-5
	-0,03199	-0,032
	-0,0119	-0,0123
	0,048	0,048
	0,1253	0,14583
	2,5·10-4	2,5·10-4

Как видно из таблицы оба вида конечных элементов дают практически идентичные результаты, что объясняется большой гибкостью исследуемой балки(малым влиянием поперечных сдвиговых деформаций). Чтобы окончательно убедиться в правильности найденных результатов смоделируем изгиб трёхмерной балки.

Рис.4.2

На (рис.4.2) видно, что перемещение свободного конца консольной балки равно 0,032м. Этот результат полностью сходится с предыдущими, полученными с помощью одномерных конечных элементов.

В таблице 4.3 сведены результатов проверки, в том числе и результаты созданного алгоритма. Из таблицы видно, что все решения хорошо сходятся с теоретическими, поэтому можно приступать к решению более сложных задач.

Таблица 4.3

Схема нагружения	Максимальный прогиб(), м
	Теоретическое значение	МКЭ	Численное значение
	-2·10-5	-2·10-5	-2·10-5	-2·10-5	-2·10-5
	-0,032	-0,032	-0,032	-0,032	-0,032
	-0,012	-0,0119	-0,0123	-0,012	-0,012
	0,048	0,048	0,048	0,048	0,048
	0,1248	0,1253	0,1458	0,124	0,124
	2,5·10-4	2,5·10-4	2,5·10-4	2,5·10-4	2,5·10-4

4.2 Решения задач устойчивости криволинейного плоского стержня (арки)

Исследуем формы потери устойчивости(ФПУ) криволинейного плоского стержня- полукольца длиной L=1м и радиусом R=0.32м при различных видах закрепления, и различных видах поперечных сечений. Формы поперечных сечений- квадратное, прямоугольное с соотношением сторон 1:2 и прямоугольное, с соотношение сторон 1:3. Это сделано для того, чтобы реализовать изгибно-крутильную и изгибно-сдвиговую ФПУ в данном примере.

Изгибно-сдвиговая- это ФПУ, при которой полукольцо теряет устойчивость в своей плоскости, например, круговое кольцо деформируется в эллипс. Изгибно-крутильная- это ФПУ, при которой полукольцо выходит из своей плоскости, превращаясь в «восьмёрку». Это ФПУ можно наблюдать на велосипедном колесе. В плоскости вращения колесо, подкреплённое спицами, довольно жёсткое, а в плоскости, перпендикулярной плоскости вращения, колесо чаще всего теряет устойчивость, превращаясь в «восьмёрку».