Обработка одной многократно измеренной величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Образования РБ

УО «Полоцкий Государственный университет»

Кафедра геодезии и кадастров

Лабораторная работа №4

“Обработка одной многократно измеренной величины”

Вариант 3

Выполнила: Курума Адия

10 гео2(1)

Проверил: Дегтярев А.М.

Новополоцк, 2011

Классический случай оценивания (Гауссовский)

Предполагаем, что закон распределения погрешности измерений достаточно нормальный, чтобы использовать основные характеристики, соответствующие этому закону. Кроме того, предполагается отсутствие значимых мешающих параметров -- грубых и систематических погрешностей.

Исходные данные

1	2,989
2	2,997
3	2,994
4	3,004
5	2,994
6	3,005
7	3,014
8	3,004
9	2,976
10	2,994
11	2,995
12	2,999
13	3,017
14	3,023
15	3,007
16	3,008
17	2,999
18	2,998
19	3,013
20	3,001

Вычислим оценку в виде среднего:

Вычислим оценку стандарта (качество) средней квадратической погрешности единицы измерения по результатам измерения:

гетероскедастичность погрешность величина корреляция

2,989	-0,012
2,997	-0,005
2,994	-0,008
3,004	0,003
2,994	-0,007
3,005	0,004
3,014	0,012
3,004	0,003
2,976	-0,026
2,994	-0,008
2,995	-0,007
2,999	-0,002
3,017	0,015
3,023	0,022
3,007	0,006
3,008	0,006
2,999	-0,002
2,998	-0,003
3,013	0,011
3,001	0,000

где .

Найдем среднеарифметическую погрешность:



Вычислим среднеквадратическую погрешность среднеквадратической погрешности:

Окончательные результаты запишем как

Интервальные оценки

1) Оценка .

Выдвинем гипотезу, что результаты измерений с вероятностью попадут в интервал

Найдем значение величины распределения Стьюдента из таблицы:

Найдем интервал, в который должно попасть наше истинное :

2) Оценка стандарта

Выдвинем гипотезу, что стандарт с вероятностью попадет в интервал

Для этого нейдем вероятности и :

Теперь можно найти значения и , где и -- значения коэффициентов -Пирсона из таблицы для вероятностей и :

Найдем искомый интервал:

Вычисление классических взвешенных оценок

Вычислим оценки весов, приняв постоянную , а затем вычислим приведенные веса, сумма которых должна ровняться единице.

2	5,000
3	3,333
4	2,500
7	1,429
9	1,111
7	1,429
2	5,000
7	1,429
3	3,333
8	1,250
9	1,111
5	2,000
8	1,250
4	2,500
10	1,000

Вычислим оценку в виде среднего взвешенного:

Применим формулу Бесселя для точечных оценок:

Найдем среднеарифметическую погрешность:

Вычислим среднеквадратическую погрешность вычислений по формуле Бесселя:

Вычислим погрешность погрешности одного измерения

Задача эталонирования

Вводим эталонное значение -- компаратор.



Вычислим истинные погрешности :

-0,018
-0,011
-0,014
-0,003
-0,013
-0,002
0,007
-0,003
-0,032
-0,014
-0,013
-0,008
0,010
0,016
0,000
0,000
-0,008
-0,009
0,005
-0,006

Воспользуемся формулой Гаусса для вычисления средней квадратической погрешности:



Найдём погрешность погрешности

Мешающие параметры

Грубые погрешности -- это те, ошибка которых отличается в 3 раза от точности измерений.

Посмотрим, все ли из полученных величин попадают в интервал:

Вывод: все значения попадают в интервал.

Выявим значимость систематического влияния. Для истинных погрешностей используем ,при доверительной вероятности 0.95, числе степеней свободы n-1=19, и для квантиля , получим неравенство:

Вывод: систематическое влияние значимо.

Выявление мешающих параметров непараметрическими методами

Выявим общую тенденцию увеличения(уменьшения) значения результатов измерений в зависимости от номера i

Для этого нужно провести аппроксимацию измерений функцией вида

Для нахождения данных прямой линии воспользуемся методом наименьших квадратов.

Вычислительная схема следующая.

Составим матрицу А вида A=[I b] гдеi-номер измерения по порядку, b-столбец из единиц.

Составим нормальную матрицу

Составим вектор свободных членов

Учитывая, что Nk = B, найдёмk - вектор искомых параметров

Значит:

Откуда получим уравнение регрессии:

Построим график:



Выдвигаем гипотезу, что с вероятностью в = 0.95 в нашем ряде влияние систематических погрешностей пренебрежимо мало. Для того, чтобы проверить выдвинутую гипотезу, получаем теоретическое значение квантиля распределения Стьюдента t по вероятности в = 0.95 и количеству степеней свободы r = n - 2=18. Имеем t = 2.10. Это значение необходимо сравнить со значением t_выч, полученным по нашим данным:

Где a=0. (для нашей модели);, -СКП коэффициента, - элемент матрицы ; n-количество элементов в выборке.



Вывод. Данная гипотеза верна. Влияние систематических погрешностей мало и ими можно пренебречь.

По критерию Хэмпэла ряд не содержит грубых погрешностей, если все его отклонения элементов ряда от медианы попадают в интервал ±5.2·АМО (АМО - абсолютное медиальное отклонение).

Для того, чтобы найти АМО, необходимо построить вариационный ряд, найти медиану и отклонения элементов от медианы из ряда.

2,989	-0.0108
2,997	-0.0033
2,994	-0.0066
3,004	0.0038
2,994	-0.0058
3,005	0.0051
3,014	0.0137
3,004	0.0041
2,976	-0.0244
2,994	-0.0067
2,995	-0.0056
2,999	-0.0008
3,017	0.0167
3,023	0.023
3,007	0.0071
3,008	0.0073
2,999	-0.0009
2,998	-0.002
3,013	0.0122

Все отклонения h_i - med(h) нашего ряда попадают в интервал ±, что говорит об отсутствии в нашем ряду грубых погрешностей по критерию Хэмпэла.

Некоторые неклассические оценки одной многократно измеренной величины

1) Медиана.

Найдем медиану значений , предварительно выстроив данные в вариационный ряд:

2,989
2,997
2,994
3,004
2,994
3,005
3,014
3,004
2,976
2,994
2,995
2,999
3,017
3,023
3,007
3,008
2,999
2,998
3,013
3,001

Найдём среднюю квадратичную погрешность:

-оценки.

Усеченные. Для получения усеченной оценки необходимо выстроить данные в вариационный ряд, убрать первых два и последних два значение величины, а из остальных взять среднее.

2.9936
3.0041
2.9944
3.0054
3.014
3.0044
2.9758
2.9935
2.9946
2.9994
3.017
3.0233
3.0074
3.0076
2.9993
2.9982

Как видно, не отличается от вычисленного для полного ряда

Винзаризованные.Для получения винзаризованной-оценки необходимо выстроить данные в вариационный ряд, первому и второму элементам значениям присвоить значение третьего, а последнему значению и предшествующему ему присвоить значение элемента величины, а затем взять среднее из полученного ряда.

2.9758	2.9935
2.9894	2.9935
2.9935	2.9935
2.9936	2.9936
2.9944	2.9944
2.9946	2.9946
2.9969	2.9969
2.9982	2.9982
2.9993	2.9993
2.9994	2.9994
3.0011	3.0011
3.0041	3.0041
3.0044	3.0044
3.0054	3.0054
3.0074	3.0074
3.0076	3.0076
3.0125	3.0125
3.014	3.014
3.017	3.014
3.0233	3.014



Среднее Винзора и усечённое среднее равны между собой.

Найдём САО(среднюю абсолютную ошибку).

2) -оценки.

Это оценки в ранговых характеристиках (Ходжес - Бикел, ).

1											2,994
2										2,976
3									3,004
4								3,014
5							3,005
6						2,994
7					3,004
8				2,994
9			2,997
10		2,989
		2,9952	3,0047	2,9959	3,0017	3,001	3,0064	3,0186	3,0107	2,9876	2,9940
11		3,001
12			3,013
13				2,998
14					2,999
15						3,008
16							3,007
17								3,023
18									3,017
19										2,999
20											2,995

Оценка Ходжеса-Лемана(псевдомедиана). Находится как медиана из ряда средних арифметических 2ух значения ряда: 1 и 2, 1 и 3 и т.д; 2 и 3, 2 и 4, и т.д. всего таких комбинаций n(n-1)/2. Здесь номер первого всегда меньше второго. Из полученных значений находится медиана, которая и является «псевдомедианой».

В нашем случае таких комбинаций 180.

Тогда

Адаптивная оценка Хогга.

Для нахождения этой оценки используется таблица с индикатором выбора

, где

Проводим вычисления:

Тогда все оценки в зависимости от значения k будут

В качестве коэффициента kмогут принимать:

1) Значение оценки не цетрированного эксцесса

2) Значение коэффициента , вычисляемого по формуле

Выявление эффектов гетероскедастичности

1	14	0.00607	-0.01945	169
2	10	-0.00078	-0.01466	64	-0.008
3	11	0.00316	-0.01379	64	-0.007
4	5	-0.00669	-0.00671	1	-0.005
5	13	0.00365	-0.00669	64	0.003
6	4	-0.00671	-0.00543	4	0.008
7	2	-0.01466	-0.00442	25	0.006
8	7	-0.00442	-0.00290	1	-0.001
9	20	0.02483	-0.00246	121	-0.043
10	18	0.00777	-0.00078	64	0.039
11	17	0.00732	0.00316	36	0.02
12	12	0.00316	0.00316	0	-0.015
13	3	-0.01379	0.00365	100	-0.01
14	1	-0.01945	0.00607	169	-0.006
15	8	-0.00290	0.00648	49	0.012
16	9	-0.00246	0.00662	49	-0.007
17	15	0.00648	0.00732	4	-0.008
18	19	0.00823	0.00777	1	0.026
19	6	-0.00543	0.00823	169	-0.014
20	16	0.00662	0.02483	16	0.012
?				1170	0.002

Выявление эффекта гетероскедастичности на основе ранговой корреляции.

Составим ранговую таблицу. По формуле вычислим коэффициент корреляции.

Где

Оценим значимость коэффициента корреляции на основе оценки распределения Стьюдента.

Выдвигаем гипотезу, что с вероятностью будет выполняться условие

где -- эталонный коэффициент распределения Стьюдента, а вычисляется по формуле

Для вероятности коэффициент будет равен 2.10, причисле степеней свободы r = n - 2 =18.

Вычислим :

Сравним:

Вывод: с вероятностью эффект гетероскедастичности отсутствует.

Тест на гетероскедастичность на основе ранговой корреляции Спирмена

Этот тест выявляет корреляцию между номером измерений i и остатком которая должна быть не значимой.

По построенной таблице результатов вычислений для теста на основе ранговой корреляции Спирмена вычислим статистику DW

Из наших 20-ти значений построим вариационный ряд и разделим его на 3 части,с количеством . Построим два уравнения регрессии по 2-ум крайним наборам (для первых семи значений и для последних.

Воспользуемся методом наименьших квадратов.

Вычислительная схема следующая.

Найдём нормальную матрицу матрице

Составим вектор свободных членов

Учитывая, что Nk = B, найдём

Тогда

Найдём суммы квадратов отклонений

Вычислим практическое значение статистики Фишера

Теоретическое значение статистики Фишера при и вероятности Р=0.95

Сравним теоретическое значение и практическое

Вывод. По данному критерию отношение мер рассеивания в начале и конце ряда статистически не значимо и не значимагетероскедастичность с данной вероятностью.

Выявление значимости систематических ошибок или погрешностей неизвестной природы на основе критерия восходящих и нисходящих серий

Серия - это подряд идущие знаки. Построим знаковый ряд, который будет состоять из + и -.

если , то знак «+»;

если , то знак «-».

2.989		2.995
	+		+
2.997		2.999
	-		+
2.994		3.017
	+		+
3.004		3.023
			-
	-
2.994		3.007
	+		+
3.005		3.008
	+		-
3.014		2.999
	-		-
3.004		2.998
	-		+
2.976		3.013
	+		-
2.994		3.001
	+

Число серий .Длина самой большой серии .

Сравним. Должно выполняться условие:

Условие выполняется.

Сравним длину серии по условию:

где для нашего величины выборки, т.е.:

Условие не выполняется.

Вывод: Так как одно из условий не выполняется, то ряд не может быть случайный, у него есть систематические влияние.

Критерий серий

Расставим знаки в таблице по принципу:

если, то знак «+»;

если, то знак «-».

	знак		знак
2.989	-	2.995	-
2.997	-	2.999	-
2.994	-	3.017	+
3.004	+	3.023	+
2.994	-	3.007	+
3.005	+	3.008	+
3.014	+	2.999	-
3.004	+	2.998	-
2.976	-	3.013	+
2.994	-	3.001	+

Число серий . Длина самой большой серии .

Сравним. Должно выполняться условие:

Вывод: оба условия выполняются, а следовательно нету никакого стороннего систематического влияния.

Выявление значимости автокорреляции на основе критерия Дарбина-Уотсона

Проверим, какое из следующих условий выполняется:

Вычислим :

где .

Чтобы коэффициент корреляции был близок к нулю, то DW должно попадать в интервал (2;±0.5)

В нашем случае DW попадает в этот интервал, значит коэффициент корреляции близок к нулю.

Найдём практически коэффициент корреляции:

Следовательно:

Вывод: Автокорреляции близка к нулю, следовательно значимость мала и ей можно пренебречь.

Размещено на Allbest.ru