Анализ пифагоровых троек

Размещено на http://www.allbest.ru/

пифагорова тройка диофантовый уравнение

Анализ пифагоровых троек

Автор: Фильчев Э.Г.



1. Анализ пифагоровых троек

В настоящее время расчет пифагоровых троек производится с помощью формул

X = 2pq, Y = p² - q², Z = p² + q²

[Г. Эдвардс. Последняя теорема Ферма. Изд. МИР.М.1980. Стр.19].

По этим формулам можно находить пифагоровы тройки, однако представить эти тройки как упорядоченное множество достаточно затруднительно, т.к. необходимо производить перебор пар p и q.

Автором разработана Система mn параметров, в которой для расчета пифагоровых троек, предложены итерационные формулы

Подъем

X₁ = 2Z₀ + 2X₀ + Y₀, Y₁ = 2Z₀ + X₀ + 2Y₀ , Z₁ = 3Z₀ + 2X₀ + 2Y₀

X₂ = 2Z₀ - X₀ + 2Y₀, Y₂ = 2Z₀ - 2X₀ + Y₀ , Z₂ = 3Z₀ - 2X₀ + 2Y₀

X₃ = 2Z₀ + 2X₀ - Y₀, Y₃ = 2Z₀ + X₀ - 2Y₀ , Z₃ = 3Z₀ + 2X₀ - 2Y₀

Спуск

X₄ = I 2Z₀ - X₀ - 2Y₀ I, Y₄ = I 2Z₀ - 2X₀ - Y₀ I , Z₄ = 3Z₀ - 2X₀ - 2Y₀

Здесь, в качестве исходных значений можно принять

X₀ = 4, Y₀ = 3, Z₀ = 5, тогда

X₁ = 2•5 + 2•4 + 3 = 21,

Y₁ = 2•5 + 4 + 2•3 = 20,

Z₁ = 3•5 + 2•4 + 2•3 = 29

X₂ = 2•5 - 4 + 2•3 = 12,

Y₂ = 2•5 - 2•4 + 3 = 5, Z₂ = 3•5 - 2•4 + 2•3 = 13

X₃ = 2•5 + 2•4 - 3 = 15,

Y₃ = 2•5 + 4 - 2•3 = 8,

Z₃ = 3•5 + 2•4 - 2•3 = 17

В результате первой итерации получили три основных ПТ (пифагоровых треугольника)

ПТ₁ (21, 20, 29),

ПТ₂ (12, 5, 13),

ПТ₃ (15, 8, 17).

Для следующей итерации необходимо использовать полученные ПТ в качестве исходных данных. Так, для ПТ₁

Х₀ = 21, Y₀ = 20, Z₀ = 29

(см. ПТ₁), тогда, в результате расчета по итерационным формулам , получим

X₁ = 2•29 + 2•21 + 20 = 120, Y₁ = 2•29 + 21 + 2•20 = 119, Z₁ = 3•29 + 2•21

+ 2•20 = 169

X₂ = 2•29 - 21 + 2•20 = 77, Y₁ = 2•29 - 2•21 + 20 = 36, Z₁ = 3•29 - 2•21 +

2•20 = 85

X₃ = 2•29 + 2•21 - 20 = 80, Y₁ = 2•29 +21 - 2•20 = 39, Z₁ = 3•29 + 2•21 -

2•20 = 89

Подобный расчет необходимо провести для ПТ₂ и для ПТ₃. Тогда, в результате второй итерации получим 9 дополнительных ПТ.



Рис.1. Дерево основных пифагоровых треугольников

пифагоров тройка диофантовый уравнение

На Рис.1 представлен фрагмент дерева ПТ. Из данных этого рисунка видно, что для каждой ветви имеют место свои соотношения. Так, например, для нижней ветви имеем ПТ вид

ПТ(X, Y, X+1),

Y² = X + X+1 >Y² = 2X +1,

Y - нечетное число.

Так, для Y= 17421

Y² = 303491241

X = = = 151745620

имеем ПТ(151745620, 17421, 151745621)

Таким образом, при каждой последующей итерации число ПТ увеличивается в три раза, т.е.

? (ПТ) = 3⁰ + 3¹ + 3² + … +3^k,

где k - уровень дерева ПТ ( порядковый номер итерации).

На сайте в Google: “Главная страница-Система mn параметров “ приведена эффективная и небольшая Mathcad программа расчета более 1 миллиона ПТ. Все эти ПТ представляют упорядоченное множество. На Рис.1 видно, что на верхней ветви дерева ПТ находятся ПТ вида

ПТ(X + 1, X, Z). На нижней ветви - ПТ(X, Y, X + 1)

Отсюда вывод- необходимо провести анализ свойств дерева ПТ.

Анализ дерева ПТ

1. Нижняя ветвь

1.1 Нижняя ветвь- это ПТ вида

ПТ(X, Y, X + 1),

где Y - всегда нечетное число и

Y² = 2X + 1. (1)



Пример

Пусть Y = 3117

Y² = 9715689

= = 4857844 = X, Z = X + 1 = 4857845

4857844² + 3117² = 4857845² >ПТ( 4857844, 3117, 4857845)

Задача

Известное уравнение Пелля имеет вид

Y² - AU² = 1,

где (Y, A, U) - целые числа.

Необходимо предложить алгоритм решения уравнения Пелля если задано число А.

Эту задачу можно решить используя ПТ нижней ветви. Запишем уравнение Пелля в виде

Y² = AU² + 1

Сравнивая это уравнение с уравнением (1) получим AU² = 2X. Таким образом показано, что уравнение Пелля - это запись уравнения пифагорова треугольника нижней ветви дерева ПТ.

Примеры

1. Пусть Y = 3 > Y² = 9 > Y² = 2X + 1 > X = 4 > A = 2

2. Пусть Y = 5 > Y² = 25 >Y² = 2X + 1 > X = 12 > AU² = 24 = 6•4 >

A = 6

3. Пусть Y = 7 > Y² = 49 >Y² = 2X + 1 > X = 24 > AU² = 48 = 3•16 >

A₁ = 3. AU² = 48 = 12•4 > A₂ = 12 и т.д.

Выводы

1. Для любого заданного числа А решение уравнения Пелля находится на нижней ветви дерева ПТ.

2. В уравнение Пелля Y - нечетное число.

3. Любое уравнение Пелля можно записать в виде ПТ(X, Y, X + 1).

2. Виды пифагоровых треугольников (ПТ)

Алгоритм определения различных видов ПТ заключается в следующем

1. Производится расчет дерева ПТ. При этом массив задается путем выбора q_{max .}

2. Из массива п.1, производится выборка вида ПТ.

2.1 ПТ с одинаковыми значениями элементов

2.1.1 ПТ вида ПТ( А, Y, Z ). Таких ПТ имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

314820 192691 369109	314820 266989 412789
333375 324848 465474	333375 310232 455393
375144 169417 911625	375144 243983 447505
390852 344755 521173	390852 124405 410173
835164 823277 1172725	835164 399427 925765

2.1.2 ПТ вида ПТ( X, A, Z ). Таких ПТ имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

348700 202011 402989	202540 202011 286061
212589 208060 297461	224421 208060 297461
345983 206856 403105	433567 206856 480385
316677 290836 429965	605277 290836 671525
295461 287980 412589	309381 287980 422669



2.1.3 ПТ вида ПТ( X, Y, A ). Таких ПТ имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

374883 317156 491045	439203 219604 491045
378300 337819 507181	361381 355860 507181
683084 412563 798005	587324 540243 798005
593484 545363 806005	689724 417043 806005
628815 612808 878033	642735 598192 878033

2.14 ПТ вида ПТ( X, Y, 1105 ). Таких ПТ имеется четыре

(1104, 47, 1105), ( 1073, 264, 1105), ( 943, 576, 1105), ( 817, 744, 1105)

Таблица 1

2.2 ПТ вида ПТ(X², Y, Z)

4 3 5	144 17 145	900 301 949	1600 399 1649	3136 1377 3425
7056 2783 7586	8100 4061 90	13689 11000 17561	20736 9823 22945	33124 18957 38165

Таблица 2

2.3 ПТ вида ПТ(X, Y², Z)

40 9 41	63 16 65	77 36 85	272 225 353	323 36 325
561 400 681	621 100 629	943 576 1105	1160 441 1241	2077 1764 2725

Таблица 3

2.4 ПТ вида ПТ(X, Y, Z²)

24 7 25	120 119 169	240 161 289	527 336 625	1081 840 1369
1519 720 1681	2520 1241 2809	3479 1320 3721	3696 2047 4225	5280 721 5329

Таблица 4

2.5 ПТ вида ПТ(X³, Y, Z)

1728 295 1753	343000 132351 367649



Таблица 5

2.6 ПТ вида ПТ(X, Y³, Z)

15 8 17	713 216 745	7448 3375 8177
14601 8000 16649	51012 42875 66637	58460 9261 59189
105985 74088 129313	116625 21932 118673	826956 456533 944605

Таблица 6

2.7 ПТ вида ПТ(X, Y, Z³)

117 44 125	2035 828 2197	4888 495 4913
11753 10296 15625	42372 27755 50653	550116 272987 614125
2866149 1651580 3307949

2.8 ПТ вида ПТ(X⁴, Y, Z), ПТ(20736, 9823, 22945)

2.9 ПТ вида ПТ(X, Y⁴, Z)

63 16 65	6497 1296 6625
192032 50625 198593	3803679 2560000 4584929

2.1.10 ПТ вида ПТ(X, Y, Z⁴), ПТ(527, 336, 625)

2.1.11 ПТ вида ПТ(X⁵, Y, Z), ПТ(248832, 203095, 321193)

2.1.12 ПТ вида ПТ(X, Y⁵, Z), ПТ(255, 32, 257)

2.1.13 ПТ вида ПТ(X, Y, Z⁵), ПТ(1093425, 905768, 1419857)

2.1.14 ПТ вида ПТ(X, Y, Z⁶)

ПТ₁(11753, 10296, 15625) , ПТ₂(3455641, 3369960, 4826809)

2.1.15 ПТ вида ПТ(X, Y, Z⁷) ПТ(76443, 16124,78125).

3. Абиссальные системы диофантовых уравнений

В комментариях к десятой проблеме Гильберта Ю.И. Хмелевский пишет, что для системы уравнений



X² + AY² = U²

X² - AY² = V² (1)

до сих пор неизвестен алгорифм (алгоритм), распознающий по данному целому А, имеет система целочисленные решения или нет. [Проблемы Гильберта. Наука. М. 1960. Стр. 149].

Решение

Преобразуем систему (1)

(X² + AY² )•(X² - AY² ) = (U•V)²

X⁴ - (AY)² = (U•V)² >(U V )² + (AY)² = X⁴

это уравнение Пифагора

X² + AY = U², X² - AY = V².

Таким образом система уравнений (1) - это иная запись пифагоровой тройки у которой большая сторона равна квадрату целого числа. Этому условию соответствуют ПТ вида

ПТ(X, Y, Z²)

На дереве ПТ до 12 уровня включительно находится 265719 ПТ, при этом в этом массиве имеется 113 ПТ вида ПТ( X, Y, Z²). Наибольший из них -

ПТ(40044480, 24220081, 6841²)

Тогда



6841² + 625695 8² = 9319², 6841² - 625695•8² = 2599²

Здесь по аналогии с системой (1)

X = 6841, A = 625695, U = 9319, V = 2599

Размещено на Allbest.ru