Управление движением транспортной тележки в боковой плоскости

91

Задание

Управление движением транспортной тележки в боковой плоскости. Объект управления - транспортная тележка, представленная на рисунке:

Перемещение транспортной тележки определяется соотношениями:

(1)

где - управляющее воздействие в боковой плоскости (на поворот колес),

- управляющее воздействие на двигатель (в продольной плоскости),

- угол поворота колес,

- угол рысканья (угол между осью симметрии тележки и заданным направлением движения),

- скорость движения тележки,

- перемещение тележки в продольном направлении,

- боковое перемещение,

- постоянные времени (параметры исполнительных механизмов),

- коэффициент, определяющий силу сопротивления движению, пропорциональную скорости,

- масса тележки,

- длина тележки.

Требуется проанализировать движение тележки в боковой плоскости и синтезировать систему автоматического управления этим движением при постоянной величине скорости движения и малых значениях углов и , когда , а.



1. Математические модели линейных непрерывных объектов и систем

1.1 Математическая модель в пространстве состояний

Математической моделью системы автоматического управления (САУ) называют совокупность математических уравнений, вызывающих процесс функционирования объекта управления (ОУ) с учетом воздействий управления и воздействий окружающей среды.

Математическая модель в пространстве состояний записывается так:

, где

Из системы (1) для поставленной задачи управления транспортной тележкой в боковой плоскости нам понадобятся только 3 уравнения - система:

(2.1.1)

Пусть вектор входных воздействий: .

Пусть вектор состояния будет равен, а и вектор выходных переменных y=z



Необходимо произвести линеаризацию системы (1а), так как система нелинейная:

,

где

и ,

Тогда общий вид нелинейной системы:

Учитывая малые значения углов и , получим:

(2.1.2)

то есть



(2.1.3)

1.2 Переход от модели в пространстве состояний к модели «вход-выход»

Надо перейти от модели в пространстве состояний к модели вход-выход. Необходимо осуществить переход к модели такого вида:

, (2.2.1)

Учитывая, что , получим:

(2.2.2)

Последнее уравнение это передаточная функция, для отыскания которой необходимо найти резольвенту по алгоритму Леверье-Фаддеева:



вычислим коэффициенты:

Сделаем проверку:

Проверка показала, что коэффициенты вычислены, верно.

Найдя резольвенту, приступим к поиску самой передаточной матрицы:

(2.2.3)

Воспользуемся пакетом Control System Toolbox, входящим в состав среды Matlab, для проверки полученных результатов.



Проверим результат для передаточной функции. Для этого воспользуемся функциями:

>> sys=ss(a,b,c,d);

>> tf(sys)

Transfer function:

-27.78 s - 61.73

----------------

s^3 + 2.5 s^2

Видим, что значение передаточной функции, полученное аналитически, совпадает с полученным в среде Matlab.

1.3 Переход от математической модели вход-выход к математической модели в пространстве состояний и доказательство эквивалентности математических моделей в пространстве состояний

Осуществим обратный переход к модели в пространстве состояний:

(2.3.1)



Произведем замену:

Отсюда:

(2.3.2)

Докажем эквивалентность полученной модели исходной модели в пространстве состояний. Для этого необходимо:

a) Сформировать матрицу управляемости для модели (2.1):

b) Сформировать матрицу управляемости для модели (2.3):



c) Вычислить матрицу преобразования

d) Убедиться в правильности равенства:

Заметим, что если ранг матрицы управляемости равен n (то есть размеру вектора =3), то объект является управляемым. Рассчитаем матрицы управляемости для моделей в пространстве состояний:

(2.3.3)

Получим:



2. Анализ переходных процессов линейных непрерывных систем

Рассмотрим модель в пространстве состояний:

(3.1)

Для решения воспользуемся интегральной теоремой коши:

(3.2)

интегральная матрица системы.

, где S - неособенная матрица. Подставим:

, где (3.3)

Тогда: (3.4)

где u(ф) - ступенчатое единичное воздействие , а является нулевым вектором, так как - начальное условие.

Матрицы и подобные, значит, собственные значения матрицы и совпадают.

Собственные значения матрицы :

То есть у нас одно собственное значение кратности 2 и одно кратности 1.

Поэтому рассмотрим следующий метод построения жордановой матрицы:

так как количество клеток 1 порядка:

Количество клеток 2 порядка:

То есть: (3.5)

Теперь найдем матрицу S:

и столбцы матрицы S.

для :

Пусть



для :

Пусть

для :

Пусть

Таким образом, получили матрицу S:

(3.6)

(3.7)

Найдем экспоненту от жордановой формы матрицы A:

Итак, решение системы (3.1) будет выглядеть так:

(3.8)



Теперь рассмотрим реакцию объекта на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях (далее - н. н. у.):

Тогда решение исходной системы (3.1) будет:

Тогда выходная функция при нулевых начальных условиях и единичном входном воздействии будет равна:

(3.9)

Построим ее график с помощью среды MathCad:



Сравним график данной функции с зависимостью построенной с помощью среды MAthLab:

sys=ss(a,b,c,d);

step(sys)

Рис. 1

Видно, что графики абсолютно идентичны. Итак, мы исследовали переходный процесс при единичном ступенчатом воздействии.



3. Построение Математических моделей дискретных объектов и систем

3.1 Переход от уравнения состояния непрерывных объектов и систем к уравнению состояния дискретных систем

Линейная непрерывная модель, заданная в пространстве состояний:

(4.1.1)

Надо построить дискретную модель в пространстве состояний такого вида:

(4.1.2)

, где T - период временной дискретности.

Решение системы (4.2), используя интегральную теорему Коши, будет иметь вид ():

(4.1.3)

Произведем замену: . Положим, что функция u(t) кусочно-постоянная , тогда (4.3) примет вид:



(4.1.4)

Сравним (4.2) и (4.4), получаем дискретные матрицы:

Известно, что , следовательно:

,(4.1.6)

>> step(sys)

>> dis=c2d(sys,1)

a =

x1 x2 x3

x1 0.7788 0 0

x2 0.1966 1 0

x3 -1.097 -1.111 1

b =

u1

x1 0.2212

x2 0.0256

x3 -0.1377



c =

x1 x2 x3

y1 0 0 1

d =

u1

y1 0

Sampling time: 0.1

Discrete-time model.

Видно, что матрицы совпали.

Построим графики двух моделей - непрерывной и дискретной. T=0.1c.

step(sys,dis)

Рис. 2



Итак, мы осуществили переход от уравнений состояния линейных непрерывных систем к уравнениям состояния дискретных систем.

3.2 Построение модели вход-выход для дискретных объектов и систем

Как и для непрерывных объектов и систем переход от модели в пространстве состояний к модели вход-выход осуществим по алгоритму Леверье-Фаддеева:

(4.2.1)

Последнее уравнение это передаточная функция, для отыскания которой необходимо найти резольвенту по алгоритму Леверье-Фаддеева:

вычислим коэффициенты:



Сделаем проверку:

Проверка показала, что коэффициенты вычислены, верно.

Найдя резольвенту, приступим к поиску самой передаточной матрицы:

(4.2.2)

Получили передаточную функцию модели вход-выход для дискретной модели, где - оператор сдвига.

Воспользуемся пакетом Control System Toolbox, входящим в состав среды Matlab 6.5, для проверки полученных результатов.

w=tf(dis)

Transfer function:

-0.1377 z^2 - 0.02617 z + 0.1092

----------------------------------

z^3 - 2.779 z^2 + 2.558 z - 0.7788



Sampling time: 0.1

Видим, что значение передаточной функции, полученное аналитически, полностью совпадает со значением, полученным в среде Matlab.

3.3 Анализ переходных процессов в линейных дискретных объектах и системах

Проанализируем переходные процессы для модели дискретного объекта, возникающие при изменении внешних условий.

(4.3.1)

Решение определяется выражением:

(4.3.2)

Произведем замену:

Наша система примет вид:

(4.3.3)



Тогда решение будет определяться так:

(4.3.4)

Используем Matlab для построения реакции дискретной системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях:

Построим график реакции дискретной системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях, воспользовавшись средой Matlab.

Рис. 3

Реакция дискретного объекта на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных словиях.



4. Импульсные переходные функции для непрерывных и дискретных объектов и систем

4.1 ИПФ для непрерывных объектов и систем

На практике, исследуя модели объектов или систем, часто рассматривается, когда начальные условия нулевые и внешние воздействия изменяются в пределах:

.

Поэтому интегральную формулу Коши (3.2) в этом случае можно записать в следующем виде:

(5.1.1)

Рассмотрим функцию:

(5.1.2)

тогда следующее соотношение определяет математическую модель, называемую сверткой функции:

(5.1.3)



Запишем соотношение (5.1.3) через функцию :

(5.1.4)

- называется импульсной переходной функцией (ИПФ) объекта или системы,

- обобщенная функция Дирака.

Физический смысл ИПФ можно определить, если рассмотреть реакцию объекта на управляющее воздействие в виде -функции, тогда соотношение (5.1.4) можно переписать следующим образом:

(5.1.5)

Таким образом ИПФ есть реакция на входное воздействие в виде -функции.

Итак, найдем ИПФ для нашего объектов, используя вычисленные ранее параметры:



Так как , то на выходе ИПФ примет вид то есть:

Рис. 4

Для сравнения приведем график, построенный в среде Matlab:

>> impulse(sys)



Рис. 5

Как видно, графики идентичны. Получили реакцию системы на воздействие для непрерывного объекта и системы.

4.2 ИПФ для дискретных объектов и систем

Дискретная модель задана соотношением (4.1).

Для дискретного объекта можно записать следующую систему, применяя интегральную формулу Коши:

(5.2.1)



Учитывая нулевые начальные условия :

(5.2.2)

ИПФ для дискретной системы или объекта будет выглядеть следующим образом:

(5.2.3)

Тогда

(5.2.4)

Построим в среде Matlab ИПФ на выходе для дискретной системы и для сравнения приведем график ИПФ для непрерывной системы

>> impulse(dis,4)

Рис. 6 - ИПФ на выходе для дискретной системы>> impulse(sys)



Рис. 7 - ИПФ на выходе для непрерывной системы

>> impulse(sys,dis,4)

Рис. 8 - ИПФ на выходе для непрерывной и дискретной системы



5. Передаточные функции объектов и систем

Передаточные функции вводятся с помощью преобразования Лапласа для уравнений «вход-выход» или уравнений в пространстве состояния.

5.1 Передаточная функция непрерывного объекта

f(t)-функция временного аргумента, такая что

Тогда функция комплексной переменной s, равная

(6.1.1)

называется изображением по Лапласу от функции .

Обратное преобразование Лапласа:

(6.1.2)

Пусть дана математическая модель «вход-выход» в следующем виде:

(6.1.3)

где p - оператор дифференцирования ;

Получим , применяя преобразование Лапласа:



(6.1.4)

где , а

Иначе:

-

передаточная функция непрерывного объекта.

5.2 Передаточная функция дискретного объекта

Для дискретной системы преобразование Лапласа определяется следующим образом:

, (6.2.1)

где - комплексный параметр суммы.

Введем z - преобразование:

где . (6.2.2)

Обратное преобразование:

(6.2.3)

Задана дискретная модель в следующем виде:



(6.2.4)

К соотношению (5.2.3)применим теорему сдвига ( и - оригиналы дискретного преобразования):

(6.2.5)

Тогда:

где

.

(6.2.6)

Функция - называется передаточной матрицей или функцией, которая определяет взаимосвязь изображений выхода и входа при нулевых начальных условиях.

Если , то примет вид

, (6.2.7)

где - передаточная функция дискретного объекта при использовании z-преобразования.



5.3 Частотные характеристики

5.3.1 Частотные характеристики непрерывных объектов и систем

Частотные характеристики имеют реальный смысл только для устойчивых объектов и систем.

Пусть объект задан в виде математической модели «вход-выход»:

(7.1)

Преобразование Фурье

Пусть функция является кусочно-непрерывной на и является абсолютно интегрируемой, т. е. , тогда существует преобразование, называемое преобразованием Фурье:

(7.1.2)

- называют также спектральной плотностью сигнала.

Формула, определяющая обратное преобразование:

(7.1.3)

Применим преобразование Фурье:



Соотношение (7.1) можно записать в следующем виде:

. (7.1.4)

Применим преобразование Фурье к (7.4):

(7.1.5)

(7.1.6)

Тогда

где (7.1.7)

Функция , определенная соотношением (7.7), называется комплексной частотной характеристикой или матрицей комплексных частотных характеристик.

На практике для анализа и синтеза линейных и нелинейных систем широко используются следующие частотные характеристики:

1) АЧХ - амплитудная частотная характеристика;

2) ФЧХ - фазовая частотная характеристика;

3) АФЧХ - Амплитудно-фазовая частотная характеристика.

4) ЛАЧХ и ЛФЧХ - логарифмические характеристики.

В Matlab построим АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.



АФЧХ

, где (7.1.8)

АФЧХ образует годограф Найквиста.

>> nyquist(sys)

Кроме того, необходимо дополнить АФЧХ дугой бесконечно большого радиуса с центральным углом -р (так как корень имеет кратность 2).

Рис. 9 - диаграмма Найквиста для непрерывного объекта

АЧФЧХ и ЛФЧХ

Логарифмическая частотная характеристика вычисляется из следующего соотношения:

(7.1.9)



Воспользуемся функцией bode() для вычисления частотных характеристик.

>> bode(sys)

Рис.10 - диаграмма Боде для непрерывного объекта

Итак, при помощи стандартных функций Matlab построили АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для непрерывного объекта.

5.3.2 Частотные характеристики дискретных объектов и систем

Пусть объект или система описывается математической моделью «вход-выход»:

(7.2.1)

или



(7.2.2)

(7.2.3)

Дискретное преобразование Фурье можно рассматривать как преобразование Лапласа при условии сходимости, если где

Тогда формула прямого преобразования будет выглядеть следующим образом:

, (7.2.4)

а формула обратного преобразования:

(7.2.5)

В соответствии с этим, передаточная функция нашего объекта (6.2.6) будет выглядеть следующим образом:

(7.2.6)

АФЧХ.

.

В Matlab при помощи функции nyquist(dis) построим диаграмму Найквиста, реализующую АФЧХ дискретного объекта.



Рис. 11 - диаграмма Найквиста для дискретного объекта

ЛАЧХ и ЛФЧХ

Воспользуемся функцией bode() для вычисления ЛАЧХ и ЛФЧХ.

>> bode(dis)



Рис. 12 - диаграмма Боде для дискретного объекта

Построили АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для дискретного объекта.



6. Исследование устойчивости объектов и стистем

Устойчивость - один из качественных показателей работы реальных объектов и систем. Это необходимое условие работоспособности любой реальной системы.

Система управления или объект управления называется устойчивым по входу, если выходная переменная остается ограниченным при любом ограниченном входном воздействии и нулевых начальных условиях.

Решение удовлетворяющее условию называется устойчивым по Ляпунову, если для , такое что при выполнении условия будет выполнено для , где , а

Решение системы с начальными условиями называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется соотношение

Для линейных стационарных объектов и систем устойчивость по начальным условиям влечет устойчивость по входу, но обратное условие может не выполняться.

6.1 Исследование устойчивости непрерывного объекта

6.1.1 Корневой критерий

Корневые критерии устойчивости определяют условия устойчивости линейных объектов и систем управления с помощью корней характеристических уравнений.

Анализ устойчивости сводится к анализу следующей линейной системы:



(7.1)

Произведем замену базиса: , где - жорданова форма:

(7.2)

Непрерывный объект или система является асимптотически устойчивыми, если ; для устойчивости объекта или системы необходимо и достаточно выполнения следующего условия:

- все полюса передаточной функции (собственные значения матрицы A) должны лежать в левой комплексной полуплоскости, то есть

. (7.3)

Проверим выполнение этого критерия:

>> real(eig(a))

ans =

0

0

-2.5000

т.е.

Два корня равны нулю. Следует, что по данному критерию объект является неустойчивым, так как не все корни отрицательны.



6. 1.2 Критерий Ляпунова

Для того чтобы линейная система (7.1.1) была асимптотически устойчивой необходимо и достаточно, чтобы матричное алгебраическое уравнение Ляпунова имело своим решением положительно определенную матрицу.

Пусть - симметричная положительно определенная матрица,

- положительно определенная матрица (обычно используют единичную матрицу), тогда критерий Ляпунова выглядит следующим образом:

(7.4)

где - решение уравнения (7.4).

Замечание 1:

Если - симметричная матрица, то решение алгебраического уравнения Ляпунова также является симметричной матрицей.

Замечание 2:

Если линейная система (8.1) асимптотически устойчива, то матрица является решением матричного уравнения Ляпунова и определяется следующим соотношением:

(7.5)

Исследуем объект на устойчивость по критерию Ляпунова. Рассмотрим матричное алгебраическое уравнение Ляпунова (7.4).

В качестве возьмем единичную матрицу,



, .

Воспользуемся средой MatLab для нахождения матрицы P: используем функцию lyap - решение матричного алгебраического уравнения Ляпунова:

>> P=lyap(a',eye(3))

??? Solution does not exist or is not unique

То есть решение уравнения Ляпунова или не существует или не единственно. Следовательно, наш объект не является асимптотически устойчивым.

6.1.3 Критерий Стодолы

Рассмотрим полином:

(7.6)

Полином (7.6) называется стандартным Гурвицевым, если все его корни расположены в левой полуплоскости.

Если полином - стандартный Гурвицевый, то все его коэффициенты положительны (или одного знака). Критерий Стодолы определяет необходимое условие асимптотической устойчивости.

Рассмотрим передаточную функцию (2.2.3):

.



Полином знаменателя передаточной функции выглядит следующим образом:

(7.7)

где

Видим, что полином не является стандартным Гурвицевым, так как два его коэффициента равны нулю. Следовательно, необходимое условие асимптотической устойчивости не выполняется.

6.1.4 Критерий Гурвица

Пусть задан стандартный полином вида (7.6).

Необходимо построить для этого полинома матрицу Гурвица, которая имеет следующий вид:

, (7.8)

где коэффициенты - коэффициенты характеристического полинома (7.6).

Для того чтобы объект или система были асимптотически устойчивы необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры матрицы Гурвица были строго положительными.

- матрица Гурвица для нашей системы (7.9)



Видно, что все диагональные миноры равны нулю. Следовательно, критерий Гурвица не выполняется и объект не является асимптотически устойчивым.

6.1.5 Критерий Михайлова

Пусть полином (7.6) - характеристический полином нашего объекта или системы.

Рассмотрим частотную характеристику:

.

Для того чтобы объект или система были асимптотически устойчивы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф (годограф Михайлова), начинающийся на положительной вещественной полуоси, монотонно поворачивался вокруг начала координат на угол (где n - степень характеристического полинома) против часовой стрелки, при изменении частоты .

Применяя этот критерий к нашему объекту, можно сразу сказать, что объект является неустойчивым, так как при , вследствие чего годограф начинается не на положительной вещественной полуоси, а в нуле.

Покажем это, построив частотный годограф Михайлова. Будем строить в Matlab:

>> omega=[0:0.1:10];

>> s=omega*1i;

>> poly=s.^3+2.5.*s.^2;

>> polyreal=real(poly);

>> polyimag=imag(poly);

>> plot(polyreal,polyimag)



Рис. 13

Анализируя график, изображенный на Рис. 13., видно, что годограф начинается в нуле и охватывает всего два квадранта (из нужных трех). Из этого можно сделать вывод, что данный объект неустойчив по критерию Михайлова.

6.1.6 Критерий Найквиста

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы , не охватывает точку . Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический полином имеет корней в правой полуплоскости, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ охватывала точку в положительном направлении раза.

Если передаточная функция разомкнутой системы не содержит корней в правой полуплоскости, то замкнутая система будет устойчива, если АФЧХ характеристика не охватывает точку (-1;j0) комплексной плоскости.



Итак, передаточная характеристика имеет вид:

.

Так как в знаменателе передаточной функции есть нулевой корень кратности 2 необходимо дополнить дугой бесконечного радиуса на два квадранта в отрицательном направлении. Видно, что характеристика будет охватывать точку и, следовательно, непрерывная замкнутая система, по критерию Найквиста, будет неустойчива.

Вывод: проанализировав нашу систему по нескольким критериям можно сделать вывод, что система не является устойчивой, система так же неустойчива, при замыкании ее обратной связью.

6.2 Исследование устойчивости дискретного объекта

6.2.1 Корневой критерий

Анализ устойчивости сводится к анализу линейной дискретной системы:



. (7.10)

Можно сделать замену базиса, вследствие чего получим систему:

. (7.11)

Тогда если , то дискретный объект или система устойчива.

Исходя из этого, можно сформулировать критерий:

Необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости объекта или системы дискретного типа

Проверим выполнение этого условия применительно к нашему объекту:

abs(eig(ag))

ans =

1.0000

1.0000

0.7788

Видно, что условие не выполняется (два корня равны единице), следовательно, объект неустойчив.

6.2.2 Критерий Ляпунова

Критерий Ляпунова формулировался в пункте 7.1.2.

Для объекта или системы дискретного типа матричное алгебраическое уравнение Ляпунова будет выглядеть следующим образом:



(7.12)

Для устойчивости объекта или системы необходимо, чтобы уравнение (7.12) имело своим решением - симметричную положительно определенную матрицу.

Возьмем - единичную матрицу, а

- как и для непрерывной системы.

Проверим выполнение условия Ляпунова для нашего объекта.

Подставляя матрицы , , в матричное уравнение Ляпунова, получим:

>> Pg=lyap(ag',eye(3))

Pg =

-0.9687 -0.2553 -0.2777

-0.2553 -0.8086 -0.2778

-0.2777 -0.2778 -0.5000

Следовательно, дискретный объект устойчив.

6.2.3 Критерий Гурвица

Передаточная функция дискретного объекта, найденная в пункте 4.2 выглядит следующим образом:



(7.13)

Следовательно, характеристический полином для (7.13):

. (7.14)

Для исследования устойчивости дискретного объекта требуется определить расположение корней характеристического полинома относительно окружности единичного радиуса, решив задачу с помощью критерия Гурвица.

При замене происходит отображение единичного круга на всю левую полуплоскость.

После замены получаем:

(7.15)

где (7.16)

Для полинома (7.16) построим матрицу Гурвица:

- матрица Гурвица для дискретного объекта.(7.17)

Последний диагональный минор матрицы равен (-3.90784*10^-7). А по Гурвицу объект или система будет устойчивыми, если все диагональные миноры будут строго положительными. Следовательно исследуемый дискретный объект неустойчив по Гурвицу.



6.2.4 Критерий Шура-Кона

Полином дискретного объекта имеет вид (7.7):

Для него построены определители

Для того чтобы корни характеристического полинома (7.7) удовлетворяли условию устойчивости (т.е. ) необходимо и достаточно строгое чередование знака, то есть при нечетных , при четных , где - определитель порядка 2, который строится из подматриц ,

, . (7.18)

Построим определители для (7.14): .

Коэффициенты полинома:

(7.19)

Тогда:

При :



.

При :

;

При :

Условие строгого чередования знака не выполняется, следовательно, по критерию Шура-Кона все корни характеристического полинома (7.14) не будут по модулю меньше 1, что говорит о том, что исследуемый объект неустойчив.

6.2.5 Критерий Михайлова

Для того, чтобы линейный дискретный объект был асимптотически устойчив, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, получающийся при подстановке л=e^jw в характеристический полином и изменении w от 0 до р проходил вокруг начала координат против часовой стрелки 2n квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения.

Рассмотрим полином (7.14) для дискретного объекта:

.

Необходимо построить частотную характеристику при, если изменяется от 0 до . При этом годограф Михайлова должен обойти 6 квадрантов.

Построим частотный годограф в Matlab:

>> omega=[0:0.0001:pi];

>> q=omega*1i;

>> poly=exp(3.*q)-1.881.*exp(2.*q)+1.8818.*exp(q)-0.000542;

>> polyreal=real(poly);

>> polyimag=imag(poly);

>> plot(polyreal,polyimag)

Рис. 14



Увеличим масштаб, так как на графике видны не все квадранты.

Рис. 15

Рис 16



По графикам можно определить, что частотный годограф Михайлова обходит 5 квадрантов. Для нашего случая годограф должен содержать 6 квадрантов. Поэтому по критерию Михайлова исследуемый дискретный объект также неустойчив.

6.2.6 Критерий Найквиста

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид Чтобы замкнутая импульсная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф при изменении от 0 до обходил точку последовательно в положительном направлении m/2 раз, где m - число полюсов передаточной функции разомкнутой системы , расположенных в полуполосе: .

q1=-0.2548

q2=0.0024-0.02968*i

q3=0.00241+0.02968*i

Рассмотрим диаграмму Найквиста (рис. 12.1.).



Рис. 17

Так же следует учесть в знаменателе передаточной функции находится полином с нулевым корнем кратности 2, поэтому нашу астатичную систему второго порядка необходимо дополнить дугой бесконечного радиуса (рисунок справа), а значит, характеристика будет охватывать точку и непрерывная замкнутая система, по критерию Найквиста, будет неустойчива.

6.3 Выводы об устойчивости непрерывного и дискретного объектов и систем

При помощи приведенных в пунктах 7.1. и 7.2. критериев устойчивости систем автоматического управления проанализировали линейный объект для непрерывного и дискретного случаев. Выяснили, что исследуемый объект является неустойчивым. Анализ критерия Ляпунова для дискретной системы показал, он становится асимптотически устойчивым.



8 Управляемость объектов и систем

Управляемость - возможность перевода объекта из одного заданного состояния в другое заданное состояние за конечное время.

Рассмотрим линейную стационарную систему:

(8.1) (8.2)

где

Система (8.1) называется вполне управляемой, если для любых и любых существует управление , определенное для всех , переводящее объект из состояния в . Аналогично для системы (8.2).

Теорема Калмана - критерий управляемости.

Объект (8.1) [(8.2)] вполне управляем тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости равен размерности вектора состояния .

(8.3)

. (8.4)

7.1 Управляемость непрерывного объекта

Найдем матрицу управляемости и ее ранг. Для этого воспользуемся соотношением (8.3):

>> Sy=[b a*b (a^2)*b]



Sy =

2.5000 -6.2500 15.6250

0 5.5556 -13.8889

0 -27.7778 7.7161

>> rank(Sy)

ans =

3

Ранг матрицы управляемости равен размерности вектор состояния . Следовательно, по критерию Калмана, непрерывный объект является вполне управляемым.

7.2 Управляемость дискретного объекта

Также используем критерий управляемости Калмана. Найдем матрицу управляемости и ранг стандартными средствами Matlab:

>> Syg=[bg ag*bg (ag^2)*bg];

>> vpa(Syg,4)

ans =

0.2212 0.1723 0.1342

0.0256 0.0691 0.1030

-0.1377 -0.4088 -0.6745 >> rank(Syg)



ans =

3

Дискретный объект является вполне управляемым, так как ранг матрицы управляемости равен размерности вектора состояния.



8. Синтез модальных регуляторов

8.1 Непрерывные математические модели

8.1.1 Приведение непрерывной математической модели к каноническому виду

При синтезе модальных регуляторов вначале проверяется управляемость пары (А,В). Затем математическая модель объекта приводится к соответствующей канонической форме, т.е. матрица А приводится к Фробениусову виду, матрица В - к простейшему виду:

(9.1.1.1)

Таким образом, для получения канонической формы математической модели в пространстве состояний:

мы должны произвести замену переменной:

При подстановке получаем:



Помножим наше уравнение слева на Q^-1:

(9.1.1.2)

И выберем Q таким образом, чтобы привести полученное выражение к каноническому виду, т.е.

.

Матрицу Q нужно выбирать следующим образом:

(9.1.1.3)

где Sy - матрица управляемости, Т - матрица следующего вида:

здесь a_i - коэффициенты характеристического уравнения.

В нашем случае матрица управляемости



Характеристический полином имеет вид:

Построим матрицу T:

Значит матрица Q имеет вид:

Q=

Приведем матрицу A к Фробениусовой форме, а матрицу В к простейшей

форме: (9.1.1.4)

Окончательным результатом будет то, что мы привели математическую модель в пространстве состояний к канонической форме.

8.1.2 Выбор настроек и синтез модального регулятора

Теорема: Если пара {А,В} системы (9.1.1.2) вполне управляема, тогда всегда можно построить управление вида , обеспечивающая матрице замкнутой системы

любые заданные собственные значения л₁^уст, л₂^уст

Пусть имеется модель объекта в пространстве состояний:



(9.1.2.1)

И соответствующая ему каноническая форма:

(9.1.2.2)

где - вектор, составленный из коэффициентов характеристического уравнения.

Пусть мы хотим задать некоторое управление для системы (9.1.2.1):

Подставляя полученное выражение для u в (9.1.2.2), получим:

(9.1.2.3)

Получается, что матрица замкнутой системы тоже является Фробениусовой.

Если мы выберем собственные числа для матрицы замкнутой системы (л₁^уст, л₂^уст...), то мы сможем построить характеристическое уравнение замкнутой системы и определить его коэффициенты по теореме Виета. Поэтому для матрицы замкнутой системы мы можем построить такой же вектор a, как и для матрицы разомкнутой системы.



где р - вектор, составленный из коэффициентов характеристического полинома матрицы замкнутой системы. Сравнивая выражение (9.1.2.3) с последним соотношением, находим, что

Окончательно получаем, что

(9.1.2.4)

Определим вектор a:

Lam=eig(a);

p=poly(Lam);

aaa=[p(4),p(3),p(2)]

aaa =

0 0 2.5000

Теперь зададим собственные числа:

Собственные значения модального регулятора для непрерывной системы выбраны исходя из того, что переходного процесса равно 0.1 и чтобы система пришла в равновесное состояние через 10 с.



(9.1.2.5)

По теореме Виета определим коэффициенты характеристического полинома, с данными собственными значениями:

Lu=[-2.5; -1.5; -0.4]

p=poly(Lu)

pu=[ p(4); p(3); p(2)]

Lu =

-2.5000

-1.5000

-0.4000

p =

1.0000 4.4000 5.3500 1.5000

pu =

1.5000

5.3500

4.4000

Вычислим настройку модального регулятора подставляя в (9.1.2.4):



k=inv((Q'))*(aaa'-pu)

k_=Q'*k

az=a+b*k'

ku=1/(c*inv(-az)*b)

k =

-0.7600

-0.8415

0.0243

k_ =

-1.5000

-5.3500

-1.9000

ku =

-0.0243

тогда матрица замкнутой системы имеет вид:

az=a+b*k'

l=eig(az)

az =



-4.4000 -2.1038 0.0608

2.2222 0 0

-11.1111 -11.1111 0

l =

-2.5000

-1.5000

-0.4000

, с собственными числами

Так как собственные числа замкнутой системы совпали, значит модальный регулятор для непрерывной системы синтезирован верно.

8.1.3 Исследование модального регулятора для непрерывной системы

Математическая модель синтезируемой замкнутой системы имеет вид:

,

где - уставка вектора состояния,

- внешнее воздействие.

Необходимо провести анализ переходных процессов в замкнутой системе.



Будем анализировать нашу систему, построенную в среде Simulink по следующей схеме:

Отработка ненулевых начальных условий

Выберем случай, когда величина уставки и возмущения нулевые. В этом случае получаем, что

посмотрим, как будет вести себя объект, когда последняя координата равна 10, остальные все равны 0. Согласно формуле Коши, можно написать:

Где



График представлен далее:

>>initial(ss(az,b,c,d),x0,20) (график на левом рисунке) и среде Simulink(график на правом рисунке)

Видно, что перерегулирование отсутствует, установившееся значение равно нулю, а время переходного процесса , что согласовывается с (9.1.2.5) - нахождение времени переходного процесса через определение собственных корней.

Ступенчатое изменение уставки

Теперь выберем случай, когда начальные условия - нулевые, величина уставки нулевая, а возмущение представляет собой ступенчатую функцию. В этом случае можно записать:

Согласно формуле Коши, имеем:



Предположим, что на выходе необходимо получить значение бокового перемещения равным 1, тогда вектор

Реакция системы на возмущение представлена ниже:

>> step(ss(az,b*ku,c,d),20); (график на левом рисунке) и среде Simulink(график на правом рисунке)

Видно, что перерегулирование отсутствует, установившиеся значение равно заданному, время переходного процесса .

Ступенчатое изменение нагрузки

Рассмотрим случай, когда уставка и начальные условия равны нулю.

А внешнее воздействие представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда.

В данном случае решение имеет вид:



.

График функции выглядит следующим образом:

>> step(ss(az,-b,c,d),20); (график на левом рисунке) и среде Simulink(график на правом рисунке)

Видно, что система не является помехоустойчивой (большая величина установившейся амплитуды), а время переходного процесса

8.2 Дискретные математические модели

8.2.1 Приведение дискретной математической модели к каноническому виду

По аналогии с пунктом 9.1.1 покажем приведение к каноническому виду дискретной модели.

Матрица управляемости для дискретного объекта будет иметь вид:



а характеристический полином: , тогда матрица составленная из коэффициентов характеристического полинома:

Q=

Приведем матрицу A к фробениусовой форме, а матрицу В к простейшей форме:

8.2.2 Выбор настроек и синтез модального регулятора.

В пункте 9.1.2 мы создали регулятор, который преобразует изначальную матрицу состояния к матрице состояние с собственными числами:



Работа непрерывной модели должна повторять работу дискретной, поэтому используем следующие преобразование

где - собственные числа дискретной модели, а - собственные числа непрерывной модели. Теперь мы знаем, как получить вектор собственных значений для дискретной модели, а остальные преобразования по аналогии с выбором настроек для непрерывной модели.

Собственные числа дискретной модели имеют вид:

Тогда коэффициенты характеристического полинома по теореме Виета

тогда матрица замкнутой системы имеет вид:

, с собственными числами

Как видно, собственные числа схожи, что свидетельствует о правильном построении модального регулятора для дискретной модели.



8.2.3 Исследование модального регулятора для дискретной системы

Исследование модального регулятора для дискретной системы включает те же этапы, что и исследование регулятора для непрерывной системы.

Математическая модель синтезируемой замкнутой дискретной системы имеет вид:

, (9.2.3.1)

где - уставка вектора состояния,

- внешнее воздействие.

Анализ реакции замкнутой системы на ненулевые начальные условия

, (9.2.3.2)

Так как выходной переменной является третья компонента вектора состояния, то

начальное условие выберем следующим образом:

В случае дискретной системы решение будет следующим:



Графики представлены ниже:

>> initial(ss(azg,bg,cg,dg,0.1),x0,20) (график на левом рисунке) и среде Simulink(график на правом рисунке):

Видно, что перерегулирование отсутствует, установившееся значение равно нулю, а время переходного процесса . Так же стоит отметить, что характер развития функции схож с характером развития функций в непрерывной модели, что свидетельствует о правильности вычисления параметров регулятора.

Анализ реакции замкнутой системы на изменение задающего воздействия

,

Проанализируем реакцию системы на ступенчатое изменение уставки:

,



где .

Решение задачи будет следующим:

График приведен ниже:

>> step(ss(azg,bg*kug,cg,dg,0.1),20) и среде Simulink(график на правом рисунке)

Видно, что перерегулирование отсутствует, установившиеся значение не равно заданному, а время переходного процесса .

Анализ системы на ступенчатое внешнее воздействие

,



Решение имеет вид:

.

График зависимости приведен ниже:

>> step(ss(azg,-bg,cg,dg,0.1),20)

Время переходного процесса 10с. Можно говорить о меньшей помехоустойчивости дискретной системы по сравнению с непрерывной (чем меньше, тем более помехоустойчива система).



9 Наблюдаемость объектов и систем

При решении задачи синтеза модальных и оптимальных регуляторов управление формируется в виде линейной комбинации координат состояния. Для этого необходимо в каждый момент времени иметь информацию о текущем векторе состояний . А физически можно измерять лишь выходные переменные. Задача заключается в возможности вычисления координат состояния по доступной информации .

Если разрешима задача вычисления компонент вектора состояния по точным измерениям и их производных и их конечных разностей], то объект называется вполне наблюдаемым.

Теорема (Критерий наблюдаемости):

Пусть имеется объект управления, заданный соотношениями

(10.1)

Объект (12.1) является вполне наблюдаемым тогда и только тогда, когда пара является невырожденной, то есть когда

(10.2)

9.1 Наблюдаемость непрерывного объекта

Исследуем непрерывный объект управления (12.1) на наблюдаемость.

Для этого воспользуемся критерием наблюдаемости и соотношением (10.2).

Матрицу наблюдаемости и ее ранг вычислим в среде Matlab:



Sn=[c' a'*c' (a')^2*c']

rank(Sn)

Sn =

0 -11.1111 3.0864

0 -11.1111 0

1.0000 0 0

ans =

3

Либо стандартной функцией Matlab для вычисления матрицы наблюдаемости:

obsv(sys)

ans =

0 0 1.0000

-11.1111 -11.1111 0

3.0864 0 0

Видим, что пара является невырожденной, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размерности вектора состояния, поэтому непрерывный объект управления является вполне наблюдаемым.

9.2 Наблюдаемость дискретного объекта

Исследуем теперь на наблюдаемость дискретный объект управления.

Также используем критерий наблюдаемости объектов управления.

Матрицу наблюдаемости вычисляем по формуле (10.2):

Sng = \\ вычисляем ранг матрицы наблюдаемости

0 -1.0970 -2.1698

0 -1.1110 -2.2220

1.0000 1.0000 1.0000

ans =

3

Sng = \\ стандартная функция Matlab

0 -1.0969 -2.1696

0 -1.1111 -2.2222

1.0000 1.0000 1.0000

Ранг матрицы наблюдаемости равен размерности вектора состояния, поэтому дискретный объект управления также является вполне наблюдаемым.



10. Синтез оптимальных регуляторов

10.1 Синтез оптимальных регуляторов для непрерывной системы

Пусть задан линейный стационарный объект управления с параметрами в виде модели:

И пусть задан функционал (11.1.1)

Требуется найти оптимальное управление в виде функции от вектора состояния:

, которое минимизирует функционал (11.1.1) на движения системы.

Оптимальное управление ищется из функционального уравнения Белмана, и оно равно

(11.1.2)

Матрица P пока неизвестна, она находится, как решение матричного алгебраического уравнения Риккати:

(11.1.3)

Потребуем, чтобы в замкнутой системе был экспоненциальный характер отработки возмущений. А также, чтобы статическая ошибка при подаче единичного воздействия на вход была не больше 5%, и длительность переходного процесса была примерно 10 секунд.

Таким образом, постоянная времени будет равна:

(11.1.4)

Наш объект является вполне управляемым, значит можно проводить синтез управления.

Если рассмотрим вектор состояния z, компоненты которого удовлетворяют следующим соотношениям:, и рассмотрим функционал (11.1.1) для данного вектора, то получим:

(11.1.4)

Определим матрицы R и . Сделаем это по методики Александрова, то есть , а компоненты матрицы выберем следующим образом: . Далее, если есть компонента вектора состояния , то , где - постоянная экспоненциального процесса по i-ой компоненте . Если задан переходный процесс и мы рассматриваем длительность переходного процесса по входу в 5% зону, то . Так как размерность вектора u равна 1, значит . А матрица будет следующая:

, .

.



Нам же нужно получить матрицу Q для функционала (11.1.4). Если представить вектор , где х - это наш вектор состояния, то , а значит . Следовательно, необходимо найти матрицу H. Для этого воспользуемся следующими соотношениями (заданной системой уравнений):

,

а так же тем, что и

Таким образом

, а

Уравнение Риккати решим при помощи стандартной функции care() среды Matlab:

>> [P,L,K,rr]=care(a,b,q)

P = \\ искомая матрица

1.0e+003 *



0.2963 0.2963 -0.0080

0.2963 0.2964 -0.0080

-0.0080 -0.0080 1.3335

L = \\ вектор собственных значений

1.0e+003 *

-1.8518

-0.0022

-0.0003

K = \\ параметры оптимального регулятора

740.7486 740.8596 -20.0000

rr = \\ вектор погрешности

4.4429e-016

Таким образом, параметры оптимального регулятора

10.1.1 Анализ оптимального регулятора для непрерывной модели

Под исследованием оптимального регулятора понимается реакция системы, полученной в результате установки оптимального регулятора, на типичные виды воздействий:

- переходный процесс при ненулевых начальных условиях;

- ступенчатое изменение уставки;

- ступенчатое внешнее воздействие.

Требуется проверить выполнение заданных при синтезе оптимального регулятора параметров: длина переходного процесса и максимальная величина статической ошибки.

Вся теоретическая часть, описанная при исследовании модального регулятора, справедлива и в этом случае, поэтому приведем только графики

Реакция системы на ненулевые начальные условия

.

x0=[0;0;10]

initial(ss(a-b*K, b, c, d), x0,20)

Как видно из графика, время переходного процесса (время входа в 5% зону от установившегося значения), что согласуется с (11.1.4), перерегулирование отсутствует, установившееся значение равно нулю.



Анализ реакции замкнутой системы на изменение задающего воздействия

Az=a-b*K;

Ku=1/(c*inv(-Az)*b);

step(ss(Az, b*K*[0;0;1], c, d), 20)

Как видно из графика время переходного процесса (время входа в 5% зону от установившегося значения), установившееся значение равно заданному (2), перерегулирование отсутствует.

Анализ системы на ступенчатое внешнее воздействие

step(ss(Az,-b,c,d),20);



По построенному графику видно, что система является помехоустойчивой (малая величина установившейся амплитуды), а время переходного процесса

10.2 Синтез оптимального регулятора для дискретной модели

Для дискретной системы задан функционал суммарного типа:

где , ,

, .

Потребуем, чтобы в замкнутой дискретной системе был экспоненциальный характер отработки возмущений, также, чтобы статическая ошибка при подаче единичного воздействия на вход была не больше 5%, и длительность переходного процесса была около 10 секунд.

Расчет матриц полностью совпадает с расчетом в п. 11.1.1, поэтому приведем только вычисление параметров с помощью функции среды «Matlab» для вычисления параметров оптимального регулятора

>>[Pg,Lg,Kg,rrg]=dare(ag,bg,q)

Pg =

1.0e+005 *

5.5279 5.5280 -0.0737

5.5280 5.5281 -0.0739

-0.0737 -0.0739 0.1373

Lg =

0.0000

0.9704

0.8008

Kg =

4.0117 4.1115 -0.1078

rrg =

5.9475e-016

Таким образом, настройка регулятора:



10.2.1 Анализ оптимального регулятора для дискретной модели

Реакция системы на ненулевые начальные условия.

x0=[0;0;10]

initial(ss(ag-bg*Kg,bg,cg,dg,0.1),x0,20)

Как видно из графика, время переходного процесса (время входа в 5% зону от установившегося значения), перерегулирование отсутствует, установившееся значение равно нулю.

Анализ реакции замкнутой системы на изменение задающего воздействия

Предположим, что на выходе необходимо получить значение бокового перемещения равным 1, тогда вектор



step(ss(ag-bg*Kg,bg*kug,cg,dg,0.1),20)

Как видно из графика, время переходного процесса (время входа в 5% зону от установившегося значения), перерегулирование отсутствует, установившееся значение равно заданному (2).

Анализ системы на ступенчатое внешнее воздействие

step(ss(ag-bg*Kg,-bg,cg,dg,0.1),20)



По построенному графику видно, что система является более помехоустойчивой, чем непрерывная при построении оптимального регулятора (величина установившейся амплитуды больше), а время переходного процесса



11. Синтез наблюдателя состояния

Устройства, используемые для нахождения координат состояния, называются наблюдателями состояния. Известны разомкнутые и замкнутые наблюдатели, причем структурная схема таких устройств, предложенная Люенбергером, описывается уравнением:

11.1.1 Синтез наблюдателя состояния для непрерывного объекта

Из системы, приведенной выше, следует, что координаты вектора состояния наблюдателя корректируются в соответствии с невязкой по входным координатам , причем корректирующий сигнал распределяется для каждой из координат состояния в соответствии с усилением, определяемым параметром L , который выбирается из условий устойчивости.

При этом матрица замкнутой системы имеет те же собственные значения, что и стоящие на главной диагонали блоки и . Таким образом, элементы матрицы L определяются по алгоритмам вычисления матрицы К для регулятора состояния.

То есть нужно выбрать коэффициент обратной связи так, чтобы обеспечить заданные собственные значения матрицы замкнутой системы , , …., , в качестве заданных собственных значений возьмем =-2.5, =-1.5 , =-0.4.

Эти значения должны лежать, левея самого крайнего собственного значения матрицы.

, где как известно определяется как в синтезе модального регулятора

a- вектор значений коэффициентов характеристического уравнения матрицы

p - вектор значений коэффициентов характеристического уравнения собственных значений

=-2.5, =-1.5 , =-0.4.

В результате мы получим решение задачи ( причем будет имеет требуемые собственные значения) ,где

Транспонируем предыдущие выражения и получаем

, где L=

Определим параметры наблюдателя состояния в среде Matlab:

Sn=[c' a'*c' a'^2*c']

Sn =

0 -11.1111 3.0864

0 -11.1111 0

1.0000 0 0



T=[p(3), p(2), 1; p(2), 1, 0; 1, 0, 0]

Q=Sn*T

T =

0 2.5000 1.0000

2.5000 1.0000 0

1.0000 0 0

Q =

-24.6913 -11.1111 0

-27.7778 -11.1111 0

0 2.5000 1.0000

Посчитаем параметры наблюдателя для вектора собственных значений [-2.5; -1.5; -0.4].

Вектор параметров наблюдателя определяется по формуле

.

Lam=eig(a);

p=poly(Lam);

aa=[p(4); p(3); p(2)];

Lu=[-2.5; -1.5; -0.4];

p=poly(Lu);

pu=[p(4); p(3); p(2)];

L=-inv(Q')*(aa-pu)



L =

0.0000

-0.0540

1.9000

Теперь проверим правильность найденного решения. Посчитаем собственные значения матрицы :

>> eig(A-L*C)

ans =

-2.5000

-0.4000

-1.5000

Как видно, собственные значения матрицы замкнутой системы с наблюдателем совпадают с заданными собственными значениями.

11.1.2 Исследование наблюдателя состояния для непрерывного объекта

Исследования проводиться аналогично случаю с модальным и оптимальным регулятором

Анализ реакции системы на ненулевые начальные условия

Теперь построим график, используя среду Matlab при помощи функции initial:



initial(ss(az,b,c,d),[0;0;1],20)

Как и следует, по графику видно, что установившееся значение выходной переменной равняется нулю, длительность переходного процесса приблизительно равняется 10с. Как и в исследование модального и оптимального регулятора.

Анализ реакции системы на ступенчатое изменение уставки

Теперь построим график, используя среду Matlab при помощи функции step:

k = inv(c*inv(-az)*b);

step(ss(az,b*k,c,d),20);



Ступенчатое изменение уставки характеризует поведение системы при изменении входного воздействия. Исследуя график, видим, что время переходного процесса близится к 10с. А установившиеся значения к 1 ,как и в исследование модального и оптимального регулятора.

Анализ реакции системы на ступенчатое внешнее воздействие

Теперь построим график, используя среду Matlab при помощи функции step:

step(ss(az,-b,c,d),20)



Реакция на ступенчатое изменение внешнего воздействия характеризует устойчивость полученной системы к помехам. По графику видим, что установившееся значение выходной переменной большое, поэтому можно считать, что система не является помехоустойчивой.

Исследуя график, видим, что время переходного процесса близится к10с. Как и в исследование модального и оптимального регулятора.

Найдем вектор ошибки (сравнение модального регулятора и наблюдателя состояния при разных начальных условиях в среде Simulink).

Если определить вектор ошибки e(t), как , тогда получим:

,

где:



Схема изучения ошибки в среде Simulink:

Первый график - график модального регулятора при начальных условиях [0;0;11].

Второй - график наблюдателя состояния при начальных условиях [0;0;10].



Из графиков видно, что они совпадают в установившемся значении и времени переходного процесса равного 10с.



Из графика видно, что вектор ошибки стремиться к нулю, что говорит о правильности синтеза наблюдателя состояния.

11.2.1 Синтез наблюдателя для дискретной системы

Наблюдатель для дискретного объекта синтезируется аналогично наблюдателю непрерывного объекта. Собственные значения матрицы замкнутой системы с наблюдателем вычисляются по формуле . Для =-2.5, =-1.5 , =-0.4. и периода дискретизации , имеем:

Lug=exp(Lu*0.1)

Lug =

0.7788

0.8607

0.9608