Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины

Математический факультет

Кафедра высшей математики

Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии

Дипломная работа

Исполнитель

студентка группы М - 61 Казак А.М.

Научный руководитель

к.ф. - м.н., доцент Ермаков В.Г.

Рецензент

к.ф. - м.н., ст. преподаватель Вересович П.П.

Гомель 2004 год

РЕФЕРАТ

Дипломная работа страниц, 37 рисунков, 2 таблицы, 1 блок-схема, 11 источников, 1 приложение.

Ключевые слова: тригонометрия, математическое образование, методика обучения, структура учебного материала, структура и содержание курса тригонометрии.

Объектом исследования данной дипломной работы является структура и содержание учебного материала в школьном курсе тригонометрии. Цель работы состоит в выявлении узких мест в строении школьного курса тригонометрии и в отыскании методических средств для компенсации имеющихся недостатков. Для достижения этой цели в работе решены следующие задачи:

- проведен анализ изменений в структуре и содержании курса тригонометрии в процессе проведения реформ математического образования 70-х, 80-х, 90-х годов 20 столетия;

- выявлены наиболее важные для курса тригонометрии связи между содержанием учебника «Алгебра» для 9 класса и содержанием учебника «Геометрия» для 7 - 11 классов;

- составлен пробный вариант учебного пособия для учителей и учащихся по курсу тригонометрии, в котором материал, рассредоточенный в разных учебниках изложен с сохранением всех существенных связей между фактами;

- разработан план специализированного урока, призванный помочь учащимся в восстановлении связей между основными фактами курса тригонометрии. Основным методом исследования является сопоставительный анализ различных учебников по математике и изучение методической литературы. Новизна данного проекта заключается в разработке специальных методических средств для укрепления межпредметных и внутрипредметных связей.

ВВЕДЕНИЕ

Данная дипломная работа посвящена исследованию структурных особенностей учебного материала в школьном курсе тригонометрии.

Вопрос о структуре учебного материала курса тригонометрии является очень важным по многим причинам, так как косвенным подтверждением этого положения является факт, что вопрос о структуре рассматривался неоднократно в процессе подготовки и проведения реформ математического образования.

Например, первый этап реформы датируется 1965 годом, которая в 1968 году подготовила и издала программы по математике для средней школы. Следующий этап реформы 80-е годы. Так, в 1980 году была принята программа, в которой был полнее учтен уровень логического мышления школьников через отказ от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении материала.

Началом современного этапа реформы математического образования (90-е годы) в нашей стране является 1989 год, когда была разработана в русле перестройки школы новая концепция общего среднего образования и подготовлена концепция школьного математического образования, определяемая новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе (более подробно об особенностях этих реформ смотри в главе 1).

Особенностью реформ являлся их перспективный характер. В основных направлениях перестройки школы четко сформулированы требования - обеспечить более высокий уровень преподавания каждого предмета, усовершенствовать учебные планы и программы, учебники и методические пособия [2, с. 3].

В связи с изменением числа часов, отводимых на изучение математики, было принято решение провести перераспределение учебного материала между курсом алгебры VIII класса и курсом алгебры и начал анализа IX - X классов.

До 1985/86 учебного года тригонометрические функции рассматривались только в старших классах. И тогда выпускники выходили из стен средней школы с большим багажом знаний по этому разделу.

С 1986 года в течении двух лет учителя математики, вернее сказать старшеклассники, потеряли 1,5 ч. в неделю по курсу алгебры и начал анализа. (Правда, это обстоятельство было обусловлено большим намерением - введением в учебный план школы нового предмета - основ информатики и вычислительной техники). Потерю часов в старших классах попытались компенсировать, перенеся часть вопросов (главным образом тригонометрии) из старших классов в средние. Таким образом, раздел алгебры и начал анализа, посвященный тригонометрическим функциям и преобразованиям тригонометрических выражений, оказался в курсе алгебры VIII класса десятилетней школы. А в последствии остался в IX классе одинадцатилетки.

Однако ранее изучение названного раздела раскрыло негативную сторону этого новшества.

Имея в процессе изучения, казалось бы, хорошие результаты, на 60 - 70% теряли их к следующему учебному году. Умения не переходили в навыки и, в свою очередь, в знания. Это обстоятельство объясняется следующими тремя факторами.

Первый - изобилие новых формул непривычно для 15-летних учащихся.

Второй - в IX классе тригонометрический материал изучают в конце учебного года, когда учащиеся уже изрядно устали, так как у них идет активная подготовка к итоговой аттестации по меньшей мере по 3-м учебным дисциплинам.

Третий - лишь небольшая (весьма простая) часть материала тригонометрии включалась в письменную аттестационную работу по алгебре за курс основной школы; поэтому в ходе итогового повторения по этому вопросу уделялось мало внимания.

Таким образом, в X классе учителю приходилось начинать почти все сначала. Но тут его ждал неприятный сюрприз: тригонометрический материал «отталкивался» от школьников как инородное тело. Сказывалось отсутствие эффекта новизны. Учащихся не удавалось удивить изучением материала, а без удивления внушить интерес к теме совершенно невозможно.

Очевидно, всему свой черед. Не зря ведь говорят, что перевоспитание - дело куда более сложное, нежели воспитание, осуществляемое в свое время.

Недаром в отечественной школьной математике тригонометрия изучалась только в старшем звене.

Одной из общих причин актуальности вопроса о структуре содержания курса тригонометрии состоит в том, что в математике важны не только отдельные факты, но и связи между ними, причем из-за растянутости процесса во времени эти связи зачастую теряются. Поэтому многие тесно связанные между собой факты, изучение которых разделено во времени, представляет учащимся трудности при изучении нового материала.

В качестве примера можем взять вывод формулы . Для этого нам надо воспользоваться учебником геометрии [ ] и вспомнить теорему о скалярном произведении, которая была рассмотрена в 8 классе.

Эффективность обучения тригонометрии находится в прямой зависимости не только от степени владения логической структурой пособия, но и от уровня усвоения системы всех его внутренних предметных связей, имеющих дидактическую силу.

Преобразования тригонометрических выражений представляет для учащихся нелегкую задачу, особенно на первых порах. Они требуют умения свободно оперировать изученными формулами. Кроме того, здесь осуществляется перенос на новый материал приемов, сформированных при изучении преобразований целых и дробных алгебраических выражений.

Выполнение преобразований тригонометрических выражений рекомендуется начинать с анализа структуры данного выражения и составления плана действий. Часто бывает удобно применять изученные тождества не только «слева направо», но и «справа налево». Например, в некоторых случаях полезно заменить число 1 суммой и т.д.

Навык преобразований тригонометрических выражений с использованием основных тригонометрических тождеств может быть выработан лишь постепенно, в процессе выполнения разнообразных упражнений [4. с. 27-28].

Характерная особенность преобразований тригонометрических выражений состоит в том, что к одному и тому же результату, как правило можно прийти разными путями.

1 ПЕРЕСТРОЙКА СТРУКТУРЫ И СОДЕРЖАНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА ТРИГОНОМЕТРИИ В ПРОЦЕССЕ ПРОВЕДЕНИЯ РЕФОРМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Если во времена Клейна речь шла только о знакомстве школьников с некоторыми завоеваниями математики 17 в., то теперь ставится вопрос о перестройке школьного курса в направлении сближения его с духом и буквой современной математики (т. е. математики середины 20 в.). В реформистском движении этого этапа выделяются три основные направления, делающие акцент на:

а) общеобразовательный характер образования,

б) прикладной, политехнический характер образования,

в) направленность образования на подготовку учащихся к обучению в вузе.

Каждое из этих направлений в известной степени противоречит двум другим, что делает проблему наиболее рационального построения учебных программ очень трудной. Поэтому попытки разных стран перестроить школьное математическое образование на базе основных обобщающих идей математики редко оказывались удачными. Это относилось как к отбору нового материала для школьной программы, так и к вопросу о слиянии «классических» «ядра» и «современных» тем в едином курсе; чаще всего новые понятия сосуществовали рядом со старыми, не работая на них по существу. Дело в том, что очень немногое из «ядра» - традиционного содержания школьного курса математики может быть из нег исключено и, следовательно, не очень многое из современной математики может быть в него включено. Выход подсказывался тем обстоятельством, что и традиционный материал так называемой элементарной математики может быть построен на базе идей и методов современной математики (в то время как традиционная трактовка основана на идеях и методах классической элементарной математики, т. е. математики до 17 в.). Таким образом, стали говорить не только и не столько о преподавании современной математики, сколько о современном преподавании математики, т. е. реформа содержания математического образования должна сопровождаться реформой методов обучения. При этом оказывается, что сама разработка новых методов изучения математики вызывает необходимость в изменении содержания.

Именно на этой основе осуществлялась на этом этапе реформа школьного математического образования в нашей стране. Она датируется 1965 годом, когда под председательством видного математика, вице-президента ААН СССР А.И. Маркушевича и под руководством выдающегося математика современности академика А.Н. Колмогорова была образована комиссия по определению содержания среднего математического образования, которая в 1968 г. подготовила и издала программы по математике для средней школы. Отметим характерные особенности этой программы:

1) Изменение сроков и содержания начального обучения математике: 3 года вместо 4-х; вместо курса арифметики с основной задачей обучение счету - курс математики, т. е. арифметики натуральных чисел и основных величин с элементами алгебры (с ранним введением буквенной символики и уравнений как главного способа решения задач) и геометрии положения.

2) Изменение структуры и названия предметов систематического курса математики: 4 - 5 классы - курс арифметики с элементами алгебры и геометрии с общим названием «математика», 6 - 8 классы - систематические курсы алгебры и планиметрия; 9 - 10 классы - курс «алгебра и начала анализа» и систематический курс стереометрии.

3) Построение всего курса - линейное, устранен излишний концентризм. Но явно выделены три этапа его изучения (4-5, 6-8, 9-10 классы), отличающиеся уровнем изложения, названиями предметов, отдельными учебниками; допускаются некоторые повторения отдельных вопросов на новом уровне. Курс геометрии носит одно название но тоже разделен на два этапа: 4 - 5 - пропедевтический курс; 6 - 8 - систематический курс планиметрии, завершающий ее изучение; 9 - 10 - систематический курс стереометрии, построенный с использованием векторов и координат, дающий представление об аксиоматическом строении геометрии.

4) Устранение из школьного курса математики многих архаических вопросов и частностей, не имеющих ни научного, ни прикладного, ни общеобразовательного значения (например, алгоритма извлечения квадратного корня и т. п.).

5) Из большого числа новых вопросов введение в школьный курс лишь таких, которые имеют широкое общеобразовательное значение, содействуют формированию научного мировоззрения, помогают понять место математики в системе наук и в практической деятельности человека. Это: элементы дифференциального и интегрального исчислений, теории вероятностей, систем счисления, некоторые сведения об ЭВМ и программировании.

6) Особое место элементов теории множеств и математической логики, которые представляют собой непросто новый дополнительный материал образовательного значения, но и язык, на котором излагаются многие вопросы курса (в том числе традиционные). Другие обобщающие и объединяющие математические понятия могут появляться в курсе не как исходные данные, а как итоги изучения, по мере накопления фактов и закономерностей, дающих повод к соответствующим обобщениям (группа, поле, линейное пространство и т.п.).

7) Создание существенно новой для нашей школы формы обучения факультативных занятий по выбору учащихся. Факультативные занятия по математике предполагаются двух видов. Первый - «Дополнительные главы и вопросы математики» - имеет целью углубление программных вопросов; изучение вопросов, примыкающих к программным; и изучение некоторых дополнительных вопросов, важных с образовательной точки зрения и раскрывающих приложения математики. Значительная часть времени выделяется на решение задач по обязательной программе. Кроме того, на ближайшее время этот вид занятий имеет целью помочь учителям освоиться с первым содержанием обучения, идеями и методами, входящими постепенно в новые программы. При этом будет меняться и программа факультативных курсов. Учитель, при обязательности изучения некоторых тем, может в каждом классе с учетом конкретных возможностей и интересов учащихся, выбрать из нескольких предложенных те темы, изучение которых представляется ему наиболее целесообразным.

Второй вид занятий - «Избранные вопросы математики» (программирование, вычислительная математика, векторная алгебра, задачи линейного программирования и др.) рекомендуется, в основном для учащихся старших классов, интересующихся математикой, и только в тех школах, где возможна, работа специалистов по этим вопросам.

Факультативные занятия призваны обеспечить индивидуальное развитие учащихся, основательную подготовку в вуз. Программы факультативных занятий по математике составляются так, что они являются продолжением друг друга, образуют некоторую идейнотеоретически законченную систему. Оценка факультативным занятиям вносится в аттестат.

8) Развитие системы школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением отдельных предметов, который начали создаваться начиная с 1959 г. на базе средних общеобразовательных школ с производственным обучением и хорошо себя зарекомендовали. С 1966 г. организовываются также физикоматематические школы-интернаты при крупных университетах страны. Их основная цель - обеспечить приход в науку талантливых людей, разработка содержит и методики преподавания современных вопросов математики.

Курс математики в школах с математической специализацией состоит из трех предметов - алгебры, математического анализа и геометрии. Это предметы и физика являются профилирующими, преподавание остальных предметов ведется по обычным программам. Прикладным предметов является курс «Программирование и вычислительная математика», но это могут быть и другие приложения математики.

9) В соответствии с содержанием и построением курс математики программы этого этапа реформы предполагают и некоторые новые методы обучения, о которых - пойдет речь в дальнейшем.

Работа по совершенствованию содержания обучения в нашей стране происходит постоянно, следующий этап реформы 80-е годы. При сохранении всего того ценного что апробировано школой и дает возможность обеспечить высокий уровень образования, в программе по математике, находят отражение основные направления развития научно-технического прогресса, современные достижения науки и техники, культуры; усиливается практическая направленность, уточняются требования к знаниям, умениям и навыкам школьников, устраняются перегрузки и т. д.

Так, в 1980 г. была программа, в которой был полнее учтен уровень логического мышления школьников - через отказ от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении материала. Такой подход позволил усилить прикладное содержание школьного курса математики, сделать его менее абстрактным и формализированным, хотя при этом и терялись некоторые достижения предыдущего этапа реформы.

В 1985 г. силами АПН СССР и АН СССР, ведущих специалистов университетов, пединститутов была подготовлена новая учебная программа по математике. В ней предпринята попытка разгрузить содержание обучения и усилить его практическую направленность. С этой целью, при сохранении в основном структуры предыдущей программы, в ней внесены следующие изменения:

1) Увеличены сроки обучения за счет начальной школы; начальная школа - 1 - 4 классы, три этапа средней школы - 5 - 6, 7 - 9, 10 - 11 классы.

2) В структуре программы появились новые разделы («Организация учебно-воспитательного процесса», «Рекомендации по оценке знаний», «Межпредметные связи» и другие), уточняются цели обучения математике на данном этапе. В программе заложены возможности реализации преемственности в обучении математике (пропедевтика, обобщение и развитие понятий, их свойств, логических умений), внутрипредметных и межпредметных связей, связи обучения математики с жизнью и современным производством.

3) Исключены некоторые темы (например, «Координаты и векторы в пространстве», вычисления с логарифмами), хотя такая мера устранения перегрузки учащихся имеет очевидные пределы и может привести к ошибкам (примером такой ошибки, на наш взгляд, является исключение понятий предела и непрерывности).

4) Перераспределен материал некоторых тем между классами, устранена излишняя фрагментарность. Так, например, за счет исключения большого по объему материала о степени с рациональным показателем из курса алгебры неполной средней школы в него введен первоначальный курс тригонометрии (тождественные преобразования тригонометрических выражений). Это разгружает старшие классы, дополняет линию тождественных преобразований выражений, усиливает вычислительную линию и межпредметные связи алгебры и геометрии неполной средней креолы.

5) Введен новый курс «Основы информатики и вычислительной техники». Он насыщен примерами алгоритмов решения математических задач и их реализации с помощью вычислительной техники, что повышает уровень прикладной и политехнической направленности курса математики.

6) В дополнение к программе по каждому классу и предмету в соответствии с разделом программы «Тематическое планирование» разработаны «Обязательные результаты обучения», определяющие для каждого этапа обучения опорный уровень подготовки учащихся по математике, которого должны достичь все учащиеся для получения положительной оценки.

Началом современного этапа реформы математического образования (90-е годы) в нашей стране является 1989 год, когда Госкомитетом СССР по народному образованию была разработана в русле перестройки школы новая концепция общего среднего образования и на ее основе НИИ СиМЩ АПН СССР подготовил концепцию школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного образования, определяемое новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе. Ведущей идеей обновления математического образования признается его гуманизация; ее основные направления, как отмечалось выше, - дифференциация обучения математике, гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, уровневая подготовка учащихся по математике, перестройка учебно-воспитательного процесса в направлении изменения к ученику и создания возможностей для проявления индивидуальности как учащегося, так и учителя. В дополнение к этой концепции в 1995 г. РАО разработан документ «Стандарт среднего математического образования».

Исходя из новых целей обучения математике на современном этапе формы, меняются и принципы отбора содержания. Профессор Г.В.Дорофеев формулирует их следующим образом: 1) информационная емкость, 2) социальная эффективность, 3) интеллектуальная емкость, 4) дифференцированная реализуемость, 5) познавательная емкость, 6) диагностико-прогностическая емкость, 7) возможность изучения смежных предметов на современном уровне развития, 8) преемственность.

Интересно, что некоторыми учеными на Западе - также формулируется новая концепция математического образования, согласно которой:

а) математика должна рассматриваться как деятельность человека, а не как готовый предмет;

б) математика должна внедряться, а не навязываться;

в) обучение должно происходить в форме повторного открытия, а не простой передачи идей;

г) реальность должна быть в большей мере источником математических идей, чем областью их приложений;

д) особое внимание должно быть уделено связям между математическими идеями, а не изолированным фактам;

е) следует обращать внимание на богатство содержания курса, а не на наборы задач;

ж) следует добиваться создания у учащихся мысленных образов предметов, а не достижения концепций;

з) следует искать многосторонние подходы к новым концепциям, а не рассматривать многообразные воплощения этих концепций;

и) главным в изучении математики является понимание, а не навыки.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОСИНУСА, СИНУСА И ТАНГЕНСА ОСТРОГО УГЛА

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Угол, меньший 90?, называется острым углом.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Угол, равный 90?, называется прямым углом.

Так как сумма углов треугольника равна 180?, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

180? - 90?= 90?.

Сторона прямоугольного треугольника, принадлежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Косинус угла обозначается так:

Косинус угла равен отношению катета АС, прилежащего к этому углу, к гипотенузе АВ, т.е.



Рис.1

Теорема 1.1

Косинус угла зависти только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Это означает, что у двух прямоугольных треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А?В?С? - два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах А и А?, равным (рис. 2).

Рис.2

Требуется доказать что

Построим треугольник , равный треугольнику , как показано на рисунке 2. Так как прямые и перпендикулярны прямой , то они параллельны.

Напоминание:

Определение. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

По теореме о пропорциональных отрезках имеем

Напоминание:

Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

А так как по построению

, , то

Теорема доказана.

Синусом угла (обозначается ) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (рис.1).

Тангенсом угла (обозначается ) называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (рис. 1).

Синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят только от величины угла.

Действительно, по теореме Пифагора

(рис.1)

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

По определению

Поставим значение

Так как зависит только от величины угла, то и зависит только от величины угла.

По определению

Разделим числитель и знаменатель на



Отсюда видно, что и тангенс зависит только от величины угла.

Из определения , и получаем следующие правила:

Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на .

Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на .

Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на .

Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны, находить острые углы (рис.3).

Рис.3

а = с

b = c

a = b

2.1 Основные тригонометрические тождества

Одно тождество мы уже знаем:

.

Докажем следующие тождества

Доказательство. Возьмем любой прямоугольный треугольник с углом при вершине , равным (рис.4).

Рис.4

По теореме Пифагора

Разделим обе части равенства на . Получим

Но ,

Таким образом

Это равенство есть тождество. Оно верно для любого острого угла .

Чтобы получить второе тождество, разделим обе части полученного тождества .

Получим

, или .

Если обе части тождества разделить на , то мы получим третье тождество

Значение этих тождеств заключается в том, что они позволяют, зная одну из величин , или , найти две другие.

Задача. Вычислить значение и , если

Решение.

Так как , то .

.

Ответ: , .

2.2 Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов

Теорема 1.2. Для любого острого угла

Доказательство.

Пусть прямоугольный треугольник с острым углом при вершине (рис.5).



Рис.5

Тогда острый угол при вершине равен 90? - . По определению

, , ,

Из второго и третьего равенств получаем

Из первого и четвертого равенств получаем

Теорема доказана.

Задача.

а) Найдем синус, косинус и тангенс угла 45?.

Решение

Для этого построим прямоугольный треугольник с острым углом 45? (рис.6).

Рис.6

Второй его острый угол тоже равен 45?, поэтому треугольник равнобедренный.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Свойство углов равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть катеты треугольника равны а. По тереме Пифагора гипотенуза будет а. Находим

;

;

.

б) Найдем синус, косинус и тангенс угла 30?.

Решение

Возьмем равносторонний треугольник (рис.7).

Рис.7 Рис.8, а

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис.8, а).

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенной из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис.8,б, в).

Рис.8,б Рис.8,в

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.9).

Рис.9

Проведем в нем медиану . Она будет биссектрисой и высотой (по свойству медианы равнобедренного треугольника). Поэтому треугольник прямоугольный с острым углом при вершине , равным 30?. Пусть - сторона равностороннего треугольника, тогда . По теореме Пифагора

.

Значит

;

;

.

Так как , то

;

;

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ

Проведем на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у - оси координат (рис.10).

Рис.10

Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у - осью ординат. Точкой пересечения О - началом координат - каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая ее стрелкой, а другую - отрицательной.

Каждой точке плоскости сопоставим пару чисел - координаты точки абсциссу (х) и ординату (у) по такому правилу.

Через точку проведем прямую, параллельную оси ординат (рис.11).

Рис.11

Она пересечет ось абсцисс х в некоторой точке . Абсциссой точки будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки . Это число будет положительным, если принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если принадлежит отрицательной полуоси. Если точка лежит на оси ординат у, то полагаем х равным нулю.

Ордината (у) точки определяется аналогично. Через точку проведем прямую, параллельную оси абсцисс х (см. рис.11). Она пересечет ось ординат у в некоторой точке . Ординатой точки будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки . Это число будет положительным, если принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если принадлежит отрицательной полуоси. Если точка лежит на оси абсцисс х, то у полагаем равным нулю.

Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например А (х; у) (на первом месте абсцисса, на втором ордината).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части - четверти: I, II, III, IV (рис 12).

Рис.12

В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются и имеют значения, указанные на рисунке.

Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (у=0), а точки оси у (оси ординат) имеют равные нулю абсциссы (х=0). У начала координат абсцисса и ордината равны нулю. Плоскость, на которой введены описанным способом координаты х и у, будем называть плоскостью х у. Произвольную точку на этой плоскости с координатами х и у будем обозначать просто (х; у). Введенные на плоскости координаты х и у называются декартовыми по имени Р. Декарта, который впервые их применил в своих исследованиях.

4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА

4.1 Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого

Отметим на оси х справа от начала координат точку и проведем через нее окружность с центром в т. О (рис.1). Радиус О назовем начальным радиусом.

Рис.1

Повернем начальный радиус около точки О на 70? против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят, что угол поворота равен 70?. Если повернуть начальный радиус около точки О на 70? по часовой стрелке, то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол поворота равен -70?. Углы поворота в 70? и -70? показаны стрелками на рисунке 1.

Вообще при повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при часовой стрелке - отрицательным.

Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 0 до 180. Что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от до .Так, если начальный радиус повернуть против часовой стрелки на 180?, потом еще на 30?, угол поворота будет равным 210?. Если начальный радиус сделает полный оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет равен 360?; если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540? и т.д. На рисунке 2 стрелками показаны углы поворота в 405? и 200?.

Рис.2

Рис.3

Рассмотрим радиусы ОА и ОВ (рис.3). Существует бесконечно много углов поворота, при которых начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ. Так если АОВ=130?, то соответствующие углы поворота будут равны 130? + 360?n, где n - любое ,число.

Например, при n = 0, 1, -1, 2, -2 получаем углы поворота 130?, 490?, -230?, 850?, 590?.

Пусть при повороте на угол начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ. В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОВ, угол называют углом этой четверти. Так, если

0? < < 90?, то - угол I четверти;

90? < < 180?, то - угол II четверти;

180? < < 270?, то - угол III четверти;

270? < < 360?, то - угол IV четверти.

Изобразим четверти на рисунке 4.

Рис.4

Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти. Например, угол в 430? является углом I четверти, так как 430?=360?+70? и 0? < 70? < 90?; угол в 920 является углом III четверти, т.к. 920?=360?2+200? и 180? < 200? < 270?.

Углы 0?, 90?, 180?, 270?, 360?, … не относятся ни к какой четверти.

В курсе геометрии были определены синус, косинус и тангенс угла при 0? < < 180?. Теперь распространим эти определения на случай произвольного угла .

Пусть при повороте около точки О на угол начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ (рис.5).

Рис.5

Синусом угла называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

Косинусом угла называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки В к ее ординатам.

В курсе геометрии было показано, что значение синуса, косинуса и тангенса угла , где 0? < < 180?, зависят только от и не зависят от длины радиуса R. И в общем случае , , , а также зависят только от угла . Покажем, например, что не зависят от R.

Док-во

Пусть при повороте луча около точки на угол (рис.6) радиусы и займут положение и .

Рис.6

Обозначим координаты точки через и , а координаты точки через и . Опустим перпендикуляры из точек и на ось х. Прямоугольные треугольники и подобны. Отсюда

, т.е.

(Для того, чтобы вспомнить подобие фигур и признак подобия треугольников снова обратимся к учебнику геометрии А.В. Погорелова в 9 класс, стр. 174).

Т.к. точки и принадлежат одной и той же координатной четверти, то их ординаты и имеют одинаковые знаки. Поэтому

Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда точки и попадают на одну из осей координат. Таким образом, для любого угла отношение не зависит от длины радиуса . Ч. т.д.

Выражения и определены при любом , так как для любого угла поворота можно найти соответствующие значения дробей и . Выражение имеет смысл при любом , кроме углов поворота 90?, 270?, 450?, … , т.к. для этих углов не имеет смысл дробь . Для выражения исключаются углы 0?, 180?, 360?, для которых не имеет смысла дробь .

Каждому допустимому значению соответствует единственное значение , , , и . Поэтому синус, косинус, тангенс и катангенс являются функциями угла . Их называют тригонометрическими функцмями.

4.2 Свойства тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.

Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.

Пусть при повороте радиуса , равного , на угол точка перешла в точку с координатами х и у (см. рис.5). Т.к. , то знак зависит от знака . В I и II четвертях >0, а в III и IV четвертях <0 (рис.7).

Рис.7

Значит, >0, если является углом I и II четверти;

Значит, <0, если является углом III и IV четверти;

Знак зависит от знака , т.к. .

В I и IV четвертях >0, а во II и III четвертях <0 (рис.8).

Знаки косинуса

Рис.8

Т.к. , а , то знаки и зависят от знаков и .

В I и III четвертях и имеют одинаковые знаки, а во II и IV - разные. Значит, >0 и >0, если является углом I и III четверти;

<0 и <0, если является углом II и IV четверти (рис.9).

Рис.9

Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.

Пусть при повороте на угол радиус переходит в радиус , а при повороте на угол - в радиус (рис.10).

Рис.10

Соединив отрезком точки и , получим равнобедренный треугольник . Луч является биссектрисой . Значит, отрезок является медианой и высотой . Отсюда следует, что точки и симметричны относительно оси абсцисс.

Пусть координаты т. равны и , тогда координаты т. равны и -. Пользуясь этим, найдем, что

Получили формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и катангенсами противоположных углов:

Например,

,

.

Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.

Рассмотрим еще одно свойство тригонометрических функций.

Если при повороте радиуса на угол получен радиус (см. рис.5), то тот же радиус получится и при повороте на угол, отличающийся от на целое число оборотов. Отсюда следует, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Например

Рассмотренные свойства позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 360?.

Например

;

.

4.3 Радианная мера угла

Угол в - это угол, который опишет начальный радиус, совершив часть полного оборота вокруг своей начальной точки против часовой стрелки.

часть градуса называется минутой (обозначают ).

часть минуты называется секундой (обозначают ).

Как известно, углы измеряются в градусах, минутах, секундах. Эти единицы измерения связаны между собой соотношениями

Кроме указанных, используется также единица измерения углов, называемая радианом.

Угол в 1 радиан есть центральный угол, опирающийся на такую дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла (рис.11).

Рис.11

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 12 заштрихован один из плоских углов со сторонами и .

Рис.12

Угол, равный 1 радиан, изображен на рисунке 13.



Рис.13

Радианная мера угла, т.е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и длинной окружности с центром в вершине этого угла, подобны между собой (рис.14).

Рис.14

Установим связь между радианным и градусным измерениями углов.

Углу, равному 180?, соответствует полуокружность, т.е. дуга, длина которой равна :

Чтобы найти радианную меру этого угла, надо длину дуги разделить на длину радиуса . Получим:

Следовательно, радианная мера угла в 180? равна

180?=рад.

Отсюда получаем, что радианная мера угла в 1? равна

:1?=рад

Приближенно 1? равен 0,017 рад.

Из равенства 180?=рад также следует, что градусная мера угла в 1 рад равна

:1 рад=

Приближенно 1 рад равен 57?.

Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градусной и от градусной меры к радианной.

1. Выразим в градусах 4,5 рад.

Так как 1 рад=, то

4,5 рад=.

2. Найдем радианную меру угла в 72?

Так как 1?=рад, то

72?=рад =рад1,3 рад.

П

ри записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например вместо равенства

72?=рад пишут: 72?=

Выразим в радианной мере углы 30?, 60?, 60?, 90?, 270? и 360?. Получим

30?=30=

45?=45=

60?=60=

90?=90=

270?=270=

360?=360=.

Радианная мера угла часто используется в тригонометрических выражениях. Так запись означает синус угла в 1 радиан, запись означает синус угла в - 2,5 радиана. Вообще запись , где - произвольное действительное число, означает синус угла, равного радианам.

5 ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

5.1 Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.

Пусть при повороте радиуса вокруг точки на угол получен радиус (рис.15).

Рис.15

По определению

,

где - абсцисса т. , - ее ордината, а - длина радиуса . Отсюда , .

Т.к. т. принадлежит окружности с центром в начале координат, радиус которой равен , то ее координаты удовлетворяют уравнению

- уравнение окружности.

Подставив в это уравнение вместо и выражения и , получим

Разделив обе части последнего равенства на , найдем что

(1)

Равенство (1) верно при любых значениях .

Выясним теперь, как связаны между собой тангенс, синус и косинус одного и того же угла.

По определению

. Т.к. , ,

.

Таким образом

(2)

Аналогично ,

т.е. (3)

Равенство (2) верно при всех значениях , при которых , а рав-во (3) верно при всех значениях , при которых .

С помощью формул (1) - (3) можно получить другие формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Из равенств (2) и (3) получим

, т.е.

(4)

Равенство (4) показывает, как связаны между собой тангенс и котангенс угла . Оно верно при всех значениях , при которых и имеют смысл.

Заметим, что формулу (4) можно получить и непосредственно и определения тангенса и котангенса.

Выведем теперь формулы, выражающие соотношение между тангенсом и косинусом, а также между котангенсом и синусом одного и того же угла.

Разделив обе части рав-ва (1) на , получим

, т.е.

(5)

Если обе части рав-ва (1) разделить на , то будем иметь

, т.е.

(6)

Равенство (5) верно, когда , а рав-во (6), когда .

Равенства (1) - (2) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами.

5.2 Формулы приведения

В курсе геометрии [5, с. 102, 108-113] были определены синус, косинус и тангенс угла , доказаны формулы приведения при 0?<<180?. Теперь мы распространим эти определения на случай произвольного угла . Кроме того здесь появился еще и котангенс угла , который мы уже определили раньше (все рассмотренные нами свойства для ни чем не отличаются от ). Все формулы приведения сведем в две таблицы, поместив в первой из них формулы для углов и , а во второй для углов

и

(в формулах приведения мы перешли к радианной мере угла, но можно перейти и к градусной в случае необходимости).

Таблица 1

Таблица 2

По таблицам легко проследить закономерности, имеющие место для формул приведения. Эти закономерности позволяют сформулировать правило, с помощью которого можно записать любую формулу приведения не прибегая к таблице:

функция в правой части равенства берется с тем же знаком какой имеет исходная функция, если считать, что угол является углом I четверти;

для углов и название исходной функции сохраняется;

для углов и название исходной функции заменяется (косинус на синус, синус на косинус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс)

6 ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

6.1 Формулы сложения тригонометрических функций

Выведем формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Повернем радиус , равный , около точки на угол и на угол . Получим радиусы и (рис12).

Рис.1

Вначале составим цепочку, а затем с помощью ее докажем или выведем формулу косинуса разности



Повторим по цепочке нужный материал для вывода формулы косинуса разности, а для этого рассмотрим отдельный пункт, а затем вернемся к доказательству.

6.2 Понятие вектора

Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим силовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами).

Рассмотрим пример. Пусть на тело действует сила в 8 Н. На рисунке силу изображают отрезком со стрелкой (рис.2).

Рис.2

Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует в выбранном масштабе числовому значению силы. Так, на рисунке 1 сила в 1Н изображена как одна клеточка, поэтому сила в 8 Н изображена 8 клеточками.

Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, приходим к геометрическому понятию вектора.

Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления: от одного конца к другому и наоборот (рис.3).

Рис.3

Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем началом, а другой концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

Определение.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

На рисунке вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например . Первая буква обозначает начало вектора, вторая конец (рис.4).

Рис.4

Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: , , (рис.5).

Рис.5

Для дальнейшего целесообразно условится, что любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор изображается точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой , то данный нулевой вектор можно обозначить , т.е. . Нулевой вектор обозначается также символом .

Длиной (абсолютной величиной или модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина вектора (вектора ) обозначается так: || (||). Длина нулевого вектора считается равной нулю: ||=0.

6.3 Основные свойства векторов

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос (определение и свойства параллельного переноса в этом же 8 классе на стр. 145), который переводит начало и конец одного вектора в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Пусть вектор имеет началом точку , а концом - . Координатами вектора будем называть числа , . Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае или просто . Координаты нулевого вектора равны нулю.

Из формулы

где - расстояние между точками и , следует, что абсолютная величина вектора с координатами равна .

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно:

Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Произведением вектора на число называется вектор

, т.е. .

По определению .

Скалярным определением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Из определения скалярного определения векторов следует, что для любых векторов

, и

.

Действительно, левая часть равенства есть

, а правая

Очевидно, что они равны.

Углом между векторами и называется угол . Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема 1.1.

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство.

Пусть и - данные векторы и - угол между ними. Имеем

или

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и +, а поэтому зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат так, как показано на рис.6.

Рис.6

При таком выборе системы координат координатами вектора будут и , а координатами вектора будут и . Это следует из прямоугольного : , т.к.

,

, т.к. - прямоугольник

или

,

Скалярное произведение

. Т.д.

Из теоремы 1.1 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно:

Если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Продолжение п. 6.1 Формулы сложения тригонометрических функций

Повторив весь нужный материал для доказательства формулы косинуса разности приступим к доказательству.

Доказательство.

Мы остановились на рисунке 1, теперь найдем скалярное произведение векторов и . Пусть координаты т. равны и , координаты т. равны и . Эти же координаты имеют соответственно и векторы и . По определению скалярного произведения векторов:

=+.

Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует, что

, , , .

Подставив значения ,,, в правую часть равенства =+, получим

==

.

Значит

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем

=

Угол между векторами и может быть равен (рис.7), (рис.8) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов.

Рис.7



Рис.8

В любом из этих случаев

Поэтому

Т.к. равно также , то

= (1)

Формулу (1) называют формулой косинуса разности. Косинус разности двух углов равен произведению этих углов плюс произведение синусов этих углов.

С помощью формулы (1) можно легко получить формулу косинуса суммы

(, т.к. косинус является четной функцией, , т.к. синус является нечетной функцией).

Значит, (2)

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.

Выведем теперь формулы синуса суммы и синуса разности.

Используя формулы приведения (которые нами уже были рассмотрены) и формулу (1), получим

Значит, (3)

Синус суммы двух улов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.

Для синуса разности имеем:

Значит, (4)

Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.

Формулы (1) - (4) называют формулами сложения для синуса и косинуса.

Используя формулы (1) - (4) можно вывести формулы сложения для тангенса и котангенса. Выведем например формулу тангенса суммы:

Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на произведение , предполагая, что и . Получим:

Значит, (5)

Аналогично

Аналогично (6)

6.4 Формулы двойного угла

Формулы сложения позволяют выразить , и через тригонометрические функции угла .

Положим в формулах

,

,

Получим тождества

, (1)

, (2)

(3)

Эти тождества называют формулами двойного угла.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Урок - лабиринт

Для создания педагогических ситуаций, стимулирующих познавательную деятельность учащихся, нередко используют игровые приемы и задания, которые способствуют воспитанию у учащихся заинтересованного и созидательного отношения к процессу обучения математике.

Данную игровую форму занятия можно применить на уроках практического повторения с целью систематизации и обобщения материала.

Для тематического повторения отбираются, как правило, самые существенные вопросы раздела. И чтобы завершающий его контроль был максимально продуктивен, можно проводить уроки - лабиринты.

Такое повторение рассматривается, во-первых, как формирующее определенные качества личности: познавательную активность, умение логически мыслить и рационально работать;

во-вторых, для закрепления программного материала.

Недостаточно только вводить в повторение новый материал и новые учебные задачи. Надо включить в активную работу максимальное количество учащихся, привлечь их самих к контролю результатов повторения, дать ощущение успеха, достижения трудного. Поэтому мы организуем непосредственное общение детей друг с другом в процессе решения конкретных учебных задач.