Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

Особенности использования теории вероятностей в сфере транспорта. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата: постановка задачи и ее математическая интерпретация. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 11.09.2014
Размер файла 130,6 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Теория вероятностей возникла в середине 17 в. То, что случайные явления представляют собой не исключение, а правило в реальном мире, было замечено еще в древности. Об этом словами Лукреция Кара прекрасно говорит Альфред Реньи. Попытки математически подойти к изучению случайных явлений делались задолго до Паскаля и Ферма. Во всяком случае, факты устойчивости частот случайных событий, связанных с демографическими данными и потреблением больших городов, были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме. Изучать случайные события с помощью точных методов пытались Кардано и Галилей. Однако начало теории вероятностей на самом деле положила только переписка Паскаля и Ферма по поводу вопросов кавалера де Мере. К тому времени процесс научного познания уже победил; научное мышление уверенно одолевало воззрения теологов, и свободный полет творческой мысли неизбежно приводил к одному из основных вопросов познания: каковы типы закономерностей, господствующих в Природе? Нет ли наряду с механистическим детерминизмом детерминизма более общего, позволяющего охватить явления природы шире и глубже?

На этот вопрос теперь дан определенный ответ: закономерности случайных явлений дают нам детерминизм более широкого типа, который в качестве предельного случая включает детерминизм полный, практически в реальных явлениях не наблюдаемый.

Начиная с Паскаля, Ферма и Гюйгенса, в научный обиход вошли первые понятия теории вероятностей - математической науки о случайных событиях. Эти понятия формировались на примерах изучения азартных игр, но создатели начал теории вероятностей отчетливо понимали общее натурфилософское значение своих рассмотрений. В связи со сказанным полезно привести подлинные слова Гюйгенса, которые содержатся в его трактате «Об азартных играх»: «…я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». Последующее развитие науки в полной мере подтвердило эту точку зрения.

С течением времени изменялся и расширялся объект изучения теории вероятностей. Если в самом начале ее появления, фактически вплоть до конца XVIII века, основной интерес представляло исследование вероятностей случайных событий, то уже в XIX веке центр тяжести переносится на исследование случайных величин. Впрочем, само это понятие формировалось очень долго, и его элементы встречаются уже в работе Гюйгенса. Позднее случайными величинами занимались Муавр, Котс, Даниил Бернулли, Лаплас, Лежандр, Гаусс. Работы упомянутых ученых (кроме Муавра) относились к теории ошибок наблюдений, и здесь по необходимости должно изучать не столько случайные события, сколько случайные величины. Логически четкий смысл понятие случайной величины приобрело только в работах акад. А.Н. Колмогорова, а понятие функции распределения одной из работ А. Ляпунова.

На этом, однако, не прекратилось расширение объекта изучения. Во второй четверти нашего столетия в теорию вероятностей было введено важнейшее понятие - понятие случайного процесса. Его формирование протекало под влиянием физики, биологии, инженерного дела. Суть в том, что как физика и биолога, так и инженера в первую очередь интересует процесс развития явления во времени, а потому рассмотрение только случайных величин, которые не связаны с течением времени, имеет лишь ограниченное значение. И хотя определение случайного процесса связано с именами таких выдающихся исследователей, как А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, Е.Е. Слуцкий, следует все же отметить, что у них были и предшественники - Лаплас, Башелье, Пуанкаре, А.А. Марков. По предложению французского математика Адамара в честь Маркова назван важнейший класс случайных процессов (марковские процессы), для которых все влияние прошлого на развитие процесса в будущем заключается в достигнутом им в настоящий момент состоянии. Вскоре задачи геофизики и других областей естествознания привели к необходимости рассмотрения не только случайных величин, зависящих от одного параметра - времени, но и от многих параметров - времени и положения. Так появились новые объекты изучения - случайные поля.

Само собой разумеется, что центральное понятие теории вероятностей - вероятность - не могло оставаться неизменным на протяжении почти трехсот лет. Хорошо известно, что классическое определение, возникшее в переписке Паскаля и Ферма, оказалось недостаточным тогда, когда наука столкнулась с необходимостью изучения задач страхования, ошибок наблюдения. Разрыв логических основ теории вероятностей с потребностями практики сказывался уже в начале прошлого века и стал совершенно нетерпим в наши дни. Вот почему в последние пятьдесят лет ученые уделяли такое внимание логическим вопросам, вопросам разумного расширения действия понятий теории вероятностей. Это было вызвано потребностями как бурно прогрессирующей практики, предъявившей к теории вероятностей многообразные требования, так и самой математики.

Теоретические основы науки о авиационной техники в СССР были заложены в 50-60-х гг. Их базу составили количественные методы расчёта и анализа и инженерные методы обеспечения при создании и испытаниях изделий авиационной техники. Разработка методов количеств, оценки уровня, дифференцированный подход к оценке влияния различных видов отказов систем на выполняемые летательным аппаратом функции позволили перейти к активному управлению процессом обеспечения на этапах проектирования, экспериментальной отработки и лётно-доводочных испытаний летательных аппаратов. Была создана основа для объективной сравнительной оценки уровней летательных аппаратов различных типов и динамики их изменения во время эксплуатации. Реализация этих методов стала возможной благодаря созданию и широкому внедрению единой отраслевой системы учёта и сбора информации об отказах, выявляемых в эксплуатации, а также благодаря разработке вероятностно-статистических и расчётно-аналитических методов. В 70-х гг. наука о надёжности в авиации получила дальнейшее развитие. Основу её составили комплексные программы обеспечения, опирающиеся на научные методы проектирования, испытаний и эксплуатационной оценки изделий авиационной техники. Цель работы по обеспечению и анализу - изучение причин зарождения и развития неисправностей и создание изделий с заданным и контролируемым уровнем. Сложность решения проблемы возрастает одновременно с увеличением сложности создаваемых изделий и их насыщением автоматическими устройствами и системами, поддерживающими рабочие режимы вблизи пределов устойчивости работы и прочности конструкции. Благодаря применению научных методов обеспечения, учёту предшествующего опыта уровень вновь создаваемых изделий возрастает по сравнению с уровнем прототипов.

1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата.

транспорт вероятность летательный

1.1 Постановка задачи задания №1

Летательный аппарат (ЛА) состоит из

- m двигателей с вероятностей отказа P1, P2,… Pm;

- n дублирующих систем энергосбережения с вероятностей отказа

P, P, PnЭ;

- N c вероятностей отказа Рс каждая.

Катастрофа наступает, если выходит из строя любая (r+1) и более двигателей, либо если все системы энергоснабжения, либо если хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случаи отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью РD.

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P1, одна система энергосбережения с вероятностей отказа P и N вспомогательных подсистем с вероятностей отказа Рс каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом

- двигателей;

- систем энергосбережения;

- вспомогательных подсистем.

Дано

m = 5; Р1 =6•10-4, Р2 =5•10-4, Р3=7•10-4, Р4=2•10 -4, Р5=4•10 -4

r=4 РD=0.1;

n=4 Р=3•10-4, Р=4•10-4, Р=10 -4, Р=6•10 -4;

N=3•103 Pc=6•10-9.

Решение.

Математическая часть

Введем обозначение событий:

- D1, D2, D3, D4 - отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;

- В1, В2, В3, - отказ 1-й, 2-й, и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

Сi - отказ i-ой вспомогательной подсистемы, i = 1,2,, N;

Ек - катастрофа;

- Ekd, Eкэ, Eкc - катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

А) Рассмотрим случай ЛА с дублирующими системами:

В этом случае:

ЕKKDKЭ+EКС. (1.1)

Перейдем к противоположным событиям, будем иметь:

= (1.2)

Из равенства (1.2) в силу соотношения двойственности получим:

ЕK= (1.3)

Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

P(EK)=1 - P()=1-P() (1.4)

Из равенства (1.4) в силу независимости событий ЕKD, ЕKЭ, EКС получим:

P(EK)=1- P• P()• P(EKC)=1 - (1-P(EKD))•(1-P(EKЭ))•P(EKC)). (1.5)

Рассмотрим структуру событий ЕKD, ЕKЭ, EКС и найдем их вероятности, то есть вероятности катастроф, связанных с отказом

двигателей ЕКD

систем энергоснабжения ЕKЭ

вспомогательных подсистем ЕKC

1) Рассмотрим структуру событий ЕKD и найдем P(EKD)= PKD

Так как событие ЕKD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей наступает, если выходят из строя любых (r+1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого г из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью РD. Значит:

ЕKD= ЕKDr+ ЕKD? (r+1), где

Так как в нашем случае число двигателей m = 5, r = 4; то r + 1 = 4 + 1 = 5.

Значит:

ЕKD= ЕKD4+ ЕKD?5 где:

ЕКD4 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r =4 из m=5 двигателей;

ЕKD>5 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за выходы из строя любых (r + 1) = 5 и более двигателей, а в нашем ЕKD>5= ЕKD5 - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа пяти двигателей. Из этого следует, что:

ЕKD?5 = ЕKD5 = D1D2D3D4D5 (1.6)

В свою очередь катастрофа, связанная с отказом ровно r = 4 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (ас вероятностью PD), значит

EKD4=EKED4

Тогда:

EKD= EKD4+ EKD?5= EKED4+ EKD?5

Так как события EKD4, и EKD?5 несовместны, то

P(EKD)=P(EKD4+ EKD?5)= P(EKD4)+ P(EKD?5)=P(EKED4)+P(EKD?5)

а для нашего случая и учитывая (1.6), получим:

P(EKD)=P(EKD4+ EKD?5)= P(EKD4)+ P(EKD?5)=P(EKED4)+P(EKD?5)= P(EKED4)+P(EKD5) = P(EKED4)+ P(D1D2D3D4D5)

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом ровно r=4 двигателей при работающих остальных из пяти имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

ED4 = D1D2D3D4 + D1D2D3D5 + D1D2 D4D5 +

+ D1D3D4D5 +D2D3D4 D5 (1.8)

то есть не работают 5-й, 4-й, 3-й, 2-й, 1-й двигатели из пяти, имеющихся у ЛА.

Замечание.

Тот факт, что события EKD4 и EKD?5 несовместны, можно доказать следующим образом:

EKD4 EKD?5 =< согласно (1.7) >= EKED4 EKD?5=< согласно (1.6) >= EKED4 ЕKD5 = =< согласно (1.6) и (1.8) = EK(D1D2D3D4 + D1D2D3D5 + D1D2D4D5 + D1D3D4D5 +D2D3D4D5) D1D2D3D4D5 = EK ((D1D2D3D5 D1D2D3D4D5)+(D1D2D4D5D1D2D3D4D5)+(D1D3D4D5D1D2D3D4D5)+(D2D3D4D5D1D2D3D4D5)+(D1D2D3D4D1D2D3D4)=

= EK((D1D1)•(D2D2)•(D3D3)•(D4D4) •(D5) + (D1D1)•(D2D2)•(D3D3)•(D4)(D5D5)+(D1D1)•(D2D2)•(D3)•(D4D4)(D5D5) +(D1D1)•(D2)•(D3D3)•(D4D4)(D5D5)+(D1)•(D2D2)•(D3D3)•(D4D4)(D5D5)

Используя тот факт, что A•A = A и A•=O, получим

EKD4 EKD?5 =EK((D1D2D3D4 O) + (D1D2D3 OD5)+ (D1D2 • O • D4D5) + (D1 • O • D3D4D5) + (O •D2D3D4D5)) = O

А как известно, что, если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

По определению условной вероятности имеем:

P(EKD)=P(EK / ED4)•P(ED4)+P()

а в силу независимости событий Di, i=, далее имеем:

P(EK / ED4) • P(ED4)+ P()

Используя (1.7) и несовместимость его (ED4) слагаемых

P(EK / ED4)•(P(D1D2D3D4 ) + P(D1D2D3D5 ) + P(D1D2D4D5)+ P(D1D3D4D5) + P(D2D3D4D5))+)

В силу всех независимых событий Di , i= и потому, что

P()=1-P(Di), получим далее:

P(EK / ED4)•[(P(D1)•P(D2)•P(D3)•(P(D4) •(1-P(D5))+ (P(D1)•P(D2)•P(D3)•(1-P(D4))P(D5)+P(D1)•P(D2)•(1-P(D3))P(D4)P(D5) +P(D1)•(1-P(D2))P(D3)•P(D4)P(D5) +(1-P(D1)• P(D2)• P(D3)•P(D4)P(D5)]+)

Так как P(Di)=Pi, i= и P(EK / ED4)=PD, имеем

P(EKD)=PD[P1P2P3P4•(1-P5)+P1P2P3 •(1 - P4)P5 + P1P2•(1 - P3)• P4P5 + P1•(1 - P2)• P3 P4P5 +(1 - P1)• P2 P3 P4P5]+ P1 P2P3 P4 P5=PD[P1P2P3 P4+ P1P2P3P5+ P1P2P4P5+ P1P3P4P5+ P2P3P4P5]•(1-5PD)• P1P2P3P4P5?PKD;

Если выполняется условие

P «PD для всех i= (1.9)

и учитывая, то что значение вероятности случайного события есть величина, меньшая единицы, то

P1• P2• P3 • P4• P5>0

А значит тоже

(1-5PD)• P1• P2• P3 • P4• P5>0

И тогда имеем

P(EKD)?PKD?PD(P1P2P3P4+ P1P2P3P5+ P1P2P4P5+ P1P3P4P5+ P2P3P4P5) (1.10)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(EKD)?PKD?PD•(P1P2P3P4+ P1P2P3P5+ P1P2P4P5+ P1P3P4P5+ P2P3P4P5)=0.1•(6•10-45•10-47•10-4•2•10-4+6•10-4•5•10-4•7•10-4•4•10-4+6•10-4•5•10-4•2•10-4•4•10-4+6•10-4•7•10-4•2•10-4•4•10-4+5•10-4•7•10-4•2•10-4•4•10-4)=

=0.1•10-16•(420+840+240+336+280)=21.16•10-16 (1.10)

2) Рассмотрим структуру событий Екэ и найдем P(EКЭ)=PКЭ

EКЭ? B1• B2• B3 B4 - катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (п= 4 по условию задачи).

В силу независимости всех событий Bi, i= имеем

P(EКЭ) ?P(B1B2B3 B4)=P(B1) •P(B2) •P(B3)P(B4) =PPPP (1.12)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(EКЭ)?P(B1B2B3 B4)=P(B1) •P(B2) •P(B3)P(B4)=PPPP =3•10-44•10-4•10-4•6•10-4=120•10-16 (1.13)

3) Рассмотрим структуру события екс и найдем Pкс) = Pкс.

Событие Екс наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательной подсистемы, значит

екс?C1+C2+ +CN=

В силу закона двойственности

екс?= •…•=

в силу независимости событий , i= получим

P () ?P(=P() • P()•…• P()==1-P(Ci))

Так как P(Ci)=Pc, i= получим

P ()==1-Pс)=(1-Pc)N

тогда

Pкс)=(1- P ()=1 - (1-Pc)N?PKC

Если выполняется NPC<<1=>

P ()=(1-Pc)N=1-NPC+ PC2- (-1)N PcN ? 1-NPC (1.14)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

Pкс)1-1+NPC=NPC=3•1036•10-9=18•10-6 (1.15)

1.2 Расчетная часть

Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то

P(EК)=1 - (1 - P(EKD))•(1-Pкс))•P())=1-==1 - (1 - PD(P1P2P3P4+ P1P2P3P5+ P1P2P4P5+ P1P3P4P5+ P2P3P4P5)+ (1-5) P1P2P3P4 P5)•(1-PPP P)•(1-Pc)N

Если выполняется условие NPC<<1 и PKD<<1 и PКЭ<<1, то будем далее иметь

PKD+ PКЭ+ NPC=21.16•10-16+120•10-16+18•10-6 ?18•10-6

Так как 21.16•10-16?120•10-16?18•10-6, видно, что PКЭ ? PKD ? Pкс из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.

В) Теперь рассмотрим случай ЛА без дублирующих систем:

P'КЭ= P'; ? P'KD = P1=>

P' (EK)=P1+P+NPC=6•10-4+3•10-4+18•10-6=918•10-6

P'KЭ < P'КD < PКС, а из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.

И, наконец, сравним вероятности P' (EK) и P' (EK):

==51

Вывод

На основании вышеизложенного можно заключить, что наиболее вероятной является катастрофа, связанной с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 51 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.

2. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета задача №2

2.1 Постановка задачи задания №2

Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями надежности Ri(t), для каждого из элементов, где ;

Определить вероятность того, что в интервале (0;в) часов откажут

а) только один элемент;

b) только два элемента;

c) все m элемента.

Дано:

m = 3;

б1 = 0,37; б2 = 0,47; б3 = 0,17;

в = 5;

Решение.

Математическая часть

Введем обозначения:

- A1, A2, A3, A4 - событие, состоящее в том, что отказал только один элемент, только два, все три элемента, ни один элемент не отказал.

- p1, p2, p3 - вероятность отказа 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно; тогда

- q1, q2, q3 - вероятность безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно;

Вероятность p1 отказа 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p2 отказа 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p3 отказа 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

2.2 Расчетная часть

Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находится следующим образом:

Вероятностьотказа только одного элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

;

Вероятность отказа только двух элементов в заданном интервале (0; 5) будет равна:

Вероятность отказа только трех элементов в заданном интервале (0; 5) будет равна:

.

Вероятность безотказной работы всех трёх элементов за время испытания в заданном интервале (0; 5) будет равна:

.

Вывод

На основании изложенного можно заключить, что при заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0; 5) наиболее вероятным являются отказ только двух элементов, а наименее вероятным является отказ только одного элемента, так как:

Вероятность того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно:

Список использованной литературы

1. Сотсков Ю.Н., Нарольская А.Н. Теория расписаний. Методичеcкое пособие. - Мн.: РИО МГВАК, 2008.

2. Сапцин В.М. Высшая математика. Часть 1. - Мн.: РИО МГВАК, 2002.

3. Барковская Л.С., Станишевская Л.В., Черторицкий Ю.Н. Теория вероятностей. Практикум. - Мн.: РИО УО «БГЭУ», 2004.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата, ее сравнение с вероятностями, связанными с дублирующими системами, с отказами двигателей и вспомогательных подсистем. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета.

    контрольная работа [119,4 K], добавлен 28.10.2012

  • Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.

    задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011

  • Сущность и предмет теории вероятностей, отражающей закономерности, присущие случайным явлениям массового характера. Изучение ею закономерностей массовых однородных случайных явлений. Описание наиболее популярных в теории вероятностей экспериментов.

    презентация [474,2 K], добавлен 17.08.2015

  • Изучение теории вероятностей в ходе школьной программы позволяет развивать у школьников логическое мышление, способность абстрагировать, выделять суть. История теории вероятностей и ее научные основы. Виды событий. Операции со случайными событиями.

    дипломная работа [88,6 K], добавлен 22.01.2009

  • Теория вероятности как математическая наука, изучающая закономерность в массовых однородных случаях, явлениях и процессах, предмет, основные понятия и элементарные события. Определение вероятности события. Анализ основных теорем теории вероятностей.

    шпаргалка [777,8 K], добавлен 24.12.2010

  • Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья в области решения первичных задач теории вероятностей. Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей. Работа Х. Гюйгенса. Первые исследования по демографии. Формирование понятия геометрической вероятности.

    курсовая работа [115,9 K], добавлен 24.11.2010

  • Пространство элементарных событий. Понятие совместных и несовместных событий и их вероятностей. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин. Числовые характеристики системы. Закон генеральной совокупности и его параметры.

    контрольная работа [98,1 K], добавлен 15.06.2012

  • Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.

    контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2010

  • История и основные этапы становления и развития основ теории вероятности, ее яркие представители и их вклад в развитие данного научного направления. Классификация случайных событий, их разновидности и отличия. Формулы умножения и сложения вероятностей.

    контрольная работа [22,6 K], добавлен 20.12.2009

  • Некоторые крупнейшие советские ученые, труды которых сыграли решающую роль в развитии современной теории вероятностей и её практических приложений. Свойства устойчивых распределений, а также колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей.

    презентация [1,7 M], добавлен 15.05.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.