Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Теория вероятностей возникла в середине 17 в. То, что случайные явления представляют собой не исключение, а правило в реальном мире, было замечено еще в древности. Об этом словами Лукреция Кара прекрасно говорит Альфред Реньи. Попытки математически подойти к изучению случайных явлений делались задолго до Паскаля и Ферма. Во всяком случае, факты устойчивости частот случайных событий, связанных с демографическими данными и потреблением больших городов, были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме. Изучать случайные события с помощью точных методов пытались Кардано и Галилей. Однако начало теории вероятностей на самом деле положила только переписка Паскаля и Ферма по поводу вопросов кавалера де Мере. К тому времени процесс научного познания уже победил; научное мышление уверенно одолевало воззрения теологов, и свободный полет творческой мысли неизбежно приводил к одному из основных вопросов познания: каковы типы закономерностей, господствующих в Природе? Нет ли наряду с механистическим детерминизмом детерминизма более общего, позволяющего охватить явления природы шире и глубже?

На этот вопрос теперь дан определенный ответ: закономерности случайных явлений дают нам детерминизм более широкого типа, который в качестве предельного случая включает детерминизм полный, практически в реальных явлениях не наблюдаемый.

Начиная с Паскаля, Ферма и Гюйгенса, в научный обиход вошли первые понятия теории вероятностей - математической науки о случайных событиях. Эти понятия формировались на примерах изучения азартных игр, но создатели начал теории вероятностей отчетливо понимали общее натурфилософское значение своих рассмотрений. В связи со сказанным полезно привести подлинные слова Гюйгенса, которые содержатся в его трактате «Об азартных играх»: «…я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». Последующее развитие науки в полной мере подтвердило эту точку зрения.

С течением времени изменялся и расширялся объект изучения теории вероятностей. Если в самом начале ее появления, фактически вплоть до конца XVIII века, основной интерес представляло исследование вероятностей случайных событий, то уже в XIX веке центр тяжести переносится на исследование случайных величин. Впрочем, само это понятие формировалось очень долго, и его элементы встречаются уже в работе Гюйгенса. Позднее случайными величинами занимались Муавр, Котс, Даниил Бернулли, Лаплас, Лежандр, Гаусс. Работы упомянутых ученых (кроме Муавра) относились к теории ошибок наблюдений, и здесь по необходимости должно изучать не столько случайные события, сколько случайные величины. Логически четкий смысл понятие случайной величины приобрело только в работах акад. А.Н. Колмогорова, а понятие функции распределения одной из работ А. Ляпунова.

На этом, однако, не прекратилось расширение объекта изучения. Во второй четверти нашего столетия в теорию вероятностей было введено важнейшее понятие - понятие случайного процесса. Его формирование протекало под влиянием физики, биологии, инженерного дела. Суть в том, что как физика и биолога, так и инженера в первую очередь интересует процесс развития явления во времени, а потому рассмотрение только случайных величин, которые не связаны с течением времени, имеет лишь ограниченное значение. И хотя определение случайного процесса связано с именами таких выдающихся исследователей, как А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, Е.Е. Слуцкий, следует все же отметить, что у них были и предшественники - Лаплас, Башелье, Пуанкаре, А.А. Марков. По предложению французского математика Адамара в честь Маркова назван важнейший класс случайных процессов (марковские процессы), для которых все влияние прошлого на развитие процесса в будущем заключается в достигнутом им в настоящий момент состоянии. Вскоре задачи геофизики и других областей естествознания привели к необходимости рассмотрения не только случайных величин, зависящих от одного параметра - времени, но и от многих параметров - времени и положения. Так появились новые объекты изучения - случайные поля.

Само собой разумеется, что центральное понятие теории вероятностей - вероятность - не могло оставаться неизменным на протяжении почти трехсот лет. Хорошо известно, что классическое определение, возникшее в переписке Паскаля и Ферма, оказалось недостаточным тогда, когда наука столкнулась с необходимостью изучения задач страхования, ошибок наблюдения. Разрыв логических основ теории вероятностей с потребностями практики сказывался уже в начале прошлого века и стал совершенно нетерпим в наши дни. Вот почему в последние пятьдесят лет ученые уделяли такое внимание логическим вопросам, вопросам разумного расширения действия понятий теории вероятностей. Это было вызвано потребностями как бурно прогрессирующей практики, предъявившей к теории вероятностей многообразные требования, так и самой математики.

Теоретические основы науки о авиационной техники в СССР были заложены в 50-60-х гг. Их базу составили количественные методы расчёта и анализа и инженерные методы обеспечения при создании и испытаниях изделий авиационной техники. Разработка методов количеств, оценки уровня, дифференцированный подход к оценке влияния различных видов отказов систем на выполняемые летательным аппаратом функции позволили перейти к активному управлению процессом обеспечения на этапах проектирования, экспериментальной отработки и лётно-доводочных испытаний летательных аппаратов. Была создана основа для объективной сравнительной оценки уровней летательных аппаратов различных типов и динамики их изменения во время эксплуатации. Реализация этих методов стала возможной благодаря созданию и широкому внедрению единой отраслевой системы учёта и сбора информации об отказах, выявляемых в эксплуатации, а также благодаря разработке вероятностно-статистических и расчётно-аналитических методов. В 70-х гг. наука о надёжности в авиации получила дальнейшее развитие. Основу её составили комплексные программы обеспечения, опирающиеся на научные методы проектирования, испытаний и эксплуатационной оценки изделий авиационной техники. Цель работы по обеспечению и анализу - изучение причин зарождения и развития неисправностей и создание изделий с заданным и контролируемым уровнем. Сложность решения проблемы возрастает одновременно с увеличением сложности создаваемых изделий и их насыщением автоматическими устройствами и системами, поддерживающими рабочие режимы вблизи пределов устойчивости работы и прочности конструкции. Благодаря применению научных методов обеспечения, учёту предшествующего опыта уровень вновь создаваемых изделий возрастает по сравнению с уровнем прототипов.

1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата.

транспорт вероятность летательный

1.1 Постановка задачи задания №1

Летательный аппарат (ЛА) состоит из

- m двигателей с вероятностей отказа P₁, P₂,… P_m;

- n дублирующих систем энергосбережения с вероятностей отказа

P_1Э, P_2Э,… P_nЭ;

- N c вероятностей отказа Р_с каждая.

Катастрофа наступает, если выходит из строя любая (r+1) и более двигателей, либо если все системы энергоснабжения, либо если хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случаи отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью Р_D.

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P_1, одна система энергосбережения с вероятностей отказа P_1Э и N вспомогательных подсистем с вероятностей отказа Р_с каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом

- двигателей;

- систем энергосбережения;

- вспомогательных подсистем.

Дано

m = 5; Р₁ =6•10^-4, Р₂ =5•10^-4, Р₃=7•10^-4, Р₄=2•10 ^-4, Р₅=4•10 ^-4

r=4 Р_D=0.1;

n=4 Р_1Э=3•10^-4, Р_2Э=4•10^-4, Р_3Э=10 ^-4, Р_4Э=6•10 ^-4;

N=3•10³ P_c=6•10^-9.

Решение.

Математическая часть

Введем обозначение событий:

- D₁, D₂, D₃, D₄ - отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;

- В₁, В₂, В₃, - отказ 1-й, 2-й, и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

С_i - отказ i-ой вспомогательной подсистемы, i = 1,2,…, N;

Е_к - катастрофа;

- E_kd, E_кэ, E_кc - катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

А) Рассмотрим случай ЛА с дублирующими системами:

В этом случае:

Е_K=Е_KD+Е_KЭ+E_КС. (1.1)

Перейдем к противоположным событиям, будем иметь:

= (1.2)

Из равенства (1.2) в силу соотношения двойственности получим:

Е_K=•• (1.3)

Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

P(E_K)=1 - P()=1-P(••) (1.4)

Из равенства (1.4) в силу независимости событий Е_KD, Е_KЭ, E_КС получим:

P(E_K)=1- P• P()• P(E_KC)=1 - (1-P(E_KD))•(1-P(E_KЭ))•P(E_KC)). (1.5)

Рассмотрим структуру событий Е_KD, Е_KЭ, E_КС и найдем их вероятности, то есть вероятности катастроф, связанных с отказом

двигателей Е_КD

систем энергоснабжения Е_KЭ

вспомогательных подсистем Е_KC

1) Рассмотрим структуру событий Е_KD и найдем P(E_KD)= P_KD

Так как событие Е_KD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей наступает, если выходят из строя любых (r+1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого г из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью Р_D. Значит:

Е_KD= Е_KDr+ Е_{KD? (r+1)}, где

Так как в нашем случае число двигателей m = 5, r = 4; то r + 1 = 4 + 1 = 5.

Значит:

Е_KD= Е_KD4+ Е_KD?5 где:

Е_КD4 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r =4 из m=5 двигателей;

Е_KD>5 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за выходы из строя любых (r + 1) = 5 и более двигателей, а в нашем Е_KD>5= Е_KD5 - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа пяти двигателей. Из этого следует, что:

Е_KD?5 = Е_KD5 = D₁• D₂• D₃• D₄• D₅ (1.6)

В свою очередь катастрофа, связанная с отказом ровно r = 4 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (ас вероятностью P_D), значит

E_KD4=E_K• E_D4

Тогда:

E_KD= E_KD4+ E_KD?5= E_K• E_D4+ E_KD?5

Так как события E_KD4, и E_KD?5 несовместны, то

P(E_KD)=P(E_KD4+ E_KD?5)= P(E_KD4)+ P(E_KD?5)=P(E_K• E_D4)+P(E_KD?5)

а для нашего случая и учитывая (1.6), получим:

P(E_KD)=P(E_KD4+ E_KD?5)= P(E_KD4)+ P(E_KD?5)=P(E_K• E_D4)+P(E_KD?5)= P(E_K• E_D4)+P(E_KD5) = P(E_K• E_D4)+ P(D₁• D₂• D₃• D₄• D₅)

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом ровно r=4 двигателей при работающих остальных из пяти имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

E_D4 = D₁• D₂ • D₃•D₄ + D₁• D₂ • D₃•• D₅ + D₁• D₂ • •D₄•D₅ +

+ D₁•• D₃•D₄•D₅ +• D₂ • D₃•D₄ • D₅ (1.8)

то есть не работают 5-й, 4-й, 3-й, 2-й, 1-й двигатели из пяти, имеющихся у ЛА.

Замечание.

Тот факт, что события E_KD4 и E_KD?5 несовместны, можно доказать следующим образом:

E_KD4• E_KD?5 =< согласно (1.7) >= E_K• E_D4• E_KD?5=< согласно (1.6) >= E_K• E_D4• Е_KD5 = =< согласно (1.6) и (1.8) = E_K(D₁• D₂ • D₃•D₄ + D₁• D₂ • D₃•• D₅ + D₁• D₂ • •D₄•D₅ + D₁•• D₃•D₄•D₅ +• D₂ • D₃•D₄ • D₅) • D₁• D₂• D₃• D₄• D₅ = E_K ((D₁• D₂• D₃• •D₅ D₁• D₂• D₃• D₄•D₅)+(D₁• D₂• • D₄•D₅ • D₁• D₂• D₃• D₄•D₅)+(D₁• • D₃• D₄•D₅ • D₁• D₂• D₃• D₄•D₅)+(• D₂• D₃• D₄•D₅ • D₁• D₂• D₃• D₄•D₅)+(D₁• D₂• D₃• D₄• •D₁• D₂• D₃• D₄• )=

= E_K((D₁• D₁)•(D₂ •D₂)•(D₃• D₃)•(D₄• D₄) •(D₅ • ) + (D₁• D₁)•(D₂• D₂)•(D₃• D₃)•(D₄• )•(D₅ • D₅)+(D₁• D₁)•(D₂• D₂)•(D₃• )•(D₄• D₄) •(D₅ • D₅) +(D₁• D₁)•(D₂• )•(D₃• D₃)•(D₄• D₄) •(D₅ • D₅)+(D₁• )•(D₂• D₂)•(D₃• D₃)•(D₄• D₄) •(D₅ • D₅)

Используя тот факт, что A•A = A и A•=O, получим

E_KD4• E_KD?5 =E_K((D₁ •D₂ • D₃ •D₄• O) + (D₁ •D₂ •D₃• O• D₅)+ (D₁ •D₂ • O • D₄•D₅) + (D₁ • O • D₃ •D₄•D₅) + (O •D₂ •D₃ •D₄• D₅)) = O

А как известно, что, если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

По определению условной вероятности имеем:

P(E_KD)=P(E_K / E_D4)•P(E_D4)+P()

а в силу независимости событий D_i, i=, далее имеем:

P(E_K / E_D4) • P(E_D4)+ P()

Используя (1.7) и несовместимость его (E_D4) слагаемых

P(E_K / E_D4)•(P(D₁• D₂ • D₃•D₄ ) + P(D₁• D₂ • D₃•• D_{5 )} + P(D₁• D₂ • •D₄•D₅)+ P(D₁•• D₃•D₄•D₅) + P(• D₂ • D₃•D₄ • D₅))+)

В силу всех независимых событий D_i , i= и потому, что

P()=1-P(D_i), получим далее:

P(E_K / E_D4)•[(P(D₁)•P(D₂)•P(D₃)•(P(D₄) •(1-P(D₅))+ (P(D₁)•P(D₂)•P(D₃)•(1-P(D₄)) •P(D₅)+P(D₁)•P(D₂)•(1-P(D₃))•P(D₄) •P(D₅) +P(D₁)•(1-P(D₂))•P(D₃)•P(D₄) •P(D₅) +(1-P(D₁)• P(D₂)• P(D₃)•P(D₄) •P(D₅)]+)

Так как P(D_i)=P_i, i= и P(E_K / E_D4)=P_D, имеем

P(E_KD)=P_D•[P₁• P₂• P₃ •P₄•(1-P₅)+P₁• P₂• P₃ •(1 - P₄)•P₅ + P₁• P₂•(1 - P₃)• P₄•P₅ + P₁•(1 - P₂)• P₃• P₄•P₅ +(1 - P₁)• P₂• P₃• P₄•P₅]+ P₁• P₂• P₃ • P₄ •P₅=P_D•[P₁• P₂• P₃• P₄+ P₁• P₂• P₃•P₅+ P₁• P₂• P₄•P₅+ P₁• P₃• P₄•P₅+ P₂• P₃• P₄•P₅]•(1-5P_D)• P₁• P₂• P₃ • P₄•P₅?P_KD;

Если выполняется условие

P «P_D для всех i= (1.9)

и учитывая, то что значение вероятности случайного события есть величина, меньшая единицы, то

P₁• P₂• P₃ • P₄• P₅>0

А значит тоже

(1-5P_D)• P₁• P₂• P₃ • P₄• P₅>0

И тогда имеем

P(E_KD)?P_KD?P_D•(P₁• P₂• P₃• P₄+ P₁• P₂• P₃•P₅+ P₁• P₂• P₄•P₅+ P₁• P₃• P₄•P₅+ P₂• P₃• P₄•P₅) (1.10)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(E_KD)?P_KD?P_D•(P₁• P₂• P₃• P₄+ P₁• P₂• P₃•P₅+ P₁• P₂• P₄•P₅+ P₁• P₃• P₄•P₅+ P₂• P₃• P₄•P₅)=0.1•(6•10^-4•5•10^-4•7•10^-4•2•10^-4+6•10^-4•5•10^-4•7•10^-4•4•10^-4+6•10^-4•5•10^-4•2•10^-4•4•10^-4+6•10^-4•7•10^-4•2•10^-4•4•10^-4+5•10^-4•7•10^-4•2•10^-4•4•10^-4)=

=0.1•10^-16•(420+840+240+336+280)=21.16•10^-16 (1.10)

2) Рассмотрим структуру событий Е_кэ и найдем P(E_КЭ)=P_КЭ

E_КЭ? B₁• B₂• B₃• B₄ - катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (п= 4 по условию задачи).

В силу независимости всех событий B_i, i= имеем

P(E_КЭ) ?P(B₁•B₂•B₃• B₄)=P(B₁) •P(B₂) •P(B₃) •P(B₄) =P_1э•P_2э•P_3э•P_4э (1.12)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(E_КЭ)?P(B₁•B₂•B₃• B₄)=P(B₁) •P(B₂) •P(B₃) •P(B₄)=P_1э•P_2э•P_3э•P_4э =3•10^-4•4•10^-4•10^-4•6•10^-4=120•10^-16 (1.13)

3) Рассмотрим структуру события е_кс и найдем P(е_кс) = P_кс.

Событие Е_кс наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательной подсистемы, значит

е_кс?C₁+C₂+ … +C_N=

В силу закона двойственности

е_кс?= ••…•=

в силу независимости событий , i= получим

P () ?P(=P() • P()•…• P()==1-P(C_i))

Так как P(C_i)=P_c, i= получим

P ()==1-P_с)=(1-P_c)^N

тогда

P(е_кс)=(1- P ()=1 - (1-P_c)^N?P_KC

Если выполняется NP_C<<1=>

P ()=(1-P_c)^N=1-NP_C+ P_C²-… (-1)^N P_c^N ? 1-NP_C (1.14)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(е_кс)1-1+NP_C=NP_C=3•10³•6•10^-9=18•10^-6 (1.15)

1.2 Расчетная часть

Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то

P(E_К)=1 - (1 - P(E_KD))•(1-P(е_кс))•P())=1-==1 - (1 - P_D•(P₁• P₂• P₃• P₄+ P₁• P₂• P₃•P₅+ P₁• P₂• P₄•P₅+ P₁• P₃• P₄•P₅+ P₂• P₃• P₄•P₅)+ (1-5) P₁P₂P₃P₄ P₅)•(1-P_1Э• P_2Э• P_3Э P_4Э)•(1-P_c)^N

Если выполняется условие NP_C<<1 и P_KD<<1 и P_КЭ<<1, то будем далее иметь

P_KD+ P_КЭ+ NP_C=21.16•10^-16+120•10^-16+18•10^-6 ?18•10^-6

Так как 21.16•10^-16?120•10^-16?18•10^-6, видно, что P_КЭ ? P_KD ? Pкс из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.

В) Теперь рассмотрим случай ЛА без дублирующих систем:

P'_КЭ= P'_1Э; ? P'_KD = P₁=>

P' (E_K)=P₁+P_1Э+NP_C=6•10^-4+3•10^-4+18•10^-6=918•10^-6

P'_KЭ < P'_КD < P_КС, а из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.

И, наконец, сравним вероятности P' (E_K) и P' (E_K):

==51

Вывод

На основании вышеизложенного можно заключить, что наиболее вероятной является катастрофа, связанной с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 51 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.

2. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета задача №2

2.1 Постановка задачи задания №2

Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями надежности R_i(t), для каждого из элементов, где ;

Определить вероятность того, что в интервале (0;в) часов откажут

а) только один элемент;

b) только два элемента;

c) все m элемента.

Дано:

m = 3;

б₁ = 0,37; б₂ = 0,47; б₃ = 0,17;

в = 5;

Решение.

Математическая часть

Введем обозначения:

- A₁, A₂, A₃, A₄ - событие, состоящее в том, что отказал только один элемент, только два, все три элемента, ни один элемент не отказал.

- p₁, p₂, p₃ - вероятность отказа 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно; тогда

- q₁, q₂, q₃ - вероятность безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно;

Вероятность p₁ отказа 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p₂ отказа 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p₃ отказа 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

2.2 Расчетная часть

Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находится следующим образом:

Вероятностьотказа только одного элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

;

Вероятность отказа только двух элементов в заданном интервале (0; 5) будет равна:



Вероятность отказа только трех элементов в заданном интервале (0; 5) будет равна:

.

Вероятность безотказной работы всех трёх элементов за время испытания в заданном интервале (0; 5) будет равна:

.

Вывод

На основании изложенного можно заключить, что при заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0; 5) наиболее вероятным являются отказ только двух элементов, а наименее вероятным является отказ только одного элемента, так как:

Вероятность того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно:

Список использованной литературы

1. Сотсков Ю.Н., Нарольская А.Н. Теория расписаний. Методичеcкое пособие. - Мн.: РИО МГВАК, 2008.

2. Сапцин В.М. Высшая математика. Часть 1. - Мн.: РИО МГВАК, 2002.

3. Барковская Л.С., Станишевская Л.В., Черторицкий Ю.Н. Теория вероятностей. Практикум. - Мн.: РИО УО «БГЭУ», 2004.

Размещено на Allbest.ru