§1. История развития теории вероятностей

Теорию вероятностей можно описательно определить как математическую теорию случайных явлений.

В повседневной жизни мы часто пользуемся словами "вероятность", "шанс" и т.д. "К вечеру, вероятно, пойдет дождь", "вероятнее всего, мы на всю неделю поедем в деревню", "это совершенно невероятно!", "есть шанс, что успешно сдам экзамен" и т.д. - все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие.

Вероятность математическая - числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторятся неограниченное число раз условиях.

Во второй половине XIX века вероятность вошла в физику в процессе разработки молекулярно-кинетической теории.

Понятие вероятности разрабатывается наукой уже в течении столетий, а многие ученые-исследователи указывают на его незавершенность и неясность. "Все говорят о вероятности, но никто не может сказать что это такое" [Биркгар, 1952]

С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением частиц (молекул), встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятностных) и т.п. еще в древности делались попытки сбора и анализа некоторых статистических материалов - все это создавало почву для выработки новых научных понятий, в том числе и понятия вероятности. Но античная наука не дошла до выделения этого понятия.

В средневековье мы наблюдаем разрозненные попытки осмыслить встречающиеся вероятностные рассуждения.

В работах Л. Пачоли, Н. Тарталья и в первую очередь Д. Кардано уже делались попытки выделить новые понятия - отношения шансов - при решении ряда специфических задач, прежде всего комбинаторных.

К середине XVII в. вероятностные вопросы и проблемы привлекли внимание ученых Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса. В этот период были выработаны первые понятия, такие как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), установлены первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения.

Развитие теории вероятностей в начале XX века привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических основ. Возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия - вероятности.

Первые работы того периода связанны с именами С.Н. Берштейна, Мизеса, Э. Бореля. окончательное становление аксиоматики произошло в 30-е годы XX века. Это произошло благодаря А.Н. Космогорову. В этот период понятие вероятности проникает почти во все сферы человеческой деятельности, становясь одним из основных понятий современной науки.

§2. Виды событий

События в материальном мире можно разбить на три категории -достоверные, невозможные и случайные. Например, если подбросить игральную кость, то достоверно, что число выпавших очков будет натуральным числом, невозможно, чтобы это число равнялось 7, и возможно, что оно будет равно 5, а при других будут выпадать другие значения очков: 1,2,3,4 или 6.

Определение 1. случайными событиями называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

Примеры:

1. выпадение герба при бросании одной монеты.

2. выпадение четырех очков при бросании игральной кости - случайные события.

Определение 2. Случайное событие, которое обязательно наступит, называется достоверным событием и обозначается буквой щ.

Примеры:

3. выпадение герба или цифры при подбрасывании одной монеты;

4. выигрыш, проигрыш или ничья в матче двух футбольных команд - достоверные события.

Определение 3. Событие определяется невозможным, если оно не содержит никакого множества исходов и обозначается буквой __.

При любом исходе испытания это событие не происходит. Иными словами, невозможное событие состоит из пустого множества исходов.

Примеры:

5. выпадение более 6 очков при подбрасывании игрального кубика;

6. выпадение цифры и герба одновременно при подбрасывании одной монеты - невозможные события.

§3. Вероятностное пространство

Представим, что некоторый прямоугольник Е мы разрезали (рис 1) на n прямоугольных пронумерованных карточек еi (i=1,2,3,... .,n). допустим, после хорошей перестановки одну карточку наугад вытаскиваем из всей стопки. При такой операции:

· одно из событий "вытащена одна карточка" непременно произойдет;

· при одном испытании вытаскивание любой из карточек появляется в одном и только одном исход; например, если была вытащена карточка 17, т.е. произошло событие е17, то в это же время не могло произойти событие е5, состоящее в вытаскивании карточки с номером 5

Рис 1. Рис. 2.

События ei, состоящие в появлении карточки с номером i (i=1,2,3,…. n), могут послужить примером элементарных событий, а прямоугольник е - примером пространства элементарных событий, связанных с реализацией испытания S - выталкиванием одной карточки после разреза прямоугольника на Е на маленькие прямоугольники и вытаскивания случайной карточки после тщательной перестановки.

Определение 1. Пространство элементарных событий (полная группа событий) множество событий таких, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

Пространство элементарных событий Е, определенное бросанием игральной кости, представляет события, где еi выпало n очков (n=1,2,3,4,5,6)

Рассмотрим события (рис 2):

А-"выпало четное число очков"

В-"выпало не меньше 2 очков"

С-"выпало не больше 2 очков"

А произошло, если произошло одно из элементарных событий е2, е4, е6. Выразим это символом е2еА, е4еА, е6еА.

Тогда: е2

е3 е1

е4 = еВ, =еС

е5 е2

е6

Поскольку е2, е4, е6 есть некоторые из элементов

Пространства Е={е1, е2, е3, е4, е5, е6}, эту тройку удобно назвать подпространством (частью) пространства Е значит, событие А можно рассматривать как пространство ему благоприятствующих элементарных событий {е2; е3; е4; е5; е6}, событие С - как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий {е1, е2}. Если ei не благоприятствует событию с-то пишут ei=A.

Реализация испытаний S однозначно определяет пространство элементарных событий Е. Любое случайное событие Н связанное с испытанием S, можно рассматривать как подпространство благоприятствующих этому событию элементарных событий пространства Е. Изобразить его можно некоторой фигурой, построенной из клеточек символи-

зирующих элементарные события, благоприятствующие событию Н.

Например, событие Н1-"выпало меньше трех очков"-может быть изображено одной заштрихованной фигурой (рис3), а событие Н6-"выпало больше 2 или меньше 5 очков" - двумя фигурами (рис 4).

§4. Операции над случайными событиями

п.1. Отношения между событиями.

Сравним следующие события: А - появление двух очков при бросании игральной кости., В-появление четного числа очков при бросании игральной кости.

Замечаем следующие соотношения между событиями, если произошло А, то тем самым произошло и В.

Событие А является частью события В состоит в осуществлении трех элементарных событий: "появление 2 очков", "появление 4 очков", "появление 6 очков", а событие А - одним из них - "появление двух очков".

Определение 1. Говорят, что событие А влечет за собой событие В (говорят так же, что В содержит, является следствием, включает А, А является частью В) и обозначают это символом АсВ (или ВэА), если все исходы, составляющие А, входят и в В.

Возможность представить события как подпространства пространства Е помогает геометрически проиллюстрировать соотношения А и В (рис 5).

Сопоставим следующие события: А-"появление герба при подбрасывании монеты", В - "не появление цифры при подбрасывании монеты".

Рис 5.

Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола или встать на ребро, то можно ввести определение.

Определение 2. Если произошло событие А, то и произошло событие В, и в то же время, если произошло событие В, то произошло событие А. Символическая запись: АсВ и ВсА. Тогда запишем А=В, и будем говорить, что события А и В равносильны.

П.2. Объединение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, е6, а событию В элементарные события е8, е9, е10, е11, е12 (рис 6)

А

Е рис 6. С=АUB

А1

Е рис.7

С1=А1UВ1

Пусть событию С благоприятствуют все элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки.

Событие С назовем объединением А и В. Оно обозначает, что произошло или А, или В.

Пусть теперь событию А1 благоприятствует элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В1 - элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки. (рис 7).

И на этот раз будем считать события С1 объединением событий А1 и В1. но поскольку е5 и е4благоприятсвуют и А1 и В1, то на этот раз означает, что произошло или А1, или В1, или то и другое вместе.

Обобщим и то и другое вместе.

Определение 3. Объединение событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А и В.

Такое соотношение принято обозначать символом U: С=АUВ.

В общем случае:

Определение 4. Объединение событий А1, А2, А3,…. Аn (или А1, или А2,…. ., или Аn, или несколько из них, или всех).

Символически А=А1UА2UА3U... . UАn.

Для случайных событий имеют место закономерности:

АUВ=ВUА

(АUВ) UС=АU(ВUС)

Для операций над событиями часто используют скобки, что бы показать, в какой последовательности следует производить действия.

Например, во второй закономерности (АUВ) UС означает, что сначала нужно найти сумму (объединение) событий А и В, а затем сумму получившегося события и С.

П.3. Пересечение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В - элементарные события (клетки) е3, е4, е5, е6, и е7 (рис 8.)

Пусть событию С благоприятствуют элементарные события, которые представлены заштрихованными клеточками (рис. 8).

Логично событие С назвать пересечением событий А и В. Оно означает, что произошло и А и В.

В таком случае применяется символ С=А?В.

В общем случае пересечение событий определяется так:

Определение 5. пересечение событий А1,A2, А3,…, Аn называется событие А, состоящее в одновременном использовании всех (и А1 и А2,…. и Аn) событий.

Символически: А=А1?А2?... ... ?Аn.

Рис.8.

Примеры:

1. А-"входящий в подъезд человек-мужчина"

В-"входящий в подъезд человек светловолосый"

С-"входящий в подъезд человек светловолосый мужчина"

Событие С происходит при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С=А?В.

2. произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем события:

А - "выбранные числа кратны 2"

В - "выбранные числа кратны 3"

С - "выбранные числа кратны 6

Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет С.

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, а событию В - е5, е6, е7 (рис 9)

А?В=_

Рис.9.

Ясно, что совместное осуществление АиВ невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет.

Определение 6. два события АиВ, пересечение которых - невозможное событие (А?В=_), называются несовместимыми событиями.

Определение 7. два события АиВ называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее событию А, и событию В.

Рассмотрим следующие пары событий:

А1-"выпадение герба при подбрасывании монеты"

А2 - "невыпадение герба при подбрасывании монеты"

В1-"выздоровление больного"

В2-"невыздоровление больного"

С1-"появление новой кометы в текущем году"

С2-"непоявление новой кометы в текущем году"

Естественно события в каждой из пар считать противоположными.

Установим два свойства, которым удовлетворяет любая пара событий:

1. объединение событий каждой из пары - достоверное событие:

А1?А2=_

В1?В2=_

С1?С2=_

Определение 8. если определение событий А и В или В=А, если АиВ противоположные события.

На языке пространства элементарных событий противоположное событие А представляется дополнением события А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис 10).

Рис.10.

§5. Понятие вероятности события

П.1. Классическое понятие вероятности события.

Бросаем игральную кость. Выпасть может или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти события равновозможными? Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Конечно можно предположить, что эти события равновозможные, когда кость является правильным кубом с центром тяжести в своем геометрическом центре, когда она сделана из идеального однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих "тогда" так много, что трудно всех их учесть.

Равновозможными элементарными событиями будем считать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом, появляется чаще другого при многократных испытаниях, производимых в одинаковых условиях.

В таблице 1 рассматриваем случайные события, представляющие подпространства пространства равновозможных элементарных событий (несколько событий называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из этих событий является объективно более возможным, чем другое) определяемых испытанием с игральной костью

Таблица 1.

Эта таблица показывает неодинаковые возможности появления этих событий при одном испытании: более возможно то событие, которому благоприятствует большее число равновозможных элементарных событий данного пространства. Эти числа и могли бы быть численной мерой возможностей появления различных событий, связанных с данным испытанием.

А как сравнить возможности появления событий А1 и В1, которые связанны с различными пространствами элементарных событий?

Пусть в одном ящике 10 черных шаров пронумерованных четными числами 2,4,….18, 20, а в другом 8 белых шаров, пронумерованных числами 1,3,5,7,9,11,13,15. Наугад вынимаем из ящика по одному шару. Пусть А1-"номер черного шара, кратный 3", событие В1-"номер белого шара не больше 5".

Какое из этих событий более возможно?

Событию А1 благоприятствует 3равновозможных события (6,12,18), событию В1 тоже 3 (1,3,5). Может быть А1 и Б1 равновозможные события? Ответить на заданный вопрос можно, только зная количество всех равновозможных элементарных событий пространства, связанного с выниманием белого шара.

Полная информация об этих событиях может быть представлена в форме таблицы 2.:

Таблица 2.

Приходим к выводам:

А) событие В1 более возможное, чем событие А1;

Б) возможность появления некоторого события n удобно измерять отношением m/n, где n - число всех равновозможных элементарных событий вытекающих из условий данного испытания, а m-число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию Н.

Эту удобную меру возможности появления события Н принято называть вероятностью этого события и обозначать символом Р(Н) =m/n.

Определение 1. вероятностью случайного события Называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Это классическое определение вероятности случайного события.

Р=(И) =n/n=1, т. к. число возможных исходов испытания равно числу исходов, благоприятствующих появлению события.

Р=(_) =o/n=o, т. к. число исходов испытания, благоприятствующих появлению невозможного события, равно 0.

П.2. Статистическое определение вероятности

При классическом подходе определения понятия вероятности сводится к более простому понятию - равно возможности элементарных событий. А это понятие основного на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равно возможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.

Какова вероятность выпадения шестерки, при подбрасывании такой кости?

Как известно вероятность выпадения шестерки при подбрасывании правильной игральной кости, равна 1ч6.

Допустим, провели n бросаний такой кости и определили, что шестерка выпала m раз. Отношение mчn назовем статистической частотой появления шестерки. При проведении серии таких испытаний, может случится, что

при подбрасывании кости n раз шестерка выпала m1раз; статистическая частота Р1=m1чn;

при подбрасывании кости n+1раз шестерка выпала m2раз: статистическая частота Р2=m2чn+1;

при подбрасывании кости Nраз шестерка выпала mN раз: статистическая частота РN=mNчN.

Заметим, что для статистических частот р1,р2,р3,…. рN будет характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко сосредотачиваться около вероятности Р=1ч6.

Подбрасывая неправильную кость и определяя статистические частоты появления, например, шестерки, заметил такую же устойчивость этих частот, но эти частоты с возрастанием числа испытаний устойчиво будут сосредотачиваться около некоторого, в результате неправильности игральной кости нам неизвестно числа Р. Это неизвестное число в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании неправильной игральной кости выступает как бы в роли 1ч6 в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании правильной игральной кости. Будем считать это неизвестное число Р вероятностью выпадшей шестерки при бросании неправильной игральной кости. Для каждой неправильной игральной кости это Р будет разное.

Пусть m1чn; m2чn+1;... .; mNчN - статистическая частота наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты)

Определение 2. вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредотачиваются значения статистических частот наступления события А при возрастании числа испытаний.

Это - статистическое определение вероятности случайного события.

П.3. Геометрическое определение вероятности.

Пусть на плоскости задан круг и нем треугольник В. В круг на удачу "бросается точка". Как определить вероятность события Н, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?

При решении этой задачи будем пользоваться следующем исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорционально площади этой части.

Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности Р(А) =mk единиц площади чnk единиц площади = mчn.

На конкретном примере можно увидеть, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий Е и пространство представляющее событие А, были одинакового вида и одинаковых измерений.

Пример

Пусть на плоскости задан круг и определен его сектор ВОС (рис11), <ВОС=б. Рассмотрим вероятности трех событий А1, А2, А3, состоящих в следующем: в круг на удачу бросается точка М. А1-"попадание М1 в сектор ВОС". На дугу окружности наугад бросается точка N. А2-"попадание N на дугу ВОС". На рисунок на удачу бросается вектор OS, начало которого закреплено в точке О.

А3-"попадание OS в угол б"

Пусть ОС=r - радиус круга. Тогдa:

Тот факт, что Р(А1) =Р(А2) =Р(А3), подтверждает вышеизложенное суждение и позволяет обобщить формулу (х):

если событие А состоит в попадании точки М на отрезок [б; в] при ее бросании наугад на отрезок [а; в] (рис.12), то

Р(А) = в - бчв-а;

если позиция А состоит в попадании вектором ОМ в угол б при бросании наугад, когда начало вектора закреплено в точке О (рис13), то Р(А) = бч2р (в радианах) = б ч360°(в градусах);

если событие А состоит в попадании точки М в пространство Т при бросании ее наугад в пространство S, то Р(А) =VтчVs

Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.

Определение 3. вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

П.4. Аксиомотическое определение вероятности

Пусть Щ - произвольное пространство элементарных событий, а И - некоторый класс подмножеств множества Щ.

Класс подмножеств И называется алгеброй событий, если Щ в И и если А; ВЄИ, А+ВЄИ, А/ВЄИ при любом АЄИ, ВЄИ. Отсюда следует, что ?= Щ\ ЩЄИ. Наименьшей системой подмножеств, является алгеброй, очевидно являясь системой И={d, Щ }. Нетрудно проверить следующие утверждение. Если И - система всех подмножеств множества Щ, то и алгебра, если Щ-конечное множество, то система всех подмножеств будет так же конечным числом.

Пример.

Подбрасывание игральной кости один раз. В этом опыте Щ={W1,W2...,W6}, где Wк обозначен исход опыта, заключающийся в выпадении k очков. Имеем шесть исключающих друг друга исходов. Выпишем все события алгебры И, состоящих из всех подмножеств Щ:

{W1},{W2},... . {W6};

{W1,W2},{W1,W3},... . {W5,W6},{W1,W2,W3},... . .;

{W1,W2,W3,W4,W5,W6}= Щ

В этом примере алгебра и состоит из 2=64 событий. Если множества Щ состоит из N элементов, то число всех подмножеств равно 2N. Действительно, число последовательностей из 0 и 1 длины N равно 2N, а между такими последовательностями и подмножествами Щ можно установить взаимнооднозначное соответствие по следующему правилу: элемент с номером i из множества Щ включается в подмножество, соответствующее данной последовательности стоит 1.

Определение 4. числовая функция Р, определенная на классе событий И, называется вероятностью, если выполнимы следующие условия:

А1. не является алгеброй событий;

А2. Р(А) ?0 для любого а АЄИ.

А3. Р(Щ) =1

А4. (аксиома конечной аудитивности)

Если А и В несовместимы, то Р(А+В) =Р(А) +Р(В).

Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой непрерывности:

А5. для любой убывающей последовательности А1эА2э…. эАnэ…событий из И такой, что__Аn= ? имеет место равенство е1m Р(Аn) =0.

Укажите несколько простых свойств вероятности, которые непосредственно следуют из аксиом А2-А4. Из аксиом А3-А4 и равенства А+А= Щ следует, что Р(А) =1-Р(А).

Полагая здесь А= Щ, получим Р(?) =0.

§6. Теоремы о вероятности суммы событий

Определение 1. несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появится вместе.

Примеры.

появление 1,2,4очков при бросании игральной кости;

попадание и промах при одном выстреле - несовместимые события.

Теорема 1. вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий:

Р(А+В) =Р(А) +Р(В) (1)

Докажем эту теорему для схемы случаев.

Пусть возможные исходы опыта сходятся к совокупности случаев. Для наглядности изобразим их в виде n точек.

m n A k n B

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

n

Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А, а k событию В. Тогда Р(А) =mчn; P(B) =kчn.

Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны m+k случаев И

Р(А+В) =m+kчn.

Подставим полученные выражения в формулу (1) получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая события А+В буквой Д и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что: Р(А+В+С) =Р(Д+С) =Р(Д) +Р(С) =Р(А+В) +Р(С) =

=Р(А) +Р(В) +Р(С).

Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Предположим, что она справедлива для n событий: А1, А2,... Аn, и докажем, что она будет справедлива для n+1 событий: А1, А2,... ... Аn,An+1

Обозначим: А1+А2+…. +Аn=C

Имеем: Р(А1+А2+…. +Аn+An+1) =P(C+An+1) =P(C) +P(An+1).

Но т. к. для n событий теорема справедлива, то Р(С) =Р(А1) +Р(А2) +…. +Р(Аn), откуда Р(А1+А2+…+Аn+An+1) =P(A1) +P(A2) +... . P(An) +P(An+1), что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому конечному числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде: Р(?Аi) =?P(Ai)

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Предварительно введем вспомогательное понятие.

Определение 2. говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры.

3) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

4) попадание и промах при выстреле - полные группы событий.

Следствие 1. если события А1, А2,…Аn, образу4ют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: ?P(Ai) =1.

Доказательство. Так как события А1, А2,…. Аn образуют полную группу, это появление хотя бы одного из них - достоверное событие.

P(A1+A2+... +An) =1

Т. к. А1, А2,…. Аn - несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей.

P(A1+A2,... .,+An) =P(A1) +P(A2) +... . +P(An) = ?P(Ai),

откуда ?P(Ai) =1, что и требовалось доказать.

Перед тем, как ввести второе следствие теоремы сложения, определим понятия о "противоположных событиях".

Определение 3. противоположными событиями называются два несовместных события, образующие полную группу.

Событие, противоположное событию А, принято обозначать А.

Примеры.

5) А-попадание при выстреле;

А-промах при выстреле;

6) В-выпадение герба при бросании монеты;

В-выпадение цифры при бросании монеты - противоположные события.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Р(А) +Р(А) =1.

Доказательство. Вспомним для доказательства, что А+А=И, Р(И) =1, А*А= ?, Тогда по теореме 1 получаем:

1=Р(И) =Р(А+А) =Р(А) +Р(А), что и требовалось доказать.

Это следствие есть частный случай следствия 1. оно важно в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А, чем вероятность прямого события А. в этих случаях вычисляют Р(А) и находят Р(А) =1-Р(А).

Пример 7.

Круговая мишень (рис 14) состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле - 0,15, во вторую - 0,23, в третью - 0,17. Найти вероятность промаха.

Решение. Обозначим А-промах при выстреле, тогда А-попадание. Тогда А=А1+А2+А3, где А1, А2, А3-непопадание соответственно в первую, вторую, третью зоны.

По теореме 1 Р(А) =Р(А1) +Р(А2) +Р(А3) =0,15+0,23+0,17=0,55, откуда Р(А) =1-Р(А) =0,45

В ряде случаев приходится вычислять вероятность суммы событий, которые могут быть совместными.

Теорема 2. для любых двух событий справедливо равенство: Р(А+В) =Р(А) +Р(В) - Р(АВ) (2)

Доказательство. Событие А состоит из компонент А*В и А*В, а событие в из компонент А*В и А*В. Поэтому А+В=(АВ) +(АВ) +(АВ) +(АВ) =(АВ) +(АВ) +(АВ), и поскольку входящие в это положение компоненты попорио не пересекаются, то

Р(А+В) =Р(АВ) +Р(АВ) +Р(АВ) (3)

С другой стороны имеем Р(А) =Р(АВ) +Р(АВ); и Р(В) =Р(АВ) +Р(АВ), а потому P(A) +P(B) =2P(AB) +P(AB) +P(AB).

Сравнивая эти равенства с (3) получаем доказываемую формулу (2)

Для произвольного числа событий формула выглядит так: Р(?Ai) = ?P(Ai) - ?P(Ai-Aj) + ?P(AiAjAk)... . +(-1) n-1P(A1A2... An).

В частности при n=3 имеем: Р(А+В+С) =Р(А) +Р(В) +Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) +Р(АВС).

§7. Теорема умножения вероятностей

Условная вероятность.

Второй основной теоремой теории вероятностей является терема умножения вероятностей.

Перед тем как излагать теорему умножения введем важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.

Определение 1. событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет.

Определение 2. событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А является в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет.

Примеры.

1) опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:

А-появления герба на первой монете

В-появление герба на второй монете

В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет; событие А независимо от события В.

2) в урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:

А-появление белого шара у первого лица

В-появление белого шара у второго лица

Вероятность события А до того, как известно что-либо о событие В, равна 2/3. если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной Ѕ, из чего заключаем что событие А зависит от события В.

Определение 3. вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А/В) ?Р(А).

Сформулируем теорему умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Р(АВ) =Р(А) Р(В/А)

Докажем теорему для схемы случаев.

Пусть возможные исходы опыта сводятся n случаям. Изобразим их для наглядности в виде n точек:

…………………………………

Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В благоприятны k случаев. Т.к. мы не предполагали события АиВ несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию В одновременно. Пусть число таких случаев L. Тогда Р(АВ) = L/n; P(A) =m/n

Вычислим Р(В/А), т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место.

Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятны событию А. из них L случаев благоприятны событию В. Следовательно, Р(В/А) =L\n

Подставляя выражения Р(АВ) и Р(А), Р(В/А) в формулу (1) получаем тождество. Теорема доказана.

При применении теоремы умножения безразлично, какое из событий А и В считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать так: Р(АВ) =Р(В) Р(А/В)

Следствие 1. если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство. Дано, что событие А не зависит от события В, т.е. Р(А) =Р(А/В).

Требуется доказать, что событие В не зависит от события А, т.е. Р(В) =Р(В/А) (2)

Будем предполагать, что Р(А) ?0.

Напишем теорему умножения вероятностей в двух формах:

Р(АВ) =Р(А) Р(В/А),

Р(АВ) =Р(В) Р(А/В), откуда

Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А/В) или согласно условию (2)

Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А).

Разделим обе части последнего равенства на Р(А). получим:

Р(В/А) =Р(В), что и требовалось доказать.

Следствие 2. если событие А не зависит от события В, то справедливо равенство:

Р(АВ) =Р(А) Р(В) (3)

Доказательство. Событие А не зависит от события В, если выполняется равенство Р(А/В) =Р(А) (4)

По теореме о вероятности произведения двух событий Р(АВ) =Р(В) Р(А/В). (5)

Если в правой части равенства (5) заменить Р(А/В) на Р(В), то придем к (3), причем Р(В) ?0, то событие А не зависит от события В. Действительно из (3) следует, Р(А) = Р(АВ) чР(В) и следовательно, Р(А) =Р(А/В), что и требовалось доказать.

Пример 3.

В урне 2 белых и 3черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

А-появление двух белых шаров.

Событие А представляет собой произведение двух событий:

А=А1А2, где А1-появление белого шара, при первом вынимании, А2-появление белого шара при втором вынимании.

По теоремам умножения вероятности Р(А) =Р(А1) Р(А2/А1) =2\5*1\4=0,1.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий.

Определение 4. несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

§8. Формула полной вероятности. Теорема гипотез

п.1. Формула полной вероятности.

Следствием обеих основных теорем -теорем сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А1, которое может произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2…Hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) = ?P(Hi) P(A/Hi), (1)

Т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Т.к. гипотезы Н1, Н2,…Нn образуют полную группу, то событие А может появится только в колебании с какой-либо из этих гипотез.:

А=Н1А+Н2А+…+НnA.

Так как гипотезы Н1, Н2,… Нn, несовместны, то комбинации Н1, А1, Н2А,…НnA так же несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: Р(А) =Р(Н1А) +Р(Н2А) +…+Р(НnA) = ?P(Hi) P(A/Hi), что и требовалось доказать.

Пример 1.

Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй урне 3 белых и 1 черный шар; в третьей 2 белых и 2 черных шара.

Некто выбирает одну из урн наугад и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение:

Рассмотрим три гипотезы:

Н1-выбор первой урны

Н2-выбор второй урны

Н3-выбор третьей урны

Н1Н2Н3-полная группа несовместных событий.

Пусть событие А-появление белого шара. Т.к. гипотезы, по условию задачи равно возможны, то Р(Н1) =Р(Н2) =Р(Н3) =1\3

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р(А/Н1) =2\3; Р(А/Н2) =3\4; Р(А/Н3) =1/2.

По формуле полной вероятности

Р(А) =1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36

Ответ: 23\36

П.2. Теорема гипотез.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейса (Байеса).

Поставим следующею задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2,. . Нn. вероятности этих гипотез до опытов известны и равны соответственно Р(Н1),Р(Н2) …,Р(Нn). Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез, в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н1/А) для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

Р(A*Нi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3,... n) или, отбрасывая левую часть

P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)

Откуда P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) чP(A),(i=1,2,3,... . n)

Выражая с P(A) помощью полной вероятности, имеем

P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ч?P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3,... . n) (2)

Формула (2) носит название формулы Бейса или теоремы гипотез

Пример 2. на фабрике 30%продукции производится машиной I, 25% продукции - машиной II, остальная часть продукции - машиной III. У машины I в брак идет 1% сей производимой его продукции, у машины II-1.5%, у машины III-2% наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена машиной I?

Решение.

Введем обозначения для событий.

А-выбранное изделие оказалось браком

Н1-изделие произведено машиной I

H2 - изделие произведено машиной II

H3 - изделие произведено машиной III

P(H1) =0,30; Р(Н2) =0,25; Р(Н3) =0,45

Р(А/Н1) =0,01,

Р(А/Н2) =0,015

Р(А/Н3) =0,02

Р(А) =0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015,

Р(Н1/А) = 0,01*0,30ч0,015=0, 20

Ответ: 20%всех бракованных изделий выпускается машиной I.

§9. Формула Бернулли

Закон больших чисел

Пусть А случайное событие по отношению к некоторому опыту у. Будем интересоваться лишь тем, наступило или не наступило в результате опыта событие А, поэтому примем следующую точку зрения: пространство элементарных событий, связанное с опытом у, состоит только из двух элементов - А и А. Обозначим вероятности этих элементов соответственно, через p и q, (p+q=1).

Допустим теперь, что опыт у в неизменных условиях повторяется определенное число раз, например, 3 раза. Условимся троекратное осуществление у рассматривать как некий новый опыт з. Если по прежнему интересоваться только наступлением или не наступлением А., то следует очевидно принять, что пространство элементарных событий, отвечающее опыту з, состоит из всевозможных последовательностей длины 3: (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), которое можно составить из А и А.

Каждая из указанных последовательностей означает ту или иную последовательность появления или не появления событий А в трех опытах у, например, последовательность (А, А, А), означает, что в первом опыте наступило А, а во втором и третьем - А. Определим, какие вероятности следует приписать каждой из последовательностей (1)

Условие, что все три раза опыт у проводится в неизменных условиях, по смыслу должно означать следующие - исход каждого из трех опытов не зависит от того, какие исходы имели место в остальных двух опытах. Т.е. любая комбинация исходов трех опытов представляет собой тройку независимых событий. В таком случае, элементарному событию (А, А, А), естественно приписать вероятность, равную p*q*q, событию (А, А, А),-вероятность q*y*y и т.д.

Т. о. приходим к следующему описанию вероятностной модели для опыта з (т.е. для трехкратного осуществления опыта у). Пространство Щ элементарных событий есть множество из 2 в 3степени последовательностей. (1). Каждой последовательности сопоставляется в качестве вероятности число р в степени k, q в степени e, где показатели степеней определяют, сколько раз символы А и А входят в выражение для данной последовательности.

Вероятностные модели такого рода называются схемами Бернулли. В общем случае схема Бернулли определяется значением чисел n и p, где n - число повторений исходного опыта у (в предыдущем опыте мы считали n=3), а p-вероятность события А по отношению к опыту у.

Теорема 1. пусть вероятность события А равна p, и пусть Pmn-вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m-раз.

Тогда справедлива формула Бернулли.

Pmn=Cn в степени m *P в степени m *q в степени n-m [20, стр58]

Пример 1.

Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет при этом ровно 3раза?

Решение:

В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна 1\2.

Отсюда: Р10,3=С10в 3степени*(1\2) в 3степени*(1\2) в 7степени=10*9*8ч1*2*3*(1ч2в 10степени) =15\128

Ответ: 15\128

При большом числе испытаний относительная частота появления события мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного это качественного утверждения дает принадлежащий Бернулли закон больших чисел, который уточнил Чебышев.

Теорема 2. Пусть вероятность события А в испытании p равна p, и пусть проводятся серии состоящие из n независимых повторений этого испытания.

Через m обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. тогда для любого положительного числа б выполняется неравенство:

З(|m\n-p|> б) <pqч2во 2степени n (3) [20, стр. 148]

Смысл этого неравенства состоит в том, что выражение mчn равно относительной частоте события А в серии опытов, а |m\n-p|> б означает, что отклонение этой относительной от теоретического значения p. Неравенство |m\n-p|> б означает, что отклонение оказалось больше чем б. Но при постоянном значении б с ростом n правая часть неравенства (3) стремится к нулю. Иными словами, серии в которых отклонение экспериментальной частоты от теоретической велико, составляют малую долю всех возможных серий испытаний.

Из теоремы вытекает утверждение, полученное Бернулли: в условиях теоремы при любом значении б>0 имеем

P(|m\n-p|) > б) =0.

Глава II. Методические особенности изучения основ