Математический анализ

Нахождение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона, проходящих через четыре точки заданной функции, сравнение их степенных представлений. Решение нелинейного дифференциального уравнения методом Эйлера. Решение систем алгебраических уравнений.

Рубрика Математика
Вид задача
Язык русский
Дата добавления 21.06.2009
Размер файла 226,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХПИ»

Кафедра «Вычислительной техники и програмирования»

Расчётно-графическое задание
по курсу «Теория алгоритмов и вычислительные методы»
Харьков - 2005
Исходные данные:

Вариант №

y0

y1

y2

y3

y4

y5

h

x0

64

-0.02

0.604

0.292

-0.512

-1.284

-2.04

0.5

0.3

Задача 1
Исходные данные вводятся в ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенные данные x0 и y0 служат основой формирования двух векторов x=(x0, x1, …, xn) и y=(y0, y1, …, yn) по рекуррентным формулам:

Вычислить скалярное произведение с := (x, y) по алгоритму:

с := 0; i := 0;

while i < n + 1 do c := c + xi · yi;

и оценить аналитически и численно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.

Решение

Поскольку данные представляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью, то

x0 = x0(1+?)

y0 = y0(1+?)

C0 = x0y0(1+?)

При i = 1

При i = 2

x2 = x03(1+?)5

y2 = y0(1+?)3

C2 = x0y0(1+?)5 + x02(1+?)7 + x03y0(1+?)10

При i = 3

x3 = x04(1+?)7

y3 = (1+?)5

C3 = x0y0(1+?)6 + x02(1+?)8 + x03y0(1+?)11 + x04(1+?)14

При i = 4

x4 = x05(1+?)9

y4 = y0(1+?)7

C4 = x0y0(1+?)7 + x02(1+?)9 + x03y0(1+?)12 + x04(1+?)15 + x05y0(1+?)18

Выявим закономерность изменения Ci:

При расчете Cn без учета погрешности исходных данных и погрешности вычисления, получим

Обозначим эту сумму как S1.

Тогда абсолютная погрешность S2

а относительная погрешность

Оценим инструментально относительную и абсолютные погрешности при n = 10

S1 = 0.0923071

S2 = 1.45914·10-6

S3 = 1.58075·10-5

Задача 2

Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность ?ng(x) = ?nG(k) для n = 5.

Решение

Составим таблицу всех повторных разностей:

k

x

y

?y

?2y

?3y

?4y

?5y

0

0.3

0.02

-1.576

0.044

-0.136

0.66

-0.54

1

1.1

-1.556

-1.532

-0.092

0.524

0.12

--

2

1.9

-3.088

-1.624

0.432

0.644

--

--

3

2.7

-4.712

-1.192

1.076

--

--

--

4

3.5

-5.904

-0.116

--

--

--

--

5

4.3

-6.02

--

--

--

--

--

Найдем формулу перехода от x к k:

Выполним проверку, вычислив аналитически конечную разность

?ng(x)= ?nG(k) для n = 5:

Конечные разности, вычисленные аналитически и таблично ?ng(x) = ?nG(k) для n = 5 совпали, следовательно, таблица повторных разностей составлена верно.

Задача 3

Таблично заданную функцию G(k) с целочисленным аргументом представить в виде разложения по факториальным многочленам (z(n) = z · (z-1) · (z-2) · … · (z - n + 1)) и преобразовать его в степенные многочлены G(z) и G(x).

Решение

Представим функцию G(k) в виде разложения по факториальным многочленам:

Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(z):

Выполним проверку при k = 1:

0.604=0.604

Так как результаты совпали, значит степенной многочлен G(z) представлен правильно.

Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). Зная, что получим:

Проверим вычисления при x = 0.8:

0.6045128 ? 0.604

Так как результаты совпали, то вычисления сделаны верно.

Задача 4

Вывести аналитическое выражение суммы для функции целочисленного аргумента G(z). Проверить правильность вычисления полученного выражения прямым суммированием табличных значений G(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).

Решение.

Для вычисления значения суммы используем функцию G(z) в виде разложения по факториальным многочленам, полученным в задаче 3:

где

Для проверки, просуммируем значения G(k) из таблицы:

-0.02 + 0.604 + 0.292 - 0.512 - 1.284 - 2.04 = - 2.96

- 2.96 = - 2.96

Так как результаты вычисления аналитического выражения и суммы табличных значений G(k) совпали, значит аналитическое выражение для суммы выведено правильно.

Задача 5

Составить таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x). Проверить правильность таблицы для разделенной разности [x0; x1; x2; x3] по формуле ее аналитического представления.

Решение

Составим таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x):

xi

g(xi)

[xi; xi+1]

[xi; xi+1; xi+2]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4;xi+5]

0.3

-0.02

1.248

-1.872

0.592

0.0533333

-0.1567999

0.8

0.604

-0.624

-0.984

0.6986666

-0.3386666

--

1.3

0.292

-1.608

0.064

-0.0213333

--

--

1.8

-0.512

-1.544

0.032

--

--

--

2.3

-1.284

-1.512

--

--

--

--

2.8

-2.04

--

--

--

--

--

Для проверки правильности заполнения таблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка по формуле ее аналитического представления:

Так как результаты вычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.

Задача 6

Получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки таблично заданной функции G(x), и сравнить их степенные представления.

Решение

Для нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа используем формулу

где n = 3.

Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Лагранжа, получим y1=0.604

Интерполяционный многочлен Ньютона находится по формуле:

ln(x) = g0 + (x-x0)[x0;x1] + (x-x0)(x-x1)[x0;x1;x2] + … +

+(x-x0)(x-x1)• …•(x-xn-1)[x0;x1;x2;…;xn]

Подставив в формулу gi и xi получим:

Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.

Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Ньютона, получим y1=0.604

Задача 7.

Вывести выражения для вычисления второй производной в точке x=x3 в виде функций:

где ?ng(0) и g(xn) для n = 0,1,…,5 соответственно значения разностей в точке x = x0 и ординаты g(xn) = gn из задачи N2. Значения производной вычисленные по выведенным формулам, сравнить с вычисленным значением производной, найденной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

Решение

Для вычисления производной воспользуемся оператором дифференцирования:

Выражение для вычисления производной в точке x0 имеет вид:

Для того, чтобы преобразовать его к выражению для вычисления производной в точке x3, применим оператор сдвига:

Для того, чтобы перейти от функции к функции воспользуемся формулой:

Получим выражения для ?2y0:

?5y0 = -y0 + 5y1 - 10y2 + 10y3 - 5y4 + y5

?4y0 = y0 - 4y1 + 6y2 - 4y3 + y4

?3y0 = -y0 + 3y1 - 3y2 + y3

?2y0 = y0 - 2y1 + y2

Подставим эти значения в функцию:

Сравним это значение с вычисленным значением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

при x3 = 1.8

Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.

Задача 8

Методом наименьших квадратов для таблично заданной g(x) получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (Pi(x), i = 0, 1, 2, 3) и изобразить их на одном графике.

Решение.

Составим таблицу степеней x и xy

i

x

y

x2

x3

x4

x5

x6

xy

x2y

x3y

1

0.3

-0.02

0.09

0.027

0.0081

0.00243

0.000728999

-0.006

-0.0018

-0.00054

1

0.8

0.604

0.64

0.512

0.4096

0.32768

0.262144

0.4832

0.38656

0.309247

1

1.3

0.292

1.69

2.197

2.8561

3.71293

4.8268

0.3796

0.493479

0.641523

1

1.8

-0.512

3.24

5.832

10.4976

18.8956

34.0122

-0.9216

-1.65888

-2.98598

1

2.3

-1.284

5.29

12.167

27.9840

64.3634

148.035

-2.9532

-6.79236

-15.6224

1

2.8

-2.04

7.84

21.952

61.4656

172.103

481.89

-5.712

-15.9936

-44.782

6

9.3

-2.96

18.79

42.687

103.22

259.405

669.026

-8.73

-23.5666

-62.4401

Составим системы уравнений:

Откуда a0 = -0.93621; a1 = 3.89576; a2 = -2.8954; a3 = 0.488001

Аппроксимирующий степенной полином 3-й степени имеет вид:

P3(x) = -0.93621 + 3.89576x - 2.8954x2 + 0.488001x3

Откуда a0 = -0.0710314; a1 = 0.989486; a2 = -0.624589;

Аппроксимирующий степенной полином 2-й степени имеет вид:

P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x - 0.624589x2

Откуда a0 = 0.974118; a1 = -0.946742;

Аппроксимирующий степенной полином 1-й степени имеет вид:

P1(x) = 0.974118 - 0.946742x

6a0 = -2.96

Откуда a0 = -0.493333;

Аппроксимирующий степенной полином 0-й степени имеет вид:

P0(x) = -0.0493333

Изобразим полученные полиномы на графике:

Задача 9

Для аппроксимирующего полинома третьей степени P3(x) получить аналитические выражения ?nP3(x), n = 0, 1, 2, 3, 4 и все конечно-разностные разностные кривые изобразить на одном графике.

Решение

Обозначим на графике все конечно-разностные кривые:

Задача 10

Вывести квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов с пределами [0, 1] и [-1, 1] от подынтегральных функций f(t), принадлежащих классу степенных многочленов степеней 0, 1, 2, 3. Вывод проделать для трех случаев использование в квадратурных формулах численных значений подынтегральных функций:

в) заданы значения функции в точках, обеспечивающих получение формул наивысшей алгебраической степени точности.

Решение

Значение определенного интеграла найдем, исходя из формулы:

где w1, w2 -- некоторые коэффициенты

t1, t2 -- точки, плавающие внутри интервала интегрирования.

Составим систему уравнений

w(t) = (t-t1)(t-t2) = C0 + C1t + C2t2 = 0

C2 = 1

Домножив уравнения на соответствующие коэффициенты получим:

2C0 + 2/3 = w1 (C0 + C1t1 + t12) + w2 (C0 + C1t1 + t22)

2C0+ 2/3 = 0

C0 = -1/3

Подставляя полученные значения в первую систему, получим:

Квадратурная формула:

Задача 11

С помощью квадратурных формул, полученных в задаче 10, вычислить определенный интеграл от степенного представления интерполяционного многочлена Лагранжа (Ньютона), полученного в задаче № 6 в пределах от x0 до x0 +3h, и сравнить его с аналитически вычисленным значением определенного интеграла по первообразным многочлена.

Решение

Используем степенное представление интерполяционного многочлена Лагранжа из задачи 6

Для перехода к интегралу с канонической формой используем линейное преобразование: x = ? + ?t.

Составим систему уравнений:

Подставив x = 1.05 + 0.75t, получим многочлен Лагранжа от переменной t:

L (t) = 0.24975t3 - 0.80325t2 - 0.49575t + 0.537253

Учитывая, что dx = ?dt, получим:

Применим квадратурную формулу, полученную в задаче №10

Для сравнения вычислим аналитически значение интеграла:

Так как результаты совпали, значит, вычисления произведены верно.

Задача 12

Оценить погрешность определенного интеграла от функции sin(x) в пределах [0,2/3?] по квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности, полученной в задаче № 10в, по сравнению с аналитически точным. Проделать то же самое над усеченным степенным рядом, представляющим sin(x), в который x входит со степенью не выше третьей.

Решение

Перейдем от пределов [0,2/3 ?] к пределу [-1,1]: для этого воспользуемся линейным преобразованием x= ? + ?t . Составить систему

Учитывая, что dx = ?dt, получим:

Применим квадратурную формулу:

Вычислим аналитически:

Найдем погрешность вычисления:

Проделаем те же операции над усеченным степенным рядом, представляющем sin(x):

Перейдем от пределов [0; 2?/3] к пределам [-1; 1], для этого используем линейное преобразование x = ? +?t. Составим систему уравнений:

Учитывая, что dx = ?dt, получим

Применим квадратурную формулу, получим

Найдем погрешность вычисления

Задача 14

Степенными полиномами Чебышева Ti относительно переменной x (|x| < 1) являются решениями линейного разностного уравнения второго порядка:

Ti+2 - 2x Ti+1 + Ti = 0,

с начальными условиями T0 = 1 и T1 = x.

Найти аналитическое выражение и вычислить значения полинома Чебышева i-й степени, если и i = 4. Проверить вычисления непосредственно по заданной рекуррентной формуле. Найти положение нулей и экстремумов у многочленов Чебышева в общем виде и для заданных выше x и i. Оценить модуль максимально возможного значения полинома в точках экстремумов.

Решение.

Исходя из того, что

xi = |yi| надо найти T4 т.е. для i = 4

Из Ti+2 - 2xTi+1 + Ti = 0 следует, что

T2 = 2xT1 - T0

T3 = 2xT2 - T1 = 2x(2xT1 - T0) - T1

T4 = 2xT3 - T2 = 2x(2x(2xT1 - T0) - T1) - 2xT1 + T0 = 8x3T1 - 4x2T0 - 4xT1 + T0

Подставим значение T0 = 1 и T1 = x

T4 = 8x4 - 4x2 - 4x2 + 1 = 8x4 - 8x2 + 1

Найдем значения x:

T4 = 0.99980

Проверим по заданной рекуррентной формуле:

T2 = 2·0.00490·0.00490 - 1 = -0.9999

T3 = 2·0.00490·(-0.9999) - 0.00490 = -0.01469

T4 = 2·0.00490·(-0.01469) + 0.9999 = 0.99980

Нули функции находятся, как решения биквадратного уравнения:

8x4 - 8x2 + 1 = 0, где

x1 = 0.9238795

x2 = -0.9238795

x3 = 0.3826834

x4 = -0.3826834

Чтобы найти экстремумы найдем

Задача 16

Выравнивание по всей длине с течением времени температуры T(x, t) на тонком однородном хорошо теплоизолированном стержне описывается дифференциальным уравнением в частных производных с начальным распределением температуры (в градусах Цельсия) по длине стержня в 6 равномерно расположенных с шагом h точках.

T(x0, 0) = T0, T(x1, 0) = T1, …, T(x5, 0) = T5; (Ti = 100·yi ?C).

На концах стержня в точках x-1 и x6 удерживается нулевая температура.

Применяя конечно-разностное представление производных по пространственной переменной x, свести уравнение в частных производных к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производных относительно температуры T.

Решение.

Получаем систему диф. уравнений:

Учитывая начальные условия, получим систему уравнений:

Задача 17.

Используя метод Ньютона-Рафсона, найти с относительной погрешностью в одну миллионную нуль многочлена Чебышева Ti(x), полученного в задаче 14. В качестве начального приближения к корню взять

В качестве xi берутся |yi| из таблицы исходных данных.

Решение.

Из задачи 14 возьмем полином Чебышева T4 = 8x4 - 8x2 + 1. В качестве начального приближения к корню возьмем xнач, вычисленное по формуле

Т.к. 8x4 - 8x2 + 1 = 0, то можем сказать, что f(xнач + ?) = 0

Воспользуемся DERIVE для нахождения корня с необходимой точностью:

получим такие значения: 0.38234, 0.382689, 0.382683, 0.382683, 0.382683.

На третьей итерации получаются значения корня с нужной точностью.

Задача 19

Скорость изменения переменной x(t) во времени равна функции от этой переменной f(x). Найти аналитическое выражение последней от времени, начиная с t = 0, если в начальный момент x(0) = 0. В качестве f(x) взять степенной многочлен P2(x), полученный в задаче 8. Протабулировать полученное решение с шагом h = 0.1 в интервале [0, 0.5].

Решение

P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x - 0.624589x2 = f(x)

Исходя из начальных условий, т.к. dx/dt = f(x), имеем

Т.к. x = F(t), то:

Протабулируем x(t) на интервале [0; 0.5] c шагом h = 0.1:

t = 0 x = 0

t = 0.1 x = -0.0622648

t = 0.2 x = -0.137833

t = 0.3 x = -0.230872

t = 0.4 x = -0.347464

t = 0.5 x = -0.496850

Задача 20

Методом Эйлера в интервале [0, 0.5] с шагом h = 0.1 получить решение нелинейного дифференциального уравнения:

dx/dt = a + bx + cx2,

x(0) = 0

Коэффициенты a, b, c взять из P2(x), полученного в задаче 8.

Решение

y = P2(x)

P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x - 0.624589x2

Общая формула для решения

x = x0 + h·P2(x0, t0)

x1 = 0 + 0.5· (-0.0710314) = -0.0355156

x2 = -0.0355156 + 0.5·(-0.0710314 + 0.989486 (-0.0355156)1 -

-0.624589· (-0.03551562) = -0.053854

x3 = -0.053854 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.053854)1 -

- 0.624589 (-0.053854)2) = -0.0636315

x4 = -0.0636315 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0636315)1 -

-0.624589 (-0.0636315)2) = -0.0689304

x5 = -0.0689304 + 0.5 (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0689304)1 -

-0. 0.624589 (-0.0689304)2) =--0.071827

Задача 23

Проверить заданную систему из трех векторов на линейную зависимость. При обнаружении линейной зависимости поменять местами первые компоненты векторов x1,x2 и выполнить повторную проверку. Из исходных данных векторы формируются так:

x1 = (y0,y1,y2); x2=(y3,y4,y5); x3=(h,x0,0).

На базе линейно независимой системы векторов x1, x2, x3 методом Грама-Шмидта построить ортонормированную систему трех векторов:

y1 = (y11,y21,y31); y2=(y12,y22,y32); y3=(y13,y23,y33).

На основе полученной системы векторов сформировать квадратную матрицу T = (y1,y2, y3). Вычислить det(T) и получить матрицы -- обратную T-1 и транспонированную T'. Найти произведение T-1 · T, T · T'. Сделать выводы о свойствах матрицы T.

Решение

Исходные векторы x1 = (-0.02,0.604,0.292); x2=(-0.512,-1.284,-2.04);

x3=(0.5,0.3,0).

Составим матрицу и проверим ее на линейную зависимость:

det (A·AT) = 0.23591 > 0, значит система линейно независима.

Найдем векторы v1, v2, v3

v1 = x1

v2 = x2 + a21·v1

v3 = x3 + a32·v2 + a31·v1

v1 = (-0.02, 0.604, 0.292);

v2 = (-0.572423, 0.54078, -1.15782);

v3 = (0.471405, 0.104651, -0.184183).

Матрица T:

det(T) = -1

Ортонормированная матрица T состоит из собственных векторов. Определитель матрицы T равен 1. Если транспонировать ортогональную матрицу то она будет равна обратной. T' = T-1. Это значит, что если умножить T·T' = E -- получим единичную матрицу.

Задача 24

Считая числа -1, -2, -3 собственными значениями, а векторы у1, у2, у3 из задачи 23 - собственными векторами некоторой матрицы А, найдите проекторы этой матрицы ( Р1, Р2, Р3), саму матрицу А и ей обратную А-1. Получить характеристическое уравнение матрицы А и подтвердить правильность всех промежуточных вычислений.

Решение

Найдем проекторы матрицы А:

Найдем обратную матрицу А-1:

Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:

-x3-6x2-11x-6=0;

Корни характеристического уравнения - собственные значения матрицы

x1= -1; x2= -2; x3= -3

Задача 25

Решить систему алгебраических уравнений А·x = b, где А- матрица коэффициентов из задачи 24, x = (x1, x2, x3) - векторы решения, b = (3, 2, 1) - вектор правых частей. Решение получить, используя обратную матрицу, полученную из задачи 24.

Решение


Подобные документы

  • Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.

    курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015

  • Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.

    курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015

  • Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.

    лабораторная работа [32,7 K], добавлен 11.06.2011

  • Решение дифференциального уравнения методом Адамса. Нахождение параметров синтезирования регулятора САУ численным методом. Решение дифференциального уравнения неявным численным методом. Анализ системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.

    курсовая работа [398,2 K], добавлен 13.07.2010

  • Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.

    контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015

  • Получение точного решения дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на заданном интервале, графическое решение. Относительная и абсолютная погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты.

    курсовая работа [990,8 K], добавлен 17.07.2014

  • Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.

    курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015

  • Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.

    практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011

  • Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

    контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011

  • Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.

    задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.