Кривизны линий, расположенных на поверхности, связаны рядом замечательных соотношений. Для того, чтобы получить эти соотношения, следует изучить расположение сопровождающего трехгранника кривой по отношению к поверхности. При этом касательный вектор кривой всегда расположен в касательной плоскости поверхности, а векторы главной нормали и бинормали наклонены под некоторыми углами к этой плоскости. Рассмотрим вектор кривизны

кривой, расположенной на поверхности. Проекция вектора кривизны линии на нормаль поверхности в точке, через которую проходит эта кривая, называется нормальной кривизной этой кривой.

При этом нормаль считается ориентированной с помощью заранее выбранного единичного вектора нормали . Нормальная кривизна обозначается через , а обратная ей величина называется радиусом нормальной кривизны. Так как нормаль считается ориентированной, то проекция на нее может быть положительной или отрицательной, так что радиус нормальной кривизны выражается относительным числом в противоположность существенно положительному радиусу кривизны кривой, рассматриваемой независимо от поверхности.

Для вычисления нормальной кривизны будем дифференцировать выражение

единичного касательного вектора кривой, расположенной на поверхности. Пользуясь правилами дифференцирования сложной функции и вводя обозначения

; ; , (56)

получим

. (57)

Чтобы найти проекцию вектора кривизны на нормаль, достаточно умножить скалярно на . При этом следует принять во внимание, что векторы, и расположены в касательной плоскости и, следовательно, перпендикулярны . Таким образом,

. (58)

Скалярные произведения единичного вектора нормали вторых частных производных радиус-вектора точки поверхности являются функциями точки. Введем для них особые обозначения, полагая

; ; .

После этого нормальная кривизна примет вид

. (59)

Так как выражение (59), очевидно, можно переписать в следующем виде

,

а

,

то нормальная кривизна

(60)

равна отношению второй и первой квадратичной форм, определенных для отношения дифференциалов криволинейных координат, соответствующих направлению кривой, проходящей через ту точку поверхности, для которой подсчитаны коэффициенты обеих форм.

№1. Найти линейный элемент плоскости в полярных координатах.

Решение. Предположим, что есть радиус-вектор полюса, есть единичный вектор, направленный по полярной оси, а единичный вектор, перпендикулярный этой оси. Обозначим через и полярные координаты точки на плоскости:

, , .

Найдем частные производные по и по :

, ,

, ,

, .

Далее вычислим коэффициенты первой квадратичной формы:

,

,

.

Теперь можем вычислить первую квадратичную форму:

Ответ.

№2. Найти длину дуги кривой, заданной внутренним уравнением на поверхности с линейным элементом .

Решение. Для того, чтобы вычислить дину дуги кривой, нужно извлечь корень из линейного элемента поверхности, т.е.

. Так как кривая задана внутренним уравнением

(1),

то отсюда следует, что

(2).

Теперь учитывая (1) и (2) можем сделать замену в уравнении и получим следующие:

.

Теперь можно вычислить длину дуги.

, (3) представим синус гиперболический в следующем виде:

, подставим данное выражение в (3), получим . Теперь раскроем квадрат и проведем элементарные преобразования:

Внесем под знак интеграла и получим .

Ответ

№3. Найти линейный элемент сферы в географических координатах.

Решение.

Предположим для простоты, что центр сферы радиуса совпадает с началом прямоугольной системы координат, координатные векторы которых есть . Начальный меридиан поместим в плоскости, и будем отсчитывать долготу от положительного направления оси к положительному направлению оси . Экваториальную плоскость будем считать совмещенной с плоскостью , а широту примем положительной для точек с положительными аппликатами и отрицательной в противоположном случае.

Проекция радиус-вектора точки сферы на ось и плоскость будут соответственно равны

, (1),

проекции же вектора на оси и будут

, (2).

Таким образом, параметрическое уравнение сферы в географических координатах имеет вид

.

Из (1) и (2) следует:

,

,

.

Найдем частные производные по и по .

, ,

, ,

. .

Далее вычислим коэффициенты первой квадратичной формы.

.

Теперь вычислим линейный элемент сферы в географических координатах.

.

Ответ.

№4. Составить выражение второй квадратичной формы сферы заданной через географические координаты.

Из задачи №3 мы знаем географические координаты сферы:

,

,

.

Найдем их производные.

, ,

, ,

. .

, , ,

, , ,

. . .

Теперь необходимо вычислим коэффициенты .

.

Чтобы вычислить коэффициенты необходимо знать, чему равны следующие выражения: , , , .

Теперь подставим вычисленные коэффициенты в формулу второй квадратичной формы и получим:

Ответ.

№5. Найти периметр и внутренний угол криволинейного треугольника , , расположенного на поверхности, у которой .

Решение.

Так как , то отсюда следует, что . .

Найдем координаты точек .

,

,

.

Теперь найдем длину дуг .

Аналогично вычисляется длина дуги .

.

Теперь можем вычислить периметр криволинейного треугольника:

.

Теперь приступим к вычислению угла .

Ответ: ,

№6. На псевдосфере

Заданы два семейства линий: . Вычислить длину дуги линии каждого семейства между двумя точками и . Доказать, что длины дуг всех линий одного семейства между двумя фиксированными линиями второго семейства одинаковы.

Решение.

,

,

.

Чтобы найти длину дуги, необходимо найти линейный элемент псевдосферы. Для вычисления первой квадратичной формы найдем частные производные.

,

,

.

Так как , то .

Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы.

.

.

Вычисли первую квадратичную форму поверхности:

Теперь можем вычислить длину дуги.

.

Теперь рассмотрим семейство . Точка лежит на линии , а точка лежит на линии , т.е.

, ,

, ,

значит,

, ,

поэтому

,

т.е. не зависит от .

Ответ.

№7. На поверхности сферы задан прямоугольный треугольник, сторонами которого являются дуги больших кругов сферы. Найти а) соотношение между сторонами треугольника; б) его площадь.

Решение.

а) Возьмем уравнение сферы в виде

,

,

.

Расположим один из катетов на линии , второй - на линии , одну из вершин в точке , вторую - в точке . Тогда длины катетов равны соответственно . Для вычисления надо найти длину дуги линии (не поверхности сферы) между указанными точками. Уравнение гипотенузы в криволинейны координатах . Так как она проходит через точку , то , где .

отсюда

.

б) ,

где

.

Отсюда

.

Пользуясь соотношением

, получим

, ,

.

Сравнивая с предыдущим, находим

.

Ответ. , .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ