Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы

Пусть скорость колонны x м/мин, тогда скорость курьера nx м/мин, а время движения курьера в оба конца равно

мин.

За это время колонна прошла

м.

Здесь по смыслу задачи n > 1, поэтому n² - 1 ? 0.

а) Если l = 250 м, n = 1,5, то s = 600 м;

б) если l = 300 м, n = 2, то s = 400 м.

Глава 2. Разработка системы задач для самостоятельной подготовки учащихся к итоговой аттестации в новой форме

§ 1. Краткий обзор текстовых задач в учебниках алгебры

Рассмотрим в данном параграфе, какое место занимают текстовые задачи в наиболее популярных учебниках основной школы.

Учебники Ю.Н. Макарычева и Никольского входят в федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях, на 2008/2009 учебный год.

Учебник Алимова входил в федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях, на 2007/2008 учебный год.

· Алгебра 7 Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

В данном учебнике ученики встречаются с текстовыми задачами, начиная с §1 «Выражения» пункта 1 «Числовые выражения». Именно через текстовую задачу и вводится определение числового выражения.

Также текстовые задачи встречаются в темах «Выражения с переменными», «Сравнение значений выражений», «Уравнения и его корни», «Решение задач с помощью уравнений», «Функции и их графики», «Прямая пропорциональность», «Абсолютная погрешность», «Относительная погрешность», «Умножение одночлена на многочлен», «Произведение многочленов», «Разложение разности квадратов на многочленов», «Решение задач с помощью систем уравнений»

По планированию на темы: «Решение задач с помощью уравнений» и «Решение задач с помощью систем уравнений» отводится по 2 часа. В теме «Решение задач с помощью уравнений» приводится 2 разобранные задачи, и 17 в качестве упражнений, задачи приблизительно одного уровня сложности. Решение всех задач сводиться к решению линейного уравнения. В теме «Решение задач с помощью систем уравнений» приводиться 2 разобранные задачи и 21 задача в качестве упражнений, все задачи приблизительно одного уровня сложности. Все задачи решаются с помощью системы из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными.

· Алгебра 8 Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

В данном учебнике текстовые задачи встречаются в темах: «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», «Функция и её график», «Решение задач с помощью квадратных уравнений», «Решение задач с помощью рациональных уравнений», «Решение неравенств с одной переменной», «Решение систем неравенств с одной переменной», «Вычисления с приближенными данными на калькуляторе».

По планированию на темы: «Решение задач с помощью квадратных уравнений», «Решение задач с помощью рациональных уравнений» отводится 2 и 3 часа соответственно. В теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений» приводиться 2 разобранные задачи и 13 в качестве упражнений, задачи приблизительно одного уровня сложности. Задачи решаются с помощью составления квадратного уравнения. В теме «Решение задач с помощью рациональных уравнений» приводится 1 разобранная задача и 14 в качестве упражнений, все задачи приблизительно одного уровня сложности. Задачи, приведенные в этой главе, решаются с помощью дробно-рациональных уравнений.

· Алгебра 9 Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.

В данном учебнике текстовые задачи встречаются в темах: «Квадратный трехчлен и его корни», «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени»

По планированию на тему: «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени» отводится 4 часа. В ней приводится 1 разобранная задача и 18 в качестве упражнений, все задачи приблизительно одного уровня сложности. Решение задач сводиться к решению системы из 2 уравнений 2-ой степени с 2-мя неизвестными.

· Алгебра 7 С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

В данном учебнике текстовые задачи встречаются в темах: «Стандартный вид числа», «Решение задач с помощью линейных уравнений», «Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными», «Решение задач при помощи систем уравнений первой степени»

По планированию на темы: «Решение задач с помощью линейных уравнений» и «Решение задач при помощи систем уравнений первой степени» отводится по 2 часа. В теме «Решение задач с помощью линейных уравнений» приводится 2 разобранные задачи и 9 в качестве упражнений, все задачи приблизительно одного уровня сложности. Задачи решаются с помощью составления линейно уравнения. В теме «Решение задач при помощи систем уравнений первой степени» приводится 3 разобранные задачи и 31 в качестве упражнений, 3 из которых - повышенной сложности. Задачи, приведенные в данной теме, решаются с помощью системы уравнений первой степени.

· Алгебра 8 С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

В данном учебнике текстовые задачи встречаются в темах: «Применение квадратных уравнений к решению задач», «Решение задач при помощи рациональных уравнений», «График функции y = kx», «Равномерное движение», «Функция y = |x|, и y = {x}, «Решение задач при помощи уравнений первой и второй степени», «Решение задач при помощи систем рациональных уравнений», «Решение уравнений в целых числах», а также в дополнении к главе «Система рациональных уравнений» в темах «Вероятность событий», «Перестановки», «Размещение и сочетание».

По планированию на темы: «Решение задач при помощи рациональных уравнений», «Решение задач при помощи уравнений первой и второй степени», «Решение задач при помощи систем рациональных уравнений» отводится по 2, 3 и 2 часа соответственно. В теме «Решение задач при помощи рациональных уравнений» приводится 2 разобранные задачи и 14 задач в качестве упражнений, 2 из которых - повышенной сложности. Решение задач сводиться к решению дробно-рационального уравнения. В теме «Решение задач при помощи уравнений первой и второй степени» приводится 1 разобранная задача и 4 задачи в качестве упражнений. Приведенные задачи приблизительно одного уровня сложности. Решение задач сводиться к решению системы уравнений 1-ой и 2-ой степени. В теме «Решение задач при помощи систем рациональных уравнений» приводится 3 разобранные задачи и 8 задач в качестве упражнений. Задачи приблизительно одного уровня сложности, для их решения необходимо составить систему рациональных уравнений.

· Алгебра 9 С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

В данном учебнике текстовые задачи встречаются в темах: «Производные линейной и квадратичной функции», «Сумма n первых членов арифметической прогрессии», «Метод математической индукции», также много текстовых задач встречается в дополнение к главам, в пунктах «задачи на повторение».

В теме «Производные линейной и квадратичной функции» с помощью текстовой задачи вводиться формула для нахождения средней скорости и термин «мгновенная скорость», так же на примере текстовой задачи показывается как находить первообразные для линейной функции.

В теме «Сумма n первых членов арифметической прогрессии» приводятся исторические задачи (задача Пифагора и задача из папируса Ахмеса).

· Алгебра 7 Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров

Так же как и в учебнике под редакцией С.А. Теляковского, текстовые задачи появляются в первом параграфе («Числовые выражения», первой главы «Алгебраические выражения») и с их помощью вводится понятие числовое выражение.

Кроме того, текстовые задачи встречаются в темах: «Алгебраические равенства. Формулы», «Свойства арифметических действий», «Решение задач с помощью уравнений», «Степень с натуральным показателем», «Свойства степеней с натуральным показателем», «Функция», «Функция y = kx и её график», «Линейная функция и её график», «Решение задач с помощью систем уравнений».

По планированию на темы: «Решение задач с помощью уравнений» и «Решение задач с помощью систем уравнений» отводится по 3 часа.

В теме «Решение задач с помощью уравнений» приводится 1 разобранная задача и 10 задач в качестве упражнений, 2 из которых повышенной сложности. Решение данных задач сводиться к решению линейного уравнения. В теме «Решение задач с помощью систем уравнений» приводиться 3 разобранные задачи и 28 задач, 6 из которых повышенной трудности и 4 трудные. Задачи решаются с помощью системы линейных уравнений.

· Алгебра 8 Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров

В данном учебнике текстовые задачи встречаются в темах: «Решение неравенств», «Решение систем неравенств», «Приближенные вычисления», «Оценка погрешности», «Округление чисел», «Относительная погрешность», «Решение задач с помощью квадратных уравнений», «Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени», «Построение графика квадратичной функции».

По планированию на тему: «Решение задач с помощью квадратных уравнений» отводится 4 часа.

В теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений» приводиться 3 разобранные задачи и 17 задач в качестве упражнений, 5 из которых повышенной трудности и 4 трудные. Задачи решаются при помощи квадратных уравнений.

· Алгебра 9 Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров

В данном учебнике текстовые задачи встречаются в темах: «Функция », «Радианная мера угла», «Арифметическая прогрессия», «Сумма n первых членов арифметической прогрессии» «Геометрическая прогрессия», а так же в дополнительных упражнениях к главам.

В теме «Функция » приводятся физические задачи, в которых надо найти центростремительное ускорение, объем газа или силу тока. Эти задачи показывают связь между данной темой и курсом физики.

В теме «Радианная мера угла», для наглядности, приводиться задача в которой надо найти путь минутной стрелки Кремлевских курантов.

В теме «Арифметическая прогрессия» приведены 2 текстовые задачи в разделе задач повышенной трудности.

В теме «Геометрическая прогрессия» приведены 3 текстовые задачи в разделе задач повышенной трудности.

§ 2. Обзор текстовых задач, входивших в задания ГИА

В данном параграфе мы рассмотрим текстовые задачи, входящие в новую систему государственной (итоговой) аттестации по алгебре в 9 классе. Эта система была разработана и апробирована в рамках эксперимента по введению профильного обучения, проводившегося Министерством образования и науки Российской Федерации в десяти территориях России.

Основное назначение новой системы - введение открытой, объективной, независимой процедуры оценивания учебных достижений учащихся, результаты которой будут способствовать осознанному выбору дальнейшего пути получения образования. Экзаменационные материалы реализуют современные подходы к построению измерений, они обеспечивают более широкие по сравнению с действующим экзаменом дифференцирующие возможности.

Экзаменационная работа рассчитана на выпускников девятых классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев). Её содержание находится в рамках Обязательного минимума содержания образования по математике в основной школе, при этом подбор заданий осуществлен с учетом идеологии требований к уровню подготовки учащихся, предъявляемых новыми образовательными стандартами.

Работа состоит из двух частей.

Первая часть направлена на проверку базовой подготовки выпускников в её современном понимании. По сравнению с традиционным экзаменом здесь усилены понятийный и практический аспекты. Проверке подвергается не только усвоение основных алгоритмов и правил, но и понимание смысла важнейших понятий и их свойств, содержание применяемых приемов, умение применять знания в простейших практических ситуациях. При выполнении заданий первой части учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний, умение пользоваться разными математическими языками и переходить с одного из них на другой, распознавать стандартные задачи в разнообразных формулировках.

Эта часть работы содержит 16 заданий с выбором ответа, с кратким ответом и на соотнесение. В основу структурирования первой части работы положен содержательный принцип - задания располагаются группами в соответствии с разделами содержания, к которым они относятся.

Вторая часть направлена на дифференцированную проверку повышенных уровней подготовки. Она содержит 5 заданий из различных разделов курса, предусматривающих полную запись хода решения. Задания во второй части расположены по нарастанию сложности - от относительно простых до достаточно сложных, требующих свободного владения материалом и высокого уровня математического развития.

Задания второй части позволяют выявить владение формально-оперативным алгебраическим аппаратом, способностью к интеграции знаний из различных тем школьного курса, владение исследовательскими навыками, а также умение найти и применить нестандартные приемы рассуждений. При выполнении второй части работы учащиеся должны продемонстрировать умение математически грамотно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.

Примеры текстовых задач, входящих в первую часть.

1. В двух библиотеках было одинаковое количество книг. Через год в первой библиотеке число книг увеличилось на 50%, а во второй - в 2 раза. В какой библиотеке книг стало больше?

А. В первой библиотеке В. Книг осталось поровну Б. Во второй библиотеке Г. Для ответа не хватает данных

2. На коробке с кукурузными хлопьями массой 190 граммов имеется надпись, информирующая, что допустимое отклонение массы нетто граммов. Какую массу не могут иметь кукурузные хлопья?

А. 194 г Б. 185 г В. 184 г Г. 186 г

3. Из прямоугольного листа жести, длина которого 10, а ширина 6, требуется сделать открытую коробку, длина основания которой в два раза больше ширины. Для этого из каждого угла листа вырезают квадрат и после этого сгибают оставшуюся часть в коробку. Из какого уравнения может быть найдена сторона вырезаемых квадратов?

4.

Размещено на http://www.allbest.ru/

67

Размещено на http://www.allbest.ru/

А. В.

Б. Г.

5. Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно - со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Пусть x ч - время, затраченное на дорогу от озера до деревни. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

А. 15x = 10(1 - x) B. 15x + 10(1 - x) = 1 Б. Г. 15(1 - x) = 10x

6. В классе 18 учащихся. Для поливки сада каждая девочка принесли по 2 ведра воды, а каждый мальчик - по 5 ведер. Всего было принесено 57 ведер воды. Сколько в классе девочек и сколько мальчиков. Пусть в классе x девочек и y мальчиков. Какая система уравнений соответствует условию задачи?

А. В. Б. Г.

Примеры тестовых задач, входящих во вторую часть.

1. Велосипедист едет сначала 3 минуты с горы, а затем 9 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 12 минут. При этом в гору велосипедист едет всегда с одной и той же скоростью, а с горы - с большей, но также всегда одинаковой скоростью. Во сколько раз скорость движения велосипедиста с горы больше, чем его же скорость в гору?

2. Клиент внес 3000 р. на два вклада, один из которых дает годовой доход, равный 8%, а другой - 10%. Через год на счетах у него было 3260 р. Какую сумму клиент внес на каждый из счетов?

3. Длина детской площадки прямоугольной формы на 5 м больше её ширины. Длину площадки увеличили на 2 м, а ширину - на 5 м, при этом её площадь увеличилась на 280 м². Найдите площадь новой детской площадки.

4. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходит круг?

5. Фирма A может выполнить некоторый заказ на производство игрушек на 4 дня быстрее, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каждая фирма, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнят заказ в 5 раз больший?

6. Каждый слушатель на курсах изучает один из языков - английский, немецкий или французский. Отношение числа слушателей, изучающих английский, к числу слушателей изучающих немецкий, равно 3 : 2, а изучающих немецкий к числу изучающих французский равно 8 : 5. Сколько процентов слушателей изучает наименее популярный на курсах язык.

§ 3. Система текстовых задач для решения в курсе алгебры

Тема «Решение задач с помощью линейных уравнений».

Умение применять уравнения является очень важным, но надо стремиться формировать его с опорой на умение рассуждать, ставить вопросы, отвечать на них, проверять правильность полученного ответа, то есть на умения, полученные при работе с арифметическими методами решения задач.

1. В одной кассе кинотеатра продали на 86 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если было продано 792 билета?

2. Двое рабочих изготовили 86 деталей, причем первый изготовил на 8 деталей меньше второго. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

Это начальный уровень, с задач такого типа начинается изучение данной темы. Эти задачи имеют схожие формулировки в них 2 неизвестных, одно из которых на сколько то больше другого и дана их сумма.

3. Матери 50 лет, дочери 28 лет. Сколько лет тому назад дочь была в 2 раза моложе матери?

Задача 3 - несколько труднее, в ней также два неизвестных, но используется предлог «в», и более трудная для восприятия формулировка.

4. Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором на 4 банки меньше, чем в третьем?

5. На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер и на 5 г больше, чем шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Задачи 4 и 5 имеют схожие формулировки, в них 3 неизвестных и дана их сумма. В задаче 4 используется только предлог «на» и нужно ответить можно или нельзя.

В задаче 5 используются предлоги «в» и «на» и нужно найти все 3 неизвестные.

6. Норма выработки за смену на новом токарном станке на 30 деталей больше, чем на старом. При этом на пяти новых станках можно обработать за смену столько же деталей, сколько за то же время на восьми старых. Какова норма выработки на новом станке?

7. Бригада лесорубов ежедневно перевыполняла норму на 16 м³, поэтому недельную норму (6 рабочих дней) она выполнила за 4 дня. Сколько кубометров леса заготовляла бригада в день?

Задачи 6 и 7 имеют схожие формулировки, есть выработка по норме и фактическая, которая на сколько то больше нормальной.

Решение задачи 7: Пусть х - количество кубометров леса, которое бригада заготавливала в день фактически.

Тогда х - 16 - количество кубометров леса, которое бригада должна заготавливать в день по плану.

Получаем уравнение: , из которого х = 48.

Ответ: 48 м³ леса заготовляла бригада в день.

Учащиеся, испытывающие затруднения при анализе текста задачи, обычно лучше решают задачи, если использовать таблицу для записи условия.

	Время (дни)	Производительность (м3 в день)	Работа (м3 всего)
По плану	6	x - 16
Фактически	4	x	4x

8. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?

Решение задачи 8: Пусть в хозяйстве было x овец, тогда кур было 19 - x. Число ног у овец равно 4x, а у кур 2(19 - x). Составим уравнение:

4x + 2(19 - x) = 46.

9. (задача из книги Ньютона). Некий торговец каждый год увеличивает на одну треть своё состояние. В то же время 100 фунтов он ежегодно затрачивает на свою семью. Через 3 года он обнаруживает, что его состояние удвоилось. Спрашивается, сколько у него было денег вначале.

Решение: удобно составить таблицу.

	Начало года	Конец года
1 год	x	x - 100
2 год
3 год
4 год

Пусть х - состояние торговца, тогда х - 100 остаток на конец года.

Остаток увеличивается на одну треть: .

Во второй год он опять тратит 100 фунтов: и остаток увеличивается на одну треть .

В третий год он опять тратит 100 фунтов: и остаток также увеличивается на одну треть: , причем оказывается вдвое богаче, чем был в начале: _.

10. Стрелки часов показывают полдень. Через сколько часов они встретятся в следующий раз?

Эта задача интересна тем, что ее арифметическое решение легче алгебраического. Рассмотрим оба способа решения.

Способ I. Минутная стрелка догонит часовую первый раз после 1 часа, второй раз -- после 2 часов, ... , 11-й раз -- после 11 часов: ровно в 12 часов. То есть промежуток между встречами стрелок составляет

ч.

Способ II. Пусть первая встреча произойдет через x ч, за это время минутная стрелка сделает x оборотов, а часовая оборотов, причем минутная стрелка сделает на 1 оборот больше, чем часовая. Составим уравнение: ;

Ответ: через ч.

Тема «Решение задач с помощью систем уравнений»

Если применять уравнения учащиеся учатся с 5-6-го класса (иногда и с начальной школы), то первый опыт применения систем уравнений они получают только в 7-м классе. С этого времени у них формируется стереотипное представление об этом приеме решения задач: надо ввести два неизвестных и составить два уравнения с ними.

На первых порах с помощью системы учащиеся решают задачи, которые можно решить и без системы, поэтому они могут давать не тот способ решения, на который рассчитывает учитель. Не надо отказываться от таких решений, а надо использовать их для сопоставления двух способов решения задачи -- это помогает глубже понять каждый из них.

Надо стараться показать применение нового приема решения на знакомых задачах. Например, на задаче про фазанов и кроликов, которую учащиеся могли решать как арифметическим методом, так и с помощью составления линейного уравнения.

1. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Решение: пусть было x кроликов и y фазанов, всего 35. Составим первое уравнение: x + y = 35.

У кроликов было 4x ног, а у фазанов 2y, всего 94. Составим второе уравнение: 4x + 2y = 94.

Решив систему из этих двух уравнений, мы получим ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

Эту задачу полезно решить и с помощью одного линейного уравнения, которое возникнет при подстановке выражения 35 - x во второе уравнение вместо y. В этом случае учащиеся получат подтверждение тому, что их прежний опыт решения задач с помощью одного линейного уравнения согласуется с новым способом решения задач с помощью системы линейных уравнений, лучше поймут способ решения системы методом замены неизвестного.

2. (старинная). Сошлись два пастуха, Иван да Петр. Иван говорит Петру: Отдай-ка мне одну овцу, тогда у меня будет овец вдвое больше, чем у тебя!» А Петр ему отвечает: «Нет! Лучше ты отдай мне одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец?

Задача начального уровня, имеющая интересную формулировку.

Решение: Пусть у Ивана было х овец, а у Петра - y овец. Если бы Петр отдал одну овцу Ивану, то у Петра осталось бы (у - 1) овец, а у Ивана стало бы (х + 1) овец. Но тогда у Ивана было бы вдвое больше овец, чем у Петра.

Получаем уравнение: х + 1 = 2 (у -1)

Если бы Иван отдал Петру одну овцу, то у Ивана осталось бы (х-1) овец, а у Петра стало бы (у + 1) овец. Но тогда они имели бы овец поровну.

Получаем уравнение: х - 1 = у + 1

Система:

Решив которую, получаем х = 7, у = 5.

Ответ: у Ивана было 7 овец, а у Петра - 5 овец.

3. Для 8 лошадей и 15 коров отпускали ежедневно 162 кг сена. Сколько сена ежедневно выдавали каждой лошади и каждой корове, если известно, что 5 лошадей получили сена на 3 кг больше, чем 7 коров?

4. Ученик за 3 общие тетради и 2 карандаша уплатил 66 р. 60 к. Другой ученик за такие же 2 общие тетради и 2 карандаша уплатил 46 р. 60 к. Сколько стоила общая тетрадь и сколько стоил карандаш?

Задачи 3 и 4 также задачи начального уровня, но имеющие стандартную формулировку. Решение этих задач сводится к решению системы из 2-ух уравнений первой степени с 2-мя неизвестными.

5. Расстояние между двумя пристанями на реке равно 60 км. Это расстояние катер проходит по течению реки за 2 ч., а против течения за 3 ч. Найти собственную скорость движения катера и скорость движения катера и реки.

Задача 5 задача начального уровня, но для её решения необходимо вспомнить, как находить скорость, зная время и расстояние.

Задача сводиться к решению системы

6. В одном бидоне на 5 л молока больше, чем в другом. Если из первого бидона перелить во второй 8 л молока, то во втором бидоне молока станет в 2 раза больше, чем останется в первом. Сколько литров молока в каждом бидоне?

Задачу 6 можно решить, как с помощью систему из 2-ух уравнений 1-ой степени с 2-мя неизвестными, так и с помощью линейного уравнения.

7. В январе 2 цеха изготовили 1080 деталей. В феврале первый цех увеличил выпуск деталей на 15%, второй - на 12%, оба цеха изготовили 1224 детали. Сколько деталей изготовил в феврале каждый цех?

Задача 7 так же сводиться к решению системы из 2-ух уравнений 1-ой степени с 2-мя неизвестными, но для её решения необходимо вспомнить тему «проценты».

8. Школьник потратил 1400 р. на покупку портфеля, ручки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, ручка в 2 раза дешевле, книга в 2,5 раза дешевле, то та же покупка стоила 400 р. Если бы по сравнению с первоначальной стоимостью портфель стоил в 3 раза дешевле, ручка в 4 раза дешевле, а книга в 2 раза дешевле, то за ту же покупку школьник заплатил бы 500 р. Сколько стоят портфель, ручка и книга?

Решение: Пусть портфель стоит х рублей, ручка - у рублей, а книга z - рублей.

Составим первое уравнение: x + y + z = 1400

Составим второе уравнений:

Составим третье уравнение:

Получаем систему:

Решив систему получаем: х = 90, у = 20, z = 30/

Ответ: портфель стоил 90 р., ручка - 20 р., а книга - 30 р.

9. В три сосуда налита вода. Если половину воды из первого сосуда перелить во второй, затем часть воды, оказавшейся во втором сосуде, перелить в третий и, наконец, часть воды, оказавшейся в третьем сосуде, перелить в первый, то в каждом сосуде станет по 6 л. Сколько воды было в каждом сосуде до переливания?

Задачи 8 и 9 - трудные задачи, в них 3 неизвестных.

В задаче 8 одно из неизвестных выражается через 2 других и задача сводиться к решению системы из 2-ух уравнений 1-ой степени 2-мя неизвестными.

Тема «Решение задач с помощью квадратных уравнений».

Чаще всего к квадратному уравнению приводят надуманные условия, по которым надо найти неизвестное число, или геометрические соображения, например, теорема Пифагора.

Целесообразно начать с двух старинных задач, которые хоть и решаются с применением теоремы Пифагора, но получаемые при их решении уравнения после упрощения оказываются линейными.

1. (Задача Бхаскары, Индия, XII в.) Цветок лотоса возвышался над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Решение:

Пусть отрезки AB и AC изображают лотос в двух положениях . Если AD = x -- глубина озера, что BD =, AC = x + . Составим уравнение: 40² + x² = 30² + (50 - x)², единственный корень которого есть . Ответ: глубина озера фута.

2. (Задача Л. Пизанского, XII-XIII ее.) Две башни, одна высотой 40 футов, а другая - 30 футов, расположены на расстоянии 50 футов одна от другой. К расположенному между ними колодцу слетают одновременно с обеих башен две птички и, летя с одинаковой скоростью, одновременно прибывают к колодцу. Найти расстояние от колодца до башен.

Решение: На схематическом рисунке отрезки AB и CD изображают башни высотой 40 и 30 футов соответственно, точкой K обозначено положение колодца.

Пусть AK = x, тогда KC = 50 - x. Так как птицы летели одно и то же время с равными скоростями, то расстояния BK и DK равны. Составим уравнение:

40² + x² = 30² + (50 - x)².

Оно имеет единственный корень 18. Искомые расстояния равны 18 и 32 фута.

Ответ: 18 и 32 фута.

В других случаях геометрическое содержание задачи позволяет получить квадратное уравнение.

3. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30 см².

Решение: Пусть длины катетов x см и (x + 7) см, тогда площадь треугольника равна см². Составим уравнение: .

Оно имеет два корня -12 и 5, из которых только второй удовлетворяет условию задачи, так как длина отрезка - величина положительная. Следовательно, катеты треугольника равны 5 см и 12 см.

4. (Задача Диофанта, III в.) Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96.

Решение: Если обозначить первое число через x, то второе число есть 20 - x. Тогда найти числа можно, решив уравнение x(20 - x) = = 96, которое можно переписать в виде квадратного уравнения: x² - 20x + 96 = 0.

x₁ = 12, x₂ = 8.

Ответ: 12 и 8.

Сам Диофант избегал здесь решения полного квадратного уравнения; обозначив данные числа за 10 + x и 10 - x, он приводил решение задачи к уравнению (10 + x)(10 - x) = 96, которое можно переписать в виде неполного квадратного уравнения x2 = 4. Здесь x = -2 или x = 2, но в обоих случаях искомые числа 12 и 8.

5. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м².

Задачи 3,4 и 5 - задачи начального уровня. Решение данных задач сводиться к решению квадратного уравнения.

6. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60м?

Задача 3 показывает связь данной темы курса алгебры с курсом физики. Для её решения используется формула известная из курса физики .

Подставив наши значения получим уравнение 5t² - 40t + 60 = 0.

7. Расстояние в 400 км скорый поезд прошел на час быстрее товарного. Какова скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорость скорого?

Задача 7 так же задачи среднего уровня сложности, но для и решения необходимо вспомнить связь между скоростью, временем движения, и расстоянием.

8. За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощности было вспахано поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно, если первый трактор может вспахать все поле на 5 дней быстрее, чем второй?

Задача 8 - задача высокого уровня сложности.

Решение: Пусть 2-ой трактор работал х дней, тогда 1-ый трактор работал (х-5) дней

Производительность второго трактора , а первого .

Тогда общая производительность за 4 дня равна: : 4 = .

Составим уравнение: , после преобразование получаем

Ответ: 10 дней работал 1-ый трактор, 15 дней работал 2-ой трактор.

9. Рабочий положил на хранение в банк 5000 р. По истечении года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад еще на 5000 р., а по истечении еще одного года просил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начислит банк, если рабочий получил 1232 р. процентных денег, оставив вклад в 10000 р. на следующий срок?

Задача 9 - задачи высокого уровня сложности с повторением темы «проценты».

Решение задачи сводиться к решению уравнения: 0,5x² + 150x - 15200 = 0, где x - количество процентов начисляемых банком за год.

10. Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй - 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Найдите массу первого и второго растворов в смеси, если известно, что безводной серной кислоты в первом растворе было на 10% больше, чем во втором.

Задача 10 - так же задача высокого уровня сложности. Это задача «на смеси», которые достаточно трудны для восприятия школьниками.

Решение: Пусть х - масса первого раствора, а e- масса второго раствора. Тогда по условию задачи х + у = 10.

Процентное содержание кислоты в первом растворе - ,

процентное содержание кислоты в втором растворе - .

Так как в первом растворе на 10% кислоты больше, то: - = 10

Составим систему:

Ответ: 6 и 10 кг.

Тема «Решение задач с помощью рациональных уравнений».

Рассмотрим задачу, которую традиционно решают составлением уравнения с неизвестным в знаменателе. Ее обычно включают в экзаменационные задания за курс алгебры неполной средней школы. Успешность решения такого рода задач невелика потому, что обратную задачу на совместную работу чаще всего не решают в 5-6-х классах.

1. Первая бригада может выполнить некоторую работу на 10 дней быстрее, чем вторая, а работая вместе они могли бы выполнить ту же работу за 12 дней. За сколько дней каждая бригада могла бы выполнить ту же работу?

Решение: Пусть первая бригада может выполнить работу на x дней. Тогда вторая бригада может выполнить работу за (x + 10) дней. При этом в день первая бригада выполняет , а вторая всей работы. Так как работая вместе они могли выполнить ту же работу за 12 дней, то в день они выполняли бы 12 всей работы. Составим уравнение: .

Это уравнение имеет единственный положительный корень 20, поэтому первая бригада может выполнить работу за 20 дней, а вторая за 20 + 10 = 30 дней.

Для проверки ответа обычно составляют обратную задачу, считая известными найденные значения величин 20 и 30, а неизвестной величиной - время совместной работы.

Вот эта обратная задача: Первая бригада может выполнить некоторую работу за 20 дней, а вторая -- за 30 дней. За сколько дней они могли бы выполнить ту же работу, работая вместе?

Решив ее, получим ответ 12 дней - это значение нам было дано в условии задачи. Это означает, что задача решена верно.

Учащиеся должны понимать, что проверка найденных корней подстановкой в составленное уравнение позволяет проверить только правильность решения уравнения, но не правильность его составления.

2. Расстояние между двумя населенными пунктами 50 км. Из этих пунктов навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше. Встретились они на расстоянии 10 км от одного из населенных пунктов. Какова скорость велосипедиста?

Эта задача начального уровня на встречное движение.

Решение: Пусть х - скорость велосипедиста, тогда (х + 30) - скорость мотоциклиста.

Так как скорость мотоциклиста больше, следовательно, они встретились рядом с пунктом из которого выехал велосипедист, следовательно, велосипедист проехал 10 км, а мотоциклист - 40 км.

Время в пути у них было одинаковое.

Таким образом, решение задачи сводиться к решению уравнения: .

3. Один из лыжников прошел расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч быстрее, чем другой.

Эта задача, тоже начального уровня сложности, на движение в одном направление

4. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шел по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?

Эта задача среднего уровня сложности.

5. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошел 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.

Эта задача среднего уровня сложности на движение по реке.

6. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?

Эта задача высокого уровня сложности, с повторением темы «проценты».

Решение: Пусть х - цена покупки лошади, тогда х - так же и потеря на операции в процентах.

Составим уравнение:

D = 10000 - 9600 = 400

Ответ: 40 или 60

Рассмотрим более сложную ситуацию, в которой учащиеся чаще всего затрудняются составить уравнение. Задача предлагались на конкурсном экзамене в Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова (РЭА).

7. За один час две трубы наполнили бассейн объемом 22 м³. Сколько кубометров заполнила первая труба, если 2 м³ она заполнила на 3 мин быстрее, чем вторая труба заполнила 3 м³?

Пусть первая труба за 1 ч наполнила x м³, тогда вторая труба за 1 ч наполнила (22 - x) м³. На наполнение 1 м³ первая труба условию задачи первая труба расходует мин, а вторая мин. На 2 м³ первая труба расходует мин, а вторая на 3 м³ расходует . По условию задачи первая труба заполнила 2 м³ на 3 мин быстрее, чем вторая труба заполнила 3 м³. Составим уравнение: - = 3

Решив это уравнение, получим единственный его положительный корень 10. То есть первая труба заполнила 10 м³.

Ответ: 10 м³

Тема «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».

1. Прямоугольный участок земли площадью 2400 м² обнесен изгородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину и ширину этого участка.

Задача 1 - задача начального уровня сложности.

2. Из некоторого пункта вышли одновременно два отряда. Один направился на север, а другой - на восток. Спустя 4 ч расстояние между отрядами было равно 24 км, причем первый прошел на 4,8 км больше чем второй. С какой скоростью шел каждый отряд?

Задача 2 - задача начального уровня сложности на движения в противоположных направлениях.

3. От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?

Задача 3 - задача среднего уровня сложности. Эта задача показывает связь между данным курсом алгебры и курсом геометрии.

Решение:

Пусть х - скорость первого тела, тогда скорость второго тела - , если сократить, то .

Следовательно: АВ = 15х, АС = , ВС = 3.

По теореме Пифагора получаем:

225х² + =9

Ответ: 0,16 м/с и 0,12 м/с.

4. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

5. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать некоторый участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если известно, что за 24 ч совместной работы они заасфальтировали 5 таких участков?

Задачи 4 и5 - задачи среднего уровня сложности. Они имеют сходные формулировки: кто то выполняет работу на сколько то времени быстрее, чем другой.

6. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 ч им оставалось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта А пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый пешеход?

7. Из населенных пунктов M и N, удаленных друг от друга на 50 км, выехали одновременно 2 мотоциклиста и встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что один из них прибыл в M на 25 мин раньше, чем другой в N.

Задачи 6 и 7 - задачи среднего уровня сложности на встречное движение, для решения которых необходимо составить систему уравнений второй степени.

Заключение

Результаты данной дипломной работы:

· проанализирована психолого-педагогическая и учебно-методическая литература;

· рассмотрено понятие текстовой задачи;

· определены роль и место текстовых задач в курсе алгебры;

· выявлена типология текстовых задач;

· изучены психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи;

· выявлены этапы обучения и методы решения текстовых задач;

· проведен обзор наиболее популярные учебники по математике, таких авторов, как Алимов Ш.А., Никольский С.М., Макарычев Ю. Н. , рассмотрено место текстовых задач в этих учебниках, и количество часов, отведенное на их изучение;

· проведен обзор текстовых задач, входящих в ГИА-9;

· разработана система задач по всем темам школьного курса алгебры для самостоятельной подготовки учащихся к сдаче экзамена за 9 класс в новой форме (ГИА-9). Данная система задач создана с учетом психологических особенностей учащихся, в ней представлены задачи различных типов.

Библиография

Алимов, Ш. А., Колягин, Ю.М., Сидоров, Ю.В. Алгебра 7 класс [Текст].- 12-е изд.- М.: Просвещение: АО «Московский учебник», 2004.- 207 с.

Алимов, Ш. А., Колягин, Ю.М., Сидоров, Ю.В. Алгебра, 8 класс [Текст].- 11-е изд.- М.: Просвещение: АО «Московский учебник», 2004.- 255 с.

Алимов, Ш. А., Колягин, Ю.М., Сидоров, Ю.В. Алгебра 9 класс [Текст].- 4-е изд. - М.: Просвещение: АО «Московский учебник», 1998.- 223 с.

Алимов, Ш. А., Колягин, Ю.М., Сидоров, Ю.В. Алгебра и начала анализа 10 -11 класс [Текст].- М.: Просвещение: АО «Московский учебник», 1998.- 254 с.

Аргинская, И. И., Зверева, М. В. Программы начального обучения 1-3 классы [Текст].- М.: Учебное издание, 1995.- 150 с.

Арнольд, И. В. О задачах по арифметике [Текст] // Математика в школе.- 1946.- № 2.

Бескин, Н. М. Роль задач в преподавании математики [Текст] // Математика в школе.- 1992.- № 45.- С. 3 - 4.

Болтянский, В. Г., Груденов, Я. И. Как учить поиску решения задач [Текст] // Математика в школе.- 1988.- №1.- С. 8 - 14.

Болтянский, В. Г., Сидоров, Ю. В., Шабунин, М. И. Лекции и задачи по элементарной математике: Кн. для учителей [Текст].- М.: Просвещение, 1984.- 305 с.

Большая Российская энциклопедия [Текст] / Под ред. Ю. Н. Короткова.- М.: Просвещение, 1993.- 580 С.

Былков, В. С. Обучение школьников некоторым элементам математического моделирования [Текст] // Математика в школе.- 1986.- №1.- С. 53 - 55.

Виленкин, Н. Я.,Чесноков, А. С. и др. Математика 5 [Текст].- 2-е изд.- М.:

Просвещение, 1992.- 324 с.

Виленкин, Н. Я.,Чесноков, А. С. и др. Математика 6 [Текст].- 6-е изд.- М.:

Просвещение, 1997.- 285 с.

Георгиев, В. С. Опыт активизации деятельности школьников на основе использования циклов задач [Текст] // Математика в школе.- 1988.- №1.- С. 77 - 78.

Гусев, В. А. Психолого - педагогические основы обучения математике [Текст].- М.: ООО Изд. «Вербум М», ООО Изд. центр «Академия», 2003.- 432с.

Демидова, Т. Е. Теория и практика решения текстовых задач [Текст].- М.: «Академия», 2002.- 288с.

Доволковский, П. К. О геометрическом решении алгебраических задач [Текст] // Математика в школе.- 1980.- №3.- С. 33 - 35.

Дорофеев, Г. В. Математика для каждого[Текст].- М.: Аякс, 1999.- 292 с.

Дорофеев, Г. В. Постановка текстовых задач как один из способов повышения интереса учащихся к математике [Текст] // Математика в школе.- 1988.- № 5.- С. 25 - 28.

Жохов, В. И. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса [Текст] / Под. ред. В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк.- 6-е изд.- М.: Просвещение, 2001.- 144 с.

Звавич, Л. И. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса [Текст].- 3-е изд.- М.: Просвещение, 1998.- 159 с.

Канин, Е. С. Развитие темы задачи [Текст] // Математика в школе.- 1991.- №3.- С. 8 - 11.

Кожухов, С. К. Составление задач школьниками [Текст] // Математика в школе. - 1995.- № 2.- С. 4 - 6.

Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике: Кн. для учителей [Текст].- М.: просвещение,1977.- 104 с.

Колягин, Ю. М., Оганесян, В. А. Учись решать задачи: Кн. для учащихся [Текст].- М.: Просвещение, 1980.- 96 с.

Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике. Часть 11. Обучение математике через задачи и обучение решению задач [Текст].- М.: Просвещение, 1977.- 204 с.

Корчевский, В. Е. Приёмы составления текстовых задач [Текст] // Математика в школе.- 1995.- № 2.- С. 41 - 44.

Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников [Текст].- М.: Просвещение, 1968.- 430 с.

Лебедев, В. С. Анализ и решение текстовых задач. Алгоритмизация [Текст] // Математика.- 2000.- №41.- С. 8- 10.

Левитас, Г. Г. Об алгебраическом решении текстовых задач [Текст] // Математика в школе.- 2000.- № 8.- С. 13 - 14.

Лукина, Л.С. Обучение решению алгебраических задач геометрическим методом [Текст] // Математика в школе.- 1996.- № 4.- С.8-10.

Лурье, М. В. Задачи на составление уравнений. Техника решения: Учеб. пособие [Текст].- М.: Изд. отдел УНЦ ДО, ФИЗМАТЛИТ, 2002.- 124 с.

Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г., Нешков, К. И., Суворова С. Б. Под ред. С.А. Теляковского Алгебра 7 класс [Текст].- 9-е изд.- М.: Просвещение, 2000.- 223 с.

Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г., Нешков, К. И., Суворова С. Б. Под ред. С.А. Теляковского Алгебра 8 класс [Текст].- 8-е изд.- М.: Просвещение, 2000.- 239 с.

Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г., Нешков, К. И., Суворова С. Б. Под ред. С.А. Теляковского Алгебра 9 класс [Текст].- 8-е изд.- М.: Просвещение, 2001.- 271 с.

Малкова, Т. В., Монахов, В. М. Математическое моделирование - необходимый компонент современной подготовки школьника [Текст] // Математика в школе.- 1984.- №3.- С. 46 - 51.

Математический справочник школьника и студента: Учеб. пособие [Текст] / Б. Фраки и др.- М.: изд. дом «Дрофа», 1999.- С. 40.

Мордкович, А. Г. Беседы с учителями математики: Учеб. - метод. Пособие [Текст].- 2 - е изд., доп. и перераб.- М.: ООО «Изд. дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Изд. «Мир и Образ.», 2005.- 336 с.

Мухина, В. С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество: Учеб. для студ. вузов [Текст].- 4 - е изд. стереотип.- М.: Изд. центр «Академия», 1999.- 456 с.

Нешков, К. И., Семушин, А. Д. Функции задач в обучении [Текст].- 5-е изд.- М.: Просвещение, 1971. - 285 с.

Никифоров, Н. И. К изучению, темы «Решение задач с помощью уравнений» [Текст] // Математика в школе.- 1994.- № 2 - С. 12 - 14.