Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы

Размещено на http://www.allbest.ru/

67

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

По теме: " Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы "

Содержание

Введение

Глава 1. Научно методические основы организации обучения решению текстовых задач в основной школе

§ 1. Понятие текстовой задачи. Роль и место текстовых задач в курсе алгебры. Типология текстовых задач

§ 2. Психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи

§ 3. Этапы обучения и методы решения текстовых задач

Глава 2. Разработка системы задач для самостоятельного решения учащимися

§ 1. Краткий обзор текстовых задач в учебниках алгебры

§ 2. Обзор текстовых задач, входивших в задания ГИА

§ 3. Система текстовых задач для самостоятельного решения

Заключение

Библиография

Введение

Текстовые задачи - один из основных разделов школьного курса математики, прежде всего потому, что это единственная тема школьного курса, иллюстрирующая приложение математических методов. В курсе физики учащиеся тоже сталкиваются с задачами, но там систематическое решение начинается в 9 классе, в то время как в курсе математики задачи решают, начиная с начальной школы. Еще одним отличием является то, что в курсе физики строятся математические модели физических процессов, а в курсе математики строятся математические модели бытовых задач.

В связи с внедрением в школы экзамена в новой форме (ГИА 9) роль текстовых задач возрастает, так в нем присутствует достаточно большое количество текстовых задач, которые встречаются как в первой, так и во второй части.

Так же текстовые задачи имеют большую роль не только в математическом образовании, но и в общем психологическом и личностном развитии учащихся. Ведь полноценное достижение целей математического образования возможно лишь с помощью решения системы учебных задач.

Например:

· овладение конкретным математическим материалом необходимым в практической деятельности человека, которое достигается обучением математике через решение задач;

· формирование представлений об идеях и методах математики как способов познания окружающего мира, которое достигается составлением математической модели ситуации описанной на естественном языке;

· формирование представления о математике как части общечеловеческой культуры; ее роли в развитии цивилизации, которое достигается с помощью старинных задач;

· развитие посредством математики определенного стиля мышления, которое достигается составлением математической модели ситуации описанной на естественном языке, а также при непосредственном решение;

· воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, которое достигается при решение задач.

Объектом исследования является обучение решению текстовых задач на уроках алгебры.

Предметом исследования является процесс решения текстовых задач в курсе математики основной школы.

Целью данной работы является разработка системы задач для самостоятельной подготовки учащихся.

Задачи:

· Изучить психолого-педагогическую и учебно-методическую литературу по данной теме.

· Определить роль и место текстовых задач в курсе алгебры.

· Выявить типологию текстовых задач.

· Проанализировать этапы обучения и методы решения текстовых задач.

· Провести обзор действующие учебники по алгебре основной школы.

· Провести обзор текстовых задач, входивших в задания ГИА

· Разработать систему задач для самостоятельной подготовки к итоговой аттестации в новой форме.

Дипломная работа включает в себя введение, две главы, заключение, список используемой литературы.

В первой главе приводятся научно методические основы организации обучения решению текстовых задач. Глава состоит из трех параграфов. В первом рассматривается понятие текстовой задачи; роль и место текстовых задач в курсе алгебры; типология текстовых задач. Во втором параграфе рассматриваются психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи. В третьем параграфе рассматриваются этапы и методы решения текстовых задач.

Во второй главе разрабатывается система задач для самостоятельного решения учащимися. Глава состоит из трех параграфов: краткого обзора текстовых задач в учебниках алгебры, обзора текстовых задач, входивших в ГИА-9 и системы текстовых задач.

Глава 1. Научно методические основы организации обучения решению текстовых задач в основной школе

§ 1. Понятие текстовой задачи. Роль и место текстовых задач в курсе алгебры. Типология текстовых задач

текстовая задача алгебра школа

Текстовые задачи, обычно решаемые в школьном курсе математики, по мнению Л. М. Фридмана, представляют собой словесные модели задач, в которых учащемуся необходимо найти значения некоторой неизвестной величины (или нескольких величин). Нахождение этого значения возможно потому, что оно однозначно определяется другими известными и неизвестными величинами и их взаимными связями с неизвестной величиной. В задаче имеются все данные для решения, но неизвестны операции, которые должны к нему привести. Основная трудность заключается в определении пути решения. При этом сложность структуры, её индивидуальность нередко скрывает математическую общность многих задач и вынуждает каждый раз строить особое рассуждение, подходящие к данному случаю.

По определению Ю.М. Колягина, текстовой задачей является описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.

Я бы хотел определить текстовую задачу как описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке, в которых учащемуся для нахождения значения некоторой неизвестной величины (или нескольких величин) необходимо построить математическую модель этой задачи.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требование задачи - это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.

Решить задачу - это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на её вопрос).

Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия:

решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи;

решением задачи называют процесс нахождения этот результата, т.е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения до окончания решения;

решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

В истории использования задач в обучении математике можно выделить следующие этапы:

1) изучение математики с целью обучения решению задач;

2) обучение математике, сопровождаемое решением задач;

3) обучение математике через решение задач.

В учебных пособиях по методике обучения математике роль и место задач в обучении несколько занижены. Например, в книге «Педагогика математики» А. А. Столяра обучение через задачи представлено схемой «задачи - теория - задачи», из которой явствует, что задачи рассматриваются автором как источник возникновения теории и средство ее применения. Так, задачи (упражнения) при формировании понятий призваны: способствовать мотивации введения понятия; выявлять существенные свойства понятия; способствовать их усвоению; способствовать усвоению терминологии, символики, пониманию смысла каждого слова в определении, запоминанию определения, овладению объемом понятия; раскрывать взаимосвязи понятия с другими понятиями; обучать применению понятия. Выполнение упражнений должно обеспечить овладение умениями распознавать объекты, принадлежащие понятию, выводить следствия из принадлежности объекта понятию; переходить от определения понятия к его признакам, переосмысливать объекты с точки зрения других понятий.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и сами задачи. Если ранее требование задачи выражалось словами: «найти», «построить»; «вычислить», «доказать», то теперь - «объяснить», «выбрать из различных способов решения оптимальный», «выделить все эвристики, используемые при решении задачи», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т. д. Среди функций задач важное место занимает функция управления математической деятельностью школьника, и в частности его развитием. Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления, является решение задач.

Функции задач в обучении взаимосвязаны, однако в каждом конкретном случае выделяется ведущая функция задачи в соответствии с целевой установкой ее применения.

Использование в обучении математике задач означает, что они могут иметь своей дидактической целью:

· обоснование полезности и необходимости изучения того или иного теоретического материала;

· подготовку к введению новых понятий;

· ознакомление с конкретными методами абстрактной теории;

· выявление некоторых свойств известных математических объектов;

· установление связей изученной теории с новой;

· подготовку к доказательству сложных предложений;

· ознакомление с новым методом решения задач;

· сравнение эффективности различных методов решения одной и той же задачи.

Вообще чтобы научиться решать задачи надо их решать, причем решать различные задачи и по-разному (то есть разными способами), анализировать решения, сравнивать, находить преимущества и недостатки в каждом конкретном случае. Но, в то же время, умение решать задачи не находится в прямой зависимости от числа решенных задач, поэтому в психолого-педагогических и методических исследованиях отдается предпочтение приемам формирования общих подходов к задаче как к объекту изучения, ее анализу и поиску ее решений.

Основная задача современного учителя математики не создание у учащихся механического применения полученных навыков, а умения их применять в нестандартных ситуациях.

Роль задач при обучении математики чрезвычайно велика. В процессе обучения математике они имеют большое и многостороннее значение. Они могут служить многим конкретным целям обучения, выполнять разнообразные дидактические функции.

Предварение изучения математической теории постановкой задач предоставляет учителю благоприятные возможности для использования на уроках элементов проблемного обучения. Такие задачи могут служить не только средством введения новых понятий и методов, обоснования полезности изучения программного материала. Их использование обеспечивает более осознанное овладение математической теорией, учить учеников самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства, основным мыслительным операциям, выделению существенных свойств математических объектов, формирует интерес к предмету.

В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет и т.п. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать (т. е. разделить на группы по выбранному основанию):

· по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;

· по соответствию числа данных и искомых;

· по фабуле задачи;

· по способам решения и др.

Положив в основание классификации число действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.

Выбрав в качестве основания классификации соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи определенные, задачи с альтернативным условием, неопределенные и переопределенные задачи. Чаще всего в задачах число условий (зависимостей между величинами) соответствует числу данных и искомых. Но встречаются задачи, в которых этого соответствия нет.

Определенные задачи -- это задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа.

Задачи с альтернативным условием -- это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.

Неопределенные задачи -- задачи, в которых условий недостаточно для получения однозначного ответа.

Переопределенные задачи -- задачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом. Такие условия называют лишними. Следует иметь в виду, что при решении задачи другим способом лишними могут оказаться уже другие условия. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.

Положив в основание классификации фабулу задачи, чаще всего выделяют такие группы текстовых задач: «на движение», «на работу», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на проценты», «на части», «на время», «на покупку и продажу» и т.п. Классифицировать задачи, исходя из фабулы условия, очень сложно, так как тематика условий задач бывает порой очень разнообразной.

§ 2. Психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи

Задачи играют большую роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди, направляют всю его деятельность, всю его жизнь. Мышление человека главным образом и состоит из постановки и решения задач.

Теоретические знания о задачах и решениях нужны учащимся для того, чтобы они могли производить решение разнообразных задач сознательно и целенаправленно, а не только лишь на основе подражания, по аналогии с ранее решенными задачами.

Если ученик будет обладать необходимой системой знаний и умений правильно и дисциплинированно вести поиск решения задач, то все технические трудности отойдут на второй план, а на первый - вступит учебно-познавательная цель решения задач.

Для решения задачи необходимо рассматривать её как объект для анализа, а её решение как изобретение способа решения. Для этой цели должны применяться основные принципы дидактики:

· принцип научности - отражает взаимосвязь с современным научным знанием. Этот принцип воплощает в отборе изучаемого материала, в порядке и последовательности ведения научных понятий в учебный процесс. Принцип научности нацеливает учителя на вовлечение школьников в проведение анализа результатов собственных наблюдений и самостоятельное их исследование.

· принцип систематичности и последовательности - придает системный характер учебной деятельности, теоретическим знаниям, практическим умениям учащихся. Этот принцип предполагает усвоение знаний в определенном порядке, системе. При решении задач с помощью уравнений может усложняться характер взаимосвязи между элементами условия задачи.

· принцип связи обучения с практикой - предусматривает, чтобы процесс обучения стимулировал учеников использовать полученные знания в решении практических задач;

· принцип доступности - требует учета особенностей развития учащихся, анализа материала с точки зрения их реальных возможностей и такой организации обучения чтобы они не испытывали интеллектуальных, моральных, физических перегрузок. Доступность должна заключаться в обучении учащихся новому материалу, опираясь на их знания, опыт, особенности мышления.

· принцип наглядности - означает, что эффективность обучения зависит от целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработки учебного материала.

Учет возрастных особенностей - один из основополагающих педагогических принципов, поэтому для анализа возможности организации того или иного вида деятельности, в том или ином возрасте, нужно, прежде всего, знать основные особенности данного возраста.

Средний возраст учащихся 7-9 классов (от 12 до 16 лет) - переходный, переломный возраст, так как он характеризуется переходом от периода детства к юности. Этот период считается трудным для воспитания, и для самого подростка, в сравнении с младшим школьным возрастом. Трудности, как правило, происходят от того, что не редко воспитатели - педагоги либо не знают особенностей детей данного возраста, либо их не учитывают.

Переходный возраст период бурного и неравномерного роста и развития организма. Центральным фактором физического развития в подростковом возрасте является половое созревание, которое оказывает существенное влияние на работу внутренних органов. Возрастает роль сознания, улучшается контроль коры головного мозга над инстинктами и эмоциями. Однако нервная система подростка еще не всегда способна выдерживать сильные и длительно действующие раздражители и под влиянием их часто приходит в состояние торможения или наоборот, сильного возбуждения.

Важным новообразованием подросткового возраста является формирование своеобразного чувства взрослости. Переоценка своих возможностей определяет стремление подростков к известной независимости и самостоятельности.

Основным видом деятельности в подростковом (среднем школьном) возрасте является обучение.

Рассмотрим совершенствование основных психических процессов, участвующих в этом виде деятельности.

Восприятие. Восприятие подростка характеризуется целенаправленностью, избирательностью и организованностью. Подросток становится способным к более сложному аналитико-синтетическому восприятию предметов и явлений в действительности. Под влиянием обучения внимание у подростков постепенно принимает характер организованного, регулируемого и управляемого процесса. Подросток уже способен управлять своим произвольным вниманием. Внимание характеризуется устойчивостью.

Решение текстовых задач развивает восприятие, так как ученику необходимо выбрать из текста, только те данные, которые необходимы для решения.

Память. С 13 до 15-16 лет наблюдается более быстрый рост памяти. В этом возрасте память перестраивается, переходя от доминирование механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память - она приобретает опосредованный, логический характер, обязательно включается мышление. Заодно с формой меняется и содержание запоминаемого; становится более доступным запоминание абстрактного материала. Память работает на опосредованиях уже присвоенных знаковых систем, прежде всего речи. Например, для того, чтобы запомнить большой объем учебного материала, подростку уже не нужно заучивать его путем многократных повторений. В процессе понимания ребенок вычленяет главные и второстепенные моменты, что облегчает запоминание материала.

Воображение. Воображение в подростковом возрасте может превратиться в самостоятельную внутреннюю деятельность. Подросток может проигрывать мыслительные задачи с математическими знаками, может оперировать значениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции: воображение и мышление.

При решение текстовой задачи воображение помогает построить математическую модель, то есть перевести бытовую ситуацию на язык формул.

Мышление. В подростковом возрасте происходят значительные сдвиги в мыслительной деятельности. Мышление становится более систематизированным, последовательным, зрелым. Подросток учится самостоятельно и творчески мыслить, рассуждать, сравнивать, делать глубокие по содержанию выводы и обобщения. Все большее значение начинает приобретать творческое мышление, характерным признаком которого служит такой анализ, который, совершаясь на каком-то конкретном факте (задаче, событии), вскрывает внутреннюю связь, лежащую в основе многочисленных частных проявлений.

Математическое мышление имеет свои специфические черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения. Математическое мышление часто характеризуют проявлением так называемых математических способностей.

Формирование у школьников математического мышления способствует не только успешному обучению математике, но и успешному обучению другим предметам.

К числу математических качеств мышления относятся: гибкость, оригинальность, глубина, целенаправленность, широта, рациональность, активность, критичность, четкость и лаконичность речи, и записи.

Глубина мышления проявляется в умении проникать в сущность каждого из изучаемых фактов, в их взаимосвязи с другими фактами, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале (в условии задачи, способе ее решения, в результате), умением конструировать модели конкретных ситуаций. Глубину мышления нередко определяют умением выделять существенное.

Решение самых разных задач (как практических, так и теоретических), с которыми сталкивается человек, чаще всего связано с необходимостью планировать свои действия, прогнозировать результаты тех или иных проблемных ситуаций. Поэтому приходится строить процесс решения сначала в мыслительных образах, а затем уже воплощать его в реальность.

Воспитательная роль текстовых задач. Проблему математического образования в школе нельзя сводить только к передаче учащимся определенной суммы знаний и навыков по этому предмету. Перед учителями математики стоит и другая, не менее важная задача - реализация возможностей своего предмета в развитии личности учащихся.

Одним из эффективных средств воспитания учащихся является решении математических задач. Математические задачи отражают различные стороны жизни, несут много полезной информации, поэтому их решение является одним из звеньев в системе воспитания вообще, патриотического, нравственного и трудового в частности.

Приступая к решению задачи, ученик сначала знакомится с ее формулировкой, решение же пока остается вне поля его деятельности. Поэтому очень важно, чтобы содержание задачи вызывало живой интерес. Полезно, когда тексты задач обращены не только к уму, но и к эмоциям детей, вызывая у них чувство причастности к решению актуальных проблем. При этом воспитательное воздействие содержания задач осуществляется не только через условие задачи, но и непроизвольно, через подтекст материала. С усвоением любой информации связано формирование отношения к ней. Отсюда понятно значение содержания решаемой задачи.

Учебная работа школьников на уроках математики, также очень важна. Необходимость убедительной аргументации по ходу решения задач способствует развитию таких волевых качеств, как настойчивость, самостоятельное преодоление трудностей, критическое отношение к себе и к окружающему. Поиски и нахождение самостоятельных путей решения задач и доказательства теорем способствуют развитию творческого подхода к выполняемой работе, духа новаторства. Поэтому учащиеся не должны выступать на уроках в роли пассивных слушателей. На уроке должны использоваться разнообразные виды самостоятельной учебной работы, рациональные приемы учебы.

Образовательное значение текстовых задач. В процессе решения текстовых задач учащиеся усваивают конкретный смысл арифметических действий, знакомятся со знаками для записи выполняемых действий; изучаемые правила сразу же подтверждаются в решении задач. Такие задачи предусмотрены программой каждого года обучения.

Система подбора задач и расположении их по времени построена с таким расчетом, чтобы обеспечить наиболее благоприятные условия для сопоставления, сравнения, противопоставления задач, сходных в том или ином отношении, а также задач взаимно обратных. При этом имеется в виду, что в процессе изучения математики дети все время будут встречаться с задачами различных видов. Это исключает возможность выработки штампов и натаскивания в решении задач: дети с самого начала будут поставлены перед необходимостью каждый раз производить анализ задачи, устанавливая связь между данными и искомым, прежде чем выбрать то или иное действие для ее решения.

Текстовые задачи являются тем богатейшим материалом, на котором будет решаться важнейшая задача преподавания математики -- развитие мышления и творческой активности учащихся.

Дети учатся анализировать содержание задачи, точно объясняя, что известно в решаемой задаче и что неизвестно, что следует из условия задачи, какие арифметические действия и в какой последовательности должны быть выполнены для получения ответа на вопрос задачи; обосновывать выбор каждого действия и пояснять полученные результаты; составлять по задаче выражение и вычислять его значение; устно давать полный ответ на вопрос задач и проверять правильность решения задачи. Необходимо, чтобы учащиеся знали о возможности различных способов решения некоторых задач и сознательно выбирали наиболее рациональный из них.

Решение задач способствует формированию у детей полноценных знаний, определяемых программой. Задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач позволяет углубить и расширить представления детей о жизни, формирует у них практические умения (подсчитать стоимость покупки, ремонта квартиры).

Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами.

Процесс решения задач оказывает положительное влияние на умственное развитие детей.

Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокое представление о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать задачи различными способами.

В методике обучения решению задач выделяют пять их основных функций обучающая, воспитывающая, развивающая, контролирующая и мотивационная.

· Обучающая функция задач направлена на формирование у учащихся системы математических знаний, умений и навыков в процессе их усвоения.

· Воспитывающая функция задач направлена на воспитание у учащихся интереса к предмету, навыков учебного труда.

· Развивающая функция задач направлена на развитие мышления учащиеся, на формирование у них приемов умственной деятельности.

· Контролирующая функция задач направлена на определение уровня усвоения учащимися учебного материала, способности их к самостоятельному изучении школьного курса математики, уровня развития и сформированности познавательных интересов школьников.

· Мотивационная функция задач является одним из средств активизации учебного процесса. Мотивационную функцию в обучении математике выполняют задачи.

Такое применение задач способствует осознанному восприятию учащимися программного материала, овладению прочными знаниями, развитию мыслительной деятельности школьников.

В процессе осознания решения текстовых задач достигаются не только специфические цели математического образования, но развиваются все высшие психические функции учащихся, укрепляются и развиваются волевые черты их характера. Формируются такие качества личности, как внутренний план действий, разумный и устойчивый стиль деятельности, ответственность за начатое дело и потребность в его доведении до конца, творческая инициатива и многие другие важнейшие качества.

§ 3. Этапы обучения и методы решения текстовых задач

Процесс обучения решению математических текстовых задач в общеобразовательной школе можно условно разбить на следующие этапы:

1) Пропедевтический этап 1-4 классы

2) Эмпирический этап 5-6 классы

3) Систематический этап 7-9 классы

4) Творческий этап 10-11 классы.

· Пропедевтический этап.

На пропедевтическом этапе к концу 3, 4-го класса ученики должны иметь представление:

- об отличительных признаках текстовой математической задачи;

- о различных способах оформления краткой записи задачи;

- о различных способах оформления решения задачи;

- о рациональном и нерациональном способах решения задачи;

- об алгебраическом методе решении задачи;

- о возможности классификации задач по сходству их математического смысла.

Знать:

- составляющие элементы задач - условие, вопрос, данные, искомое.

Уметь:

- определить является ли текст задачей;

- выделить элементы задачи;

- дополнить текст недостающими элементами, превратив его в задачу;

- установить соответствие задач, данных в разной формулировке, заменить сложную формулировку более простой;

- проанализировать текст задачи, начиная с вопроса, установить количество действий, необходимых для её решения, порядок действий и сами действия;

- записать решение задачи по действиям с вопросами или пояснениями, а также сложным выражением.

· Эмпирический этап

Решение текстовых задач традиционно является одним из основных видов учебной деятельности в 5-6 классах. На этом этапе у школьников развиваются логическое мышление, элементарные навыки абстрагирования, математическое моделирование.

К концу 6 класса ученики должны уметь решать следующие задачи, предусмотренные программой:

- задачи, требующие понимания смысла отношений «больше на …(в…)», «меньше на…(в…)», а также задачи на известные учащимся зависимости между величинами (скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью товара и другие),

- задачи, решаемые алгебраическим методом,

- задачи с использованием метода пропорций,

- три вида задач на проценты: находить несколько процентов от какой-либо величины; находить число, если известно несколько его процентов; находить, сколько процентов одно число составляет от другого.

· Систематический этап

К концу 9 класса ученики должны уметь решать следующие задачи, предусмотренные программой:

- задачи «на части, смеси, проценты»;

- задачи на движение:

Ш задачи на встречное движение двух тел;

Ш задачи на движение двух тел в одном направлении (движение начинается одновременно из разных пунктов, движение начинается в разное время из одного пункта);

Ш задачи на движение двух тел в противоположных направлениях;

Ш задачи на движение по реке.

- задачи, связанных с различными процессами (работа, наполнение бассейнов и другие), с использованием арифметического метода, алгебраического метода, а так же некоторых специальных методов, например геометрического.

· Творческий этап

Высшая ступень продуктивного мышления - творческое мышление. Существуют показатели, по которым судят о творческом мышлении. К ним относятся оригинальность мысли, возможность получения ответов, быстрота возникновения необычных ассоциативных связей; «восприимчивость» к проблеме, её непривычное решение; беглость мысли как количество ассоциаций, идей, возникающих в единицу времени в соответствии с некоторым требованием; способность найти новые, непривычные функции ответа или его части. В творческом мышлении появляется способность к постановке проблем, чувствительность к недостаткам в имеющихся знаниях, возможность построения гипотез об отсутствующих элементах этих знаний и тому подобное.

Творческая деятельность ученика зависит от наличия трех компонентов мышления:

1) Высокий уровень сформированности элементарных мыслительных операций: анализа и синтеза, сравнения и аналогии, классификации и д.р.;

2) Высокий уровень активности и неординарности мышления, которые проявляются в различных вариантах решений и в выдвижении нестандартных идей;

3) Высокий уровень организованности и целенаправленности мышления, которые проявляются в умении выделить существенное в явлениях и сознании собственных способов мышления.

Задача учителя сводится к формированию указанных составляющих мышления. Инструментом должны быть занимательные задачи: задачи - головоломки, на соображение и догадку, нестандартные задачи.

Без занимательных задач, по мнению Н. И. Лобачевского, преподавание не бывает успешным, поскольку занимательность - необходимое средство возбуждать и поддерживать внимание.

Все материалы занимательного характера обычно разбивают на три группы:

- материалы, занимательные по форме;

- материалы, занимательные по содержанию;

- материалы, занимательные по форме и содержанию.

Основу занимательности на уроках должны составлять задания, непосредственно связанные с программным материалом.

Главный фактор занимательности - это приобщение учащихся к творческому поиску, активизация их самостоятельной исследовательской деятельности, так как часто уникальность занимательной задачи служит мотивом к учебной деятельности, развивая и тренируя мышление вообще, вообще, и творческое, в частности.

Из выше сказанного можно сделать вывод о том, что продуктивное мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целенаправленного развития которого невозможно достичь высоких результатов в овладении школьниками системой математических знаний, умений и навыков.

Методы решения тестовых задач в основной школе:

· Арифметический метод

Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

Решение любой задачи - процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения задачи и некоторые приёмы их выполнения.

Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы (по Колягину Ю. М.):

1. Анализ задачи;

2. Поиск плана решения задачи;

3. Осуществление плана решения задачи;

4. Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют чётких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Рассмотрим далее каждый из этих этапов.

Анализ задачи

Основное назначение этого этапа - понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные и искомые объекты; выделить все отношения (зависимости) между ними.

Известно несколько приёмов, которые можно использовать при анализе задачи.

Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования можно, если поставить специальные вопросы и ответить на них:

- О чём задача?

- Что требуется найти в задаче?

- Что обозначают те или иные слова в тексте задачи?

- Что в задаче неизвестно?

- Что является искомым?

Поиск и составление плана решения задачи

Назначение этого этапа: наметить последовательность действий. План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать всё сначала. При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и так далее. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.

Осуществление плана решения задач

Назначение данного этапа - найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач решаемых арифметическим методом, используются следующие приёмы:

- запись по действиям (с пояснениями, без пояснения, с вопросами);

- запись в виде выражения.

Проверка решения задачи

Назначение данного этапа - установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Арифметический метод решения задач может быть общим методом. Он представляет более или менее полную совокупность приёмов рассуждения, каждый из которых применим для конкретного типа задач.

Пример:

1. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?

Решение: 1-й способ:

1) 82 + 32 + 78 = 192 (чел.) - удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192: 2 = 96 (чел.) - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96 - 32 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4) 96 - 78 = 18 (чел.) - занимаются танцами;

5) 96 - 82 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой.

2-й способ:

1) 82 - 32 = 50 (чел.) - на столько больше студентов поют в хоре, чем занимаются художественной гимнастикой;

2) 50 + 78 = 128 (чел.) - удвоенное число студентов, поющих в хоре;

3) 128: 2=64 (чел.) - поют в хоре;

4) 78 - 64 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой;

5) 82 - 64 = 18 (чел.) - занимаются танцами.

Ответ: 64 студента поют в хоре, 14 студентов занимаются художественной гимнастикой, 18 студентов занимаются танцами.

· Алгебраический метод

Алгебраический метод обеспечивает общий подход, общий принцип в анализе и решении задач (всех или по крайней мере достаточно широкого круга). Его отличие от арифметического метода прежде всего состоит в введении неизвестной величины и её специального обозначения.

Итак, при алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного (неизвестных), для обозначения буквой (буквами), от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических способах решения этой задачи.

Составление уравнения отличается от арифметического метода не только введением буквенных обозначений неизвестной величины, но и установление зависимостей между величинами задачи. Эти зависимости представлены здесь не в виде цепочки формул, каждое звено которой связано с выполнением предшествующих действий и все звенья которой объединяются лишь в конце, а сразу в виде уравнения, в котором фиксируются все существенные связи между известными и чаще неизвестными величинами. Это возможно благодаря особой функции «X», позволяющей замещать неизвестную величину особым символом и оперировать с ним.

При алгебраическом методе решения задачи важно не вычисление конкретных значений величин, а выявление и выражение основных зависимостей между явными и неявными значениями величин, входящих в условие задачи.

При алгебраическом методе решения текстовой задачи выполняются следующие этапы:

1. Разработка математической модели;

Математической моделью задачи, является, как правило, уравнение или система уравнений.

2. Поиск алгоритма решения;

Алгоритм решения, как правило, известен.

3. Вычисление и исследование.

Пример.

1. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение: 1-й способ:

Пусть х д/день - первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10) д/день - новая производительность, Зх д. - число деталей, которые он должен сделать. По условию получаем уравнение Зх = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

2-й способ:

Пусть х д. - число деталей, которые должен сделать рабочий. Тогда х/2 д/день - новая производительность, ( - 10) д/день - первоначальная производительность рабочего. По условию получаем уравнение х = 3( - 10), решив которое найдем х=60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

· Графический метод решения текстовых задач.

В данном параграфе рассмотрим метод решения текстовых задач: использование геометрического решения алгебраических задач.

Большинство алгебраических задач можно решить с помощью разных графиков, схем, диаграмм. Геометрический метод решения задач базируется на основных понятиях планиметрии (точка, отрезок, длина, площадь, треугольник, прямоугольник и другие), а также свойствах плоских фигур и графиков элементарных функций. Математическая модель в этом случае представляет собой либо диаграмму, либо график.

Диаграмма - это чертёж или рисунок, на котором условно изображены в виде отдельных фигур различные значения одной и той же величины или нескольких сравнимых величин. Она служит не только для изображения величин, но и для показа соотношений между ними.

График - это множество точек (обычно некоторая линия, реже - конечное множество), координатной плоскости. График используется для изображения связи между двумя величинами, из которых одна является аргументом, а другая - функцией. Каждое значение аргумента является абсциссой некоторой точки графика, а соответствующее значение функции - ординатой той же точки. Для решения конкретной задачи используется один или несколько графиков на одном чертеже.

Решение задач геометрическим методом осуществляется двумя приёмами: конструктивным (чисто графическим) и вычислительным (графико - вычислительным). В каждом из них используется различные способы решения задач.

При решении задач конструктивным приёмом диаграмма или график вычерчиваются как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой, треугольником или на миллиметровой бумаге или бумаге «в клетку» в определённом масштабе. Ответ обычно получается приближённый, но приемлемый для практических целей. Он находится при помощи измерений длин отрезков или других элементов чертежа, а зачастую просто «считывается» с чертежа.

Пример:

1. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго - 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение 1-й способ: Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали - за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ, равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку В. Затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т. д. (рис. 1, а). Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

2-й способ: В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали -расстояние (в километрах).

Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали - за 1 ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией у = 20х, второго - у = 250 - 30х. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся (рис.1,б). Из чертежа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каким расстоянии от пункта А про изойдет встреча. Ее значение равно 100.

3-й способ: Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения - отрезком OS (рис. 1,в ). Тогда площадь S прямоугольника OSO©ыT (она равна OS·OT) соответствует расстоянию между городами А и В (пройденный путь есть произведение скорости движения на время движения). Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + ЗО = 50 (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение 250 = 50·ОТ, решив которое находим ОТ = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч.



Ответ: через 5 ч.

· Нестандартные способы решения текстовых задач

Рассмотрим нестандартные способы решения обычных «стандартных» задач и задач олимпиадной и конкурсной тематики, специальные приемы их решения: переформулировка задачи, использование «лишних» неизвестных, делимости и диофантовых уравнений, решение задач в общем виде (когда все или некоторые значения величин в условии обозначены буквой).

- Переформулировка задачи.

Для ясности, о каких переформулировках пойдет речь, решим задачу.

1. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди, зашедшая в магазин, купила 5 больших птиц и 3 маленьких. Если бы она вместо этого купил 3 больших птицы и 5 маленьких, то потратила бы на 20 долларов меньше. Что стоит каждая птица?

Простое решение задачи основано на замене каждой большой птицы двумя маленькими, то есть в такой переформулировке задачи, при которой ответ новой задачи является ответом для первой задачи. Вот как выглядит новая задача.

В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди купила 13 маленьких птиц. Если бы она вместо этого купила 11 маленьких птиц, то потратила бы на 20 долларов меньше. Что стоит каждая птица?

Метод переформулировки задачи позволяет обходиться без решения систем.

Задач, в которых возможна такая переформулировка, не так много, но они встречаются и на конкурсном экзамене.

Пример:

2. Фабрика получила заказ на изготовление 6000 деталей типа P и 2000 деталей типа Q. Каждый из 214 рабочих фабрики затрачивает на изготовление 5 деталей типа P время, за которое он мог бы изготовить 3 детали типа Q. Каким образом можно разделить рабочих фабрики на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа?

3. На вспашке поля работали 4 гусеничных трактора одинаковой мощности. После того как они проработали 2 ч, к ним присоединились еще 2 колесных трактора, после чего работа была закончена за 2 ч. Если бы все тракторы начали работать одновременно, то поле было бы вспахано за 3 ч. Определите, за сколько часов могут вспахать поле 2 гусеничных трактора и 2 колесных трактора, работая одновременно.

- «Лишние» неизвестные.

Суть данного метода состоит во введении неизвестных, значения которых не требуется находить для получения ответа на вопрос задачи (а часто и невозможно найти). При этом задача может быть решена без составления уравнения - вычислением отношения с сокращением «лишнего» неизвестного, составлением уравнения или системы уравнений, в которых число неизвестных превышает число уравнений.

Рассмотрим применение этого метода на примерах:

1. Велосипедист ехал из А в В со скоростью 15 км/ч, а возвращался назад со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всем участке?

Решим задачу с помощью «лишнего» неизвестного. Пусть x км. - расстояние от А до В, тогда ч. затрачено на путь туда и обратно.

Вычислим среднюю скорость, поделив пройденный путь на время движения:

(км/ч)

2. В некотором царстве, в некотором государстве правительство вынесло на всенародное голосование проект закона о запрете рекламы спиртных напитков и табака. Этот проект поддержали 69% взрослого населения, принявшего участие в голосовании. Причем «за» проголосовало 94% женщин и 41% мужчин. Кого среди голосовавших было больше -- мужчин или женщин? На сколько процентов?

Очевидно, что условий задачи недостаточно для установления числа голосовавших мужчин и женщин. Пусть в голосовании приняло участие m мужчин и g женщин. Проект закона поддержало 0,41m мужчин и 0,94g женщин, а всего 0,69(m + g) человек. Составим уравнение: 0,41m + 0,94g = 0,69(m + g), из которого получим g = 1,12m.

Это означает, что среди голосовавших женщин было на 12% больше, чем мужчин.

- Использование делимости

Еще одна идея, которая используется при решении нестандартных задач - делимость.

Рассмотрим применение этого метода на примере.

1. Иван Петрович приобрел в начале года k акций банка «Надежда», часть которых простые, а другая часть -- привилегированные. За год доход по одной простой акции составил 16 условных денежных единиц, а доход по одной привилегированной акции -- 21 условную денежную единицу. Сколько привилегированных акций приобрел Иван Петрович, если доход за год по купленным акциям составил 269 условных денежных единиц?

Пусть Иван Петрович приобрел в начале года x привилегированных акций, тогда простых акций он приобрел (k - x) штук. Доход за год по всем акциям составил 21x + 16(k - x), или 269 условных денежных единиц. Составим уравнение: 21x + 16(k - x) = 269, корень которого x =

Итак, Иван Петрович купил привилегированных акций. Но задача еще не решена.

Число привилегированных акций можно определить точно, пользуясь тем, что число k натуральное. Оно больше (наименьшее число акций, если они все привилегированные), но меньше (набольшее число акций, если они все простые), то есть 13 ? k ? 16. В этом промежутке только при k = 14 число является натуральным. Следовательно, Иван Петрович купил привилегированных акций.

Приведем еще задачи, которые решаются данным методом.

2. (Задача А. Ризе, XVI в.) 26 персон издержали вместе 88 марок, причем мужчины издержали по 6 марок, женщины по 4, девушки по 2. Сколько было мужчин, женщин, девушек?

3. (Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи), XII-XIII вв.) 30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби -- по 2 и пара воробьев -- по монете. Спрашивается, сколько куплено птиц каждого вида.

4. (Старинная задача.) Двенадцать человек несут 12 хлебов; каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина по половине хлеба, ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

- Решение задач в общем виде.

Рассмотрим решение задач в общем виде, возникающее в двух случаях: значения некоторых величин, от которых зависит ответ задачи, заменены буквами, или требуется решить несколько однотипных задач, отличающихся только значениями величин.

1. Теплоход длины L м движется в неподвижной воде. Катер, имеющий скорость v м/с, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа за t с. Найдите скорость теплохода.

Пусть скорость теплоход равна x м/c. Тогда на путь в оба конца катер тратит с, что по условию задачи равно t с.

Составим уравнение:

Перепишем это уравнение в виде:

Это уравнение имеет единственный положительный корень , следовательно, скорость теплохода равна м/с.

В следующей задаче числовые данные величин заданы, но, чтобы не решать два раза одним способом задачу, полезно решить ее в общем виде и лишь потом подставить числовые данные (именно так учат решать задачи на уроках физики).

2. Колонна солдат длины l движется с постоянной скоростью по шоссе. Курьер из конца колонны отправился в ее начало. Достигнув начала колонны, он тут же повернул обратно и пошел в конец колонны с той же скоростью. Известно, что скорость курьера в n раз больше скорости колонны. Определите путь колонны за то время, которое курьер потратил на путь в оба конца, если: а) l = 250 м, n = 1,5; б) l = 300 м, n = 2.