42

Вступ

Обрана мною тема курсової роботи - математичні більярди - є дуже цікавою і актуальною. В умовах розвитку комп'ютерних технологій, створень математичних пакетів для вирішення багатьох задач з різних галузей математики постає проблема пошуку найбільш оптимальних шляхів розв'язання. Не останню роль в вирішенні цієї проблеми грає вивчення теорії математичних більярдів. Тому розгляд цього питання, встановлення зв'язків основ цієї теорії з рішеннями проблем інформатики, фізики є достатньо важливим компонентом навчального курсу «Вища математика». Крім цього, деякі відомості доречно було б вивчати в середній школі для розв'язання задач підвищеної складності, при підготовці учнів до математичних олімпіад, на факультативах з математики та в класах з поглибленим вивченням математики.

Вивчення математичних більярдів, як системи руху абсолютно пружного тіла (без врахування опору середовища), послужило основою концепції детермінованого хаосу. До систем, відповідаючім більярдам, зводяться ряд задач статистичної фізики. Багато складних для аналітичного розв'язання математичних задач легко розв'язуються за допомогою побудови траєкторій більярдів в прямокутній та опуклій області. Чітко простежується зв'язок такої науки, як оптики з проблемами побудови траєкторій математичних більярдів в еліпсі та ін.

Все це свідчить про необхідність подальшого розгляду цієї теми, використання для вирішення питань теорії більярдів сучасних комп'ютерних програм. Тому метою моєї роботи було вивчення основних теоретичних відомостей вищезазначеної теми, аналіз можливостей застосування законів теорії в середніх навчальних закладах та використання комп'ютерних програм для оптимізації роботи з пошуку рішення проблемних питань, для наочної демонстрації правил побудови більярдних траєкторій та розширення сфери застосування теорії математичних більярдів. Для цього були вивчені роботи відомих математиків, що займались цією проблемою, проведена спільна з викладачами вищої математики та інформатики ХНПУ ім. Г.С. Сковороди дослідницька робота. В результаті проведеної роботи були отримані наступні висновки, що представлені в двох розділах даної курсової роботи.

Відомості з теорії математичних більярдів

Об'єкт та історія вивчення теорії

Назва більярд походить від французького «billiard» - крива палка або «billart» (кий) та «bille» (куля).

Подібно до того, як азартна гра у кості викликала до життя «обчислення» вірогідності, гра в більярд стала предметом серйозних наукових досліджень з механіки та математики. Опису руху більярдної кулі присвячена книга видатного французького фізика Г.Г. Коріоліса, створена ним в 1835 році. Окремі відомості цієї праці будуть наведені в подальших розділах даної курсової роботи.

Відомі різні варіанти гри на більярді. Наприклад, так званий французькій більярд взагалі не має луз. При грі в цей більярд треба попасти в задану кулю після декількох зіткнень з іншими кулями. Французький більярд і став прообразом математичного більярда.

Об'єктом вивчення в математичних більярдах є траєкторія, тобто слід рухомої більярдної одиниці. В загальному випадку ця ламана, що вписана в область Q і складена з нескінченної кількості ланок, на яких вказано напрям руху. Ця ламана може бути однозначно побудована по будь-якій своїй ланці. В окремому випадку, коли більярдна частка вертається в вихідне положення (і після цього знов розпочинає свій рух), ламана замкнена і складається з скінченої кількості ланок. Така траєкторія називається періодичною. Основна ціль теорії математичних більярдів - опис всіляких типів траєкторій в різних областях.

Більярди призводять до багатьох цікавих і красивих математичних задач. О декількох з них розповідається в другій частині даної роботи.

Ці задачі бувають далеко не простими і приховують в собі багато невирішених проблем. Наприклад, досі невідомо, чи в будь-якій області існує періодична більярдна траєкторія (це невідомо навіть для многокутників). Іще один приклад пов'язаний з проблемою висвітлення довільної області з дзеркальними стінками точковим джерелом світла: з деякої точки q € Q випустимо різноманітні промені світла, що дзеркально відбиваються від границі ?Q; чи освітлять вони (після можливих відбиттів) всю область Q? Відповідь невідома, якщо Q - многокутник. Для плоских областей загального вигляду відповідь негативна.

Окрім використання в чисто математичних задачах, більярди цікаві тим, що моделюють досі складні фізичні процеси. Традиційно більярди використовуються в оптиці (дзеркальне відбиття, задачі про освітлення, фокусіровка променів в лазері) та акустиці (побудова «шепочущіх галерей»), оскільки променям світла та звуковими хвилям притаманні пружні (дзеркальні) відбиття від непроникних поверхонь.

До більярдів можуть бути зведені деякі важливі моделі класичної механіки і гідродинаміки - гази і рідини, що складені з молекул, пружно стикаються один з одним та з стінками ємкості (системи твердих куль). Тут закон пружного зіткнення покладено в самій моделі, зостається лише уявити (закодувати) рух багатьох молекул траєкторією однієї більярдної частки. Багато проблем класичної механіки твердих куль можуть бути сформульовані і вирішені в термінах більярдів. Наприклад, так було розв'язане питання про можливу кількість зіткнень в системі з нескінченної кількості твердих куль у відкритому просторі (без стінок).

Більярдні траєкторії виникають при знаходженні власних функцій оператора Лапласа всередині випуклої області з граничними умовами.

Нескінченно можна перераховувати можливості застосування теорії математичних більярдів. Останнім часом статистична механіка дала великого імпульсу розвитку теорії більярдів. Тому надалі приділимо їй найбільшу увагу.

Проблема чіткого обґрунтування законів статистичної механіки здавна хвилювала розум вчених (в повному обсязі вона не вирішена й досі). Мова йде про вивід законів еволюції систем великої кількості часток (компонент) з рівнянь руху кожної окремої частки (компоненти) під впливом всіх інших часток. Ще в позаминулому сторіччі Л. Больцман вказав, що визначені математичні властивості системи твердих куль можуть бути корисними для такого висновку. Властивості ці - ергодичність, перемішування та інші - не такі прості. Ці властивості (їх називають стохастичним) виявляються також корисними при вивченні багатьох інших явищ, наприклад квантового хаосу.

Ергодичні властивості більярдів обговорювалися ще в працях А. Пуанкаре, Г. Біркгофа і Ж. Адамара. Великий внесок в розуміння ролі цих властивостей для проблем статистичної механіки вніс радянський фізик Н. С. Крилов. Математичний апарат для вивчення ергодичних властивостей більярдів з'явилися в 70-х роках, після того, як в серії праць Д.В. Аносова, Я.Г. Сіная, С. Смейла та інших було створено новий напрямок теорії динамічних систем, що отримало назву теорії гіперболічних динамічних систем. Перше фундаментальне дослідження ергодичних властивостей більярдів належить Я.Г. Сінаю. Його праця відкрила двері для проникнення динамічних систем (хаосу, безповоротності руху, дифузії, релаксації, рівноваги) в математичну теорію більярдів.

В умовах сучасності теорія більярдів здобула відомість і отримала широке визнання в науковому світі. Стали звичними такі поняття, як «стохастичний більярд», «квантовий більярд» «ентропія більярду», «статистичні властивості більярду». В той же час, це порівняно молода теорія. Тому можливості використання новітніх технологій розв'язання можливо допоможуть знайти відповідь на ще нерозв'язані задачі даної теорії.

Перейдемо до загальної математичної проблеми більярду. Вона полягає в тому, щоб змалювати різноманітні типи більярдних траєкторій в даній області Q. Найпростіший принцип такого змалювання - розділ траєкторій на періодичні, або замкнені, і інші - неперіодичні. На малюнку зображені деякі періодичні траєкторій більярдів в прямокутнику, в правильному трикутнику, в колі.

Траєкторія з «початковою умовою» (напрямок, початкове положення точки) буде періодичною, якщо через деякий час (через період) точка повертається в своє першочергове положення з первинною швидкістю. Періодичний рух сприймається як найбільш «правильний». Проблема періодичних траєкторій зводиться до існування: чи в будь-якій області існують замкнені траєкторії?

Іще одне питання - про критерії періодичності: як по даним умовам визначити, чи є задана теорія періодичною?

Цікавість представляють такі питання:

ь Яку кількість ланок може мати періодична траєкторія?

ь Які періоди мають періодичні траєкторії в даній області? (ці питання мають пряме відношення до дослідження спеціальних систем квантової механіки). Перейдемо до розглядання цих питань в простіших поверхневих областях (коло, еліпс, прямокутник, трикутники).

Більярди в опуклих гладких областях

Більярд в колі

Більярд в крузі. Найпростіша область з криволінійною гладкою межею на площині -- це, звичайно ж, круг. Правильна, симетрична форма круга приводить до правильного руху більярдної частки: при віддзеркаленнях від межі круга кут падіння залишається постійним!

Мал. 1

Якщо цей кут ще і раціональний (в градусах, наприклад, 45°, 30°, 1° або 2,5°), то точки віддзеркалення лягають у вершини правильного многокутника і рух більярдної частки буде періодичним (тобто вона рано чи пізно повернеться в первинне положення і в точності відтворюватиме свою траєкторію) . Якщо ж кут падіння ірраціональний, то точки віддзеркалення усюди щільно заповнюватимуть коло (тобто на будь-якій маленькій дузі їх буде нескінченно багато) і траєкторія ніколи не повернеться в початкове положення. Цей цікавий і досить елементарний факт витікає з теореми Якобі.

Для нас важливо, що у всіх випадках є величина, яка зберігається при русі частки. Ця величина -- кут падіння. Така величина називається інваріантом, а у фізиці -- частіше першим інтегралом.

· Рівність всіх траєкторій (з рівності кутів)

· Середини всіх ланок траєкторії віддалені від центра кола на однакову відстань.

Будь-яка більярдна траєкторія в колі ніколи не заходить всередину деякого концентричного кола, границі якого дотикаються всі її ланки, тобто це значить, що більярд в колі не ергодичний.

Більярдна траєкторія в колі не всюди щільна. Вид більярдної траєкторії в колі повністю визначається числом ?, а саме

Якщо число ? таке, що ?/? є раціональним числом (тобто дорівнює деякому дробу m/n з цілими m і n), то більярдна траєкторія періодична

Якщо ?/? ірраціональне, то відповідаюча куту ? траєкторія неперіодична.

Доведення

? =m/n*2? , m,n - цілі

N? = 2?m, при повороті на кут n? кожна точка Г переходить в себе.

P₀P₁P₂P₃ (вершини більярдної траєкторії: P_n=P₀; P_n+1 = P₁ ; P_n+2 = P_2…)

Тобто вершини, починаючи з n-ої повторюються. (що і свідчить про періодичність більярдних траєкторій)

Якщо m/n нескоро чувана, то траєкторія складається з n ланок. При m=1 - це буде правильний n-кутник, при m>=2 траєкторія представляє собою правильну самоперетинаючуюся замкнену (зірчасту) ламану! Більярдний шар після n віддзеркалень від борта Г опиняється в початковій точці P₀ (зробив m обертів навколо центру О).

Уявімо, що більярдна траєкторія періодична/, тоді ? і ? такі, що ?/? - раціональні, а це протирічить умові, що ?/?- ірраціональне. Теорему доведено.

Теорема Якобі. Нехай ? - невимірне з ? (?/? - ірраціональне), {P_0,P_1,P_2,… }={ P_k} - нескінченна послідовність точок послідовності P_k+1 отримується з попередньої точки P_k поворотом навколо центра на ? радіан. Тоді для будь-якої дуги ? кола Г хоча б одна точка послідовності { P_k} лежить на цій дузі.

Теорема Якобі стверджує, що якщо коло провертати на ірраціональний (в градусах) кут р, то образи кожної точка а, а+р, а+2р ... (в кутових координатах, узятих по модулю 360°) заповнять щільно все коло.

Неперіодичний рух може виявитись «майже періодичним», або квазіперіодичним. Квазіперіодичність означає, що хоч його траєкторія і не замкнена, але через деякий час (через квазіперіод) вона буде близько до попереднього відрізку траєкторії. Характерні квазіперіодичні траєкторії для кола показано на малюнку.

Виявляється, для більярда в колі неперіодична траєкторія має бути квазіперіодичною. Вказані неперіодичні траєкторії всюди щільно заповнюють відповідну область. Якщо вважати, що більярдний шар «чорнильний» і залишає після себе слід, то він з часом обов'язково замалює всю область цілком. Зрозуміло, що періодична траєкторія властивості всюди щільної мати не може - вона може заповнювати область «дуже щільно», але не всюди щільно. Довільна неперіодична траєкторія більярда в колі та еліпсі не є всюди щільною.

Більярд в кільці. Ще одним прикладом досить правильної області з гладкою криволінійною межою служить кільце, тобто область, укладена між двома концентричними колами. В кільці бувають траєкторії двох типів:

а) що відображаються тільки від зовнішнього круга -- ці траєкторії зберігають кут падіння, як і в крузі (вони не «відчувають» присутності внутрішнього круга);

б) що відображаються поперемінно від зовнішнього і від внутрішнього кругів.

Траєкторії типу «б» трохи складніше, ніж типу «а», але і у них кути падіння на зовнішнє коло однакові. І на внутрішню -- теж, що видно з мал.

Траєкторії математичного більярду в еліпсі

Природним узагальненням круга в математиці є еліпс. Цікава властивість більярдів в еліпсі: як би ми не випустили більярдний шар з одного фокусу, він після одного віддзеркалення від еліпсу пройде через другий фокус, після другого - через перший фокус. (дотична до еліпса, що проведена в його довільній точці М, утворює рівні кути з відрізком F₁M F₂M, що з'єднують обидва фокуси з цією точкою).

Теорема про каустик в еліпсі. Якщо одна ланка більярдної траєкторії в еліпсі Э₀ проходить через фокус, то і вся решта ланок проходить через фокуси. Якщо ж жодна ланка траєкторії не проходить через фокуси, то всі її ланки торкаються однієї і тієї ж кривої. Цією кривою є або еліпс Э₁ софокусний з даним, або гіпербола Г₁, софокусна з даним еліпсом Э₀ (в останньому випадку торкатися гіперболи Г₁ можуть не самі ланки, а їх продовження за точку віддзеркалення).

Криві, які одночасно торкаються всіх ланок більярдної траєкторії, називаються її каустиком. Точніше, каустика в більярді -- це така крива, що якщо більярдну частку запустити по дотичній до неї, то після віддзеркалення частка також полетить по дотичній до цієї ж кривої. Термін «каустику» запозичений з оптики, де він означає лінію, огинаючу світловий пучок в місці його сходження після віддзеркалення від дзеркала (назва «каустика» означає ту, що «пекуча», оскільки каустик служить місцем концентрації енергії).

Доказ теореми:

(тільки для каустик-еліпсів) Тут F₁ і F₂ --фокуси еліпса, а А₁АА₂ - дві ланки більярдної траєкторії. Точка В₁ і В₂ симетричні фокусам F₁ і F₂ відносно прямих А₁А і А₂А. Добре відомо, що відрізки F₁А і F₂А утворюють однакові кути з дотичною до еліпса в точці А. Тому всі чотири кути ‹В₁АА₁, ‹А₁АF₁ ‹F₂AA₂ i ‹A₂AB₂ рівні між собою. Отже, трикутники АВ₁F₂ і AB₂F₁ рівні, тобто B₁F₂=B₂F₁. Звідсіля |F₁C₁| + |F₂C₁| = |F₁C₂| + |F₂C₂|, де С₁ і С₂ - точки перетину АА₁ з В₁F₂ i AA₂ з B₂F₁.Значить, С₁ і С₂ лежать на одному еліпсі з фокусами F₁ і F₂, для якого відрізки АА₁ і АА₂ є дотичними. До речі, каустики є і у більярда в колі - це концентричні кола меншого радіусу.

Математичний більярд на прямокутному столі без луз

Більярдом в прямокутнику називається така система: один точковий більярдний шар на прямокутному більярдному столі ABCD без луз, що рухається по ньому без тертя і віддзеркалюється від його сторін («бортів») по більярдному закону «кут падіння дорівнює куту віддзеркалення».

Найпростіші більярдні траєкторії в прямокутнику - періодичні. Вони можуть бути декількох типів: складатися з дворазово пройдених відрізків між протилежними сторонами (малюнок а)); утворювати родини паралелограмів зі сторонами, паралельними діагоналям прямокутника (малюнок б)); утворювати замкнені ламані (малюнок в))

Бувають і такі траєкторії, які попадають в вершини прямокутника. В такому випадку незрозуміло, як шару належить рухатися після виходу «з кута». Такі траєкторії мають назву - особі, і якщо траєкторія попадає в вершину, обривають її, і від траєкторії залишається тільки її частина (напівтраєкторія). Але у випадку прямокутного більярду шар можна вважати вилетівшим після попадання в вершину в точності у протилежному напрямку. (Такого висновку не можна робити для більярду в довільному многокутнику.)

Намалювати хоча б одну неперіодичну траєкторію більярда в прямокутнику вже значно важче. Задача про розпізнання періодичних і неперіодичних траєкторій більярда розв'язується за допомогою процедури «випрямлення траєкторій»

Випрямлення траєкторії в довільному многокутнику

Нехай Р₁Р₂Р₃… - довільна не особлива траєкторія більярда в многокутнику Q=А₁А₂А₃..А_n. Побудуємо по цій ламаній спеціальну пряму. А саме, відобразимо наш многокутник Q разом з ламаною Р₂Р₃Р₄… відносно тієї сторони многокутника, на якій лежить точка Р₂ (першу ланку ламаної Р₁Р₂ ми не чіпаємо). Згідно закону віддзеркалення, відрізок Р₂Р₃ симетричний відрізку Р₂Р₃ є продовженням відрізку Р₁Р₂ і перший шматок ламаної Р₁Р₂Р₃Р₄… - Р₁Р₂Р₃ - нами випрямлений. Тепер відобразимо другий (отриманий з Q при першому віддзеркаленні) багатокутник Q₁ щодо тієї його сторони, на якій лежить наступна точка зламу Р₃?. Отримаємо наступний багатокутник Q₂, і образ ланки Р₃? Р₄? при новому віддзеркаленні буде, знову-таки, продовженням відрізка P₁P₂P'. Продовжуючи так і далі, ми можемо будь-який шматок ламаної P₁P₂P₃P₄- . . «випрямити», тобто послідовними віддзеркаленнями перетворити в відрізок прямої P₁P₂P₃'P₄'

Звичайно, для різних траєкторій прийдеться робить різні послідовності випрямляючих віддзеркалень. Проте якщо ми розглядаємо більярд в прямокутнику, ми можемо із самого початку з допомогою віддзеркаленні замостити всю площину прямокутниками, рівними даному, отримавши грати з прямокутників. Намалювавши на цій площині довільний промінь, що не проходить ні через одну з вершин отриманих прямокутників, ми можемо за допомогою процедури, зворотної описаної, «скласти» цей промінь в траєкторію більярда в початковому прямокутнику ABCD. При такому «складанні» ґрат прямокутників в початковий прямокутник ABCD в кожну точку М прямокутника ABCD потрапляє нескінченно багато точок М_m,n площини-- саме всі ті крапки які виходять з М описаними вище віддзеркаленнями.

Якщо траєкторія, що виходить з точки М під кутом ? до сторони AB, періодична, то це значить, що після випрямляння з цієї траєкторії вийде пряма, що проходить через М і через одну з крапок М_m,n. Якщо нумерувати крапки М_m,n індексами m i n, то крапка М_m0,n0 повинна бути такою, що m₀ та n₀ -- парні числа. Саме (і лише) в цьому випадку більярдна куля проходить через ту ж крапку М під колишнім кутом ?: номери m₀ та n₀ показують, скільки потрібне зробити віддзеркалень щодо вертикальних і горизонтальних сторін прямокутників, щоб отримати з крапки М_m0,n0 крапку М; при цьому непарне число віддзеркалень міняє напрям, парний же -- не міняє.

Доведемо, що неособлива траєкторія, що виходить з крапки М прямокутника ABCD під кутом ? до сторони AВ, періодична в тому і лише б тому випадку, коли тангенс її кута нахилу k=tga вимірний з відношенням сторін а1/а2 прямокутника ABCD.

Дійсно, тільки що було з'ясовано, що періодичні ті і лише ті траєкторії, які (після випрямлення) відповідають прямим, що йдуть з точки М в одну з точок виду М_2m,2n. Зауважу, що точка М_2m,2n отримується з М зсувом на вектор 2m·АВ + 2·AD (*) так, що ?М М_2m,2n К має катети з довжинами MK=2ma₁ і М_2m,2nК=2na_2. Таким чином k=tg?=2ma₁/2na₂=m/n ·a₂/a₁, тобто k вимірне з a₂/a_1. Навпаки, якщо число k вимірне з a₂/a_1, тобто k= m/n ·a₂/a_1, то будь-яка пряма, що виходить з точки М з тангенсом кута нахилу k, проходить через точку, що отримується з М зсувом на вектор (*), тобто через точку М_2m,2n .Якщо ця пряма не проходить через вершини прямокутників, то їй відповідає неособлива періодична траєкторія, що й потрібне було довести.

Зазначу, що в даному випадку ми все-таки можемо продовжити і будь-яку особливу, тобто таку, що закінчується в одній з вершин прямокутника, - траєкторію за цю вершину: ніщо не заважає на площині, замощеній нашими прямокутниками, продовжити, наприклад, МС за вершину С і вважати тим самим, що, потрапивши у вершину С, більярдна куля вилітає з неї по тому ж шляху, по якому він туди залетів - після відповідних віддзеркалень промінь СМ? поєднується з променем СМ. Таким чином, у разі більярда в прямокутнику можна вважати, що рух по будь-якій траєкторії продовжується необмежено в часі (наприклад, двічі прохідна діагональ АС прямокутника -- це періодична траєкторія).

З доведеного твердження виходить:

Теорема 1. Якщо тангенс кута нахилу до траєкторій вимірний з числом k₀=a₂/a₁ то незалежно від початкового положення більярдної кулі його рух буде періодичним; в противному випадку траєкторія неперіодична.

З допомогою теореми 1 можна по початковій ланці траєкторії кулі визначати, чи є ця траєкторія періодичної або неперіодичної. Для цього треба знайти відношення довжин сторін прямокутника або, що те ж саме, тангенс кута нахилу діагоналі прямокутника і тангенс кута, під яким запущена кулька, і поділити перше число на друге: якщо в результаті вийде раціональне число, то траєкторія періодична, якщо ж -- ірраціональне, то неперіодична. Звідси слідує також і та обставина, що для фіксованого початкового вектора швидкості кулі траєкторія буде періодичною або неперіодичною незалежно від його початкового положення на прямокутному столі. Тому, якщо запустити паралельно один одному відразу декілька більярдних шарів, вони або одночасно опишуть періодичні траєкторії, або ніколи не пройдуть по своєму старому сліду. Послідовність віддзеркалень цих куль від бортів більярда буде різною, якщо вони знаходяться достатньо далеко один від одного. Якщо ж кулі знаходяться достатньо близько, то послідовність бортів, від яких вони віддзеркалюються, буде однією і тією ж. Якщо першу ланку траєкторії однієї більярдної кулі оточити паралельними ланками цілого сімейства траєкторій інших куль, то отримані траєкторії, у разі, коли вони періодичні, заповнять самоперетинаючийся «коридор». Таким чином, знаючи одну періодичну траєкторію, ми паралельним зсувом її ланок одержуємо іншу періодичну траєкторію.

Задача а) Довести, що у всіх неособливих «паралельних періодичних траєкторій» в прямокутнику рівне число ланок і рівні довжини б) Довести, що в прямокутнику існують скільки завгодно довгі періодичні траєкторії.

Рішення. Це виходить з розгляду випрямлених траєкторій, що зображаються на ґратах прямокутників рівними паралельними відрізками.

Як же поводиться на прямокутному столі неперіодична більярдна траєкторія? В крузі і еліпсі неперіодична траєкторія не заходила в деякі ділянки -- в концентричний круг і, відповідно, в софокусний еліпс (або в криволінійні сегменти софокусної гіперболи), проте заповнювала усюди щільно кільце між їх межами. В прямокутнику вона вже заходить в усі його ділянки і заповнює його усюди щільно, В цьому і полягає основний результат про неперіодичні траєкторії в прямокутному більярді.

Теорема 2. Якщо k/k₀ -- ірраціональне число, то будь-яка траєкторія з кутовим коефіцієнтом k усюди щільно заповнює весь прямокутник, тобто перетинає будь-який (скільки завгодно малий) круг, що лежить усередині нього.

Таким чином, якщо точкову більярдну кулю запустити з будь-якого положення М в будь-якому напрямі ? такому, що число tg?/tg? ірраціональну, де ? -- кут нахилу діагоналі до горизонтальної сторони, то він рано чи пізно зіткнеться з іншим, вже неточковою більярдною кулею (диском) N, куди б ми його ні поставили і скільки б малий він був! Отже, гравцям (у разі відсутності тертя) не потрібно особливо старатися, щоб потрапити в іншу кулю (або лузу!), треба лише мати терпіння і час, щоб дочекатися потрібного зіткнення.

Проблема побудови траєкторій більярдів в багатокутниках

Особливий клас утворюють більярди в многокутних і багатогранних областях. Ці області характеризуються тим, що у кожної дільниці межі ?Q - сторони многокутника або грані багатогранника - вектор нормалі n один і той же для всіх точок цієї дільниці. Внаслідок цього паралельний пучок білліардних траєкторій, відбившись відсторони (грані) остається паралельним. Для многокутних більярдів мається один елементарний, але водночас потужний геометричний прийом, так званий «прийом барона Мюнхаузена», що значно спрощує дослідження. («Прийом барона Мюнхаузена» - це метод випрямлення більярдних траєкторій, що наводився раніше. А саме, береться більярдна куля О (як у барона Мюнхаузена - гарматне ядро) і, озброївшись системою координат, спрямував вісь Оу в напрямку руху, а вісь Ох - вправо, перпендикулярно осі Оу). Метод випрямлення більярдних траєкторій в многокутнику належить німецькому математику Г.А. Шварцу (1843-1921). Але є перешкода, із-за якої картина поведінки в многокутнику виявляється досі непростою. Це - вершини многокутника (а у багатогранників - ребро).

Не менш цікаві і складні питання, пов'язані з періодичними і всюди щільними траєкторіями в многокутниках. Як приклад: вже в деяких трикутних областях мінімальна кількість ланок періодичних траєкторій може бути як завгодно велике. В випуклих областях діє теорема Биркгофа. В випуклій області Q з гладкою межою існує періодична траєкторія з будь-якою кількістю ланок n?2 (достатньо вписати в Q ламану максимальної довжини з заданої кількістю ланок).

Три ланкова більярдна траєкторія

Вписаний трикутник АВС найбільшого периметру. Проведемо дотичну D'D'' в точці С і доведемо, що ‹АС D'' = ‹ВС D'. Тоді ‹АСС'>‹ВСС'. Для точки В', симетричної В відносно прямої СС', ламана АС'В' містить ламану АСВ' і тому довше, ніж вона.

Тобто периметр ? АС'В більш, ніж периметр ? АСВ, що протирічить вибору точок А, В, С.

Труднощі виникають і при знаходженні всюди щільних траєкторій в многокутниках. Роздивимось особливості траєкторій в різних видих многокутників.

Питання побудови траєкторії в кутах

Більярд в плоскому куті. Застостосовуємо прийом барона Мюнхгаузена до більярда в куті АВС на площині, величину якого позначимо ?. Як поводиться більярдна частка, відбиваючись від сторін цього кута? Чи може виявитися так, що вона «заплутається» усередині кута, після нескінченного числа віддзеркалень? Виявляється, не може, і метод випрямляння дає негайний доказ тому. На малюнку, що наведено нижче, показано що найбільше число N_? віддзеркалень частки від сторін кута а може дорівнювати або ?/?, якщо це число ціле, або [?/?] + 1. Обидві отримані відповіді можна записати однією формулою: N_? = -- [--?/?].

Більярд в двогранному куті. Також просто виходить відповідь на питання про число віддзеркалень променя світла в дзеркалі, що має форму двогранного кута в просторі (мал. а). Величину його плоского кута позначимо ?. Зробивши декілька віддзеркалень відносно граней цього кута, отримаємо «книжку», «листи» якої перетинає випрямлена траєкторія (мал. б). Зрозуміло, що число цих «листів» обчислюється по тій же формулі N_? = -- [--?/?], оскільки проекція більярдної траєкторії ? на площину ?, перпендикулярну «корінцю» книжки (тобто загальному ребру всіх «листів»), дає знову більярдну траєкторію в плоскому куті величиною ?.

Більярд в багатогранному кутку. Питання, поставлене в вищє, можна поставити для довільного багатогранного кута в просторі. Вже в тригранному кутку відповідь на нього стає досить складною. Вперше у всій повноті --"для довільного числа граней кута і в просторі довільної розмірності -- цю задачу вирішив в 1978 р. Я.Р. Синай. Він довів, що існує рівномірна оцінка числа ударів частки з гранями кута, тобто існує таке число N = N(Q), залежне тільки від «геометрії» кута Q (від кутів між всілякими гранями різних розмірностей), що частка зможе віддзеркалитись в куті не більш N раз від його граней незалежно від початкового руху, після чого рухатиметься рівномірно і прямолінійно. Через десять років було знайдено інше рішення.

Основні методи побудов траєкторій в трикутниках

Мінімізація периметра

Якщо межа більярдного столу має точки зламу, то метод Біркгофа перестає «працювати» -- вершини вписаного багатокутника найбільшого периметра можуть потрапити в кутові точки межі. Наприклад серед трикутників, вписаних в даний трикутник АВС, найбільший периметр має сам ?АВС! Як же шукати періодичні більярдні траєкторії в трикутнику?

Для гострокутного трикутника вихід полягає в тому, щоб замінити максимальний периметр на мінімалъний. Впишемо в даний трикутник АВС трикутник ХYZ якнайменшого периметра з вершинами на сторонах АВ, BC і СА. Cтверджуємо, що ХУZ -- більярдна траєкторія.

Задача. Довести, що трикутник, вершини якого -- підстави висот даного трикутника АВС, є більярдною траєкторією в ?АВС.

Задача показує, як побудувати триланкову більярдну траєкторію в гострокутному трикутнику.

Ідея розглядати вписаний трикутник якнайменшого периметра застосовна і до фігур, обмежених декількома гладкими кривими. Нажаль, цей спосіб не спрацьовує для тупокутних трикутників -- для них вписаний трикутник якнайменшого периметра вироджується у висоту, опущену з вершини тупого кута. Більш того, більярд в тупокутному трикутнику не має триланкових періодичних траєкторій. Проте це не означає, що ідея мінімізації периметра даремна для побудови періодичних більярдних траєкторій в тупокутних трикутниках; її треба лише з'єднати з методом випрямляння.

Механічна інтерпретація:

Надінемо на кожну із сторін гострокутного трикутника АВС по малому колечку і пропустимо через них натягнуту резиночку ХУZ (див. мал. Резиночка прагне стиснутися, тому колечки займуть положення у вершинах вписаного в АВС трикутника ХУZ якнайменшого периметра. Розглянемо колечко на стороні АВ. Оскільки воно не рухається уздовж сторони трикутника, рівнодіюча сил натягнень Т1 і Т2 перпендикулярна цій стороні. Крім того, вектори Т2 і Т1 мають однакову довжину, оскільки натягнення уздовж резинки постійно. Отже, вектори Т1 і Т2 утворюють взаємно доповнюючі кути з відрізком АВ. Значить, ХYZ -- більярдна траєкторія. Отже, ми довели, що вписаний трикутник якнайменшого периметра є періодичною траєкторією в ?АВС є траєкторією.

З траєкторією XYZ можна зв'язати сімейство «паралельних періодичних траєкторій», зображене на малюнку.

Якщо трикутник АВС вважати плоскою пластинкою, то кожну траєкторію побудованого пучка можна уявляти собі як пружну замкнуту нитку, обвиваючу цю пластинку і поперемінно перехідну з однієї неї сторони на іншу 6 разів.

Але якщо ?АВС -- тупокутний, то ця конструкція періодичних траєкторій не спрацьовує -- пружна нитка зіскочить з пластинки через вершину тупого кута. Отже знайти періодичні більярдні траєкторії в тупокутних трикутниках досить важко.

Дві конструкції для тупокутних трикутників:



Якщо намотати нитку на пластинку способом, зображеним на малюнку а), то зіскакування не відбудеться. Уважний розгляд цього малюнка підказує ідею, як будувати складніші періодичні траєкторії для спеціальних класів тупокутних трикутників.

Стійкі траєкторії

Тільки що побудовані періодичні траєкторії мають один істотний недолік -- при скільки завгодно малій зміні кутів трикутника вони руйнуються (в тому сенсі, що поблизу початкової траєкторії немає періодичних траєкторій в деформованому трикутнику). Зараз ми побудуємо періодичну траєкторію в тупокутному трикутнику, вільну від цього дефекту.

Хай гострі кути ? і ? тупокутного трикутника АВС зв'язані нерівностями

(?-?)/2<k? <?/2?(k+1)?

(?- ?)/2<L? <?/2?( L +1)?, де k і L - деякі натуральні числа. Зробимо k-1 дзеркальних відбиттів трикутника АВС навколо вершини А проти годинникової стрілки і L-1 відбиттів навколо вершини С за годинниковою стрілкою. Крайні промені AN s CN утворюють з основою АС гострі кути k? і L?. В гострокутному трикутнику АNC існує три ланкова періодична траєкторія, що сполучає основи його висот. Тоді при накладанні «гармошкою» на трикутник АВС коридору, складеного з ?АВС і k +L-2 віддзеркалень трикутників, наша траєкторія перейде в 2 (k +L)-1-ланкову періодичну траєкторію в ?АВС. Ця траєкторія - стійка.

Теоретичні відомості про більярди в многокутниках та багатогранниках

Задачі на побудову траєкторій в многокутниках зводимо до побудови обмоток.

Перш за все опишемо ще один подход до більярдів, що дає можливість будувати пучки - з перескакуванням. Хай Q -- фіксований многокутник. Виберемо на площині напрям відліку кутів--скажімо, задаватимемо напрям v на Q кутом ?, відлічуваним від напряму сторони АВ многокутника Q проти годинникової стрілки до напряму v. Кут ? вимірятимемо в радіанах, причому так, що 0<?<2п . Для кожного числа ? між 0 і 2? готуємо свій екземпляр багатокутника Q, на якому намалюємо пучок паралельних траєкторій з напрямом ?. Цей багатокутник Q з намальованими на ньому траєкторіями позначимо Q(?) таким чином, ми «запасли» нескінченний набір екземплярів Q(?) многокутника Q. Наклавши їх один на одного в порядку зростання. ф, отримаємо призму висоти 2я, в підставі якій лежить багатокутник Q.

Розглянемо кулю, що «скаче» з одного многокутника на інші многокутники за наступним правилом. Якщо в початковий момент часу куля знаходилася на багатокутнику Q(?₁), то він рухається по своїй траєкторії до тих пір, поки не потрапить на одну із сторін, скажемо CD. Якби куля була більярдна, то він відскочив би від сторони CD за законом пружного віддзеркалення і став би рухатися під новим напрямом ?₂. Наша ж кулька, що скаче, перескакує з боку CD многокутника Q(?₁) в ту ж точку тієї ж сторони CD іншого многокутника Q(?₂) , де ?₂ було визначене вище із закону пружного віддзеркалення, і рухається по намальованій на Q(?₂) траєкторії, Дійшовши до сторони KL багатокутника Q(?₂) , кулька перескакує в ту ж крапку на тій же стороні KL наступного многокутника Q(?₃), де ?₃ -- напрям, під яким рухається більярдний шар після зіткнення із стороною КL, налетівши на неї під напрямом ?₂. І так далі як зображено на малюнку.

Якщо накласти всі ці багатокутники один на одного, то відрізки траєкторії, що скаче, дадуть траєкторію більярда в багатокутнику Q.

Многокутники Q, всі кути яких вимірні з ? називаються раціональними.

Більярд в будь-якому раціональному многокутнику зводиться до обмоток кренделя - сфери з ручками, який отримується в результаті вищеописаних склейок. На кренделі бувають неперіодичні траєкторії і заповнюється всюди щільно лише частина кренделя. (Доведення основане на теоремі Якобі).

Доведена теорема, що в будь-якому раціональному многокутнику існують періодичні траєкторії.

Тепер перейдемо до наступного розділу курсової роботи, де продемонстровано, як викладені теоретичні відомості застосовуються на практиці.

Практичне застосування теорії математичних більярдів

Практичні задачі, що розв'язуються застосуванням правил побудови більярдних траєкторій

Ось деякі олімпіадні задачі, що дуже витончено розв'язуються за допомогою «більярдів». Мова йде про «переливання», які, здавалось би, не мають нічого спільного з більярдами.

Є два сосуди ємкістю 7 і 11 літрів і велика бочка, що наповнена водою. Як за допомогою цих двох сосудів відміряти рівно два літри? На сосудах не можна робити засічок, не можна нахиляти, щоб відміряти долі літра.

Запропонована задача вирішується або алгебраїчним методом, або методом спроб та помилок.

Цю задачу можна з легкістю розв'язати, викресливши більярдну траєкторію кулі, що відбивається від бортів ромбічного столу. Межі таких столів зручніше за все малювати на папері, на якому нанесена гратка з однакових рівносторонніх трикутників. В наведеній задачі сторони столу мають бути завдовжки 7 і 11 одиниць. По горизонталі відкладено кількість води в 11-літровому сосуді в будь-який момент часу, а по вертикалі - та ж величина для 7-літрового сосуда.

Як же користуватися діаграмою? Шар знаходиться в лівій нижній вершині в точці О. Він буде рухатися вздовж нижньої основи ромба до тих пір, поки не досягне правої бокової сторони в точці 11. Це значить, що 11-літровий сосуд наповнений верхи, а 7-літровий порожній. Відбившись пружно від правого борту, куля покотитися вгору і вліво і вдариться в верхній борт в точці з координатами 4 по горизонталі і 7 по вертикалі. Це значить, що в 11-литровому сосуді залишилось лише 4 літри води, а 7 літрів з нього перелили в менший сосуд.

Простежачі подальший рух кулі і записуючи всі етапи його руху до тих пір, поки він не попаде в точку 2 верхнього борта, ви отримаєте відповідь і взнаєте, в якій послідовності маєте виконувати переливання, щоб виміряти 2 літри води. Всі 18 переливань зображені схематично на малюнку, що приведено нижче.

Похилі стрілочки кажуть про те, що вода переливається з одного сосуду в інший, а вертикальні значать, що або вода цілком виливається з меншого сосуду назад до бочки, або більший сосуд треба наповнити до країв.

Чи є це рішення найкоротшим? Ні, існує другий шлях, коли воду спочатку наливають в 7-літровий сосуд. На діаграмі це відповідає тому, що куля з точки 0 котитися вгору вздовж лівого борту до тих пір, поки не вдариться в верхній борт. Намалював траєкторію більярдної кулі, можна переконатися, що точка 2 досягається цього разу за 14 віддзеркалень від борта. Отриманий розвязок з 14 переливаннями вже є найкоротшим.

Метод більярдної кулі можна застосувати до будь-якої задачі про переливання рідини за допомогою не більш, ніж трьох сосудів.

Ось і стара головоломка з трьома сосудами, що приписують ще Нікола Фонтана, італійському математику XVI століття. Восьмилітровий сосуд до країв наповнений водою. За допомогою порожніх сосудів ємкістю 3 і 5 літрів воду треба порівну розлити в два великі сосуди. Діаграма для цієї задачі - ромбічний стіл розміром 35. Головна діагональ ромба, що поділена похилими прямими на 8 частин, відноситься до 8-літрового сосуду.

Як і в попередній задачі, більярдна куля починає рухатися з точки 0. За допомогою намальованої траєкторії отримаємо розв'язок з мінімальною кількістю переливань, що дорівнює 7.

Якщо об'єми двох менших сосудів не мають спільного дільника (взаємно прості), а об'єм третього сосуда більше або дорівнює сумі об'ємів двох менших, то за допомогою цих сосудів можна виміряти будь-яку цілу кількість літрів, починаючи з 1 літра і закінчуючи об'ємом середнього сосуду.

Маючи, наприклад, сосуди місткістю 15,16 і 31 літр можна виміряти будь-яку кількість води від 1 до 16 літрів. Така процедура неможлива, якщо об'єми двох менших сосудів мають спільний дільник. Коли об'єм більшого сосуда менше суми об'ємів двох інших, виникають нові обмежування. Якщо, наприклад, об'єми сосудів дорівнюють 7,9 і 12 літрів, то в ромбічного столу треба відсікти нижній правий кут. Тоді шар зможе потрапити в будь-яку точку від 1 до 9, за виключенням точки 6. Не дивлячись на те, що 7 і 9 взаємно прості, виміряти 6 літрів води виявляється неможливим із-за того, що найбільший сосуд має надто маленький об'єм.

Узагальнення вказаного методу на випадок чотирьох сосудів зводиться до руху більярдної кулі в об'ємній (тетраедричній) області.

Розгляну інший тип елементарних геометричних задач, що відносяться до більярдів. В них вимагається знайти замкнену траєкторію більярдної кулі в даному многокутнику, або знайти шлях більярдної кулі, що попадає через задану кількість ударів з однієї фіксованої точки всередині многокутника до іншої. Для рішення цих задач дуже зручним є метод «дзеркального відбиття» або «випрямлення» більярдної траєкторій, суть якого наводилась в теоретичній частині.

Продемонструю метод випрямлення на наступних прикладах.

1. Нехай на прямокутному більярдному столі знаходиться одна куля; під яки кутом його необхідно направити з точки А, щоб він після заданої кількості відбиттів від бортів попав в точку В (наприклад в лузу?)

Для розв'язання зобразимо прямокутник (початковий більярд) симетрично відносно всіх його сторін; всі отримані так5им чином прямокутники знов відобразимо відносно всіх його сторін, і так далі, до нескінченності. В результаті всіх зроблених відбиттів траєкторія кулі «розпрямляється».

Якщо отримана «випрямлена траєкторія» проходить через образ точки В в одному з прямокутників, то траєкторія кулі в початковому прямокутнику пройде через В. Тому, для того щоб пустити кулю з точки А так, щоб вона після заданої кількості відбиттів о стінки прямокутного більярду попала в точку В, необхідно провести такий відрізок з початком в точці А і кінцем в одному з образів точки В, щоб він перетнув цю ж саму кількість разів лінії грат «клітчатої площини». Зробивши зворотню процедуру «складання» проведеного відрізка, перетворимо його в шукану траєкторію в початковому більярді.

2. Роздивлюсь більярд в рівносторонньому трикутнику. Оскільки однаковими рівносторонніми трикутниками можна без щілин і перекриттів замостити всю площину, і тут можна застосувати процедуру «випрямлення більярдної траєкторії».

Траєкторія більярдної кулі вирішує наступну відому задачу: знайти найкоротший шлях, по якому має повзти бджола з точки А в точку В всередині рівностороннього трикутника, щоб спочатку насолодитися медом на одній стороні трикутника, потім цукром - на другій стороні, і варенням - на третій. (Покладають, що кожна сторона повністю змащена відповідним речовиною)

Відповідь приведена на малюнку нижче.

Легко побачити, що інший шлях, що йде потрібним способом від А до В, після дзеркальних відбиттів перетворюється в шлях з точки а в точку В''', довжина якої більша, ніж відрізок АВ''', і тому не є найкоротша.

3. Виникає два питання, пов'язаних з узагальненням плоского більярду на випадок простору: чи існують замкнені більярдні траєкторії всередині куба, що є просторовим аналогом квадрата, і тетраедра - просторового аналогу рівностороннього трикутника?

В одній з численних статей о Льюісє Кероллє (відомий письменник був математиком за фахом) є згадка про більярд всередині куба. Ця задача не є «надуманою». Реальні молекули повітря в кубічній кімнаті як раз і уявляють собою «більярдні кулі». Що стикаються одна з одною і з стінами кімнати за законом пружного удару. До кубу теж можна застосувати метод «випрямлення траєкторії».

Провівши 5 віддзеркалень від граней куба ми отримали шукану замкнену траєкторію. Якщо згорнути куби, зробивши зворотні віддзеркалення, отримаємо замкнену більярдну траєкторію з 6 ланок. (Ця траєкторія відома хімікам-органікам як «шестикутник в формі крісла». Вона дуже часто зустрічається у вуглеводних сполученнях).

Для знаходження замкненої більярдної траєкторії в тетраедрі роблять те ж саме, як і у випадку куба.

Застосування математичних законів і методів більярдів, що наводились в теоретичному розділі для розвязання задач більярдної гри. Пропонується для використання на факультативах з математики, на нетрадиційних уроках та як ілюстрації до методів побудови траєкторій на прямокутному столі.

Застосування інформатики для рішення проблем математичних більярдів

Комп'ютерний, або обчислювальний експеримент дозволяє без особливих розумових зусиль розглянути досить складні явища і скласти якісь уявлення про них. З розповсюдженням комп'ютерної техніки такі експерименти проникають в багато галузей людської діяльності. З обчислювальних досліджень більярдів існує десятки наукових робіт.

Як робиться обчислювальний експеримент? Обирається точка z₀ і будується більярдна траєкторія, що виходить з неї. Програма видає наступну (після z₀ ) точку віддзеркалення z₁ € М , потім точку другого віддзеркаленні і так далі. Важливо, щоб фазовий циліндр М містив інваріантні криві (незмінні при перетвореннях).

Для ілюстрації наведемо результат обчислювального експерименту французьких дослідників А. Хелі і Т. Дюмона. Вони прорахували більярд в області, обмеженій двома дугами AD і ВС більшого радіусу і двома дугами AB і CD - меньшого радіусу. В такій побудові виділяють 10 інваріантів. Це ілюструє малюнок, приведений нижче.

Математичний більярд в силовому полі

Математичний більярд - відома задача, розв'язується аналітично звичайно на прямокутному "столі". Аналітичне ж рішення задачі математичного більярда в силовому полі (наприклад, в полі сили тяжкості) на "столах", що мають різні форми, вельми скрутно. Графічне представлення траєкторій руху абсолютно пружного тіла (без урахування опору середовища) може бути отримано за допомогою комп'ютера.

На мал. 1 - 5 представлені траєкторії руху тіл на столі з параболічним бортом. На мал. 1 - тіло рухається в полі з , з початковою швидкістю, рівною нулю. Таке ж сімейство кривих виходить для випадків руху тіл, кинутих "під кутом до горизонту", якщо перший удар об стінку буде справа. В осоружному випадку, траєкторії матимуть інший вигляд - мал. 3, які вироджуються у відрізок параболи, якщо перший удар відбувається під кутом 90 ⁰ . На цих малюнках чітко видні "заборонені зони".

На рис.4 представлений випадок повернення в початкову крапку після 14 ударів об параболічний борт.

На рис.5 зображено сімейство кривих - траєкторія руху тіла з крапки А ₁ з невеликої відстані від параболічного борту.

На мал. 6 - 8 зображені траєкторії руху тіла у кута борту з різними кутами розчину - 90 ⁰ (рис.6), 60 ⁰ (мал. 8) і - менше 90 (мал. 7).

Чітко видна "заборонена зона" на рис. 8.

1. Задача повинна займати важливе місце в курсі фізики; 2. спираючись на вивчений матеріал, повинна містити нові елементи 3. носити узагальнений характер, щоб можна було вирішувати великий клас задач по вибраній темі; 4. математичний апарат повинен бути найпростішим з можливих, але не шкодити строгості математичної моделі.

Робота з пакетом Derive

Оголосимо спочатку в пакеті Derive невеличку бібліотеку допоміжних функцій для розв'язування деяких стандартних задач аналітичної геометрії.

#1: SYM_Z(p, c) := 2·c - p

Функція SYM_Z(P, C) повертає образ точки P при симетрії відносно точки C. Наступна функція SYM_L(P, A, q) повертає образ точки P при симетрії відносно прямої, що проходить через точку A паралельно вектору q.

Функція SYM_PL(P, A, B) повертає образ точки P при симетрії відносно прямої AB.

Функція SYM_PL(P, A, B) повертає образ точки P при симетрії відносно прямої AB.

Значенням функції PR(v) є вектор, що одержується із вектора v при повороті на 90.

Оголосимо тепер функцію SOL2(m, n, p, q), що повертає розв'язок системи векторних рівнянь

Функція INTERSECT(A, B, C, D) повертає точку перетину прямих AB і CD.

LINE1(n, r₀, r) -- пряма, що проходить через точку r₀ перпендикулярно вектору n (r -- радіус-вектор довільної точки прямої); LINE2(q, r₀, r) -- пряма, що проходить через точку r₀ паралельно вектору q; Оголосимо тепер функцію BIL2(K, L, A, B, C) , яка повертає вектор, елементами якого є дві точки, що задають відбитий промінь. Функція REPLACELAST(u, v) вилучає останній елемент вектора u і дописує в кінець одержаного вектора елементи вектора v.

Тепер ми можемо випробувати нашу програму на практиці. Розглянемо більярд у трикутнику з вершинами (2; 2), (5; 6), (8; 2). Спочатку побудуємо сам трикутник.

#22: [[2, 2], [5, 6], [8, 2],[2, 2]]

Побудуємо більярдну траєкторію, що задається точкою (3; 2) та вектором (0; 1).

#23: BIL([3, 2], [0, 1], [1, 1], [4, 5], [7, 1], 4)

Після спрощення виразу #23, одержимо:

#24: [[3, 2], [3, 11/3], [181/39, 485/117], [1389/527, 1], [1837/975, 6373/2925], [1037/175, 1]]

Результат побудови зображено на рис.2.

Збільшимо кількість вершин більярду.

#25: BIL([3, 2], [0, 1], [1, 1], [4, 5], [7, 1], 100)

#26: [[3, 2], [3, 11/3], [181/39, 485/117], [1389/527, 1], [1837/975, ...

Результат побудови виразу #26 (рис.3) на перший погляд може здатися неправдоподібним, оскільки наш більярд повинен містити 101ланку. Що ж це означає?