Дослідження нормованих просторів

34

Курсова робота

Дослідження нормованих просторів

Введення

Поняття нормованого простору - одне із самих основних понять функціонального аналізу. Теорія нормованих просторів була побудована, головним чином, С.Банахом в 20-х роках 20 століття. У роботі ця теорія додається до вивчення сумуємих функцій і послідовностей з позицій функціонального аналізу. Ці функції й послідовності утворять нормовані простори, на яких уводяться операції додавання й множення на число, а також норма.

Основним об'єктом класичного функціонального аналізу є оператори, що діють із одного банахова простору в інше.

Метою даної роботи є розгляд лінійних операторів, що діють із одного простору сумуємих функцій в інше, а також у простір сумуємих послідовностей.

Основні поняття нормованих просторів викладені в першому розділі.

Другий розділ присвячений інтерполяції в просторах вимірних функцій. Розглянуто теорему Марцинкевича, що є однієї із класичних у теорії інтерполяції, і дане її докладний доказ. Приводиться доказ безперервності оператора згортки з використанням даної теореми. Також розглянута інтерполяційна теорема Рисса - Торина і її застосування.

У третьому розділі дані основні поняття простору сумуємих послідовностей, доведений зв'язок між коефіцієнтами Фур'є - періодичної функції і її нормою в за допомогою теореми Марцинкевича.

Глава I. Нормовані простори

§1. Поняття нормованого простору

Уведемо основні поняття теорії нормованих просторів.

Визначення. Непуста множина називається лінійним простором, якщо воно задовольняє наступним умовам:

Й. Для будь-яких двох елементів однозначно визначений елемент , називаний їхньою сумою, причому

1. (комутативність)

2. (асоціативність)

В існує такий елемент 0, що для всіх

4. Для кожного існує такий елемент , що .

II. Для будь-якого числа й будь-якого елемента визначений елемент , причому

5.

6.

III. Операції додавання й множення зв'язані між собою дистрибутивними законами:

7.

8.

Визначення. Лінійний простір називається нормованим, якщо на ньому задана ненегативна функція , називана нормою, що задовольняє умовам:

;

для будь-якого й будь-якого числа ;

для будь-яких (нерівність трикутника).

Визначення. Оператором називається відображення , де - це лінійні простори.

Визначення. Оператор називається лінійним, якщо для будь-яких елементів і будь-яких чисел R виконується рівність:

.

Визначення. Нехай - лінійні нормовані простори,

- лінійний оператор, .

Лінійний оператор безперервний у крапці , якщо з того, що треба, що .

Визначення. Лінійний оператор безперервний, якщо він безперервний у кожній крапці .

Визначення. Лінійний оператор називається обмеженим, якщо .

Твердження. Для лінійного нормованого простору безперервність лінійного оператора рівносильна його обмеженості.

Визначення. Найменша з констант M таких, що , називається нормою оператора А и позначається .

Зокрема, виконується .

Справедливо наступне твердження: для будь-якого обмеженого лінійного оператора .

§2. Простір сумуємих функцій

Серед різних класів нормованих просторів, що зустрічаються в аналізі, один з найважливіших - це простір сумуємих функцій. Далі будемо розглядати саме ці нормовані простори.

Визначення. Нехай - деяка фіксована вимірна множина з . Простором , де , називається нормований простір, елементами якого служать функції , вимірні й майже всюди кінцеві на , для яких виконується

Функції, еквівалентні один одному на , не різняться, а вважаються за той самий елемент простору . Зокрема, нульовий елемент в - це сукупність всіх функцій, рівних нулю майже всюди.

Додавання елементів в і множення їх на числа визначаються як звичайні додавання й множення функцій. Точніше, оскільки кожний елемент в - це клас еквівалентних між собою функцій, то для того, щоб скласти два таких класи, потрібно брати в них по представнику й потім сумою цих класів називають клас, що містить суму обраних представників. Результат не буде залежати від вибору представників у даних класах.

Визначення. Число називається нормою функції

Будуть виконуватися всі властивості норми:

і майже всюди;

Перша властивість cледует з визначення норми й того, що

Друге - із властивості інтеграла: постійний множник можна виносити за знак інтеграла. Третя властивість випливає з нерівності Минковського: для будь-яких функцій

Визначення. Функція називається обмеженої майже всюди, якщо існує ненегативне число таке, що майже всюди виконується нерівність . (*)

Визначення. Простором називається нормований простір, елементами якого служать майже всюди обмежені функції . Нормою називається найменша з констант, що задовольняють нерівності (*).

Для виконується майже всюди нерівність .

Через будемо позначати лінійний простір вимірних функцій, заданих на R.

Серед лінійних операторів, що діють у просторі , розглянемо наступні.

Визначення. Оператор , що діє із простору ( ) в , називається оператором слабкого типу (p,p), якщо

,

де - міра множини, і оператором типу (p,p), якщо .

По визначенню оператор типу є обмеженим, що рівносильно його безперервності.

Пропозиція 1. Будь-який оператор типу є оператор слабкого типу . Доказ.

Потрібно довести, що .

Скористаємося нерівністю Чебишева: .

Візьмемо будь-яке позитивне число . По нерівності Чебишева

.

Але за умовою .

З огляду на останнє співвідношення, маємо , що й було потрібно довести.

§3. Інтеграл Лебега-Стилтьеса

Далі знадобиться поняття інтеграла Лебега - Стилтьеса. Уведемо це поняття.

Визначення. Нехай на R задана монотонно неубутна функція , що для визначеності будемо вважати безперервної ліворуч. Визначимо міри всіх сегментів, інтервалів і напівсегментів рівностями



Таким чином, функція , що кожному сегменту ставить у відповідність міру цього сегмента, буде:

приймати дійсні ненегативні значення;

адитивної, тобто міра об'єднання є сума мір цих сегментів.

Застосувавши стандартне поширення міри, одержимо міру на якійсь - алгебрі.

Визначення. Міру _{, що} виходить за допомогою такої побудови, називають мірою Лебега - Стилтьеса, що відповідає функції , а саму функцію називають виробляючою функцією цієї міри.

Визначення. Нехай - міра на R, породжена монотонної функції . Для цієї міри звичайним образом визначається клас сумуємих функцій і вводиться поняття інтеграла Лебега .

Такий інтеграл, узятий у міру , що відповідає виробляючої функції , називається інтегралом Лебега - Стилтьеса й позначається .

Тепер доведемо факт, що використовується при доказі інтерполяційної теореми.

Пропозиція 2. і для

і , тоді

(1) , і якщо , і , те

. (2)

Доказ.

Рівність (1) треба з визначення інтегралів Лебега й Лебега - Стилтьеса:

Якщо - послідовність розбивок дійсної осі:

, і ,

те інтеграли , де , якщо , прагнуть при .

З іншої сторони:

при .

Це й доводить рівність (1).

Нехай тепер . По (1), з огляду на, що , одержуємо (2')

При

Отже, зі співвідношення (2'), роблячи заміну змінних , одержимо першу рівність (2).

Далі, для кожного виконується



(інтегрування вроздріб: ).

Для доказу другої рівності в (2) досить спрямувати в останнім співвідношенні число до і використовувати оцінку:

при .

Пропозиція 2 доведене.

Зауваження. Якщо функція задана на , те, застосовуючи рівність (2) для функції , , і з огляду на, що , одержимо

(3)

Глава II. Інтерполяція в просторах сумуємих функцій

§1. Теорема Марцинкевича і її застосування

Однієї з найважливіших у теорії інтерполяції є теорема Ж.Марцинкевича, доведена їм в 1939 році. Перш ніж розглянути теорему, доведемо пропозицію.

Нехай дана функція . Покладемо для

, .

Пропозиція 3. Нехай , , для будь-якого позитивного числа й - функції, описані вище. Тоді .

Доказ.

34

Потрібно показати, що , тобто .

I. Для функції

1) якщо 0<t , те, тому що

2) Нехай t>1.

Позначимо , .

.

Кінцівка доведена в першому випадку. Розглянемо другий інтеграл.

Покажемо, що . Припустимо противне, що .

,

тому що . З іншого боку, . Але на , тобто , а це протиріччя. Одержали, що кінцево й тому що інтеграл від обмеженої функції по кінцевій мері кінцевий, те . Тоді .

II.для функції :

1) якщо , те .

2) Нехай .

Нехай

.

Кінцівка доведена в першому випадку. Потрібно показати, що кінцево.

Доведемо, що . Припустимо противне, що .

( ).

З іншої сторони . Але , тобто

.

Прийшли до протиріччя.

Одержали, що кінцево й тому що інтеграл від обмеженої функції по кінцевій мері кінцевий, те . Отже, . Пропозиція доведена.

Наслідок. Для всіх справедливо включення: .

Зауваження 2. Нехай оператор заданий на просторі й на . Тоді оператор можна поширити зі збереженням лінійності до оператора, що діє із простору

т.е. для будь-якої функції

Таке визначення функції не залежить від вибору й Дійсно. Візьмемо інше подання функції :

, де

Потрібно довести, що .

З умови треба . Ліва частина рівності - це функція із права частина - із Застосуємо до рівності оператор T:

.

Тому що T линійний у просторах і , те . Звідси , що й було потрібно довести.

Теорема Марцинкевича. Якщо лінійний оператор Т має слабкий тип і одночасно слабкий тип , то Т має тип для кожного з інтервалу

Доказ.

Уважаємо, що . Фіксуємо функцію й позитивне число . Оцінимо величину

Нехай і функції, описані вище.

Тоді й по зауваженню 2.

Отже, .

Використовуючи оцінки слабкого типу , знаходимо, що при позитивному

.

З останньої нерівності й формули (3) із зауваження 1 одержуємо

,

тобто оператор Т має тип . Теорема доведена.

Як застосування цієї теореми розглянемо наступний приклад.

Твердження 2. Нехай . Тоді оператор буде безперервним оператором у просторі , .

Доказ.

Розглянемо два випадки, коли й . Доведемо, що оператор є оператором типу для цих випадків. Тоді за пропозицією 1 буде оператором слабкого типу для й . Застосувавши інтерполяційну теорему Марцинкевича, одержимо, що - оператор типу для будь-якого , а це рівносильно його безперервності.

и.

Доведемо, що найдеться число , таке, що



З огляду на останню рівність і те, що для будь-якого дійсного числа вірно

,

одержимо

, де .

2) .

Потрібно довести, що

Для майже всюди виконується нерівність: . (*)

Позначимо , .

.

Тому що , те .

Виходячи з останнього співвідношення й нерівності (*), одержуємо



.

Таким чином, довели, що оператор згортки безперервний у просторі для будь-якого р1.

§2. Інтерполяційна теорема Рисса-Торина і її застосування

Перш ніж розглянути теорему Рисса - Торина і її додаток, приведемо визначення й доведемо факти, пов'язані з теорією банахових просторів, які знадобляться для цього.

Визначення. Послідовність метричного простору Х називається фундаментальної, якщо .

Вірно наступне твердження.

Твердження. Якщо послідовність сходиться, то вона фундаментальна.

Обернено вірно не завжди.

Визначення. Метричний простір називається повним, якщо в ньому будь-яка фундаментальна послідовність сходиться.

Визначення. Якщо простір , породжений нормою, є повним, то лінійний нормований простір називається банаховим.

Визначення. Нехай - банаховий простір, - підпростір в. називається всюди щільним у Х, якщо , тобто , така, що .

Твердження 4 . Нехай оператор , де щільно в - банаховий простір. Тоді оператор можна поширити на , тобто існує оператор , такий, що й .

Доказ.

Візьмемо з . По визначенню існує послідовність із така, що прагне до , при прагнучому к.

Доведемо, що з буде фундаментальною послідовністю. Тоді, тому що повне, послідовність буде збіжною.

Візьмемо довільне позитивне число . Знайдемо номер , для якого виконується .Тоді

.

Отже, послідовність фундаментальна.

Нехай прагне к. Визначно оператора рівністю .

а) Перевіримо коректність визначення оператора .

Отже, прагне до , прагне к. Візьмемо іншу послідовність , що має в межі . Тоді буде прагне до деякого елемента .Складемо нову послідовність Її межею буде . Нехай відповідна послідовність прагне к. З останньої можна вибрати дві підпослідовності й , що сходяться відповідно до і .Отже, і , тобто й збігаються.

б) Доведемо лінійність оператора А. Нехай Х; - довільні числа. Розглянемо елемент . По визначенню існують послідовності {x_n},{y_n}, такі, що . Тоді .

.

Одержали , що й означає по визначенню лінійність оператора А. При цьому, тому що якщо , те в якості можна взяти для всіх n. Тоді й .

в) Доведемо безперервність оператора А.

Візьмемо . , .

.

По теоремі про граничний перехід у нерівності буде виконуватися нерівність . Т.к. по визначенню - це найменша з констант, що задовольняють даній нерівності, те . (*)

З іншого боку, по визначенню , . Тому що , те . (**)

З огляду на нерівності (*) і (**) , установили рівність . Таким чином, твердження доведене.

Визначення. Функція називається простою, якщо вона являє собою кінцеву лінійну комбінацію характеристичних функцій попарно непересічних вимірних множин , де .

Теорема Лебега. Якщо послідовність на сходиться до і при всіх , де сумуєма на , то гранична функція сумуєма на й

.

Пропозиція 4. Множина простих функцій усюди щільно в , тобто , така, що ,де - проста функція.

Доказ.

I.Позначимо

,

де N.

34

Ясно, що для майже всіх . Тоді для майже всіх . Отже, .

З іншого боку, (*) ,тобто . Тому сумуєма. Застосуємо теорему Лебега до нерівності (*) : . Одержимо, що й, виходить, наблизили функціями . Візьмемо довільне позитивне число . Знайдемо функцію таку, що .

II. Наблизимо східчастою функцією.

Позначимо , де . Покладемо .

По властивості інтеграла Лебега для будь-якого позитивного найдеться , таке, що . Це означає, що .

Відрізок розіб'ємо на рівних частин крапками так, щоб .

Позначимо

.

Розглянемо функцію

.

.

,

.

У результаті найшлася проста функція така, що

.

III. Таким чином, . Пропозиція доведена.

Перша інтерполяційна теорема в теорії операторів була отримана М.Риссом в 1926 році у вигляді деякої нерівності для билинейних форм. Її уточнення й операторні формулювання були дані Г.О.Ториним. Вся теорія інтерполяції лінійних операторів спочатку розвивалася в напрямку узагальнення цієї теореми. Дамо її формулювання.

Теорема. Нехай . Оператор Т діє із простору в з нормою й одночасно з у з нормою .Тоді Т буде безперервним оператором із простору в з нормою , що задовольняє нерівності за умови, що 0<t<1 і ; .

Тепер розглянемо додаток теореми Рисса - Торина в доказі наступного факту.

Теорема. Нехай і для чисел виконується рівність .Тоді згортка .

Доказ.

Потрібно довести, що , тобто . Зафіксуємо довільну функцію з . Доведемо спочатку необхідний результат для частки випадку, коли функція g проста, а потім поширимо на довільні функції g.

I. Нехай функція проста.

1) Розглянемо оператор згортки на множині простих функцій і перевіримо, що він типу , де . У силу нерівності Гельдера . З огляду на геометричний зміст інтеграла, одержимо для будь-якого дійсного числа х. Тоді . Тому що , те, тобто дорівнює деякому числу . Таким чином, . Отже, найшлася константа , така, що . Це й означає, що оператор згортки Т на множині простих функцій типу .

2) Перевіримо, що оператор Т типу , тобто .

Розглянемо випадок, коли функція g має вигляд:

.

.

Позначимо

.

Тоді права частина рівності прийме вид

по нерівності Минковського.

(1)

Розглянемо перший доданок

(2)

Аналогічно другий доданок

. (3)

Таким чином, з огляду на (1),(2),(3), одержимо

.

Знайдемо

,

тому що .

Далі маємо

.

У результаті, ,тому що , те й дорівнює деякому числу .

Зовсім аналогічно доводиться для випадку, коли .

1) Таким чином, з пунктів I.1 і I.2 одержимо, що типу й , і, отже, буде типу за умови

, де .

; ,

тобто , що й дано за умовою.

Таким чином, застосувавши теорему Рисса - Торина, установили істинність доказуваного твердження для всіх простих функцій .

II. Нехай - довільна функція з .

За пропозицією 4 множина простих функцій усюди щільно в.

За твердженням 4 оператор згортки можна поширити на й тоді доказуваний факт вірний для будь-якої функції з . Теорема доведена.

Глава III. Простір сумуємих послідовностей

§1. Основні поняття

Розглянемо застосування теорії інтерполяції для просторів .

Нехай {_z}_zZ - послідовність ненегативних чисел. Визначимо на множині Z міру в такий спосіб: для будь-якого цілого числа . Простір сумуємих зі ступенем p послідовностей щодо міри m, тобто таких, що позначається .

Тому що міра m визначена на множині всіх підмножин множини Z, те будь-яку послідовність можна розглядати як вимірну функцію. Позначимо через лінійний простір всіх послідовностей.

Визначення. Число називається нормою послідовності x_n з l^p(m,Z).

У випадку, якщо для всіх z, те одержимо класичний простір l^p(Z) послідовностей, сумуємих зі ступенем p .

Визначення. Оператор Т, що діє із простору в називається оператором слабкого типу (p,p), якщо , де , і оператором типу (p,p), якщо .

У цьому випадку залишається справедливим наступний факт: будь-який оператор типу є оператор слабкого типу . Перш ніж установити його істинність, доведемо твердження, що для цього знадобиться.

Твердження 5. Нехай дана послідовність із із ненегативними членами. Тоді .

Доказ.

Позначимо . Потрібно довести, що .

.

Одержали, що .

Твердження доведене.

Пропозиція 5. Будь-який оператор типу є оператор слабкого типу .

Доказ.

Дано, що й . Довести, що

.

Візьмемо довільне позитивне число . За твердженням 5

.

За умовою . Тоді , що й було потрібно довести.

Легко побачити, що теорема Марцинкевича буде справедлива й для операторів, що діють із просторів у простір .

§2. Зв'язок між коефіцієнтами Фур'є - періодичної функції і її нормою в

Теорія інтерполяції має численні додатки в теорії рядів Фур'є.

Визначення. Нехай -періодична функція, така що . Нормою в просторі називається число , а коефіцієнтами Фур'є функції називаються числа .

Для функцій із простору виконується рівність .

У випадку інших значень це, загалом кажучи, не вірно. Однак можна вказати наступну оцінку.

Пропозиція 6. Нехай періодична функція з . Тоді для будь-якого числа з відрізка [1,2] існує константа , така, що

.

Доказ.

Розглянемо оператор і визначний міру

,

тобто оператор діє з в.

Доведемо, що оператор слабкого типу : .

Зафіксуємо довільне позитивне число .

.

Нехай . Тоді . (2)

Далі маємо

.

З огляду на рівності (1) і (2), одержимо, що .

У результаті знайшли константу , таку, що

.

2) Доведемо, що типу : .

Уже говорилося, що для функцій із простору виконується рівність

. (3)

.

По нерівності (3) . За пропозицією 5 оператор буде слабкого типу .

3) По теоремі Марцинкевича буде типу для кожного з інтервалу (1,2), тобто , що й було потрібно довести.

Висновок

Поширимо міру зі збереженням властивостей 1 і 2, певну поки для сегментів, на більше широкий клас множин - так звані елементарні множини.

Назвемо множину елементарною, якщо її можна представити хоча б одним способом як об'єднання кінцевого числа попарно непересічних сегментів.

Визначимо тепер міру для елементарних множин у такий спосіб: якщо , де - попарно непересічні сегменти, те .

Далі поширимо міру й на нескінченні об'єднання сегментів. Для того, щоб при цьому не зустрічалися множини «нескінченної міри», обмежимося розглядом множин, що цілком належать відрізку . На сукупності всіх таких множин визначимо дві функції й :

Визначення. Верхньою мірою множини називається число, де нижня грань береться по всіляких покриттях множини А кінцевими або рахунковими системами сегментів.

Визначення. Нижньою мірою множини називається число .

Визначення. Множина називається вимірним, якщо . Їхнє загальне значення називається лебеговской мірою.

Отже, поширили міру з елементарних множин на більше широкий клас множин, називаних вимірними, замкнутий щодо операцій узяття рахункових сум і перетинань. Побудована міра є на цьому класі множин - аддитивной, тобто якщо - послідовність попарно непересічних вимірних множин і , те .

Однак, ми розглянули лише ті множини, які є підмножинами .

Неважко звільнитися й від цього обмеження. Представивши всю числову вісь як суму відрізків ( - ціле), будемо говорити, що множина вимірна, якщо його перетинання з кожним із цих відрізків вимірно, і ряд сходиться. При цьому покладемо по визначенню, .

Причому сукупність множин, вимірних щодо даної міри, також буде замкнута щодо операцій узяття рахункових сум і перетинань, а міра буде - аддитивна.

Визначення. Міру , що виходить за допомогою такої побудови, називають мірою Лебега - Стилтьеса, що відповідає функції , а саму функцію називають виробляючою функцією цієї міри.

Література

1.Вулих Б.З. Короткий курс теорії функцій речовинної змінної. - К., 2004

2.Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональні ряди. - К., 2003

3.Колмогоров А.Н., Фомін С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. - К., 2004

4.Крейн С.Г., Петунин Ю.І., Семенов Е.М. Інтерполяція лінійних операторів. - К., 1999

5.Натансон І.П. Теорія функцій речовинної змінної. - К., 2005