Суммирование расходящихся рядов
Основные понятия теории рядов. Методы суммирования расходящихся рядов. Суть метода степенных рядов, теоремы Абеля и Таубера. Метод средних арифметических, взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро. Основные методы обобщенного суммирования.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.10.2010 |
| Размер файла | 288,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
37
Содержание
- Введение
- Глава 1. Основные понятия теории рядов
- 1.1 Определения и термины
- 1.2 Истоки проблемы
- Глава 2. Метод степенных рядов
- 2.1 Суть метода
- 2.2 Теорема Абеля
- 2.3 Теорема Таубера
- Глава 3. Метод средних арифметических
- 3.1 Суть метода
- 3.2 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро
- 3.3 Теорема Харди-Ландау
- 3.4 Применение обобщенного суммирования к умножению рядов
- Глава 4. Другие методы обобщенного суммирования
- 4.1 Методы Г.Ф. Вороного
- 4.2 Обобщенные методы Чезаро
- 4.3 Метод Бореля
- 4.4 Метод Эйлера
- Заключение
- Список использованной литературы
Введение
Как мы уже знаем математический анализ, занимается проблемами изучения множества объектов, таких как: числа, переменные, функции, последовательности, ряды и др. При изучении свойств того или иного объекта могут возникать пробелы или “пустоты". Это возникает тогда, когда наука не может объяснить: “Почему происходит так, а не иначе? ”. Такой казус существовал некоторое время и при изучении рядов, а точнее при изучении расходящихся рядов.
При изучении рядов заданному числовому ряду
(А)
в качестве его суммы мы приписывали предел её частичной суммы , в предположении, что этот предел существует и конечен. “Колеблющийся" расходящийся ряд оказывался лишенным суммы и подобные ряды, как правило, из рассмотрения исключали. Естественно возникает вопрос о возможности суммирования расходящихся рядов в некоем новом смысле, конечно отличном от обычного. Этот вопрос возник ещё до второй половины XIX века. Некоторые методы такого суммирования оказались довольно-таки плодотворными.
В данной своей работе я хочу рассмотреть эти методы, обратить внимание на то, где и какой метод наиболее применим, изучить связь между этими методами. Моя работа состоит из 4 глав, первая из которых содержит основные термины и определения необходимые для работы. Последующие главы рассматривают непосредственно сами методы суммирования. Вторая и третья главы посвящены двум основным методам суммирования: метод степенных рядов и метод средних арифметических, а третья содержит сведения о других существующих, но реже применяемых методах. Каждая из четырех глав содержит примеры суммирования рядов по данному конкретному методу.
Глава 1. Основные понятия теории рядов
1.1 Определения и термины
Как мы упомянули вначале цель нашего исследования - расходящиеся ряды. А что же такое, вообще, ряд?
Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел
(1)
Составленный из этих чисел символ
(2)
называется бесконечным рядом, а сами числа (1) - членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:
(2а)
Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;
(3)
их называют частичными суммами ряда.
Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда (2) при :
называют суммой ряда и пишут
,
Придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е если сумма равна , либо же суммы вовсе нет) - расходящимся.
Примеры.1) простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая геометрическая прогрессия:
Его частичная сума будет (если )
Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, то имеет конечный предел
то есть наш ряд сходится, и будет его суммой.
При та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если , то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается при a=1 и q= - 1;
…1+ (-1) +1+ (-1) +1+…
Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.
2) Легко установить расходимость ряда
В самом деле, так как члены его убывают, то его n-я частичная сумма
и растет до бесконечности вместе с n.
1.2 Истоки проблемы
Различные факты из области математического анализа, как, например, расходимость, произведения двух сходящихся рядов, естественно выдвинули вышеупомянутый вопрос: “О возможности суммирования расходящихся рядов, в некоем новом смысле”.
Нужно сказать, что до создания Коши строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко встречались в математической практике.
Хотя применение их при доказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались попытки придавать им даже числовой смысл.
Вспомним, опять, наш колеблющийся ряд
Еще со времен Лейбница в качестве "суммы" приписывалось число . Эйлер, например, мотивировал это тем, что из разложения
(которое в действительности имеет место лишь для ) при подстановке вместо х единицы как раз и получается
В этом уже содержалось зерно истины, но постановке вопроса не хватало четкости; самый произвол в выборе разложения оставлял открытой возможность, скажем из другого разложения (где п и т - любые, но )
получить одновременно
Современный анализ ставит вопрос по-другому. В основу кладется то или иное точно сформулированное определение “обобщенной суммы" ряда, не придуманное только для конкретно интересующего нас числового ряда, но приложимое к целому ряду классов таких рядов. Определение “обобщенной суммы" обычно подчиняется двум требованиям.
Во-первых, если ряду приписывается “обобщенная сумма" А, а ряду - “обобщенная сумма" В, то ряд , где p, q - две произвольные постоянные, то должен иметь в качестве “обобщенной суммы" число . Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, называется линейным.
Во-вторых, новое определение должно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь “обобщенную сумму", и притом также равную А. Метод суммирования, обладающий этим свойством, называют регулярным. Разумеется, интерес представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют устанавливать “сумму” в более широком классе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно говорить об “обобщенном суммировании”. Мы переходим к теперь непосредственно к рассмотрению особо важных с точки зрения приложений методов `обобщенного суммирования".
Глава 2. Метод степенных рядов
2.1 Суть метода
Этот метод, в существенном принадлежит Пуассону, который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит в следующем.
По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд
(1)
Если этот ряд для сходится и его сумма при имеет предел А:
,
то число А и называют “обобщённой (в смысле Пуассона) суммой” данного ряда. Примеры.1) Ряд, рассмотренный Эйлером:
Здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма которого при стремится к пределу . Значит, число , действительно, является “обобщенной суммой” указанного в точном установленном здесь смысле.
2) Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд
(2)
является расходящимся при всех значениях
Действительно, если имеет вид , где и - натуральные числа, то для значений , кратных , будет , так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби , будем иметь, как известно,
откуда
Таким образом, для бесконечного множества значений
, так что .
Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд:
(здесь буква заменяет прежнюю букву ), то его сумма при значении , отличном от 0, будет
(3)
и при стремится к 0. Таким образом, для “обобщенной суммой” ряда будет 0. если , то ряд (2), очевидно имеет сумму, равную ; впрочем, выражение (3), которое в этом случае сводится к , также имеет пределом .
3) Аналогично ряд
,
который сходится лишь при или , приводит к степенному ряду
.
Так что “обобщенная сумма" на этот раз оказывается равной при и равной нулю при .
Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод “обобщенного суммирования” является линейным. Что же касается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремой принадлежащей Абелю.
2.2 Теорема Абеля Хотя формулировка метода “обобщенного суммирования ” принадлежит Пуассону, этот метод называют всё же методом Абеля, так как Пуассон применил этот метод лишь в частном случае. Поэтому в дальнейшем мы будем называть этот метод - методом Пассона-Абеля.
Теорема. Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для сходится степенной ряд (1), и его сумма стремится к пределу А, когда .
Доказательство. Начнем с того, что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество
(где ); вычтем его почленно из тождества
.
Полагая , Придем к тождеству
(4)
Так как то по произвольно заданному найдется такой номер , что , лишь только .
Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы
Вторая оценивается сразу и независимо от :
Что же касается первой, то она стремится к 0 при и при достаточной близости к 1 будет
так что окончательно что и доказывает утверждение.
Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами из существования предела
, (5)
вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда (), т.е. о существовании для него суммы в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.
2.3 Теорема Таубера
Теорема. Пусть ряд (1) сходится при 0<x<1, и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что
(6)
то и
Доказательство. Разобьем доказательство на две части. Сначала
предположим, что Если положить то при величина , монотонно убывая, стремится к нулю.
Имеем при любом натуральном N
так что:
Взяв произвольно малое число , положим
Так что при . Пусть теперь выбрано достаточно большим чтобы: выполнялось неравенство ; соответствующее x было настолько близко к 1, что
. Тогда
Что и доказывает утверждение теоремы.
К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий. Положим
так что
и затем
(7)
Но из предположения теоремы, т.е. из того, что при , легко получить, что
. (8)
Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:
и выбрать N таким, чтобы во второй сумме все множители были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа , тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше , каково бы ни было х; относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х к 1.
Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и
С другой стороны,
Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю
Что и завершает доказательство теоремы.
Глава 3. Метод средних арифметических
3.1 Суть метода
Идея метода в простейшем его осуществлении принадлежит Фробениусу, но связывают его обычно с именем Чезаро, который дал методу дальнейшее развитие.
По частичным суммам данного числового ряда (А) строятся их последовательные средние арифметические
Если варианта при имеет предел А, то это число и называют “обобщенной (в смысле Чезаро) суммой” данного ряда.
Примеры.1) Возвращаясь к ряду
Имеем здесь
так что . Мы пришли к той же сумме, что и по методу Пуассона-Абеля.
2) Для ряда . Частичные суммы будут (если только )
Теперь нетрудно подсчитать средние арифметические:
Итак, окончательно
Очевидно, : для значений “обобщенной суммой” и здесь служит 0.
3) Наконец, пусть снова предложен ряд
Имеем при ,
и затем
Отсюда ясно, что
Во всех случаях по методу Чезаро получилась та же “обобщенная сумма", что и выше, по методу Пуассона-Абеля. Оказывается это не случайность.
3.2 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро
Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то необходимо
Действительно, из и следует, что
а тогда и
что и требовалось доказать.
Теорема (Фробениуса). Если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то одновременно он суммируем также по методу Пуассона-Абеля и притом к той же сумме.
Доказательство. Итак, пусть . Ввиду сделанного вначале замечания очевидна сходимость степенного ряда
для 0<x<1. Выполнив дважды преобразование Абеля, последовательно получим
[при этом следует помнить, что ].
Известно, что (для 0<x<1) или
Умножим обе части тождества на А и вычтем из него почленно предыдущее тождество:
Сумму справа разобьем на две:
Причем число N выберем так, чтобы при было
где - произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма по абсолютной величине и сама будет меньше (независимо от ), а для первой суммы того же можно добиться за счет приближения x к 1. Этим и завершается доказательство.
Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем же результатом.
Обратное же неверно: существуют ряды суммируемые методом Пуассона-Абеля, но не имеющие “обобщенной суммы" в смысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд
Так здесь явно не соблюдено необходимое условие суммируемости по методу средних арифметических, то этот метод не приложим. В то же время ряд
Имеет (при 0<x<1) сумму , которая при стремится к пределу . Это и есть “обобщенная сумма" нашего ряда по Пуассону-Абелю.
Таким образом, метод Пуассона-Абеля является более мощным, то есть приложим в более широком классе случаев, чем метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они оказываются приложимыми оба.
3.3 Теорема Харди-Ландау
Как и в случае Пуассона-Абеля, для метода Чезаро также могут быть доказаны теоремы “тауберовского” типа, устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при наличии которых из суммируемости ряда по методу средних арифметических вытекает его сходимость в обычном смысле слова. Ввиду теоремы Фробениуса ясно, что каждая тауберовская теорема для метода Пуассона-Абеля приводит, в частности, к такой же теореме для метода Чезаро. Например, сама теорема Таубера перефразируется теперь так: если и выполняется условие
(9)
то одновременно и . Впрочем, здесь она непосредственно вытекает из легко проверяемого тождества
,
которое для данного случая указывает даже на необходимость условия (9).
Харди установил, что заключение от к можно сделать не только, если , но и при более широком предположении, что
().
Ландау показал, что можно удовольствоваться даже “односторонним” выполнением этого соотношения;
Теорема. Если ряд (А) суммируем к “сумме” А по методу средних арифметических и при этом выполняется условие (),то одновременно и
.
[Изменяя знаки всех членов ряда, видим, что достаточно также предположить неравенство другого смысла:
.
В частности, теорема, очевидно приложима к рядам с членами постоянного знака.
Доказательство. Для доказательства рассмотрим сначала сумму
,
где n и k - произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразования она легко приводится к виду
(10)
Если взять любое (при ), то используя предположенное неравенство , можно получить такую оценку снизу:
,
откуда, суммируя по m, найдем
.
Отсюда, сопоставляя с (10), приходим к такому неравенству:
. (11)
Станем теперь произвольно увеличивать п до бесконечности, а изменение k подчиним требованию, чтобы отношение стремилось к наперед заданному числу . Тогда правая часть неравенства (11) будет стремиться к пределу , так что для достаточно больших значений п будет
. (12)
Совершенно аналогично, рассматривая сумму
и проведя для (при ) оценку сверху:
,
придем к неравенству
Отсюда
Если и одновременно , как и прежде (но на этот раз пусть ), то правая часть этого неравенства стремится к пределу
.
Следовательно, для достаточно больших n окажется
. (13)
Сопоставляя (12) и (13), видим, что, действительно,
.
Теорема доказана.
3.4 Применение обобщенного суммирования к умножению рядов
Остановимся на применении обобщенных методов суммирования в вопросе об умножении рядов по правилу Коши. Пусть, кроме ряда (А), дан ещё ряд
(В)
тогда ряд
(С)
и называется произведением рядов (А) и (В) в форме Коши. Если данные ряды сходятся и имеют обыкновенные суммы А и В, то ряд (С) все же может оказаться расходящимся.
Однако во всех случаях ряд (С) суммируем по методу Пуассона-Абеля и именно к сумме АВ.
Действительно, для 0<x<1 ряд (1) равно как и ряд
оба абсолютно сходятся; обозначим их суммы, соответственно, через и . Произведение этих рядов, то есть ряд
,
По классической теореме Коши также сходится и имеет суммой произведение *. Эта сумма при стремится к АВ, ибо как мы видели, по отдельности
Итак, “обобщенной (в смысле Пуассона-Абеля) суммой” ряда (С) действительно будет АВ, что и требовалось доказать.
Отсюда как следствие получается теорема Абеля об умножении рядов. Равным образом из самого доказательства ясно, что то же заключение остается в силе, если ряды (А) и (В) - вместо того, чтобы сходиться в собственном смысле - лишь суммируемы по методу Пуассона-Абеля к суммам А и В.
В таком случае, учитывая теорему Фробениуса, можно сделать и следующее утверждение: если (А), (В) и (С) суммируемы в смысле Чезаро и имеют, соответственно, “обобщенные суммы" А, В и С, то необходимо С=АВ.
В качестве примера рассмотрим возведение в квадрат ряда
который получается из биномиального разложения
при х=1. умножая указанный числовой ряд на самого себя, придем к хорошо знакомому нам ряду
“обобщенная сумма" которого есть .
Далее, “возведем в квадрат" и этот расходящийся ряд. Мы получим ряд
“обобщенная сумма" которого в смысле Пуассона-Абеля есть .
Глава 4. Другие методы обобщенного суммирования
4.1 Методы Г.Ф. Вороного
Пусть мы имеем положительную числовую последовательность и
Из частичных сумм ряда (А) составим выражения
Если при то А называется “обобщенной суммой” ряда (А) в смысле Вороного - при заданном выборе последовательности .
Теорема.
Для регулярности метода Вороного необходимо и достаточно условие.
Доказательство. Необходимость.
Допустим сначала регулярность рассматриваемого метода: пусть из всегда следует и . Если, в частности, взять ряд для которого а прочие (так что и ), то необходимо
Достаточность. Предположим теперь условие теоремы выполненным и докажем, что из вытекает и .
Обратимся к теореме Теплица и заменим там на и на Условие (а) этой теоремы удовлетворено, ибо
Выполнение условий (б) и (в) очевидно, так как
Следовательно, как и требовалось доказать, .
4.2 Обобщенные методы Чезаро
Мы уже знакомы с методом средних арифметических; он является простейшим из бесконечной последовательности методов суммирования, предложенных Чезаро.
Фиксируя натуральное число к, Чезаро вводит варианту
и ее предел при рассматривает как “обобщенную сумму" (к-го порядка) ряда (А). При к=1 мы возвращаемся к методу средних арифметических.
В дальнейшем нам не раз понадобится следующее соотношение между коэффициентами:
Он легко доказывается по методу математической индукции относительно n, B и если исходить из известного соотношения
. (14)
Прежде всего, покажем, что методы Чезаро всех порядков являются частными случаями регулярных методов Вороного. Для этого достаточно положить , ибо из (14) тогда следует, что и к тому же, очевидно,
С помощью того же равенства (14), пользуясь самим определением величин , устанавливается, что
. (15)
Это дает возможность выяснить взаимоотношение между суммированием по Чезаро к-го и (к-1) - го порядка. Пусть ряд (А) допускает суммирование (к-1) - го порядка, так что . В силу (14) и (15) имеем
Применяя сюда теорему Теплица, причем полагаем
придем к заключению, что и . Таким образом, если ряд (А) допускает суммирование по методу Чезаро какого-нибудь порядка, то он допускает и суммирование любого высшего порядка, и притом к той же сумме.
Приведем теперь обобщение уже известной нам теоремы Фробениуса: если ряд (А) суммируем по какому-либо из методов Чезаро (скажем к-го порядка), то он суммируем к той же сумме и по методу Пуссона-Абеля.
Доказательство. Пусть дано, что
(16)
Легко заключить отсюда, что ряд
(17)
для - 1<x<1 сходится. Действительно, так как то из (16) имеем:
Если , то
так что по теореме Коши-Адамара, радиус сходимости ряда (17) равен 1. Он во всяком случае не меньше 1, если А=0.
Рассмотрим теперь ряд тождеств
Здесь и дальше учитываются соотношения типа (15)
Выше мы установили сходимость последнего ряда в промежутке (-1,1); отсюда вытекает сходимость и всех предшествующих рядов. Кроме того,
(18)
Сопоставим с этим тождеством другое:
(19)
которое имеет место в том же промежутке (-1;
1); оно получается к-кратным дифференцированием прогрессии
Умножив обе части тождества (19) на А и вычитая из него почленно равенство (18), получим наконец,
Дальнейшие рассуждения [с учетом (16)] вполне аналогичны тем, с помощью которых была доказана теорема Абеля и теорема Фробениуса. В результате мы и получим:
что и требовалось доказать.
Отметим, что существуют расходящиеся ряды, суммируемые по методу Пуассона-Абеля, но не суммируемые ни одним из обобщенных методов Чезаро. Таким образом, первый из названных методов оказывается сильнее всех последних, даже вместе взятых.
4.3 Метод Бореля
Он состоит в следующем: по ряду (А) и его частичным суммам строится выражение:
Если последний ряд сходится, хотя бы для достаточно больших значений х, и его сумма при имеет предел А, то это число и является “обобщенной суммой” в смысле Борелядля данного ряда (А).
Докажем регулярность метода Бореля. Допустим сходимость ряда (А) и обозначим его сумму через А, а остатки через . Имеем (для достаточно больших х)
Зададимся произвольно малым числом ; найдется такой номер N, что для будет:
.
Представим последнее выражение в виде суммы,
.
Второе слагаемое по абсолютной величине , каково бы ни было х, а первое представляющее собой произведение на многочлен, целый относительно х, становится абсолютно при достаточно больших х. Этим все доказано.
4.4 Метод Эйлера
Пусть дан ряд . Формула, выражающая “преобразование Эйлера” выглядит следующим образом
. (20)
При этом, как было доказано, из сходимости ряда в левой части вытекает сходимость ряда в правой части и равенство между их суммами.
Однако и при расходимости первого ряда второй ряд может оказаться сходящимся; в подомном случае его сумму Эйлер приписывал в качестве “обобщенной суммы" первому ряду. В этом собственно и состоит метод Эйлера суммирования рядов; сделанное только что замечание гарантирует регулярность метода.
Если писать рассматриваемый ряд в обычном виде (А), не выделяя знаков , и иметь в виду вырыжение
для р-ой разности, то можно сказать, что методу суммирования Эйлера в качестве “обобщенной суммы" ряда (А) берется обычная сумма ряда
(в предположении, что последний сходится)
Методы Гельдера представляют собой ещё один класс методов обобщенного суммирования. Но они состоят в простом повторении метода средних арифметических. Поэтому рассматривать их не стоит.
Заключение
В своей дипломной работе я рассмотрел методы суммирования расходящихся рядов, теоремы, вытекающие из этих методов, а также взаимосвязь этих методов между собой. Мы увидели многообразие подходов к вопросу суммирования расходящихся рядов. Регулярность каждого метода мы устанавливали во всех случаях. К сожалению, я не всегда имел возможность достаточно углубиться в вопрос о взаимоотношении этих методов между собой. А между тем может случиться, что два метода имеют пересекающиеся области приложимости, или, наоборот, может оказаться и что два метода приписывают одному и тому же расходящемуся ряду различные “обобщенные суммы”.
Теория рядов является важным и широко используемым разделом математического анализа, или другими словами бесконечные ряды являются важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.
Список использованной литературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М., 1982.
2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 1, М., 1974.
3. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих. М., 1970.
4. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., 1983.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, I, II т., М., 1966.
Подобные документы
Метод степенных рядов, применяемый для суммирования расходящихся рядов. Формулировка Пуассона, теорема Абеля. Метод средних арифметических и метод Чезаро. Знакопостоянный ряд натуральных чисел. Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро.
реферат [313,4 K], добавлен 11.04.2014Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010Понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями. Необходимый признак сходимости. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Уравнение Эйри и Бесселя. Примеры интегрирования в Maple. Приближенные вычисления с помощью рядов.
курсовая работа [263,9 K], добавлен 11.12.2013Область сходимости степенного ряда. Нахождение пределов, вычисление определенных интегралов. Применение степенных рядов в приближенных значениях. Изучение особенностей решения дифференциальных уравнений. Достаточное условие разложимости функции в ряд.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 21.05.2019Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013Изучение изменений анализируемых показателей во времени как важнейшая задача статистики. Понятие рядов динамики (временных рядов). Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющего ряд динамики. Классификация рядов динамики.
презентация [255,0 K], добавлен 28.11.2013Особенности применения степенных рядов для вычислений с различной степенью точности значений функций и определенных интегралов. Рассмотрение примеров решения ряда задач этим математическим методом с условием принятия значений допустимой погрешности.
презентация [68,4 K], добавлен 18.09.2013Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Ознакомление с математическим аппаратом анализа временных рядов и моделями авторегрессии. Составление простейших моделей авторегрессии стационарных временных рядов. Оценка дисперсии и автоковариации, построение графика автокорреляционной функции.
лабораторная работа [58,7 K], добавлен 14.03.2014Исследование числовых рядов на сходимость. Область сходимости для разных степенных рядов. Разложение функции в ряд Тейлора. Нормы сеточной функции. Исследование устойчивости разностной схемы для однородного уравнения. Совокупность разностных уравнений.
курсовая работа [586,9 K], добавлен 19.04.2011
