Разностные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.Решение разностного уравнения 2-го порядка векторно-матричным способом с использованием Z-преобразования

1.1 Краткие теоретические сведения

разностный уравнение матричный

Переход от разностного уравнения n-го порядка к векторно-матричному уравнению

Пусть дано разностное уравнение 2-го порядка:

Разрешаем его относительно U_n+2:

Вводим обозначения:

Получим следующую систему

В матричной форме данная система записывается следующим образом:

Решение векторного разностного уравнения с помощью Z-преобразования

Осуществляем Z-преобразование:

Определим вектор :

В дальнейшем осуществляется переход от Z-изображения к оригиналу:

1.2 Задано разностное уравнение:

Разрешаем его относительно x_n+2:

н.у.: x₀= 5; x₁= 7

1) Введем обозначения:

Получаем:

Запишем систему в векторно-матричной форме:

Рис.

1.3 Получение решения РУ матричным методом с помощью Z-преобразования

а) Получение изображений

Определяем матрицу на MathCad:

Найдем матрицу , используя метод Фадеева

б) Нахождение оригиналов

Используя обратное Z-преобразование и комплексное вычисление находим:

Рис.

Проверка (Нахождение оригиналов "вручную"):

Разрешаем его относительно x_n+2:

н.у.: x₀ = 5; x₁ = 7

1) Введем обозначения:

Получаем:

Запишем систему в векторно-матричной форме:

Рис.

2. Проектирование аналогового фильтра -прототипа, отвечающего требованию обработки сигнала и заданной частоте среза (100Гц)

Передаточная функция АФ

Частотная характеристика АФ

Рис.

Приведение передаточной функции к стандартному виду

Переход к заданной частоте:

Рис.

Расчет элементов АФ

Схема ФНЧ на EWB 5.1:

Диаграмма БОДЕ

Рис. АЧХ

Импульсная характеристика:

Рис.

Переходная характеристика:

Рис.

3.Проектирование соответствующего цифрового фильтра. Краткие теоретические сведения

Цифровой фильтр - это цифровая система, преобразующая дискретную последовательность в соответствии с заданным алгоритмом. Цифровой фильтр может быть реализован программным путем на ЭВМ или с помощью специальной аппаратуры. И в том и в другом случае цифровой фильтр может быть выполнен либо для преобразования дискретных сигналов в реальном масштабе времени, либо для преобразования предварительно записанных сигналов.

В более узком смысле цифровой фильтр - это цифровая система, преобразовывающая спектры дискретных сигналов в соответствии с заданным алгоритмом.

В рекурсивном цифровом фильтре для формирования n-го отсчета используются предыдущие значения как входного, так и выходного отсчетов.

Коэффициенты одновременно.

Системная функция данного рекурсивного цифрового фильтра:

Общее число элементов задержки равно 2m - это является недостатком данной структурной схемы. На практике обычно используются, так называемые канонические структурные схемы.

Характерной чертой рекурсивных цифровых фильтров является, в общем случае, бесконечность их импульсных характеристик. Такие цифровые фильтры называются БИХ-фильтры.

Цифровой фильтр называется устойчивым, если его импульсная характеристика удовлетворяет условию:

; из этого условия следует, что КИХ-фильтры всегда являются устойчивыми.

Условие устойчивости цифрового фильтра рекурсивного типа:

h_n=о₀д_h+ о₁p₁ⁿд_n-1 +……+ о_np_Nⁿд_n-N

Вид передаточной функции:

Получение модуля частотной характеристики ЦФ

Рис.

Получение импульсной и переходной характеристик ЦФ.

Импульсная характеристика фильтра-прототипа

Рис.

Переходная характеристика фильтра-прототипа:

Рис.

Рис.

Получение системной функции ЦФ

Рис.

Получение импульсной и переходной характеристики ЦФ

Рис.

Рис.

Проверка устойчивости ЦФ

Реализация:

Рис.

Рис.

Рис.

Структурная схема

Список использованной литературы

1.Ишемгужин А. И., Алтынбаева А. Р. Введение в теорию цифровых фильтров.-Уфа: УГНТУ.-2000.

2.Густав Деч. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования.-М.: Наука.-1977.-288 с.

3.Гутников В. С. Фильтрация измерительных сигналов.-Л.: Энергоатомиздат, 1990.- 192 с.

Размещено на Allbest.ru