Линейные алгебраические уравнения
Способы решения системы линейных алгебраических уравнений: по правилу Крамера, методом матричным и Жордана-Гаусса. Анализ решения задачи методом искусственного базиса. Характеристика основной матрицы, составленной из коэффициентов системы при переменных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.02.2012 |
| Размер файла | 951,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание №1. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремы способами: а) по правилу Крамера, б) матричным методом, в) методом Жордана-Гаусса.
линейный алгебраический уравнение задача
|
det A = |
|
1 |
1 |
-1 |
|
= 1*(-3)* (-1) + 1*1*2 + 4*1*(-1) - 2*(-3)*(-1) - 1*1*1 - 4*1*(-1) = = 3 + 2 - 4 - 6 - 1 + 4 = -2 |
|
|
4 |
-3 |
1 |
|||||
|
2 |
1 |
-1 |
|
det A1 = |
|
-2 |
1 |
-1 |
|
= (-2) *(-3) *(-1)+1*1*1+1*1*(-1) - 1*(-3) *(-1) - 1*1*(-2)-1*1*(-1)= = -6+1-1-3+2+1= -6 |
|
|
1 |
-3 |
1 |
|||||
|
1 |
1 |
-1 |
|
det A2 = |
|
1 |
-2 |
-1 |
|
= 1*1*(-1)+(-2) *1*2 + 4*1*(-1) -2*1*(-1)- 4*(-2) *(-1) -1*1*1= = -1-4-4+2-8-1= -16 |
|
|
4 |
1 |
1 |
|||||
|
2 |
1 |
-1 |
|
det A3 = |
|
1 |
1 |
-2 |
|
= 1*(-3)*1+1*1*2+4*1*(-2)-2*(-3)*(-2)- 1*1*1- 4*1*1= =-3+2-8-12-1-4= -26 |
|
|
4 |
-3 |
1 |
|||||
|
2 |
1 |
1 |
x1 = det A1 / det A = -6 / -2 = 3
x2 = det A2 / det A = -16 / -2 = 8
x3 = detA3 / detA = -26 / -2 = 13
Ответ: х1=3; х2=8; х3=13.
Б) Решим систему уравнений матричным методом.
|
x1 |
+ x2 |
- x3 |
= |
-2 |
||
|
4 x1 |
-3 x2 |
+ x3 |
= |
1 |
||
|
2 x1 |
+ x2 |
- x3 |
= |
1 |
|
Запишем систему уравнений в матричной форме |
|
A * X = B |
|
1 1 - 1 * 4 - 3 1 2 1 - 1 |
x1 = x2 x3 |
- 2 1 1 |
Найдем матицу A-1, обратную к матрице А, методом алгебраических
Дополнений. Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij.
Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j - номер столбца,
где находится элемент матрицы аij.
|
A = |
a11 |
a12 |
a13 |
||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
Обратную матрицу A-1, будем искать в следующем виде:
|
A -1 = 1 / det A * |
A11 |
A21 |
A31 |
||||
|
A12 |
A22 |
A32 |
|||||
|
A13 |
A23 |
A33 |
|
гдеAij = ( -1 ) i+j * M ij |
|
Найдем определитель матрицы А. |
|
det A = |
|
1 |
1 |
-1 |
|
= 1*(-3)*(-1) + 1*1*2+4*1*(-1)- 2*(-3)*(-1),-4*1*(-1)-1*1*1= =3+2-4-6+4-1= -2 ? 0 |
|
|
4 |
-3 |
1 |
|||||
|
2 |
1 |
-1 |
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A-1 существует. Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M…) элемента a... .
|
M11 = |
|
-3 |
1 |
|
= ( -3) * ( -1) - 1 * 1 = 3 - 1 = 2 |
|
|
1 |
-1 |
A11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 1+1 * 2 = 2
|
M12 = |
|
4 |
1 |
|
= 4 * ( -1) - 1 * 2 = ( -4) - 2 = -6 |
|
|
2 |
-1 |
A12 = ( -1 ) 1+2 * M 12 = ( -1 ) 1+2 * ( -6) = 6
|
M13 = |
|
4 |
-3 |
|
= 4 * 1 - ( -3) * 2 = 4 - ( -6) = 10 |
|
|
2 |
1 |
A13 = ( -1 ) 1+3 * M 13 = ( -1 ) 1+3 * 10 = 10
|
M21 = |
|
1 |
-1 |
|
= 1 * ( -1) - ( -1) * 1 = ( -1) - ( -1) = 0 |
|
|
1 |
-1 |
A21 = ( -1 ) 2+1 * M 21 = ( -1 ) 2+1 * 0 = 0
|
M22 = |
|
1 |
-1 |
|
= 1 * ( -1) - ( -1) * 2 = ( -1) - ( -2) = 1 |
|
|
2 |
-1 |
A22 = ( -1 ) 2+2 * M 22 = ( -1 ) 2+2 * 1 = 1
|
M23 = |
|
1 |
1 |
|
= 1 * 1 - 1 * 2 = 1 - 2 = -1 |
|
|
2 |
1 |
A23 = ( -1 ) 2+3 * M 23 = ( -1 ) 2+3 * ( -1) = 1
|
M31 = |
|
1 |
-1 |
|
= 1 * 1 - ( -1) * ( -3) = 1 - 3 = -2 |
|
|
-3 |
1 |
A31 = ( -1 ) 3+1 * M 31 = ( -1 ) 3+1 * ( -2) = -2
|
M32 = |
|
1 |
-1 |
|
= 1 * 1 - ( -1) * 4 = 1 - ( -4) = 5 |
|
|
4 |
1 |
A32 = ( -1 ) 3+2 * M 32 = ( -1 ) 3+2 * 5 = -5
|
M33 = |
|
1 |
1 |
|
= 1 * ( -3) - 1 * 4 = ( -3) - 4 = -7 |
|
|
4 |
-3 |
A33 = ( -1 ) 3+3 * M 33 = ( -1 ) 3+3 * ( -7) = -7
|
Осталось, только записать обратную матрицу. |
A * X = B X = A-1 * B
В) Решим систему уравнений по методу Жордана - Гаусса
|
x1 |
+ |
x2 |
- |
x3 |
= |
- |
2 |
||||||
|
4 |
x1 |
- |
3 |
x2 |
+ |
x3 |
= |
1 |
|||||
|
2 |
x1 |
+ |
x2 |
- |
x3 |
= |
1 |
|
Прямой ход. Матрица строка, которая располагается между преобразованиями и есть строка, которую мы отнимаем. |
|
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 4 . Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 7. |
|
В данном случае ранг основной и расширенной матрицы равен 3 . |
|
Обратный ход Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 1/2 . Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 |
Задание №2. Методом Жордана-Гаусса найти все системы с базисом, эквивалентные данной системе уравнений. Определить соответствующие базисные решения. Проверить полученные решения подстановкой в каждое уравнение исходной системы.
|
Прямой ход |
|
Операции проводятся только с коэффициентами системы. Расширенная матрица - это просто форма записи нашей системы уравнений, и ничего более. На каждом шаге решения справа располагается система уравнений эквивалентная матрице. |
|
2 - 1 - 1 1 1 - 1 2 1 1 4 1 1 2 - 1 2 Поменяем местами строки 1 и 3 . |
2 x1 - x2 - x3 + x4 = 1 - x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 4 x1 + x2 + 2 x3 - x4 = 2 |
|
|
1 1 2 - 1 2 - 1 2 1 1 4 2 - 1 - 1 1 1 |
x1 + x2 + 2 x3 - x4 = 2 - x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 4 2 x1 - x2 - x3 + x4 = 1 |
|
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -1 . |
|
- 1 |
- 1 |
- 2 |
1 |
- 2 |
||||
|
1 1 2 - 1 2 0 3 3 0 6 2 - 1 - 1 1 1 |
x1 + x2 + 2 x3 - x4 = 2 3 x2 + 3 x3 = 6 2 x1 - x2 - x3 + x4 = 1 |
|
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2 . |
|
2 |
2 |
4 |
- 2 |
4 |
||||
|
1 1 2 - 1 2 0 3 3 0 6 0 - 3 - 5 3 - 3 |
x1 + x2 + 2 x3 - x4 = 2 3 x2 + 3 x3 = 6 - 3 x2 - 5 x3 + 3 x4 = - 3 |
|
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1 . |
|
0 |
- 3 |
- 3 |
0 |
- 6 |
||||
|
1 1 2 - 1 2 0 3 3 0 6 0 0 - 2 3 3 |
x1 + x2 + 2 x3 - x4 = 2 3 x2 + 3 x3 = 6 - 2 x3 + 3 x4 = 3 |
|
Система имеет решение , так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Основная матрица - это матрица, составленная из коэффициентов системы при переменных. Проще говоря, все, что слева до вертикальной черты. Напомним, рангом матрицы называется число строк матрицы, в которых присутствует хотя бы один элемент отличный от нуля, при условии, что матрица приведена к ступенчатому виду. Обратный ход. |
|
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на -1 . |
|
0 |
0 |
2 |
- 3 |
- 3 |
||||
|
1 1 0 2 5 0 3 3 0 6 0 0 - 2 3 3 |
x1 + x2 + 2 x4 = 5 3 x2 + 3 x3 = 6 - 2 x3 + 3 x4 = 3 |
|
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на -3/2 . |
|
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 1/3 . |
|
Элементы строки 2 разделим на 3 . |
Если x4= 0, то
x1 + Ѕ *0 = 3/2, x1=3/2
x2 +3/2*0 = 7/2, x2= 7/2
x3 -3/2*0 = -3/2, x3=-3/2
x = (3/2, 7/2, -3/2, 0)
Задание №3. Даны координаты векторов А1, А2, А3, А4 в некотором базисе. Показать, что все эти векторы образуют базис, и найти координаты вектора В в данном базисе методом замещения вектора в базисе.
А1=(1,2,3,4); А2=(2,1,2,3); А3=(3,2,1,2); А4=(4,3,5,1); В=(5,1,1,-5).
Задание №4.Даны четыре вектора А1, А2, А3, А4 в единичном базисе. Замещением вектора в базисе определить ранг, все базисы данной системы векторов и разложение свободных векторов по базису.
А1=,А2=,А3=А4=
Контрольная работа
№1. В ящике 20 деталей, из которых 12 стандартные. Из ящика взяли 6 деталей. Найти вероятность того, что из них 4 детали стандартные.
№2.Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,9, а вторым 0,8. Найти вероятность того, что мишень поразит: а) только один стрелок, б) хотя бы один из стрелков.
№3. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения стандартной детали на первом автомате равна 0,95, а на втором 0,8. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на первом автомате.
№4. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие появится не мениек раз, зная, что в каждом испытании вероятность появления события равна р.
п=6; к=3; р=0,5.ъ
№5. В задаче предполагается, что поток событий - простейший.
Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 мин., равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин. Прибудут: а) пять самолетов, б) менее пяти самолетов, в) не менее пяти самолетов.
№6. В задаче требуется найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по закону ее распределения, заданному рядом распределения (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке - вероятности возможных значений).
х 12,6 13,4 15,2 17,4 18,6
р 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1
№7. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
Требуется: а) найти плотность распределения f(x), б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение х, в) найти вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале г) построить график функции
№8.Заданы математическое ожиданиеm и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х.
Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-mокажется меньше.
№1. Решить графически задачу линейного программирования f=2x1+3x2
x1, x2?0.
№2.Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используется три вида сырья S1, S2 и S3. Запасы сырья Si равны bi кг. Количество единиц сырьяSi, затрачиваемое на изготовление единицы продукции Рj, равно aij кг. Величина прибыли, получаемой от реализации единицы продукции Рj, равна cj (i=1,2,3; j=1,2).
Составить план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль, и определить величину максимальной прибыли. Решить задачу симплекс-методом.
a11=19, a21=16, a31=19, a12=26, a22=17, a32=8,
b1=855, b2=640, b3=874,
c1=5, c2=4.
№3.Решить задачу линейного программирования методом искусственного базиса.
f=-x1-2x2+2x3
x1, x2,? 0.
№4. В клетках таблицы поставлены значенияcij - стоимости перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения; справа -запасы ai груза в i-м пункте отправления; внизу - потребности bj в грузе в j-м пункте назначения. Решить соответствующую транспортную задачу методом потенциалов.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.
курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
контрольная работа [239,4 K], добавлен 19.06.2009
