Основы линейной алгебры

Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 19.01.2014
Размер файла 88,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Найти произведение заданных матриц А и В

Решение:

Матрицы: А - размерность, В-размерность .

Так как количество столбцов матрицы: А равно количеству строк матрицы В, то произведение А на В существует.

Итоговая матрица имеет размерность :

Ответ:

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса

Решение:

а) Решим систему по формулам Крамера

Для системы 3-х линейных алгебраических уравнений

если 0, можно найти единственное решение по формулам Крамера:

, , .

? =; 1= ; 2= ; 3= ;

Найдем значение определителя ? по формуле:

Аналогично вычислим значения определителей 1, 2, 3

? =2·1·3 +4·2·(-2)+4·(-5)·(-1) - (-2)·1·(-1) - 4•4·3-2·2·(-5)= -20 0

1=-8·1·3 +4·2·18+14·(-5)·(-1) - 18·1·(-1) - 14•4·3 - (-8)·2·(-5)=-40

2 =2·14·3 +(-8)·2·(-2)+4·18·(-1) - (-2)·14·(-1) - 4•(-8)·3-2·2·18=40

3=2·1·18 +4·14·(-2)+4·(-5)·(-8) - (-2)·1·(-8) - 4•4·18-2·14·(-5)=-80

Сделаем проверку:

Получили равенства.

Ответ:

б) Решим систему матричным методом

Систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде: А • X = В, где А - матрица системы из коэффициентов при неизвестных,

Х и В-матрицы - столбцы из неизвестных , , и свободных членов соответственно:

. ; .

Для нахождения неизвестных используется формула Х = А-1 • В, где А-1 - обратная матрица к квадратной матрице А

Обратная матрица вычисляется по формуле:

А-1=•АТ, где АТ = - транспонированная матрица к

- главный определитель матрицы А,

Аij - это алгебраическое дополнение равное Aij = (-1)i+jМ

Минор - это определитель, полученный из главного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца

Для исходной системы:

Найдем обратную матрицу. Значение главного определителя известно:

? =-20 0

Найдем алгебраические дополнения Аij:

;

Умножая обратную матрицу А-1 на , получаем матрицу .

Ответ:

в) Решим систему методом Гаусса

Это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы.

В первом уравнении выбираем коэффициент, отличный от нуля. Затем 1-ое уравнение делим на этот коэффициент, и далее с помощью первого уравнения исключаем первое неизвестное из всех уравнений, кроме первого (вычитанием).

Применим метод Гаусса, составив таблицу:

Комментарий

2

4

-2

4

1

-5

-1

2

3

-8

14

18

1

4

-2

2

1

-5

-1/2

2

3

-4

14

18

1-ю строку разделили на 2

1 шаг

1

0

0

2

-7

-1

-1/2

4

2

-4

30

10

1-ю строку умнож. на (-4) и склад. со 2-й

1-ю строку умнож. на 2 и складыв. с 3-й

2 шаг

1

0

0

2

1

-1

-1/2

-4/7

2

-4

-30/7

10

2-ю строку разделили на (-7)

3 шаг

1

0

0

2

1

0

-1/2

-4/7

10/7

-4

-30/7

40/7

2-ю строку слож. с 3-й

4 шаг

1

0

0

2

1

0

-1/2

-4/7

1

-4

-30/7

4

3-ю строку делим на 10/7

После проделанных операций система привелась к треугольному виду

Начинаем обратный ход метода Гаусса.

Ответ:

3. Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в пространстве R3, и найти координаты вектора а в этом базисе.

Решение

Вычислим определитель, столбцами которого служат координаты векторов а1, а2, а3:

Так как Д ? 0, то система векторов а1, а2, а3 образует базис в R3. Вектор а4 разлагается по векторам этого базиса, т.е. справедливо равенство вида

Последнее равенство в координатной форме имеет следующий вид:

Согласно определению равенства векторов и действиям над векторами получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными:

Решим эту систему методом Крамера:

Ответ:

4. Определить ранг заданной матрицы

Решение

Методом окаймляющих миноров найдем ранг матрицы.

Высший порядок миноров матрицы А - третий. Вычислим эти миноры.

Вычислим сначала угловой минор второго порядка:

Он отличен от нуля.

Составим и вычислим два минора третьего порядка, которые окаймляют этот минор. Один из таких миноров - угловой минор:

,

Следующий минор:

Все миноры третьего порядка равны нулю.

Следовательно, ранг матрицы А равен двум.

Ответ:

5. Привести систему к системе с базисом методом ЖорданаГаусса и найти одно базисное решение

Решение

Матрица А и расширенная матрица В данной системы имеют одним из миноров высшего порядка минор второго порядка: , который отличен от нуля. Следовательно, r(А) = r(В) = 2. Система совместна, и так как r < n (n = 5), то она имеет бесчисленное множество решений. Число ее базисных решений не превосходит числа .

Так как ранг системы равен двум, то и число базисных переменных равно двум. Так как n - r = 5 - 2 = 3, то свободными будут три переменные.

Представим коэффициенты при неизвестных в виде таблицы и решим систему методом Жордана-Гаусса:

b

3

1

-2

-3

3

2

-5

5

-1

2

9

4

1

3

-3

-2

2

3

5

-5

2

-1

4

9

1

0

-3

7

2

-3

5

-20

2

-7

4

-3

1

0

0

1

5/7

-3/7

25/7

-20/7

-1

-1

19/7

-3/7

В результате трех итераций система преобразовалась к виду:

Следовательно, исходная система имеет бесчисленное множество решений.

Последняя система уравнений есть система с базисом и разрешается относительно базисных неизвестных х1, х2, (х3, х4, х5 - свободные неизвестные):

Методом Жордана-Гаусса получено общее решение исходной системы.

Найдем одно базисное решение:

Сделаем проверку:

Ответ: - общее решение исходной системы

- базисное решение системы

матрица уравнение крамер гаусс

Библиографический список

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1998

2. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А, Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие / Под ред. В.Ф. Бутузова. - ФИЗМАТЛИТ, 2002. -248 с.

3. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера - М.: ЮНИТИ, 2003. - 471 с.

4. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1, ч. 2.-М.: Высшая школа, 1982. - 320 с.

5. Тиунчик М.Ф. Математика, часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. Хабаровск: ХГАЭП, 2002, - 104 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.

    контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016

  • Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.

    контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014

  • Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

    учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009

  • Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.

    контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014

  • Способы решения системы линейных алгебраических уравнений: по правилу Крамера, методом матричным и Жордана-Гаусса. Анализ решения задачи методом искусственного базиса. Характеристика основной матрицы, составленной из коэффициентов системы при переменных.

    контрольная работа [951,8 K], добавлен 16.02.2012

  • Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

    контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010

  • Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.

    лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008

  • Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.

    контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010

  • Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.

    контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014

  • Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.

    лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.