Элементы математического анализа

Функция одной независимой переменной. Свойства пределов. Производная и дифференциал функции, их приложение к решению задач. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Теорема о среднем.

Рубрика Математика
Вид конспект урока
Язык русский
Дата добавления 23.10.2013
Размер файла 147,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Элементы математического анализа

1.1 Функция. Предел функции. Непрерывность функции

Функция одной независимой переменной. Предел функции. Свойства пределов. Теоремы о пределах функции. Непрерывные функции и их свойства.

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Сходящаяся последовательность. Число е.

1.2 Производная и дифференциал функции, их приложение к решению прикладных задач

Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной, ее физический и геометрический смысл. Правила нахождения производных.

Правила и формулы дифференцирования. Теоремы дифференцирования. Производные элементарных функций.

Применение производных к исследованию функций. Нахождение экстремума. Наибольшее и наименьшее значение. Дифференциал функции. Приближенные вычисления.

Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Вогнутость кривой. Точки перегиба.

Правило нахождения точек перегиба. Дифференциал функции как главная часть ее приращения. Основные свойства дифференциала.

Практическое занятие:

«Вычисление пределов простейших функций. Вычисление производных элементарных функций в заданных точках. Применение производной к исследованию функции и построению графика».

1.3 Интеграл и его приложение

Неопределенный интеграл. Понятие первообразной данной функции. Свойства неопределенного интеграла.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции. Его принципиальное отличие от неопределенного интеграла.

Формула Ньютона - Лейбница. Теорема о среднем. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.

Использование определенного интеграла для решения задач прикладного характера. Применение определенного интеграла к вычислению площадей и объемов.

1.4 Дифференциальные уравнения

Определение дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение I порядка.

Решение задач на составление дифференциальных уравнений. Линейные однородные уравнения. Второго порядка с постоянными коэффициентами.

Практическое занятие:

«Вычисление неопределенного и определенного интегралов. Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения. Решение дифференциальных уравнений I порядка».

2. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики

2.1 Элементы теории вероятностей

Принцип математической индукции, упорядоченные множества. Элементы комбинаторики: сочетания, перестановки и размещения.

Задачи теории вероятностей. Элементы комбинаторики. Основные аксиомы теории вероятностей. Повторение независимых испытаний.

Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин и их свойства. Равномерное и нормальное распределение случайных величин.

2.2 Элементы математической статистики

Область применения и задачи математической статистики. Первичная обработка статистических данных, элементы выборки, формирование вариационного ряда.

Совокупность объектов. Генеральная совокупность. Выборочная совокупность. Способы отбора. Статистические распределения.

Практическое занятие:

1. «Решение простейших комбинаторных задач. Первичная обработка статистических данных».

1. Предел функции

Вычисление предела функции. Пусть функция y=f(х) имеет своим пределом число А: =А, причем f(x) изменяется в зависимости от изменения переменной х. Необходимо учитывать, что при неограниченном стремлении переменной х к числу а (х>а) само число а исключается из значений, принимаемых переменной х. Дадим определение предела функции в точке.

Число А называется пределом функции f(х) в точке х0 и обозначается =А, если для любого числа >0 существует число д>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию <д, где , выполняется неравенство .

При вычислении пределы функции используются теоремы, которые формулируются без доказательств.

Теорема 1

Если существуют пределы функций f(х) и ц(х) при х>а, то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(х) и ц(х):

Теорема 2

Если существуют пределы функций f(х) и ц(х) при х>а, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(х) и ц(х):

Теорема 3

Если существуют пределы функций f(х) и ц(х) при х>а, предел функции ц(х) отличен от нуля, то существует также предел отношения , равный отношению пределов функций f(х) и ц(х):

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

.

Следствие 2. Если n - натуральное число, то справедливы соотношения:

,

Следствие 3. Предел многочлена (целой рациональной функции)

F(x)=a1xn-1+ a2xn-2+ … +an-1xn-1+an

при х>а равен значению этого многочлена при х=а, т.е.

при х>с равен значению этой функции при х=с, если с принадлежит области определения этой функции, т.е.

.

2. Правила раскрытия неопределенностей

Правило раскрытия неопределенности . Чтобы раскрыть неопределенность надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители так, чтобы можно было сократить.

Правило раскрытия неопределенности . Чтобы раскрыть неопределенность надо числитель и знаменатель дроби сократить на самую большую степень х в знаменателе.

3. Определение производной функции.

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

.

Основные правила дифференцирования. Обозначим через С постоянную, х - аргумент, u, х, w - функции от х, имеющие производные.

Производная алгебраической суммы функций:

Производная произведения двух функций:

Производная произведения постоянной на функцию:

Производная частного (дроби):

Частные случаи:

; .

Сложная функция. Производная сложной функции. Если у есть функция от u: у = f(u), где и, в свою очередь, есть функция от аргумента х: u = ц(х), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции):

Производная сложной функции равна ее производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной:

или

Формулы дифференцирования

4. Геометрический смысл производной функции

На линии, заданной уравнением у = f (х), возьмем фиксированную точку М00; уо) и произвольную точку М (х; у). Проведем секущую М0 М и через б обозначим угол, образованный этой секущей с положительным направлением оси х (рис. 1). При стремлении точки М по линии у = f(x) к точке М0 секущая М0 М стремится занять положение прямой M0K, а угол а стремится стать равным углу ц. Здесь

где Дy=f(x) - f(x0); Дx=x-x0, a

Рис. 1

Определение Касательной к линии в данной ее точке М0 называется предельное положение секущей М0М при стремлении точки М по линии к точке М0.

Угловым коэффициентом k прямой (в частности, касательной) называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси х. Если Дх>0, то tg б>tg ц, поэтому

5. Физический смысл производной функции

Пусть точка М перемещается по прямой и известен закон движения этой точки: S=f(t), где S - путь, t - время. Требуется найти истинную скорость движения в момент времени t.

S0 S0+ДS S

t0 t0+Д t t

Для равномерного движения (т.е. движения с постоянной скоростью) скорость - это путь деленный на время.

У нас движение, вообще говоря, неравномерное. Рассмотрим «соседний» момент времени t0+Дt. За время Дt точка проделала путь ДS=f(t0+Дt) - f(t0). Средняя скорость на этом промежутке . Т.к. Дt и ДS - малые величины, то можно считать, что Vср=(Vист) t-t0. Чтобы это приближенное равенство стало точным, надо перейти к пределу при Дt>0:

.

Таким образом, если известен путь как функция времени, то производная пути по времени - это скорость движения. Это и есть физический смысл производной.

Аналогично, если известна скорость движения V=V(t), то ее производная - это ускорение (скорость изменения скорости). И вообще можно сказать, что производная функции в точке - это скорость изменения функции в этой точке.

6. Определение дифференциала функции

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала. Чтобы выяснить сущность этого понятия, рассмотрим функцию у =f(х), заданную в интервале (а, b) и имеющую в некоторой точке х этого интервала производную у' = f'ґ(x). Придадим х приращение Дх, отличное от нуля, но не выводящее из интервала задания функции. Через Дy обозначим соответствующее приращение функции. Так как отношение при стремлении Дх к нулю стремится к производной у', а разность между переменной, имеющей предел, и этим пределом есть величина бесконечно малая, то величина - у' стремится к нулю вместе с Дх. Предыдущее равенство можно записать в форме Дy= у' Дx+б Дx, где б - стремится к нулю вместе с Дх.

Обозначив бДх=в, мы видим, что при бесконечно малом Дх переменная в также есть бесконечно малая величина и притом стремящаяся к нулю быстрее, чем Дх, так как

.

Вообще, если две бесконечно малые величины с и у связаны между собой условием , то говорят, что с есть бесконечно малая более высокого порядка, чем у.

Таким образом, величина в есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Дх. Это означает, что при весьма малых Дх величина в во много раз меньше, чем Дх. Доказательство этого факта имеется во многих руководствах по математическому анализу, но оно выходит за рамки нашей программы.

Таким образом, при малых Дх величиной в = б Дх часто пренебрегают и довольствуются приближенной формулой

Дy=f '(x) Дx.

Определение. Дифференциалом или главной частью приращения функции у=f(х) в точке х, соответствующим приращению Дх, называется произведение производной f '(х), вычисленной в точке х, на Дх.

Дифференциал функции у =f(х) обозначается через dy или df(x). Таким образом,

dу = у 'Дх или df(x) =f '(х) Дх.

Из определения дифференциала следует, что он является функцией двух независимых переменных - точки х и приращения Дх.

Одним из основных свойств дифференциала, которое имеет широкое применение на практике - это то, что, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, можно приближенно заменять Ду - приращение функции ее дифференциалом dy.

7. Определение первообразной функции

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполняется равенство Fґ(x)=f(x).

Например:

1) f(x)=3x2; F(x)=x3; т. к. (x3)ґ=3x2;

2) f(x)=cosx; F(x)=sinx, т. к. (sinx)ґ=cosx.

8. Теорема о существовании бесконечного множества первообразных

Теорема. Если функция f(x) имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных F(x)+С, С=const.

Например: f(x)=5x4; F(x)=x5, т. к. (x5)ґ=5x4; F(x)=x5+11; F(x)=x5-22

9. Геометрическое изображение первообразной

С геометрической точки зрения графики первообразной можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оy.

Определение неопределенного интеграла

Определение. Неопределенным интегралом от функции f(х) называется совокупность всех первообразных вида F(x)+C и обозначается , где f(x) - подинтегральная функция, f(x) dx - подинтегральное выражение.

Например: .

Определение. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием.

Интегрирование - это действие обратное дифференцированию.

10. Свойства неопределенного интеграла

Свойства интеграла:

1) (Интеграл суммы равен сумме интегралов);

2) (Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла);

3) (Интеграл от сложной функции).

12. Таблица неопределенных интегралов

1.

7.

2.

8.

3.

9.

4.

10.

5.

11.

6.

12.

13. Определение определенного интеграла

Определение. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется предел ее интегральной суммы (если он существует).

Здесь: f(x) - подинтегральная функция;

f(x) dx - подинтегральное выражение;

a, b - пределы интегрирования: «а» - нижний, «b» - верхний.

Из формулы следует, что

Это равенство выражает геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции.

Вопрос о существовании интеграла, на первый взгляд, далеко не праздный: ведь есть множество способов разбиения отрезка [a, b] на части, есть множество способов выбирать точки еi и при этом будут получаться различные суммы. А вот пределы этих разных сумм должны быть одинаковыми - площадь-то одна!

И вообще имеет место теорема о существовании определенного интеграла: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то определенный интеграл от нее на отрезке [a, b] существует и имеет единственное значение, не зависящее ни от разбиения отрезка [a, b] на части, ни от выбора точек.

Задание №1

В задачах 1-10 ответить письменно на теоретические вопросы.

1. Определение предела функции. Правила раскрытия неопределенностей типа .

2. Определение производной функции. Геометрический смысл производной функции.

3. Определение производной функции. Физический смысл производной функции.

4. Определение дифференциала функции. Определение дифференцирования. Правила дифференцирования.

5. Определение дифференцирования. Формулы дифференцирования.

6. Определение первообразной функции. Теорема о существовании бесконечного множества первообразных. Геометрическое изображение первообразных.

7. Определение неопределенного интеграла. Свойства интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

8. Определение криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

9. Определение определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

10. Понятие о дифференциальных уравнениях. Определение дифференциального уравнения, порядок дифференциального уравнения, решение, общее решение, частное решение, интегральная кривая. Дифференциальное уравнение первого порядка.

Задание №2

В задачах 11-20 вычислить пределы функции:

21. a) (2x2-3x+4);

б) ;

в) ;

22. a) (3x3+x2+8x+10);

б) ;

в) ;

23. a) (x3-x2+1);

б) ;

в) ;

24. a) (2x2-8x+4);

б) ;

в) ;

25. a) (2x2-4x+5);

б) ;

в) ;

26. a) (-3x2+4x-8);

б) ;

в) ;

27. a) (4x4-5x2+4);

б) ;

в) ;

28. a) (4x3-2x-1);

б) ;

в) ;

29. a) (2x2+4x);

б) ;

в) ;

30. a) (x3-x2+1);

б) ;

в) .

Решение типовых примеров

Вычислить пределы:

1) (4x-x2+8).

В этом примере необходимо провести непосредственную подстановку.

(4x-x2+8)=4·3-32+8=12-9+8=11

2) =.

Непосредственная подстановка приводит к неопределенности типа . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель (х-2).

Числитель:

2+х-10=2 (х-2) (х+)

2+х-10=0

D=1-4·2 (-10)=1+80=81

x1=

x2=

Используемые формулы:

– расположение квадратного трехчлена на множители ax2+bx+c=a (x-x1) (x-x2), где х1, х2 корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

– D=b2-4ac

x1=; x2=

Знаменатель: 5х-10=5 (х-2)

===

3) =

В этом примере получается неопределенность вида , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и в знаменателе дроби старшей степени переменной:

=

Задание №3

В задачах 31-40 исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления и построить эскиз графика. Исследование функций рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) Найти область определения функции;

2) Найти производную функции;

3) Найти точки экстремума;

4) Определить промежутки монотонности функции;

5) Найти точки перегиба функции;

6) Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции;

7) Найти значение функции в точках экстремума и перегиба;

8) Построить эскиз графика.

у=2х3-9х2+12х-5

у=х3-6х2+9х+1

у=х3-3х2-9х+10

у=х3+3х2-9х-10

у=х3+6х2+9х+2

у=2х3-3х2-12х+5

у=2х3+3х2-12х-8

у=2х3+9х2+12х+7

у=2х3-15х2+36х-32

у=2х3-15х2+24х+4

Решение типового примера

у=х3+9х2+15х-9

1) Областью определения данной функции является все действительные значения аргумента х, т.е. D(y)=R

2) Найдем производную функции

yґ=3x2+18x+15

3) Найдем точки экстремума, для этого приравняем производную к нулю.

3x2+18x+15=0,:/3

х2+6х+5=0

D=36-4·5=16; x1=; x2=

Значит функция имеет две критические точки х1=-1, х2=-5.

Определим знак производной на каждом интервале:

yґ(0)=3·02+18·0+15=15>0, значит на интервале (-1;+) производная функции положительная, значение функции возрастает.

yґ(-2)=3·(-2)2+18·(-2)+15=-9<0, на промежутке (-5; - 1) производная функции отрицательная, значения функции убывает.

yґ(-6)=3·(-6)2+18·(-6)+15=30>0, на промежутке (-; - 5) производная функции положительная, значения функции возрастает.

Отсюда следует, что х1=-5 - точка максимума (max), х2=-1 - точка минимума (min).

4) Найдем точки перегиба функции, для этого найдем вторую производную функции и приравниваем ее к нулю:

yґґ=6х+18

6х+18=0

6х=-18

х=-3 - критическая точка.

5) Определим промежутки выпуклости и вогнутости функции.

Определим знак второй производной на каждом интервале:

yґґ(0)=6·0+18=18>0;

yґґ=6·(-4)+18=-6<0.

На промежутке (-3;+ ) - функция выпуклая; а на промежутке (-; - 3) - функция вогнутая, значит х=-3 - точка перегиба.

6) Найдем значение функции в точках в точках экстремума и перегиба

ymax=y(-5)=((-5)3+9 (-5)2+15 (-5) - 9)=16

ymin=y(-1)=((-1)3+9 (-1)2+15 (-1) - 9)=-16

yперегиба=y(-3)=((-3)3+9 (-3)2+15 (-3) - 9)=0

7) Построим эскиз графика с учетом предыдущих исследований

Литература

Кремер Н.Ш.и др. Высшая математика для экономистов / Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. - М.: Банки и биржи, 1997. - 439 с.

Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп., - Высш. шк., 1972. - 480 с.

Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, 1989.

4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 1998. - 464 с. - (Серия «Высшее образование»).

Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - 4-е изд., испр. - М.: Наука, 1981. - 159 с.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.: Учеб. пособие для втузов. - М.: Наука, 1978. Т.1 - 453 с., Т.2 - 575 с.

Мордкович А.Г., Смышляев В.К. Алгебра и начало анализа. М.: Просвещение, 1987

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа М. Наука 1968

Виленкин И.В. Гробер В.М. Высшая математика Ростов-на-Дону «Феникс» 2002

Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов М. ИНФРА - М 2003

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике М. АЙРИС ПРЕСС 2004

Данко П.Е. Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах М. Высшая школа 1999.

переменная предел производная интеграл

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.

    курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011

  • Сущность и методы определения первообразной в математическом анализе. Особенности вычисления первообразной как нахождение неопределённого интеграла. Анализ техники интегрирования. Формула Ньютона–Лейбница. Основные положения дифференциальной теории Галуа.

    контрольная работа [71,8 K], добавлен 05.11.2011

  • Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы по формуле Ньютона–Лейбница, замена переменной и интегрирование по частям. Длина дуги в полярной системе координат.

    контрольная работа [345,3 K], добавлен 22.08.2009

  • Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.

    курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014

  • Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.

    презентация [174,5 K], добавлен 18.09.2013

  • Изучение понятия интегральной суммы. Верхний и нижний пределы интегрирования. Анализ свойств определенного интеграла. Доказательство теоремы о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Производная от интеграла по переменной верхней границе.

    презентация [487,1 K], добавлен 11.04.2013

  • Понятие и геометрический смысл определенного интеграла, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Объем тела вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

    курс лекций [514,0 K], добавлен 31.05.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.