Понятие и способы вычисления первообразной

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

по математике

Понятие и способы вычисления первообразной

Задание

I. Теоретическая часть: раскройте понятие первообразной

II. Практическая часть

Задание 1. Найти производные.

а) б)

в) г)

Задание 2. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) в точке а

a=-2

Задание 3. Найти экстремумы функции

Задание 4. Найти координаты точек перегиба

Задание 5. Найти пределы функций\

а) б) в)

I. Теоретическая часть

математический анализ первообразная интегрирование

В математическом анализе первообразной (первообразной) или примитивной функцией данной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F? = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F(x) = x? / 3 является первообразной f(x) = x?. Так как производная константы равна нулю, x? будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как (x? / 3) + 0 или (x? / 3) + 7 или (x? / 3) ? 36 …и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x? можно обозначить как F(x) = (x? / 3) + C, где C- любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F - первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона-Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f иногда называют общим интегралом или неопределённым интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F - первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2x sin (1/x) - cos(1/x) с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x? sin(1/x) с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

Более развёрнутое изложение этих фактов можно отыскать в дифференциальной теории Галуа.

Свойства первообразной

§ Первообразная суммы равна сумме первообразных

§ Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

§ Достаточным условием для существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f.

§ Необходимыми условиями являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу.

§ У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования

§ линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,

§ интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,

§ интегрирование по частям для операций с произведениями функций,

§ метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям

§ метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),

§ алгоритм Риша (Risch algorithm),

§ некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,

§ при многоуровневом интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см.двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,

§ вычислительные пакеты помогают автоматизировать некоторые или все вышеприведённые символические операции, что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,

§ если функция не имеет элементарной первообразной (например, exp(x?)), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

II. Практическая часть

1). а)

б)

в)

г)

2).

- уравнение касательной

3).

x

0 1

4).

x

2

- точка перегиба (функция вогнутая)

Ответ:

5). a)

б)

в)

Размещено на Allbest