Понятие и способы вычисления первообразной

Сущность и методы определения первообразной в математическом анализе. Особенности вычисления первообразной как нахождение неопределённого интеграла. Анализ техники интегрирования. Формула Ньютона–Лейбница. Основные положения дифференциальной теории Галуа.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 05.11.2011
Размер файла 71,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

по математике

Понятие и способы вычисления первообразной

Задание

I. Теоретическая часть: раскройте понятие первообразной

II. Практическая часть

Задание 1. Найти производные.

а) б)

в) г)

Задание 2. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) в точке а

a=-2

Задание 3. Найти экстремумы функции

Задание 4. Найти координаты точек перегиба

Задание 5. Найти пределы функций\

а) б) в)

I. Теоретическая часть

математический анализ первообразная интегрирование

В математическом анализе первообразной (первообразной) или примитивной функцией данной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F? = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F(x) = x? / 3 является первообразной f(x) = x?. Так как производная константы равна нулю, x? будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как (x? / 3) + 0 или (x? / 3) + 7 или (x? / 3) ? 36 …и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x? можно обозначить как F(x) = (x? / 3) + C, где C- любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F - первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона-Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f иногда называют общим интегралом или неопределённым интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F - первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2x sin (1/x) - cos(1/x) с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x? sin(1/x) с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

Более развёрнутое изложение этих фактов можно отыскать в дифференциальной теории Галуа.

Свойства первообразной

§ Первообразная суммы равна сумме первообразных

§ Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

§ Достаточным условием для существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f.

§ Необходимыми условиями являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу.

§ У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого в нашем распоряжении имеется насколько методов:

§ линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,

§ интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,

§ интегрирование по частям для операций с произведениями функций,

§ метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям

§ метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),

§ алгоритм Риша (Risch algorithm),

§ некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,

§ при многоуровневом интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см.двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,

§ вычислительные пакеты помогают автоматизировать некоторые или все вышеприведённые символические операции, что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,

§ если функция не имеет элементарной первообразной (например, exp(x?)), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

II. Практическая часть

1). а)

б)

в)

г)

2).

- уравнение касательной

3).

x

0 1

4).

x

2

- точка перегиба (функция вогнутая)

Ответ:

5). a)

б)

в)

Размещено на Allbest


Подобные документы

  • Функция одной независимой переменной. Свойства пределов. Производная и дифференциал функции, их приложение к решению задач. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Теорема о среднем.

    конспект урока [147,7 K], добавлен 23.10.2013

  • Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).

    курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015

  • Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.

    курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011

  • Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.

    контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010

  • Методы интегрирования в древности. Понятие первообразной функции. Основная теорема интегрального исчисления. Свойства неопределенных и определенных интегралов и методы их вычисления, произвольные постоянные. Таблица интегралов элементарных функций.

    презентация [525,7 K], добавлен 11.09.2011

  • Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.

    шпаргалка [42,3 K], добавлен 21.08.2009

  • Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.

    реферат [99,0 K], добавлен 05.09.2010

  • Число Пи как математическая константа. Основные особенности вычисления числа Пи. Методы определения численного значения числа Пи. Влияние трудов И. Ньютона и Г. Лейбница на ускорение вычисления приближенных значений Пи. Анализ формул древних ученных.

    курсовая работа [1,8 M], добавлен 26.09.2012

  • Расчет первообразной, построение ее графика. Построение семейства первообразных при изменении произвольной постоянной от -10 до 10. Расчет площади площадь криволинейной трапеции. Поиск интеграла методом подстановки. Расчет длины кривой ro=a(1+сosphi).

    контрольная работа [94,6 K], добавлен 02.11.2011

  • Математическая модель: определение интеграла и его геометрический смысл. Приближённые методы вычисления. Формула прямоугольников, трапеций, парабол. Программа для вычисления значения интеграла методом трапеций в среде пакета Matlab. Цикл if и for.

    контрольная работа [262,8 K], добавлен 05.01.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.