Указание:

рассмотрите наибольшее из чисел

8. Из точки внутри выпуклого многоугольника опускают перпендикуляры на его стороны или их продолжения. Докажите, что хотя бы один перпендикуляр попадёт на сторону.

Указание:

рассмотрите ближайшую точку границы.

9.В квадрате со стороной 10 отметили 201 точку. Докажите, что какие-то три выбранных точки можно накрыть квадратом со стороной 1.

Указание:

нужно разбить квадрат на 100 квадратов со стороной 1

10. Десять команд играют в футбольном турнире, проходящем в один круг. Докажите, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие в этом турнире одинаковое количество матчей.

2.2 ИНВАРИАНТЫ И РАСКРАСКИ

Инвариант--величина, которая не изменяется в результате некоторых операций (например, разрезание и перестановка частей фигур не меняет суммарной площади). Если инвариант различает два положения, то от одного нельзя перейти к другому. В качестве инварианта может использоваться чётность или раскраска.

Говорят, что фигура покрашена в несколько цветов, если каждой точке фигуры приписан определённый цвет. Бывают задачи, где раскраска уже дана, например для шахматной доски, бывают задачи, где раскраску с данными свойствами нужно придумать, и бывают задачи, где раскраска используется как идея решения.

Пример 1:

Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите, что оставшуюся фигуру нельзя разрезать на «домино» из двух клеток. Каждая фигура «домино» содержит одну белую и одну чёрную клетку. Но в нашей фигуре 32 чёрных и 30 белых клеток (или наоборот).

Пример 2:

Можно ли круг разрезать на несколько частей, из которых сложить квадрат? (Разрезы это участки прямых и дуги окружностей.)

Рассмотрим инвариант: разность сумм длин вогнутых и выпуклых граничных дуг всех частей. Эта величина не изменяется при разрезании одной части на две и при складывании одной части из двух. Для единичного круга этот инвариант равен 2, а для квадрата--нулю. Поэтому «квадратура круга» невозможна.

Задачи:

1.Можно ли доску 10х10 разрезать на прямоугольники 4х4?

Ответ:

нельзя

2.Можно ли покрыть шахматную доску доминошками (прямоугольниками 1х2) так, чтобы свободными остались только клетки а1 и h8?

Ответ:

нельзя

3.Можно ли расставить числа от 1 до 9 в клетки квадраты 3х3 так, что сумма любых двух чисел, стоящих в соседних клетках (имеющих общую сторону), была простым числом?

Ответ:

нельзя

4.Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавить к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не ровна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не ровна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

Ответ:

нельзя

5.На доске написаны числа 1, 2 и 4. Разрешается стереть с доски два числа а и b, а вместо них записать числа и . Можно ли с помощью таких операций получить на доске числа , 2 и 3?

Ответ:

нельзя

6. На доске были написаны три числа. Когда их стерли и написали их произведение, сумму и сумму их попарных произведений, оказалось, что на доске снова написаны те же числа. Какие числа могли быть первоначально написаны на доске?

Ответ:

-1, -1 и 1 или 0, 0 и х, где х--любое действительное число

7. Можно ли разрезать квадрат на несколько равных прямоугольных треугольников с острым углом 30°?

Ответ:

нельзя

8. Вася отметил 10 клеток в квадрате 10 х 10. Всегда ли Петя может вырезать из этого квадрата по линиям сетки 20 фигурок вида так, чтобы они не содержали отмеченные клетки? (Петя может вырезать фигурки разных типов.)

Ответ:

не всегда

9. Куб 1x1x1 полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?

Ответ:

не обязательно

10. Дан куб 6 Ч 6 Ч 6. Найдите максимально возможное число параллелепипедов

4 Ч 1 Ч 1 (со сторонами параллельными сторонам куба), которые можно поместить в этот куб без пересечений.

Ответ:

52

2.3 ГРАФЫ

Во многих ситуациях удобно изображать объекты точками, а связи между ними--линиями или стрелками. Такой способ представления называется графом. Например, схема метро --это граф. Точки называют вершинами графа, а линии--ребрами.

Вершину называют чётной, если из неё выходит чётное число рёбер и нечётной в противном случае. Граф называют связным, если между любыми вершинами существует путь, состоящий из рёбер графа, ориентированнымесли на каждом ребре указано направление, плоским --если он нарисован на плоскости и его ребра не пересекаются (во внутренних точках).

Пример:

В стране Радонежии некоторые города связаны между собой авиалиниями. Из столицы выходит 1985 авиалиний, из города Дальнего --одна, а из остальных городов --по 20 линий. Докажите, что из столицы можно добраться до Дальнего (быть может, с пересадками).

Рассмотрим множество городов, до которых можно добраться из столицы. Это граф: его вершины--города, ребра--авиалинии, их соединяющие. Из каждой вершины графа выходит столько рёбер, сколько всего авиалиний выходит из соответствующего города. Граф содержит нечётную вершину --столицу. Поскольку число нечётных вершин в графе чётно, в нем есть ещё одна нечётная вершина. Этой вершиной может быть только город Дальний.

Задачи:

1. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля -- Меркурий, Плутон -- Венера, Земля -- Плутон, Плутон - Меркурий, Меркурий - Венера, Уран - Нептун, Нептун - Сатурн,

Сатурн -- Юпитер, Юпитер -- Марс и Марс -- Уран. Можно ли добраться (возможны пересадки) с Земли до Марса?

Ответ6

нет

2. Сколькими способами, двигаясь по указанным отрезкам, можно кратчайшим путем переместиться из точки А в точку В?

Ответ:

10-ю способами

3. Доска имеет форму креста, который получается, если из квадратной доски 4x4 выкинуть угловые клетки. Можно ли ходом шахматного коня обойти эту доску и вернуться на исходное поле, побывав на всех полях ровно по одному разу?

Ответ:

да

4. В деревне есть 15 телефонов, а АТС отсутствует. Можно ли телефоны соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

Ответ:

невозможно

5. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 - по 4 друга, а 10 - по 5 друзей.

Примечание. Если Петя друг Васи, то Вася - друг Пети.

Ответ:

нет

6. В стране Семерка 15 городов, каждый из которых соединен дорогами не менее, чем с 7 другими. Можно ли из любого города можно добраться до любого другого (возможно,

проезжая через другие города).

Ответ:

нельзя

7. Можно ли нарисовать графы, изображенные на рисунках, не отрывая карандаша от бумаги?

Ответ:

можно, можно, нельзя

8.Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8х8, чтоб в любых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в любых двух--различным?

Ответ:

можно

9.В футбольном первенстве Мячландии изъявили желание участвовать сразу 2008 команд. Причем турнир решено провести так, что каждая команда встречается со всеми другими по одному разу. Может ли случится так, что в какой-то момент времени каждая из участвующих команд сыграет ровное количество матчей?

Ответ:

ситуация, описанная в задаче не существует ни в Мячландии ни в какой либо другой стране

10. В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта -- ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний -- одна, а из всех остальных городов по 20. Можно ли из столицы долететь в Дальний (возможно с пересадками)?

Ответ:

можно

2.4 ИГРЫ, СТРАТЕГИИ

При изложении решения игровых задач школьники испытывают большие трудности. Ведь необходимо, во-первых, грамотно сформулировать стратегию, а во-вторых, доказать, что она действительно ведет к выигрышу. Поэтому задачи-игры очень полезны для развития разговорной математической культуры и четкого понимания того, что означает «решить задачу».

Во всех встречающихся играх предполагается, что играют двое, ходы делаются по очереди (игрок не может пропускать ход). Ответить всегда нужно на один и тот же вопрос -- кто побеждает: начинающий (первый) игрок или его партнер (второй)? В дальнейшем

это оговариваться не будет.

Пример:

Двое по очереди разламывают шоколадку 5х 10. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Выигрывает тот, кто первым отломит дольку lxl.

В этой игре проигрывает тот, кто отломит кусок шириной 1. Выигрывает первый игрок. Первым ходом он разламывает шоколадку на два куска 5x5, а далее проводит симметричную стратегию.

Ответ:

выигрывает 1-ый игрок

Задачи:

1.Двое ломают шоколадку 6х 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Проигравший игрок покупает сопернику шоколадку.

Ответ:

34 хода

2. Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

последний выигрывает, ход будет сделан 2-ым игроком

3. На доске написано 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными -- единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то выиграл первый игрок, если двойка - то второй.

Ответ:

выигрывает 2-ой игрок

4. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще одно натуральное число -- разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

игра буде продолжаться в 34 хода и выигрывает 2-ой игрок

5. Двое по очереди кладут пятирублевые монеты на стол симметричной формы, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает 1-ый игрок

6. Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает 2-ой игрок

7. Двое ставят королей в клетки доски 9х 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает 1-ый игрок

8. Король стоит на поле al. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, или на одно поле вверх, или на одно поле по диагонали «вправо -- вверх». Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h8.

Ответ:

выигрывает 1-ый игрок

9. В коробке лежат 300 спичек. За ход разрешается взять из коробки не более половины имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает тот, у кого остается 2ⁿ-1 спичка

10. У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает 2-ой игрок в обоих случаях

2.5 ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Логические задачи стоят несколько особняком среди математических задач: в них как правило отсутствуют вычисления. Однако решение логических задач является обязательным компонентом подготовки к решению олимпиадных задач. Главной задачей преподавателя при рассмотрении этого раздела является формирование культуры мышления. Очень важно, чтобы даже младшеклассники не путали причину со следствием, тщательно проводили перебор вариантов, правильно строили цепочку рассуждений.

Как правило у логической задачи имеется единственный ответ. Обратимся к примеру.

Пример:

В трех урнах лежат шары: в одной - два белых, в другой -- два черных, в третьей - белый и черный. На урнах висят таблички: ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждой из урн не соответствует табличке. Как, вытащив один шар, определить, в какой урне какие шары лежат?

Вытащим шар из урны с надписью БЧ. Если вытащенный шар окажется белым, то в этой урне лежат два белых шара, в урне с надписью ББ не может быть белого и черного шаров, поскольку при этом в урне с надписью ЧЧ содержимое совпадает с надписью. Делаем вывод о том, что в урне с надписью ББ лежат два черных шара, а в урне с

надписью ЧЧ лежат два шара разных цветов. Если вытащенный шар окажется черным, то в урне с надписью БЧ лежат два черных шара, в урне с надписью ЧЧ лежат два белых шара, а в урне с надписью ББ лежат два шара разных цветов.

Задачи:

1. Пять школьников приехали из пяти разных городов в Ставрополь на краевую олимпиаду по математике.

«Откуда вы, мальчишки?» -- спросили их хозяева.

Вот что ответил каждый из них:

Андреев: «Я приехал из Невинномысска, а Григорьев живет в Кисловодске».

Борисов: «В Кисловодске живет Васильев. Я прибыл из Светлограда».

Васильев: «Я прибыл из Невинномысска, а Борисов из Буденновска».

Григорьев: «Я прибыл из Кисловодска, а Данилов из Пятигорска.

Данилов: «Да, я действительно из Пятигорска, Андреев же живет в Светлограде.

Хозяева удивились противоречивости ответов приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а второе ложное. При этом по их ответам вполне можно установить, откуда приехал каждый из участников олимпиады. Откуда приехал каждый школьник?

Ответ:

Андрей из Невинномысска, Борисов--Будденовска, Васильев--Кисловодска, Григорьев--Светлограда, Данилов--Пятигорска.

2. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Один из них разбил мячом стекло. На вопрос «Кто это сделал?» Петя, Вася и Коля ответили «Не я», а Миша -- «Не знаю». Потом

оказалось, что двое из мальчишек сказали правду, а двое -- неправду. Знает ли Миша, кто разбил стекло?

Ответ:

Миша знакл, кто разбил стекло

3. Сегодня Петина мама сказала: «Все чемпионы хорошо учатся». Петя говорит: «Я хорошо учусь, значит я чемпион». Правильно ли он рассуждает?

Ответ:

нет

4. Пришел Иван-царевич в подземелье к Кащею Бессмертному Василису Прекрасную освобождать. В подземелье 3 темницы. В одной из них томится Василиса, в другой расположился Змей Горыныч, а третья темница пустая. На дверях есть надписи, но все они ложные. На первой темнице написано «Здесь Василиса Прекрасная»; на второй темнице «Темница № 3 не пустая»; на третьей темнице написано «Здесь Змей Горыныч». В какой же темнице Василиса?

Ответ:

во второй

5. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей.

Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье носит каждая из девочек?

Ответ:

Галя в зеленом, Валя--голубом, Аня--розовом, Надя--розовом.

6. Словам соответствуют цифры: корова -- 2, кошка - 3, кукушка -- 4. Какая цифра по Вашему мнению должна соответствовать слову «собака»?

Ответ:

5

7. Человек говорит о себе: «Я лжец». Является ли он жителем острова?

Ответ:

нет

8. Есть три человека: А, В и С, про которых известно, что один из них рыцарь, другой - лжец, а третий - приезжий, нормальный человек, который может и говорить правду, и лгать.

А говорит: «Я нормальный человек».

В говорит: «А и С иногда говорят правду».

С говорит: «В -- нормальный человек».

Ответ:

А--лжец, В--приезжий, С--рыцарь.

9. На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить, верно ли утверждение: «Если на одной стороне карточки написано четное число, то на другой стороне карточки -- гласная буква»?

Ответ:

нужно перевернуть 2 указанные карточке

10. Какой вопрос нужно задать на острове аборигену, чтобы узнать, куда ведет интересующая нас дорога - в город лжецов или в город рыцарей.

Ответ:

Нужно, указав на дорогу, спросить аборигена: «Ты живешь в городе, в который ведет эта дорога?». Если человек ответит «Да» (рыцарь сказал правду, а лжец солгал), то эта дорога ведет в город рыцарей, если ответит «Нет», то дорога ведет в город лжецов

2.6 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Другими словами, это раздел математики, в котором изучаются задачи

выбора элементов из заданного конечного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке. Например, ответ на вопрос «Сколько различных четырехзначных чисел можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр?» дает комбинаторика.

Пример:

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

= 60. Это решение можно пояснить и иначе. Для верхней полосы полотнища мы можем выбрать материю любого из пяти цветов (5 вариантов выбора), для следующей полосы остается выбор из четырех цветов материи, поскольку цвета не должны повторяться (4 варианта), а для последней полосы остается материя трех цветов, поскольку два цвета мы уже использовали (3варианта). Итак, могут быть изготовлены 5 * 4 * 3 = 60 флагов.

Задачи:

1.Мама может дать сыну в школу какой-то из фруктов, имея 3 яблока, 5 груш и 7 бананов. Сколько разных способов выбора фруктов есть у мамы?

Ответ:

существует всего 15 способов

2.Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом и автобусом, причем между этими пунктами существуют 2 авиалинии, 2 железнодорожных и 3 автобусных

маршрута.

Ответ:

6

3. В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить пару «чашка - блюдце»? В магазине есть еще 4 чайные ложки. Сколько наборов из трех предметов можно составить?

Ответ:

60

4. Сколькими способами можно разместить четыре шара по двум лункам, если в каждую помещается только один шар?

Ответ:

12

5. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

Ответ:

3612

6. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: Русского, немецкого, английского, французского, итальянского -- на любой другой из этих пяти языков?

Ответ:

20

7. В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных уроков?

Ответ:

240240

8. В стену здания вмонтированы 8 гнезд для флажков. В каждое гнездо вставляется либо голубой, либо красный флажок. Сколько различных случаев распределения флажков на здании возможны?

Ответ:

256

9. Сколько пятизначных чисел можно составить из всех цифр кроме нуля?

Ответ:

6561

10. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

Ответ:

8

2.7 МНОГОЧЛЕНЫ

Многочлен--это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слогаемых на это выражение:

(p+q+r)a=pa+qa+ra--раскрытие скобое

Вместо букв p, q, r, a может быть взято любое выражение.

Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слогаемого одной суммы на каждое слогаемое другой суммы.

Пример:

Найдите все целые а, при которых дробь равна целому числу.

Разделим почленно числитель дроби на знаменатель:

Представление алгебраической дроби в виде суммы многочлена и дроби с тем же знаменателем, у которой степень числителя меньше степени знаменателя, называется выделением целой части дроби; многочлен и называется целой частью дроби.

В данном случае целая часть дроби равна а-21. Так как разность а- 21 при всех целых а принимает целые значения, то вопрос задачи сводится к следующему: при каких целых а дробь -- равна целому числу?

Для полного ответа на этот вопрос нужно перебрать все делители числа 17, включая и целые отрицательные.

Получаем числа: 1, --1, 17, --17.

Ответ:

±1,± 17

Задачи:

1.Разложить многочлен х⁹ + х⁸ + х⁷ - х³ + 1 на множители.

Ответ:

(х²+х+1)(х²-х+1)

2. Разложить многочлен на множители с целыми коэффициентами.

Ответ:

3. Разложить на множители

Ответ:

4. При каких значениях а и b многочлен делится на

Ответ:

a=2019, b=24084, c=12

5. Разложить на множители многочлен

Ответ:

6. Разложить на множители выражение

Ответ:

7. При каких значениях параметров m и n многочлен делится без остатка на

Ответ:

m=-3, n=-2

8. Разложить на множители

Ответ:

9.Найдите все значения х, при которых многочлен 2х²-х-36 принимает значения, равные квадратам простых чисел.

Ответ:

х=5 и х=13

10.При каких ограничениях на целые числа p и q

а) многочлен Р(х)=х²+px+q принимает при всех х четные (нечетные) значения

б) многочлен Q(x)=x³+px+q принимает при всех х значения, делящиеся на 3?

Ответ:

а) при нечетном p и четном q (соответственно) б) при условиях q0 (mod 3), p2 (mod 3)

2.8 ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).

Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.

Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе нациваются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.

Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.

Тождественным преобразованием алгебраического выражения на множестве M ? D(E) называется замена этого выражения на тождественно равное ему на множестве M

Пример:

Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M.

a) Так как на множестве M, то, применив формулу сокращенного умножения, получим:

Условие a > b > 0 влечет и, следовательно, Отсюда получаем, что Таким образом, выражения A и B тождественно равны на множестве M.

b) Подобно предыдущему примеру

При преобразованиях учитывается, что, если то , и

Задачи:

1.Упростить выражение

Ответ:

1

2. Сократить дробь

Ответ:

3. Упростить выражение

Ответ:

4. Упростить выражение

Ответ:

27

5. Сократить дробь

Ответ:

6. Освободиться от корня в знаменателе дроби

Ответ:

7. Упростить выражение

Ответ:

8.Найдите наименьшее значение выражения 3х²+3у²+6ху+2х+2у+3

Ответ:

9.Упростить выражение: ( ++²·

Ответ:

2

10. Упростить выражение: :

Ответ:

х

2.9 ФУНКЦИИ

Функцией, заданной (или определенной) на некотором множестве X, называется соответствие, в силу которого любой элемент x множества X определяет некоторый (соответствующий ему) объект f(x).

Множество всех тех значений, которые принимает аргумент  функции , называется областью определения этой функции.

Множество всех тех значений, которые принимает сама функция , называется областью значений (изменения) этой функции.

Функция называется четной, если при всех значений  из области определения этой функции .

Функция называется нечетной, если при всех значений  из области определения этой функции .

Область определения четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат.

Функция  называется возрастающей (убывающей) на данном промежутке, если при произвольных двух различных значениях аргумента, из данного промежутка, большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функция  называется периодической, с периодом , где , если значение функции не изменяется при прибавлении числа  к любому допустимому значению аргумента: .

Функция  называется ограниченной, если можно указать такое положительное число , что  для всех значений  из области определения функции. Если же точка  не существует, то функция называется неограниченной.

Пример:

Найти область изменения функции: .

Первый способ. Область определения данной функции . Для нахождения области изменения удобно данную функцию записать в таком виде: .

Дробь  принимает в области определения функции всевозможные значения, кроме нуля. Следовательно, областью изменения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме, .

Второй способ. Разрешают данное уравнение функции относительно . Получают . Откуда следует, что  может быть любым действительным числом, кроме 2.

Задачи:

1.На рисунке изображен график функции у = ах² + bх + с. Указать знаки коэффициентов а, b и с.

Ответ:

а>0, b<0, c<0

2. Найти область определения функции

Ответ:

D(y)=(, -3)(2, +?)

3. Найти наименьшее значение функции

Ответ:

t= и у=-3,75

4. Найти наименьшее значение функции

Ответ:

у_наим.=у()=-

5. Почему на приведенном рисунке изображена невозможная ситуация?

Ответ:

Очевидно, что координата точки пересечения прямой с осью ОХ находится из условия

2ах + b = 0, откуда х = -что совпадает с абсциссой вершины параболы. Поскольку эти две точки не совпадают, то такая ситуация невозможна.

6. Найти расстояние между осью параболы у= -х² -7х + 2 и осью Оу.

Ответ:

-3,5

7. При каком значениит, график функции у=2х²- Зх+17+m имеет одну общую точку с осью Ох?

Ответ:

m=-15

8. На рисунке изображен график функции у = х³ - х² - 4х + 4. Найти координаты точек М, N и К.



Ответ:

M(-2, 0), N(0, 4), K(2, 0)

9. Построить график функции

Ответ:

10. Найти наименьшее целое положительное число из области определения функции

Ответ:

3

2.10 ПЛАНИМЕТРИЯ

Планиметрия (от лат. planum -- плоскость и... метрия), часть элементарной геометрии, в которой изучаются свойства фигур, лежащих в плоскости. Обычно под планиметрией понимают часть курса геометрии в средней школе. Содержание планиметрии и способ её изложения были установлены древнегреческим учёным Евклидом(3 в. до н. э.)

Фигуры, изучаемые планиметрией:

· Точка--абстрактный объект в пространстве, обладающий координатами, но не имеющий размеров, массы, направленности и каких-либо других геометрических или физических характеристик. Одно из фундаментальных понятий в математике и физике.

· Прямая--одно из основных понятий геометрии. При систематической изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

· Параллелограмм (частные случаи Квадрат, Прямоугольник, Ромб) (от греч. parallelos -- параллельный и gramme -- линия) -- это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

· Трапеция --геометрическая фигура, четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами . Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции

· Окружность--замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

· Треугольник--простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

· Многоугольник--это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений, однако иногда самопересечения допускаются. Иногда многоугольник определяется как замкнутая область плоскости ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки -- сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Пример:

Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. Расстояние от точки касания до центра второй окружности равна утроенному радиусу этой окружности. Во сколько раз длина первой окружности больше длины второй окружности ?

Пусть О₁ и О₂ - центры окружностей, А - точка касания. Тогда О₁А=R₁, О₁О₂ = R₁+R₂, О₂А=3ЧR₂ (по условию). Требуется найти отношение . В прямоугольном треугольнике О₁АО₂ (РА - прямой) имеем , или . Упростив это равенство, получим , откуда .

Ответ:

в 4 раза

Задачи:

1.Три стороны трапеции равны по 10 дм, а острый угол равен 60°. Найти длину отрезка, соединяющего центр вписанной окружности с вершиной меньшего основания.

Ответ:

10 дм.

2. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если S_ДAMD = 33 см² , CK=BK.

Ответ:

33 см²

3. Диагонали параллелограмма равны 16 м и12 м, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

Ответ:

48 м²

4. В параллелограмме АСВМ АС = 16 м, СВ = 24 м, СЕ и CF -- соответственно высоты, проведенные к сторонам AM и ВМ, яECF = 60°. Найти длину высоты СЕ.

Ответ:

8 см.

5. По трем медианам m_a, m_b и m_c ДABC, найти длину стороны АС = b.

Ответ:

6. Основания трапеции а и b. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Ответ:

(a-b)

7. Найти длину средней линии прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, если расстояния от центра окружности до концов большей боковой стороны равны соответственно 6 и 8 дм.

Ответ:

9,8 дм.

8. Найти площадь заштрихованной фигуры.

Ответ:

40,5 дм²

9.На стороне АВ равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) взяли точки N и M (N ближе к В, чем М), такие, что NM=AM и яMAC=яBAN. Найдите угол CAN.

Ответ:

60°

10.Трапеция АВСD с основанием ВС и AD описана около окружности. Известно, что яBCD=2яBAD. Найдите отношение .

Ответ:

2

2.11 УРАВНЕНИЯ

Уравнемние -- равенство вида или , где f и g -- функции (в общем случае -- векторные) одного или нескольких аргументов. Решение уравнения -- задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданых функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями, или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Пример:

Решить уравнение:

.

Сложим дроби, расположенные в левой части уравнения:

.

Приравняем к нулю числитель полученной дроби:

.

Преобразовав и упростив левую часть, получим биквадратное уравнение:

.

Решим ее обычным способом, найдем:

; и .

Следовательно, имеем:

Ни одно из этих чисел не обращает в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении. Значит, эти числа и представляют собой искомые корни. Итак, данное уравнение имеет следующие четыре корня:

, , , .

Рассмотрим несколько способов решения систем алгебраических уравнений. Пусть надо решить систему уравнений:

I способ (графический). Построим в одной координатной плоскости графики функций  и  (рис. 3). Эти графики пересекаются в четырех точках. Абсциссы и ординаты точек пересечения являются корнями данной системы уравнений. Из рис.3 видно, что значения корней следующие: .

II способ (аналитический). Умножим второе уравнение на 2 и сначала сложим с первым, а затем вычтем из первого. Получим:

 или

Задача сводится к системе линейных уравнений с двумя неизвестными:

 то есть

Применяя к полученным системам метод сложения (т.е. сперва сложим эти уравнения, а далее вычтем из первых - вторые), получим:

 т.е. тот же ответ.

Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений графическим и аналитическим способами.

Пусть надо решить систему уравнений:

I способ (графический). Построим в одной координатной плоскости графики функций  и  (рис.4). Эти графики также пересекаются в четырех точках .

II способ (аналитический). Если применить метод подстановки, т.е. подставить в первое уравнение значение переменной , выраженное через , после некоторых упрощений получим биквадратное уравнение:

,

или в каноническом виде: .

Корни последнего уравнения нетрудно найти: .

Откуда, путем обратной подстановки в выражение  значений , находим: .

Итак, мы получили тот же ответ: .

Задачи:

1.Решить уравнение: х+

Ответ:

-2

2. Найти по крайней мере 19 решений уравнения у²= х² + х³ в целых числах.

Ответ:

соотношения х=а²-1 и у=а(а²-1) задают бесконечную серию решений

3. Решить в натуральных числах уравнение х³ - 27у³= 37.

Ответ:

(4, 1)

4. Решить уравнение (6х²- 7х²)² - 2(6х² - 7х) - 3 = 0.

Ответ:

х₁=, х₂=, х₃=1, х₄=

5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений:

имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

При любом а, кроме а=0 и а=

6. Решить уравнение

Ответ:

х=, n

7. Решить уравнение

cos 2007°+cos 27°+tg 30°·=-3sin 30°

Ответ:

х_{1, 2}=2

8. Решить уравнение

Ответ:

х=2, х=

9. Решить уравнение

Ответ:

х=8, m

10. При каких значениях параметрам система уравнений

имеет бесконечное множество решений?

Ответ:

при а=2 и а=-1

1.12 НЕРАВЕНСТВА

Пусть функции  и  определены на некотором множестве . Поставим задачу: найти множество , на котором значения одной из функций больше (меньше) значений другой из них, другими словами, найти все значения , для которых выполняется неравенство: > ( < ).

При такой постановке каждое из этих неравенств называется алгебраическим неравенством с неизвестным .

Как при решении уравнения, так и при решении неравенства требуется найти все те значения неизвестной величины, для каждого из которых указанное соотношение оказывается верным. Поэтому естественно и для неравенств ввести понятия, аналогичные тем, которые мы ввели для уравнений.

Множество  называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного неравенства.

Множество  называется множеством решений данного неравенства.

Решить неравенство - значит найти множество всех , для которых данное неравенство выполняется.

Два неравенства называются равносильными, если множества решений их совпадают, т.е. если всякое решение каждого из них является решением другого. Значение неизвестного называется допустимым для неравенства, если при этом значении обе части неравенства имеют смысл. Совокупность всех допустимых значений неизвестного называется областью определения неравенства.

Пример: Решить неравенство:

.

Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде:

,

 не является корнем левой части неравенства, поэтому равносильное последнему неравенству будет следующее:

 при .

С помощью «пробных» точек найдем знак выражения в каждом промежутке, которые были получены, когда мы нанести на числовую ось числа 1, 2 и 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Выпишем интервалы, где выполняется неравенство:

.

Уравнение  имеет четыре

Задачи:

1.Решить неравенство

Ответ:

при n?4

2. Решить неравенство

Ответ:

3. Решить неравенство

Ответ:

1<x<16

4. Решить систему неравенств:

Ответ:

[5, +?)

5. Решить неравенство если а

Ответ:

(-?, 2][3, +?)

6. При каком наибольшем значении параметрам неравенство

выполняется для всех хR?

Ответ:

a=7

7. Найти длину промежутка на котором выполняется неравенство

Ответ:

2

8. Решить неравенство

Ответ:

9. Решить неравенство

Ответ:

10. Решить неравенство

Ответ:

ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ

1. Решите ребусы:

а) РЕКА * 7 = МОРЕ; б) НАЛИМ * 4 = ЛИМАН; в) ОКУНЬ * 8 = СУДАК.

Ответ:

а) 1402·7=9814 б) 123958·4=95832 в) 10295·8=82360

2. Восстановите запись:

Ответ:

12345679·9=111111111

3. Число БАОБАБ, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы -- разные цифры, делится на 101. Какое это число?

Ответ:

910919

4. Докажите неравенство: ДВА * ШЕСТЬ < ДВАДЦАТЬ, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы -- разные цифры.

Ответ: ДВА·ШЕСТЬ<ДВА·10⁵< ДВА·10⁵+ДЦАТЬ=ДВАДЦАТЬ

5. Числа ТРИ, СТИХ и СПОРТ, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы -- разные цифры, являются соответственно квадратом, кубом и четвертой степенью некоторых натуральных чисел. Что это за числа?

Ответ:

ТРИ=169, СТИХ=2197, СПОРТ=28561

ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ЧИСЛА

1.Докажите, что сумма и разность любых двух целых чисел имеют одинаковую четность.

Указание:

рассмотреть 3 случая: 1) а и b четны 2) а и b нечетны 3) а четно и b нечетно

2. Найдите все целые значения а, при которых число х³ + ах² + 5х + 9 нечетно для всех целых значений х.

Ответ:

все четные а

3. На семи карточках написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Затем карточки перевернули, перемешали и на обратных сторонах написали те же числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Числа, написанные на обеих сторонах каждой карточки, сложили и полученные суммы перемножили. Четно или нечетно полученное произведение?

Ответ:

четно

4. Какое наибольшее количество натуральных чисел можно записать в строку так, чтобы сумма любых трех соседних чисел была четной, а сумма любых четырех соседних чисел нечетной?

Ответ:

5

5. Сумма номеров домов одного квартала равна 99, а соседнего квартала той же улицы -- 117. Найдите номера всех домов этих кварталов.

Ответ:

31, 33, 35, 37, 39, 41

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

1.Найдите такое трехзначное число, делящееся на 27, что при любой перестановке его цифр получается число, также делящееся на 27. Укажите все такие числа.

Ответ: 999

2. Использовав цифры от 1 до 9 по одному разу, составьте наименьшее девятизначное число, делящееся на 11.

Ответ:

123475869

3.Можно ли из цифр от 1 до 6 составить шестизначное число с различными цифрами, делящееся на 11?

Ответ:

нельзя

4.Можно ли из цифр от 0 до 9 составить десятизначное число с различными цифрами, делящееся на 1980?

Ответ:

можно, например, 9876523140

5.Доказать, что при любом натуральном n число 5⁵ⁿ⁺¹+4⁵ⁿ⁺²+3⁵ⁿ делится на 11.

Указание:

выполнить преобразование заданного выражения. Принять во внимание бином Ньютона n-ой степени

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

1.Натуральные числа а, b и с таковы, что НОК(а, b)=60 и НОК(а, с)=270. Найти НОК(b, с).

Ответ:

540, 108

2.Чему равен наибольший общий делитель всех чисел 7ⁿ⁺²+8²ⁿ⁺¹ (n)?

Ответ:

57

3. При каком наименьшем натуральном п каждая из дробей

несократима?

Ответ: 28

4. Пусть a₁, a₂, ..., а₁₀ -- натуральные числа, сумма которых равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель?

Ответ:

91, когда 9 чисел равны 91, а десятое -182

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

1.Докажите, что любое число вида а=101010...101 (n нулей, n + 1 единица, где n > 1) составное.

Указание:

рассмотрите 2 случая 1) n-четно 2) n-нечетно

2. Какое наибольшее число простых чисел может быть среди 15 последовательных натуральных чисел, больших 2?

Ответ:

6

3. Составьте из простых чисел все возможные арифметические прогрессии с разностью 6 и числом членов, большим 4.

Ответ:

5, 11, 17, 23, 29

4. Найдите все простые p, при которых являются простыми числа:

Ответ:

а) 3 б) 3

5. Найдите все простые р, при которых являются простыми числа:

Ответ:

а) 2 б) 3 в) 3 г) 5 д) 5

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦИФР НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1.Восстановите запись:

Ответ:

а) 1431:27=53 б) 100034:34=9094

2. Восстановите деление с остатком, где все девять цифр различны:

Ответ:

3.В примере на сложение ¦+¦+__=^^^ различные фигурки обозначают различные цифры. Какую цифру заменяет квадратик?

Ответ:

6

4.Расставить цифры 1, 2, …, 8 в клетки неполного квадрата так, чтобы получилась одинаковая сумма по горизонтали, вертикали и большой диагонали.

Ответ:

4	8
2	3	7
6	1	5

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

1.Какой остаток дает 46⁹²⁵ при делении на 21?

Ответ:

4

2. Найдите остаток от деления:

Ответ:

а) 25 б) 5 в) 1944

3. Найдите остаток от деления числа на 13, где число р-- простое.

Ответ:

р=2, р=3

4. Число 2001²⁰⁰¹ разбили на несколько слагаемых, являющихся натуральными числами, возвели эти слагаемые в куб и полученную сумму кубов разделили на 6. Какой получится остаток?

Ответ:

3

5. Найдите остаток отделения на 3 числа

Ответ:

2

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

1.Найдите все пятизначные числа, которые являются точными квадратами и остаются точными квадратами при зачеркивании первой, двух первых или трех первых цифр.

Ответ:

81225, 34225, 27225, 15625, 75625

2. Четырехзначное число является точным квадратом. Если отбросить его последнюю цифру или две первые, то получаются также точные квадраты. Найдите все такие числа.

Ответ:

3249=57²

3. Найдите все точные степени числа 2, которые встречаются среди чисел вида 6n + 8(n = 0, 1,2,...).

Ответ:

степень числа 2 с любым нечетным натуральным показателем, большим 1

4. Найдите все натуральные я, при которых числа вида n² -- n+ 41 являются точными квадратами.

Ответ:

n=41

5. Найдите все натуральные я, при которых число 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ является точным квадратом.

Ответ:

n=1

УРАВНЕНИЯ

1.Решите уравнения: а) х²+=0 б) х²-2х-3=

Ответ:

а) ±1 б) 5, -3

2.Сумма квадратов корней уравнения х²-4х+р=0 равна 16. Найдите р.

Ответ:

0

3.При каких целых а оба корня уравнения х²+ах+6=0 является целыми числами?

Ответ:

±5, ±7

4.Решить систему уравнений:

х² -ху+у²=21

у²-2ху+15=0

Ответ:

(3, , (-3, , (4, 5), (-4, 5)

5.Решить уравнение: х⁴-2х³+-2х+1=0

Ответ:

2,

ИГРЫ. СТРАТЕГИИ

1.Двое кладут по очереди пятаки на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет положить очередной пятак. Кто выигрывает?

Ответ:

выигрывает первый игрок

2. Две компании A и B получили право освещать столицу международной шахматной мысли Нью-Васюки, представляющую собой прямоугольную сетку улиц. Они по очереди ставят на неосвещённый перекресток прожектор, который освещает весь северо-восточный угол города (от нуля до 90° ). Премию О. Бендера получит та компания, которой на своем ходе нечего будет освещать. Кто выиграет при правильной игре?

Ответ:

выигрышная стратегия у А

3. Конь стоит на поле al. За ход разрешается передвигать коня на две клетки вправо и одну клетку вверх или вниз, или на две вверх и на одну вправо или влево. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает второй игрок

4. В каждой клетке доски 11x11 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку.

Ответ:

выигрывает первый игрок

5. Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает второй игрок

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

1.У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые--серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна белая. Сколько серых мышей у Йозефа?

Ответ:

одна серая мышь

2.Эд и Билл весят меньше, чем Чарли и Дэн. Чарли и Шон вместе весят меньше, чем Френк и Билл. Какое из следующих утверждений заведомо является верным?

А) Шон и Эд вместе весят меньше, чем Френк и Ден.

Б) Дэн и Шон вместе весят больше, чем Чарли и Френк.

В) Дэн и Френк вместе весят больше, чем Эд и Чарли.

Г) Эд и Билл вместе весят меньше, чем Чарли и Френк.

Д) Эд, Билл и Чарли вместе весят столько же, сколько Френк, Шон и Ден.

Ответ:

А

3.На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и правдивые, которые всегда говорят правду. Однажды собрались 12 островитян и сделали следующее заявление. Двое сказали: «Ровно двое из собравшихся--лжецы». Четверо сказали: «Ровно четыре из собравшихся--лжецы». Остальные шестеро сказали: «Ровно шестеро из собравшихся--лжецы». Сколько на самом деле лжецов среди 12 островитян, если известно, что не все они лжецы?

Ответ:

6 лжецов

4.У Сани, Вани и Жени 30 мячей. Если Ваня даст 5 мячей Жене, Женя 4 мяча Сане, а Саня 2 мяча Ване, то у всех мальчиков станет мячей поровну. Сколько мячей у Сани?

Ответ:

8 мячей

5.На острове живут правдивые, которые говорят правду и лжецы, которые всегда лгут. Однажды у островитянина А спросили, кем является он и его приятель Б. Островитянин А заявил, что по крайней мере один из них--лжец. Какое из следующих утверждений является истинным?

А) А не мог сделать такого заявления.

Б) А и Б лжецы.

В) А--лжец, Б--правдивый.

Г) А и Б правдивые.

Д) Б--лжец, А--правдивый.

Ответ:

Д

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО

1.Для каждого натурального числа n существует число вида 111... 100...О, делящееся на n. Доказать.

Указание:

рассмотреть числа вида 1, 11, 111,

2. 15 белок собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое количество орехов.

Указание:

предположить, что все белки собрали разное количество орехов. Затем рассмотреть их сумму

3. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6 Ч 6 из чисел +1, ?1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Можно ли составить такой квадрат?

Ответ:

нет

4. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?

Ответ:

верно

5.Для любого 100-значного числа М найдется число, делящееся на 2006, последние цифры которого составляют число М. Доказать.

Указание:

рассмотреть числа, получающиеся из одного, двух, трех, …, 2006 чисел М, написанные подряд

ИНВАРИАНТЫ. РАСКРАСКИ. ЗАМОЩЕНИЯ

1.На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с неё два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет ещё один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

Ответ:

если число бананов было четным, то--ананас, если--нечетным, то--банан

2. В одной клетке квадратной таблицы 4 Ч 4 стоит знак минус, а в остальных стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке или в одном столбце. Можно ли получить таблицу из одних плюсов, если мы будем проводить такую перемену знака.

Ответ:

нет

3. На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по одному веселому чижу. Время от времени какие-то два чижа перелетают один по часовой стрелке, а другой (против, каждый) на соседнее дерево. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?

Ответ:

нет

4.За какое наименьшее количество выстрелов можно с гарантией подбить четырехклеточный корабль в игре «Морской бой»?

Ответ:

не менее 24 выстрелов

5.Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли оставшуюся фигуру разрезать на домино из двух клеток?

Ответ:

нет

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

1.Неисправный калькулятор не показывает цифру 1. Например, если набрать число 3131, то на дисплее будет 33(без пробелов). Сколько существует способов набрать на этом калькуляторе шестизначное число, чтобы на дисплее появилось число 2007?

Ответ:

15 способов

2.две школы соревнуются между собой по настольному теннису. В команду каждой школы входит по 5 спортсменов. Все матчи проводятся между парами так, чтобы каждая пара спортсменов из одной школы сыграла с каждой парой из другой школы. Сколько игр придется сыграть каждому спортсмену?

Ответ:

40 игр

3.Сколько существует путей из верхней точки гипотенузы в ее нижнюю точку, если можно передвигаться только по линиям стрелки на рисунке, причем только вниз вправо или вниз влево (параллельно гипотенузе)?

Ответ:

90 путей

4.На вечеринке 5 друзей собрались вручить друг другу подарки так, что каждый из них вручит ровно 1 подарок и получит ровно 1 подарок (разумеется, никто не должен получить свой собственный подарок). Сколько всего существует способов это сделать?