Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

Ответ:

44 способов

5.Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Ответ:

884375

ПЛАНИМЕТРИЯ

3.Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами (1, 0), (2, 3), (3, 2)

Ответ:

(2,

4.В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD, ВЕ, СF. Найдите углы ДDEF, зная углы ДАВС.

Ответ:

яD=180°-2яА, яА=180°-2яВ, яF=180°-2яC

5.Как изменится сторона АВ ДАВС, если яС возрастает, а длины сторон АС и ВС остаются без изменений?

Ответ:

сторона АВ увеличивается

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

1.Упростите выражения:

а) б)

Ответ:

а) б) 4-7

2. Упростите выражения:

· + : (3+ )

Ответ:

3

3.Сократить дробь:

Ответ:

4.Вычислить:

Ответ:

2

5.Упростить выражение:

Ответ:

-

МНОГОЧЛЕНЫ

1.Разложить на множители многочлен n?+n+1

Ответ:

(nІ+n+1)(nі-nІ+1)

2. Разложить на множители многочлен x⁸+4xІ+4

Ответ:

(х⁴-2х³+2х²-2х+2)( х⁴+2х³+2х²+2х+2)

3.Доказать, что многочлен х⁸-х⁵+х²-х+1 положителен при всех действительных х.

Указание:

рассмотреть 2 случая 1) 0<х<1 2) х>1

4.Найдите все целые k, при которых значения дроби являются целыми числами

Ответ:

6, 2, 0, -4

5.Многочлен р(х) с целыми коэффициентами таков, что р(а)=1, р(b)=-1, где а и b--различные целые числа. Найти все значения, которые может принимать разность а-b.

Ответ:

-2, -1, 1, 2

ГРАФЫ

1.В углах шахматной доски 3 Ч3 стоят 4 коня: 2 белых (в соседних углах) и два чёрных. Можно ли за несколько ходов (по шахматным правилам) поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони разного цвета?

Ответ:

нет

2. Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число, составленное из двух соседних цифр, делилось либо на 7, либо на 13.

Ответ:

784913526

3.Муровей ползет по проволочному каркасу куба. При этом он никогда не поворачивает назад. Может ли он побывать в одной из вершин куба 25 раз, а в остальных по 20?

Ответ:

нет

4.В каждой клетки доски 5х5 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Ответ:

нет

ФУНКЦИИ

1.Прямая у = х + 2 пересекает параболу у = х² - Зх + 2 в двух точках А и В. Найдите на дуге АВ параболы точку, наиболее удаленную от прямой АВ.

Ответ:

точка дуги АВ параболы, наиболее удаленная от прямой у = х + 2, имеет координаты

x = 2, у = 0

2. Область определения функции f -- множество Z, а область значений -- множество

{-1; 1}. Функция обладает свойством: для любых целых а и b верно равенство f(a + b) = f(a) * f(b). Найдите f(0) и соотношение между f(-x) и f(x).

Ответ:

f(0)=1, f(-x)=

3. Область определения функции g -- множество Z и g(l) = ky где k Z. Функция обладает свойством: g(a + b) = g(a) + g(b) для любых целых а и b. Найдите g(0) и соотношение между g(-x) и g(x). Задайте функцию g формулой.

Ответ:

4. При каких значениях а любое значение функции f(x)= принадлежит промежутку (-9; 6)?

Ответ: а (-3; 6)

5. Известно, что функция четная и что она обращается в нуль при х = -2 и х = 3.

Существуют ли какие-либо другие значения аргумента, при которых (х) = 0?

Ответ:

2, -3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады--от школьных и городских до международных.

В данной курсовой работе собрана коллекция задач для 8-9 классов тура математических олимпиад, проводимых по всей стране.

Темы математических задач взяты в соответствии с программой факультативного занятия по подготовке к олимпиадам по математике.

В разработанной курсовой работе выделены 3 главы:

-школьные олимпиады;

-районные олимпиады;

-задачи повышенной сложности.

К задачам приведены ответы, а некоторые снабжены краткими указаниями.

Задачи школьной олимпиады в среднем попроще, но и здесь встречаются замысловатые головоломки, подобрать ключ к которым нелегко. Очень разнообразны задачи и по математическому содержанию. В определенных темах олимпиадных заданий встречаются традиционные задачи о уравнениях и неравенствах, признаках делимости и делении с остатком, о треугольниках и т.п.

Конечно, это не просто упражнения на проверку знаний и применение стандартных школьных приемов, а теоремы, которые нужно доказать, задачи, требующие некоторого исследования. В основном, такого типа задачи приведены в главах «Районные олимпиады» и «Задачи повышенной сложности».

Встречаются задания с далеко нестандартной формулировкой. Для поиска ответа и доказательства здесь нужны не столько школьные знания, сколько здравый смысл, изобретательность, умение логично рассуждать, перевести необычное условие на подходящий математический язык.

Однажды Павел Сергеевич Александров, президент Московского математического общества, избранный членом-корреспондентом в первые аккадемические выборы советского периода в 1929 году (он был председателем оргкоммитета олимпиады) писал: «Одной из наиболее действенных форм нашей помощи самым молодым дарованиям является организация олимпиады, т. е. широкого состязания, широкого социалистического соревнования всех наших школьников, одаренных математически и интересующихся математикой. Это состязание должно заставить лучших из них почувствовать себя уже настоящими математиками, будущими учеными. Оно должно укрепить их веру в себя, зажечь их научный энтузиазм и в то же время заставить их почувствовать, что лишь длинный путь упорной работы приведет их к цели, к участию в качестве квалифицированных математиков, а иногда и больших самостоятельных ученых в той громадной стройке социализма, которая развернулась в нашей стране». [12, с.8] Многие понятия, которыми оперировал П. С. Александров, ныне ушли в прошлое, но я постараюсь выделить из сказанного им то содержание, которое, по моему мнению, должно сохраниться на все времена.

Наука -- арена нескольких видов борьбы. Это -- и борьба человечества с незнанием, и борьба ученых со своими заблуждениями, и стремление принести пользу людям, и поиск красоты мира, и стремление к славе, и делание собственной карьеры, и заработок. Чтобы наука жила полноценно, нужно, чтобы ее поддерживали различные стимулы -- внутренние и внешние. Каждого ученого какой-то стимул подтолкнул в сторону науки. И если этот стимул антинаучный и низменный, большой беды в этом нет. Важно только, чтобы своевременно возникли другие стимулы, соответствующие высшему назначению науки. Наука -- великое достояние человечества, и для развития науки человечеству разумно озаботиться тем, чтобы ни одно математическое дарование не пропало бы.

Одаренные люди могут принести пользу своему отечеству, и потому государству следовало бы обеспечить полное внимание, полную и всестороннюю помощь и поддержку каждому из подрастающих талантов.

Безусловной истиной является и то, что одной из наиболее действенных форм содействия молодым дарованиям является организация олимпиад, т. е. широкого состязания школьников, интересующихся математикой; это состязание призвано укрепить их веру в себя и зажечь в них научный энтузиазм. Итак, олимпиады могут принести пользу Личности, Стране и Миру.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галкин Е. В. Нестандартные задачи по математике. Задачи с целыми числами: Учеб. пособие для учащихся 7--11 кл. -- Челябинск: Взгляд, 2005. -- 271 с. -- (Нестандартные задачи по математике).

2. В. А. Шеховцов. Олимпиадные задания по математике. 9-11 классы: решение олимпиадных задач повышенной сложности / авт.-сост. В. А. Шеховцов. - Волгоград: Учитель, 2009. - 99 с.

3. Севрюков. П. Ф. Подготовка к решению олимпиадных задач по математике / П. Ф. Севрюков. -- Изд. 2-е. -- М. : Илекса ; Народное образование ; Ставрополь : Сервисшкола, 2009. - 112 с.

4. Агаханов Н. X. Математика. Районные олимпиады. 6--11 классы / Н. X. Агаханов, О. К. Подлипский. -- М. : Просвещение, 2010. -- 192 с. : ил. -- (Пять колец).

5. Агаханов Н. X . Математика. Областные олимпиады. 8--11 классы / [Н. X. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников и др.]. -- М. : Просвещение, 2010. -- 239 с. : ил. -- (Пять колец).

6. И.И.Семеня . Психологические основы взаимодействия учителя с одареными детьми/ авт. сост. И.И.Семеня--2-ое изд..--Мозырь: Содействие, 2007--с.419.

7. Балаян Э.Н. Олимпиадная и занимательная задачи по математике / Э.Н. Балаян. -- 3-е изд. -- Ростов н/Д : Феникс, 2008. -- 364, [1] с.: ил. -- (Библиотека учителя).

8. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк.--М.: Просвещение, 1989--287 с.

9. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников. Пособие для учителей.--М.: Просвещение, 1982.--96 с.

10. Зарубежные математические олимпиады. Конягин С.В., Тоноян Г.А. и др.; под ред. И.Н.Сергеева.--М: Наука. Гл.ред.физ.мат.лит 1987--(Б-ка мат. кружка)--416 с.

11. Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи / Под ред. В. О. Бугаенко. | 4-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО, 2008. | 96 c.

12. Р. М. Федоров, А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, И. В. Ященко Московские математические олимпиады 1993--2005 г. / Р. М. Федоров и др. Под ред. В. М. Тихомирова. -- М.: МЦНМО, 2006. -- 456 с.

13. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике:--Мн: Полымя, 1998.--108 с.--(«В помощь абитуриентам и студентам»).

14. Олимпиада «Ломоносов» по математике (2005--2008). -- М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008. -- 48 с, илл.

15. международный математический конкурс «Кенгуру--2007» в Бел. Условия и решения заданий для 5-11 кл/ М-во образ. Респ. Беларусь; Акад. Последеплом. образования., Беларус. Ассоц. «Конкурс»: авт.сост. Е.А.Барабанов [и др].--Минск: Белорус.ассоц. «Конкурс», 2007.--96 с.: ил.

16. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад --М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1988.-- 14 л.-- (Б-ка мат. кружка; вып. 18). --288 с.

17. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. -- 7-е изд., испр. и доп. -- М. : Мнемозина, 2008. -- 447 с. : ил.

18. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 8 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. -- 10-е изд., испр. -- М. : Мнемозина, 2010. -- 384 с. : ил.

Размещено на Allbest.ru