Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере:

Рассмотрим функцию . Эта функция положительна всюду, кроме точки , где она обращается в нуль. В пространстве переменных уравнение определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровня этой поверхности на плоскости представляют собой эллипсы. Зададим произвольно малое . Построим на плоскости круг радиуса . Возьмем одну из линий уровня --- эллипс, целиком лежащий внутри круга . Построим другой круг целиком лежащий внутри эллипса (рис. 3).

Пусть начальная точка лежит внутри .

Рассмотрим функцию двух переменных . Легко видеть, что если вместо подставить решение системы , то полученная таким образом, функция от будет представлять собой полную производную функции вдоль траектории решения системы . Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в , неположительна, то это будет означать, что траектория не сможет покинуть , так как иначе между и значением , при котором она попадет на границу , найдется значение , для которого , поскольку . То, что ни одна траектория, начинающаяся в , не покидает ни при одном круг , означает устойчивость тривиального решения.

Итак, мы должны проверить знак вдоль траектории. Для этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которого нельзя выписать явно и тем самым нельзя проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы функция была неположительной как функция двух независимых переменных по крайней мере в некоторой окрестности . Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы не зная решения. В нашем примере именно так и будет, поскольку всюду на плоскости , а тем самым вдоль любой траектории, и устойчивость тривиального решения гарантирована. Функция и есть функция Ляпунова для рассмотренного примера. Она имеет вид квадратичной формы, хотя в принципе можно было взять любую другую функцию, лишь бы она была положительной всюду, кроме точки , где она обращается в нуль, а выражение было неположительное. Обратимся теперь к формулировке некоторых общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы .

Все дальнейшие построения будем вести в некоторой -окрестности начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определенности задается неравенством , . Функция (или короче ) называется положительно определенной в , если в , причем тогда и только тогда, когда .

Приведем ряд утверждений, показывающих применение функций Ляпунова .

Теорема Первая теорема Ляпунова

Рассмотрим систему

где при --- постоянные, могут быть функциями координат, параметров и времени.

Определенно положительная функция

имеет производную в силу системы в следующем виде:

где

Таким образом, будет определенно отрицательной или знакоотрицательной, если этим же свойством обладает форма

Как известно, критерий Сильвестра легко переносится на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому этот критерий с успехом может быть использован.

В качестве примера построим функцию Ляпунова для системы уравнений переходного процесса синхронного двигателя

Здесь , --- постоянные, --- возмущение рабочего угла, --- возмущение силы тока, возникающее в результате наброса нагрузки на двигатель.

В данном случае получаем

а в качестве матрицы берем единичную матрицу. Таким образом, получим

Построенная функция Ляпунова позволяет оценить область притяжения положения равновесия, что дает возможность быстро оценить допустимую предельную нагрузку на синхронный двигатель.

Предложенный метод в линейном случае дает необходимые и достаточные условия устойчивости, если найти подходящие выражения для . Это следует из того, что всякая определенно положительная квадратичная форма линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду, т. е. к сумме квадратов переменных. Трудность этого метода состоит в подборе и матрицы .

Метод Красовского

Исследуется система уравнений

Функция Ляпунова строится в виде , где симметричная матрица подбирается так, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица

удовлетворяла критерию отрицательности Сильвестра. Имеем в силу системы

Таким образом, получим и .

В качестве примера рассмотрим уравнение

эквивалентное системе

Функцию Ляпунова выбираем в виде

Легко видеть, что

Очевидно, следует принять и , тогда будем иметь

и условие устойчивости в целом принимает вид при любых .

Метод Уокера-Кларка

Рассмотрим уравнение

эквивалентное системе

Функцию Ляпунова для системы предлагается брать в виде

где специально подбирается с целью упрощения вида и с целью выполнения неравенства .

Так, например, для системы

функцию будем искать в виде

Имеем в силу системы

где

Очевидно, проще всего положить , , , откуда

и получаем функцию

В качестве второго примера рассмотрим уравнение

эквивалентное системе

Согласно предложенному способу следует принять

Имеем тогда

Если положить , то условия устойчивости будут иметь вид

и .

Но эти условия не могут быть удовлетворены для линейной функции

.

Значительно полезней оказывается функция, предложенная Л. Америо ,

В данном случае получим

и условия устойчивости в целом принимают вид

а) при ,

б) при ,

в) при .

Градиентный метод

Предлагается начинать поиск функций Ляпунова с записи градиента этой функции в форме

где

Функции подбираются из условия отрицательности и из требования, чтобы векторное поле было потенциальным. Это значит, что должны выполняться условия . После того как найден градиент сама функция определяется как криволинейный интеграл

В качестве примера рассмотрим уравнение

где . Это уравнение эквивалентно системе

Будем искать вектор-градиент в форме

В силу системы получим

Удобно положить , , . Условия потенциальности поля дают . Таким образом, имеем , , . Формула дает нам

или, что то же самое,

Так как , то условия устойчивости имеют вид и

Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина

Пусть

--- решение системы уравнений , определенное на некотором интервале , и

--- решение той же системы уравнений , определенное на некотором интервале . Будем говорить, что решение является продолжением решения , если . Решение будем называть непродолжаемым, если не существует никакого отличного от него решения, являющегося его продолжением.

Покажем, что каждое решение может быть продолжено до решения, далее непродолжаемого. В этом смысле непродолжаемые решения исчерпывают совокупность всех решений.

Пусть

--- векторная запись нормальной системы уравнений . Тогда справедлива следующая теорема :

Теорема 1. Существует непродалжаемое решение уравнения с произвольными начальными значениями из .

2. Если некоторое непродолжаемое решение уравнения совпадает с некоторым другим решением уравнения , хотя бы при одном значении , то оно является продолжением этого решения.

3. Если два непродолжаемых решения уравнения совпадают между собой хотя бы для одного значения , то они полностью совпадают, т.е. имеют один и тот же интервал определения и равны на нем.

Пусть --- решение системы с начальным условием . Ясно, что:

а) либо это решение может быть продолжено для всех значений , и тогда будем говорить, что решение неограниченно (бесконечно) продолжаемо [в право];

б) либо существует такое , что при , и тогда будем говорить, что решение имеет конечное время определения.

Эти две возможности явно несовместимы и дополняют друг друга. Третий случай

в) решение ограничено.

--- совместим с возможностью а), но, конечно, несовместим с б).

Отметим, следующее

Свойство Если решение ограничено в своем максимальном промежутке существования , то оно бесконечно продолжаемо, т.е. .

Ограниченность всех решений представляет собой своего рода устойчивость; в этом случае говорят об устойчивости в смысле Лагранжа или, короче, об устойчивости по Лагранжу.

Неограниченная продолжимость решений системы является необходимым условием устойчивости по Ляпунову решений этой системы.

Пример

Все решения данного уравнения бесконечно продолжаемы, но не ограничены.

Пример

На интервале , для любого все решения данного уравнения бесконечно продолжаемы и ограничены.

Пример

Все решения , имеют конечное время определения.

Приведем без доказательства теорему Майергофера-Еругина.

Теорема Майергофера-Еругина

Пусть функция уравнения определена и непрерывна для всех вещественных и как функция двух переменных.

Тогда любое решение уравнения неограниченно продолжим в обе стороны, если только выполнено неравенство

где --- функция, удовлетворяющая условию

где --- число.

Доказательство проведем методом от противного.

Пусть существует решение , которое не является неограниченно продолжимым, например, вправо. Тогда на основании теоремы Майергофера-Еругина существует некоторое число такое, что принимает разных знаков и при .

Ввиду непрерывности решения как функции от оно должно бесконечное число раз проходить через нуль. А это означает, что существует последовательность значений , по которой это решение стремится к нулю. Это невозможно (по теореме Майергофера-Еругина).

Допустим, что при . Так как --- решение уравнения , то в промежутке . Допустим, что не меняет знак. Тогда

Проинтегрируем обе части по отрезку , где получим

Произведем замену . Получим

Тогда

Таким образом получаем

Теперь пусть . Учтем, что с заменой и получаем

по условию теоремы. Это неравенство противоречиво, так как слева стоит конечная величина.

Рассмотрим общий случай, когда может менять знак. Тогда

Так как при , то с некоторого момента величина станет положительной и знак модуля можно будет опустить. Тогда получим

Проинтегрируем обе части от до , где --- значение, после которого становится положительным.

Сделаем замену , получим

Устремим и учтем

Последнее неравенство противоречиво, что говорит о том, что не существует решения, которое не является неограниченно продолжимым вправо.

Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем

Развитие метода функций Ляпунова

Если , , то неравенство не имеет ни одного положительного неограниченного при решения.

Теорема

Пусть и имеют тот же смысл, что и в теореме , при равномерно по и . Если неравенство не имеет ни одного положительного неограниченного при всех решения, то система устойчива в смысле Лагранжа.

Замечание. Для автономной системы вместо используется функция .

Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений

Теорема

Пусть функция определена, непрерывна и локально липшицева относительно на произведении .

Тогда для продолжимости всех решений системы на промежутке необходимо и достаточно, чтобы на множестве существовали две функции Ляпунова и , обладающие свойствами:

1) ;

2) при равномерно относительно на каждом конечном сегменте, .

Замечание. Вместо условия 1) в теореме может быть взято условие .

Следствие. Если и непрерывны во всем пространстве, то для продолжимости каждого решения системы на необходимо и достаточно, чтобы в пространстве существовали две непрерывно дифференцируемые функции Ляпунова и , обладающие свойствами:

1) ;

2) при равномерно относительно на каждом конечном сегменте, .

Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьего порядка

Пусть функции , и удовлетворяют следующим условиям:

а) непрерывна при ,

б) функция ограничена для достаточно больших , то есть для больших ;

в) функция непрерывна и имеет непрерывную производную по и, кроме того, удовлетворяет условиям:

1) для достаточно больших и ,

2) для достаточно больших и ;

тогда все решения системы неограниченно продолжаемы.

Доказательство

Рассмотрим функцию

Ее производную в силу системы для достаточно больших , и легко оценить:

Получили дифференциальное неравенство вида

,

где , а . По лемме это неравенство не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. В качестве множества , о котором говорится в теореме, можно взять любое ограниченное множество, содержащее начало координат и такое, что вне его выполняются условия, наложенные на функции и .

Применяя теорему , приходим к требуемому выводу.

Замечание. Если вместо требований, наложенных на функцию , потребовать при достаточно больших , , то, взяв , получим

А отсюда легко следует утверждение теоремы.

Замечание. Можно показать, что если в правой части уравнения вместо функции поставить функцию которая либо ограничена для всех , либо для существует непрерывная функция такая, что при всех выполняется неравенство , то все решения уравнения при тех же предположениях относительно функций и неограниченно продолжаемы.

Замечание. Заключение о неограниченной продолжимости решений дифференциального уравнения легко получить из теоремы , положив .

Как отмечено выше, существует ряд признаков продолжимости решений. Простейшим из них является признак Винтнера-Еругина, который утверждает, что если в уравнении функция определена и непрерывна для всех и , как функция двух переменных, то любое решение этого уравнения неограниченно продолжаемо в обе стороны, если только выполняется неравенство , где --- функция, удовлетворяющая условию , где --- число. В простейшем случае , где --- число, т.е. получаем, что функция близка к линейной. Ясно, что в этом случае продолжимость всех решений на легко установить при помощи функций Ляпунова с использованием дифференциальных неравенств, взяв . Обратное утверждение не всегда верно. Например, для уравнения

условия продолжимости, полученные при помощи функций Ляпунова, запишутся так: для больших и для больших . Понятно, что, положив и получим, на основании теоремы , вывод о продолжимости всех решений уравнений . Но критерий Винтнера-Еругина не выполняется за счет .

Рассмотрим уравнение

эквивалентное системе

Теорема

Пусть --- непрерывная на всех функция, а функции , и удовлетворяют условиям:

а) --- ограниченная для всех , где --- некоторое ограниченное множество, содержащее начало координат,

б) при ,

в) --- непрерывная и непрерывно дифференцируемая по функция и , для всех . Тогда все решения системы или уравнения неограниченно продолжаемы.

Доказательство

В самом деле, возьмем функцию

Оценивая ее производную в силу системы при (для , вообще говоря больших), перейдем к неравенству

которое, очевидно, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. Воспользовавшись теоремой , приходим к требуемому заключению.

Замечание. Воспользовавшись этой теоремой, легко получить вывод о продолжимости всех решений уравнения

и уравнения

В самом деле, при выполнении всех условий теоремы , полагая в первом случае и --- во втором, легко получаем

Следствие. Если в уравнении функции , непрерывны по и соответственно и для больших , а функция для больших то все решения этого уравнения продолжимы на .

Следствие. Если в уравнении () функции , и удовлетворяют условиям:

а) непрерывна для ,

б) ограничена для больших ,

в) для больших ,

г) непрерывна и для больших , то все решения уравнения неограниченно продолжимы вправо.

Пример. Очевидно, что всем условиям продолжимости удовлетворяет уравнение

или система

Однако критерий Винтнера-Еругина не гарантирует продолжимости всех решений. В самом деле . Обозначим . Получаем, что

Отсюда можно сделать вывод, что для установления продолжимости на более эффективно использование функций Ляпунова, нежели признака Винтнера-Еругина.

Рассмотрим уравнение

эквивалентное системе

Теорема

Для продолжимости всех решений уравнения на достаточно выполнения условий:

1) непрерывности при всех функции ,

2) непрерывности функций и и непрерывной дифференцируемости по функции , а, кроме того, выполнения для них условий

вне некоторого ограниченного множества , содержащего начало координат.

Действительно, взяв функцию

вне множества и для достаточно больших , будем иметь

Это неравенство, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, и на основании теоремы получаем справедливость нашего утверждения.

Заключение