Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом

Особенности ариорного выбора числа итераций в методе простых итераций с попеременно чередующимся шагом для уравнений I рода. Анализ и постановка задачи. Сходимость при точной правой части. Сходимость при приближенной правой части. Оценка погрешности.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 28.05.2010
Размер файла 187,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

17

Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

Кафедра информатики и прикладной математики

Курсовая работа

Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом

Брест 2010

Содержание

Априорный выбор числа итераций в методе простых итераций с попеременно чередующимся шагом для уравнений I рода

Постановка задачи

Сходимость при точной правой части

Сходимость при приближенной правой части

Оценка погрешности

Априорный выбор числа итераций в методе простых итераций с попеременно чередующимся шагом для уравнений I рода

Как известно, погрешность метода простых итераций с постоянным или переменным шагом зависит от суммы итерационных шагов и притом так, что для сокращения числа итераций желательно, чтобы итерационные шаги были как можно большими. Однако на эти шаги накладываются ограничения сверху. Возникает идея попытаться ослабить эти ограничения. Это удаётся сделать, выбирая для шага два значения и попеременно, где уже не обязано удовлетворять прежним требованиям.

Постановка задачи

В гильбертовом пространстве решается уравнение I рода с положительным ограниченным самосопряжённым оператором , для которого нуль не является собственным значением. Используется итерационный метод

(4.1)

Предполагая существование единственного точного решения уравнения при точной правой части , ищем его приближение при приближенной правой части . В этом случае метод примет вид

(4.2)

Сходимость при точной правой части

Считаем . Тогда, воспользовавшись интегральным представлением самосопряжённого оператора, получим

Так как

Поэтому

Если , то

Если , то

при ,

То

Здесь - натуральные показатели, или . Потребуем, чтобы здесь и всюду ниже для , удовлетворяющих условию , для было

(4.3)

для любого , т.е. . Правое неравенство даёт . Так как , то

(4.4)

Левое неравенство даёт

.

Отсюда ,

(4.5)

Из (4.4) и (4.5), двигаясь в обратном порядке, легко получить (4.3). Следовательно, условие (4.3) равносильно совокупности условий (4.4) и (4.5). Из (4.4) и (4.5) получаем следствие:

(4.6)

Докажем сходимость процесса (4.1) при точной правой части. Справедлива следующая теорема.

Теорема: Итерационный процесс (4.1) при условиях , и (4.3) сходится в исходной норме гильбертова пространства.

Доказательство:

.

При условиях , и (4.3) второй интеграл сходится, так как

.

Здесь .

так как сильно стремится к нулю при . Таким образом, . Теорема доказана.

Сходимость при приближенной правой части

Докажем сходимость процесса (4.2) при приближенной правой части уравнения . Справедлива следующая теорема.

Теорема: При условиях , и (4.3) итерационный процесс (4.2) сходится, если выбирать число итераций из условия .

Доказательство: Рассмотрим

.

Оценим , где

Найдём на максимум подынтегральной функции

.

Так как

Если , то

Если , то

при ,

поэтому. Отсюда получим . Поскольку и , то для сходимости метода (4.2) достаточно потребовать, чтобы . Таким образом, достаточно, чтобы . Теорема доказана.

Оценка погрешности

Для оценки скорости сходимости предположим истокопредставимость точного решения, т.е. . Тогда

.

Для упрощения будем считать число чётным, т.е. и найдём оценку для . С этой целью оценим модуль подынтегральной функции

.

. Первый сомножитель для . Второй сомножитель для малых близок к единице, т.е. тоже положителен. Поэтому по крайней мере для всех , не превосходящих первой стационарной точки. Найдём стационарные точки функции .

.

Первые два сомножителя не равны нулю, в противном случае . Следовательно, - полное квадратное уравнение. Отсюда получим, что

- стационарные точки функции . Рассмотрим :

где

.

Имеем

,

так как первые два сомножителя при условии (4.3) положительны. Значит, - точка максимума функции . Оценим в точке .

Покажем, что

. (4.7)

Предположим, что (4.7) справедливо. Оно равносильно неравенству

,

которое, в свою очередь, равносильно такому

(4.8)

Возведение в квадрат обеих частей неравенства (4.8) даст эквивалентное неравенство, если левая часть неотрицательна. Установим, при каких это будет.

Очевидно, при , .

Будем считать и возведём обе части неравенства (4.8) в квадрат. После приведения подобных членов получим

или

,

т.е..

При последнее неравенство справедливо и, следовательно, в силу равносильности неравенств, справедливо неравенство (4.7). Отсюда

.

Оценим теперь . Покажем, что

, (4.9)

т.е. , т.е.

Преобразовав последнее неравенство, получим

После возведения обеих частей неравенства в квадрат и приведения подобных членов, получим очевидное неравенство

.

В силу равносильности неравенств справедливо неравенство (4.9), так что

.

Таким образом, для справедлива оценка

.

Оценим в точке

.

Сначала потребуем, чтобы , т.е.

.

Усилим неравенство

.

Отсюда . При , причём, при .Пусть , тогда при условии

(4.10)

имеем , т.е. . В противном случае , и оно нас не интересует. Оценим при условии (4.10) функцию .

Для этого сначала оценим , так как в точке функция . Найдем, при каких условиях выполняется неравенство

(4.11)

Подставив в (4.11), получим

что после упрощения даёт

Возведём обе части неравенства в квадрат, получим

1 случай:

2 случай:

Следовательно:

Очевидно, что при условии (4.5) это неравенство справедливо и, следовательно, справедливо (4.11). Итак, при условиях (4.5) и (4.10) справедлива оценка

.

На концах отрезка имеем . Таким образом, получим следующие оценки для :

1. в точке ;

2. в точке при условии (4.5) и (4.11) ;

3. в точке .

Найдём условия, при которых , т.е. . Это равносильно условию

. (4.12)

Таким образом, если выбирать и из условия (4.12), то .

Поскольку геометрическая прогрессия убывает быстрее, чем , то для достаточно больших . Поэтому для таких справедлива оценка .

Так как , то при условиях , (4.4), (4.5), (4.10) и (4.12) имеет место следующая оценка погрешности итерационного метода (4.2)

. (4.13)

Нетрудно видеть, что условие (4.12) сильнее условия (4.4). Для нахождения оптимальной по оценки погрешности производную по от правой части выражения (4.13) приравняем к нулю. Тогда оптимальная по оценка погрешности имеет вид

(4.14)

и получается при

. (4.15)

Итак, доказана

Теорема: При условиях , , , (4.10), (4.5), (4.12) оценка погрешности метода (4.2) имеет вид (4.13) при достаточно больших . При этих же условиях оптимальная оценка имеет вид(4.14) и получается при из (4.15).

Таким образом, оптимальная оценка метода (4.2) при неточности в правой части уравнения оказывается такой же, как и оценка для метода простых итераций. Как видно, метод (4.2) не дает преимущества в мажорантных оценках по сравнению с методом простых итераций. Но он дает выигрыш в следующем. В методе простых итераций с постоянным шагом (2) требуется условие , в этом же методе с переменным шагом допускается более широкий диапазон для больших . В методе (4.2) . Следовательно, выбирая и соответствующим образом, можно считать в методе (4.2) примерно втрое меньшим, чем для метода простых итераций с постоянным шагом, и вдвое меньшим, чем для того метода с переменным шагом. Таким образом, используя метод (4.2), для достижения оптимальной точности достаточно сделать итераций соответственно в три раза или два раза меньше. Приведем несколько подходящих значений , удовлетворяющих требуемым условиям:

б

0,8

0,9

1,0

1,1

1,15

1,17

1,3

в

4,4

5,0

5,5

6,1

6,4

6,5

4,1

Наибольшую сумму и, следовательно, наибольший выигрыш в объеме вычислений дают значения и . Поскольку в выделенном случае , то условие (4.6) показывает, что достигнут практически максимальный возможный выигрыш.

Замечание: Оценки сходимости были получены для случая, когда . В случае, когда , во всех оценках следует заменить на .

Замечание: Считаем, что . На самом деле все результаты легко переносятся на случай, когда .

Литература

1. В.Ф. Савчук, О.В. Матысик «Регуляризация операторных уравнений в гильбертовом пространстве», Брест, 2008, 195 стр.


Подобные документы

  • Априорный выбор числа итераций в методе простых с попеременно чередующимся шагом. Доказательство сходимости процесса в исходной норме гильбертова пространства. Оценка погрешности и решение неравенств. Случай неединственного решения с попеременной.

    дипломная работа [695,6 K], добавлен 17.02.2012

  • Исследование сущности и сфер применения метода итераций. Нелинейные уравнения. Разработка вычислительный алгоритм метода итераций. Геометрический смысл. Составление программы решения систем нелинейных уравнений методом итераций в среде Turbo Pascal.

    реферат [183,7 K], добавлен 11.04.2014

  • Решение нелинейных уравнений. Отделения корней уравнения графически. Метод хорд и Ньютона. Система линейных уравнений, прямые и итерационные методы решения. Нормы векторов и матриц. Метод простых итераций, его модификация. Понятие про критерий Сильвестра.

    курсовая работа [911,6 K], добавлен 15.08.2012

  • Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.

    лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014

  • Определение и анализ многошаговых методов, основы их построения, устойчивость и сходимость. Постановка задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса, значение квадратурных коэффициентов. Применение методов прогноза и коррекции.

    контрольная работа [320,8 K], добавлен 13.03.2013

  • Анализ особенностей разработки вычислительной программы. Общая характеристика метода простых итераций. Знакомство с основными способами решения нелинейного алгебраического уравнения. Рассмотрение этапов решения уравнения методом половинного деления.

    лабораторная работа [463,7 K], добавлен 28.06.2013

  • Смысл метода Ньютона для решения нелинейных уравнений. Доказательства его модификаций: секущих, хорд, ложного положения, Стеффенсена, уточненного для случая кратного корня, для системы двух уравнений. Оценка качества метода по числу необходимых итераций.

    реферат [99,0 K], добавлен 07.04.2015

  • Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета.

    курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011

  • Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.

    контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013

  • Методы хорд и итераций, правило Ньютона. Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Точечное квадратичное аппроксимирование функции. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

    курс лекций [871,5 K], добавлен 11.02.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.