Элементы алгебры и геометрии

Контрольная работа

«Элементы алгебры и геометрии»

Вариант 9



Задание № 19

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.

Найдем определитель матрицы А:

?(А) = =

= 2 • 1 •6 + (-3) (-2) •3 + 1 • 1 • (-2) - 1 • 1 • 3 - (-3) • 1 • 6 - 2 (-2) • (-2) =

= 12 + 18 - 2 - 3 + 18 - 8 = 48 - 13 = 35

?(А) = 35

Найдём ?₁, ?₂, ?₃

?₁ = =

= 3 • 1 • 6 + (-3) (-2) • 0 + 1 • 4 •(-2) - 0 •1 • 1 - 4 • (-3) • 6 - 3 (-2) (-2) =

= 18 + 0 - 8 - 0 + 72 - 12 = 90 - 20 = 70

?₂ (А) = =

= 2 • 4 • 6 + 3 • (-2) • 3 + 1 • 1 • 0 - 3 • 4 • 1 - 1 • 3 • 6 - 2 • 0 • (-2) =

= 48 - 18 + 0 - 12 -18 - 0 = 0

?₃ = =

= 2 • 1 • 0 + (-3) 4 • 3 + 3 • 1 •(-2) - 3 •1 • 3 - 1 • (-3) • 0 - 2 • (-2) 4 =

= 0 - 36 - 6 - 9 + 0 + 16 = - 20 - 15 = - 35

Найдем корни:

Ответ: 2; 0; -1

Задание № 40

Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить её, если она совместна.

Запишем матрицу А и найдем ранг матрицы А:

Поменяем местами первую и вторую строки:



Первую строку умножим на 3 и вычтем из неё вторую, первую умножим на 5 и вычтем из неё третью:

Вычтем из второй строки - третью:

Ранг матрицы

Запишем расширенную матрицу

Найдем определитель расширенной матрицы. Поменяем местами первую и вторую строки:

Умножим первую строку на 3 и вычтем из неё вторую, умножим первую строку на 5 и вычтем из неё третью:

Вычтем из второй строки третью:



Ранг расширенной матрицы

Ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы, значит система несовместна (не имеет решений).

Задание № 54

Даны координаты точек А (х₁;у₁) и В (х₂;у₂) и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат.

Требуется:

1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В;

2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса;

3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью;

4) построить эллипс и окружность.

Решение:

1. Общий вид канонического уравнения эллипса:

Подставим координаты точек А и В в общее уравнение:

Подставляем найденные переменные в общее уравнение эллипса:

2. Полуоси:

3. Точки пересечения данного эллипса с окружностью R=8, найдем решив систему уравнений:

Получили четыре точки пересечения эллипса с окружностью:

4.



Задание № 69

Дано: вершины пирамиды АВСD

1. Записать векторы в системе орт и найти их модули:

А (3; 3; -3); В (7; 7; -5); С (5; 14; -13); D (3; 5; -2).

= (7 - 3; 7 - 3; -5 + 3) = (4; 4; -2)$

;

= = 6;

= (5 - 3; 14 - 3; -13 + 3) = (2; 11; -10);

= 2i + 11j - 10k;

= 15;

= (3 - 3; 5 - 3; -2 + 3) = (0; 2; 1);

= =

2. Найти угол между векторами и :

3. Найти проекцию вектора на вектор :

Найти площадь грани АВС:

=

;

Найти объем пирамиды ABCD:

= =

Задание № 93

Даны координаты точек А, В, С, М:

А (5; 4; 1); В (-1; -2; -2); С (3; -2; 2); М (-5; 5; 4).

1.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С:

= 0;

= 0;

(x - 5)( - 6 - 18) - (y - 4)( - 6 - 6) + (z - 1)(36 - 12) = 0;

- 24(x - 5) + 12(y - 4) + 24(z - 1) = 0;

- 2(x - 5) + (y - 4) + 2(z - 1) = 0;

-2x + 10 + y - 4 + 2z - 2 = 0;

-2x + y + 2z + 4 = 0 - уравнение плоскости Q.

2.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q:

Подставим координаты точки М (-5; 5; 4) и коэффициенты общего уравнения плоскости Q (-2; 1; 2) в каноническое уравнение прямой:

3.Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, уОz, xOz: пусть

Где t - некоторый параметр, тогда уравнения прямой можно записать так:

Подставим данные выражения в уравнение плоскости Q и найдем параметр t:

Подставим значение параметра t в уравнения и найдем координаты точки пересечения:

Итак, координаты точки P, точки пересечения полученной во втором пункте прямой и плоскости Q: Р.

Р₁ - точка пересечения прямой с с хОу: z = 0;

P₁ (2,6; 1,2; 0).

P₂ - точка пересечения прямой с уОz: x = 0;

P₂ (0; 1,6; 2,8).

Р₃ - точка пересечения прямой с xOz: y = 0;

;

P₃ (0,5; 0; 1,5).

Найти расстояние от точки М до плоскости Q:

т.к. прямая МР перпендикулярна плоскости Q, точка Р принадлежит плоскости Q, то расстояние между точками М и Р и будет расстоянием от точки М до плоскости Q.



Производная и дифференциал

Задание № 114

Найти пределы:

Разложим на множители и числитель и знаменатель:

Задание № 135

Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х.

1. Найти точки разрыва функции, если они существуют.

Данная функция определена и непрерывна в интервалах ( При и меняется аналитическое выражение функции и только в этих точках функция может иметь разрывы.

Определим односторонние пределы в



Т.к. односторонние пределы в не совпадают, значит разрыв I рода.

Определим односторонние пределы в точке:

Т.к. односторонние пределы в точке совпадают, значит функция в точке непрерывна.

2. Найти скачок функции в точке разрыва:

точка разрыва

Задание № 198

Найти приближенное значение указанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций.

или

Задание № 156

Найти производные пользуясь формулами дифференцирования:



Задание №240

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления.

Начертить график.

План исследования:

1.найти область существования функции;

2.исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и её односторонние пределы в этих точках;

3. исследовать на четность, нечетность;

4. найти точки экстремума, интервалы возрастания, убывания функции;

5. найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости;

6.асимптоты, если они есть;

7. построить график.

Задание № 272

Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды с заданной боковой поверхностью . Каковы должны быть размеры палатки (сторона а и высота h) чтобы вместимость палатки была наибольшей.

Решение:

Вместимость палатки - это объем палатки. Объем правильной пирамиды находится по формуле где а - сторона квадрата (основание пирамиды), h - высота пирамиды.

Выразим высоту пирамиды через сторону квадрата: