Элементы высшей математики
Элементы линейной алгебры. Виды матриц и операции над ними. Свойства определителей матрицы и их вычисление. Решение систем линейных уравнений в матричной форме, по формулам Крамера и методу Гаусса. Элементы дифференциального и интегрального исчислений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.11.2011 |
| Размер файла | 1,5 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Комсомольский-на-Амуре политехнический техникум
Элементы высшей математики
Учебно-методическое пособие для студентов заочного отделения
Автор Ященко Л. А.
Заместитель директора по учебной работе
Косарева Н. И.
2005г.
Оглавление
- Введение
- 1. Элементы линейной алгебры
- 1.1 Матрицы, виды матриц
- 1.2 Операции над матрицами
- 1.2 Определители матрицы. Свойства определителей, их вычисление
- 1.3 Обратная матрица, вычисление обратных матриц второго и третьего порядков
- 1.4 Решение систем линейных уравнений в матричной форме
- 1.5 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
- 1.6 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- 2. Элементы дифференциального исчисления
- 2.1 Понятие производной функции
- 2.2 Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- 2.3 Производные элементарных функций
- 2.4 Производная сложной функции
- 2.5 Производные высших порядков
- 2.6 Приложение производной к исследованию функций
- Возрастание и убывание функции
- Максимум и минимум функций
- Выпуклость и вогнутость графика функций
- Полное исследование функций и построение графиков функций
- 3. Элементы интегрального исчисления
- 3.1 Понятия неопределенного интеграла, его свойства
- 3.2 Основные методы интегрирования
- Метод непосредственного интегрирования
- Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
- Метод интегрирования по частям
- 3.3 Понятие определенного интеграла
- 3.4 Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница
- 3.5 Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур
- Литература
Введение
Настоящее пособие предназначено студентам заочного отделения техникумов.
Пособие состоит из трех глав. В первой изучаются методы решения систем линейных уравнений с помощью матриц, определителей, во второй главе рассматривается понятие производной функции, приложения производной к исследованию функций и построению графиков функций, в третьей главе представлены методы вычисления неопределенных и определенных интегралов, задачи на вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
Так как пособие рассчитано на студентов - заочников, у которых имеется большой перерыв в учебе и утеряны основные навыки, то весь теоретический материал излагается ясным, доступным языком. Содержит большое количество разнообразных примеров и задач, расположенных по возрастающей степени трудности.
По материалу пособия составлены задачи и упражнения, эти задания могут быть использованы в качестве вариантов контрольной работы, позволяющие проверить усвоение знаний студентами. Для более глубокого изучения можно использовать пособия из списка литературы.
1. Элементы линейной алгебры
1.1 Матрицы, виды матриц
Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:
Для любого элемента первый индекс означает номер строки, а второй индекс номер столбца.
Диагональ называется главной.
Виды матриц
1. прямоугольная матрица, если число строк матрицы не равно числу столбцов (). Например,
2. квадратная матрица, если число строк матрицы равно числу столбцов ().
Например,
линейная алгебра дифференциальный интегральный
3. диагональная матрица - это квадратная матрица, у которой отличны от нуля элементы, находящиеся на главной диагонали. Например,
4. единичная матрица - это матрица квадратная, диагональная, у которой все числа главной диагонали равны 1. Например,
5. нулевая матрица - это матрица, все элементы которой равны нулю. Например,
6. если в матрице
переставить строки со столбцами, то получим транспонированную матрицу
7. матрица-строка - это матрица, которая содержит 1 строку и n столбцов. Например,
8. матрица-столбец - это матрица, которая содержит m строк и 1 столбец. Например,
1.2 Операции над матрицами
Суммой матриц А и В будем называть такую матриц, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые строение: или прямоугольные типа mn, или квадратные nn.
Примеры:
1) Дано:
,
Найти: А+В.
Решение:
2) Дано:
, .
Найти: А+В.
Решение:
Разность матриц выполняется аналогично, т.е. в результате вычитания двух матриц получается матрица элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц.
Пример:
Дано:
, . Найти: А-В.
Решение:
Произведение матрицы А на число k называется такая матрица, каждый элемент которой равен k•aij.
Пример:
1) Дано:
Найти: 3•А.
Решение: Умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим
2) Дано:
,
Найти: 2•А-В.
Решение: Найдем сначала 2•А
. Затем найдем
Определение: Произведением матрицы на матрицу называется матрица:
Итак, чтобы найти первый элемент новой матрицы с11, который расположен в первой строке и первом столбце, надо каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. а11 и а12) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. b11 и b21) и полученные произведения сложить: . Далее, чтобы найти элемент с12, расположенный в первой строке второго столбца, надо умножить все элементы первой строки матрицы А (т.е. а11 и а12) на соответствующие элементы второго столбца матрицы В (т.е. b12 и b22) и полученные произведения сложить: и т.д.
Пример:
Дано:
,
Найти: А•В.
Решение:
Правило умножения матриц распространяется на умножение прямоугольных матриц.
Справедливы следующие правила:
1) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
2) в результате умножения двух прямоугольных матриц получится матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.
Пример:
Дано:
,
Найти: А•В.
Решение:
Свойства умножения матриц:
А•В ? В•А
А• (В•С) = (А•В) •С
(А+В) •С = А•С+В•С
1.2 Определители матрицы. Свойства определителей, их вычисление
Пусть дана квадратная матрица второго порядка:
.
Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число . Обозначается
(определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.)
Пример:
1) Вычислить
Решение:
2) Упростить выражение
Решение:
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число
Определитель третьего порядка записывается так:
При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса). Это правило можно проиллюстрировать на схеме:
Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (а11•а22•а33) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (а12•а23•а31 и а21•а32•а13). Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали (а13•а22•а31) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (а12•а21•а33 и а11•а23•а32)
Пример:
Вычислить
Решение:
Свойства определителей
1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать)
Пример:
2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный
Пример:
,
3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя
Пример:
4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю
Пример:
5. Если все элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю
Пример:
6. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали
Минором Мij элемента аij определителя называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием i-строки и j-столбца.
Например, минор М12, соответствующий элементу а12 определителя
получается, если вычеркнуть из определителя первую строку и второй столбец, т.е.
Пример:
Дано:
Найти: М21, М32.
Решение:
,
Алгебраическим дополнением элемента аij определителя D называется минор Мij этого элемента, взятый со знаком (-1) i+j. Тогда
Пример:
Дано:
Найти: алгебраические дополнения А12, А23, А33.
Решение:
,
,
,
1.3 Обратная матрица, вычисление обратных матриц второго и третьего порядков
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
Если А - квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.
Обозначив обратную матрицу через А-1, запишем
Если обратная матрица А-1 существует, то матрица А называется обратимой.
Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.
Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А было невырожденной, т.е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.
При условии обратная матрица находится по формуле
Схема нахождения обратной матрицы:
1. Находят определитель D матрицы А.
2. Находят алгебраические дополнения всех элементов аij матрицы А и записывают новую матрицу из алгебраических дополнений
3. Транспонируют полученную матрицу (т.е. меняют, местами строки со столбцами)
4. Умножают полученную матрицу на число . Пример:
Дано: матрица
Найти: обратную матрицу А-1. Решение: А-1 (обратную матрицу) найдем по схеме
Т.к. , то данная матрица является невырожденной и, следовательно, существует обратная матрица
Найдем алгебраические дополнения каждого элемента:
,
,
,
Транспонируем эту матрицу, получим
Умножив полученную матрицу на число , т.е. на , получим
Можно выполнить проверку и убедиться, что
Пример:
Дано:
Найти: матрицу, обратную данной.
Решение:
Т.к. , матрица А невырожденная и, значит, можно найти А-1.
Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:
,,
,
,,
,
,,
Запишем новую матрицу
1. Транспонируем полученную матрицу:
2. Умножим полученную матрицу на
1.4 Решение систем линейных уравнений в матричной форме
Пусть дана система уравнений
Если обозначить матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных
свободные члены и неизвестные записать в виде матриц-столбцов
и
тогда, используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так:
илиА•Х = В
Это равенство называется простейшим матричным уравнением.
Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А невырожденная (), тогда существует обратная матрица А-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем
Используя сочетательный закон умножения, получим
Но так какА-1•А = ЕиЕ•Х = Х,
получим
Х = А-1•В
Т.к. систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, то эту систему можно решить как матричное уравнение.
Пример: Решить систему уравнений в матричной форме
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение. Составим матричное уравнениеА•Х = В, где
,,
и найдем Х по формуле Х = А-1•В
Для этого необходимо выполнить действия:
1. Найти А-1
2. Найти произведение
1) Чтобы найти А-1, надо выполнить четыре действия:
А11 = 3, А12 = - 6, А13 = 3, А21 = - 4, А22 = 2, А23 = - 1, А31 = 2, А32 = - 1, А33 = - 4
составим матрицу
а) транспонируем ее, получим
б) умножим на . Получим
2) Найдем Х = А-1•В
Итак, решение системы уравнений есть х1 = 4, х2 = 3, х3 = 5
Ответ: (4; 3;5)
1.5 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
Теорема. Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.
Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:
Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу А, из свободных членов - матрицу В, т.е.
,
Определитель матрицы А обозначим и назовем определителем системы.
Таким образом,
Пусть . Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при х1, х2,…хn на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных)
Тогда формулы Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными запишутся так:
,,…
Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:
1) и каждый определитель равен нулю. Это возможно только тогда. когда коэффициенты при неизвестных хi пропорциональны. Тогда система имеет бесчисленное множество решений.
2) и хотя бы один из определителей . Это возможно только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме хi, пропорциональны.
При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.
Примеры:
1) Решить систему уравнений по формулам Крамера
Решение:
Тогда
Ответ: (3; - 1)
2) Решить систему уравнений
Решение:
Т.к. , а , , то система не имеет решений
Ответ: решений нет.
3) Решить систему уравнений
Решение:
, ,
Коэффициенты при неизвестных пропорциональны, данная система имеет бесчисленное множество решений.
Ответ: бесчисленное множество решений.
4) Решить систему уравнений
Решение:
Тогда
Ответ: (1; - 1;2).
1.6 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Метод Гаусса - это метод последовательного исключения неизвестных. Он состоит в следующем:
1. систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом.
2. из полученной треугольной системы переменных находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход)
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
1) умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число,
2) сложение и вычитание уравнений,
3) перестановку уравнений системы,
4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.
Пример. Используя метод Гаусса, решить систему уравнений:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение. Переставим третье уравнение на место первого:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Запишем расширенную матрицу
В следующей матрице первую строку оставим неизменной, а вторую и третью строки получим в результате умножения первой строки на 3, а затем на 2 и вычитанием поочередно первой и второй, а затем первой и третьей строк.
Разделим вторую строку на 8
Домножим вторую строку на 3 и из нее вычтем третью строку
Получили треугольную матрицу. Прямой ход выполнили.
Обратный ход: последнюю строку матрицы запишем в виде уравнения.
Получим:
,
Предпоследнюю строку матрицы запишем в виде
и подставим вместо z найденной значение 3
И далее, из первого уравнения получим
Итак, получили x = 1, y = 2, z = 3
Ответ: (1; 2;3)
2. Элементы дифференциального исчисления
2.1 Понятие производной функции
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводи к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.
Пусть материальная точка М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние OM = S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т.е. S = S (t).
Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.
Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени ( - приращение времени) точка займет положение М1, где ( - приращение расстояния).
Таким образом, перемещение точки М за время будет
.
Отношение выражает среднюю скорость движения точки за время :
Средняя скорость зависит от значения : чем меньше , тем точнее средняя скорость выражает скорость движения токи в данный момент времени .
Предел средней скорости движения при называется мгновенной скоростью движения
Этот предел называют производной функции S (t) и обозначают:
Определение: Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Пример: Найти производную функции
Решение:
1) Аргументу х даем приращение ;
2) Находим :
3) Составляем отношение :
4) Находим предел отношения :
. Итак,
2.2 Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определению (т.е. с помощью теории пределов) связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Пусть функции и две дифференцируемые в некотором интервале функции.
Теорема 1. Производная суммы (разности) двух функции равна сумме (разности) производных этих функций:
Теорема 2. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:
Теорема 3. Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя
2.3 Производные элементарных функций
Примеры:
1) Найти производную функции
Решение:
2) Найти производную функции
Решение: воспользуемся формулой . Получим
3) Найти производную функции
Решение: воспользуемся формулой . Получим
2.4 Производная сложной функции
На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций.
Определение: Пусть и , тогда сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.
Производная сложной функции вычисляется по формуле
Пример: Найти производную функции
Решение: Воспользуемся формулой
Итак, производные сложных функций вычисляются по формулам:
Примеры:
1) Вычислить производную функции
Решение: Воспользуемся формулой
2) Вычислить производную функции
Решение: Запишем данную функцию в виде:
и воспользуемся формулой
.
Получим
далее применим формулу
3) Найти производную функции
Решение: Применим формулу . Получим
2.5 Производные высших порядков
Функция называется производной первого порядка.
Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка и обозначается .
Производная от второй производной есть производная третьего порядка и т.д.
Производная n-го порядка есть производная от производной (n - 1) - го порядка, . Производные высших порядков находят широкое применение в физике. Так, например, вторая производная от пути есть ускорение движущейся точки.
Пример: Найти производную третьего порядка для функции . Решение:
2.6 Приложение производной к исследованию функций
Возрастание и убывание функции
Определение: Возрастающей на данном промежутке называется функция, если при увеличении аргумента х увеличивается и значение у; убывающей, если при увеличении х значения у убывают.
Признаки возрастания и убывания
1. Если производная функции в данном промежутке значений х положительна, то функция возрастает в этом промежутке
2. Если производная функции отрицательна на данном промежутке, то функция убывает на данном промежутке.
Пример: Определить промежутки, на которых функция возрастает и убывает . Решение: Область определения функции . Найдем
Решим уравнение
Отметим эту точку на луче и выясним знак производной на каждом интервале:
Итак, на промежутке функция убывает, на промежутке функция возрастает.
Алгоритм исследования функции на монотонность (возрастание, убывание):
1. Найти
2. Решить уравнение и отметить на луче полученные точки
3. Выяснить знак производной функции на каждом полученном промежутке
4. Указать стрелками поведение функции, записать ответ.
Максимум и минимум функций
Определение: Точка х0 называется точкой максимума функции , если имеет место неравенство в некоторой окрестности точки х0 (и точкой минимума, если выполняется неравенство )
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в точках максимума и минимума называют максимумами или минимумами функций (экстремумами функции).
Теорема. (достаточное условие экстремума)
Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой - окрестности точки х0 и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с "+" на "-", х0 есть точка максимума; с "-" на "+", х0 - точка минимума.
Схема исследования функции на экстремум:
1. Находят производную
2. Находят все критические точки из области определения функции, решив уравнение
3. Устанавливают знак производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума
4. Вычисляют значения функции в каждой точке экстремума
Пример: Исследовать функцию на экстремум
Решение:
1)
2) ,
является точкой минимума, т.к. при переходе через эту точку производная меняет знак с "-" на "+".
3) Вычислим
Ответ: точка минимума
минимум
Выпуклость и вогнутость графика функций
Определение: Кривая называется выпуклой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной в точке . Кривая называется вогнутой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной в точке .
Теорема. (признак выпуклости, вогнутости)
Если на данном промежутке, то кривая вогнутая, а если то кривая выпуклая на данном промежутке.
Алгоритм нахождения интервалов выпуклости, вогнутости графика функций
1. Найти , .
2. Решить уравнение .
3. Отметить полученные точки на числовом луче и установить знак второй производной на каждом интервале.
4. Используя признак выпуклости, вогнутости кривой, сделать вывод.
Примеры:
1) Найти промежутки выпуклости, вогнутости графика функции
Решение:
,
Т.к. для любого x, то кривая вогнутая на всей области определения
Найти промежутки выпуклости, вогнутости кривой
Решение:
,
Решим уравнение
1. кривая вогнута, на промежутке выпуклая, вогнутая
Определение: Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.
В последнем примере точки и являются точками перегиба.
Полное исследование функций и построение графиков функций
Понятие производной, правила и формулы дифференциального исчисления широко применяются для исследования функций и построения графиков функций.
Схема исследования функций:
1. Найти область определения функции
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат
3. Выяснить особые свойства функции: четность, нечетность, периодичность
4. Найти интервалы монотонности функции
5. Найти экстремумы функции
6. Найти промежутки выпуклости, вогнутости графика с помощью второй производной
7. Найти точки перегиба
8. Дополнительные точка
9. На основании проведенного исследования построить график функции
Этот план исследования функции является примерным, можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. Пример: Исследовать функцию и построить ее график
Решение:
1. Область определения функции . Следовательно график состоит из трех частей: на интервалах , , .
2. Если , то . Значит график пересекает ось ОY в точке . Если то , . Значит график пересекает ось ОX в точке .
3. Функция является нечетной, т.к.
Следовательно, график симметричен относительно начала координат.
4. Найдем интервалы монотонности функции
Заметим, что при любых значениях х в области определения. Значит функция является возрастающей на каждом интервале области определения.
5. Т.к. уравнение не имеет решений , то функция не имеет экстремумов.
6. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость.
точка перегиба.
График изображен на рисунке
3. Элементы интегрального исчисления
3.1 Понятия неопределенного интеграла, его свойства
В этом разделе будем заниматься задачей, обратной к задаче нахождения производной.
Определение: Функция F (x) называется первообразной для функции f (x), если для всех х некоторого промежутка.
Например, функция является первообразной функции , т.к. . Функция также является первообразной функции , т.к. .
Поэтому, задача отыскания по данной функции f (x) ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если F (x) - первообразная функции f (x), т.е. , то функция , где С - произвольная постоянная, также является первообразной функции f (x), т.к. .
Определение: Множество всех первообразных функций f (x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается . Итак, , где .
Свойства неопределенного интеграла
, где .
Таблица основных неопределенных интегралов
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
3.2 Основные методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
Примеры:
1) Вычислить интеграл
2)
Решение: Применяя свойства 2 и 3 интеграла, получим,
Далее, используя формулы 7, 2, 1, 3, 13 таблицы интегралов, находим
Обычно все произвольные постоянные суммируют и обозначают одной буквой С. Правильность полученного результата легко проверить дифференцированием.
3) Вычислить интеграл
Решение: Интеграл табличный. Воспользуемся формулой 13, получим
Непосредственно вычислить интегралы с помощью таблицы на практике удается довольно редко.
Приходится предварительно подынтегральное выражение тождественно преобразовывать.
4) Вычислить интеграл
Решение:
Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его.
Т.к. , то
Получим два табличных интеграла, по формулам 10 и 11 находим
5) Вычислить интеграл
Решение:
Т.к. , то
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда и получаем формулу интегрирования подстановкой
Эта формула также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.
Примеры:
1) Вычислить интеграл
Решение:
2) Вычислить интеграл
Решение:
3) Вычислить интеграл
Решение:
4) Найти
Решение:
Метод интегрирования по частям
Пусть и - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда . Интегрируя это равенство получим формулу:
которая называется формулой интегрирования по частям.
Примеры:
1) Вычислить
Решение:
2) Вычислить
Решение:
3) Вычислить
Решение:
Основные рекомендации по применению формулы интегрирования по частям:
Если подынтегральная формула есть произведение полнома (т.е. многочлена) на экспоненту или тригонометрическую функцию, то в качестве выбирают полином, а все остальное относят к.
Заметим, что иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз
4) Вычислить
Решение:
3.3 Понятие определенного интеграла
Определение: Если - первообразная функция для , то приращение первообразных функций при изменении аргумента от до называется определенным интегралом и обозначается символом
, т.е.,
где a - нижний предел,
b - верхний предел определенного интеграла
Последняя формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
Все методы и свойства неопределенного интеграла применяются и при вычислении определенных интегралов.
3.4 Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница
Примеры:
1) Вычислить
Решение:
2) Вычислить
Решение:
3) Вычислить
Решение:
4) Вычислить
Решение:
5) Вычислить
Решение:
3.5 Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур
Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , , прямыми , и отрезком оси .
Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он равен площади криволинейной трапеции. Итак,
Рассмотрим основные типы задач на вычисление площадей плоских фигур
Примеры:
1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Решение: Построим данную фигуру и вычислим
(кв. ед.)
Ответ: (кв. ед.)
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и
Решение: Построим данную фигуру
Найдем точки пересечения параболы с :
,
,
, .
Найдем координаты вершины параболы ,
, . Итак, - вершина.
(кв. ед.). Ответ: (кв. ед.)
3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение: Построим сначала график функции с вершиной в точке и ветвями параболы, направленными вверх.
Затем построим график функции .
Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого решим уравнение
,
,
Из рассмотренных четырех типов задач на нахождение площадей плоских фигур, данная задача относится к третьему типу, следовательно
(кв. ед.)
Ответ: (кв. ед.)
Правила оформления и выполнения контрольной работы
1. Выбор задач для контрольной работы осуществляется в соответствии со следующей таблицей по варианту, число которого совпадает с последней цифрой номера студента по списку в журнале.
|
Вариант |
Номера задач, входящих в контрольную работу |
|||||
|
0 |
1 |
11 |
21 |
31 |
41 |
|
|
1 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
|
|
2 |
3 |
13 |
23 |
33 |
43 |
|
|
3 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
|
|
4 |
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
|
|
5 |
6 |
16 |
26 |
36 |
46 |
|
|
6 |
7 |
17 |
27 |
37 |
47 |
|
|
7 |
8 |
18 |
28 |
38 |
48 |
|
|
8 |
9 |
19 |
29 |
39 |
49 |
|
|
9 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
2. Контрольная работа оформляется в тонкой тетради в клетку черными чернилами, оставляются поля для замечаний проверяющего. На обложке тетради указать: фамилию, имя, отчество студента, наименование дисциплины, номер группы и специальность, название отделение.
3. Решение задач следует располагать в порядке следования номеров в контрольной работе, записывая полностью условие задачи.
4. Перед началом выполнения работы необходимо изучить теоретический материал, изложенный в пособии, внимательно прочитать подробные решения типовых примеров и задач.
5. Решение задач контрольной работы оформить аккуратно, подробно объясняя ход решения.
6. После получения проверенной работы следует исправить в ней отмеченные ошибки и недочеты. Работа над ошибками выполняется в этой же тетради.
Задачи для контрольной работы
1 - 10 Решить систему линейных уравнений тремя способами
1) методом матричного исчисления
2) по формулам Крамера
3) методом Гаусса.
11 - 20 Вычислить производные функции
21 - 30 Исследуйте функции и постройте их графики
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
31 - 40 Вычислить неопределенные интегралы
21. а) б)
22. а) б)
23. а) б)
24. а) б)
25. а) б)
26. а) б)
27. а) б)
28. а) б)
29. а) б)
30. а) б)
41 - 50 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
31. ,
32. ,
33. ,
34. , , ,
35. , , ,
36. , , ,
37. ,
38. ,
39. ,
40. и
Литература
1. В.С. Шипачев "Начала высшей математики" Пособие для вузов. - М.: Дрофа, 2002. - 384с.
2. И.Л. Зайцев "Элементы высшей математики" для техникумов - М.: Наука, 1972. - 416с.
3. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик "Математика" Учебное пособие для техникумов. - М.: Высш. шк., 1991. - 480с.
4. Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. I часть. - М.: Айрис-пресс, 2005. - 288с.
5. Математика для техникумов (под ред. Г.Н. Яковлева). - М.: Наука, 1987. - 464с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.
учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.
лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008Сравнительный анализ численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Вычисление определителей и обратных матриц. Реализация методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и решение задач на ЭВМ. Модификации метода Гаусса.
реферат [85,2 K], добавлен 04.03.2011Методика расчета скалярного произведения заданных векторов. Расчет определителей и рангов матриц, нахождение обратных матриц. Разрешение уравнений по методу Крамера, обратной матрицы, а также встроенной функции lsolve. Анализ полученных результатов.
лабораторная работа [86,8 K], добавлен 13.10.2014Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014Задачи и методы линейной алгебры. Свойства определителей и порядок их вычисления. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Разработка вычислительного алгоритма в программе Pascal ABC для вычисления определителей и нахождения обратной матрицы.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.02.2013Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010
