. (6.3)

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно воспользоваться следующей формулой:

. (6.4)

Пример 6. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Таблица 6.6

	2	3	5
	0,1	0,6	0,3

Решение. Математическое ожидание М(Х) равно:

.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

Таблица 6.7

	4	9	25
	0,1	0,6	0,3

Математическое ожидание равно:

.

Искомая дисперсия равна

.

Дисперсия, как и математическое ожидание, имеет несколько свойств.

Свойство 6.6. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

Доказательство. По определению дисперсии,

.

Пользуясь свойством 6.1, получим

.

Итак,

.

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния не имеет.

Свойство 6.7. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

Свойство 6.8. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Следствие 6.3. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 6.4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины:

.

Доказательство. Величины С и Х независимы, поэтому по свойству 6.8 имеем

.

В силу свойства 6.6 . Следовательно,

.

Свойство становится ясным, если учесть, что величины Х и Х + С отличаются лишь началом отсчета и, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

Свойство 6.9. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

Доказательство. В силу свойства 6.8 имеем

.

По свойству 6.7,

.

или

.

Свойство 6.10. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

.

Пример 7. ГНИ проводит 10 независимых проверок предприятий, в каждой из которых вероятность выявления ошибок в документации равна . Найти дисперсию случайной величины Х -- числа выявлений ошибок в документации в этих проверках.

Решение. По условию, , . Вероятность невыявления ошибок в документации равна

.

Искомая дисперсия равна

.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения служит также среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

. (6.5)

Пример 8. Cлучайная величина Х задана следующим законом распределения:

Таблица 6.8

	2	3	10
	0,1	0,4	0,5

Найти среднее квадратическое отклонение .

Решение. Математическое ожидание М(Х) равно:

.

Математическое ожидание равно:

.

Найдем дисперсию:

.

Искомое среднее квадратическое отклонение равно:

.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Что называется числовыми характеристиками случайной величины и какие их виды вы знаете?

2. Что такое математическое ожидание и как оно определяется?

3. Чему равно математическое ожидание числа появлений события в одном испытании и как оно находится?

4. Что вы знаете о 1- и 2-свойствах математического ожидания (свойства 6.1 и 6.2)?

5. Какие случайные величины называются независимыми и что является произведением независимых случайных величин?

6. Как определяется сумма случайных величин?

7. Что вы знаете о 3- и 4-свойствах математического ожидания, а также об их следствиях (свойства 6.3 и 6.4, следствия 6.1 и 6.2)?

8. В чем целесообразность введения других числовых характеристик случайной величины, кроме математического ожидания, и что такое отклонение случайной величины?

9. Что такое дисперсия и как она находится?

10. Что вы знаете о 1- и 2-свойствах дисперсии (свойства 6.6 и 6.7)?

11. Что вы знаете о 3-свойстве дисперсии и его следствиях (свойство 6.8, следствия 6.3 и 6.4)?

12. Что вы знаете о 4-свойстве дисперсии (свойство 6.9)?

13. Чему равны математическое ожидание и дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях (свойства 6.5 и 6.10)?

14. Что такое среднее квадратическое отклонение и как оно определяется?

Опорные слова:

Числовые характеристики случайной величины, математическое ожидание, независимые случайные величины, произведение независимых случайных величин, сумма случайных величин, отклонение случайной величины, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

7. Функции распределения и плотности непрерывных случайных величин, их свойства

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Однако такой способ задания неприменим для непрерывных случайных величин.

Например, рассмотрим случайную величину Х, возможные значения которой сплошь заполняют интервал . Очевидно, что невозможно составить перечень всех возможных значений Х. Поэтому целесообразно дать общий способ задания любых типов случайных величин, для чего вводятся функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х -- действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. вероятность события , обозначим через . Если х изменяется, то изменяется и , т.е. -- функция от х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция , определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

. (7.1)

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Теперь рассмотрим свойства функции распределения.

Свойство 7.1. Значения функции распределения принадлежат отрезку :

. (7.2)

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 7.2. -- неубывающая функция, т.е.:

, если . (7.3)

Следствие 7.1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

. (7.4)

Пример 1. Cлучайная величина Х задана следующей функцией распределения:

.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу :

.

Решение. Так как на интервале , по условию,

,

то

.

Итак,

.

Следствие 7.2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Свойство 7.3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то: 1) при ; 2) при .

Доказательство. 1) Пусть . Тогда событие невозможно (так как значений, меньших , величина Х по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть . Тогда событие достоверно (так как все возможные значения Х меньше ) и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие 7.3. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

; . (7.5)

График функции распределения непрерывной случайной величины в силу свойства 7.1 расположен в полосе, ограниченной прямыми , .

Из свойства 7.2 вытекает, что при возрастании х в интервале , в котором заключены все возможные значения случайной величины, график имеет вид либо наклона вверх, либо горизонтальный.

В силу свойства 7.3 при ординаты графика равны нулю; при ординаты графика равны единице.

График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис. 7.1.

Рис. 7.1.

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана следующим законом распределения:

Таблица 7.1

	1	4	8
	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и вычертить ее график.

Решение. Если , то по свойству 7.3 .

Если , то . Действительно, Х может принять значение 1 с вероятностью 0,3.

Если , то . Действительно, если удовлетворяет неравенству , то равно вероятности события , которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 1 с вероятностью 0,3 или значение 4 с вероятностью 0,1. Поскольку эти два события несовместны, то по теореме 3.1 вероятность события равна сумме вероятностей 0,3 + 0,1 = 0,4.

Если , то по свойству 7.3 .

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

.

График этой функции приведен на рис. 7.2.

Рис. 7.2.

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которая называется функцией плотности.

Функцией плотности непрерывной случайной величины Х называется функция -- первая производная от функции распределения :

. (7.6)

Отсюда следует, что функция распределения является первообразной для функции плотности. Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины функция плотности неприменима.

Зная функцию плотности, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема 7.1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от функции плотности, взятому в пределах от а до b:

. (7.7)

Доказательство. Из формулы (7.4) получаем

.

По формуле Ньютона-Лейбница

.

Таким образом,

.

Так как , то получаем

.

Пример 3. Задана функция плотности случайной величины Х:

.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Искомая вероятность по формуле (7.7) равна

.

Зная функцию плотности распределения , можно найти функцию распределения по формуле

. (7.8)

Пример 4. Найти функцию распределения по данной функции плотности:

.

Построить график найденной функции.

Решение. Воспользуемся формулой (7.8). Если , то , следовательно, . Если , то , следовательно,

.

Если , то

.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

.

График этой функции изображен на рис. 7.3.

Рис. 7.3.

Приведем два свойства функции плотности.

Свойство 7.4. Функция плотности -- неотрицательная функция:

. (7.9)

Доказательство. Функция распределения -- неубывающая функция, следовательно, ее производная -- функция неотрицательная.

Свойство 7.5. Несобственный интеграл от функции плотности распределения в пределах от до равен единице:

. (7.10)

Вопросы для повторения и контроля:

1. Почему целесообразно дать общий способ задания любых типов случайных величин?

2. Что называется функцией распределения случайной величины?

3. Что вы знаете о 1-свойстве функции распределения (свойство 7.1)?

4. Что вы знаете о 2-свойстве функции распределения и его следствиях (свойство 7.2, следствия 7.1 и 7.2)?

5. Что вы знаете о 3-свойстве функции распределения и его следствии (свойство 7.3 и следствие 7.3)?

6. Какими свойствами обладают графики функций распределения непрерывной и дискретной случайной величин?

7. Что называется функцией плотности непрерывной случайной величины и что вы знаете о теореме 7.1?

8. Как можно найти функцию распределения, зная функцию плотности распределения и что вы знаете о свойствах функции плотности (свойства 7.4 и 7.5)?

Опорные слова:

Функция распределения случайной величины, график функции распределения непрерывной случайной величины, график функции распределения дискретной случайной величины, функция плотности непрерывной случайной величины

8. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Виды непрерывных распределений

Как и дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины также имеют числовые характеристики. Рассмотрим математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины.

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности и возможные значения этой случайной величины принадлежат отрезку .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется следующий определенный интеграл

. (8.1)

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси Ох, то математическое ожидание имеет следующий вид

. (8.2)

Дисперсией непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется следующий определенный интеграл

. (8.3)

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси Ох, то дисперсия имеет следующий вид

. (8.4)

Для вычисления дисперсии более удобны соответственно следующие формулы

(8.5)

И

. (8.6)

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретной случайной величины, следующим равенством

. (8.7)

Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной следующей функцией распределения:

.

Решение. Найдем функцию плотности:

.

Найдем математическое ожидание по формуле (8.1):

.

Найдем дисперсию по формуле (8.5):

.

Найдем среднее квадратическое отклонение по формуле (8.7):

.

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Функции плотности непрерывных случайных величин называются также законами распределений. Наиболее часто встречаются законы нормального, равномерного и показательного распределений.

Нормальным распределением с параметрами и () называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается следующей функцией плотности

. (8.8)

Отсюда видно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

Отметим вероятностный смысл этих параметров. Итак, , т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру , и , т.е. среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

Функция распределения нормальной случайной величины имеет вид

. (8.9)

Общим называется нормальное распределение с произвольными параметрами и (). Стандартным называется нормальное распределение с параметрами и .

Легко заметить, что функция плотности стандартного нормального распределения имеет следующий вид

. (8.10)

Эта функция уже встречалась нам в теме № 4. Ее значения приведены в специальных таблицах в различной литературе по теории вероятностей и математической статистике.

Вероятность попадания нормальной случайной величины с произвольными параметрами и в интервал можно найти, пользуясь функцией Лапласа . Действительно, по теореме 7.1 имеем

.

Введем новую переменную . Отсюда , . Найдем новые пределы интегрирования. Если , то ; если , то .

Таким образом, имеем

.

Используя функцию , окончательно получим

. (8.11)

В частности, вероятность попадания стандартной нормальной случайной величины Х в интервал равна

, (8.12)

так как в этом случае и .

Пример 2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Воспользуемся формулой (8.11). По условию, , , , , следовательно,

.

По таблице находим . Отсюда искомая вероятность равна

.

Рис. 8.1.

График функции плотности нормального распределения называется нормальной кривой (кривой Гаусса). Этот график изображен на рис. 8.1.

Равномерным распределением на отрезке называется распределение вероятностей случайной величины Х, все возможные значения которой принадлежат этому отрезку, если ее функция плотности имеет вид

. (8.13)

Рис. 8.2.

Функция распределения равномерно распределенной на случайной величины имеет вид

. (8.14)

График функции плотности равномерного распределения приведен на рис. 8.2, а график функции распределения -- на рис. 7.3.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию равномерной случайной величины.

По формуле (8.1) имеем

.

Далее, по формуле (8.5) имеем

.

Теперь найдем вероятность попадания непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно на , в интервал , принадлежащий .

Используя теорему 7.1 и формулу (8.13), имеем

Или

. (8.15)

Показательным (экспоненциальным) распределением называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается функцией плотности

, (8.16)

где -- постоянная положительная величина.

Из определения видно, что показательное распределение определяется одним параметром . Найдем функцию распределения показательного закона:

.

Итак,

. (8.17)

Графики функций плотности и распределения показательного закона изображены на рис. 8.3.

Рис. 8.3.

Найдем вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, которая распределена по показательному закону из формулы (8.17). Используя формулу (7.4), имеем

Или

. (8.18)

Пример 3. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону

.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал .

Решение. По условию, . Воспользуемся формулой (8.18):

Отметим вероятностный смысл параметра показательного распределения. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны обратной величине параметра , т.е. и .

Пример 4. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону

.

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию случайной величины Х.

Решение. По условию, . Следовательно,

;

.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Что является математическим ожиданием непрерывной случайной величины?

2. Что является дисперсией непрерывной случайной величины и как она вычисляется?

3. Что называется нормальным распределением?

4. Каков вероятностный смысл параметров нормального распределения?

5. Что такое общее и стандартное нормальные распределения, каковы их функции плотности и распределения?

6. Как находится вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал?

7. Что называется равномерным распределением?

8. Как вычисляется математическое ожидание и дисперсия равномерной случайной величины?

9. Как находится вероятность попадания равномерной случайной величины в заданный интервал?

10. Что называется показательным распределением?

11. Как находится вероятность попадания показательной случайной величины в заданный интервал?

12. Каков вероятностный смысл параметра показательного распределения?

Опорные слова:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, дисперсия непрерывной случайной величины, закон распределения, нормальное распределение, общее нормальное распределение, стандартное нормальное распределение, вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал, нормальная кривая (кривая Гаусса), равномерное распределение, вероятность попадания равномерной случайной величины в заданный интервал, показательное распределение, вероятность попадания показательной случайной величины в заданный интервал.

9. Закон больших чисел и его практическое значение. Понятие о центральной предельной теореме

Как мы видели в предыдущих темах, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания, потому что это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Однако при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли.

Теоремы, относящиеся к закону больших чисел, устанавливают условия сходимости среднего арифметического п случайных величин к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Вначале приведем неравенство Чебышева, на которое опираются доказательства вышеназванных теорем.

Если известна дисперсия случайной величины, то с ее помощью можно оценить вероятность отклонения этой величины на заданное значение от своего математического ожидания, причем оценка вероятности отклонения зависит лишь от дисперсии. Соответствующую оценку вероятности дает неравенство П.Л.Чебышева:

, . (9.1)

Из этого неравенства в качестве следствия можно получить следующее неравенство

, . (9.2)

Пример 1. Оценить вероятность отклонения случайной величины Х от своего математического ожидания на величину, превышающую утроенное среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение. По условию, . Учитывая, что , из формулы (9.1) получаем

.

Теорема 9.1 (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть -- последовательность независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены сверху одним и тем же числом с: , .

Тогда для любого имеет место:

. (9.3)

Из этой теоремы вытекает справедливость закона больших чисел для среднего арифметического независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение вероятностей.

Следствие 9.1. Пусть -- последовательность независимых случайных величин, имеющих одно и то же математическое ожидание а, и дисперсии которых ограничены сверху одним и тем же числом с: , . Тогда для любого имеет место:

. (9.4)

Закон больших чисел для независимых случайных величин с одинаковым математическим ожиданием отражает сходимость среднего арифметического случайных величин в сериях независимых испытаний к общему математическому ожиданию этих случайных величин.

Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из этих величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они погашаются.

Закон больших чисел имеет многочисленные практические приложения. Пусть, например, производится п независимых измерений некоторой величины, истинное значение которой равно а. Результат каждого измерения является случайной величиной . Если измерения выполняются без систематической погрешности, то математическое ожидание случайных величин можно считать равным истинному значению измеряемой величины, , . Дисперсию результатов измерений часто можно считать ограниченной некоторым числом с.

Тогда случайные результаты измерений удовлетворяют условиям теоремы 9.1 и, следовательно, среднее арифметическое п измерений при большом числе измерений практически не может сильно отличаться от истинного значения измеряемой величины а. Этим обосновывается выбор среднего арифметического измерений в качестве истинного значения измеряемой величины.

Для относительной частоты успехов в независимых испытаниях справедлива следующая теорема.

Теорема 9.2 (закон больших чисел в форме Бернулли). Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то для числа успехов т в этих испытаниях при любом имеет место:

. (9.5)

Рассмотрим последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин . Пусть , , . Образуем последовательность , , центрированных и нормированных сумм случайных величин:

. (9.6)

Согласно центральной предельной теореме, при достаточно общих предположениях о законах распределения случайных величин последовательность функций распределения центрированных и нормированных сумм случайных величин при сходится для любых х к функции распределения стандартной нормальной случайной величины.

Теорема 9.3 (центральная предельная теорема). Пусть -- последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечную дисперсию , и пусть , . Тогда для любого имеет место:

. (9.7)

Вопросы для повторения и контроля:

1. О чем идет речь в теоремах, носящих общее название закона больших чисел?

2. Что вы знаете о неравенстве Чебышева?

3. Что утверждает закон больших чисел в форме Чебышева?

4. В чем сущность закона больших чисел и каково его практическое значение?

5. Что утверждает закон больших чисел в форме Бернулли?

6. О чем идет речь в центральной предельной теореме?

Опорные слова:

Закон больших чисел, неравенство Чебышева, последовательность независимых случайных величин, центрированная и нормированная сумма случайных величин, центральная предельная теорема.

10. Предмет и основные задачи математической статистики. Выборка

Основная цель при применении математической статистики состоит в получении выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений над ними или экспериментов. Эти статистические выводы относятся не к отдельным испытаниям, а представляют собой утверждения об общих характеристиках этого явления (вероятностях, законах распределения и их параметрах, математических ожиданиях и т.п.) в предположении постоянства условий, порождающих исследуемое явление.

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных -- результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики -- указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики -- разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования, таких, как:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Итак, предметом математической статистики является создание методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Математическая статистика опирается на теорию вероятностей, и ее цель -- оценить характеристики генеральной совокупности по выборочным данным.

Если требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого признака, характеризующего эти объекты, то естественным является проведение сплошного обследования, т.е. обследование каждого из объектов совокупности относительно этого признака. На практике, однако, проведение сплошного обследования по тем или иным причинам часто бывает невозможным. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Например, если все студенты Налоговой академии -- это генеральная совокупность, то студенты какой-либо группы являются выборкой.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности , а объем выборки .

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В зависимости от этого выборки подразделяются на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности, т.е. выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности в предположении, что все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

На практике применяются различные способы отбора. Существует отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части, например, простой случайный бесповторный отбор и простой случайный повторный отбор, а также применяется отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части (типический отбор, механический отбор, серийный отбор).

Простым случайным называется такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности. Если извлеченные объекты возвращаются в генеральную совокупность для участия в последующем отборе, то такой отбор будет простым случайным повторным, в противном случае -- простым случайным бесповторным. Например, если требуется определить среднемесячную зарплату по региону, то применяется простой случайный бесповторный отбор, так как зарплата одного и того же человека учитывается только один раз. Если же требуется определить половозрастной, социальный, образовательный состав различных комиссий в каком-либо районе, то отбор является простым случайным повторным, так как один и тот же работник может участвовать в различных комиссиях, и, следовательно, попасть в выборку несколько раз.

Типическим называется отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее "типической" части. Например, если детали изготовляются на нескольких станках, то отбор производится не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности.

Механическим называется отбор, при котором генеральная совкупность механически делится на столько примерно одинаковых по размеру групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирается объект с одним и тем же номером. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирается каждая пятая деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирается каждая двадцатая деталь и т.д. Иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки.

Серийным называется отбор, при котором объекты отбираются из генеральной совокупности не по одному, а "сериями", которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергается сплошному обследованию продукция только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Какие задачи стоят перед математической статистикой?

2. Какова цель применения математической статистики и в чем ее предмет?

3. Что такое выборочная совокупность (выборка), генеральная совокупность, объем совокупности?

4. Что называется повторной выборкой, бесповторной выборкой и репрезентативной выборкой?

5. Что представляет собой простой случайный отбор и типический отбор?

6. Что представляет собой механический отбор и серийный отбор?

Опорные слова:

Математическая статистика, оценка, проверка статистических гипотез, сбор и обработка статистических данных, выборочная совокупность, выборка, генеральная совокупность, объем совокупности, повторная выборка, бесповторная выборка, репрезентативная выборка, простой случайный бесповторный отбор, простой случайный повторный отбор, типический отбор, механический отбор, серийный отбор, комбинированный отбор.

11. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка. При этом пусть значение наблюдалось раз, -- раз, ... , -- раз и т.д.; является объемом выборки.

Наблюдаемые значения называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, -- вариационным рядом. Числа наблюдений называются частотами, а их отношения к объему выборки -- относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. В этом случае в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал. При этом сумма частот должна быть равна объему выборки, а сумма относительных частот -- единице.

В теории вероятностей под распределением понимается соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике -- соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (относительными частотами).

Пример 1. Задано распределение частот выборки объема :

Таблица 11.1

	3	5	10
	7	8	5

Написать распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

, , .

Напишем распределение относительных частот:

Таблица 11.2

	3	5	10
	0,35	0,4	0,25

Контроль:

0,35 + 0,4 + 0,25 = 1.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Обозначим через число наблюдений, при которых наблюдались значения признака, меньшие х, а через -- общее число наблюдений (объем выборки). Относительная частота события равна . При изменении x изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота есть функция от х.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция , определяющая для каждого значения х относительную частоту события , т.е.

, (11.1)

где -- число вариант, меньших х; -- объем выборки.

Функция называется эмпирической, потому что она находится эмпирическим (опытным) путем.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функция распределения генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события , а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события.

Из закона больших чисел в форме Бернулли (теорема 9.2) следует, что при больших относительная частота события , т.е. и вероятность этого же события мало отличаются одно от другого в том смысле, что

 при любом . (11.2)

С другой стороны, из определения функции вытекает, что она обладает всеми свойствами :

1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку ;

2) -- неубывающая функция;

3) если -- наименьшая варианта, то при ; если -- наибольшая варианта, то при .

Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической функции распределения генеральной совокупности. Другими словами, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Таблица 11.3

	1	4	8
	9	3	18

Решение. Найдем объем выборки: . Наименьшая варианта равна 1, следовательно,

при .

Значение , а именно , наблюдалось 9 раз, следовательно,

 при .

Значения , а именно и , наблюдались раз, следовательно,

при .

Так как наибольшая варианта равна 8, то

при .

Искомая эмпирическая функция имеет вид

.

График этой функции изображен на рис. 11.1.

Рис. 11.1.

Статистическое распределение графически можно изобразить различными способами, в частности, в виде полигона и гистограммы.

Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки , , ... , . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат -- соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки , , ..., . Полигон относительных частот строится аналогичным полигону частот образом. На рис. 11.2 изображен полигон относительных частот следующего распределения:

Таблица 11.4

	2	4	6	8
	0,1	0,5	0,25	0,15

Рис. 11.2.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивается на несколько частичных интервалов длиной и для каждого частичного интервала находится -- сумма частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс следует отложить частичные интервалы, а над ними провести отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна -- сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Таблица 11.5

Частичный интервал длиною h = 5	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
5 -- 10	4	0,8
10 -- 15	6	1,2
15 -- 20	16	3,2
20 -- 25	36	7,2
25 -- 30	24	4,8
30 -- 35	10	2,0
35 -- 40	4	0,8

На рис. 11.3 изображена гистограмма частот распределения, заданного в табл. 11.5.

Рис. 11.3.

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению . Гистограмма относительных частот строится аналогичным гистограмме частот образом.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна -- сумме относительных частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Что называется вариантами, вариационным рядом, частотами и относительными частотами?

2. Что такое статистическое распределение выборки и как оно задается, какова разница между распределением в теории вероятностей и распределением в математической статистике?

3. Что такое эмпирическая функция распределения и теоретическая функция распределения?

4. Какими свойствами обладает эмпирическая функция распределения?

5. В чем целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности?

6. Что называется полигоном частот и полигоном относительных частот, как они строятся?

7. Что такое гистограмма частот, как она строится и чему равна площадь гистограммы частот?

8. Что такое гистограмма относительных частот, как она строится и чему равна площадь гистограммы относительных частот?

Опорные слова:

Варианта, вариационный ряд, частота, относительная частота, статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения, теоретическая функция распределения, полигон частот, полигон относительных частот, гистограмма частот, площадь гистограммы частот, гистограмма относительных частот, площадь гистограммы относительных частот.

12. Статистическая оценка. Требования, предъявляемые к статистической оценке. Выборочное среднее и выборочная дисперсия

Теория статистического оценивания с точки зрения постановки задачи подразделяется на параметрические и непараметрические случаи.

Если требуется изучить количественный признак генеральной совокупности, то возникает задача оценки параметров, которыми определяется распределение этого признака. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (приближенно найти) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.

Обычно имеются лишь данные выборки, например, значения количественного признака , , ..., , полученные в результате наблюдений, причем эти наблюдения предполагаются независимыми. Через эти данные и выражается оцениваемый параметр. Рассматривая , , ..., как независимые случайные величины , , ... , , можно сказать, что нахождение статистической оценки неизвестного параметра теоретического распределения равносильно нахождению функции от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра. Например, для оценки математического ожидания нормального распределения служит функция , которая является средним арифметическим наблюдаемых значений признака.

Таким образом, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называется функция от наблюдаемых случайных величин, которая в определенном статистическом смысле близка к истинному значению этого параметра.

Важнейшими свойствами статистической оценки, определяющими ее близость к истинному значению оцениваемого параметра, являются свойства несмещенности, состоятельности и эффективности.

Пусть -- статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Многократно извлекая из генеральной совокупности выборки объема , можно получить оценки , , ... , , которые, вообще говоря, различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа , , ... , -- как ее возможные значения.

Если оценка дает приближенное значение с избытком, то каждое найденное по данным выборок число () больше истинного значения . Ясно, что в этом случае и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины больше, чем , т.е. . Очевидно, что если дает оценку с недостатком, то .

Отсюда видно, что использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приведет к систематическим ошибкам, которые являются неслучайными ошибками, искажающими результаты измерений в одну определенную сторону. По этой причине равенство математического ожидания оценки оцениваемому параметру хотя и не устраняет ошибок ввиду того, что одни значения больше, а другие меньше , однако гарантирует от получения систематических ошибок, так как ошибки разных знаков будут встречаться одинаково часто.

Статистическая оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е.

. (12.1)

Смещенной называется оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Однако несмещенная оценка необязательно каждый раз дает хорошее приближение оцениваемого параметра. Действительно, возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т.е. дисперсия может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка может оказаться весьма удаленной от среднего значения , а значит, и от самого оцениваемого параметра . Если же потребовать, чтобы дисперсия была малой, то возможность допустить большую ошибку будет исключена.

Статистическая оценка называется эффективной, если при заданном объеме выборки она имеет наименьшую возможную дисперсию.

Статистическая оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру , т.е. для любого

при . (12.2)

Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Пусть генеральная совокупность изучается относительно количественного признака Х.

Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения , , ... , признака генеральной совокупности объема различны, то генеральная средняя равна

. (12.3)

Если же значения признака , , ... , имеют соответственно частоты , , ... , , причем , то в этом случае генеральная средняя равна

. (12.4)

Если рассматривать обследуемый признак Х генеральной совокупности как случайную величину и сопоставлять формулы (12.3) и (12.4) с формулами (6.1) и (6.2), то можно сделать вывод, что математическое ожидание признака равно генеральной средней этого признака:

. (12.5)

Пусть теперь для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема .

Выборочной средней называется среднее арифметическое наблюдаемых значений признака выборочной совокупности.

Если все значения , , ... , признака выборки объема различны, то выборочная средняя равна

. (12.6)

Если же значения признака , , ... , имеют соответственно частоты , , ... , , причем , то в этом случае выборочная средняя равна

(12.7)

или

. (12.8)

Убедимся, что выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней, т.е. покажем, что математическое ожидание равно . Будем рассматривать как случайную величину и , , ... , как независимые, одинаково распределенные случайные величины. Поскольку эти величины одинаково распределены, то они имеют одинаковые числовые характеристики, в частности одинаковое математическое ожидание, которое равно математическому ожиданию признака Х генеральной совокупности.

На основании этого, используя свойство 6.2, следствие 6.2, а также формулы (12.5) и (12.6), получаем

. (12.9)

Используя следствие 9.1, легко показать, что выборочная средняя является и состоятельной оценкой генеральной средней.

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяния значений количественных признаков генеральной и выборочной совокупностей вокруг своих средних значений, вводятся сводные характеристики -- соответственно генеральная и выборочная дисперсии, а также средние квадратические отклонения.

Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Если все значения , , ... , признака генеральной совокупности объема различны, то генеральная дисперсия равна

. (12.10)

Если же значения признака , , ... , имеют соответственно частоты , , ... , , причем , то в этом случае генеральная дисперсия равна

. (12.11)

Генеральным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из генеральной дисперсии:

. (12.12)

Пример 1. Генеральная совокупность задана следующей таблицей распределения:

Таблица 12.1

	2	4	5	6
	8	9	10	3

Найти генеральную дисперсию и генеральное среднее квадратическое отклонение.

Решение. Найдем генеральную среднюю:

.

Найдем генеральную дисперсию:

.

Найдем генеральное среднее квадратическое отклонение:

.

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака выборочной совокупности от их среднего значения .

Если все значения , , ... , признака выборки объема различны, то выборочная дисперсия равна

. (12.13)

Если же значения признака , , ... , имеют соответственно частоты , , ... , , причем , то в этом случае выборочная дисперсия равна

. (12.14)

Выборочным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из генеральной дисперсии:

. (12.15)

Пример 2. Выборочная совокупность задана следующей таблицей распределения:

Таблица 12.2

	1	2	3	4
	20	15	10	5

Найти выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Решение. Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение:

.

Дисперсии удобнее вычислять, используя следующие формулы:

, (12.16)

, (12.17)

(12.18)

. (12.19)

Теперь пусть требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Выборочная дисперсия является смещенной оценкой , так как

. (12.20)

Если же в качестве оценки генеральной дисперсии принять исправленную дисперсию , которая получается путем умножения на дробь , то она будет несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно, учитывая (12.20), имеем

(12.21)

. (12.22)

Вопросы для повторения и контроля:

1. Что называется статистической оценкой неизвестного параметра и какими важнейшими свойствами она может обладать?

2. Что такое несмещенная оценка и чем обосновывается ее введение?

3. Что такое эффективная оценка и в чем необходимость ее ввода?

4. Что называется смещенной оценкой и состоятельной оценкой?

5. Что такое генеральная средняя и по каким формулам она вычисляется?

6. Что называется выборочной средней и по каким формулам она вычисляется?

7. Какой оценкой генеральной средней является выборочная средняя?

8. Что такое генеральная дисперсия и по каким формулам она вычисляется?

9. Что называется выборочной дисперсией и по каким формулам она вычисляется?

10. Что такое генеральное среднее квадратическое отклонение и выборочное среднее квадратическое отклонение, для чего они, а также генеральная и выборочная дисперсии вводятся?

11. По каким формулам удобнее вычислять дисперсии?

12. Что является несмещенной оценкой генеральной дисперсии?

Опорные слова:

Статистическая оценка неизвестного параметра, несмещенная оценка, смещенная оценка, эффективная оценка, состоятельная оценка, генеральная средняя, выборочная средняя, генеральная дисперсия, генеральное среднее квадратическое отклонение, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленная дисперсия.

13. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительные интервалы для неизвестных параметров нормального распределения

Имеется два способа оценки параметров: точечный и интервальный. Точечные методы указывают лишь точку, около которой находится неизвестный оцениваемый параметр. С помощью интервальных способов можно найти интервал, в котором с некоторой вероятностью находится неизвестное значение параметра.

Точечной называется оценка, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами -- концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Если и , то оценка тем точнее определяет параметр , чем меньше . Точность оценки характеризуется положительным числом .

Однако нельзя категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству . Статистические методы позволяют лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называется вероятность , с которой осуществляется неравенство , т.е.

. (13.1)

В качестве берется число, близкое к единице.

Из неравенства легко можно получить двойное неравенство

. (13.2)

Тогда соотношение (13.1) принимает следующий вид

. (13.3)

Это соотношение означает следующее: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Интервал называется доверительным интервалом, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней . Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр с надежностью .