Высшая математика
Теория вероятностей. Коэффициенты использования рабочего времени. Закон распределения случайной величины. Функция плотности. Математическое ожидание. Закон распределения с математическим ожиданием. Статистика. Доверительный интервал. Выборочная средняя.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 24.11.2008 |
Размер файла | 178,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
НОУ ВПО «С.И.Б.У.П.»
Контрольная работа
по дисциплине «Высшая математика»
Вариант 13.
Выполнила студентка
Проверил:
Красноярск, 2008г.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задание 1
Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время (вероятность: а) работы только одного комбайна; б) простоя обоих комбайнов.
А) Данное событие (работает только один комбайн) есть сумма 2 несовместных событий:
A = B + C,
где B: работает только 1-й (2-й простаивает); C: работает только 2-й (1-й простаивает). Каждое из этих событий есть произведение 2 независимых событий:
B = D;
C = E,
где D, E - события, состоящие в том, что 1-й и 2-й комбайны работают; , - противоположные им события, т.е. 1-й и 2-й комбайны не работают. Их вероятности:
P (D) = 0,8
P (E) = 0,6
P () = 1 - P (D) = 1 - 0,8 = 0,2
P () = 1 - P (E) = 1 - 0,6 = 0,4
По теоремам сложения и умножения вероятностей
P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P () + P () P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44
Б) Данное событие (оба комбайна простаивают) есть произведение 2 независимых событий:
F =
По теореме умножения вероятностей
P (F) = P () P () = 0,2 * 0,4 = 0,08
Задание 2
Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
Происходит n = 800 независимых испытаний, в каждом из которых данное событие (опоздание на поезд) происходит с вероятностью p = 0,01. Наиболее вероятное число наступлений события удовлетворяет неравенствам
np - q ? k < np + p,
где q = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99
800 * 0,01 - 0,99 ? k < 800 * 0,01 + 0,01
7,01 ? k < 8,01
k = 8
Так как n велико, p мала, соответствующую вероятность найдем по формуле Пуассона:
Pn (k) = ,
где a = np = 800 * 0,01 = 8
P800 (8) = = 0,140
Задание 3
На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и для второго.
X 0 1 2 Y 0 2
p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5
Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить ее график. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.
Величина Z может принимать значения:
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 2 = 3
2 + 0 = 2
2 + 2 = 4
Вероятности этих значений (по теоремам сложения и умножения вероятностей):
P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05
P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2
P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15
Закон распределения:
Z 0 1 2 3 4
p 0,05 0,3 0,2 0,3 0,15
Проверка:
? pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.
Функция распределения
F (x) = P (X < x) = =
Математические ожидания:
M (x) = ? xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = 1,2
M (y) = ? yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1
M (z) = ? zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = 2,2
M (z) = M (x) + M (y) = 1,2 + 1 = 2,2
Задание 4
Случайная величина X задана функцией распределения
F (x) =
Найти: 1) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1/3; 2/3); 2) функцию плотности распределения вероятностей f (x); 3) математическое ожидание случайной величины X; 4) построить графики F (x) и f (x).
1) Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна
P (a < X < b) = F (b) - F (a)
P (1/3 < X < 2/3) = F (2/3) - F (1/3) = (2/3)3 - (1/3)3 = 8/27 - 1/27 = 7/27
2) Функция плотности
f (x) = F`(x) =
3) Математическое ожидание
M (X) = = = = = ? (14 - 04) = ?
4) Графики:
Задание 5
Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием a = 26 и средним квадратическим отклонением у = 0,7. Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайной величины X - цены акции и построить ее график; б) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (25,2; 26,8); в) найти вероятность того, что абсолютная величина |X - 26| окажется меньше е = 0,5.
А) Функция плотности нормального распределения имеет вид
f (x) = = =
Б) Вероятность того, что нормальная величина примет значение из интервала (б; в), равна
P (б < X < в) = - = - = Ф (1,14) - Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747
Значения функции Лапласа Ф (x) = берем из таблиц.
В) Вероятность того, что отклонение нормальной величины от математического ожидания не превышает е, равна
P (|X - a| < е) =
P (|X - 26| < 0,5) = = 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 = 0,5222
СТАТИСТИКА
Задание 1
В задаче приведена выборка, извлеченная из соответствующей генеральной совокупности. Требуется: 1) по несгруппированным данным найти выборочную среднюю; 2) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности (генеральной средней), если признак X распределен по нормальному закону; известны г = 0,98 - надежность и у = 200 - среднее квадратическое отклонение; 3) составить интервальное распределение выборки с шагом h = 200, взяв за начало первого интервала x1 = 700; 4) построить гистограмму частот; 5) дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
Проведено выборочное обследования объема промышленного производства за 16 месяцев и получены следующие результаты (тыс. руб.):
750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550
1) Выборочная средняя
= = (750 + 950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200 + 1250 + 1250 + 1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1 тыс. руб.
2) Доверительный интервал
- < a < + ,
где Ф (t) = г / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По таблице функции Лапласа находим: t = 2,32.
1178,1 - < a < 1178,1 +
1178,1 - 116,3 < a < 1178,1 + 116,3
1061,8 < a < 1294,4 тыс. руб.
3) Подсчитаем границы интервалов:
x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 и т.д.
Подсчитаем частоты интервалов (т.е. количество значений объема производства, попавших в данный интервал). Интервальное распределение выборки:
Интервал |
Частоты |
|
(700; 900) |
1 |
|
(900; 1100) |
4 |
|
(1100; 1300) |
7 |
|
(1300; 1500) |
3 |
|
(1500; 1700) |
1 |
4) Гистограмма частот:
5) Экономическая интерпретация. Средний объем промышленного производства за 16 месяцев составил 1178,1 тыс. руб. С надежностью 0,98 можно утверждать, что средний объем производства находится в пределах от 1061,8 до 1294,4 тыс. руб. Наибольшее число месяцев (7) объем производства находился в интервале от 1100 до 1300 тыс. руб.
Задание 2
По корреляционной таблице требуется: 1) в прямоугольной системе координат построить эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y, сделать предположение о виде корреляционной связи; 2) оценить тесноту линейной корреляционной связи; 3) составить линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y, построить их графики в одной системе координат; 4) используя полученное уравнение, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при заданном x = 98. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
В таблице дано распределение 200 заводов по основным фондам X в млн. руб. и по готовой продукции Y в млн. руб.:
y\x |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
ny |
|
12 |
4 |
4 |
|||||||||
18 |
6 |
10 |
2 |
18 |
|||||||
24 |
8 |
13 |
1 |
1 |
23 |
||||||
30 |
4 |
7 |
9 |
3 |
4 |
2 |
29 |
||||
36 |
1 |
2 |
3 |
12 |
4 |
8 |
30 |
||||
42 |
1 |
3 |
18 |
24 |
1 |
47 |
|||||
48 |
7 |
12 |
3 |
22 |
|||||||
54 |
9 |
18 |
27 |
||||||||
nx |
10 |
23 |
24 |
14 |
19 |
26 |
41 |
22 |
21 |
n = 200 |
1) 1) Расчетная таблица:
X Y |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
ny |
yny |
y2 |
y2ny |
?xnxy |
Усл. ср. y |
|
12 |
4 |
4 |
48 |
144 |
576 |
80 |
20,0 |
|||||||||
18 |
6 |
10 |
2 |
18 |
324 |
324 |
5832 |
500 |
27,8 |
|||||||
24 |
8 |
13 |
1 |
1 |
23 |
552 |
576 |
13248 |
870 |
37,8 |
||||||
30 |
4 |
7 |
9 |
3 |
4 |
2 |
29 |
870 |
900 |
26100 |
1470 |
50,7 |
||||
36 |
1 |
2 |
3 |
12 |
4 |
8 |
30 |
1080 |
1296 |
38880 |
1900 |
63,3 |
||||
42 |
1 |
3 |
18 |
24 |
1 |
47 |
1974 |
1764 |
82908 |
3500 |
74,5 |
|||||
48 |
7 |
12 |
3 |
22 |
1056 |
2304 |
50688 |
1940 |
88,2 |
|||||||
54 |
9 |
18 |
27 |
1458 |
2916 |
78732 |
2610 |
96,7 |
||||||||
nx |
10 |
23 |
24 |
14 |
19 |
26 |
41 |
22 |
21 |
200 |
7362 |
296964 |
12870 |
|||
xnx |
200 |
690 |
960 |
700 |
1140 |
1820 |
3280 |
1980 |
2100 |
12870 |
||||||
x2 |
400 |
900 |
1600 |
2500 |
3600 |
4900 |
6400 |
8100 |
10000 |
|||||||
x2nx |
4000 |
20700 |
38400 |
35000 |
68400 |
127400 |
262400 |
178200 |
210000 |
944500 |
||||||
?ynxy |
156 |
528 |
630 |
444 |
672 |
1020 |
1692 |
1104 |
1116 |
7362 |
||||||
?xynxy |
3120 |
15840 |
25200 |
22200 |
40320 |
71400 |
135360 |
99360 |
111600 |
524400 |
||||||
Усл. ср. x |
15,6 |
23,0 |
26,3 |
31,7 |
35,4 |
39,2 |
41,3 |
50,2 |
53,1 |
Подсчитаем условные средние:
x = 20 = = (12 * 4 + 18 * 6) / 10 = 15,6 и т.д.
y = 12 = = 20 * 4 / 4 = 20,0 и т.д.
Эмпирические ломаные регрессии:
Эмпирические линии регрессии близки к прямым. Можно сделать предположение о линейном характере связи между величиной основных фондов и готовой продукцией.
2) Выборочные средние:
= = 12870 / 200 = 64,35
= = 7362 / 200 = 36,81
Выборочные средние квадратические отклонения
уx = = = 24,12
уy = = = 11,39
Выборочный коэффициент корреляции
r = = = 0,922
3) Уравнение линейной регрессии Y по X:
x - = r(x - )
x - 36,81 = 0,922 * (x - 64,35)
x = 0,435x + 8,786
Уравнение линейной регрессии X по Y:
y - = r( y - )
y - 64,35 = 0,922 * (y - 36,81)
y = 1,951y - 7,452
Графики:
4) Ожидаемое среднее значение Y при X = 98:
x = 98 = 0,435 * 98 + 8,786 = 51,5 млн. руб.
Экономическая интерпретация. Связь между величиной основных фондов и готовой продукций прямая и очень тесная: коэффициент корреляции положителен и близок к 1. При увеличении основных фондов на 1 млн. руб. готовая продукция возрастает в среднем на 0,435 млн. руб. При увеличении готовой продукции на 1 млн. руб. основные фонды возрастают в среднем на 1,951 млн. руб. При величине основных фондов 98 млн. руб. ожидаемое среднее значение готовой продукции 51,5 млн. руб.
Задание 3
Даны эмпирические значения случайной величины. Требуется: 1) выдвинуть гипотезу о виде распределения; 2) проверить гипотезу с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости б = 0,05. За значения параметров a и у принять среднюю выборочную и выборочное среднее квадратичное отклонение, вычисленные по эмпирическим данным.
В таблице дано распределение дохода от реализации некоторого товара:
8-12 |
12-16 |
16-20 |
20-24 |
24-28 |
28-32 |
|
6 |
11 |
25 |
13 |
4 |
1 |
1) Вычислим середины интервалов дохода:
xi = (8 + 12) / 2 = 10 и т.д.
Расчетная таблица:
№ |
xi |
ni |
xini |
xi - |
(xi - )2 |
(xi - )2 ni |
|
1 |
10 |
6 |
60 |
-8,067 |
65,071 |
390,4 |
|
2 |
14 |
11 |
154 |
-4,067 |
16,538 |
181,9 |
|
3 |
18 |
25 |
450 |
-0,067 |
0,004 |
0,1 |
|
4 |
22 |
13 |
286 |
3,933 |
15,471 |
201,1 |
|
5 |
26 |
4 |
104 |
7,933 |
62,938 |
251,8 |
|
6 |
30 |
1 |
30 |
11,933 |
142,404 |
142,4 |
|
Сумма |
60 |
1084 |
1167,7 |
Выборочное среднее
= = 1084 / 60 = 18,067
Выборочное среднее квадратическое отклонение
s = = = 4,412
Выдвигаем гипотезу о нормальном распределении.
2) Расчетная таблица для применения критерия Пирсона:
i |
xi |
Частоты ni |
ui = (xi - ) / s |
ц (ui) = |
Теорет. частоты ni` = nh ц (ui) / s |
ni - ni` |
(ni - ni`)2 |
(ni - ni`)2 / ni` |
|
1 |
10 |
6 |
-1,829 |
0,0750 |
4,1 |
1,9 |
3,7 |
0,9 |
|
2 |
14 |
11 |
-0,922 |
0,2609 |
14,2 |
-3,2 |
10,2 |
0,7 |
|
3 |
18 |
25 |
-0,015 |
0,3989 |
21,7 |
3,3 |
10,9 |
0,5 |
|
4 |
22 |
13 |
0,892 |
0,2681 |
14,6 |
-1,6 |
2,5 |
0,2 |
|
5 |
26 |
4 |
1,798 |
0,0792 |
4,3 |
-0,3 |
0,1 |
0,0 |
|
6 |
30 |
1 |
2,705 |
0,0103 |
0,6 |
0,4 |
0,2 |
0,3 |
|
Сумма |
60 |
59,4 |
2,7 |
Наблюдаемое значение
чн2 = ? (ni - ni`)2 / ni` = 2,7
Критическое значение (из таблиц при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы k = 6 - 3 = 3)
чкр2 = 7,8
Так как чн2 < чкр2, гипотезу о нормальном распределении принимаем.
Подобные документы
Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Среднее арифметическое (математическое ожидание). Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. Законы распределения. Построение гистограммы. Критерий Пирсона. Доверительный интервал.
курсовая работа [327,1 K], добавлен 29.03.2013Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013Функция распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей системы. Ковариация. Коэффициент корреляции.
лабораторная работа [52,3 K], добавлен 19.08.2002Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010Рассмотрение в теории вероятностей связи между средним арифметическим и математическим ожиданием. Основные формулы математического ожидания дискретного распределения, целочисленной величины, абсолютно непрерывного распределения и случайного вектора.
презентация [55,9 K], добавлен 01.11.2013Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010Теорема Бернулли на примере моделирования электросхемы. Моделирование случайной величины, имеющей закон распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону. Проверка критерием Х2: имеет ли данный массив закон распределения.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 31.05.2010Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
контрольная работа [86,4 K], добавлен 26.02.2012Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция.
реферат [244,6 K], добавлен 03.12.2007