Симметрические многочлены от трех переменных
Определение и примеры симметрических многочленов от трех и нескольких переменных. Решение систем уравнений с тремя неизвестными. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Разложение на множители. Основная теорема об антисимметрических многочленах.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.04.2012 |
| Размер файла | 303,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
g(x, y, z)=
нецелесообразно производить деление («в столбик») антисимметрического многочлена ?(x, y, z) на кубический многочлен T(x, y, z). Более удобным (когда степень многочлена ?(x, y, z) не слишком высока) является метод частных значений.
Именно, если антисимметрический многочлен ?(x, y, z) имеет третью степень, то частное
()
является многочленом нулевой степени, то есть числом:
?(x, y, z)=k·T(x, y, z).
Это соотношение является тождеством, то есть справедливо при любых значениях x, y, z. Поэтому для определения числа k достаточно в последнем равенстве придать x, y, z какие-либо (попарно различные) числовые значения; отсюда и определяется число k.
Если антисимметрический многочлен ?(x, y, z) является однородным многочленом четвертой степени, то частное () является однородным симметрическим многочленом первой степени, то есть имеет вид :
?(x, y, z)=T(x, y, z)·
(k - число). И здесь для определения неизвестного коэффициента k достаточно придать x, y, z какие-либо числовые значения.
Аналогично, если ?(x, y, z) - однородный антисимметрический многочлен пятой степени, то частное () является однородным симметрическим многочленом второй степени, то есть имеет вид , где k и l - неизвестные коэффициенты:
?(x, y, z)=T(x, y, z)·().
Для нахождения двух неизвестных коэффициентов k, l мы должны дважды придать x, y, z некоторые числовые значения.
Если ?(x, y, z) - однородный антисимметрический многочлен шестой степени, то
?(x, y, z)=T(x, y, z)·(),
и так далее
Рассмотрим примеры.
1. разложить на множители антисимметрический многочлен
это многочлен третьей степени, следовательно ?(x, y, z)=k·T(x, y, z).
=.
Чтобы найти коэффициент k, положим x=-1, y=0, z=1
2=(-2)k, k=-1
Таким образом,
==
2. разложить на множители антисимметрический многочлен
это многочлен четвертой степени, следовательно ?(x, y, z)=T(x, y, z)·.
==.
Полагая x=0, y=1, z=2
-6=(-6)k, k=1
=.
Упрощение алгебраических выражений
Приемы разложения на множители, рассмотренные в предыдущем пункте, удобно применять также и при решении некоторых других алгебраических задач. Например, эти приемы с успехом применяются для доказательства тождеств, в левой и правой части которых стоят антисимметрические многочлены. Точно так же, если в числителе и знаменателе дроби стоят антисимметрические многочлены от трех переменных, то дробь заведомо может быть сокращена на T(x, y, z). Рассмотрим примеры.
1. упростить выражение
Приведем к общему знаменателю, получим:
.
Числитель является антисимметрическим многочленом третьей степени и потому пропорционален многочлену T(a, b, c)=(a-b)(a-c)(b-c), то есть
=
чтобы найти k положим a=0, b=1, c=2. Мы получим, что k=1, а потому
=
==0.
Разложение симметрических многочленов от трех переменных на множители
В случае трех переменных симметрия многочлена значительно облегчает отыскание его разложения на множители. В это разложение могут входить симметрические и несимметрические множители. При этом, если в разложение входит несимметричный множитель h(x, y, z), то, в силу симметрии, разлагаемого многочлена, должны входить и все множители, получаемые из h(x, y, z) перестановкой переменных x, y, z.
Как мы уже знаем переменные x, y, z можно переставлять шестью различными способами. Поэтому, вообще говоря, вместе с несимметричным множителем h(x, y, z) должны входить еще пять множителей. Однако, если сам множитель h(x, y, z) имеет частичную симметрию, то число добавочных множителей уменьшается. Так, если множитель h(x, y, z) симметричен относительно x и y, то есть удовлетворяет условию
h(x, y, z)=h(y, x, z),
то при перестановках переменных x, y, z получается еще два отличающихся от него множителя h(y, z, x) и h(z, x, y,). (Они получаются с помощью циклических перестановок.) Если же многочлен h(x, y, z) четно-симметричен, то есть обладает тем свойством, что
h(x, y, z)=h(y, z, x)=h(z, x, y,),
то в разложении с ним связан лишь один множитель h(y, x, z).
Итак, в разложении на множители симметрического многочлена ?(x, y, z) могут входить следующие виды сомножителей:
1. симметричные множители h(x, y, z);
2. произведения вида h(x, y, z)·h(y, x, z),·где h(x, y, z) - многочлен, не меняющийся при четных перестановках;
3. произведения вида h(x, y, z)·h(y, z, x)·h(z, x, y,), где h(x, y, z) - многочлен, симметричный относительно x и y;
4. произведения вида h(x, y, z)·h(y, z, x)·h(z, x, y,)·h(y, x, z)·h(x, z, y)·h(z, y, x,)
где h(x, y, z) - многочлен, не обладающий симметрией.
Покажем теперь, как сделанные замечания позволяют разлагать симметрические многочлены на множители. Разложение на симметричные множители мы уже рассматривали. После того как многочлен разложен на симметричные множители, надо разлагать далее (пользуясь сделанными замечаниями) сами эти множители.
Рассмотрим пример.
1. Разложить на множители многочлен
.
Указанный многочлен имеет вид и потому на симметричные множители не разлагается. Следовательно, остается возможность разложить его на три множителя первой степени, причем эти множители должны быть симметричными относительно двух переменных. Иначе говоря, разложение надо искать в виде
=()
где k, l - искомые коэффициенты. Полагая в равенстве () a=b=c=1, получаем , откуда . Далее, при a=b=0, c=1 получаем , то есть одно из чисел k, l равно нулю. Наконец, при a=1, b=1, c=0 находим , откуда видно, что k. Следовательно, l=0, k=. Мы получаем, таким образом, разложение
=.
Если теперь из каждой скобки вынести , то мы получим:
=
Симметрические многочлены от нескольких переменных
Элементарные симметрические многочлены от нескольких переменных
Перейдем теперь к изучению симметрических многочленов от любого числа переменных. Основные их свойства видны уже на разобранном выше частном случае симметрического многочлена от трех переменных. Но некоторые усложнения при переходе к большему числу переменных все же возникают.
Определение симметрических многочленов в случае нескольких переменных формулируется точно так же, как и в случае трех переменных: многочлен ?(x1, x2,…, xn) от n переменных x1, x2,…, xn называется симметрическим, если он не меняется ни при какой перестановке переменных. Можно это определение сформулировать по-другому: многочлен ?(x1, x2,…, xn)называется симметрическим, если он не меняется ни при какой перестановке переменных x1, x2,…, xn. Иными словами,
?(x1, x2,…, xn)=?(),
где i1, i2,…, in - это те же числа 1, 2,…,n, но расположенные в любом другом порядке.
Большинство понятий, введенных в случае симметрических переменных от трех переменных таким же точно образом определяются и в общем случае. Например, степенной суммой степени k от n переменных x1, x2,…, xn, называют выражение
sk=x1k+x2k+…+xnk.
Далее, орбитой одночлена называют сумму всех одночленов, получаемых из перестановками переменных. Например, в случае n=4, то есть в случае четырех переменных x1, x2, x3, x4 имеем:
0(x12x23)=x12x23+x12x33+x12x43+x22x13+x22x33+x22x43+x32x13+x32x23+
+x32x43+x42x13+x42x23+x42x33.
В частности,
sk=0(x1k).
Для дальнейшего полезно следующее замечание: чтобы получить орбиту одночлена , можно переставлять не буквы x1, x2,…, xn, а показатели . Конечно, при этом в записи одночлена надо указать и не входящие в него буквы (с нулевыми показателями). Например, одночлен x12x23, орбиту которого мы выше выписывали, следует записать в виде x12x23x30x40 и затем уже производить всевозможные перестановки показателей.
Кроме того, отметим, что орбита одночлена порождается любым из входящих в нее одночленов:
0(x14x22x30)=0(x10x24x32)=0(x12x20x34) и так далее
Несколько сложнее определяются элементарные симметрические многочлены. Чтобы ввести соответствующее определение, вспомним, как определялись эти многочлены в случае трех переменных. Мы имели в этом случае три многочлена:
Первый из них является суммой всех переменных x1, x2, x3, то есть орбитой одночлена x1:
=0(x1).
Второй многочлен получается из одночлена x1x2 путем всевозможных перестановок переменных и суммирования полученных результатов. Иными словами, он является орбитой одночлена x1x2:
=0(x1x2).
Наконец, является орбитой одночлена x1x2x3 (в данном случае эта орбита состоит из одного слагаемого).
По аналогии положим для случая нескольких переменных:
=0(x1),
=0(x1x2),
………………
=0(x1x2…xk),
………………
=0(x1x2…xn).
Из этой записи видно, что число элементарных симметрических многочленов равно числу переменных.
В развернутом виде многочлены , ,…, выглядят следующим образом. Первый из них есть просто сумма всех n переменных:
=x1+x2+…+xn.
Второй многочлен есть сумма всех произведений переменных, взятых по два (при этом в произведениях сомножители располагаются в порядке возрастания значков). Таким образом,
=x1x2+x1x3+…+x1xn+x2x3+…+x2xn+…+xn-1xn,
или, короче
(знак обозначает сумму; внизу указано, что i и j меняются от 1 до n, причем в каждом произведении).
Точно так же третий многочлен получается, если перемножить переменные по три (так, чтобы в каждом произведении значки увеличились) и сложить получившиеся произведения. Таким образом,
.
Вообще k - й многочлен имеет вид
Наконец, последний многочлен равен произведению всех переменных:
=x1x2…xn.
Ясно, что k - й многочлен является однородным и имеет степень k относительно переменных x1, x2,…, xn.
Пример. Если n=4, то простейшие симметрические многочлены имеют вид
Число слагаемых в элементарном симметрическом многочлене степени k от n переменных равно числу сочетаний из n по k, то есть равно
Основная теорема о симметрических многочленах от нескольких переменных
Точно так же как и в случае трех переменных, любой симметрический многочлен от n переменных можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов , ,…, . Точнее говоря, имеем следующее утверждение.
Пусть ?(x1, x2,…, xn) - симметрический многочлен от n переменных. Тогда существует такой многочлен , что если подставить в него вместо , ,…, их выражения через x1, x2,…, xn, то есть
то получится многочлен, тождественно равный ?(x1, x2,…, xn). Многочлен , обладающий указанным свойством, существует только один.
Эта теорема доказывается примерно так же, как и в случае многочленов от трех переменных, но с некоторыми усложнениями, вызванными увеличением числа переменных.
Именно, сначала доказывают, что любая степенная сумма может быть выражена через элементарные симметрические многочлены. После этого доказывают, что орбита любого одночлена, содержащего k переменных, выражается через орбиты одночленов от меньшего числа переменных и, в конце концов, - через степенные суммы. Наконец, любой симметрический многочлен от n переменных разлагают на орбиты одночленов. Однако при проведении такого доказательства неудобно использовать те орбиты, которые были определены выше, а следует применять полные орбиты. Именно, если в одночлене все показатели k1, k2,…, kn различны, то орбита 0() содержит n! членов, получающихся из рассмотренного одночлена всевозможными перестановками переменных x1,x2,…,xn. Выпишем это выражение орбиты 0() и назовем его полной орбитой одночлена . Полную орбиту 0П() мы будем рассматривать не только в случае различных показателей k1, k2,…, kn (когда она совпадает с обычной орбитой), но и в случае любых показателей. В любом случае полная орбита 0П() отличается от обычной орбиты 0() лишь числовым множителем, который легко найти, зная, что при любых показателях k1, k2,…, kn сумма коэффициентов в полной орбите равна n!. Именно, если среди показателей k1, k2,…, kn имеется n1 совпадающих между собой, затем n2 совпадающих показателей, отличных от первых, и так далее, вплоть до последней группы nl равных между собой показателей, то
0П()=n1!n2!...nl!0().
Мы не будем давать детального доказательства теоремы. Укажем те основные формулы, которые используются в этом доказательстве:
(9)
(в этой формуле слагаемые , у которых i>n, считаются равными нулю),
0П(x1kx2l)=(n-2)!(sksl-sk+l),
(n-2)0П(x1kx2lx3m)=0П(x1kx2l)sm-0П(x1k+mx2l)-0П(x1kx2l+m)
и так далее
Вообще, для любых показателей k1,…, kr+1 справедливо соотношение
(n-r)0П()=0П()-=0П()-
-0П()-…-0П().
Выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены
Формула (9) дает возможность последовательно, одну за другой, вычислять степенные суммы sk точно так же, как и в случае многочленов от двух или трех переменных. Формула эта справедлива для любого числа переменных; надо только помнить, что если рассматриваются многочлены от n переменных, то в формуле (9) должны быть вычеркнуты все члены, содержащие выражения с индексами i, большими чем n. Благодаря такому соглашению мы можем последовательно вычислять степенные суммы sk, и получающиеся формулы годятся для многочленов от любого числа переменных. Именно, выпишем соотношение (9) для значений k=1, 2,…:
s1=1·;
s2=
s3=;
s4=
s5=;
s6=;
Из этих формул мы последовательно находим значения степенных сумм:
s1=;
s2=;
s3=;
s4=;
s5=;
s6=;
Как и формула (9), эти выражения степенных сумм справедливы для любого числа переменных; надо только помнить, что если рассматриваются многочлены от n переменных, то в этих соотношениях должны быть вычеркнуты все члены, содержащие обозначения с индексами i, большими чем n. Например, если в этих формулах вычеркнуть все члены, содержащие , , ,…, то мы получим выражения степенных сумм от трех переменных, то есть получим формулы, приведенные в таблице 1. Если же мы вычеркнем еще и члены, содержащие , то получим выражения степенных сумм от двух переменных и так далее
Формула Варинга также может быть написана для выражения степенных сумм от любого числа переменных.
Она имеет вид
;
суммирование здесь распространено на все наборы неотрицательных целых чисел, удовлетворяющие условию
,
а символу 0!, если он встречается, приписывается значение 1. доказательство формулы Варинга проводится методом математической индукции на основании соотношения (9).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я.
Б79 Симметрия в алгебре. - 2-е изд. - М.: МЦНМО, 2002. - 240с. - ISBN 5-94057-041-0.
2. Курош А.Г.
К93 Курс высшей алгебры. - 11-е изд. - М.: Наука, 1975. - 431с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.
презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013Теория инвариантов уравнения линии второго порядка от трех переменных, определение канонического уравнения. Общий пример решения задачи на определение вида и расположения поверхности, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 02.06.2013Решение систем уравнений методом Гаусса, с помощью формул Крамера. Построение пространства решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными с указанием базиса. Определение размерности пространства решений неоднородной системы.
контрольная работа [193,5 K], добавлен 28.03.2014Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей. Исследование системы на совместность, составление канонического уравнения эллипса. Изучение функции методами дифференциального исчисления, поиск точки разрыва функции.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 16.04.2010Нахождение длины ребер, углов между ними, площадей граней и объема пирамиды по координатам вершин пирамиды. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, средствами матричного исчисления. Уравнение кривой второго порядка.
контрольная работа [330,3 K], добавлен 01.05.2012Основы теории многочленов от одной переменной. Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева. Основные теоремы о многочленах Чебышева. Формальная производная многочлена. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 04.07.2015Многочлен как сумма или разность одночленов. Запись многочлена в стандартном виде. Операции при сложении и вычитании многочленов. Умножение многочлена на одночлен. Деление многочлена на одночлен. Разложение многочлена на множители, метод группировки.
презентация [53,2 K], добавлен 26.02.2010
