Перевірка статистичних гіпотез про істотність розбіжностей між дисперсіями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство аграрної політики та продовольства України

Кафедра статистики і економічного аналізу

Реферат

Перевірка статистичних гіпотез про істотність розбіжностей між дисперсіями

Виконав:

студент 1 курсу 1 групи

факультету обліку і фінансів

спеціальності “облік і аудит”

Харків - 2012



Зміст

Вступ

1. Статистичні гіпотези. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези

2. Критична область. Загальна методика побудови критичних областей

3. Перевірка правдивості статистичних гіпотез про рівність двох генеральних середніх

4. Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу генеральної сукупності. Критерій узгодженості Пірсона

Висновок

Список використаної літератури



Вступ

У практичній і науковій діяльності часто доводиться на підставі результатів обстежень перевіряти різні припущення про характеристики масових явищ. Так, при заміні одного сорту якої-небудь сільськогосподарської культури іншим слід перевірити припущення про те, що інший сорт порівняно з першим має вищу урожайність. При впровадженні нових форм організації праці виникає потреба у перевірці припущення про їх вищу ефективність порівняно з існуючими формами. Перевірку таких припущень на підставі даних вибіркового спостереження називають статистичною перевіркою гіпотез.

У соціально-економічних і сільськогосподарських дослідженнях оцінку істотності розбіжностей між дисперсіями використовують при розв'язанні питань, пов'язаних з вивченням варіації ознак, надійності взаємозв'зку між факторами тощо.



1. Статистичні гіпотези. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези

На практиці часто приходиться на основі результатів випробувань (вибірки) знати закон розподілу генеральної сукупності. Якщо закон розподілу невідомий, але є підстава вважати, що він має певний вигляд (наприклад назвемо його R), то висувають гіпотезу: генеральна сукупність розподілена за законом R, тобто в цій гіпотезі мова йтиме про вигляд передбаченого розподілу.

Можливі випадки, коли закон розподілу відомий, але його параметри невідомі. Якщо є підстава припустити, що його невідомий параметр а рівний певному значенню а₀ , то висувають гіпотезу: а= а₀; в цьому випадку гіпотеза припускає оцінку параметру конкретного розподілу.

Можливі й інші гіпотези: про рівність параметрів двох чи декількох розподілів, про незалежність вибірок, про значимість вибіркового коефіцієнта кореляції тощо.

Статистичною називають гіпотезу про вигляд невідомого розподілу або про параметри невідомих розподілів. Наприклад, статистичними є гіпотези:

1) генеральна сукупність розподілена за нормальним законом;

2) коефіцієнт кореляції генеральної сукупності системи (х, у), розподіленої нормально, відмінний від нуля.

Перевірку гіпотез на основі вибіркових статистичних даних називають статистичною перевіркою гіпотез.

Одну з висунутих гіпотез виділяють в ролі основної і позначають, як правило Н₀ (нульова), поряд з нею висувають альтернативну (конкуруючу) гіпотезу, яка суперечить основній і позначають Н₁.

Наприклад, якщо нульова гіпотеза полягає в припущенні, що математичне сподівання певного розподілу m_x рівне 5, то альтернативна гіпотеза, зокрема, може полягати в тому, що m_x № 5. Коротко це записують так:

Н₀: m_x = 5; Н₁: m_x№ 5.

Розрізняють також гіпотези за кількістю припущень. Простою називається гіпотеза, що має лише одне припущення, інакше гіпотеза є складною, тобто складається зі скінченного чи нескінченного числа простих гіпотез.

Наприклад. Якщо - параметр показникового розподілу, то гіпотеза Н₀: = 2 - проста. Якщо ж гіпотеза Н₀: > 5, то складна, бо складається з нескінченної множини простих гіпотез: Н₁: = а_і, де а_і - довільне число, більше l.

Очевидно, що на основі статистичних даних дуже важко, іноді і неможливо, робити безпомилкові висновки щодо гіпотез. В підсумку може бути прийняте неправильне рішення, тобто можуть бути допущені помилки двох родів.

Помилка першого роду полягає в тому, що буде відхилена правильна гіпотеза.

Помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнята неправильна гіпотеза.

Правильне рішення може бути прийняте також у двох випадках:

а) гіпотеза приймається, причому і в дійсності вона правильна;

б) гіпотеза відхиляється, причому і в дійсності вона неправильна.

Ймовірність здійснити помилку першого роду позначають через a і називають її рівнем значимості. Число a задають малим і найчастіше використовують значення a, що дорівнюють 0,05; 0,001 і т.д. Якщо, наприклад, a=0,01, то це означає, що в одному випадку зі 100 є ризик допустити помилку першого роду (відхилити гіпотезу Н₀).

Для перевірки нульової гіпотези використовують спеціально підібрану випадкову величину, точний чи наближений розподіл якої відомо. Цю величину позначають через Ф, якщо вона розподілена нормально, F - по закону Фішера-Снедекора, Т - по закону Стьюдента, - по закону “хі квадрат” і т.д. оскільки зараз конкретний вигляд розподілу до уваги не береться, то позначають цю величину взагалі через К.

Статистичним критерієм (просто критерієм) називають випадкову величину К, що служить для перевірки нульової гіпотези. Для різних гіпотез ці критерії є різними.

Наприклад, а) коли перевіряють гіпотезу про рівність дисперсії двох нормальних генеральних сукупностей, то в ролі критерію К беруть відношення виправлених вибіркових дисперсій:

.

Ця величина випадкова, тому в різних випробуваннях дисперсії приймають різні, наперед невідомі значення і розподілені за законом Фішера-Снедокора.

б) найбільш розповсюдженим критерієм перевірки гіпотези Н₀ про закон розподілу ознаки генеральної сукупності є критерій узгодженості:

де m - число інтервалів, на які розбита вибірка, n - об'єм вибірки, n_i - частота і-го інтервалу, r_і - ймовірність попадання значень ознаки в і-ий інтервал, яка обчислюється для теоретичного закону розподілу.

Спостережуваним значенням К_сп називається значення критерію, обчислене по результатах вибірки.

2. Критична область. Загальна методика побудови критичних областей

гіпотеза критична область сукупність статистичний

Всю множину значень статистичного критерію К можна розбити на дві підмножини, що не перетинаються А і В.

Значення статистичного критерію підмножини А О , при яких нульова гіпотеза приймається, називається областю прийняття гіпотези, а підмножина значень В, при яких гіпотеза Н₀ відхиляється - критичною областю.

Основний принцип перевірки статистичних гіпотез формується так: якщо спостережуване значення критерію К_сп належить області прийняття гіпотези А - гіпотезу приймають, якщо К_сп належить критичній області В гіпотезу відхиляють.

Оскільки критерій К - одномірна випадкова величина, то всі її можливі значення належать деякому інтервалу. Тому область прийняття гіпотези А і критична область В також є інтервальними, а, значить, існують точки, котрі їх розділяють і називають критичними і позначаються k_кр.

Розрізняють односторонню (правосторонню чи лівосторонню) і двосторонню критичні області (див.рис.1).

Правосторонньою називають критичну область, що визначається нерівністю К > k_кр, де k_кр - додатне число (рис. 1, а).

Лівосторонньою називають критичну область, що визначається нерівністю К < k_кр, де k_кр < 0 (рис. 1, б).

Двосторонньою називають критичну область, що визначається нерівністю К < k_1кр, К > k_2кр, де k₂ > k₁ (рис.1, в). зокрема, якщо критичні точки симетричні відносно нуля, двостороння критична область визначається нерівностями. Зокрема, якщо критичні точки симетричні відносно нуля, двостороння критична область визначається нерівностями К < - k_кр, К > k_кр, або чКч > k_кр (k_кр >0).

Перевірка статистичних гіпотез будь-якої природи здійснюється за такою схемою:

1. Формулюється статистична гіпотеза Н₀.

2. Вибирається статистичний критерій відповідно до сформульованої нульової гіпотези Н₀.

3. Залежно від гіпотези Н₀ і альтернативної Н₁ вибирається одностороння або двостороння критична область.

Щоб побудувати критичні області, необхідно знайти значення критичних точок.

В основі побудови критичної області лежить принцип практичної неможливості здійснитися малоймовірній випадковій події при одній спробі. Тому задається мала величина ймовірності a (a = 0,01; a = 0,05) (рівень значимості) критерію перевірки правильної гіпотези Н₀: на основі відомого розподілу ймовірності критерію К визначається за допомогою спеціальних таблиць (див. додаток 1) критична точка k_кр. По знайденому k_кр відповідно відбудеться лівостороння, правостороння або двостороння критична область.

4. За результатами вибірки обчислюється спостережене значення критерію К_сп.

5. Виходячи з вимоги, що при правильності гіпотези Н₀ ймовірність того, що К_сп потрапить у критичну область, має дорівнювати прийнятому рівню значимості, перевіряється статистична гіпотези.

Це твердження подають для лівосторонньої критичної області так:

(для правосторонньої),

(для двосторонньої критичної області)

На практиці двосторонню критичну область будують симетрично розміщену відносно нуля, розділяючи при цьому a порівну між кінцями критичних областей, тобто

Якщо К потрапляє у критичну область, а ця подія малоймовірна і вона все-таки здійснилася, то нульова гіпотеза Н₀ відхиляється. У протилежному разі - приймається.

Розглянемо декілька прикладів статистичної перевірки статистичних гіпотез.

3. Перевірка правдивості статистичних гіпотез про рівність двох генеральних середніх

Нехай генеральні сукупності Х і У розподілені нормально, причому їх дисперсії відомі. З незалежних вибірок об'ємом nіm знайдемо середні вибіркові .

Потрібно по вибіркових середніх при заданому рівні значимості a перевірити нульову гіпотезу Н₀, яка полягає в тому, що генеральні середні (математичні сподівання) даних сукупностей рівні між собою, тобто Н₀: М[X] = М[Y].

Враховуючи, що вибіркові середні є незміщеними оцінками генеральних середніх, тобто , нульову гіпотезу можна записати так: Н₀: М[] = М[], тобто перевірити, що математичне сподівання вибіркових середніх рівні між собою. Якщо гіпотеза Н₀ правдива, то різниця між вибірковими середніми незначна.

В ролі критерію перевірки нульової гіпотези приймається випадкова величина

,

.



Критерій Z - нормована нормальна випадкова величина, бо є лінійна комбінація нормальних величин; Z - нормована, бо М (Z) = 0, s(Z) = 1 при справедливості гіпотези Н₀.

Критична область будується в залежності від вигляду конкуруючої гіпотези.

Перший випадок. Нульова гіпотеза Н₀: М[X] = М[Y], конкуруюча Н₁: М[X] № М[Y]. В цьому випадку будують двосторонню критичну область, виходячи з вимоги, що ймовірність попадання критерію в цю область, в припущенні справедливості нульової гіпотези, була рівна прийнятому рівні значимості a.

Найбільша потужність критерію (ймовірність попадання критерію в критичну область при правдивості конкуруючої гіпотези) досягається тоді, коли “ліва” і “права” критичні точки вибрані так, що ймовірність попадання критерію в кожен із двох інтервалів критичної області рівний a/2:

Р(Z < k_{лів кр}) = a/2, Р(Z < k_{пр кр}) = a/2.

Оскільки, Z - нормована нормальна величина, а розподіл такої величини симетричний відносно нуля, то критичні точки симетричні відносно нуля, тобто досить знайти праву границю, щоб знайти саму двосторонню критичну область (нехай k_{пр кр} = k_кр, k_{лів кр} = - k_кр).

Покажемо, як знайти k_кр - праву межу двосторонньої критичної області, користуючись функцією Лапласа Ф(z). Відомо, що функція Лапласа визначає ймовірність попадання нормованої нормальної випадкової величини, наприклад, Z в інтервалі (0, z):

Р(0 < Z < z) = Ф(z). (1)

Так як розподіл Z симетричний відносно нуля, то Р(z О [0, Ґ)) = 0,5, то, якщо розбити цей інтервал k_кр на інтервалі [0, k_кр) И (k_кр, Ґ), то по теоремі додавання

Р(0 < Z < k_кр) + Р ( k_кр < Z < Ґ) = Ѕ (2)

Звідки Ф(k_кр) + a/2 = 1/2

Ф(k_кр) = (3)

Висновок І. Для того, щоб при заданому рівні значимості a перевірити нульову гіпотезу Н₀: М[X] = М[Y] двох нормальних генеральних сукупностей з відомими дисперсіями при конкуруючій гіпотезі Н₁: М[X] № М[Y], потрібно обчислити

і по таблиці функції Лапласа знайти критичну точку рівності

Ф(k_кр) = .

Якщо чК_спч < k_кр - нема підстави відхиляти нульову гіпотезу.

Якщо чК_спч > k_кр - нульову гіпотезу відхиляють.

Другий випадок. Нульова гіпотеза Н₀: М[X] = М[Y], конкуруюча Н₁: М[X] > М[Y].

В цьому випадку будують правосторонню критичну область, виходячи з вимоги, щоб ймовірність попадання критерію в цю область в припущенні справедливості нульової гіпотези була рівна прийнятому рівню значимості a:

Р(K > k_кр) = a

Користуючись співвідношенням (2) Р(0 < Z < k_кр) + Р (Z > k_кр) = 1/2, маємо Ф(k_кр) + a = 1/2 або Ф(k_кр) = .

Висновок 2. Щоб при заданому рівні значимості a перевірити нульову гіпотезу Н₀: М[X] = М[Y] при конкуруючій гіпотезі Н₁: М[X] > М[Y], потрібно обчислити

і по таблиці функції Лапласа знайти критичну точку з рівності

.

Якщо K_сп< k_кр - нема підстави відхиляти нульову гіпотезу. Якщо К_сп> k_кр - нульова гіпотеза відхиляється.

Третій випадок. Нульова гіпотеза H₀: М[X]=M[Y]. Конкуруюча H₁: M[X]<M[Y].

В цьому випадку будуть лівосторонню критичну область, виходячи з вимоги, що ймовірність попадання критерію в цю область, в припущенні справедливості нульової гіпотези, була рівна прийнятому рівню значимості:

.

Висновок 3. При конкуруючій гіпотезі M[X]<M[Y] треба обчислити K_сп і спочатку по таблиці функції Лапласа знайти “допоміжну точку” k_кр з рівності , а потім покласти . Якщо K_сп>-k_кр - немає підстави відхиляти нульову гіпотезу. Якщо K_сп<-k_кр - нульову гіпотезу відхиляють.

Приклад 1. По двох вибірках, об'ємами n=40, m=50, взятих з нормальних генеральних сукупностей, знайдено вибіркові середні . Відомі генеральні дисперсії: D[X]=80, D[Y]=90. Потрібно при рівні значимості 0,01 перевірити нульову гіпотезу H₀: M[X]=M[Y] при конкуруючій гіпотезі H₁: .

Рішення. Знайдемо спостережувальний критерій

.

По умові конкуруючої гіпотези H₁: критична область двостороння. Знайдемо праву критичну точку з рівності . По таблиці функції Лапласа (див.2, дод.1) знаходимо k_кр=2,58. Так як , то згідно правила 1 нульова гіпотеза відхиляється, тобто генеральні середні різняться істотно.

4. Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу генеральної сукупності. Критерій узгодженості Пірсона

В попередніх параграфах закон розподілу генеральної сукупності припускається відомим. Якщо ж він є невідомим, але є підстава, припущення, що він має певний вигляд (наприклад А), то перевіряють нульову гіпотезу: генеральна сукупність розподілена по закону А.

Перевірка гіпотези про припущений закон невідомого закону розподілу робиться так само, як і перевірка гіпотези про параметри розподілу, тобто з допомогою спеціально підібраної випадкової величини - критерію узгодженості.

Критерієм узгодженості називають критерій перевірки про вигляд невідомого розподілу.

Є декілька критеріїв узгодженості:(хі квадрат) Пірсона, Колмогорова, Смірнова і т.д. Для простоти обмежимося лише описом застосування критерію Пірсона для перевірки гіпотез про нормальний розподіл генеральної сукупності, оскільки інші закони перевіряються аналогічно.

Для перевірки критерію узгодженості за конкретними формулами порівнюють емпіричні частоти (за даними вибірки) n_і і теоретичні n_i' (обчислені в припущенні, що закон розподілу генеральної сукупності заданий, наприклад, у нашому випадку - нормальний).

Природно, що емпіричні та теоретичні частоти різняться, але чи випадкова ця розбіжність? Можливо, що розбіжність випадкова (незначна), а можливо, розбіжність невипадкова, і пояснюється це тим, що теоретичні частоти обчислені, виходячи з неправильної гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Критерій Пірсона якраз і відповідає на поставлене питання, правда, як і всякий критерій, він не доводить справедливість гіпотези, а лише встановлює на певному рівні значимості її узгодження чи неузгодження з даними спостереженнями.

Найбільш розповсюдженим критерієм перевірки нульової гіпотези про закон розподілу ознаки генеральної сукупності є критерій узгодженості , що розраховується за формулою:

, (1)

де m - число часткових інтервалів, на які поділяється статистичний розподіл вибірки; n_i - частота ознаки в і-му інтервалі; n_i' - теоретичні частоти, підраховані за відповідними формулами закону розподілу ймовірностей, який припускається для ознаки генеральної сукупності. Теоретичні частоти знаходяться за формулою:

, (2)

де n - об'єм вибірки, р_і - для дискретної величини є ймовірність події р_і=Р(Х=х_і), для неперервної випадкової величини р_і є ймовірність того, що ознака Х попаде в і-ий інтервал.

Наприклад, для гіпотези H₀, яка припускає, що ознака генеральної сукупності має нормальний закон розподілу, ймовірність р_і може бути обчислена за формулою:

Р_і=Ф(х_і+1)-Ф(х_і), (3)

де Ф(х) - функція Лапласа.

Критерій К у формулі (1) випадковий, і чим менше відрізняються значення емпіричних і теоретичних частот, тим менше буде значення К_сп і, отже, більш точно характеризує близькість теоретичного і емпіричного розподілів.

Значення критичної точки k_кр для критерію узгодженості Пірсона залежить від рівня значимості і числа ступенів вільності k. Число ступенів вільності розподілу визначається за формулою k=l-r-1, де l- число інтервалів статистичного ряду, r - число параметрів теоретичного закону розподілу, що оцінюється за даними вибірки.

Зокрема , якщо припущений розподіл нормальний, то оцінюється два параметри (математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення), тому r=2, отже,k=l-3.

Оскільки односторонній критерій більш “жорстко” відхиляє нульову гіпотезу, ніж двосторонній, то будуть правосторонню критичну область, виходячи з вимоги, щоб ймовірність попадання критерію в цю область при припущенні правдивості нульової гіпотези була рівна прийнятому рівню значимості :

.

Висновок. Для того, щоб при заданому рівні значимості перевірити гіпотезу Н₀: генеральна сукупність розподілена нормально, потрібно спочатку порахувати теоретичні частоти, а потім спостережуваний критерій:

.

Після чого по таблиці критичних точок розподілу (див. дод.1), за заданим рівнем значимості і числом ступенів вільності k=l-3 потрібно знайти критичну точку .

Якщо К_сп<k_кр - нема підстави відхиляти нульову гіпотезу.

Якщо К_сп>k_кр - нульову гіпотезу відхиляють.

Зауваження. Об'єм вибірки повинен бути досить великим (не менше 50), а кожна група з інтервалу (х_і,х_і+1) містити не менше 5-8 варіант; малочисленні групи слід об'єднувати в одну, сумуючи частоти.

Для контролю обчислень, формулу (1) перетворюють до вигляду:

Отже, суть критерію узгодженості Пірсона полягає в порівнянні емпіричних і теоретичних частот. Емпіричні частоти знаходять експериментально, а теоретичні, наприклад, таким методом:

1. Весь інтервал спостережуваних значень Х (вибірки об'єму n) ділять на l часткових інтервалів [x_i,x_i+1] однакової довжини. Знаходять їх середини , а частоти n_i варіанти беремо рівними числу варіант, що попали в і-ий інтервал.

В результаті отримано послідовність рівновіддалених варіант з відповідними частотами:

.

2. Обчислюємо вибіркову середню і вибіркове середнє квадратичне відхилення:

.

3. Нормують випадкову величину Х, тобто переходять до величини і обчислюють кінці інтервалів (z_i,z_i+1):

,

причому найменше значення Z, тобто z₁ покладають рівним , а найбільше, тобто z_e, рівним .

4. Обчислюють теоретичні ймовірності р_і попадання Х в інтервали (х_і,х_і+1) з рівності

Р_і=Ф(z_і+1)-Ф(z_і),

де Ф(z) - функція Лапласа і остаточно знаходять теоретичні частоти n_i'=np_i.

Приклад 1. Вивчається відсоткове відношення номінальної і ринкової цін на акції на фондовому ринку (Х) за певний період. Зроблена вибірка за акціями 50-ти різних підприємств.

Потрібно за допомогою критерію узгодження Пірсона перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу відсоткового відношення номінальної і ринкової цін на акції на фондовому ринку при рівні значимості .

Рішення. І. Min x_i=96,1%, max x_i=104,1%, тому побудуємо інтервальний статистичний ряд відсотків від 94,1% до 104,1%. Розмах варіації для даного ряду становить R=104,1-96,1=8%, тому поділимо інтервальний ряд на 8 частин.

Будуємо статистичний розподіл, варіантами якого є середини інтервалів:

Для знаходження теоретичних частот n_iў використаємо формули:



і скористаємось розрахунковою таблицею.

Значення критерію К_сп обчислюється за формулою:

.

За таблицями критичних точок розподілу .

Оскільки К_сп=4,46<11,1=k_кр, то гіпотеза про нормальний закон розподілу відсоткового відношення номінальної і ринкової цін на акції на фондовому ринку приймається.



Висновки

Перевірка статистичних гіпотез здійснюється на основі вибіркових даних. Обмеженість обсягу вибірки зумовлює можливість прийняття неправильних рішень. Інакше кажучи, висунута гіпотеза може бути вірного і невірного. Звідси виникає необхідність перевірки правильності прийнятого рішення. Перевірку здійснюють статистичними методами, тому називають її статистичною перевіркою. В результаті такої перевірки існує можливість у двох випадках прийняти невірне рішення, тобто здійснити два роди помилок: або відхилити гіпотезу, коли вона вірна; або прийняти гіпотезу, коли вона невірна. їх називають відповідно помилками першого і другого порядку



Список використаної літератури

1)Горкавий В.К.,Ярова В.В. /Математична статистика;Навчальний посібник.- К.: ВД <<Професіонал>>,2004,-384 с.

2)Гмурман В.Е./Теория Вероятности и математическая статистика. Изд-4-е,доп. Учеб. Пособие для вузов. М.<<Высш. Школа>>, 1972. 386 c.

3) Ткач Є.І., Сторожук В.П. - [3-тє вид.] - К.: Центр учбової літератури, 2009. - 442 с

4) Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методическое пособие / Тимченко Л.С. и др. - Харьков: ХГПУ, 1999.

5) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособ. - М.: Высш. шк., 2008

Размещено на Allbest.ru