Санкт-Петербургский Государственный Университет

Факультет прикладной математики - процессов управления

Кафедра диагностики функциональных систем

Варламова Александра Александровна

Регрессионный анализ корелляции субъективного ВАШ и лабораторных признаков активности реактивного артрита

Заведующий кафедрой

доктор медицинских наук, профессор Шишкин В.И.

Научный руководитель

доктор медицинских наук, профессор Шишкин В.И.

Санкт-Петербург

2008

Содержание

• Введение
• 1 Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства нескольких средних
• 2 Множественная линейная регрессия
• 3 Дисперсионный анализ
• 4 Линейная регрессия
• Заключение

Введение

Артриты реактивные - термин, принятый для обозначения артритов, развивающихся после инфекций, но не обусловленных попаданием инфекционного агента в полость сустава. Обычно реактивные артриты носят иммунокомплексный характер, т. е. возникают вследствие нарушений иммунитета у генетически предрасположенных лиц из-за недостаточной утилизации комплексов антиген - антитела макрофагальной системой. Реактивные артриты могут развиваться после многих инфекций (бактериальных, вирусных и др. ) независимо от их тяжести, но чаще - после энтероколитов, вызванных иерсиниями, и инфекций мочевых путей, обусловленных хламидиями.

В настоящее время реактивный артрит (РеА) является одним из наиболее частых ревматологических диагнозов. Обычно реактивным считают артрит, который не удовлетворяет диагностическим критериям ревматоидного или подагрического артрита и не сопровождается специфической для системных ревматических заболеваний внесуставной симптоматикой.

Этиология РеА неизвестна. Предположительно, в основе РеА лежит генетически детерминированная аномалия иммунной системы, которая реализуется при инфицировании некоторыми микроорганизмами.

Клиническая картина РеА может включать:

* характерный суставной синдром;

* клинику урогенитальной инфекции;

* внесуставные поражения (кожи и слизистых оболочек);

* поражения позвоночника (обычно сакроилеит);

* висцеральные поражения;

* системную воспалительную реакцию

Суставной синдром (обязательное проявление заболевания) характеризуется:

- асимметричным олигоартритом (воспалением 2-3 суставов или суставных групп) с поражением суставов ног (коленных, голеностопных, плюснефаланговых и межфаланговых) и тендовагинитом (ахиллобурситом);

- началом первого эпизода артрита в период до 30 дней после полового контакта, со средним интервалом в 14 дней между появлением урогенитальных симптомов и артритом;

- болью и ригидностью с отеком или без него в области прикрепления мышц, сухожилий и связок, особенно ахиллова сухожилия и плантарной фасции, к пяточной кости, что часто ведет к затруднениям при ходьбе

Клинические признаки артрита :

1. Боль в суставе/суставах:

* ощущается во всем суставе;

* связана с движениями и суточным ритмом (при любых движениях, усиливается в покое и ночью);

* сопряжена с амплитудой движений в суставе (при движениях во всех плоскостях, нарастающая с увеличением амплитуды движений);

* обычно тупая, ноющая, выкручивающая.

2. Скованность - субъективное ощущение препятствия движению, которое, как правило, наиболее выражено сразу после пробуждения, периода отдыха или неактивности. Скованность обусловлена нарушением оттока жидкости из воспаленного сустава в покое, уменьшается или проходит при возобновлении движений в суставе. Продолжительность и выраженность скованности отражают степень местного воспаления.

3. Припухлость - преходящее увеличение в размерах и изменение контура сустава, обусловленные как накоплением экссудата в полости сустава, так и отеком периартикулярных тканей. Наиболее отчетливо припухлость выявляется на разгибательных (тыльных) поверхностях локтевых и лучезапястных суставов, на кисти, коленных и голеностопных суставах и стопе.

4. Повышение температуры суставов также является признаком воспаления. Определяется проведением тыльной стороной ладони по поверхности сустава.

5. Болезненность сустава при пальпации подтверждает, что боль в суставе обусловлена именно его поражением, а не является отраженной.

Системная воспалительная реакция

Системные симптомы недомогания, усталости, потеря веса и лихорадка встречаются примерно у 10% пациентов. Практические у всех больных в клиническом анализе крови повышена скорость оседания эритроцитов (СОЭ).

Объект, предмет, цель и задача исследования

В качестве исходных данных для исследования даны выборки численных значений медико-биологических показателей человеческого организма, а именно, показатели активности заболевания : СОЭ, наличие С-реактивного белка, уровня фибриногена и гемоглобина в крови больных реактивным артритом. А также выборка значений болевого синдрома оцененного в баллах по визуальной аналоговой шкале (ВАШБП) и синдрома припухлости (ВАШСП).

В целях полноты изложения приведем необходимые определения :

СОЭ (скорость оседания эритроцитов) - свойство эритроцитов оседать при помещении несвернувшейся крови в вертикально поставленную пробирку. Ускорение наблюдается при большинстве воспалительных, инфекционных и др. заболеваниях.

С-реактивный белок (СРБ) очень чувствительный элемент крови, быстрее других реагирующий на повреждения тканей. Наличие реактивного белка в сыворотке крови - признак воспалительного процесса, травмы, проникновения в организм чужеродных микроорганизмов - бактерий, паразитов, грибов. С-реактивный белок стимулирует защитные реакции, активизирует иммунитет. Определение СБР используется для диагностики острых инфекционных заболеваний и опухолей. Также анализ СРБ используется для контроля над процессом лечения, эффективности антибактериальной терапии и т.д.

Гемоглобин (от гемо... и латинское globus - шар), красный дыхательный пигмент крови человека, позвоночных и некоторых беспозвоночных животных. Состоит из белка (глобина) и железопорфирина - гема. Переносит кислород от органов дыхания к тканям и диоксид углерода от тканей к дыхательным органам. Многие заболевания крови (анемии) связаны с нарушениями строения глобина, в том числе наследственными (гемоглобинопатии - серповидноклеточная анемия, талассемия и др.).

Фибриноген (от фибрин и ...ген), растворимый белок плазмы крови, относящийся к группе глобулинов; фактор I свёртывания крови, способный под действием фермента тромбина превращаться в фибрин. Молекула имеет форму глобулы диаметром около 22 нм. Синтез фибриногена в организме происходит в паренхиматозных клетках печени. Содержание фибриногена в плазме крови здорового человека 300- 500 мг%. При недостаточности фибриногена в организме или при образовании молекул с аномальным строением наблюдается кровоточивость.

ВАШБП - оценка интенсивности боли, для характеристики которой используют простые визуальные аналоговые шкалы.

ВАШСП - оценка припухлости суставов, для характеристики которой используют простые визуальные аналоговые шкалы



Визуально аналоговые шкалы важный компонент большинства современных клинических методов, применяемых при обследовании пациентов. Специальные опросники позволяют дать более полную характеристику болевого синдрома, выявить связь между выраженностью боли и нарушением функционального состояния больных.

Объект исследования

Объектом нашего исследования являются выборочные данные результатов измерений СОЭ, СРБ, Гемоглобина, Фибриногена, ВАШБП и ВАШСП, причем изучаемые данные разделены на 4 группы. В первой группе представлены данные при болезни, вызванной моче половыми инфекциями, во второй группе - неизвестной этиологии, в третьей - ОРВИ, в четвертой - желудочно-кишечными инфекциями.

Предмет исследования

Предмет исследования определяем, как нахождение зависимости между показателями активности заболевания (СОЭ, СРБ, Фибриноген, Гемоглобин), болевым синдромом оцененным по визуально аналоговой шкале (ВАШБП) и синдромом припухлости оцененным также по визуально аналоговой шкале (ВАШСП).

Используемые методы

1.Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства нескольких средних

Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак. В данном случае фактором является вид инфекции вызвавший реактивный артрит, а признаками СОЭ, СРБ, Фибриноген, гемоглобин, ВАШБП и ВАШСП. Научное обоснованное решение подобной задачи при некоторых предположениях составляет предмет дисперсионного анализа.

Статистическая модель

Выборки производятся из нормальных совокупностей. Первая выборка производиться из совокупности со средним, вторая - со средним , k-я из совокупности со средним . Все наблюдения независимы.

Критическая область.

Если значение p0, то нулевая гипотеза может быть отвергнута, т.е. хотя бы одно среднее арифметическое отличается от остальных значений. Выберем критический уровень значимости pKP для условия принятия нулевой гипотезы pкр=0,05

p>pкр

Гипотезы №1.

Н₀ : = =…=

Н₁: не все средние равны.

Так как данный метод работает только для нормальных совокупностей то сначала построим графики функций распределения для каждой выборки.

Для экономии времени и упрощения расчетов воспользуемся Matlab.

График функции распределения для значений Hb в 1 группе
График функции распределения для значений Hb в 2 группе
График функции распределения для значений Hb в 3 группе
График функции распределения для значений Hb в 4 группе
График функции распределения для значений СРБ в 1 группе
График функции распределения для значений СРБ в 2 группе
График функции распределения для значений СРБ в 3 группе
График функции распределения для значений СРБ в 4 группе
График функции распределения для значений СОЭ в 1 группе
График функции распределения для значений СОЭ в 2 группе
График функции распределения для значений СОЭ в 3 группе
График функции распределения для значений СОЭ в 4 группе
График функции распределения для значений Фибриногена в 1 группе
График функции распределения для значений Фибриногена в 2 группе
График функции распределения для значений Фибриногена в 3 группе
График функции распределения для значений Фибриногена в 4 группе
График функции распределения для значений ВАШБП в 1 группе
График функции распределения для значений ВАШБП в 2 группе
График функции распределения для значений ВАШБП в 3 группе
График функции распределения для значений ВАШБП в 4 группе
График функции распределения для значений ВАШСП в 1 группе
График функции распределения для значений ВАШСП в 2 группе
График функции распределения для значений ВАШСП в 3 группе
График функции распределения для значений ВАШСП в 4 группе

Исходя из вида графиков можно сделать вывод о том что все выборки имеют нормальное распределение и следовательно мы можем использовать выбранный нами параметрический метод дисперсионного анализа.

I) Рассмотрим сначала влияние фактора на уровень Hb (гемоглобин):

Таблица1.1.1.Зависимость уровня Hb от инфекции вызвавшей заболевание

1группа	2группа	3 группа	4группа
124	114	140	124
124	142	121	130
110	156	136	127
93	170	125	130
133	119	138	138
129	128	150	122
149	163	154	160
122	135	127	104
145	120	153	121
124	120	120	131
99	106	171	127
125	130	128	109
137	156	154	158
156	114	140	132
148	137	110	134
138	142	151	164
144	121	142	116
133	121	144	136
145	144	120	122
121	160		150
126	140		112
128	110		124
120	135		137
150	106		130
123	126		160
150	136		150
160	142		107
139	118		114
152	126		124
146	140		120
142	101		115
137	123
148	117
130
152
126
118
140
166
128
165
143
132
130
126
166
168
128
126
125
115
118
117
114
123
150
125
103
142
150
140
94
129
156
141
148
140
141
135
150
150
127
158
131
150
162
134
104
130
136
150
136
105
146
146
138
158
154
141
134
150
150
114
109
157
161
133
166
168

Здесь и далее для экономии времени и упрощения вычислительн6ой работы воспользуемся Matlab для проведения однофакторного дисперсионного анализа для сравнения средних арифметических значений выборок. Будем использовать функцию p = anova1(X) - функция позволяет провести однофакторный дисперсионный анализ для сравнения средних арифметических значений одной или нескольких выборок одинакового объема. Выборки определяются входным аргументом Х. Х задается как матрица с размерностью mxn, где m - число наблюдений в выборке (число строк Х), n - количество выборок (число столбцов матрицы Х). Выходным аргументом функции является уровень значимости p нулевой гипотезы. Нулевая гипотеза состоит в том, что все выборки в матрице Х взяты из одной генеральной совокупности или из разных генеральных совокупностей с равными средними арифметическими. p является вероятностью ошибки первого рода, или вероятностью необоснованно отвергнуть нулевую гипотезу. Если значение p0, то нулевая гипотеза может быть отвергнута, т.е. хотя бы одно среднее арифметическое отличается от остальных значений. Выбор критического уровня значимости p_KP для условия принятия нулевой гипотезы

предоставлен исследователю. Здесь и далее примем p_KP равным 0,05.

После выполнения вычислений мы получаем:

p = 0.3001

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа

Таблица №1.1.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	1012,4	3	337,451
Остаточная	30577,2	112	273,011
Полная	31589,5	115	-----

p>pкр

Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень гемоглобина в крови не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.

II) Влияние фактора на наличие СРБ в крови

Таблица1.2.1.Зависимость уровня СРБ от инфекции вызвавшей заболевание

1 группа	2 группа	3 группа	4 группа
0	6	0	0
6	0	0	0
96	48	0	0
192	0	0	0
0	6	12	96
0	6	12	0
0	0	6	0
0	12	0	0
0	0	0	48
0	0	48	0
48	192	0	384
0	0	0	48
12	6	0	0
0	48	0	0
384	6	12	0
192	0	0	0
12	0	0	0
48	0	48	0
0	0	0	0
96	0		0
0	0		0
48	0		96
0	0		96
12	48		48
6	0		0
6	0		0
0	0		0
96	0		0
48	0		48
6	0		48
0	12		0
0	96
0	0
0
0
0
768
96
0
0
0
0
0
12
0
0
6
0
6
0
0
0
0
6
0
0
192
48
0
0
192
768
6
0
96
24
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
96
48
0
0
48
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

После выполнения вычислений мы получаем:

p =0.4677

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа

Таблица №1.2.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	23192,8	3	7730,92
Остаточная	1616980,7	178	9084,16
Полная	1640173,5	181	-----

p>pкр

Вывод:

Следовательно, мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень СРБ в крови не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.

III) Влияние фактора на СОЭ

Таблица1.3.1.Зависимость СОЭ от инфекции вызвавшей заболевание

1 группа	2 группа	3 группа	4 группа
18	34	10	10
19	4	21	26
42	24	3	6
66	1	7	4
25	35	22	12
10	16	26	25
13	1	12	4
28	36	6	40
3	22	1	52
26	34	18	18
28	50	1	62
38	28	2	40
28	14	4	7
1	64	10	5
52	30	23	3
48	9	2	8
26	32	10	12
14	10	17	5
12	2	15	12
48	2		12
19	12		10
28	37		30
25	18		24
6	58		40
11	10		2
26	15		2
2	2		8
51	10		5
24	10		10
13	10		35
6	34		39
10	38
2	25
30
2
3
46
56
3
11
4
4
24
11
7
1
7
9
20
14
4
12
17
14
5
2
40
30
6
3
26
69
25
3
35
6
8
3
5
1
5
5
7
6
3
3
5
10
15
3
3
38
49
5
3
19
2
3
10
5
3
5
16
5
4
4
10
1
4

После вычислений получаем:

p = 0.0810

Таблица №1.3.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	1658,2	3	552,744
Остаточная	43145,7	178	242,391
Полная	44803,9	181	-----

p>pкр

Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости СОЭ не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.

IV) Влияние фактора на уровень Фибриногена в крови

Таблица1.4.1.Зависимость уровня фибриногена от инфекции вызвавшей заболевание

1 группа	2 группа	3 группа	4 группа
3.00	5.25	6.75	2.80
4.50	2.00	2.50	3.75
3.50	5.75	3.10	2.50
7.25	2.50	3.00	3.00
4.00	5.50	6.75	3.25
3.25	3.50	4.50	3.50
5.50	3.25	3.50	3.75
4.00	7.25	2.50	5.25
3.25	3.75	2.50	5.10
5.00	3.00	4.50	4.50
3.60	7.00	3.00	12.20
4.25	5.50	2.15	5.75
4.25	4.00	2.00	5.50
3.00	7.50	3.25	3.00
10.20	3.50	4.25	2.50
4.75	4.00	2.25	3.00
4.50	5.50	2.10	3.50
5.00	3.25	4.75	3.00
5.50	2.50	3.50	2.00
5.50	3.00		3.50
3.75	3.50		4.00
3.75	5.00		3.50
4.50	3.30		3.00
5.75	5.00		2.75
3.00	4.25		3.00
4.25	3.00		2.75
3.75	2.00		3.00
5.25	3.25		2.00
6.25	2.50		1.75
2.25	3.25		4.25
3.25	4.30		3.00
2.50	4.25
2.75	4.00
4.00
2.75
4.00
4.50
6.75
3.25
3.75
3.25
4.00
4.25
3.50
2.60
2.75
4.25
2.00
3.75
4.00
4.00
3.00
4.00
3.00
3.20
2.00
8.75
4.00
4.00
5.00
5.00
7.50
4.00
3.25
2.90
3.25
2.90
3.00
2.00
3.00
2.00
2.75
3.00
2.93
4.25
3.00
3.75
4.00
3.00
2.75
2.00
6.00
3.50
3.00
2.50
4.75
3.00
2.75
3.25
2.50
2.00
3.10
2.00
3.25
3.25
3.00
3.25
3.25
4.00

После вычислений получаем:

p =0.5494

Таблица №1.4.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	4.733	3	1.57754
Остаточная	397.546	178	2.2334
Полная	402.278	181	-----

p>pкр

Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу. т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень фибриногена в крови не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.

V) Влияние фактора на показатель ВАШБП

Таблица 1.5.1.Зависимость ВАШБП от инфекции вызвавшей заболевание

1 группа	2 группа	3 группа	4 группа
15	25	45	67
28	25	57	65
63	35	40	50
45	33	33	45
40	65	55	55
80	45	50	27
20	50	55	58
48	25	40	45
75	45	0	30
35	44	45	50
55	100	48	35
85	65	30	20
45	55	25	78
43	64	20	50
45	15	40	60
50	15	20	75
50	40	13	75
56	28	30	30
10	15	5	55
55	25		15
45	17		30
95	70		20
32	45		40
25	55		35
70	40		35
45	10		15
28	5		55
27	25		30
75	10		25
45	2		16
55	35		30
35	60
33	45
5
45
35
73
55
56
43
55
20
53
30
55
55
15
70
60
36
20
38
15
53
12
23
40
52
25
0
70
95
25
10
27
40
20
45
15
17
25
25
10
35
70
12
5
38
5
0
5
65
57
5
0
25
5
20
21
5
10
15
15
23
35
3
10
37

После вычислений получаем:

p = 0.4569

Таблица №1.5.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	1210.5	3	403.498
Остаточная	82391	178	462.871
Полная	83601.5	181	-----

p>pкр

Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу. т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости ВАШБП не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.

VI) Влияние фактора на показатель ВАШСП

Таблица 1.6.1.Зависимость ВАШСП от инфекции вызвавшей заболевание

1 группа	2группа	3группа	4группа
20	35	62	70
53	32	70	78
68	28	40	41
55	40	50	30
43	65	60	60
75	25	56	40
12	70	68	60
40	38	20	42
67	52	10	83
38	40	40	53
80	100	70	70
80	55	50	51
41	50	34	70
65	78	30	80
50	15	32	70
48	38	25	80
45	50	20	75
50	28	39	30
25	30	10	19
40	35		10
55	29		31
89	68		60
60	45		45
25	70		45
70	50		39
50	10		15
50	20		50
55	35		20
55	20		20
60	2		50
55	37		40
40	55
32	50
40
54
47
80
78
65
50
62
25
52
50
30
60
19
70
70
41
30
43
17
60
15
20
41
43
40
5
80
95
35
20
35
40
48
18
18
40
60
10
20
12
10
50
3
0
5
63
58
10
0
80
10
30
20
5
9
10
40
20
33
5
18
40
15

После вычислений получаем:

p = 0.3222

Таблица №1.6.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	1701.7	3	567.223
Остаточная	85230.9	176	484.266
Полная	86932.5	179	-----

p>pкр

Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу. т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости ВАШСП не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.

В связи с тем что не один из показателей активности заболевания а также показатели ВАШ не зависят от инфекции предшествующей реактивному артриту дальнейшее разделение данных на группы можно считать не целесообразным.

2 Множественная линейная регрессия

Общее назначение множественной регрессии (этот термин был впервые использован в работе Пирсона - Pearson. 1908) состоит в анализе связи между несколькими независимыми переменными (называемыми также регрессорами или предикторами) и зависимой переменной.

В общественных и естественных науках процедуры множественной регрессии чрезвычайно широко используются в исследованиях. В общем. множественная регрессия позволяет исследователю задать вопрос (и. вероятно. получить ответ) о том. "что является лучшим предиктором для...".

Общая вычислительная задача. которую требуется решать при анализе методом множественной регрессии. состоит в подгонке прямой линии к некоторому набору точек.В многомерном случае. когда имеется более одной независимой переменной. линия регрессии не может быть отображена в двумерном пространстве. однако она также может быть легко оценена. В общем случае. процедуры множественной регрессии будут оценивать параметры линейного уравнения вида:

Y = a + b₁*X₁ + b₂*X₂ + ... + b_p*X_p

Регрессионные коэффициенты (или B-коэффициенты) представляют независимые вклады каждой независимой переменной в предсказание зависимой переменной.

Линия регрессии выражает наилучшее предсказание зависимой переменной (Y) по независимым переменным (X). Однако обычно имеется существенный разброс наблюдаемых точек относительно подогнанной прямой. Отклонение отдельной точки от линии регрессии (от предсказанного значения) называется остатком.

Чем меньше разброс значений остатков около линии регрессии по отношению к общему разбросу значений. тем. очевидно. лучше прогноз. Например. если связь между переменными X и Y отсутствует. то отношение остаточной изменчивости переменной Y к исходной дисперсии равно 1.0. Если X и Y жестко связаны. то остаточная изменчивость отсутствует. и отношение дисперсий будет равно 0.0. В большинстве случаев отношение будет лежать где-то между этими экстремальными значениями. т.е. между 0.0 и 1.0. 1.0 минус это отношение называется R-квадратом или коэффициентом детерминации. Это значение непосредственно интерпретируется следующим образом. Значение R-квадрата является индикатором степени подгонки модели к данным (значение R-квадрата близкое к 1.0 показывает. что модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных).

Обычно. степень зависимости двух или более предикторов (независимых переменных или переменных X) с зависимой переменной (Y) выражается с помощью коэффициента множественной корреляции R. По определению он равен корню квадратному из коэффициента детерминации. Это неотрицательная величина. принимающая значения между 0 и 1. Для интерпретации направления связи между переменными смотрят на знаки (плюс или минус) регрессионных коэффициентов или B-коэффициентов. Если B-коэффициент положителен. то связь этой переменной с зависимой переменной положительна; если B-коэффициент отрицателен. то и связь носит отрицательный характер. Конечно. если B-коэффициент равен 0. связь между переменными отсутствует.

Прежде всего. как это видно уже из названия множественной линейной регрессии. предполагается. что связь между переменными является линейной. На практике это предположение. в сущности. никогда не может быть подтверждено; к счастью. процедуры множественного регрессионного анализы в незначительной степени подвержены воздействию малых отклонений от этого предположения.

Основное концептуальное ограничение всех методов регрессионного анализа состоит в том. что они позволяют обнаружить только числовые зависимости. а не лежащие в их основе причинные связи.

Важность анализа остатков. Хотя большинство предположений множественной регрессии нельзя в точности проверить. исследователь может обнаружить отклонения от этих предположений. В частности. выбросы (т.е. экстремальные наблюдения) могут вызвать серьезное смещение оценок. "сдвигая" линию регрессии в определенном направлении и тем самым. вызывая смещение регрессионных коэффициентов. Часто исключение всего одного экстремального наблюдения приводит к совершенно другому результату.

Используя Matlab найдем уравнение множественной регрессии для нахождения зависимости ВАШБП и ВАШСП от других показателей а также найдем коэффициент корреляции для определения зависимости между данными выборками и критерий Фишера для определения уровня доверия к полученному уравнению.

Аппарат множественной линейной регрессии реализуется в Matlab при помощи функции regress. Анализ основывается на нахождении коэффициентов b уравнения вида:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + ... + b_nx_n

Методом наименьших квадратов.

Входными данными для программы будут:

Матрица X по одному измерению равная длине вектора Y (ВАШБП, ВАШСП), а по другому количеству переменных, по которым должна предсказываться переменная “Y” плюс один. Ещё один столбик нам понадобиться для того, чтобы matlab мог по нему рассчитать свободный член уравнения b₀, расположен он должен быть первым и заполнен единицами. Т.е. 2-й столбец матрицы X это значения Hb, 3-й столбец значения СОЭ, 4-й значения СРБ и 5-й Фибриноген.

Y - значения ВАШ (ВАШБП, ВАШСП)

Функция regress задается следующим образом:

[b.bint.r.rint.stats] = regress(y.X.0.01)

regress(y.X.0.01) - означает что мы будем искать зависимость Y от Х и с вероятностью 99% коэффициенты b будут принадлежать рассчитанным нами доверительным интервалам.

Выходные данные:

Вектор коэффициентов b.

Матрица bint. содержащая 99% доверительные интервалы для b.

Вектор r (длина которого равна длине Y). содержащий остатки. т.е. разницу между исходными значениями Y. и рассчитанными по полученному уравнению регрессии.

Матрицу rint. содержащую значения 99% доверительного интервала для r

Вектор stats. состоящий из следующих 4 характеристик:

первое значение - коэффициент множественной корреляции R². показывающий связь исходных данных y и рассчитанных по полученному уравнению. другими словами - это коэффициент. показывающий на сколько хорошо «работает» полученное уравнение. Чем ближе это значение к единице. тем лучше.

второе значение - F-статистика (её ещё называют критерием Фишера).

третье значение - p. табличное значение критерия Фишера при данных степенях свободы. Если критерий Фишера выше этого значения. то уравнению можно верить.

четвёртое значение - оценка дисперсии ошибок

I) рассчитаем уравнение множественной линейной регрессии для ВАШБП

После выполнения расчетов для ВАШБП получили следующие переменные:

b	bint	r	rint
42.1283	1.8780	82.3786	-21.9027	-73.5518	29.7465
-0.1015	-0.3855	0.1824	-10.4547	-62.2125	41.3031
0.2908	-0.1418	0.7233	14.2154	-36.8404	65.2711
0.0326	-0.0177	0.0829	-18.2805	-68.5417	31.9806
0.7105	-3.0313	4.4524	1.2654	-50.5643	53.0951
			45.7534	-5.3326	96.8394
			-14.6868	-66.0309	36.6572
			7.2762	-44.4701	59.0225
			44.4133	-6.6808	95.5074
			-5.6498	-57.3639	46.0644
			10.6615	-40.5673	61.8902
			41.4956	-9.2270	92.2183
			5.2307	-46.4949	56.9564
			14.2893	-37.3388	65.9175
			-16.9757	-64.8977	30.9463
			-1.7014	-52.3459	48.9432
			11.3454	-40.2887	62.9794
			18.1895	-33.3589	69.7380
			-24.8022	-75.9894	26.3849
			4.1667	-47.1548	55.4881
			7.4767	-44.4040	59.3575
			53.4995	2.7606	104.2384
			-8.4099	-60.1502	43.3304
			-8.1185	-59.1222	42.8851
			34.8356	-16.4892	86.1604
			7.3277	-44.1261	58.7815
			-1.1282	-52.7224	50.4660
			-22.7002	-73.0690	27.6685
			35.3231	-15.4605	86.1067
			12.1224	-39.4234	63.6682
			23.2364	-28.4547	74.9275
			2.0986	-49.7444	53.9416
			3.3639	-48.4351	55.1629
			-35.4930	-86.7043	15.7183
			15.7701	-35.8987	67.4389
			1.9511	-49.4156	53.3179
			1.2643	-37.9653	40.4940
			2.8817	-47.4120	53.1755
			27.5456	-23.6290	78.7202
			8.0058	-43.8027	59.8144
			26.1533	-25.0770	77.3836
			-11.6135	-63.2959	40.0690
			14.2769	-37.5125	66.0664
			-5.0043	-56.8847	46.8760
			21.7829	-29.7810	73.3468
			27.4824	-23.6602	78.6249
			-15.3203	-66.5536	35.9129
			36.8308	-14.3416	88.0032
			21.9905	-29.7372	73.7183
			-0.3487	-52.1580	51.4607
			-14.4565	-65.3638	36.4507
			2.2326	-49.4426	53.9079
			-23.0332	-74.5239	28.4574
			16.0495	-35.4532	67.5522
			-21.3666	-72.7803	30.0472
			-5.9001	-57.5397	45.7395
			-13.5376	-63.5547	36.4796
			7.2019	-44.2296	58.6334
			-7.2965	-59.0702	44.4772
			-31.3225	-82.2665	19.6215
			24.7206	-26.5090	75.9502
			12.0085	-29.4721	53.4890
			-14.3362	-66.1232	37.4507
			-19.4698	-71.0521	32.1125
			-16.1754	-66.8306	34.4799
			8.0639	-43.7532	59.8809
			-12.2995	-64.1466	39.5476
			13.9893	-37.7707	65.7493
			-16.2954	-67.9216	35.3308
			-12.3199	-64.0425	39.4027
			-4.7723	-56.3885	46.8438
			-7.6406	-59.3361	44.0548
			-20.2521	-71.7464	31.2422
			2.3469	-49.4690	54.1627
			39.2104	-11.8405	90.2614
			-16.6829	-68.1490	34.7832
			-27.6404	-79.0945	23.8136
			0.6820	-50.1330	51.4970
			-30.4212	-81.9717	21.1294
			-31.1453	-82.5884	20.2978
			-24.1908	-75.6191	27.2374
			18.2420	-33.1537	69.6377
			7.2360	-43.3212	57.7931
			-25.8891	-77.5028	25.7247
			-29.9523	-81.4193	21.5148
			-13.5789	-65.3925	38.2347
			-23.7983	-75.2594	27.6627
			-9.3176	-61.0193	42.3841
			-12.2236	-64.0984	39.6512
			-26.7522	-78.2955	24.7910
			-19.1908	-70.7002	32.3185
			-15.5540	-67.2924	36.1844
			-21.6260	-72.8683	29.6163
			-11.8236	-62.7620	39.1148
			5.3410	-46.3573	57.0393
			-26.0752	-77.4141	25.2636
			-23.8405	-75.5436	27.8627
			9.1271	-42.3050	60.5592
			-22.0750	-73.2466	29.0966
			-19.3643	-70.7356	32.0071
			-5.2939	-57.0079	46.4201
			-3.9155	-55.2281	47.3971
			6.0662	-45.1461	57.2784
			20.6750	-30.6746	72.0246
			8.5343	-43.3618	60.4303
			21.8225	-29.5504	73.1954
			-19.4300	-70.1039	31.2439
			5.9953	-45.8101	57.8006
			2.0391	-49.2100	53.2883
			42.8692	-7.4532	93.1915
			24.0227	-27.3822	75.4275
			21.6036	-29.8883	73.0954
			7.9463	-42.0260	57.9186
			-24.6224	-75.8610	26.6162
			-18.1688	-69.9114	33.5739
			-3.0542	-54.5917	48.4834
			-7.0589	-58.7440	44.6261
			-14.8646	-66.5830	36.8538
			-3.5953	-55.2165	48.0260
			-16.8888	-68.7256	34.9480
			24.7304	-26.4446	75.9054
			9.0011	-42.8700	60.8722
			1.6549	-48.7937	52.1035
			4.7382	-46.8959	56.3724
			-24.8120	-76.4793	26.8554
			-24.7124	-76.2026	26.7778
			-10.3635	-61.9389	41.2118
			-24.0183	-75.5760	27.5393
			-31.1297	-82.7024	20.4430
			-10.2047	-61.4757	41.0663
			13.1655	-38.3588	64.6897
			4.6407	-47.1058	56.3873
			9.3834	-40.9519	59.7187
			19.2757	-32.2076	70.7590
			8.6060	-43.1614	60.3735
			-0.6029	-52.3315	51.1257
			15.3004	-35.5974	66.1982
			11.9546	-39.5044	63.4137
			22.3373	-29.2132	73.8877
			7.2462	-44.4642	58.9567
			-28.6600	-80.0657	22.7457
			5.0618	-46.6397	56.7633
			20.8124	-30.2927	71.9175
			-1.2405	-52.8524	50.3713
			-4.0754	-55.6256	47.4747
			-13.1297	-64.9991	38.7397
			-1.0570	-52.6293	50.5152
			-8.9762	-60.6462	42.6938
			-19.1095	-70.6665	32.4476
			-7.3882	-59.1979	44.4216
			-31.7918	-83.1929	19.6092
			32.5654	-18.8114	83.9423
			25.8476	-25.6974	77.3926
			17.2462	-34.3729	68.8654
			12.7771	-38.9022	64.4564
			17.9586	-33.6785	69.5957
			-12.4963	-64.2189	39.2263
			28.2903	-23.0283	79.6090
			-1.9287	-53.1104	49.2530
			-20.1486	-70.8255	30.5284
			12.7423	-39.0574	64.5419
			-33.4366	-79.4435	12.5702
			-28.3399	-79.4332	22.7535
			45.9715	-4.3766	96.3197
			17.6894	-33.9998	69.3786
			28.8293	-22.6317	80.2902
			45.0664	-5.5918	95.7246
			38.6743	-12.3544	89.7029
			-1.9044	-53.7565	49.9477
			20.3493	-31.0914	71.7901
			-17.8734	-69.5782	33.8313
			-6.5057	-57.7216	44.7103
			-23.8741	-75.3281	27.5800
			-0.4543	-52.0199	51.1113
			-9.0759	-59.6117	41.4599
			6.4047	-45.2060	58.0155
			-14.4330	-66.1409	37.2749
			19.2787	-31.6829	70.2403
			-3.4277	-54.6947	47.8392
			-10.2520	-61.6535	41.1494
			-28.7033	-80.0804	22.6737
			-13.9223	-64.7794	36.9348

stats = 0.1569; 8.2341; 0.0000; 398.2227;

Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШБП= 42.1283 - 0.1015 Hb + 0.2908 СОЭ + 0.0326 СРБ +0.7105 Фибриноген

R²=0.1569 - 15.69% от исходной изменчивости могут быть объяснены. а 84.31% остаточной изменчивости остаются необъясненными.

F=8.2341

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить с вероятностью в 99%

Далее произведем анализ остатков и исключим из выборки экстремальные наблюдения. а затем заново рассчитаем уравнение множественной регрессии.

После вычислений получаем новые переменные и новое уравнение:

b	bint	r	rint
68.6128	42.6275	94.5981	-9.0527	-37.3058	19.2004
-0.3179	-0.4996	-0.1362	12.6863	-14.9838	40.3564
0.2660	0.0000	0.5319	4.7180	-23.6375	33.0735
0.0363	0.0073	0.0653	-7.8665	-35.8002	20.0673
0.5753	-1.9305	3.0812	8.4230	-19.8230	36.6691
			-3.9845	-32.2508	24.2819
			6.5985	-21.2655	34.4624
			9.6122	-18.6033	37.8276
			-10.2044	-35.0328	14.6240
			2.7871	-24.8193	30.3934
			17.2257	-10.7195	45.1709
			5.4367	-22.5254	33.3988
			9.2325	-19.0964	37.5614
			-7.7024	-35.9560	20.5512
			-1.2661	-28.9378	26.4056
			14.4948	-13.4018	42.3914
			7.5633	-20.5114	35.6379
			-17.4951	-44.6647	9.6746
			17.8317	-9.9962	45.6596
			5.8425	-22.4781	34.1631
			9.3237	-18.9007	37.5480
			3.3445	-24.6908	31.3798
			-0.8088	-21.5731	19.9554
			8.6299	-18.5165	35.7762
			9.9962	-18.2684	38.2609
			-6.5170	-34.7503	21.7163
			17.5223	-10.5451	45.5896
			-2.6598	-31.0639	25.7443
			-4.7289	-32.6182	23.1603
			1.1007	-27.2539	29.4553
			-15.4184	-42.9371	12.1002
			1.9826	-26.2594	30.2246
			14.9612	-12.9779	42.9002
			0.3910	-27.7965	28.5784
			-11.5190	-38.0908	15.0528
			4.1080	-23.9282	32.1441
			-2.3669	-30.6874	25.9536
			5.7176	-16.0196	27.4548
			-11.7715	-40.0204	16.4775
			-11.6867	-39.7871	16.4137
			-11.2514	-38.7594	16.2566
			14.1006	-14.0387	42.2399
			-7.9019	-36.2419	20.4382
			18.4706	-9.5140	46.4553
			-13.1757	-41.2401	14.8888
			-5.9183	-34.1797	22.3430
			1.5930	-26.5748	29.7608
			-6.1504	-34.3885	22.0877
			-11.9710	-40.0136	16.0715
			4.7517	-23.5772	33.0805
			-7.6354	-35.6957	20.4249
			-2.5114	-30.1466	25.1238
			-17.8750	-45.7099	9.9598
			4.9776	-22.4033	32.3584
			-9.2707	-37.5638	19.0224
			-15.6411	-43.5795	12.2973
			-2.0349	-30.2891	26.2193
			-7.5352	-35.9057	20.8354
			-12.8750	-40.8787	15.1286
			-9.0399	-37.2915	19.2118
			-14.1604	-41.7111	13.3903
			13.3652	-14.6783	41.4087
			-17.2193	-45.0403	10.6016
			19.0244	-8.6055	46.6542
			-11.5693	-39.3592	16.2207
			-19.6532	-47.3414	8.0351
			-0.6843	-28.9330	27.5644
			4.5464	-23.3429	32.4356
			16.7275	-10.8084	44.2634
			10.5922	-17.7215	38.9060
			-14.8775	-42.1330	12.3780
			6.5270	-21.7825	34.8365
			2.7666	-25.1568	30.6900
			8.5476	-18.2907	35.3860
			-13.1649	-41.3581	15.0284
			-1.8218	-29.9553	26.3117
			-6.6755	-34.9033	21.5523
			-9.8041	-38.0180	18.4097
			4.9947	-23.1450	33.1345
			-12.3110	-40.5921	15.9700
			12.6185	-15.6296	40.8666
			0.0386	-27.2984	27.3755
			6.3388	-21.8537	34.5312
			-10.6292	-38.7183	17.4599
			-13.4573	-41.1993	14.2847
			14.4516	-13.5325	42.4357
			4.6315	-23.6516	32.9145
			14.3512	-12.5735	41.2759
			12.0414	-16.1382	40.2210
			0.5380	-27.7541	28.8300
			20.0878	-7.0899	47.2654
			19.1331	-8.6111	46.8774
			8.7274	-19.4685	36.9234
			5.4167	-22.8281	33.6615
			0.3107	-27.8741	28.4954
			3.1306	-24.9738	31.2350
			-8.6352	-36.9898	19.7193
			-2.6414	-30.7999	25.5171
			-2.4350	-30.6568	25.7869
			-14.3378	-42.3473	13.6717
			-1.8313	-30.1660	26.5034
			18.7274	-9.1685	46.6234
			14.9255	-13.1336	42.9846
			-11.4913	-39.6756	16.6930
			-4.2104	-32.0433	23.6225
			-18.6544	-45.9305	8.6218
			15.6565	-12.4643	43.7773
			1.5669	-26.8071	29.9410
			-11.1319	-39.3470	17.0832
			-7.9681	-35.8440	19.9077
			3.3454	-24.8477	31.5384
			-6.2493	-33.6830	21.1844
			14.9947	-12.9265	42.9160
			-8.0405	-36.2726	20.1915
			16.5496	-10.9807	44.0799
			-4.8517	-32.7475	23.0440
			-9.6016	-37.5465	18.3433
			-14.1529	-41.6157	13.3098

stats = 0.5231; 30.9919; 0; 118.0091;

ВАШБП= 68.6128 - 0.3179 Hb + 0.2660 СОЭ + 0.0363 СРБ +0.5753 Фибриноген

R²=0.5231 - 52.31% от исходной изменчивости могут быть объяснены. а 47.69% остаточной изменчивости остаются необъясненными.

F=30.9919

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.

Исключая и далее экстремальные наблюдения. возможно построить уравнение объясняющее еще больший процент изменчивости переменной Y (ВАШБП).

Построенное уравнение показывает что наилучшим предсказывающим фактором (предиктором) для ВАШБП является Фибриноген.

II) рассчитаем уравнение множественной линейной регрессии для ВАШСП

После выполнения расчетов для ВАШСП получаем:

b	bint	r	rint
34.4446	-5.3696	74.2588	-22.0047	-73.0438	29.0343
-0.0248	-0.3063	0.2567	9.4034	-41.7566	60.5635
0.4860	0.0556	0.9164	11.0867	-39.4013	61.5746
0.0269	-0.0230	0.0768	-18.9427	-68.5986	30.7132
0.6296	-3.0822	4.3415	-2.8132	-54.0347	48.4083
			36.8501	-13.8945	87.5948
			-28.5283	-79.0411	21.9845
			-7.5443	-58.6841	43.5956
			32.6494	-18.1678	83.4666
			-9.1522	-60.2423	41.9378
			30.8460	-19.4622	81.1541
			27.5125	-22.9630	77.9879
			-6.6522	-57.7655	44.4612
			32.0518	-18.6502	82.7538
			-22.7943	-70.0647	24.4762
			-14.5034	-64.4720	35.4653
			-1.6638	-52.7402	49.4126
			7.6126	-43.4318	58.6569
			-15.1416	-65.8714	35.5883
			-20.8158	-71.3764	29.7448
			12.0866	-39.1543	63.3276
			40.4712	-10.1110	91.0534
			13.5493	-37.5432	64.6418
			-12.5814	-62.9502	37.7874
			31.2113	-19.5904	82.0130
			3.8039	-47.0594	54.6671
			16.1928	-34.6959	67.0816
			-6.6698	-56.6177	43.2782
			7.4368	-43.2022	58.0757
			21.2822	-29.5356	72.1001
			19.1169	-32.0283	70.2620
			2.5209	-48.7140	53.7558
			-1.4753	-52.6685	49.7179
			-8.3178	-59.3686	42.7330
			20.6240	-30.3657	71.6137
			11.7056	-39.0037	62.4150
			2.6396	-36.0613	41.3405
			12.9805	-36.6568	62.6177
			31.1705	-19.3079	81.6490
			11.0245	-40.1560	62.2050
			27.6597	-22.9260	78.2454
			-10.3585	-61.4439	40.7269
			6.4906	-44.7533	57.7345
			10.9088	-40.3295	62.1471
			-6.3570	-57.4778	44.7639
			27.4574	-23.0693	77.9842
			-17.5149	-68.1171	33.0872
			33.0984	-17.5583	83.7551
			26.4393	-24.5970	77.4755
			0.3345	-50.8698	51.5388
			-6.0534	-56.4208	44.3141
			3.7625	-47.3066	54.8317
			-25.3221	-76.1620	25.5178
			19.5298	-31.3220	70.3816
			-20.8371	-71.6505	29.9762
			-12.9534	-63.9315	38.0246
			-20.4564	-69.7872	28.8745
			-7.2787	-58.1104	43.5530
			3.6446	-47.5376	54.8268
			-30.3284	-80.6854	20.0286
			28.0814	-22.4730	78.6359
			3.9765	-37.0488	45.0017
			-11.0738	-62.2851	40.1374
			-14.0776	-65.1176	36.9624
			-17.3640	-67.3964	32.6683
			3.6203	-47.6074	54.8481
			13.6091	-37.5453	64.7636
			-17.4134	-68.5347	33.7079
			-14.4674	-65.4316	36.4968
			4.9588	-46.2466	56.1643
			25.0177	-25.7733	75.8087
			-25.8147	-76.5983	24.9690
			-15.9546	-67.0693	35.1600
			-22.5584	-73.2294	28.1126
			-25.9105	-76.7866	24.9657
			10.7575	-39.4114	60.9264
			-37.3978	-88.1530	13.3575
			-34.2591	-85.0080	16.4898
			-28.4395	-79.1662	22.2873
			7.1019	-43.8000	58.0038
			-1.1487	-51.1280	48.8305
			-25.1404	-76.1545	25.8736
			-33.8536	-84.6079	16.9008
			35.4639	-15.3332	86.2611
			-23.3846	-74.2392	27.4701
			-3.8124	-54.9315	47.3066
			-18.0134	-69.2128	33.1859
			-30.1234	-80.9801	20.7333
			-24.4395	-75.2474	26.3685
			-25.1041	-76.0837	25.8755
			-0.6512	-51.4711	50.1687
			-16.2161	-66.5045	34.0724
			-1.5388	-52.6389	49.5613
			-29.2822	-79.9380	21.3737
			-20.0506	-71.2057	31.1045
			7.1426	-43.6939	57.9791
			-19.7381	-70.3403	30.8641
			-16.6074	-67.4100	34.1953
			-2.1240	-53.2381	48.9901
			-19.1491	-69.7304	31.4321
			7.7141	-42.8786	58.3068
			12.8733	-37.9695	63.7160
			-16.4096	-67.6248	34.8056
			37.0681	-13.3471	87.4834
			-15.4789	-65.6088	34.6509
			7.4797	-43.7139	58.6732
			-9.8804	-60.4900	40.7292
			34.3137	-15.6535	84.2810
			6.7098	-44.2910	57.7105
			9.9425	-41.0808	60.9658
			9.2656	-40.0972	58.6285
			-32.9906	-83.4306	17.4494
			0.1865	-51.0727	51.4458
			-0.4577	-51.3953	50.4799
			-10.3484	-61.4071	40.7103
			-3.4172	-54.6044	47.7701
			1.6651	-49.3512	52.6814
			-10.0063	-61.3041	41.2914
			15.1540	-35.5594	65.8675
			3.0794	-48.2116	54.3703
			5.5574	-44.2786	55.3934
			11.1460	-39.8436	62.1357
			-30.2489	-81.1894	20.6917
			-13.1520	-64.1954	37.8915
			-3.4228	-54.4306	47.5849
			-17.7521	-68.8004	33.2962
			-35.8769	-86.7118	14.9581
			-14.4932	-65.1229	36.1365
			-0.1188	-51.1060	50.8683
			3.7897	-47.3559	54.9354
			21.9194	-27.6652	71.5039
			26.7776	-23.9676	77.5227
			5.5205	-45.6555	56.6965
			13.3664	-37.6893	64.4221
			13.7147	-36.6026	64.0320
			9.4851	-41.3890	60.3592
			29.1797	-21.6240	79.9835
			-15.7831	-66.8133	35.2470
			-22.7078	-73.6132	28.1977
			-4.3393	-55.4381	46.7594
			37.4241	-12.6945	87.5427
			16.4062	-34.4985	67.3108
			0.1738	-50.7715	51.1190
			-7.8769	-59.1793	43.4256
			-13.8921	-64.7886	37.0044
			-8.0860	-59.1509	42.9788
			-17.1031	-68.0762	33.8699
			-4.4151	-55.6334	46.8032
			-30.9607	-81.7690	19.8475
			32.0094	-18.7677	82.7865
			31.7837	-19.0185	82.5860
			5.2169	-45.8980	56.3317
			-5.0515	-56.1756	46.0727
			18.5197	-32.4990	69.5385
			-5.7714	-56.9352	45.3925
			25.2208	-25.5482	75.9898
			-12.6104	-63.1297	37.9090
			21.7828	-28.2603	71.8259
			10.2245	-40.9908	61.4398
			-9.4350	-55.3153	36.4453
			-5.0919	-55.8748	45.6909
			32.6112	-17.5312	82.7536
			44.5121	-5.9272	94.9515
			35.8486	-14.8237	86.5210
			43.8482	-6.2251	93.9214
			35.3981	-15.1079	85.9040
			-5.3886	-56.6237	45.8465
			-19.5086	-70.3569	31.3398
			-28.7582	-79.6589	22.1426
			-8.0440	-58.6477	42.5597
			9.2664	-41.7655	60.2984
			-2.1800	-53.1386	48.7786
			-8.6818	-58.6147	41.2510
			5.6651	-45.3400	56.6702
			-18.4257	-69.4724	32.6210
			12.4336	-38.0096	62.8769
			-15.3049	-65.8878	35.2780
			-17.3295	-68.1602	33.5013
			-2.4444	-53.5238	48.6351
			-13.7255	-64.1018	36.6508

stats = 0.2171 12.1355 0.0000 388.8866

Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШСП= 34.4446 - 0.0248 Hb + 0.4860 СОЭ + 0.0269 СРБ +0.6 296Фибриноген

R²=0.2171 - 21.71% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=12.1355

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.

Далее произведем анализ остатков и исключим из выборки экстремальные наблюдения. а затем заново рассчитаем уравнение множественной регрессии.

Новое уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШСП= 32.6943 - 0.0638 Hb + 0.4418 СОЭ + 0.0269 СРБ +1.9637 Фибриноген

stats =0.5550; 34.9170; 0; 111.2369;

R²=0.5550 - 55.50% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=34.9170

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.

Вывод: исходя из полученного уравнения, можно сделать вывод о том, что наилучшим предсказывающим фактором для ВАШСП является фибриноген.

Зависимость ВАШБП и ВАШСП от показателей активности в динамике

Разобьем наши данные на три группы. В первую группу войдут данные полученные до лечения. во вторую данные после 2 месяцев лечения а в третью после трех месяцев.

Так как ранее мы уже проводили исследование на проверку распределения выборок то мы можем воспользоваться параметрическим методом дисперсионного анализа для проверки различий средних. Проверка необходима для подтверждения целесообразности разделения данных, если это подтвердится, то затем мы рассчитаем для каждой группы уравнение зависимости ВАШСП и ВАШБП от показателей активности заболевания.

3 Дисперсионный анализ

Таблица 2.1.1. Зависимость Hb от стадии лечения

1 группа	2 группа	3 группа
124	125	134
124	115	104
110	118	130
93	117	136
133	114	150
129	123	136
149	150	105
122	125	146
145	103	146
124	142	138
99	150	158
125	140	154
137	94	141
156	129	134
148	156	150
138	141	150
144	148	114
133	141	109
145	135	157
121	150	161
126	150	133
128	127	166
120	158	168
150	131	136
123	162	142
150	121	118
160	144	126
139	160	140
152	140	101
146	110	123
142	135	117
137	106	151
148	126	142
130	154	144
152	140	120
126	110	107
118	116	114
140	136	124
166	122	120
128	150	115
165	112
143	124
132	137
130	130
126	160
166	150
168
128
126
114
142
156
170
119
128
163
135
120
120
106
130
156
114
137
142
121
140
121
136
125
138
150
154
127
153
120
171
128
124
130
127
130
138
122
160
104
121
131
127
109
158
132
134
164

После вычислений получаем:

p =0.7913

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа

Таблица №2.1.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	136,7	2	68,326
Остаточная	51587,5	177	291,455
Полная	51724,2	179	-----

p>pкр

Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень гемоглобина в крови не зависит от стадии лечения.

Таблица 2.2.1. Зависимость СОЭ от стадии лечения

1 группа	2 группа	3 группа
18	14	5
19	4	10
42	12	15
66	17	3
25	14	3
10	5	38
13	2	49
28	40	5
3	30	3
26	6	19
28	3	2
38	26	3
28	69	10
1	25	5
52	3	3
48	35	5
26	6	16
14	3	5
12	5	4
48	1	4
19	5	10
28	5	1
25	7	4
6	6	15
11	3	2
26	10	10
2	2	10
51	2	10
24	12	34
13	37	38
6	18	25
10	58	2
2	10	10
30	4	17
2	10	15
3	23	8
46	12	5
56	5	10
3	12	35
11	12	39
4	10
4	30
24	24
11	40
7	2
1	2
7
9
20
34
4
24
1
35
16
1
36
22
34
50
28
14
64
30
9
32
10
21
3
7
22
26
12
6
1
18
1
2
10
26
6
4
12
25
4
40
52
18
62
40
7
5
3
8

После вычислений получаем:

p = 0.0219

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа

Таблица №2.2.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	136,7	2	68,326
Остаточная	51587,5	177	291,455
Полная	51724,2	179	-----

p<pкр

Вывод:

Следовательно мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости СОЭ зависит от стадии лечения. Используя функцию multcompare, целесообразно определить для какой пары выборок средние арифметические значения имеют статистически значимое различие. Для проверки такой параметрической гипотезы используется процедура множественного сравнения. При проверке простой параметрической гипотезы (нулевой гипотезы) о равенстве средних одной группы выборок по отношению к другой по статистике t необходимо задать уровень значимости , определяющий критическое значение статистики. Примем равным 0,05. Это означает, что в 5% случаев будет неверно отвергнута нулевая гипотеза.

При увеличении групп выборок, увеличивается число проверяемых гипотез.

При использовании простой параметрической гипотезы по статистике t, уровень значимости будет применяться к каждой гипотезе отдельно, что повлечет к росту вероятности неверно отвергнуть нулевую гипотезу пропорционально количеству выполненных проверок. Т.е., неверно определить значимое отличие выборочных средних. Процедура множественного сравнения обеспечивает заданный уровень значимости для каждой проверки.

Выходной параметр с представляет результаты множественного сравнения в виде матрицы из 5 столбцов. Срока матрицы с соответствуют результатам проверки одной параметрической гипотезы. Таким образом, каждая строка с соответствует одной паре выборок. Первые два значения в строке с показывают номера сравниваемых выборок, пятый - величину разности средних арифметических сравниваемых выборок, четвертый и третий столбцы - 95% доверительный интервал полученной разности средних арифметических.

Таблица 2.2.3 Различия между средними для СОЭ

№ группы	№ группы	Нижняя граница доверительного интервала	Разница средних арифметических	Верхняя граница доверительного интервала
1 группа	2 группа	-1.2331	5.3127	11.8585
1 группа	3 группа	0.5745	7.4420	14.3096
2 группа	3 группа	-5.7354	2.1293	9.9941

Полученные значения показывают, что значимая разница средних арифметических наблюдается между 1 и 3 группой, величина их разности равна 7.4420, 95% доверительный интервал полученной разности средних арифметических составил [0,5745, 14.3096]. Различия считаются значимыми, если в доверительный интервал не попало нулевое значение. Т.е. средние арифметические выборок статистически значимо отличаются друг от друга, для .

Отобразим графически значения средних арифметических и их доверительных интервалов. Два выборочных средних значимо отличаются, если их доверительные интервалы не пересекаются на графике. При наложении границ доверительных интервалов двух средних арифметических, различие между ними можно считать статистически незначимым.

Таблица 2.3.1. Зависимость СРБ от стадии лечения

1 группа	2 группа	3 группа
0	0	0
6	0	0
96	0	0
192	0	0
0	6	0
0	0	96
0	0	48
0	192	0
0	48	0
0	0	48
48	0	0
0	192	0
12	768	6
0	6	0
384	0	0
192	96	0
12	24	0
48	6	0
0	0	0
96	0	0
0	0	0
48	0	0
0	0	0
12	0	0
6	0	0
6	0	0
0	0	0
96	0	0
48	0	12
6	0	96
0	0	0
0	48	0
0	0	0
0	0	48
0	0	0
0	12	0
768	0	0
96	0	0
0	0	48
0	0	48
0	0
0	96
0	96
12	48
0	0
0	0
6
0
6
6
0
48
0
6
6
0
12
0
0
192
0
6
48
6
0
0
0
0
0
0
12
12
6
0
0
48
0
0
0
0
0
0
96
0
0
0
48
0
384
48
0
0
0
0

После вычислений:

p = 0.4019

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа

Таблица №2.3.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	16791,5	2	8395,73
Остаточная	1621687,7	177	9162,08
Полная	1638479,2	179	-----

p>pкр

Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень СРБ в крови не зависит от стадии лечения.

Таблица 2.4.1. Зависимость фибриногена от стадии лечения

1 группа	2 группа	3 группа
3,00	4,00	3,75
4,50	4,00	4,00
3,50	3,00	3,00
7,25	4,00	2,75
4,00	3,00	2,00
3,25	3,20	6,00
5,50	2,00	3,50
4,00	8,75	3,00
3,25	4,00	2,50
5,00	4,00	4,75
3,60	5,00	3,00
4,25	5,00	2,75
4,25	7,50	3,25
3,00	4,00	2,50
10,20	3,25	2,00
4,75	2,90	3,10
4,50	3,25	2,00
5,00	2,90	3,25
5,50	3,00	3,25
5,50	2,00	3,00
3,75	3,00	3,25
3,75	2,00	3,25
4,50	3,00	4,00
5,75	2,93	3,00
3,00	4,25	2,00
4,25	3,25	3,25
3,75	2,50	2,50
5,25	3,00	3,25
6,25	3,50	4,30
2,25	5,00	4,25
3,25	3,30	4,00
2,50	5,00	2,25
2,75	4,25	2,10
4,00	2,00	4,75
2,75	3,25	3,50
4,00	4,25	3,00
4,50	3,50	2,00
6,75	3,00	1,75
3,25	2,00	4,25
3,75	3,50	3,00
3,25	4,00
4,00	3,50
4,25	3,00
3,50	2,75
2,60	3,00
2,75	2,75
4,25
2,00
3,75
5,25
2,00
5,75
2,50
5,50
3,50
3,25
7,25
3,75
3,00
7,00
5,50
4,00
7,50
3,50
4,00
5,50
6,75
2,50
3,10
3,00
6,75
4,50
3,50
2,50
2,50
4,50
3,00
2,15
2,80
3,75
2,50
3,00
3,25
3,50
3,75
5,25
5,10
4,50
12,20
5,75
5,50
3,00
2,50
3,00

p = 0.0003

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа

Таблица №2.4.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	34,806	2	17,4029
Остаточная	365,662	177	2,0659
Полная	400,467	179	-----

p<pкр

Вывод:

Следовательно мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости фибриноген зависит от стадии лечения. Используя функцию multcompare, целесообразно определить для какой пары выборок средние арифметические значения имеют статистически значимое различие.

Таблица 2.4.3 Различия между средними для фибриногена

№ группы	№ группы	Нижняя граница доверительно интервала	Разница средних арифметических	Верхняя граница доверительного интервала
1 группа	2 группа	-0.1003	0.6532	1.4067
1 группа	3 группа	0.2579	1.0484	1.8389
2 группа	3 группа	-0.5101	0.3952	1.3005

Полученные значения показывают, что значимая разница средних арифметических наблюдается между 1 и 3 группой, величина их разности равна 1.0484, 95% доверительный интервал полученной разности средних арифметических составил [0,2579, 1.8389]. Т.е. средние арифметические выборок статистически значимо отличаются друг от друга, для .

Отобразим графически значения средних арифметических и их доверительных интервалов.

Таблица 2.5.1. Зависимость ВАШБП от стадии лечения

1 группа	2 группа	3 группа
15	36	5
28	20	38
63	38	5
45	15	0
40	53	5
80	12	65
20	23	57
48	40	5
75	52	0
35	25	25
55	0	5
85	70	20
45	95	21
43	25	5
45	10	10
50	27	15
50	40	15
56	45	23
10	15	35
55	17	3
45	25	10
95	25	37
32	10	7
25	35	10
70	12	5
45	28	25
28	15	10
27	25	2
75	17	35
45	70	60
55	45	45
35	55	20
33	40	13
5	25	30
45	20	5
35	40	55
73	75	30
55	30	25
56	55	16
43	15	30
55	30
20	20
53	40
30	35
55	35
55	15
15
70
60
25
25
35
33
65
45
50
25
45
44
100
65
55
64
15
15
40
45
57
40
33
55
50
55
40
0
45
48
30
67
65
50
45
55
27
58
45
30
50
35
20
78
50
60
75

После вычислений получаем:

p = 4.8659e-011

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа

Таблица №2.5.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	19350,2	2	9675,1
Остаточная	62873,6	177	355,22
Полная	82223,8	179	-----

p<pкр

Вывод:

Следовательно мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости ВАШБП зависит от стадии лечения. Используя функцию multcompare, целесообразно определить для какой пары выборок средние арифметические значения имеют статистически значимое различие.

Таблица 2.5.3 Различия между средними для ВАШБП

№ группы	№ группы	Нижняя граница доверительно интервала	Разница средних арифметических	Верхняя граница доверительного интервала
1 группа	2 группа	3,7045	13,5851	23,4657
1 группа	3 группа	15,0439	25,4101	35,7763
2 группа	3 группа	-0.0464	11,8250	23,6964

Полученные значения показывают, что значимая разница средних арифметических наблюдается между 1 и 2 группой и 1 и 3 группой.

Отобразим графически значения средних арифметических и их доверительных интервалов.

Таблица 2.6.1. Зависимость ВАШСП от стадии лечения

1 группа	2 группа	3 группа
20	41	10
53	30	50
68	43	3
55	17	0
43	60	5
75	15	63
12	20	58
40	41	10
67	43	0
38	40	80
80	5	10
80	80	30
41	95	20
65	35	5
50	20	9
48	35	10
45	40	40
50	48	20
25	18	33
40	18	5
55	40	18
89	60	40
60	10	15
25	20	10
70	12	20
50	28	35
50	30	20
55	35	2
55	29	37
60	68	55
55	45	50
40	70	25
32	50	20
40	34	39
54	30	10
47	32	50
80	75	20
78	30	20
65	19	50
50	10	40
62	31
25	60
52	45
50	45
30	39
60	15
19
70
70
35
32
28
40
65
25
70
38
52
40
100
55
50
78
15
38
50
62
70
40
50
60
56
68
20
10
40
70
50
70
78
41
30
60
40
60
42
83
53
70
51
70
80
70
80

После вычислений получаем:

p =1.0573e-011

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа

Таблица №2.6.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат
Между выборками	21595,1	2	10797,6
Остаточная	65337,4	177	369,1
Полная	86932,6	179	-----

p<pкр

Вывод:

Следовательно мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости ВАШСП зависит от стадии лечения. Используя функцию multcompare, целесообразно определить для какой пары выборок средние арифметические значения имеют статистически значимое различие.