Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский Государственный Университет им. Н.Г. Чернышевского

Кафедра системного анализа

и автоматического управления

Курсовая работа

Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса)

Студентки 1 курса факультета

компьютерных наук и информационных

технологий

Агаповой Светланы Валерьевны

Саратов 2010

Содержание:

Введение

§1. Классическое определение вероятности

§2. Геометрическое определение вероятности

§3. Частота случайного события и «статистическое определение» вероятности

§4. Условная вероятность

§5. Формула полной вероятности

§6. Теоремы сложения и умножения вероятностей

§7. Формула Бейеса (теория гипотез)

Заключение

Список литературы

Введение

Общие понятия

Наиболее важные показатели надежности невосстанавливаемых объектов - показатели безотказности, к которым относятся:

· вероятность безотказной работы;

· плотность распределения отказов;

· интенсивность отказов;

· средняя наработка до отказа.

Показатели надежности представляются в двух формах (определениях):

- статистическая (выборочные оценки);

- вероятностная.

Статистические определения (выборочные оценки) показателей получаются по результатам испытаний на надежность.

Допустим, что в ходе испытаний какого-то числа однотипных объектов получено конечное число интересующего нас параметра - наработки до отказа. Полученные числа представляют собой выборку некоего объема из общей «генеральной совокупности», имеющей неограниченный объем данных о наработке до отказа объекта.

Количественные показатели, определенные для «генеральной совокупности», являются истинными (вероятностными) показателями, поскольку объективно характеризуют случайную величину - наработку до отказа.

Показатели, определенные для выборки, и, позволяющие сделать какие-то выводы о случайной величине, являются выборочными (статистическими) оценками. Очевидно, что при достаточно большом числе испытаний (большой выборке) оценки приближаются к вероятностным показателям.

Вероятностная форма представления показателей удобна при аналитических расчетах, а статистическая - при экспериментальном исследовании надежности.

Для обозначения статистических оценок будем использовать знак сверху.

Примем следующую схему испытаний для оценки надежности.

Пусть на испытания поставлено N одинаковых серийных объектов. Условия испытаний идентичны, а испытания каждого из объектов проводятся до его отказа.

Введем следующие обозначения:

- случайная величина наработки объекта до отказа;

- число объектов, работоспособных к моменту наработки t;

- число объектов, отказавших к моменту наработки t;

- число объектов, отказавших в интервале наработки ;

- длительность интервала наработки.

Теория вероятностей -- раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Основные понятия теории множеств .

Одним из основных понятий является - случайное событие.

Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Теория вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на понятия теории множеств.

Множество - это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.

Предположим, что производится некоторый опыт (испытание), результат которого заранее неизвестен. Тогда множество всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент (отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества и является случайным событием, т. е. любое событие - это подмножество множества

В общем случае, если множество содержит элементов, то в нем можно выделить подмножеств (событий).

Введем ряд определений

Совместные (несовместные) события - такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

Зависимые (независимые) события - такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

Противоположное событие относительно некоторого выбранного события - событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается ).

Полная группа событий - такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности.

§1. Классическое определение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события , если появление этого события влечет за собой появление события .

Пример. В урне находится пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от до). Шары с цифрами красные, остальные - черные. Появление шара с цифрой (или цифрой или цифрой ) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой ) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

Вероятностью события называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

P ;

Свойство1.Вероятность достоверного события равна единицеСвойство2.Вероятность невозможного события равна нулю.Свойство3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Пример достоверного события: В урне пронумерованных шаров с номерами от до . Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит ?

Решение. Пусть событие (Номер вынутого шара не превосходит ). Число случаев благоприятствующих появлению события равно числу всех возможных случаев . Следовательно, . Событие достоверное.

Пример случайного события: В урне шаров: белых и черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение. Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов:

.

Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно

.

Искомая вероятность

.

Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение. Так как синих шаров в урне нет, то . Пример невозможного события: В урне шаров: белых и черных. Следовательно, искомая вероятность . Событие, заключающееся в вынимании синего шара, невозможное.

§2. Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы - это отдельные точки , любое событие - это подмножество этой области, пространства элементарных исходов . Можно считать, что все точки «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события определяется отношением:

где - геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события .

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной, расстояние между осевыми линиями которых равно , наудачу брошен круг радиуса . Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов - это отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е.

Для искомой вероятности получаем

.

§3. Частота случайного события и «статистическое определение» вероятности

Пусть - случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Представим себе, что это испытание произведено раз и при этом событие наступило в случаях. Тогда отношение

называется частотой события в данной серии испытаний.

Определение. Вероятностью случайного события называется число , около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний.

Пример1.Наблюдения показывают, что в среднем среди новорожденных детей мальчиков. Частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна .

Пример2.Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету раз, и при этом герб выпал в случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Пример 3. Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету раз, причем герб выпал раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Примеры 2 и 3 подтверждают естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна .

§4. Условная вероятность

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события при дополнительном условии, что произошло событие .

Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В частности, отсюда получаем

.

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие - появление белого шара при первом вынимании. Событие - появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события , если событие произошло, будет

.

Вероятность события при условии, что событие не произошло, будет

.

§5. Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события при наступлении события .

Теорема. Вероятность события , которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события .

Фактически эта формула полной вероятности уже использовалась при решении примеров, приведенных выше, например, в задаче с револьвером.

Доказательство. Т.к. события образуют полную группу событий, то событие можно представить в виде следующей суммы:

Т.к. события несовместны, то и события тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

При этом

Окончательно получаем: Теорема доказана.

Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна , для второго - , для третьего - . Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .

Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

- для первого стрелка:

- для второго стрелка:

- для третьего стрелка:

Искомая вероятность равна:

§6. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий или .

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

В случае, когда события и совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Где - произведение событий и .

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью события называется вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло. Аналогично через обозначается условная вероятность события при условии, что событие наступило.

Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном появлении события и события .

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий иравна произведению вероятностей этих событий:

Следствие. При производимых одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события появляется с вероятностью , вероятность появления события хотя бы один раз равна

§7. Формула Байеса (формула гипотез)

Теорема Байеса, Формула Байеса -- одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза), имея на руках лишь косвенные тому подтверждения (данные), которые могут быть неточны. Названа в честь ее автора, преп. Томаса Байеса (посвященная ей работа впервые опубликована в 1763 году, уже после его смерти). Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений.

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности .

Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы относительно события , т.е. условные вероятности .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Эта формула называется формулой Бейеса.

Доказательство. По Теореме умножения вероятностей получаем:

Тогда если

;

Для нахождения вероятности используем формулу полной вероятности.

Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью , то формула Бейеса принимает вид

Заключение

«Физический смысл»

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они -- предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную -- с учетом факта произошедшего события -- апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).

Можно также уточнять вероятность гипотезы, учитывая другие имеющиеся данные (другие произошедшие события). Для учета каждого следующего события нужно в качестве априорной вероятности гипотезы подставлять ее апостериорную вероятность с предыдущего шага.

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П.Л. Чебышёв, А.А. Марков и А.М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Достижения

Математические интересы Байеса относились к теории вероятностей. Он сформулировал и решил одну из основных задач этого раздела математики (теорема Байеса). Работа, посвящённая этой задаче, была опубликована в 1763 году, уже после его смерти. Формула Байеса, дающая возможность оценить вероятность событий эмпирическим путём, играет важную роль в современной математической статистике и теории вероятностей. Для профессиональной работы лучше совмещать метод Байеса и использование базы данных для нахождения точных абсолютных частот и точных вероятностей. У каждого из методов есть свои сильные и слабые стороны.

Метод Байеса позволяет получить нечеткую вероятностную оценку даже для случаев, когда именно этот оцениваемый набор свидетельств ранее никогда не встречался. Но мы видим, что пользуясь методом Байеса трудно получить точную оценку вероятностей, например, для суперпозиции свидетельств Борясь с прерываниями мы вынуждены использовать системные 0 и 1.

Другой подход - использование базы объектов и свидетельств, - позволяют найти точные частоты для суперпозиции свидетельств . Но если именно такая комбинация свидетельств не встречалась ранее ни в одном объекте, то мы получим оценку апостериорной вероятности 0. Для дополнительного учета данных о свидетельствах, составляющих суперпозицию, нужны дополнительные усилия и предположения о степени их взаимной зависимости. При этом точность выводов будет неизбежно зависеть от оправданности этих предположений.

При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приемочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определенному числу р₀, например, р₀ = 0,23.

Современное представление о математической статистике

Под математической статистикой понимают «раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использование их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надежность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала» [1, с.326]. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

По типу решаемых задач математическая статистика обычно делится на три раздела: описание данных, оценивание и проверка гипотез.

По виду обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления:- одномерная статистика (статистика случайных величин), в которой результат наблюдения описывается действительным числом;- многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом

Описывается несколькими числами (вектором);- статистика случайных процессов и временных рядов, где результат наблюдения - функция;- статистика объектов нечисловой природы, в которой результат наблюдения имеет нечисловую природу, например, является множеством (геометрической фигурой), упорядочением или получен в результате измерения по качественному признаку.

Исторически первой появились некоторые области статистики объектов нечисловой природы (в частности, задачи оценивания доли брака и проверки гипотез о ней) и одномерная статистика. Математический аппарат для них проще, поэтому на их примере обычно демонстрируют основные идеи математической статистики.

Лишь те методы обработки данных, т.е. математической статистики, являются доказательными, которые опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов. Речь идет о моделях поведения потребителей, возникновения рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента, течения заболевания и т.п. Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Соответствие вероятностной модели реальности, т.е. ее адекватность, обосновывают, в частности, с помощью статистических методов проверки гипотез.

Список литературы

статистический показатель вероятность событие

1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. акад. РАН Ю.В. Прохоров. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. - 910с.

2. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник. 2-е изд. - М.: Экзамен, 2003. - 576 с.

3. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. - М.-Л.: ОНТИ, 1936. - 80 с.

4. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. - М.: Наука, 1987. - 304 с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. 7-е изд., исправл. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 320 с.

6. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - 648 с.

Размещено на Allbest