Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат по математике на тему

«Теория вероятности»

Исполнитель

Ученик 11класса

Руководитель:

Белокопытова Елена Николаевна

Оглавление

Введение

Классическое определение вероятности

Частость наступления события

Элементы комбинаторики

Геометрические вероятности

Операции над событиями

Сложение и умножение вероятности

Формула Байеса

Формула повторных независимых испытаний (система Бернулли)

Случайные величины

Список используемой литературы

Введение

Теория вероятности -- раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий и они формулировались в наглядных представлениях. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Яков Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Например: определить однозначно результат выпадения “орла” или “решки” в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число “орлов” и “решек”.

Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

Например: испытание - подбрасывание монеты.

Результатом испытания является событие. События бывают

Достоверные (всегда происходят в результате испытания);

Невозможные (никогда не происходят);

Равновероятные (имеют равные возможности произойти), менее вероятные и более вероятные;

Случайные (могут произойти или не произойти в результате испытания).

Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани, равновероятное событие - кубик станет на четную грань.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием.

В результате испытания происходят только элементарные события.

Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.

Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”.

Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.

Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.

Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.

Например: испытание - подбрасывание кубика.

Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.

Введем следующие обозначения:

Р - случайное событие;

Е - достоверное событие;

U - невозможное событие.

Классическое определение вероятности

ТЕОРЕМА

Пусть пространство элементарных событий состоит из их конечного числа и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными.

Пусть х - произвольное событие.

А1, А2, …, Аn - группа событий, где n - количество событий.

Аi - любое из событий группы, которое приводит к наступлению события х.

Тогда Аi, называется благоприятствующим и вероятное событие определяется

где m - число элементарных событий, n - общее число элементарных событий, то есть:

Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна дроби, числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий. Такое определение вероятности было дано впервые в работах французского математика Лапла'са, и называется классическим.

СВОЙСТВА

1о

Вероятное событие принадлежит промежутку от нуля до единицы

2о P(Е)=1 Вероятность достоверного события равна единице

3о P(U)=0 Вероятность невозможного события равна нулю

Задача

Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из возможных исходов, причем все эти исходы равновероятны.

Одновременно бросаются 3 монеты. Определить вероятность того, что:

1) выпадут 3 орла;

2) выпадут 2 орла и 1 решка;

3) выпадут 2 решки и 1 орёл;

4) выпадут 3 решки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1) n=23

m=1

P(x)=

2) n=23

m=3

P(x)=

3) n=23

m=3

P(x)=

4) n=23

m=1

P(x)=

Рассмотрим еще несколько экспериментов на примере таблицы:

Эксперимент	Число возможных исходов (n)	Событие А	Число благоприятных исходов (m)	Вероятность наступления события А P(A)=
Вытягиваем экзаменационный билет	24	Вытянули несчастливый билет.	1
Бросаем кубик	6	На кубике - четное число очков	3
Играем в лотерею	250	Выиграли, купив один билет	10

Частость наступления события

Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают множество всех подмножеств пространства элементарных событий и невозможное событие V. Пример:

=(1, 2, 3)

A1=V

A2=(1)

A3=(2)

A4=(3)

A5=(1, 2)

A6=(2, 3)

A7=(1, 3)

A8=(1, 2, 3)

Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AF. Проводим серию испытаний в количестве n, где n - это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A.

Частостью наступления события A в n испытаниях называется отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов

Свойства частости.

Частость достоверного события равна 1. ?n(U)=1.

Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей.

Рассмотрим систему Ai, i=1, ..., k; события попарно несовместны, т.е.

Событие

Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению суммы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (ij) в этом испытании произойти не может. Следовательно:

nA=nA1+nA2+...+nAk

Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.

Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.

К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.

Элементы комбинаторики

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

Но прежде, чем перейти к рассмотрению задач, ознакомимся с элементами комбинаторики.

Соединение - это множество элементов однородной структуры. Включает в себя 3 типа:

1) перестановка из n-элементов - такие соединения, которые содержат все n элементы, при этом перестановка от перестановки отличается только местом элемента.

Pn==n!=1*2*3*4*5*…*n

где Pn - перестановка, n - число перестановок.

2) размещение из n-элементов по m называют соединения, которые содержат m элементов некоторого n-мерного множества, и размещение от размещения отличаются местом и значением элементов.

где - число всевозможных элементов.

3) сочетание из n-элементов по m называют соединения, которые содержат m элементов, и сочетание от сочетания отличается только значением элемента.

ЗАДАЧА №1

Имеется корзина. В ней 20 шаров, из них 5 белых и 15 черных. Из корзины произвольно вынимается 3 шара. Определить вероятность того, что:

1) все шары будут белыми;

2) 2 белых и 1 черный;

3) все шары будут черными.

1) n= C n=5 (n-1)=4 (n-m+1)=3

m= C 3 - количество сомножителей

P(x)=

2) n= m=

P(x)=

3) n= C

m= C

P(x)=

ЗАДАЧА №2

Один раз бросаются 2 игральные кости. Определить вероятность того, что:

1) В сумме выпадет 5 очков;

2) На каждой кости будет четное число очков;

Бросаются 4 кости. Определить вероятность того, что:

3) На костях будет различное количество очков.

1) n=6*6=62

m=4 5 очков: 4+1; 2+3; 3+2; 1+4. (4 варианта)

P(x)=

2) n=62

m=9 Возможные варианты совпадения очков: 2-2, 2-4, 2-6, 4-2, 4-4, 4-6, 6-2, 6-4, 6-6

P(x)=

3) n=64

m=6*5*4*3

P(x)=

ЗАДАЧА №3

Имеется группа из 30 человек. В нее входят 20 студентов, 7 преподавателей и 3 лаборанта. 7 человек должны пойти на дежурство. Определить вероятность того, что на дежурство пойдут:

1) 7 студентов;

2) 4 студента, 2 преподавателя, 1 лаборант.

3) 5 студентов, если 1 преподаватель и 1 лаборант уже на дежурстве.

1)

P(x)=

2)

P(x)=

3) 2 - уже на дежурстве

P(x)=

ЗАДАЧА №4

Определить МАХ вероятность выигрыша 6 из 45

n= m=1

P(x)=

ЗАДАЧА №5

Из 40 вопросов к экзамену студент подготовил 30. Билет содержит 3 вопроса. Определить вероятность того, что студент получит оценку:

1) «5»

2) «4»

3) «3»

4) «2»

1) n=

m=

P(x)=

2) n=

m=

P(x)=

3) n=

m=

P(x)=

4) n=

m=

P(x)=

Однако существует единый подход к решению самых разнообразных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название - дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Рассмотрим это на примере следующей задачи:

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Для ее решения построим специальную схему:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Геометрические вероятности

Пусть имеется замкнутая область G, в ней помещается область g. Произвольным образом ставится точка А в область G. Эта точка может попасть в область g, тогда вероятность того, что точка А попадет в область g определяется по формуле

где g - благоприятная область, G - вся возможная область.

Вероятности, определенные с помощью мер, называются геометрическими.

Существует целая серия задач, в которых можно по-другому подойти к определению вероятности случайного события, как говорят математики - из геометрических соображений.

ЗАДАЧА №1

На квадратном столе площадью 0,6 м2 выделен черный квадрат площадью 0,04 м2. Как определить вероятность того, что фишка попадет в черный квадрат, если ее бросить на стол наугад?

P=

ЗАДАЧА №2

Палка длиной 10 см произвольно ломается на 2 части. Определить вероятность того, что один из обломков будет менее 3 см.

x - излом

G: 0<x<10

Мера G=10

G: 0<x<3

7<x<10

Мера g=6 (3 см + 3 см)

ЗАДАЧА №3

На плоскость нанесена сетка, ячейка которой прямоугольник 10х20. Бросается шарик d= 5 см. Определить вероятность того, что шарик свободно пройдет через сетку.

G: 0<x<10

0<y<20

Мера G=10*20=200

g: 2,5<x<7,5

2,5<y<17,5

Мера g=5*15=75

P(x)=0,375

событие сложение умножение вероятность

Операции над событиями

1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B.

При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.

Формулы де Моргана:

(противоположность суммы событий А и В равна сумме противоположностей событий А и В) и

(противоположность произведения событий А и В равна произведению противоположностей событий А и В)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания и если они не имеют общих элементарных событий.

C=AB=V

где V - пустое множество.

6. События А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из событий не зависит от появления другого.

Сложение и умножение вероятности

ТЕОРЕМА

Имеются два события А и В. Вероятность суммы событий равна сумме вероятности этих событий.

P(A+B)=P(A)+P(B)

СЛЕДСТВИЕ 1

Вероятность суммы событий группы равна сумме вероятности событий этой группы.

СЛЕДСТВИЕ 2

Сумма противоположных событий равна единице.

ЗАДАЧА

Стрелок производит три выстрела в мишень. Вероятности попадания равны 0,5; 0,2; 0,1. Определить вероятность промаха стрелка.

А1 - первое попадание;

А2 - второе попадание;

А3 - третье попадание;

1) Х=А1+А2+ А3

Р(Х)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3) =0,5+0,2+0,1=0,8

2) Р(Х)+Р()=1

Р()=1-Р(Х)=1-0,8=0,2

ТЕОРЕМА

Имеются два события А и В. Вероятность произведений событий равна произведению вероятности этих событий.

СЛЕДСТВИЕ 1

Имеется группа событий А1, А2, …, Аn.

Произведение событий данной группы состоит в появлении каждого из событий одновременно.

СЛЕДСТВИЕ 2

Имеется группа событий А1, А2, …, Аn.

Х - событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий группы.

Тогда вероятность события

P(X)=1- Р(А1)* Р(А2)*… Р(Аn)=1-

ЗАДАЧА

Три стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания равны 0,9; 0,8; 0,7. Определить вероятность того, что:

1) в мишень одно попадание;

2) в мишень два попадания

А1 - попал первый стрелок;

А2 - попал второй стрелок;

А3 - попал третий стрелок.

1) Х - одно попадание

Х= А1*

P(X)=0,9*(1-0,8)*(1-0,7)+(1-0,9)*0,8*(1-0,7)+(1-0,9)*(1-0,8)*0,7=0,054+0,024+0,014=0,092

2) Х - два попадания

Х= А1*

Р(Х)= 0,9*0,8*0,3+0,1*0,8*0,7+0,9*0,2*0,7=0,216+0,056+0,126=0,398

ТЕОРЕМА

Имеются два зависимых события А и В. Тогда вероятность произведения событий равна произведению вероятности первого события и условной вероятности второго события.

События называются зависимыми, если вероятность появления одного из событий зависит от наступления другого.

Условной вероятностью называют вероятность появления одного из событий, вычисленной при предположении, что другое событие уже произошло.

ЗАДАЧА

Имеется корзина с десятью шарами (три белых и семь красных). Последовательно вынимают три шара. Определить вероятность того, что:

1) они будут белыми;

2) они будут одного цвета;

1) А1 - первый белый шар;

А2 - второй белый шар;

А3 - третий белый шар;

P(A1)=, так как n=



Х = А1*А2*А3

P(X)=

2) В1 - первый красный шар;

В2 - второй красный шар;

В3 - третий красный шар;

Х = А1*А2*А3+ В1*В2*В3

P(B1) =

ТЕОРЕМА

Пусть имеются 2 совместных события. Вероятность их суммы равна сумме вероятности этих событий минус вероятность их произведений.

Р(А+В)=P(A)+P(B)-P(A*B)

События A и В называют совместными, если появление одного из событий не исключает появления другого.

ЗАДАЧА

Произвольным образом выбирается целое положительное число. Определить вероятность того, что число:

1) Делится на 5 и на 7;

2) Делится на 5 или на 7;

3) Не делится на 15 и 18;

4) Не делится на 15 или на 18;

1) А1 - делится на 5

А2 - делится на 7

Х - делится на 5 и 7 (А1* А2)

Р(А1)=

Р(А2)=

Р(Х)= *=

2) Х=А1+А2

Р(Х)=Р(А1)+Р(А2)-Р(А1*А2) +-=

3) А1 - не делится на 15

А2 - не делится на 18

Х - не делится на 15 и 18 (А1* А2)

P(A1)= P()=

P(A2)= P()=

P(X)=

4) Р(Х)=Р(А1)+Р(А2)-Р(А1*А2)

ЗАДАЧА

Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит их строя хотя бы один из трех элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя c вероятностью 0,3; 0,4; 0,6.

А1 - выйдет из строя первый элемент;

А2 - выйдет из строя второй элемент;

А3 - выйдет из строя третий элемент;

X - не будет разрыва цепи;

- будет разрыв цепи

= А1+А2+А3

P()=P(А1)+P(А2)+P(А3)- P(А1* А2)- P(А2*А3)- P(А1*А3)+ P(А1* А2*А3)=0,3+0,4+0,6-0,12-0,24-0,18+0,072=0,832

P(Х)=1- P()=1-0,832=0,168

Формула полной вероятности

Пусть имеется событие Х.

Оно наступает при появлении одного из событий А1, А2, …, Аn. Вероятность появления события Х вне зависимости от того, какое из событий наступило, вычисляется по формуле:

Событие Х - гипотеза вероятности.

ЗАДАЧА

Имеется три корзины. В первой - 3 белых и 5 черных шаров; во второй - 4 белых и 4 черных; в третьей - 5 белых и 3 черных шара. Из каждой корзины вынимается один шар.

Определить вероятность того, что он белый.

Х - белый шар

А1 - первая корзина;

А2 - вторая корзина;

А3 - третья корзина;

P(A1)=P(A2)=P(A3)=

Формула Байеса

Пусть имеется событие Х.

Оно наступает при появлении одного из событий А1, А2, …, Аn.

Определение вероятности события Х при условии, какая из гипотез, вероятнее всего, привела к его появлению, осуществляется по формуле:

где Px (Ai) - вероятность гипотезы при условии, что Х произошло;

P (Ai) - вероятность гипотезы;

- вероятность события Х при условии Ai.

ЗАДАЧА

Половина поступающих на склад изделий изготовляется в первом цехе, - во втором цехе, оставшиеся изделия - в третьем цехе. Доля брака составляет 0,2; 0,1; 0,1. Произвольно взятое изделие оказалось хорошим. В каком из цехов изготовлено изделие.

Х - изделие хорошее

А1 - первый цех; P(A1) = PA1(X)=0,8

А2 - второй цех; P(A2) = PA2(X)=0,9

А3 - третий цех; P(A3) = PA3(X)=0,9

P(X)= *+*+*=

PX(A1)=

PX(A2)=

PX(A3)=

Формула повторных независимых испытаний (система Бернулли)

Производится последовательность испытаний. Если вероятность появления события А не зависит от исхода предыдущих испытаний, то последовательность называется независимой относительно события А. Вероятность того, что в данных n независмых испытаниях события А наступят ровно n раз.

где рm - число положительных исходов P(A)=p;

qn-m - число противоположных исходов P()=q

ЗАДАЧА

Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41 размера равна 0,2. Определить вероятность того, что из первых пяти покупателей обувь этого размера будет необходима двум.

n=5 p=0,2 q=0,8

P5 (m=2)=

Случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает одно из своих возможных значений, заранее неизвестно какое. Закон распределения - это правило, которое устанавливает связь между случайной величиной и вероятностью этого события.

Х - случайная величина.

Х1, Х2, …, Хn - значения этой величины.

Х=ХiPi

где Хi - значение, Pi - вероятность,

F - правило или закон распределения случайной величины

Табличная формула носит название «Ряд распределения случайной величины»

Х	Х1	Х2	……………………	Хn
р	р1	р2	……………………	рn

Графическое представление ряда носит название «многоугольник распределения». Если задана случайная величина, то можно построить функцию распределения.

F(X)=

ЗАДАЧА

Имеется корзина, в которой 5 белых и 3 черных шара. Вынимаются 3 шара. Построить многоугольник распределения (функцию)белых шаров среди вынутых. Х - количество белых шаров

Р(Х=0)=

Р(Х=1)=

Р(Х=2)=

Р(Х=3)=

Х	0	1	2	3
р

F(X)=

Заключение

Теория вероятности нашла применение не только в математике, но и в таких науках как физика, статистика

Список используемой литературы

1. Дорофеев Г.В., «Математика», учебник для общеобразовательных учебных заведений

5-11 класс. Москва, 2000.

2. Колмогоров Д.А., Фосс С.Г. «Сборник задач и упражнений по теории вероятности». Новосибирск, 1997.

3. Конспекты лекций по теории вероятности. УрГПУ, 2004.

4. Пугачев В.С., «Теория вероятности и математическая статистика». Москва, 1979.

5. Соколенко А.И. «Высшая математика», учебник. Москва, 2002.

Размещено на Allbest.ru