Главная База знаний "Allbest" Математика Математичні методи управління інвестиціями

Математичні методи управління інвестиціями

Сучасна теорія портфельних інвестицій. Теорія портфеля цінних паперів У. Шарпа. Методи вирішення задач оптимізації портфеля цінних паперів з нерегульованою та регульованою(облігації) дохідністю. Класична модель Марковіца задачі портфельної оптимізації.

Рубрика Математика
Вид дипломная работа
Язык украинский
Дата добавления 20.06.2012
Размер файла 804,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

2.3 Багатофакторна модель арбітражного ціноутворення портфелю інвестицій (Arbitrage Pricing Theory, APT)
У рамках САРМ прибутковість ризикового активу залежить від одного фактору - прибутковості ринкового портфеля. Розглянемо тепер більше загаль-ний випадок, коли прибутковість активу визначається виходячи із впливу ви-падкових факторів, , тобто
або у векторній формі
,
де - вектор доходностей ризикових активів, - вектор вільних членів, - вектор значень випадкових факторів, - матриця коефіцієнтів, що характеризують чутливість прибутковості -го активу до зміни значення -го фактору, - вектор помилок. Нехай при цьому
На відміну від САРМ, дана багатофакторна модель не вимагає ідентифі-кації ринкового портфеля. З іншого боку, вона відбиває лише приблизні, корегуємі вектором , співвідношення між доходностями активів і невідомою кількістю випадкових факторів, що найчастіше не мають економічної інтерпре-тації.
Розглянемо спочатку окремий випадок багатофакторної моделі. Припусти-мо, що прибутковості активів повністю пояснюються впливом факторів, тоб-то вектор залишків дорівнює нулю: . Нехай при цьому на ринку відсутні ар-бітражні можливості. Будемо вважати, що ринок є арбітражним, якщо існує нетривіальний самофінансований портфель , з позитивною очікуваною прибутковістю й нульовим ризиком:
Прибутковість активу буде визначатися виходячи з рівності:
.
Отже, прибутковість будь-якого портфеля , сформованого з активів, дорівнює:
.
Нехай - самофінансований портфель, прибутковість якого не залежить від впливу випадкових факторів, тобто:
(2.13)
Тоді - самофінансований безризиковий портфель і в силу відсутності на ринку арбітражних можливостей його очікувана прибутковість повинна рівнятися нулю:
(2.14)
Отже, якщо є рішенням системи (2.13), те буде й рішенням (2.14) і значить можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів і , тобто існують коефіцієнти , не всі рівні нулю, такі, що:
або
(2.15)
У рамках моделі АРТ у рівнянні (2.15) під коефіцієнтами розумі-ються очікувані премії за ризик для випадкових факторів , під коефіці-єнтом - прибутковість безризикового активу, якщо він представлений на фі-нансовому ринку, або очікувана прибутковість портфеля з нульовим коефіцієн-том бета, якщо рівняння (2.15) є узагальненням моделі САРМ Блэка. Таким чи-ном, у випадку наявності безризикового активу рівняння (2.15) здобуває вид:
або у векторній формі:
а у випадку відсутності безризикового активу:
або у векторній формі:
.
Розглянемо тепер загальний випадок, коли .
Будемо вважати, що на ринку є асимптотичні арбітражні можливості, якщо існує позитивне число й існує нетривіальний самофінансований порт-фель із очікуваною прибутковістю, не меншої , і нескін-ченно малим при ризиком:
Для побудови багатофакторної моделі фінансового ринку зробимо наступ-ні припущення.
- Ринок є конкурентним: на ньому представлене нескінченно велика кіль-кість ризикових активів , , .
- Прибутковості ризикових активів , описуються рівнянням:
портфельний інвестиція облігаціїя
або у векторній формі:
(2.16)
- Діють наступні обмеження на параметри моделі (2.16):
- На ринку відсутній асимптотичний арбітраж.
Для будь-якого самофінансованого портфеля з нескінченно малим при ризиком маємо:
(2.17)
Оскільки на ринку відсутній асимптотический арбітраж, то з (2.17) виті-кає, що
.
Тоді за аналогією з (2.15) одержуємо, що існують , не всі рівні нулю, такі, що:
(2.18)
де - вектор помилок з нульовим вибірковим середнім і обмеженою вибірковою дисперсією
,
У моделі АРТ під коефіцієнтами розуміються очікувані премії за ризик для випадкових факторів , під коефіцієнтом - прибутковість безризикового активу, якщо він представлений на фінансовому ринку, або очі-кувана прибутковість портфеля з нульовим коефіцієнтом бета в противному випадку. Таким чином, у випадку наявності безризикового активу рівняння АРТ здобуває вид:
,
а у випадку відсутності безризикового активу:
.
2.4 VаR методология (Value at Risk) управління портфелем інвестицій
Різкі зміни цін на фінансовому ринку є рідкою, але дуже важливою подією. Методологія VaR (Value at Risk) має справу з таким екстремальним поводженням цін на фінансові активи. Будучи відбиттям ринкового ризику, VaR дозволяє оцінити припустиме зниження (збільшення) ціни активів за даний проміжок часу через різкі ринкові зміни. Іншими словами, VaR дозволяє оцінити максимальні припустимі втрати учасника фінансового ринку, пов'язані з непередбаченим погіршенням ситуації на фінансовому ринку.
Позначимо зміни у вартості активу, що відбулися за проміжок часу , через . Позначимо через функцію розподілу випадкової величини . Визначимо величину для покупця фінансового активу (інвестора) у такий спосіб:
Оскільки інвестор зазнає збитків, коли ціна фінансового активу знижується, тобто у випадку, коли , тому величина для нього передбачається негативної (рис.2.2). По визначенню показує ймовірність того, що інвестор за період часу зазнає збитків, що перевищують . Аналогічно можна сказати, що ймовірність того, що втрати інвестора фінансового активу за проміжок часу не перевищать величину , дорівнює .
За аналогією визначимо величину для продавця фінансового активу в такий спосіб:
Продавець на фінансовому ринку зазнає втрат, коли ціна фінансового активу збільшується, тобто коли . Тому величина для продавця передбачається позитивної (рис.2.3).
Рис. 2.2 Величина для покупця
Рис. 2.3 Величина для продавця
Рисунки 2.2 і 2.3 показують, що покупця фінансового активу цікавить поводження лівого хвоста розподілу , а продавця поводження правого хвоста .
На практиці розподіл як правило невідомий. До того ж з погляду методології VaR нас цікавить тільки хвости розподілу , або квантилі.
Величина:
називається -квантилью функції розподілу .
Таким чином, .
Оскільки величина для продавця може бути отримана з відповідної формули для покупця шляхом розгляду розподілу , ми обмежимося лише розглядом методології VaR для покупця.
Залежно від припущень щодо розподілу випадкової величини існує цілий спектр методів розрахунку . Зупинимося на розгляді найбільш значимих з них.
1. Метод “Ризик метрика”
Даний підхід до розрахунку величини розроблений компанією J.P.Morgan.
У рамках даного підходу передбачається, що умовний розподіл безперервної величини логарифма повернення на цінний папір:
щодо всієї доступної інформації є нормальним, тобто
де умовна дисперсія, а умовне математичне очікування дорівнює нулю:
Для опису еволюції в рамках даної методології традиційно використовується модель із нульовим зрушенням, оскільки умовне математичне очікування дорівнює нулю. Модель у цьому випадку буде мати такий вигляд:
де .
Позначимо логарифм повернення фінансового активу за проміжок часу через , де сучасний момент часу, а момент часу в майбутньому. У відповідності із властивістю логарифма маємо:

У рамках побудованої моделі умовний розподіл є нормальним з нульовим середнім і дисперсією :

прогноз для можна одержати з використанням методів прогнозування.

З незалежності витікає:

де величини розраховуються послідовно. Таким чином, одержуємо:

.

Використовуючи те, що

і підставляючи це вираження у вихідне рівняння моделі :

одержуємо:

для всіх .

Зокрема, для й маємо:

.

Оскільки

,

Одержуємо

.

З врахуванням того, що

,

одержуємо:

.

Таким чином, доходимо висновку про те, що

.

2. Економетричні моделі розрахунку

Великим достоїнством методології J.P.Morgan є простота й легкість у зас-тосуванні. Однак істотним недоліком є припущення про нормальність, нульо-вому середньому величин повернення, а також використання моделі як описує динаміку волатильности повернення.

Більше підходящими для адекватного розрахунку в умовах, макси-мально наближених до реальності, є так звані економетричні моделі розрахунку . Для опису динаміки логарифма повернення використовуються лінійні моделі часових рядів, а для опису динаміки волатильности нелінійні моделі часових рядів. Через наявність великої розмаїтості лінійних і нелінійних моде-лей часових рядів виходить цілий спектр економетричних моделей розрахунку .

Ми зупинимося на економетричних моделях розрахунку , побудова-них із залученням моделей і :

РОЗДІЛ 3 РОЗРОБКА ПРАКТИЧНОГО МЕТОДИЧНОГО ПОСІБНИКА ПО МЕТОДАМ УПРАВЛІННЯ ФІНАНСОВИМИ ІНВЕСТИЦІЯМИ В АКТИВИ ПОРТФЕЛЮ ІНВЕСТИЦІЙ

3.1 Методи вирішення задач оптимізації портфеля цінних паперів з нерегульованою(акцій) та регульованою(облігації) дохідністю

3.1.1 Класична модель Марковіца задачі портфельної оптимізації

Математичне очікування доходу портфелю із N цінних паперів в i-тий момент часу (ri) розраховується таким чином:

(3.1)

де - можливий дохід по i-ому цінному паперу(в частках чи % від номіналу);

- ймовірність отримання доходу;

- кількість цінних паперів( j =1, …,N);

Для визначення ризику служать показники розсіювання, тому чим більше відхилення величин можливих доходів, тим більше небезпека, що очікуваний дохід не буде отриманий. Мірою розсіювання в i -тий момент часу доходності портфелю є середньоквадратичне відхилення:

(3.2)

У моделі Марковіца для визначення ризику замість середньоквадратич ного відхилення використовується дисперсія Di, рівна квадрату .

З використанням моделі Марковіца для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляд [24]:

(3.3)

доходність портфелю цінних паперів Rp за інтервал часу Т розра-ховується за формулою:

(3.4)

де -- кількість минулих спостережень доходності даних цінних паперів.

Середній ризик дp портфелю цінних паперів за інтервал часу Т розраховується за формулою

(3.5)

Зрозуміло, що для N цінних паперів необхідно розрахувати коефіцієнтів кореляції. За допомогою розробленого Марковіцем методу критич-них ліній можна виділити тільки ефективні портфелі, тобто портфелі, що міс-тять мінімальний ризик при заданому доході або приносять максимально мож-ливий дохід при заданому максимальному рівні ризику, на який може піти інвестор. Для вирішення цієї задачі було застосовано метод штрафних функцій.

3.1.2 Алгоритм метода штрафних функцій задачі портфельної оптимізації

Для розв'язання задач умовної оптимізації було обрано метод штрафних функцій, як найбільш відповідний даній задачі. Тому що він відповідає умові мінімізації цільової функції при наявності обмежень рівності та нерівності. Далі буде розглянутий алгоритм методу штрафних функцій [30].

На першому кроці необхідно задати початкові значення:

- кількість змінних ;

- кількість обмежень типу нерівностей ;

- кількість обмежень типу рівності ;

- параметр закінчення процедури безумовної мінімізації ;

- параметр закінчення роботи алгоритму ;

- початкове наближення для - ;

- початковий вектор штрафних параметрів .

На другому кроці необхідно побудувати штрафну функцію:

Р(,)=()+(R, (),()) (3.6)

На третьому кроці необхідно визначити , який доставляє мінімум фун-кції: Р(,) при фіксованому . Як початкове наближення використовувати вектор , а як параметр закінчення безумовної мінімізації використовувати константу .

На четвертому кроці необхідно перевірити чи виконується умова:

Р(,)-Р(,)/ (3.7)

В разі виконання умови покласти = і процес зупиняється. Інакше йти до кроку 5. На п'ятому кроці здійснюється обчислення =+ відповідно до використовуваного правила перерахунку штрафного параметра. Після чого перейти до кроку 2. Вирішення задачі безумовної оптимізації Р(,)=()+(R, (),()). виконується за допомогою методу Хука-Дживса [ ].

3.1.3 Опис контрольного прикладу

Доходність цінних паперів приймається як відносна курсова різниця. Як вихідні дані використані щомісячні котирування десяти акцій взятих за період з січня 2011 р. по січень 2012 р. Обрані цінні папери наведені у таблиці 3.1.

Таблиця 3.1 Назв та тікер цінних паперів

№

Назва цінного паперу

Тікер

1

Укргазбанк

UGZB

2

Укртелеком

UTLM

3

АвтоКраз

KRAZ

4

ЕвроГазБанк

EGZB

5

Западэнерго

ZPEN

6

Азовсталь

AZST

7

МоторСич

MSICH

8

Житомироблэнерго

ZHEN

9

Центрэнерго

CEEN

10

Азовобщемаш

AZGM

У таблиці 3.2 приведені котирування акцій з січня 2011 р. по січень 2012 р.

Таблиця 3.2 Таблиця річного котирування акцій у 2011 році

UGZB

ZPEN

MSICH

AZGM

LTPL

DTRZ

SMASH

EXPN

ALMK

ENUG

січ 11

4.78

0.5

6.64

2.8

0.43

97.9

6.98

0.27

5.9

28.2

лют 11

4.8

0.48

6.98

2.9

0.42

99.6

7.12

0.29

6.5

33.1

бер 11

5

0.46

7.12

3.6

0.47

99.99

7.3

0.28

7.1

36.5

квіт 11

5.2

0.48

7.3

5.8

0.46

101

7.63

0.24

6.8

35

трав 11

6.3

0.49

7.63

6.2

0.49

101.3

7.4

0.29

6.2

32.7

черв 11

6.5

0.52

7.4

6.9

0.51

99.8

7.2

0.24

5.3

35.1

лип 11

6.69

0.51

7.2

5.8

0.56

100.5

7.56

0.26

6.8

37.5

серп 11

6.8

0.56

7.56

6.7

0.69

101.9

7.8

0.25

7.6

43.7

вер 11

7.46

0.54

7.47

6.8

0.55

102

7.5

0.23

9.8

52.4

жовт 11

7.48

0.55

7.41

7.1

0.56

101

7.91

0.29

12.6

47.6

лист 11

7.52

0.5

7.3

7.6

0.74

106.9

8.43

0.27

11.9

45

груд 11

7.5

0.56

6.75

8.2

0.58

108.2

8.2

0.29

12.5

48.7

січ 12

7.72

0.57

6.52

8.6

0.65

107.9

8.5

0.32

12

55.9

З таблиці 3.2 розраховані доходність кожного паперу за формулою

де - ціна акції на момент t. Результати розрахунків представлені у таблиці 3.3

Після розрахунку дохідності за кожний місяць, розраховуємо середню дохідність (математичне очікування) цінного паперу. Після чого розраховуємо ризик (середньоквадратичне відхилення) кожного цінного паперу.

Результати розрахунку доходності та ризику цінних паперів представлені в таблиці 3.4.

Таблиця 3.3 Доходність цінних паперів за кожен місяць 2011 року

UGZB

ZPEN

MSICH

AZGM

LTPL

DTRZ

SMASH

EXPN

ALMK

ENUG

січ 11

0.013

0.042

0.015

0.077

0.049

0.017

0.020

0.038

0.093

-0.004

лют 11

0.004

-0.040

0.051

0.036

-0.023

0.017

0.020

0.074

0.102

0.174

бер 11

0.042

-0.042

0.020

0.241

0.119

0.004

0.025

-0.034

0.092

0.103

квіт 11

0.040

0.043

0.025

0.611

-0.021

0.010

0.045

-0.143

-0.042

-0.041

трав 11

0.212

0.021

0.045

0.069

0.065

0.003

-0.030

0.208

-0.088

-0.066

черв 11

0.032

0.061

-0.030

0.113

0.041

-0.015

-0.027

-0.172

-0.145

0.073

лип 11

0.029

-0.019

-0.027

-0.159

0.098

0.007

0.050

0.083

0.283

0.068

серп 11

0.016

0.098

0.050

0.155

0.232

0.014

0.032

-0.038

0.118

0.165

вер 11

0.097

-0.036

-0.012

0.015

-0.203

0.001

-0.038

-0.080

0.289

0.199

жовт 11

0.003

0.019

-0.008

0.044

0.018

-0.010

0.055

0.261

0.286

-0.092

лист 11

0.005

-0.091

-0.015

0.070

0.321

0.058

0.066

-0.069

-0.056

-0.055

груд 11

-0.003

0.120

-0.075

0.079

-0.216

0.012

-0.027

0.074

0.050

0.082

січ 12

0.029

0.018

-0.034

0.049

0.121

-0.003

0.037

0.103

-0.040

0.148

Таблиця 3.4 Дохідність та ризик цінних паперів

№

Цінні папери

Дохідність

Ризик

1

UGZB

0.0399

0.0577

2

ZPEN

0.0149

0.0597

3

MSICH

0.0004

0.038

4

AZGM

0.1077

0.1758

5

LTPL

0.0462

0.1487

6

DTRZ

0.0089

0.0178

7

SMASH

0.0174

0.036

8

EXPN

0.0235

0.1286

9

ALMK

0.0724

0.1462

10

ENUG

0.0582

0.0999

В таблиці 3.5 розраховані коефіцієнти лінійної кореляції між доходнос-тями цінних паперів в портфелі інвестицій.

Таблиця 3.5 Коефіцієнти кореляції між доходністю цінних паперів

Акції

UGZB

ZPEN

MSICH

AZGM

LTPL

DTRZ

SMASH

EXPN

ALMK

ENUG

UGZB

1

-0.09

0.33

-0.01

-0.11

-0.24

-0.53

0.19

-0.19

- 0.16

ZPEN

1

-0.17

0.22

-0.31

-0.41

-0.34

0.03

-0.18

0.03

MSICH

1

0.32

0.32

0.11

0.15

0.02

-0.03

-0.03

AZGM

1

-0.02

0.02

0.13

-0.48

- 0.42

0.25

LTPL

1

0.45

0.65

-0.06

-0.28

-0.23

DTRZ

1

0.41

-0.19

-0.15

-0.18

SMASH

1

0.10

0.16

-0.31

EXPN

1

0.32

-0.29

ALMK

1

0.23

ENUG

1

Припустимо, що критична прибутковість портфеля , складає 3,5%, тобто портфельні інвестиції, що приносять дохід нижче 3,5%, вважаються неефективними.

Задаючи різне значення ризику портфеля, оптимізуємо структуру порт-фелів, використовуючи модель Марковіца.

Використовуючи розраховані вище показники для моделі Марковіца були отримані наступні чисельні результати, представлені у таблиці 3.6.

Таблиця 3.6

Результати розрахунків оптимізації портфеля для моделі Марковіца

Портфель

Цінні папери

Частка

Дохідність

Ризик

Портфель 1

EXPN

0.10

0.0638978

0.055

SMASH

0.22

LTPL

0.35

AZGM

0.34

Портфель 2

AZGM

0.29

0.057578

0.04

SMASH

0.23

LTPL

0.27

ENUG

0.05

EXPN

0.16

Портфель 3

SMASH

0.26

0.051599

0.03

AZGM

0.23

LTPL

0.24

EXPN

0.18

ENUG

0.09

3.2 Моделі та задачі розрахунку «справедливої» ціни опціону на цінні папери на основі методу Блека - Шоулза

Умова задачі. Є тримісячний опціон колл на акції компанії ДНІПРОЕНЕРГО, поточна середньозважена ціна яких дорівнює (на 31 липня 2011 р.) 1946,43 грн. Безризикова прибутковість по річних облігаціях становить 5,47 %. Ціна виконання опціону колл - 2250 грн. Потижневі котирування закриття на акції ДНІПРОЕНЕРГО за останні 3 місяці представлені в таблиці.

Дата

02.05.11

09.05.11

16.05.11

23.05.11

30.05.11

06.06.11

13.06.11

Котирування на дату

2119,87

2317,66

2636,36

2529,38

2631,18

2440,52

2486,11

Дата

20.06.11

27.06.11

04.07.11

11.07.11

18.07.11

25.07.11

31.07.11

Котирування на дату

2427,75

2274,39

2252,88

2201,91

2211,06

1971,80

1946,43

Рішення. Методика Блэка - Шоулза припускає визначення дійсної вартості опціону за допомогою наступної формули

де ;

;

PS - поточна ринкова ціна базисного активу (акції);

Х - ціна виконання (реалізації) опціона;

if - безризикова безперервно нараховуєма ставка відсотків;

Т - термін дії опціону (колл);

- Размещено на http://www.allbest.ru/

стандартне відхилення доходності акції;

Ф - функциї нормального розподілу.

У практичній діяльності учасників торгівлі опціонами звичайно невідомим є стандартне відхилення прибутковості базисної акції. Для визначення зазначеного параметра скористаємося методом оцінки ризику на основі динаміки попередніх цін [36]. Виконаємо наведену нижче послідовність дій.

1. Визначимо прибутковість акції в моменти закриття, використовуючи порівнянні періоди (тобто використовуємо дані за останні 3 місяці, наведені в таблиці). Скористаємося наступною формулою:

Дата

02.05.11

09.05.11

16.05.11

23.05.11

30.05.11

06.06.11

13.06.11

Котирування на дату

2119,87

2317,66

2636,36

2529,38

2631,18

2440,52

2486,11

Прибутковість (Rt)

-

0,0892

0,1288

-0,0414

0,0395

-0,0752

0,0185

Дата

20.06.11

27.06.11

04.07.11

11.07.11

18.07.11

25.07.11

31.07.11

Котирування на дату

2427,75

2274,39

2252,88

2201,91

2211,06

1971,80

1946,43

Прибутковість (Rt)

-0,0238

-0,0653

-0,0095

-0,0229

0,0041

-0,1145

-0,0129

Таким чином, ми одержали 13 значень тижневої прибутковості акцій ДНІПРОЕНЕРГО.

2. Визначимо середню прибутковість акції по формулі

;

.

Отримане вираження можна інтерпретувати як зниження ціни акцій ДНІПРОЕНЕРГО протягом 13 попередніх тижнів, що склало 0,66 % у середньому за кожній тиждень періоду.

3. Нарешті, визначимо стандартне відхилення прибутковості основної акції

4. Таким чином, обчисливши п'яту змінну, послідовно визначимо параметри d1 і d2 для функцій нормального розподілу, а також значення самих функцій і на їхній основі по формулі Блэка -Шоулза розрахуємо дійсну вартість опціону колл

;

.

Далі одержимо значення функції стандартного нормального розподілу, скориставшись відповідною таблицею [ ].

Використовуємо наближений результат, округливши вираження параметрів d1 і d2 до -4. При значенні -4 функція стандартного нормального розподілу складе 0,00003167.

5. Знайдемо шукане (тобто дійсну вартість опціону колл):

грн.

Покупка опціону не має сенсу, тому що його дійсна вартість негативна.

3.3 Типові задачі на розрахунок ймовірнісних характеристик окремих фінансових інструментів в портфелі цінних паперів

Задача 3.3.1

Теоретичні відомості про ризик-нейтральні сімейства облігацій.

Будемо припускати, що ціни облігацій , залежать від поточного часу й часу погашення неперервним чином. Будемо з метою спрощень уважати, що протягом усього строку обігу по облігації не платять-ся купонні платежі, номінал облігації дорівнює , а ціна облігації не перевищує номіналу при .

При зазначених припущеннях можна представити у вигляді:

Функції й називають відповідно, прибутковістю й до-ходом до погашення. Щодо функції говорять як про ставку запозичен-ня в момент часу на майбутньому нескінченно-малому проміжку часу й називають цю функцію форвардною процентною ставкою.

Ясно, що при досить широких технічних припущеннях мають місце співвідношення між зазначеними вище величинами

Вважаючи , природно ототожнити отриману функцію із процентною ставкою в момент часу : .

Прийнято відносити облігації до безризикових активів фінансового ринку. Однак варто помітити, що дане віднесення не зовсім справедливо для сучасної фінансової системи, оскільки процентні ставки в ній носять плава-ючий або навіть випадковий характер. Це спричиняє через зазначену вище залежності цін облігацій від процентних ставок і ризиковості самих обліга-цій.

Нехай ставка випадковий процес, заданий на деякому стохас-тичному базисі . Задаючи банківський рахунок

,

приходимо до поняття ринку облігацій як сімейства.

Проводячи аналогію з фінансовим ринком акцій, природно й тут роз-глянути дисконтировану ціну облігацій:

і шукати ймовірність , еквівалентну вихідної ймовірності , таку, що процес мартингал відносно . Якщо це здійсненно, то розглянутий ринок облігацій природно назвати безарбітражним.

У цьому випадку через рівність знаходимо, що

і, отже, має місце подання:

яке дає основу для вивчення структури цін , якщо конкретизувати процес .

Задача

Знайти всі значення , при яких існує ризик-нейтральна ймовірність у наступній моделі - ринку:

.

Розв'язок.

Для знаходження ризик-нейтральної ймовірності випишемо рівність

.

За умовою задачі імовірнісний простір складається із трьох елементар-них результатів , тому наведену вище рівність перепишемо у вигляді

З обліком нормировки маємо

звідки .

Кожне із зазначених в умові значень ціни акції в момент часу 1 перед-бачається маючим ненульову (позитивну) імовірність, тому ці ж властивістю належні володіти й ризик-нейтральні ймовірності. У цьому випадку

Область значень як функції двох змінних і при зазначених вище обмеженнях на ці змінні є інтервал від -1/4 до 1/4.

Відповідь: ризик-нейтральна ймовірність існує при .

Задача 3.3.2

У біноміальній моделі - ринку відомі значення параметрів

Знайти справедливу ціну й мінімальний хедж стандартного опціону call з післядією (look back call option) європейського типу із платіжним зобов'я-занням

де .

Розв'язання

Ризик-нейтральна ймовірність дорівнює:

Складемо таблицю для можливих значень цін акцій і платіжного зобов'язання залежно від поводження прибутковості в моменти часу 1 і 2. Усього можливі 4 випадки:

Випадок

Імовірність

0,16

-0,4

-0,4

200

120

72

72

0

0.24

-0,4

0,6

200

120

192

120

72

0,24

0,6

-0,4

200

320

192

192

0

0,36

0,6

0,6

200

320

512

200

312

Знайдемо справедливу ціну даного платіжного зобов'язання

Тепер побудуємо мінімальний хедж . У цьому випадку це значить знайти стратегію , що має властивості самофінансування та репліцируємості. Будувати таку стратегію зручно "з кінця".

Розглянемо момент часу 1. У цей момент стає відомим значення при-бутковості й на цій основі будується пара . З умови репліциру-ємостф маємо для капіталу такої стратегії в момент часу 2

За умовою задачі імовірнісний простір складається із чотирьох еле-ментарних результатів , тому наведена вище рівність може бути представлена у вигляді системи

Пара - випадкові величини, тому що залежать від , але по визначенню вони не залежать від , тому

Підставимо в систему числові значення з умови задачі:

Звідки

Пари вибираються в момент часу 0 і не залежать від поводжен-ня цін акцій. Умова самофінансування дозволяють записати систему

Підставимо в систему числові значення з умови задачі й уже знайдені величини:

звідки

Помітимо, що початковий капітал знайденої хеджирующої стратегії по визначенню є , що збігається зі справедливою ціною платіжного зобов'язання.

Відповідь: справедлива ціна дорівнює 90, початкові кількості ризико-вого й безризикового активів рівні відповідно 0,6 і -30. У випадку зниження ціни акції їх варто залишити такими ж, у випадку підвищення ціни акції зробити рівними -130 і 39/40.

Задача 3.3.3

Нехай процентна ставка , а ціни акції змінюються за наступним правилом:

1) Знайти ризик-нейтральну ймовірність.

2) Знайти область значень процентної ставки , для яких існує ризик-нейтральна ймовірність.

3) Для Американського опціону: , , із крайньою датою виконання при знайти справедливу ціну, мінімальний хедж Американського типу й раціональний (розумний) момент виконання даного опціону.

Розв'язок.

1) Для знаходження ризик-нейтральної ймовірності випишемо наступні рівності:

За умовою задачі імовірнісний простір складається із чотирьох елементів . Підставляючи числові значення з умови задачі й з огляду на вимогу нормировки, одержуємо систему

Вирішуючи цю систему, одержуємо

2) Кожне із зазначених в умові значення ціни акції в момент часу 2 передбачається маючим ненульову (позитивну) імовірність, тому умова позитивності знайдених імовірностей накладає обмеження на процентну ставку . Вирішуючи систему нерівностей

методом інтервалів, знаходимо, що

4) Ризик-Нейтральна ймовірність при дорівнює

Складемо таблицю для можливих значень цін акцій і платіжного зобов'язання:

Випадок

Імовірність

4/15

10

1

12

3

15

5

2/5

10

1

12

3

10

0

1/7

10

1

6

0

10

0

4/21

10

1

6

0

3

0

Знайдемо справедливу ціну й мінімальний хедж даного опціону Американського типу. Справедлива ціна розраховується методом "макси-мальних прогнозів". Нехай капітал мінімального хеджа в момент .

Маємо

Відповідно до цим

Далі, і

, звідки справедлива ціна даного опціону Американського типу дорівнює .

Побудуємо тепер мінімальний хедж . Для цього визначимо раціональні (розумні) моменти виконання:

, звідки

У силу рівності можемо записати

або

Вирішуючи систему, знаходимо:

Помітимо, що , що збігається з раніше знайденим значенням справедливої ціни.

Відповідь: ризик-нейтральна ймовірність існує при , при цьому

Справедлива ціна дорівнює 2, безризиковий і ризиковий компоненти мінімального хеджа рівні -3 і 0,5 відповідно.

Задача 3.3.4

Розглянемо біноміальний однокроковий -ринок з початковими цінами й процентною ставкою . Ціна акції в момент часу 1 приймає значення: з імовірністю 0,6 і з імовірністю 0,4. Задано функцію корисності: . Для початкового значення знайти оптимальну стратегію в задачі максимізації середньої логарифмічної корисності.

Розв'язок.

Знайдемо параметри -ринку:

Щодо вихідної ймовірності середнє значення прибутковості активу дорівнює:

Тоді пропорція ризикової частини у всьому капіталі стратегії дорівнює:

По визначенню пропорції

звідки знаходимо ризиковий компонент оптимальної стратегії

безризиковий компонент оптимальної стратегії знайдемо з умови самофінансування:

Відповідь: оптимальна стратегія має вигляд .

Задача 3.3.5

Розрахувати опціон покупця й продавця з урахуванням дивідендів, виплачуваних пропорційно вартості акції з коефіцієнтом пропорційності й .

Рішення. У моделі Блэка-Шоулза з дивідендами справедлива ціна опціону продавця обчислюється по формул

для опціону покупця .

Далі розглянемо 4 випадки.

Випадок :

Нижче в таблиці наведені значення цих допоміжних змінних

0,1

0,8

80

2,946 і 2,87

0,67 і 0,56

100

0,038 і -0,038

0,307 і -0,307

У наступній таблиці наведені справедливі ціни опціону покупця й продавця відповідно

0,1

0,8

80

18,86 і 0

31,18 і 12,32

100

12,02 і 12,02

29,89 і 29,89

Випадок :

Нижче в таблиці наведені значення цих допоміжних змінних

0,1

0,8

80

3,713 і 3,637

0,766 і 0,152

100

0,806 і 0,729

0,403 і -0,211

У наступній таблиці наведені справедливі ціни опціону покупця й продавця відповідно

0,1

0,8

80

23,17 і 0

35,51 і 10,34

100

19,92 і 14,53

32,29 і 26,89

Випадок :

Нижче в таблиці наведені значення цих допоміжних змінних

0,1

0,8

80

2,718 і 2,101

0,574 і -0,04

100

-0,729 і -0,806

0,211 і -0,403

У наступній таблиці наведені справедливі ціни опціону покупця й продавця відповідно

0,1

0,8

80

13,5 і 0,04

27,22 і 13,76

100

4,87 і 10,25

25,96 і 32,36

Випадок :

Нижче в таблиці наведені значення цих допоміжних змінних

0,1

0,8

80

2,946 і 2,87

0,67 і 0,56

100

0,038 і -0,038

0,307 і -0,307

У наступній таблиці наведені справедливі ціни опціону покупця й продавця відповідно

0,1

0,8

80

17,78 і 0

29,40 і 11,62

100

11,34 і 11,34

28,18 і 28,18

Помітимо, що справедлива ціна опціону продавця в моделі з дивіден-дами зв'язана зі справедливою ціною в моделі без дивідендів у такий спосіб:

що дає можливість порівняти результати обчислень для з результатами обчислень для без інвестування. Маємо:

,

і перемножуючи дані відповідної таблиці на отримане число, переко-нуємося в збігу результатів.

Задача 3.3.6

Теоретичні відомості

У задачі використовуються такі позначення :

- фактична ринкова ціна цінного паперу (акції) у момент ;

- прогнозна ціна на цінний папір (акцію),закладена в опціон купівлі або продажу (страйкова ціна) на момент ;

R - фактична ринкова ціна цінного паперу (акції) у момент ;

=t(1)-t(0) - інтервал часу після купівлі опціонів, через який цінний папір подається до виконання;

- ціна опціону купівлі на право придбати в момент за ціною цін-ний папір (акцію), чия ціна в момент дорівнює ;

- ціна опціону продажу на право продати в момент за ціною цін-ний папір (акцію), чия ціна в момент дорівнює ;

1. В момент часу t=0 інвестор виконує затрати на придбання змішаного портфелю:

- покупає Х акцій по ціні S;

- покупає С європейських опціонів на покупку цих акцій по ціні К через Т=180 днів по ціні (С);

- покупає Р європейських опціонів на продаж цих акцій по ціні К через Т=180 днів по ціні (Р);

Таким чином, початкові витрати (інвестиції) складають:

2. В момент часу t=1 (Т) інвестор виконує продаж активів змішаного портфелю по поточній ціні акції R, реалізуючи акції та опціони на право покупки/продажу акцій (хеджування ймовірного курсу акцій), при цьому:

- повертає початковий інвестований капітал V(t=0);

- отримує прибуток від інвестиційної операції за формулою:

- де r - ринкова річна ставка дохідності фінансових активів, яка враховує альтернативні втрати інвестора за період Т вкладення коштів в придбання інвестиційного портфеля.

Проаналізуємо інвестиційну стратегію на прикладі:

S = 100 $ ; K = 150 $; Т = 180 дн.; r = 15% річних

(C) = 7% від К; (Р) = 5% від К;

Х = С = Р = 100 шт.

Ймовірні реалізації вартості акції через інтервал часу Т:

R1 = 200 $(оптимізм); R2 = 100 $(скептицизм); R3 = 50 $(песимізм)

1. Початкові витрати становитимуть:

2. Прогнозний прибуток при R1 = 200 $(оптимізм), тобто R>K та R>S:

=

= - 11800$ - 885$ + 20000$ + 5000$ = +12 315$

3. Прогнозний прибуток при R2 = 100 $(скептицизм), тобто R<K та R=S

=

= -11800$ - 885$ + 10000$ + 5000$ = +2 315$

4. Прогнозний прибуток при R1 = 50 $(песімізм), тобто R<K та R<S:

=

= - 11800$ - 885$ + 5000$ + 10000$ = +2 315$

Таким чином, розглянутий змішаний портфель інвестора з акцій та опціонів на покупку і опціонів на продаж акцій:

- хеджований від збитків навіть при падінні ціни акції нижче ціни її придбання;

- має підвищену прибутковість при зростанні ціни акції вище рівня, вказаного в опціонах на продаж та покупку акцій.

Задача 3.3.7

Нехай відомо, що ціна деякого цінного паперу в момент може набути значення відсоткова ставка за даний період часу дорівнює . Якою має бути ціна опціону на право купити цей папір, якщо страйкова ціна дорінює причому ?

Розв'язок

Нехай покупець у момент придбав акцій та опціонів.Тоді його прибуток у момент становитиме

Якщо , прибуток становитиме ,тому при ми маємо можливість арбітражу. Отже справедлива ціна опціону .При цьому прибуток покупця дорівнює , і для відсутності арбітражу ще потрібне виконання нерівності

Задача 3.3.8

Нехай відсотки нараховуються неперервно з відсотковою ставкою ,-час виконання, -страйкова ціна у всіх вказанних в умові опціонах.

1. Показати, що продаж акції, продаж опціону продажу й купівля одного опціону купівлі дає безризиковий прибуток ( арбітраж), якщо

2. Показати, що купівля акції, купівля опціону продажу та продаж опціону купівлі дає арбітраж, якщо

Розв'язок

Позначимо через ринкову вартість акції в момент .

1. У момент проведемо вказані в умові дії і матимемо суму яку покладемо в банк , одержуючи в момент суму . Якщо ,використаємо опціон купівлі, купимо акцію за і повернемо позику. Можливе пред'явлення до виконання опціону продажу не завдасть нам збитків. Якщо , то за пред'явленим опціоном продажу ми будемо вимушені купити акцію за , і цією акцією повернемо позику. Опціон купівлі використовувати не будемо. В обох випадках маємо додатний прибуток, не менший за

2. У момент позначимо суму і проведемо вказані в умові дії. Якщо ,то використаємо опціон продажу, продамо ацію за і повернемо позику розміром . Можливе пред'явлення до виконання опціону купівлі не завдасть нам збитків. Якщо , то за пред'явленим опціоном купівлі ми будемо вимушені продати акцію за , опціон купівлі використовувати не будемо і також повернемо позику розміром . В обох випадках маємо прибуток принаймні

Задача 3.3.9

Нехай відсотки нараховуються неперервно з відсотковою ставкою ,-час виконання.

1. Довести, що .

2. Довести,що.

Розв'язок

1. Припустимо, що . У момент можна взяти грошову позику , за придбати акцію й за - опціон зі страйковою ціною . У момент ми продаємо акцію за ціною ( або навіть вище, якщо ціна на ринку буде більшою за ) і повертаємо як погашення грошової позики. Так ми будемо мати гарантований прибуток, розмір якого не менший за .

2.Припустимо, що .У момент можна коротко продати акцію за і за придбати опціон зі страйковою ціною . У момент ми матимемо суму , можемо придбати акцію за ціною (або навіть нижче, якщо ціна на ринку буде меншою за ) і повернути позику. Ми матимемо гарантований прибуток не менший

Задача 3.3.10

Теоретичні відомості

При побулові багатоперіодної моделі фінансового ринку використовують-ся такі поняття:

- момент часу з можливістю торгувати та витрачати у ці моменти часу;

- скінченний простір можливих станів фінансового ринку

- імовірнісна міра на ,з

- потік -алгебр( фільтрація),де- алгебра підмножин . Можна вважати, що . Алгебра містить усю інформацію фінансового ринку до моменту включно ;

- процес банківського рахунку ( облігація)

,

де -відсоткова ставка на проміжку часу , яка може бути випадковою величиною. Процес банківського рахунку є узгодженим;

- процес зміни цін акцій ( ризикових активів)

,

де -ціна го ризикового активу (акції) у момент часу .Процес є -узгодженим;

- дисконтований ціновий процес

- стратегія, або портфель , інвестора-векторний випадковий процес

кожна компонента якого є -передбачуваним процесом, тобто є -вимірною випадковою величиною.При цьому ,-кількість відповідних цінних паперів, якими інвестор володіє від моменту до моменту , а -сума грошей, покладених на банківський рахунок у момент часу .

Величини , можуть набувати як невід'ємних, так і від'ємних значень. Від'ємне значення трактується як взяття грошей у банку в борг, а від'ємне значення означає кількість акцій -ого типу. Яку було продано без фактичного володіння-швидкий продаж (short selling)

Умови задачі.

Нехай зміни ціни акції задано таблицею

1. Позначимо через вартість портфеля інвестора в момент

Припустимо, що відсоткова ставка -стала, Виразити , через , при кожному

2. Позначимо через процес прибутку портфеля

де Виразити , через при кожному

Розв'язання

1.

2.

Задача 3.3.11

Теоретичні відомості

Платіжне зобов'язання Європейського типу ,-невід'ємна випадкова величина, яка задана на просторі станів ринку і визначає платежі в момент часу Платіжне зобов'язання називається досяжним або ринко-вим, якщо існує самофінансована стратегія , для якої

Ця стратегія називається породжувальною ( реплікантною) стратегією для платіжного зобов'язання . Якщо всі платіжні зобов'язання на ринку досяжні, то ринок називається повним. Ринок буде повним тоді й тільки тоді, коли існує єдина мартингальна міра . За умови відсутності арбіт-ражу справедлива вартість досяжного платіжного зобов'язання у момент часу дорівнює

де -породжувальний портфель для .

За відсутності арбітражу існує нейтральна до ризику міра і має місце співвідношення

.

Якщо відсутній арбітраж , то необхідною й достатньою умовою досяжності платіжного зобов'язання є незалежність від віличини

Умови задачі.

Нехай на ринку є одна акція,ціна якої при і різних станах ринку задана в тавблиці

1. Визначити, якого значення набувають опціони купівлі й продажу із страйковою ціною у момент часу для всіх можливих станів ринку.

2. Визначити , якого значення набуває Азійський опціон купівлі

із страйковою ціною у момент часу для всіх можливих станів ринку.

Розв'язання

1.

2.

Задача 3.3.12

Ураховуючи, що дисконтований капітал є мартингалом відносно мартингальної міри , роз'язати таку задачу. Нехай задано опціон вибору, коли покупець купує в момент право вибирати у фіксований момент між опціоном купівлі з ціною і опціоном продажу з ціною залежно від того, яка ціна більша, а якщо ціни однакові, вибирає опціон купівлі. Страйкова ціна і дата виконання однакова для обох опціонів.

1. Довести, що відповідне платіжне зобов'язання дорівнює

2. Нехай відсоткова ставка стала. Використовуючи співвідношення паритету купівлі й продажу , довести, що події збігаються.

3. Довести,що

де права частина-ціна в момент звичайного опціону продажу зі страйковою ціною та датою виконання .

Розв' язок

Перетворимо ліву частину

Задача 3.3.13

Нехай еволюції цін акцій задано в таблиці

1. Визначити яких значень набуває опціон при всіх можливих станах ринку.

2. Визначити мартингальну міру і перевірити , чи є досяжним заданий опціон. Визначити його справедливу ціну при

Розв'язання

1.

2. Мартингальну міру визначають із системи рівнянь

Розв язок єдиний, тому ринок повний і заданий опціон є досяжним,

Задача 3.3.14

Теоретичні відомості

Нехай фінансовий ринок складається з двох активів, ціни яких змінюються в неперервному часі за формулами:

( ціна облігації), (ціна акції), .

Розглянемо Європейський опціон купівлі зі страйковою ціною і датою виконання , виплата якого дорівнює . Позначимо через безарбітражну (справедливу) ціну цього опціону в момент за умови, що ціна акції дорівнює . ( називають ціновою функцією, а -ціновим процесом). Тоді функція задовольняє рівняння Блека-Шоулза

З граничними умовами .

Розв язок цього рівняння має вигляд

(формула Блека-Шоулса)

де -функція стандартного нормального розподілу;

;.

Зокрема, при одержуємо формулу Блека-Шоулза для безарбітражної ( справедливої) ціни опціону купівлі в початковій момент часу

.

Якщо портфель інвестора складається з одного опціону купівлі й акцій у кількості ( ), то його вартість дорівнює , зміна цієї вартості за один крок- , а з міркувань берарбітражності вона дорівнює Звідси

Величини , та називаються відповідно дельтою, гаммою, тетою, ро та вегою опціону, а в цілому -грецькими символами (Greeks).

Для цін опціонів купівлі та продажу, та відповідно має місце співвідношення пут-колл паритету: -=.

Розглянемо акцію, за якою виплачуються дивіденди. Припустимо, що дивіденди виплачуються з постійною швидкістю, пропорціональною ціні акції, так що власник одиниць акцій, , одержить дивіденди кількістю

При цьому коефіцієнт називається доходом за дивідендами (dividend-yield). Якщо -ціна опціону купівлі на акцію з виплатою дивідендів, то задовольняє модифіковане рівняння Блека-Шоулза

Умови задачі.

Портфель інвестора, який складається з одного опціону купівлі й акцій, має вартість , де -виплата за опціоном .нехай ціна акції сьогодні 100 грн, а завтра вона дорівнюватиме 101 грн з імовірністю або 99 грн з імовірністю .Страйкова ціна дорівнює 100 грн.

1.За допомогою наведеної вище формули для портфеля визначити . Вважати,що

2.Зробити те саме для опціону все-або-нічого, що має виплату де -функція Хевісайда.

Розв `язок

Значення портфеля дорівнює .Якщо акція підвищується, то і , а якщо акція падає, то і .

Тому зміна вартості портфеля становить , якщо акція півищується і якщо акція падає.Оскільки то .Тому

Задача 3.3.15

Теоретичні відомості

Нехай час де або і задано фільтрацію . Розглядається фінансовий ринок з облігацією та акцією , узгодженими з фільтрацією.

Портфелем називається пара випадкових процесів та , де -кількість акцій; -кількість облігацій. Процес вважаємо -узгодженим, процес --передбачуваним, тобто узгоджений з інформацією,що надійшла строго до моменту ( точне означення передбачуваного процесу мітиться, наприклад, у , усі неперервні або неперевні зліва процеси є передбачуваними).

Капітал інвестора, що відповідає такому портфелю, дорівнює Портфель ( ,) називається самофінансованим, якщо ( тобто зміна портфеля відбувається лише за рахунок зміни ціни акціїї та облігаціїї, без зовнішнього надходження або відрахування капіталу).

Нехай , -вимірна випадкова величина ( платіжне зобов`я-зання). Самофінансований портфель називається породжувальним для , якщо . Імовірнісна міра називається мартин-гальною, якщо дисконтований ціновий процес є -мартингалом. Існування міри еквівалентне безарбітражності ринку, її єдиність еквівалентна його повноті. Повнота ринку означає, що кожне -вимірне інтегроване платіжне зобов `язання є досяжним, тобто для нього існує породжувальний портфель.

Умови задачі.

У межах моделі Блека-Шоулса розглянемо Європейське платіжне зобов `язання вигляду

Дата виконання дорівнює Визначити портфель, що складається з облігацій, акцій та Європейського опціону купівлі, постійний у часі який породжує . Визначити справедливу ціну .

Розв' язання

Запишемо у вигляді

Тому портфель складається з облігацій вартістю 1, короткої позиції за опціоном (тобто цей опціон треба продати ) і довгої позиції за опціоном (тобто цей опціон треба купити ). Звідси справедлива ціна у момент дорівнює

- де справедливі ціни вказаних опціонів визначаються формулою Блека-Шоулза.

ВИСНОВКИ

В дипломному дослідженні, згідно завданням, проведений теоретичний аналіз та добірка адгоритмів існуючих математичних методів управління портфельними інвестиціями згідно:

- теорії ризику інвестицій Г. Марковітца;

- теорії портфеля цінних паперів У.Шарпа;

- теорії арбітражного ціноутворення та опціонів Блека - Шоулза.

З метою розробки практичного посібника по методам управління порт-фелем фінансових інвестиціяй наведеді рішення типових прикладів по:

- класичній моделі Марковіца задачі портфельної оптимізації;

- моделі розрахунку «справедливої» ціни опціону на цінні папери на основі методу Блека - Шоулза;

- типовим задачам на розрахунок ймовірнісніх характеристик окремих фінансових інструментів в портфелі цінних паперів.

Практична цінність отриманих результатів дипломного дослідження полягає в можливості побудови на основі розглянутих теоретичних методів та рішення типових прикладів посібника для студентів з основ математичних методів управління портфелем інвестицій.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Басовский Л.Е. Финансовый менеджмент: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 2003. 240 с.

2. Борисенко О.Д., Мішура Ю.С., Радченко В.М., Шевченко Г.М. Збірник залач з фінансової математики. - Київ, „Наукова думка”, 2007. - 270 с.

3. Ван Хорн, Джеймс К. С. Основы финансового менеджмента / Джеймс С. Ван Хорн, Джон М. Вахович, мл. ; [пер. с англ. О. Л. Пелявского ; под ред. А. А. Старостиной]. - М. : Вильямс, 2010. - 1225 с.

4. Довбенко М., Довбенко О. Сучасна теорія портфельних інвестицій // Економіка України". Науковий журнал, N 4 (521), квітень 2005. - С. 81-92 - Адреса сторінки: http://dovbenko.kiev.ua/ua/published/articles/1107/

5. Інструменти та установи фінансового ринку : енцикл. довідник / [за ред. В. В. Фещенка ; кер. проекту В. В. Фещенко]. - К. : Укр. агенство фінансового розвитку , 2007. - 504 с.

6. Капитоненко В.В. Инвестиции и хеджирование:Учебно-прктическое пособие для вузов. - М.: Издательство „ПРИОР”, 2001. - 240 с.

7. Колби, Роберт. Энциклопедия технических индикаторов рынка / Роберт Колби ; [пер. с англ. А. И. Левинзон ; науч. ред. А. М. Дзюра]. - 3-е изд. - М. Альпина Паблишерз, 2009. - 837 с.

8. Крушвиц Л., Шефер Д., Шваке М. Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений / Пер. С нем. Под общей редакцией З.А.Сабова - Спб.: ПИТЕР, 2001. - 320 с.

9. Медведев Г. А. Начальный курс финансовой математики. [Электрон-ный ресур]: Учебное пособие -- Электрон. текст. дан. (6,1 Мб). -- Мн.: “Элект-ронная книга БГУ”, 2003. -- Режим доступа: http://anubis.bsu.by/publications/elresources/AppliedMathematics/medvedev1.pdf

10. Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики [Электронный ресур]: Учебное пособие: Часть 2: Определение рыночной стоимости ценных бумаг. -- Электрон. текст. дан. (3,5 Мб). -- Мн.: Научно-методический центр “Электронная книга БГУ”, 2003. -- Режим доступа: http://anubis.bsu.by/publications/elresources/AppliedMathematics/medvedev3.pdf

11. Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С. Математические методы финансового анализа // Под научной редакцией д.ф.-м.н., профессора Мельникова А.В. - М.: Издательство:АНКИЛ, 2006 - 440 с.

12. Мэрфи, Джон Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика [Текст] / Джон Дж. Мэрфи ; [пер. с англ. О. Новицкой, В. Сидорова наук. ред. И. Самотаев]. - М. : Евро, 2008. - 588 с.

13. Мэрфи, Джон Дж. Визуальный инвестор: Как определять тренды / Джон Дж. Мэрфи ; [пер. с англ. М. Волкова, Т. Дозоровой]. - М. : Евро : СмартБук, 2010. - 327 с.

14. Найман, Эрик Л. Малая энциклопедия трейдера: пер. с англ. Эрик Л. Найман ; [ред. М. Савина] - 10-е изд. - М. : Альпина Бизнес Букс, 2009. - 456

15. Пономаренко Є.Б. Облікове забезпечення управління фінансовими інвестиціями // Вісник ЖДТУ. - 2009. - №2. - С. 28-30

16. Портфельне інвестування. Навч. посібник / А.А. Пересада, О.Г. Шевченко, Ю.М. Коваленко, С.В. Урванцева. - К.: КНЕУ, 2004. - 408 с.

17. Смалюк Г.Ф. Методи формування та реалізації інвестиційного портфеля // Наука й економіка. - 2007. - №2. - С.18-24.

18. Севастьянов П.В. Финансовая математика и модели инвестиций: Курс лекций / П.В.Севастьянов. -- Гродно: ГрГУ, 2001. -- 183 с.

19. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции: пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 2001. - 1028 с.

20. Шевцова О.Й., Яковенко Є.О. Модель оцінки опціону на фінансовому ринку // Науковий вісник НГУ. - 2006. - № 2. - С. 102-104.

21. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты.Модели. - М.: Издательство „ФАЗИС”, 1998. - 512 с.

22. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2. Теория. - М.: Издательство „ФАЗИС”, 1998. - 544 с.

23. Швагер, Джек. Технический анализ : полный курс / Джек Швагер ; [пер. с англ. А. Куницына, Б. Зуева ; ред. А. Дзюра]. - 6-е изд. - М. : Альпина Бизнес Букс, 2009. - 804 с.

24. Элдер, Александр. Трейдинг с доктором Элдером : Энциклопедия биржевой игры / Александр Элдер ; [ред. П. Суворова, А. Дозоров ; пер. с англ. А. Семенова, М. Волковой]. - М. : Альпина Бизнес Букс, 2008. - 488 с.

25. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под ред. А.А.Лобано-ва, А.В.Чугунова. - М.: Альпина Паблишер, 2003. - 786 с.

26. Яковенко Є.О. Модель опціонного контракту зі змінним терміном дії // Вісник Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту ім. Лазаряна. - 2006. - № 12. - С. 281-284.

27. Яковенко Є.О. Модель оцінки опціону на фінансовому та фондовому ринках // Матеріали міжнародної науково-практичної конференції “Сучасний етап та проблеми розвитку підприємництва в регіоні” 10-11 листопада 2005 року (м. Жовті Води). Т. 3, Наука і освіта, с. 26-28.

28. Black F. and Sholes M.S., The Prising of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy 81. - 1973. - Р. 637-659.

29. Merton R.C., Theory of Rational option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. - 1973. - Р. 141-183.

Размещено на Allbest.ru

Страница:


Подобные документы

  • Розв’язування задач за допомогою графів

    Теорія графів та її використання у різних галузях. У фізиці: для побудови схем для розв’язання задач. У біології: для розв’язання задач з генетики. Спрощення розв’язання задач з електротехніки за допомогою графів. Математичні розваги і головоломки.

    научная работа [2,1 M], добавлен 10.05.2009

  • Прямі методи безумовної мінімізації функцій

    Формулювання задачі мінімізації. Мінімум функції однієї та багатьох змінних. Прямі методи одновимірної безумовної оптимізації: метод дихотомії і метод золотого перерізу. Метод покоординатного циклічного спуску. Метод правильного і деформованого симплексу.

    курсовая работа [774,0 K], добавлен 11.08.2012

  • Градієнтні методи

    Методи багатомірної безумовної оптимізації першого й нульового порядків і їх засвоєння, порівняння ефективності застосування цих методів для конкретних цільових функцій. Загальна схема градієнтного спуску. Метод найшвидшого спуску. Схема яружного методу.

    лабораторная работа [218,0 K], добавлен 10.12.2010

  • Рішення транспортної задачі лінійного програмування

    Основні типи та види моделей. Основні методи складання початкового опорного плану. Поняття потенціалу й циклу. Критерій оптимальності базисного рішення транспортної задачі. Методи відшукання оптимального рішення. Задача, двоїста до транспортного.

    курсовая работа [171,2 K], добавлен 27.01.2011

  • Метод гілок та меж для рішення задач цілочисельного програмування

    Практична реалізація задачі Гамільтона про мандрівника методом гілок та меж. Математична модель задачі комівояжера, її вирішення за допомогою алгоритму Літтла. Програмне знаходження сумарних мінімальних характеристик (відстані, вартості проїзду).

    курсовая работа [112,5 K], добавлен 30.09.2014

  • Задача Діріхле

    Методи скінченних різниць або методи сіток як чисельні методи розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь алгебри диференціального та інтегрального числення. порядок розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа методом сіток у прямокутної області.

    курсовая работа [236,5 K], добавлен 11.06.2015

  • Теорія збурень лінійних двовимірних систем

    Задача продавлення шкідливих збурень. Збурювальні задачі, що видвинуті для розгляду радіотехнікою, в деякому розуміння протилежні задачам класичної теорії збурень. Дійснi нелінійнi диференціальнi рівняння. Завдання радіотехніки, задачі генерації збурень.

    дипломная работа [890,8 K], добавлен 17.06.2008

  • Алгоритм розв'язання задач на відсотки

    Історія виникнення відсотків, сутність цього терміна. Розв’язання задач на їх визначення за допомогою пропорцій. Добірка текстових завдань, які розв’язуються шляхом розрахунку розміру складних відсотків. Методи вирішення задач на суміші та сплави.

    реферат [72,7 K], добавлен 02.12.2015

  • Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей

    Основні принципи і елементи комбінаторики. Теорія ймовірностей: закономірності масових випадкових подій, дослідження і узагальнення статистичних даних, здійснення математичного і статистичного аналізу. Постановка і вирішення задач економічного характеру.

    курс лекций [5,5 M], добавлен 21.11.2010

  • Стереометричні задачі на побудову та їх вивчення в старшій профільній школі

    Основні типи стереометричних задач на побудову та методи їх розв’язування. Методичні рекомендації до проведення уроків з навчання учнів розв’язуванню цих задач на побудову. Комп’ютерна підтримка навчання учнів розв’язуванню задач засобами пакету GRAN.

    дипломная работа [2,1 M], добавлен 26.08.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены