Математичні методи управління інвестиціями

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИПЛОМНА РОБОТА БАКАЛАВРА

«Математичні методи управління інвестиціями»

АНОТАЦІЯ

Дипломна робота бакалавра на тему: «Математичні методи управління інвестиціями» - 97 с., 16 табл., 6 рис., 29 джерел літератури.

Актуальність теми дослідження пов'язана з переходом України до ринкової економіки, при якій склалися нагальні потреби для вивчення і впровадження теорії інвестиційного портфеля, становлення та розвитку математичних методів оцінки параметрів вітчизняного фондового ринку.

Метою дослідження є аналіз ефективності економіко-математичного інструментарію визначення оптимального інвестиційного портфеля, існуючі підходи (методи, моделі) до передбачення майбутньої доходності активів, врахування ризику та побудови оптимального інвестиційного портфеля.

Практична цінність отриманих результатів дипломного дослідження полягає в можливості побудови на основі розглянутих теоретичних методів та рішення типових прикладів посібника для студентів з основ математичних методів управління портфелем інвестицій.

THE SUMMARY

Degree work of the bachelor on a subject: « Mathematical methods the management of the investments » - 97 pg., 16 tab., 6 fig., 29 sources of the literature.

The urgency of a subject of research is connected to transition of Ukraine to market economy, at which there was a urgent need for study and introduction the theory of an investment portofolio, development the mathematical methods of a rating the parameters of the domestic share market.

The purpose of research is the analysis an efficiency of economic-mathematical toolkit the definition an optimum investment portofolio existing approaches (methods, model) to forecasting future profits of actives, account of risk and construction an optimum investment portofolio.

The practical value of the received results of degree research consists in an opportunity of construction on the basis at the considered theoretical methods and decision by typical examples of the manual for the students on bases of mathematical methods the management an portofolio of the investments.

ВСТУП

Актуальність теми дослідження пов'язана з переходом України до ринкової економіки, при якій склалися нагальні потреби для вивчення і впровадження теорії інвестиційного портфеля, становлення та розвитку математичних методів оцінки параметрів вітчизняного фондового ринку.

Сучасна теорія портфельних інвестицій бере свій початок зі статті Гаррі Марковіца "Вибір портфеля", де було запропоновано математичну модель формування оптимального портфеля цінних паперів, а також приведено методи побудови таких портфелів за певних умов.

Вагомий внесок у розвиток портфельного менеджменту зробили: У. Шарп, Дж. Тобін, Дж. Лінтнер та ін. Значний вклад у розвиток портфельної теорії зробили російські й українські вчені: І.А. Бланк, А.А. Пересада, М.В. Волков Ю.Ф. Касимов, А.С. Шведов, В.В. Михальський, Б.Л. Луців, В.В. Бочаров, Н.К. Морозов, В.В. Вітлінський, Я.Д. Крупка та ін.

Метою дослідження є аналіз ефективності економіко-математичного інст-рументарію визначення оптимального інвестиційного портфеля, існуючі підхо-ди (методи, моделі) до передбачення майбутньої доходності активів, врахування ризику та побудови оптимального інвестиційного портфеля.

Практична цінність отриманих результатів дипломного дослідження полягає в можливості побудови на основі розглянутих теоретичних методів та рішення типових прикладів посібника для студентів з основ математичних методів управління портфелем інвестицій.

РОЗДІЛ 1 ТЕОРЕТИЧНА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ УПРАВЛІННЯ ПОРТФЕЛЬНИМИ ІНВЕСТИЦІЯМИ

1.1 Сучасна теорія портфельних інвестицій

Інвестиція (від лат. invest, вкладення коштів) -- це господарська операція, яка передбачає придбання основних фондів нематеріальних активів, корпора-тивних прав та цінних паперів в обмін на кошти або майно. Інвестиції поділя-ються на капітальні, фінансові та реінвестиції [18].

Фінансові портфельні інвестиції - це господарські операції, що передбачають купівлю цінних паперів, деривативів та інших фінансових активів за кошти на фондовому ринку або біржовому товарному ринку (Податковий Кодекс України).

Фінансова портфельна інвестиція - це господарська операція, яка передбачає придбання цінних паперів, деривативів та інших фінансових активів за кошти на фондовому ринку (за винятком операцій із купівлі акцій як безпосередньо платником податку, так і пов'язаними з ним особами, в обсягах, що перевищують 50 відсотків загальної суми акцій, емітованих іншою юридичною особою, які належать до прямих інвестицій) - (Міністерство економіки України, 2008).

Сучасна портфельна теорія (Modern Portfolio Theory) -- це теорія фінансо-вих інвестицій, у межах якої за допомогою статистичних методів здійснюють якомога вигідніший розподіл ризику портфеля цінних паперів і оцінювання до-ходу, складовими елементами її є оцінювання активів (seсuriti valuation); прий-няття інвестиційних рішень (asset allocation decision); оптимізація портфеля (portfolio optimization); оцінювання результатів (performance measurement).

Сучасна теорія портфельних інвестицій дійшла таких основних висновків [19]:

-- ефективну множинність містять ті портфелі, які одночасно забезпечують і максимально очікувану дохідність за фіксованого рівня ризику, і мінімальний ризик при заданому рівні очікуваної дохідності;

-- передбачається, що інвестор вибирає оптимальний портфель із портфелів, що утворюють ефективну множинність;

-- оптимальний портфель інвестора ідентифікується з точкою зіткнення кривих байдужості інвестора з ефективною множинністю;

-- диверсифікація звичайно зменшує ризик, оскільки стандартне відхилення портфеля у загальному випадку буде меншим, ніж середньозважені стандартні відхилення цінних паперів, що формують портфель;

-- співвідношення дохідності цінного паперу і дохідності на індекс ринку відоме як ринкова модель;

-- дохідність на індекс ринку не відображає дохідності цінного паперу сповна. Непояснені елементи включаються у випадкову погрішність ринкової моделі;

-- відповідно до ринкової моделі загальний ризик цінного паперу утворюється з ринкового і власного ризику;

-- диверсифікація усереднює ринковий ризик;

-- диверсифікація може значно знизити власний ризик.

Можна сформулювати основні постулати, на яких ґрунтується сучасна теорія портфельних інвестицій [18]:

1. Ринок складається з кінцевого числа активів, дохідності яких для заданого періоду вважаються випадковими величинами.

2. Інвестор в змозі, наприклад, виходячи із статистичних даних, отримати оцінку очікуваних (середніх) значень дохідностей та їхніх попарних коваріацій -- ступенів можливості диверсифікації ризику.

8. Інвестор може формувати різні допустимі (для певної моделі) портфелі. Дохідності портфелів е також випадковими величинами.

4. Порівняння портфелів, що вибираються, ґрунтується тільки на двох критеріях -- середня дохідність та ризик.

5. Інвестор не схильний до ризику в тому сенсі, що з двох портфелів з однаковою дохідністю він обов'язково віддасть перевагу портфелю з меншим ризиком.

Центральною проблемою в теорії портфельних інвестицій є вибір оптимального портфеля, тобто визначення набору активів з найвищим рівнем дохідності за найменшого чи заданого рівня інвестиційного ризику. Такий підхід багатомірний як за числом залучених до аналізу активів, так і за врахованими характеристиками.

Теорія портфельних інвестицій пройшла три етапи розвитку [16]:

а) Перший етап (первинний) -- розробка математичних основ для портфельної теорії;

б) другий -- створення теорії ринкового портфеля у працях Марковіца, Тобіна, Шарпа;

в) третій -- формування на основі теорії ринкового портфеля теорії оптимального портфеля в роботах Модільяні, Міллера, Блека, Скоулза. Праці цих учених одразу отримали широке визнання, а запропоновані ними схеми розрахунків були застосовані на практиці.

Третій етап у розвитку класичної теорії портфельних інвестицій (70-ті роки) характеризує стрімке розширення і поглиблення математичних засобів фінансового аналізу, тонких і складних засобів сучасної теорії випадкових процесів і оптимального управління.

1.2 Теорія ризику інвестицій Г. Марковіца

Г.- М. Марковіц стверджує, що інвестор повинен обґрунтувати своє рі-шення щодо вибору портфеля винятково на очікуваній дохідності та стандартному відхиленні. Він має оцінити очікувану дохідність і стандартне відхилення кожного портфеля, а потім вибрати "кращий" з них, грунтуючись на співвідношенні цих двох параметрів. Інтуїція при цьому відіграє визначальну роль. Очікувана дохідність може бути представлена як міра потенційної винагороди, пов'язана з конкретним портфелем, а стандартне відхилення -- як міра ризику, пов'язана з цим портфелем. Після дослідження кожного портфеля в сенсі потенційної винагороди і ризику інвестор повинен вибрати "найкращий" портфель [17].

Почнемо виклад теорії ризику з вивчення його статистичного виміру. Ко-ливання доходу акцій або інших цінних паперів, тобто ризик, виражається в тому, що інвестор не отримує очікуваного доходу, або отримує його в розмірі, нижчому від очікуваного.

Ризик вимірюється двома статистичними показниками: дисперсією і стан-дартним відхиленням. Дисперсія  -- це середнє значення квадратів відхилень реальної дохідності акцій (портфеля) від середньої дохідності. Стандартне від-хилення визначається як квадратний корінь з дисперсії .

Обидва показники вимірюють відхилення доходу даного року (місяця і т. д.) від середнього історичного; чим більше відхилення від середньої величи-ни доходу, тим більш ризикованим є інвестування в даний цінний папір.

Модель Марковіца з формування портфеля як комбінації можливих інвес-тицій можна сформулювати так: слід знайти такі пропорції розподілу інвестицій (коштів) між наявними фінансовими активами, щоб за передбачуваної (прийнят-ної) очікуваної дохідності ризик портфеля як стандартне відхилення дохідності виявився для інвестора прийнятним (мінімальним). За певного рівня ризику ін-вестори віддають перевагу більшій дохідності, а за заданого рівня очікуваної дохідності -- перевагу меншому ризику.

Марковіц запропонував математичний апарат для пошуку ефективного портфеля, здатного забезпечувати найменший рівень ризику для зазначеного рівня дохідності, або максимізувати очікувану дохідність за прийнятного рівня ризику. Проте модель Марковіца не уможливлює вибір оптимального портфеля, а пропонує набір ефективних портфелів [9].

Для практичного використання моделі Марковіца необхідно для кожного фінансового активу (акції) визначити очікувану дохідність, її стандартне відхи-лення і коваріацію між фінансовими активами. Згідно з тлумаченням Марковіца (рис. 1.1), якщо розглянути деякий портфель Z, то він буде неефективним, ос-кільки портфель F може забезпечити той же рівень очікуваної дохідності за мен-шого ризику, а портфель U за того ж рівня ризику -- більш високу дохідність. Так само можна дійти висновку про неефективність портфеля C. Ефективні пор-тфелі розташовані упродовж лінії HE, яка ілюструє допустиму множину ефек-тивних портфелів. За умови існування багатьох альтернатив інвестування (мно-жини активів) існує і множина ефективних портфелів.

Рис. 1.1 Допустима множина портфелів

Раціональні інвестори завжди прагнуть сформувати ефективний портфель. Яку саме комбінацію фінансових активів обере портфельний інвестор, залежа-тиме від його намірів і преференцій щодо співвідношення очікуваної дохідності та ризику.

Менше схильний ризикувати інвестор (точка К) згодний втратити у дохід-ності, а більше здатний на ризик інвестор (точка U) сподіватиметься на вищу до-хідність. Утім, спільним для всіх інвесторів, портфелі яких розташовані на лінії НЕ, є прагнення сформувати ефективний портфель.

Вихідна позиція Марковіца ґрунтована на твердженні, що фінансові (порт-фельні) інвестиції інвестор оцінює за такими параметрами, як очікувана дохід-ність (приріст доходу на одиницю вкладень) і стандартне відхилення дохідності як міра ризику. Заслуговують на увагу висновки щодо ефекту диверсифікації, котру розглядають як умову зниження ризику інвестування без втрати дохіднос-ті шляхом розподілу інвестицій між різними фінансовими інструментами. Чим вищий рівень диверсифікації за меншої кореляції окремих активів, тим ширши-ми є можливості зменшення ризику.

У загальному вигляді модель Марковіца «дохідність -- ризик» -- це стан-дартна модель квадратичного програмування. Втім, техніка створення портфеля за цією моделлю вимагає великої кількості обчислень, а деякі припущення надто ускладнюють отримання вихідної інформації. Прикладне застосування цієї мо-делі обмежене також складністю інформативного забезпечення розрахунків очі-куваної дохідності, стандартного відхилення й коваріації цінних паперів. Так, для моделі Марковіца з N кількістю фінансових активів потрібно розрахувати коефіцієнтів кореляції. Однак ця обставина в умовах високого рівня ком-п'ютеризації не є сьогодні складною проблемою. Значно більшим недоліком і перешкодою застосування моделі «дохідність -- ризик» Марковіца є те, що на її підставі пропонується багаточисельний набір ефективних портфелів, який уск-ладнює прийняття конкретного інвестиційного рішення. Але конче важливим є значення розроблень Марковіца для з'ясування підходів і методів обчислення параметрів моделі, засадових підходів і принципів побудови ефективних порт-фелів, тлумачення поведінки окремих інвесторів, вибору їх рішень щодо розпо-ділу авансованого капіталу серед багатьох альтернативних можливостей спря-мування інвестицій.

Модель Марковіца базується на тому, що показники прибутковості різних цінних паперів взаємопов'язані: із зростанням доходності одних паперів спостерігається одночасне зростання і по іншим паперам, треті залишаються без змін, а в четвертих, навпаки доходність знижується. Такий вид залежності є стохастичним, і називається кореляцією.

Модель Марковіца має наступні основні припущення [8]:

­ за доходність цінних паперів приймається математичне очікування доходності;

­ за ризик цінних паперів приймається середнє квадратичне відхилення доходності;

­ вважається, що дані минулих періодів, які використані при розрахунках доходності і ризику, повністю відображають майбутні значення доходності;

­ ступінь і характер взаемозв'язку між цінними паперами виражається коефіцієнтом лінійної кореляції.

За моделлю Марковіца доходність портфеля цінних паперів -- це середньозважена доходність паперів, його складових, яка визначається формулою

(1.1)

Де N -- кількість цінних паперів, які розглядаються;

Wi -- процентна частка даного паперу в портфелі;

ri -- доходність даного паперу.

Ризик портфеля цінних паперів визначається функцією

(1.2)

Де Wi -- процентна частка даних паперів у портфелі;

a b -- ризик даних паперів (середньоквадратичне відхилення)

ab -- коефіцієнт лінійної кореляції

З використанням моделі Марковіца для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляд

(1.3)

Обернена задача розраховується аналогічно

(1.4)

При застосуванні моделі Марковіца на практиці для оптимізації фондового портфеля використовуються наступні формули:

1) доходність цінних паперів

(1.5)

де T -- кількість минулих спостережень доходності даних цінних паперів;

2) ризик цінного паперу

(1.6)

2) коефіцієнт кореляції між двома цінними паперами

(1.7)

Де rat, rbt -- доходність цінних паперів а та b в період t

Зрозуміло, що для N цінних паперів необхідно розрахувати N(N-1)/2 коефіцієнтів кореляції.

Доходність цінних паперів складається з курсової різниці, дивідендних платежів, купонних платежів, дисконта тощо.

Модель Марковіца раціонально використовувати при стабільному стані фондового ринку, коли бажано сформувати портфель з цінних паперів різного характеру, що належать різним галузям. Основний недолік моделі - очікувана доходність цінних паперів приймається рівній середній доходності за даними минулих періодів.

1.3 Теорія портфеля цінних паперів У. Шарпа

У межах портфельної теорії особливе прикладне значення має, зокрема, запропонована В. Шарпом (W. Sharpe) модель ув'язування дохідності цінних паперів і систематичного в-ризику (Сapitfl Asset Pricing Model -- CАРМ, або модель оцінювання капітальних активів -- МОКА) [19].

Заслуговують на увагу головні припущення цієї моделі:

- інвестори оцінюють ефективність інвестиційних рішень за двома параметрами -- очікуваною (середньою) дохідністю та рівнем ризику, вимірюваного як в-коефіцієнт;

- існує безризикова ставка доходу, однакова як для кредитів, так і для інвестицій;

- можливості з безризикованого кредитування й інвестування необмежені, натомість активи нескінченно подільні, тобто існує можливість придбання та продажу активів у будь-якому обсязі;

- відсутні податки й операційні витрати, існують необмежені можливості коротких продажів (запозичені активи із зобов'язанням повернення);

- усі інвестори не схильні до ризику, й інвестують у ризикованіші активи лише заради більших очікуваних доходів (премії за ризик);

- усі інвестори однаковою мірою поінформовані стосовно очікуваної дохідності й ризику інвестицій і характеризуються однаковими очікуваннями щодо майбутнього;

- фінансові ринки конкурентні, а горизонт прийняття рішень однаковий для всіх інвесторів.

Модель САРМ має такий вигляд [18]:

Ri = Ro + вi * (Rm - Ro) (1.8)

де Ri -- очікувана дохідність акцій і-го емітента (необхідна ставка

доходу);

Ro -- дохідність безризикових цінних паперів;

Rm -- середня дохідність ринку цінних паперів;

вi -- бета-коефіцієнт як міра систематичного ризику.

Показник надлишкової дохідності ринку (Rm - Ro) має наочну інтерпре-тацію, бо становить ринкову (середню) премію за ризик за умови вкладання капіталу різною мірою в ризиковані цінні папери (звичайні акції, корпоративні облігації тощо). Аналогічно показник (Ri - Ro) -- це премія за ризик у разі вкладання капіталу в цінні папери певного емітента. Модель САРМ означає, що премія за ризик вкладання капіталу в цінні папери конкретного емітента прямо пропорційна ринковій премії за ризик (прямолінійний зв'язок).

Графічне відображення САРМ -- лінію ринку капіталу CML можна побу-дувати, враховуючи, що вона увиразнює компроміс між дохідністю і ризиком для ефективних портфелів. Якщо в-коефіцієнт дорівнює 0, очікувана дохідність дорівнює дохідності безризикових активів (6 %), а якщо 1 -- ринковій дохіднос-ті 10 %. На підставі зазначених даних отримують дві крапки на графіку (F і M), через які проводять пряму лінію Capital Market Line CML, що демонструє, якою мірою зростання ризику збільшується очікувана дохідність (рис. 1.2).

Очікувана дохідність активу (необхідна ставка доходу), наприклад, дорів-нюватиме 11 %, коли в дорівнює 1,25. Якщо збільшити в до 2, дохідність стано-витиме 14 %.

Нахил лінії CML відбиває рівень несприйняття ризику середнім інвесто-ром. Чим більше несприйняття ризику, тим менший нахил прямої, тим вищі, відповідно, премія за ризик і необхідна ставка доходу.



Рис. 1.2 Лінія ринку капіталу

Важливий підсумок САРМ -- побудова лінії ринкової дохідності цінних паперів або лінії ринку фінансового активу (Security Market Line -- SML). SML увиразнює те, що в умовах ринкової рівноваги, коли всі інвестори формують найвигідніший для себе портфель, дохідність цінних паперів Rі зумовлена таки-ми чинниками, як безризикова дохідність Rо, дохідність ринкового портфеля Rm, ризик (стандартне відхилення дохідності) ринкового портфеля уm і величи-на коваріації між дохідністю і-го цінного папера й дохідністю ринкового портфеля уim відповідно до рівняння

(1.9)

Як випливає з наведеного рівняння, відмінності в дохідності цінних паперів зумовлені лише величиною ?im, оскільки решта показників рівняння однакові для всіх фінансових активів ринку. Тобто SML графічно інтерпретує залежність очікуваної дохідності цінного папера від коефіцієнта коваріації уim (рис. 1.3). За умови стану рівноваги показники очікуваної дохідності усіх фінансових активів, які обертаються на ринку, повинні розташуватися уздовж прямої SML відповідно до індивідуального значення ризику -- коефіцієнта коваріації уim.

Рис. 1.3 Лінія ринку фінансового активу

Проте практики-аналітики ринку цінних паперів для характеристики ризи-ку частіше використовують показник коваріації уim, нормований за величиною дисперсії ринкового портфеля, тобто в-коефіцієнт

(1.10)

Для ринкового портфеля значення чисельника (уim) дорівнює, або

На практиці під час побудови лінії ринку фінансового активу на горизон-тальній осі графіка зазвичай відкладають значення в-коефіцієнта.

Лінію ринку капіталів можна використати для порівняльного аналізу пор-тфельних інвестицій. Ця лінія (за іншими джерелами -- лінія ринку цінних па-перів, лінія надійності ринку цінних паперів) дає можливість передбачити необ-хідну ставку доходу певної акції.

Відбираючи фінансові активи до портфеля, інвестор може визначити, якою має бути дохідність їх за заданого рівня ризику.

Якщо Rі (необхідну ставку доходу) розраховують на майбутній період, дохідність дисконтують за цією ставкою.

Найскладнішим питанням стосовно практичного використання моделі САРМ є визначення показників, а саме безризикової ставки доходу, ринкової дохідності, очікуваної дохідності активів, в-коефіцієнтів як міри системного ризику.

Як безризикову ставку під час практичних досліджень обирають, як пра-вило, дохідність по короткотерміновим (від трьох місяців до року) державним зобов'язанням, облікову ставку (або ставку рефінансування) центрального бан-ку, або розраховану визначеним способом середньозважену ставку за кредитами на міжбанківському ринку (наприклад, ставку LIBOR -- London Interbank Offered Rate).

Для розрахунку ринкової дохідності використовують фондові індекси, які вимірюють середньозважений рівень цін за певною групою активів. Серед ана-літиків тривають суперечки щодо сутності фондових індексів. Дехто з них взага-лі заперечує можливість визначення на їх підставі середніх ринкових показників для САРМ. Утім, практики вже мають достатній позитивний досвід застосуван-ня індексів Standart and Poor's (SP-500) та інших фондових індексів за умови за-лучення до їх обчислення ринкових цін великої кількості цінних паперів.

Приріст фондового індексу за конкретний період -- це середньозважений капітальний дохід за цінними паперами, ціни на які використано під час розра-хунку індексу. Проте за багатьма цінними паперами капітальний дохід -- це ли-ше одна складова загального доходу. Так, за акціями також виплачують дивіден-ди, за облігаціями -- відсотки. Крім того, доходи, отримані впродовж певного періоду, можуть бути реінвестовані. За наявності потрібної інформації можна врахувати також середньозважені проміжні доходи за цінними паперами.

Суттєва проблема, пов'язана з практичним використанням індексів, поля-гає в тому, наскільки індекс адекватний ринковому портфелю (чи в повному об-сязі враховано фінансові активи, що обертаються на ринку?).

Загалом проблема під час використання фондових індексів для розрахунку середньоринкової дохідності зводиться до того, що:

1) індекс не враховує дохідність від реінвестування та проміжних витрат;

2) не повною мірою репрезентує ринковий портфель (наскільки повно він охоплює всі наявні фінансові активи);

3) індекси обчислюють не за ринком (фондовою біржею), а за видами цінних паперів;

4) індекс не враховує закордонних інвестицій.

Водночас іншого підходу для визначення ринкової дохідності, крім вико-ристання фондових індексів, поки не знайдено, тому дослідники переймаються переважно лише міркуваннями методів стосовно розрахунку їх.

Загалом середньоринкову дохідність ринкового портфеля цінних паперів Rm можна обчислити за формулою:

Rm = Rk + RD + Rp (1.11)

де Rm -- дохідність ринкового портфеля за індексом;

Rk -- дохідність від приросту капіталу (ринкових цін);

RD -- дохідність від виплати дивідендів і відсотків;

Rp -- дохідність від реінвестування коштів.

Під час використання розроблень портфельної теорії найпростішим і най-частіше застосованим на практиці підходом до розрахунку очікуваної дохідності й міри ризику є розрахунок на підставі історичних значень. Головна супереч-ність такого підходу полягає в тому, що мають використовувати майбутні показ-ники (значення ex ante), тоді як наведений метод уможливлює застосування ли-ше оцінок минулих значень (ex post). Справді, подеколи історичні показники дохідності можна розглядати як підґрунтя прогнозування, однак за інших умов зв'язок між попередньою динамікою дохідності та її майбутніми змінами може бути цілком відсутній.

Для прогнозування майбутньої дохідності фінансових активів існує ціла низка підходів. Чим важчий і точніший метод прогнозування, тим більше витрат часу і коштів він потребує від аналітика, тим повнішою має бути вихідна інфор-мація. Саме тому практикам часто доводиться користуватися грубими оцінками (ex post).

Для розрахунку в-коефіцієнта також використовують минулі значення дохідності окремих активів і ринкового портфеля загалом (на підставі індексу). Проте значення дохідності є показниками ex post тож оцінки за розрахунками можуть суттєво відрізнятися від того, що станеться в майбутньому. Але саме цей метод є найпоширенішим завдяки його простоті.

Значення в визначають на підставі пошуку параметрів регресивної моделі «характеристичної» лінії («Characteristic» Line) типу

Ri - Rо = бі + ві (Rm - Rо) (1.12)

де Ri -- дохідність і-го цінного папера (рис. 1.4),

Rо -- безризикова ставка доходу,

бі -- постійна надлишкова дохідність активу,

Rm -- середньоринкова дохідність,

ві -- тангенс кута нахилу, міра системного ризику.

Ця модель визначає залежність між надлишковою дохідністю (премією за ризик) і-го цінного папера (Ri - Rо) і надлишковою дохідністю ринку (Rm Rо). Значення бі може бути більшим і меншим за 0. Чим вище б, тим привабливіша акція. Якщо б > 0, актив недооцінено, якщо б < 0, актив переоцінено. За амери-канським висловом: «keep your б high and в low» (дотримуйся високого б і низь-кого в). Дисперсія окремих емпіричних значень навколо «характеристичної» лінії не має бути великою. За умови значного розпорошення під час розрахунків слід врахувати додаткові елементи ризику.

Для спрощення розрахунків б і в на практиці застосовується модель типу

Ri = бі + ві*Rm (1.13)

де Ri -- дохідність і-го цінного папера,

Rm -- дохідність ринку,

бі і ві -- відповідні параметри.

Рис. 1.4 «Характеристична» лінія для визначення в-коефіцієнта

На ринках цінних паперів деяких країн створено спеціальні служби, які визначають в-коефіцієнти акцій і регулярно публікують їх. У США розрахунки в-коефіцієнта здійснюють компанії Merril Lynch та Value Line. Значення в зна-ходиться в межах від 0,5 до 1,5. У розрахунках зазвичай використовують інфор-мацію про минулі коливання ринкових цін. Деякі фахівці отримують оцінки в на підставі використання спеціальних факторних моделей.

У розрахунках використовують переважно інформацію стосовно щотиж-невих даних за два роки або щомісячних -- за п'ять років. Значення в-коефіці-єнта для американських цінних паперів, наприклад, оцінюють на підставі біржо-вого індексу Standart and Poor's 500 та сукупного індексу Нью-Йоркської фондо-вої біржі. Хоча вважається, що оцінки в як міри ризику для окремих паперів ду-же приблизні, вони, за відсутності інших, часто дістають практичне застосуван-ня у ринковому аналізі. Утім, ставитися до рекомендацій щодо в слід критично.

На практиці з огляду на особливості обчислення в, а також спрощення мо-делі, САРМ можна розглядати лише як орієнтовну. Однак її застосування дає змогу значно обмежити кількість вхідних параметрів. Наприклад, важливо, що за умови залучення 100 різних видів фінансових активів для моделі Марковіца слід обчислити 4950 параметрів, для моделі Шарпа -- лише 201.

Модель Шарпа, як і модель Марковіца, застосовують лише для умов ста-більного і прогнозованого фондового ринку. У країнах з фондовими ринками у фазі становлення, до яких належить Україна, практичне використання цих моде-лей ускладнено.

Модель Шарпа застосовується в основному при розгляді великої кількості цінних паперів, що описують велику частину фондового ринку. Основний недолік моделі - необхідність прогнозувати доходність фондового ринку та безризикову ставку доходності. Не враховується ризик коливань безризикової доходності. Крім того, при значній зміні співвідношення між безризиковою доходністю та доходністю фондового ринку модель дає похибки.

Основні припущення моделі Шарпа [19]:

­ як доходність цінного папера береться математичне очікування доходності;

­ існує деяка безризикова ставка доходності Rf, тобто доходність якогось цінного папера, ризик якого завжди мінімальний у порівнянні з іншими цінними паперами;

­ взаємозв'язок відхилень доходності цінного папера від безризикової ставки доходності (далі відхилення доходності цінного папера) з відхиленням доходності ринку в цілому від безризиковоі ставки доходності (далі: відхилення доходності ринку) описується функцією лінійної регресії;

­ під ризиком цінного папера слід розуміти ступінь залежності змін доходності цінного папера від змін доходності ринку в цілому;

­ вважається, що дані минулих періодів, які використовуються при розрахунку доходності та ризику, відображають повною мірою майбутні значення доходності.

За моделлю Шарпа відхилення доходності цінного папера пов'язуються з відхиленнями доходності ринку функцією лінійної регресії виду:

(ri -- Rf) = a + *(Rm -- Rf) (1.14)

де (ri -- Rf) -- відхилення доходності цінного папера від безризикового;

(Rm -- Rf) -- відхилення доходності ринку від безризикового;

a, -- коефіцієнти регресії.

Виходячи з формули (1.14), можна по прогнозованій доходності ринку цінних паперів у цілому розрахувати доходність будь-якого цінного папера, що його складає:

Ri = Rf + ai + i(Rm -- Rf) (1.15)

Де ai, i -- коефіцієнти регресії, що характеризують даний цінний папір.

Коефіцієнт називають -ризиком, оскільки він характеризує ступінь залежності відхилень доходності цінного папера від відхилень доходності ринку в цілому. Основні переваги моделі Шарпа -- математично обгрунтована взаємозалежність доходності та ризику: чим більший -ризик, тим вища доходність цінного папера.

За моделлю Шарпа доходність портфеля цінних паперів -- це середньозважена доходність цінних паперів, що його складають, з урахуванням b-ризику цінних паперів. Доходність портфеля визначається за формулою

(1.16)

Де Rf -- безризикова доходністъ;

Rm -- очікувана доходність ринку в цілому.

Ризик портфеля цінних паперів може бути знайдений за допомогою оцінки середнього квадратичного відхиления функціі (1.16), і визначається за формулою

(1.17)

де sm -- середньоквадратичне відхилення доходності ринку в цілому, тобто ризикованість ринку в цілому;

i, sei -- -ризик і залишковий ризик і-го цінного папера.

При використанні моделі Шарпа для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляду:

 (1.18)

Зворотня задача виглядає аналогічним чином:

(1.19)

Основний недолік моделі -- необхідність прогнозувати доходність фондового ринку та безризикову ставку доходності. Модель не враховуе ризик коливань безризикової доходності. Крім того, при значній зміні співвідношення між безризиковою доходністю та доходністю фондового ринку модель дає похибки.

Таким чином, модель Шарпа може застосовуватися при розгляді великої кількості цінних паперів, що описують велику частку відносно стабільного фондового ринку.

1.4 Теорія арбітражного ціноутворення та опціонів Блека - Шоулза

Більш узагальненою порівняно з САРМ є арбітражна теорія оцінювання капітальних активів (АТО). Однофакторна модель АТО дуже подібна до САРМ, проте важливо, що АТО враховує вплив на дохідність фінансових активів не ли-ше ринкового ризику, а й інших чинників (це багатофакторна модель) [10].

Для оцінювання інвестиційних рішень портфельному аналітикові треба з'ясувати, наскільки доцільними будуть ці рішення, чи достатньою мірою обра-на стратегія відповідає інвестиційним цілям. Оцінювання управління портфелем уможливлює правильний вибір з-поміж альтернативних можливостей розміщен-ня коштів у фінансових інструментах.

Головним критерієм ефективності управління портфелем цінних паперів є його дохідність -- R за певний проміжок часу. Дохідність за певний період R принципово складається з капіталізованої дохідності, пов'язаної зі змінами курсової ціни, і дивідендної (відсоткової) дохідності.

Дохідність портфеля можна визначити як приріст вартості на одиницю вкладень і розрахувати на підставі формули

(1.20)

де Vn -- вихідна ринкова вартість портфеля цінних паперів (на початок

періоду);

Vk -- ринкова вартість портфеля цінних паперів на кінець періоду.

Одначе наведена формула не враховує розміру вкладень у певний актив із відповідною дохідністю. Тому додатково аналізують показник середньозваженої дохідності портфеля цінних паперів

(1.21)

де R -- середньозважена дохідність портфеля;

Ri -- дохідність і-го фінансового інструменту;

Vi -- вкладення в і-й фінансовий інструмент;

V -- загальна вартість портфеля.

Як показник ефективності управління портфелем цінних паперів викорис-товують також його середню дохідність за певний історичний період. Середня дохідність портфеля R визначається як

(1.22)

де Rt -- дохідність у t-му минулому періоді,

Т -- кількість розглядуваних минулих періодів.

Проте показник середньої дохідності не враховує ризику.

Висока дохідність портфеля може зумовлюватися високим ризиком інвес-тиційних рішень або впливом випадкових чинників, і не свідчити про ефектив-ність управління. Для адекватного оцінювання ефективності управління потріб-не додаткове коригування на ризикованість вкладень. Відтак оцінку ефективнос-ті управління портфелем цінних паперів можна давати на підставі порівняльного аналізу з урахуванням ризикованості реалізованих інвестиційних рішень та оцінки достатньої тривалої стабільності рівня дохідності інвестицій.

Оскільки в минулому не були відомі підходи, які одночасно поєднували дохідність і ризик, портфельні аналітики розглядали зазначені чинники ефектив-ності ізольовано, групуючи портфелі спочатку на підставі ознаки мінливості до-ходів у класи з однаковим рівнем ризику, а потім й у межах кожного класу по-рівнювали дохідність окремих портфелів. Сьогодні відомо три основні складові оцінювання ефективності портфеля цінних паперів, здатні об'єднати дохідність і ризик -- безпосередньо дохідність, стандартне відхилення і в-коефіцієнт як міру ризику.

Проте оцінювання ефективності управління портфелем не можна здійсню-вати ізольовано (абсолютно), без порівняння з іншими реальними портфелями або ринковим (індексним) портфелем.

Дж. Л. Трейнор (J. L. Traynor) уперше запропонував критерій (коефіцієнт), який врахував одночасно дохідність і ризик. За еталон для оцінювання ефектив-ності конкретного портфеля цінних паперів використано показник надлишкової дохідності ринкового портфеля, розрахований на підставі реального фондового індексу і віднесений до рівня ринкового ризику в.

Критерій Трейнора обчислюють за певний період часу, він являє собою відношення надлишкової дохідності (премії за ризик) портфеля до показника (міри) системного ризику в.

Для i-го портфеля цінних паперів він становить (Ті)

(1.23)

де Rі -- середньорічна дохідність і-го портфеля за певний період;

Rо -- середньорічна безризикова ставка доходу за цей же період;

ві -- історичний в-коефіцієнт і-го портфеля за цей період [10].

Для ринкового портфеля критерій Трейнора (Тm) становить

(1.24)

де Rm -- середньорічна ринкова дохідність за певний період;

Rо -- середньорічна безризикова ставка доходу;

вm -- коефіцієнт міри системного ризику ринкового портфеля (вm ринку = 1,0).

З інвестиційною теорією і теорією фінансового менеджменту пов'язаний ще один цикл досліджень з так званої теорії корпоративного ринку, яка розглядає проблему "адекватності" ринкових цін фінансових активів. Питання полягає в тому, наскільки "істинна вартість" фінансових активів позначається на ринкових цінах. Інвестор, який виявив, що ринок систематично недооцінює або переоцінює певний актив, міг би отримувати дохід довго і практично без ризику. Гіпотеза ефективності стверджує, що це неможливо. Ринкові ціни загалом відображають практично всю доступну інвесторам інформацію, їх коливання повинні бути абсолютно випадковими і жодний інвестор не в змозі передбачити майбутні ціни ринку.

Гіпотеза ефективного ринку і пов'язана з нею модель "випадкового блукання" ринкових цін активів стимулювали використання динамічних теоре-тико-імовірнісних моделей, що базуються на теорії випадкових процесів. У руслі цих ідей у 1973 р. Скоулз і Блек запропонували модель опціонів, яка названа моделлю Блека--Скоулза.

Перш ніж з'ясувати суть цієї моделі, треба коротко зупинитися на економічній ролі похідних цінних паперів, зокрема на їх різновиді -- опціоні. На відміну від акцій і облігацій, що випускаються з метою залучення грошових засобів, фірми купують і продають опціони, щоб захиститися від несприятливих змін на фінансовому ринку. Оскільки вартість опціонів похідна від вартості інших цінних паперів, то їх називають вторинними. Наявність ринку вторинних цінних паперів дає змогу його учасникам, які очікують у майбутньому певних надходжень або, навпаки, затрат, гарантувати собі певний рівень прибутку чи застрахуватися від втрат, вищих за певний рівень. Останні двадцять років такий ринок стрімко розвивається у всьому світі.

Опціомн (лат. optio -- вибір, бажання, розсуд) -- договір, по якому потен-ційний покупець або потенційний продавець активу (товару, цінного папера) одержує право, але не зобов'язання, зробити покупку або продаж по заздалегідь застереженій ціні в певний договором момент у майбутньому або протягом певного відрізка часу. При цьому продавець опціону несе зобов'язання зробити відповідний продаж або покупку активу відповідно до умов проданого опціону.

Опціон -- це один з похідних фінансових інструментів. Розрізняють опці-они на продаж (put option), на покупку (call option) і двосторонні (double option)

Найпоширенішийо опціони двох стилів -- американський і європейський.

Американський опціон може бути погашений у будь-який день строку до закінчення терміну опціону. Тобто для такого опціону задається строк, під час якого покупець може виконати даний опціон.

Європейський опціон може бути погашений тільки в одну зазначену дату (дата закінчення строку, дата виконання, дата погашення).

Премія опціону -- це сума грошей, що сплачується покупцем опціону продавцеві при висновку опціонного контракту. По економічній суті премія є платою за право укласти угоду в майбутньому.

В основі всіх математичних моделей за розрахунками ціни опціону, ле-жить ідея ефективного ринку. Передбачається, що «справедлива» премія опці-ону відповідає його вартості, при якій ні покупець опціону, ні його продавець, у середньому не одержують прибутки.

Модель ціноутворення опціонів Блэка-Шоулза (англ.Black-Scholes Option Pricing Model, OPM) -- це модель, що визначає теоретичну ціну на європейські опціони, що припускає, що якщо базовий актив торгується на ринку, то ціна опціону на нього неявним образом уже встановлюється самим ринком. Дана модель одержала широке поширення на практиці й, крім усього іншого, може також використовуватися для оцінки всіх похідних паперів, включаючи варранты, конвертовані цінні папери, і навіть для оцінки власного капіталу фінансово залежних фірм.

Відповідно до Моделі Блэка-Шоулза, ключовим елементом визначення вартості опціону є очікувана волатильность базового активу. Залежно від коли-вання активу, ціна на нього зростає або знижується, що прямопропорционально впливає на вартість опціону. Таким чином, якщо відомо вартість опціону, то можна визначити рівень волатильности очікуваної ринком

Ціна (європейського) опціону call

(1.25)

де

(1.26)

Ціна (європейського) опціону put:

(1.27)

Позначення:

- - поточна вартість опціону call у момент t до закінчення терміну опціону;

- - поточна ціна базисної акції;

- - імовірність того, що відхилення буде менше в умовах стандартного нормального розподілу (таким чином, і обмежують область значень для функції стандартного нормального розподілу) (Для визначення можна використовувати таблиці для стандартній нормальній кривій або Excel-Функцію HOPMCTPACП(x). Вона повертає стандартний нормальний інтегральний розподіл, що має середньому, рівне нулю, і стандартне відхилення, рівне одиниці);

- ціна виконання опціону

- безризикова процентна ставка;

- час до закінчення терміну опціону (період опціону);

- волатильность (квадратний корінь із дисперсії) базисної акції.

Волатильность (Мінливість, англ. Volatility) -- це статистичний фінансо-вий показник, що характеризує мінливість ціни. Розрізняють два види волатиль-ности:

- Історична волатильность -- це величина, рівна стандартному відхилен-ню фінансового інструмента за заданий проміжок часу, розрахованому на основі історичних даних про його вартість.

- Очікувана волатильность - волатильность, обчислена на основі поточної вартості фінансового інструмента в припущенні, що ринкова вартість фінансо-вого інструмента відображає очікувані ризики.

Середньорічна волатильность пропорційна стандартному відхиленню вартості фінансового інструмента й обернено пропорційна квадратному кореню часового періоду

(1.28)

где -- стандартне відхилення вартості фінансового інструмента;

-- часовий період у роках.

Волатильність за інтервал часу (виражений в роках) розраховується на основі середньорічний волатильности в такий спосіб:

. (1.29)

У рамках моделі Блека й Шоулса «справедлива» ціна платіжного зобов'я-зання обчислюється по формулі [28]

(1.30)

де (1.31)

а Ф - стандартний нормальний розподіл.

Ціна опціону продавця пов'язана із ціною опціону покупця в такий спосіб

PT(K, , S0)=CT(K, , S0) (1.32)

У практичному ризик-менеджменті прийнято розглядати грецькі парамет-ри ринку, які визначаються зі співвідношень

(1.33)

При припущенні про те, що володіння акціями приносить дивіденди фор-мула Блэка й Шоулса змінюється й приймає наступний вид

(1.34)

Для характеристики чутливості ціни (премії) опціону до зміни тих або інших величин, застосовують різні коефіцієнти, називані «греками». Назва походить від грецького алфавіту, буквами якого позначаються ці коефіцієнти (за винятком «веги»).

Чутливість премії (ціни) опціону до зміни поточного котирування активу і зменшенню часу до його закінчення характеризують наступні коефіцієнти «грецького» ринку

«Греки» у рамках моделі Блэка-Шоулза обчислюються явно

«Грек»	Що	Опціони call	Опціони put
Дельта Д
Гама ?
Вега н
Тета И
Ро с

Примітно, що формули гама ? й вега н однакові для опціонів пута й колл, що є логічним висновком теорії паритету опціонів пута й колл.

РОЗДІЛ 2 МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ УПРАВЛІННЯ ПОРТФЕЛЬНИМИ ІНВЕСТИЦІЯМИ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

2.1 Модель змішаного портфелю інвестицій Марковіца з безризиковим активом

Під оптимальністю в задачі побудови математичної моделі визначення оптимальної структури портфеля цінних паперів розуміється одержання зазда-легідь визначеного певного рівня прибутковості з мінімально можливим, при цій фінансовій операції, рівнем ризику.

У загальному виді математична модель знаходження оптимальної струк-тури портфеля акцій виглядає в такий спосіб [21]

- частка i паперу в оптимальному портфелі;

- номінальна прибутковість i-ой цінного папера,

- дисперсія прибутковості i-ой цінного папера,

- запланована інвестором прибутковість.

Цільова функція являє собою дисперсію інвестиційного портфеля, що складає з n видів цінних паперів. Перше обмеження - це математична форма запису прибутковості реального інвестиційного портфеля. Друге обмеження відбиває той факт, що при повнім інвестуванні сума всіх часток буде становити одиницю.

За моделлю Марковіца визначаються показники, що характеризують об'єм інвестицій і ризик що дозволяє порівнювати між собою різні альтернативи вкладення капіталу з погляду поставлених цілей і тим самим створити масштаб для оцінки різних комбінацій .

Як масштаб очікуваного доходу з ряду можливих доходів на практиці використовують найбільш вірогідне значення, яке в разі нормального розподілу збігається з математичним очікуванням.

Модель базується на тому, що показники прибутковості різних цінних па-перів взаємопов'язані: із зростанням доходності одних паперів спостерігається одночасне зростання і по іншим паперам, треті залишаються без змін, а в чет-вертих, навпаки доходність знижується. Такий вид залежності не детермінова-ний, тобто однозначно визначений, а є стохастичним, і називається кореляцією.

Класична задача портфельної оптимізації, вперше, розглянута Г. Маркові-цем, базується на припущеннях про нормальність розподілу доходностей акцій і стаціонарності фінансових процесів [9].

Нехай інвестор формує портфель із ризикових активів з век-тором очікуваних доходностей і матрицею ковариаций і безризикового активу з детермінованою прибутковістю . Передбачається, що й матриця ковариаций позитивно визначена, тобто рішення задачі оптимізації існує і єдино. Для будь-якого портфеля з досяжної множини

(2.1)

Маємо

або у векторній формі

де .

Визначення ефективного портфеля може бути зведене до наступних задач оптимізації.

1. Якщо критерієм оптимальності є мінімальний ризик при заданому зна-ченні очікуваної прибутковості портфеля, то одержуємо задачу оптимізації

Рішення задачі перебуває із системи лінійних рівнянь із невідомими

де - множники Лагранжа. Одержуємо



Вирішуючи задачу оптимізації для кожного , одер-жуємо ефективну множину, що у випадку існування безризикового активу буде мати в системі координат форму луча (рис.2.1).

2. Якщо ефективний портфель визначається з обліком відносин інвестора до ризику, то задача оптимізації буде мати такий вигляд:

де характеризує терпимість інвестора до ризику. Рішення задачі перебуває із системи лінійних рівнянь із невідомими:

(2.2)

де - множник Лагранжа.

Ефективний портфель, що є рішенням системи рівнянь, можна представи-ти в наступному виді

(2.3)

де - портфель із мінімальною дисперсією, для якого , - вектор, що володіє властивістю: , при чому

Вирішуючи задачу оптимізації для кожного , одержуємо ефективну множину (рис. 2.1).

Доведемо, що у випадку наявності безризикового активу ефективна мно-жина в системі координат ( , ) є променем.

Будь-який портфель із досяжної множини (2.1) можна представити як су-купність двох активів: безризикового й ризикового, що є комбінацією ризи-кових активів. Позначимо через частку капіталу інвестора, вкладену в ризико-ву частину портфеля, очікувану прибутковість ризикового активу портфеля - через , його дисперсію - через . Тоді частка безризикового активу в порт-фелі складе . Прибутковість безризикового активу дорівнює , а дис-персія - . Для будь-якого портфеля маємо:

де - ковариация доходностей ризикової й безризикової частин портфеля.

Звідси , а значить - рівняння луча з початком у крапці , що відповідає портфелю з мінімальною дисперсією . Промінь буде стосуватися ефективної множини, що не має безризикового активу (рис.2.1). Крапка торкання відповідає портфелю, що складається тільки з ризикових активів. Будь-яка крапка ліворуч від харак-теризує портфель, для якого , тобто коли інвестор робить вкладення в без-ризиковий актив. Для будь-якої крапки праворуч від , тобто інвестор запозичить безризиковий актив.

Рис. 2.1. Ефективна множина при наявності безризикового активу

2.2 Моделі ціноутворення активів в портфелі інвестицій Шарпа - Лінтнера

У моделі ціноутворення фінансових активів Шарпа - Лінтнера фінансовий ринок складається з безризикового активу із прибутковістю й ризикових активів з доходностями .

Зробимо наступні припущення відносно й . Нехай прибутковість хоча б одного ризикового активу відрізняється від безризикової прибутковості: , а матриця ковариаций позитивно визначена, тобто для будь-якого портфеля : . Тоді ефективний портфель -го інвестора існує й единственен і відповідно до (2.3) його можна визначити в такий спосіб:

де - показник терпимості інвестора до ризику, - портфель із мінімальною дисперсією, - вектор, у якого:

Тоді сукупний попит на ринку буде представлений портфелем:

(2.4)

де - початковий капітал -го інвестора. Підставляючи вираження для в (3.2.1), одержуємо

Портфель належить ефективній множині, отже він задовольняє системі рівнянь (2.2), тобто

де .

З рівнянь (2.5) і (2.6) одержуємо

, (2.8)

де - прибутковість -го ризикового активу, - прибутковість портфеля .

Далі, множачи (2.5) на , (2.6) на , складаючи отримані вираження й з огляду на (2.5) і (2.7), одержуємо:

(2.9)

З (2.8) і (2.9) одержуємо рівняння Шарпа - Линтнера:

де

(2.10)

Тому що ринок перебуває в рівновазі, то вектор також буде характери-зувати й пропозицію на фінансовому ринку, тобто є ринковим портфелем, у якому частка кожного активу дорівнює відношенню його сукупної ринкової вартості (добутку поточної ринкової вартості активу на кількість його одиниць в обігу) до суми сукупних ринкових стоимостей всіх активів на фінансовому ринку

де й - відповідно ринкова вартість і кількість одиниць активу в момент часу .

На практиці як прибутковість ринкового портфеля використовується значення фінансових індексів (Dow Jones, Standart & Poor's 500, індекси NYSE, NASDAQ і т.д.), що дають узагальнену інформацію про стан фінансового ринку.

Рівняння Шарпа - Линтнера (2.10) можна переписати в наступному виді

(2.11)

Різниця називається премією за ризик для активу , а - премією за ризик для ринкового портфеля. Величина називається коефіцієнтом бета активу .

Оцінка ризику в моделі ціноутворення фінансових активів.

Розглянемо рівняння регресії для моделі Шарпа - Линтнера, записане в наступному виді

Відповідно до припущення 5 для цього рівняння

,отже

(2.12)

Ризик, пов'язаний з інвестуванням в актив , оцінюється виходячи з підходу Марковітца дисперсією його прибутковості й складається із двох частин: систематичного, властивому ринку в цілому, і несистематичного, зв'язаного безпосередньо з активом. Вираження (2.12) показує, що систематичний ризик виміряється величиною , обумовленою дисперсією ринкового портфеля, а несистематичний ризик оцінюється як . Таким чином, коефіцієнт бета активу має відношення до систематич-ного ризику. У рідких випадках, коли , тобто , актив з негативною премією за ризик використовується для страхування від ризику, пов'язаного з ринковим портфелем.

Покажемо далі на прикладі моделі Шарпа - Линтнера, що несистематичний ризик може бути знижений за допомогою диверсифікованості. Нехай інвестор формує портфель , тоді його прибутковість буде . Для активу маємо:

.

Отже:

де .

Звідси .

Нехай

Тоді для несистематичного ризику диверсифікованого портфеля маємо: