Рекомендации по использованию гуманитаризации при изучении золотого сечения

Много размышлял на тему о Ф и Фрэнк А. Лонк. Измерив, рост 65 женщин и сравнив полученные данные с расстоянием от пупка соответствующей особы до пола. Среднее отношение оказалось равным 1,618…и было названо «относительной постоянной Лонка». Субъекты, у которых отношение данных не совпадало, говорили, что перенесли в детстве вывих бедра или стали жертвой несчастного случая, повлекшего за собой деформацию тела. Он произвёл более точные вычисления числа р. Лонк возвёл в квадрат число Ф умножив результат на 6 и поделив затем полученное число на 5. По его расчётам, значение р выражается десятичным числом 3,14164078644620550.

Если поставить открытую ладонь вертикально перед собой, направив большой палец к лицу, и, начиная с мизинца, последовательно сжимать пальцы в кулак, получается движение, которое и есть спираль Фибоначчи.

1.7.3 Кровяное давление

При работе сердца в сосудах создаётся гидродинамическое давление, вызываемое сопротивлением стенок сосудов. Для взрослого человека условно нормальным считается артериальное давление: максимальное (систолическое) -100 - 140 мм рт. ст. и минимальное (диастолическое) - 70 - 90 мм рт. ст.

Таким образом, диапазон возможных давлений у человека составляет

0 - 100 - 140 мм рт. ст.

Разделим этот диапазон в отношении 1,618 : 1, получим

100 / 1,618 = 61,8 мм рт. ст.;

140 / 1,618 = 86,5 мм рт. ст.

Что очень хорошо приближается к параметрам диастолического давления.

При заболевании гипертонической болезнью или при повышенных физических нагрузках артериальное давление повышается. Максимально возможное систолическое давление у человека может достигать 230 мм рт. ст.

Предельное значение артериального давления отличается от нормального систолического в покое в 1,618 раза:

140 * 1,618 = 226,5 мм рт. ст.

Связь с золотой пропорцией очевидна.

1.7.4 Сердце и дыхание

Частота сокращения сердечной мышцы (частота пульса) и частота дыхание характеризуют состояние органов кровообращения и поэтому являются важным показателем здоровья человека.

Нормальный сердечный ритм в покое составляет 70-75 сокращений в минуту, а ритм дыхания 16-17 дыханий в минуту. Предельно возможные минимальные показатели этих двух ритмов соответствуют состоянию смерти и равны нулю. Предельно допустимые максимальные показатели этих двух ритмов для абсолютного большинства людей равны соответственно 190 - 200 сокращений сердца в минуту и 42-45 дыханий в минуту.

Таким образом, возможный диапазон числа сердечных сокращений составляет 0 - 190 - 200 сокращений в минуту, а сокращений лёгкого -

0 - 42 - 45 дыханий в минуту.

Разделим эти диапазоны золотым сечением:

(190-200) / 2,618 = 72,6-76,4, что приблизительно равно 73-74 сокращений в минуту;

(42-45) / 2,618 = 16,04-17,19, что приблизительно равно 16-17 дыханий в минуту.

На приведённых примерах показано, что физиологические функции связанны с золотым сечением.

1.8 Второе золотое сечение

Болгарский журнал "Отечество" (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша "О втором золотом сечении", которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение:

44 : 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

На рисунке 16 показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Таким образом, было доказано, что разделить отрезок в крайнем и среднем отношении можно не единственным способом.

Рис. 16.

1.9 Серебряное сечение

История о невостребованном числе (Иэн Стюарт).

Архитектор Ричард Падован обнаружил некую последовательность целых чисел, которую, не обладай она весьма интересной геометрической метафоричностью и не допускай некоторых поразительных параллелей с золотым сечением, можно было бы счесть достаточно тривиальной - в связи с чем злые языки поспешили обозвать её «искусственной» и «пластмассовой». Эта последовательность является рекуррентным соотношением

Р_i+3 = P_i + P_i+1

Причём

Р₀ = Р₁ = 0, Р₂ = 1.

Уравнение этой последовательности будет выглядеть

p ³ - p - 1 = 0

Уравнение аналогично

ц ² - ц - 1 = 0

решением которого является золотое сечение ц.

Приблизительное значение р можно вычеслить до любого желаемого знака посредством интеграции выражения:

где р = 1,324717957.

Глава 2. Обучение математике в гуманитарных классах

2.1 Место математики в гуманитарных классах

Математику обычно относят к естественнонаучным дисциплинам, и из всех других наук наиболее близкой к ней считается физика. Достаточно вспомнить об ученых степенях кандидата и доктора физико-математических наук.

Однако за последнее время появились и другие классификации. Физик Л.Д. Ландау шутил, что все науки делятся на естественные (физика и др.), неестественные (история и др.) и противоестественные (математические). Математик И.М. Яглом уже всерьез отделял математику от всех остальных наук: “Естественные науки -- физика, химия, астрономия, биология, медицина... -- изучают окружающий нас мир; гуманитарные -- история, литература, филология, юриспруденция, социология,... -- человеческое общество, также представляющее собой реальность, поддающуюся наблюдениям и даже эксперименту; математика же (ибо группа математических наук сводится к одной науке -- математике) изучает самое себя. С этой, безусловно, самой основной точки зрения различие между математикой и “нематематикой” оказывается несравненно более глубоким, чем различие между естественными и гуманитарными дисциплинами”[8,С.6].

В той же книге И.М. Яглом приводит как дискуссионное мнение А.В. Гладкого о том, что математика -- это наука гуманитарная. С этим мнением нельзя не согласиться, ибо, изучая саму себя, математика имеет своим объектом результаты деятельности человеческого разума, что роднит ее с искусствознанием и науковедением.

Обратимся к проблеме математического образования в гуманитарных классах. Каким должно быть преподавание математики в классах с различной профильной направленностью? Что общего и чем отличается обучение математике в этих классах? Нужна ли вообще математика в гуманитарных классах?

Хорошо известно, что математика является объектом общей культуры человека. Она нужна и художнику, и биологу, и музыканту. Это связано с тем, что рациональные (мышление) и иррациональные (ощущение) психические функции у большинства людей взаимосвязаны, поэтому подавление одних может немедленно ослабить и другие. Проблемы обучения математике в классах гуманитарного профиля, а также изучение индивидуальных особенностей учеников-гуманитариев (преобладание наглядно-образного мышления, богатое воображение, ярко выраженная эмоциональность восприятия окружающей действительности, интерес к вопросам истории математики, занимательному материалу, проявлению красоты математики в произведениях искусства, явлениях живой и неживой природы) разрабатываются в течении серидины ХХ - ХХI.

Однако в этих исследованиях далеко не в полной мере учтен разнородный состав школьников, избравших конкретный раздел гуманитарного профиля образования. В частности, то, что справедливо относительно будущих историков или, например, художников, может быть не вполне приемлемо для учащихся классов сугубо лингвистической направленности (иностранные и родной языки, литература, журналистика), в последнее время приобретающих все большее распространение в современной школе. При этом недостаточно учитывается, например, тот факт, что математика произошла из языка и до сих пор является своеобразным языком, строящимся по специфическим правилам и предназначенным для максимально точного описания определенных характеристик (пространственных, количественных) действительного мира. Такая общность реального языка и математических конструкций не только говорит о возможности развития языкознания путем его формализации, но и должна вносить соответствующие коррективы в процесс усвоения содержания затрагиваемых предметов.

Математическая память.

В результате многочисленных специальных экспериментов выяснилось, что все способности человека имеют некую общую основу, важную для развития и проявления практически любой из них. Общие способности определяют уровень и своеобразие любой умственной деятельности, именно поэтому их часто и называют умственными способностями. Можно привести много впечатляющих примеров того, как один и тот же человек с успехом занимался различными видами деятельности. Например, А.С. Пушкин был не только гениальным поэтом, но и признанным мастером портретной графики. Он в совершенстве владел французским языком, глубоко изучал историю и вообще, по мнению современников, был одним из умнейших людей своего времени. Создатель "Горя от ума" А.С. Грибоедов известен еще как дипломат и музыкант. Крупнейший ученый древности Архимед соединял в себе математика, механика, физика, инженера. Великие художники эпохи Возрождения Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер не просто увлекались математикой, но и добились известных результатов в теории многогранников и теории перспективы. Этот ряд примеров далеко не заканчивается перечисленными персоналиями.

Для того чтобы способности дали о себе знать, нужна соответствующая среда, соответствующее обучение. Если этого нет, то возможности человека могут и не проявиться. К сожалению, довольно часто человек даже не подозревает о своих способностях. История знает много ярких примеров того, когда только случайность помогла человеку найти свой путь. Например, знаменитый математик, создатель московской математической школы Н.Н. Лузин рассказывал, что в гимназии плохо успевал по математике, пока отец не нашел ему репетитора, который начал занятия с самых азов и постепенно внушил своему подопечному глубокое понимание красоты математики.

Приведенные примеры указывают на недопустимость ранней специализации. Психологи называют определенные возрастные периоды, наиболее благоприятные для развития специальных способностей. Для различных способностей такие периоды неодинаковы. Наиболее ранний период имеют способности музыкальные и лингвистические. Они ярко проявляются уже в начальных классах. Математические же способности обнаруживаются позже, в среднем школьном возрасте, приблизительно к 14-15 годам. Они могут проявиться немного раньше, но могут и позже. Отсюда вывод: нельзя исключать из школьных программ предметы, носящие общекультурный, развивающий характер, к которым, безусловно, относится и математика.

При введении курса математики в гуманитарном классе мы развиваем не только логическое мышление, но и понятийный аппарат учащихся.

Существует распространенное мнение, что математика в гуманитарных классах -- это просто математика для неспособных к ней, математика для слабых. И что состоять она должна лишь из обязательного минимума («задач на тройку»). Якобы, изучая ту или иную теорему в гуманитарном классе, ее не обязательно доказывать, а надо лишь научить простейшим применениям этой теоремы. Известны школы с сильными гуманитарными классами, в которых математику преподают именно так. Нам известно, какое отвращение к математике испытывают ученики этих классов.

Представление о математике как о науке гуманитарной в корне меняет такой взгляд. С этой точки зрения рассматривают математику в гуманитарных классах А.В. Гладкий и Г.Е. Крейдлин в журнале «Математика в школе»: “...в гуманитарной школе математика не должна быть падчерицей среди других дисциплин. Но преподавать ее следует именно в гуманитарном аспекте, вынося на первый план ее общечеловеческий характер. Этим должны определяться и содержание курса, и конкретные способы преподавания. Говоря о содержании любого курса математики (независимо от особенностей школы), можно выделить три основных аспекта: логический, образный и технический. Для гуманитарной школы наиболее важен первый из них. Формировать понятия, строить классификации, отделяя существенные признаки от несущественных, проводить строгие рассуждения - вот главное, чему должен научиться в курсе математики ученик такой школы” [11,С.6 - 7].

Итак, здесь же рекомендуют следующие принципиальные задачи преподавания математики в гуманитарных классах:

· усилить (а не ослаблять) идейную сторону преподавания математики;

· ослабить (а не усиливать) рутинную техническую сторону преподавания.

Иначе говоря, в гуманитарных классах нужно преподавать математику более для головы, чем для рук.

Основные принципы обучения «для головы, а не для рук»:

1. Направленность обучения на развитие личности ученика, формирование для каждого школьника своего собственного индивидуального стиля деятельности.

2. Вариативность обучения, т.е. разнообразие его содержания, форм и методов. Этот принцип обеспечивает каждому учащемуся возможность выбрать учебный материал в соответствии со своими индивидуальными возможностями и интересами, предпочтительными формами и методами работы. При этом основное содержание обучения, конечно, не может быть свободным, добровольным или выборочным.

3. Валидность обучения, означающая достаточно высокую значимость математического материала для достижения результатов обучения.

4. Успешность обучения, понимаемая нами в том, что у каждого ученика должен быть свой, пусть маленький, но собственный успех в обучении. Успех рождает вдохновение, уверенность в своих силах. Задача учителя - помочь каждому ученику достичь такого успеха.

5. Открытость методической работы учителя. Речь идет не только о понимании учениками целей обучения, но и о том, чтобы учащиеся представляли себе, почему, например, они доказывают какую-либо теорему или решают определенную задачу, или чем хорошо предложенное индивидуальное задание и т.д. Ученикам должно нравиться построение уроков, их основные этапы, техника проведения каждого из них.

Необходимо ввести понятийный аппарат, раскрывающий теорию гуманитаризации школьного математического образования.

Математические объекты - «все математические понятия, имеющие самостоятельный смысл и употребление». Утверждения о математических объектах и их свойствах, различные связи между объектами и утверждениями будем называть логическими конструкциями .

Гуманитарные объекты представляют собой элементы различных систем гуманитарной культуры - истории, музыки, искусства, архитектуры, скульптуры, различных жанров литературы и т.д.

Изучение математических объектов и логических конструкций происходит на когнитивном уровне; изучение же гуманитарных объектов - преимущественно на эмоционально- ценностном, чувственном уровне.

Составные объекты - органически взаимосвязанные между собой математические объекты, логические конструкции и гуманитарные объекты. Взаимосвязи между перечисленными объектами и конструкциями осуществляются в большей степени на эмоционально-ценностном уровне, хотя и не без участия когнитивных процессов познания.

2.2 Положение теории гуманитаризации математического образованя

Теория носит название гуманитаризации школьного математического образования. Данное название отражает характер основных направлений модернизации системы обучения.

Идентификация:

- по уровню применения данная технология обучения является частно-предметной, так как раскрывает особенности обучения математике;

- по отношению к ребёнку - личностно-ориентированная;

- по направлению модернизации традиционной системы обучения технология основывается на конкретной реализации идеи гуманитаризации школьного математического образования, раскрытой ранее.

Концептуальная часть: позиция ребёнка. Рассмотрим законы высшей нервной деятельности, объясняющие процессы познания. Первый закон взаимной индукции. Суть его в следующем: «если возбуждаются одни участки головного мозга, то в других в это время идут процессы торможения». Например, когда решается математическая задача, все знания о литературе, театре как бы «замирают». Второй закон - закон динамического стереотипа: «при частых, постоянных раздражениях одних участков головного мозга и столь же постоянных раздражениях других происходит устойчивое распределение очагов возбуждения. М.Л. Портнов подмечает важную закономерность: «чем больше очагов возбуждения, тем больше их может появиться - возможности головного мозга во много раз выше, чем кажется».

Описанные характеристики познавательного процесса дают возможность предположить, что обучение учащихся будет носить более продуктивный характер, если при изучении дисциплин естественно-математического цикла мы по возможности активно будем воздействовать на различные участки головного мозга, используя органические части гуманитарных и негуманитарных дисциплин.

Среди целей, положенных в основу технологии гуманитаризации школьного математического образования, можно выделить следующие:

учебные цели в когнитивной (мыслительной) области:

- формировать умения учащихся строить новые сочетания математических знаний со знаниями, полученными из системы гуманитарной культуры;

- формировать умения учащихся транслировать математический материал из одной формы выражения в другую, т.е. умение интерпретировать учеником математический материал с помощью гуманитарных объектов;

- формировать умения учащихся использовать изученный математический и гуманитарный материал в конкретных условиях и новых ситуациях, отыскивать точки соприкосновения математической и гуманитарной культур.

Заметим, что, сформулированные выше цели не касаются теоретических основ математики, поскольку задача предлагаемой технологии гуманитаризации - не вносить изменения в действующую систему математических знаний, а обогащать её гуманитарными объектами.

Учебные цели в эмоционально-ценностной области:

- формировать восприятие учащимися целостной картины мира, а не разделённой на различные области человеческого познания;

- формировать эмоционально-личностное отношение учащихся к таким составным частям культуры, как математика и гуманитарные науки;

- способствовать концептуализации ценностных ориентаций учащихся к составным частям культуры, организации собственной системы ценностей;

- развивать правополушарные и левополушарные возможности учащихся как одного из условий формирования необходимого уровня усвоения ценностей, на котором они устойчиво определяют поведение индивида, входят в привычный образ действий или жизненный стиль.

Для гуманитаризации школьного математического образования осуществляется системный подход. Элементами этой системы являются цели и содержание школьного математического образования, раскрывающее связи с предметами гуманитарного цикла; законы высшей нервной деятельности, объясняющие процессы познания, методы и средства обучения. Функционирование указанных элементов системы должно основываться на следующих основополагающих принципах: принципах гуманизации; принципе личностно-ориентированного подхода; принципе целостности; принципе выделения основной структуры системы и принципе органичности.

Остановимся подробнее на принципах, положенных в основу технологии школьного математического образования, подчеркивая еще раз, что эти принципы должны представлять технологию как педагогическую систему с необходимым перечнем принципов, присущих системному подходу.

Принцип целостности

Это означает, что при разработке педагогической системы необходимо добиваться гармонического взаимодействия всех компонентов педагогической системы как по горизонтали (в рамках одного периода обучения - четверти, учебного года), так и по вертикали (на весь период обучения).

Принцип выделения основной структуры системы

Важность данного принципа обосновывается в теории систем И.Д. Пехлецкого. Исследователь считает, что это один из основных принципов, который должен «наложить свой отпечаток на все фундаментальные определения и понятия теории системы». Причем смысл принципа выделения основной структуры системы состоит в том, что «всякое научное рассмотрение, анализ или моделирование достаточно сложной, абстрактной или реальной системы не возможны без процесса выдвижения на первый план некой части структуры системы».

С позиций целей исследования основной частью такой педагогической системы будет являться математическое содержание, ко всей же остальной структуре педагогической системы относятся гуманитарные и составные объекты.

Принцип органичности

Он означает, что при разработке технологии гуманитаризации школьного математического образования необходимо достичь органичного взаимодействия между математическими и гуманитарными системами культуры. Гуманитарные объекты должны естественным образом включаться в математическое содержание.

2.3 Построение гуманитаризованного курса математики

Рассматривая конкретные пути построения программы курса математики для гуманитарных классов, нужно принять во внимание мнение самих гуманитариев. Правильным, но трудоемким делом было бы проведение подробной анкеты среди них.

Многое можно почерпнуть и из литературы. Например, из воспоминаний А.И. Цветаевой, удалось понять разницу между восприятием гуманитариями двух основных предметов школьной математики -- алгебры и геометрии. Оказывается, геометрия воспринимается лучше и сознательнее. Тут играют роль и более удачная организация курса, и его наглядность, логичность, доказательность, опора на историю науки и большее разнообразие задач (меньшее количество однотипных упражнений).

Возможными путями построения программы по математике для гуманитарных классов являются следующие:

· оставить неприкосновенным курс геометрии, отведя на него большее число часов за счет сокращения курса алгебры;

· курс алгебры существенно упростить в техническом отношении, оставив неприкосновенной его теоретическую глубину.

Учебная программа лицеев строится таким образом, чтобы обеспечить углубленную гуманитарную подготовку учащихся. Предметы математического цикла, реализующие общеобразовательную программу полного среднего образования, вызывают у учащихся, проявляющих склонности и способности к изучению иностранных языков, литературы и истории, целый ряд трудностей, связанных с индивидуально-психологическими особенностями личности и мотивацией к обучению. Для учащихся лицеев в большей степени свойственны эмоциональное отношение к событиям, образность и живость мышления. Для них трудна деятельность, связанная с оперированием абстрактным материалом, математическими понятиями и выражениями.

Внедрение современных компьютерных технологий в курс математики позволяет учащимся повысить интерес к изучаемому предмету и успешно освоить ряд тем обязательного минимума образования по математике. На наш взгляд, наиболее удачными темами таких уроков являются:

Организованные межпредметные связи помогают учащимся не только лучше усвоить некоторые темы по математике, но и совершенствовать свои навыки работы с компьютером при решении математических задач.

В результате этого взаимодействия значительно возрастает интерес и к математике, и к информатике.

Гуманитарное образование - база для широкого диапазона возможностей профессионального выбора учащихся. Среди выпускников гуманитарного профиля - учителя и журналисты, психологи и юристы, филологи, историки и экономисты.

Нестандартные уроки -- уроки, проводимые в игровой форме: занятия с элементами игры, соревнования, содержащие игровые ситуации.

Игровые формы должны включаться не для того, чтобы развлечь учащихся, а с целью формирования у них мотивации к обучению. Так же нестандартными уроками по математике будут являться уроки, направленные на историческое значение данной темы.

2.4 Психолого-педагогические особенности учащихся гуманитарных классов

Исходя из анализа наблюдений, анкетирования, опыта преподавания в профильных классах, исследователи выделяют следующие психолого-педагогические особенности учащихся гуманитарных классов:

1. У учащихся гуманитарных классов преобладает наглядно-образное мышление, а математических - абстрактно-логическое.

2. У школьников-гуманитариев восприятие красоты математики направлено на ее проявление в живой природе, в произведениях искусства, в конкретных математических объектах. Учащиеся математических классов интерес математики видят в необычных, неожиданных решениях задачи.

3. На уроке в гуманитарных классах внимание может быть устойчивым в среднем 12 - 15 минут.

4. Из форм работы на уроке гуманитарии предпочитают объяснение учителем нового материала, деловые игры, выполнение индивидуальных заданий с использованием справочной литературы. Математики - решение нестандартных, проблемных, исследовательских задач.

5. Из методов самостоятельной работы гуманитарии выбирают коллективные. Математики чаще действуют индивидуально.

6. У гуманитариев богаче воображение, чем у математиков, сильнее проявляются эмоции.

7. В гуманитарных классах по составу учащихся больше девочек (в математических - мальчиков). Этот фактор не нашел в нашей школе пока должного внимания и учета.

Глава 3. Факультативные занятия

Важнейшим фактором успеха в будущем обучении является интерес учеников к предмету. Поэтому деятельность учителя, урок, задания на нём должны быть интересными и увлекательными. Интерес школьников к предмету является всё же ведущим фактором обучения. Но нехватка времени на уроке приводит к тому, что «самое интересное» в понимании школьников остаётся неохваченным. Поэтому внеклассная работа имеет немаловажное значение. Основным видом внеклассной работы по математике в школе являются кружки и факультативные занятия. Вызывая интерес у школьников они помогают развить творческие способности учеников, прививают самостоятельность и переносят заинтересованность к этому предмету на урок.

Золотое сечение имеет интересную историю, которая захватывает не только математику, но и другие области знания. Соответствующая тема обладает занимательностью и математической красотой, и поэтому имеет полное право быть рассматриваемой на математических факультативах. При планировании данной темы необходимо иметь в виду уровень подготовленности учащихся. Исходя из этого, считаю, что тема «Золотое сечение» может быть рассмотрена в девятом классе.

К этому возрасту ребята уже знакомы с построением середины отрезка, биссектрисы угла, перпендикулярных прямых, треугольника по трём элементам. Так же знакомятся на уроках геометрии с теоремой о сумме углов в треугольнике, с теоремой Пифагора и Фалеса, изучают тему «Подобные треугольники», где знакомятся с признаками подобия треугольника и рассматривают пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

На уроках эти темы рассматриваются в полной мере, что позволяет больше времени уделить на новые темы на факультативах.

Можно выделить несколько целей факультативного курса:

- обучение школьников делению отрезка в крайнем и среднем отношении;

- овладение практическими навыками использования геометрических инструментов для изображения фигур;

- формирование представлений о математике как о части общечеловеческой культуры, о значимости математики в других сферах деятельность.

Ниже предоставляется тематическое планирование, рассчитанное на 8 академических часов.

№	Тема	Часы
1	Определение золотого сечения. История возникновения и применения его на практике	1
2	Построение правильных многоугольников.	1
3	Применение золотого сечения при построении правильных многоугольников	2
4,5	Золотое сечение вокруг нас.	2
6	Многоугольник своими руками	1
7	Оригами и золотое сечение	1

Заседание №1

Определение золотого сечения. История возникновения и применения его на практике.

Цели:

Образовательная: дать понятие золотого сечения; способы построения золотого сечения построения отрезка .

Развивающая: формирование чертёжных навыков.

Воспитательная: точность при выполнении чертежей; аккуратность.

Оборудование: линейка, карандаш, циркуль.

Форма проведение урока: «Суд над золотым сечением»

Оформление класса: судейский стол, плакаты, столик поменьше с книгой на нём для клятвы. Половина классного кабинета освобождена от стульев и парт - своеобразная сцена.

Действующие лица: председатель суда, присяжный заседатель, свидетели, обвинитель и обвиняемый, находящиеся по разным сторонам сцены.

Ход урока.

Председатель суда начинает: сегодня в этом зале происходит слушанье дела по обвинению золотой пропорции в бесполезности её существования, а так же присвоение её таких имён как: «золотое деления», «божественная пропорция», «золотое сечение».

- подсудимая, прошу встать! Ваше имя?

- Золотая пропорция.

- повернитесь к залу, что бы Вас все увидели и запомнили.

Рис. 1 (Показывают плакат с изображённой на ней золотой пропорцией)

- Год рождения. Национальность.

Для ответов на эти вопросы приглашается свидетели, которые расскажут биографию подсудимой.

(выступают подготовленные ученики с докладами об истории золотого сечения)

Свидетели: клянусь говорить правду, только правду и ничего, кроме правды.

Доклад №1

Золотое сечение было известно древним грекам. Вряд ли можно сомневаться в том, что некоторые древнегреческие архитекторы и скульпторы сознательно использовали его в своих творениях. Примером может служить хотя бы Парфенон. Именно это обстоятельство и имел в виду американский математик Марк Барр, лет так 85 назад, когда предложил называть отношение двух отрезков, образующих золотое сечение, числом . Буква (фи) - первая буква в имени великого Фидия, который, по преданию, часто использовал золотое сечение в своих скульптурах. Одной из причин, по которой пифагорейцы (последователи Пифагора) избрали пентаграмму, или пятиконечную звезду, символом своего тайного ордена, является то обстоятельство, что любой отрезок в этой фигуре находится в золотом отношении к наименьшему соседнему отрезку.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. Действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Греки были искусными геометрами. Очень интересно, что они обучали своих

детей алгебре при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ его были основанием для построения динамических прямоугольников (Рис. 2)

Рис. 2 Динамические прямоугольники.

Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

Доклад №2

Где-то в XIII веке в историю золотого сечения было вплетено имя математика монаха родом из Италии, Леонардо из Пизы. Хотя нам он известен под другим именем, а точнее по прозвищу Фибоначчи (Fibonacci - сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи). В 1202г. им была написана книга "Liber abacci", то есть "Книга об абаке". "Liber abacci" представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими ("арабскими") цифрами.

Сообщаемый в книге материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Его называли творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи.

Леонардо да Винчи много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение, которое держится по наши дни.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

- хорошо, свидетели. Обвиняемая, считаете ли Вы себя виновной?

- нет!

- в таком случае слово предоставляется обвинению. Господин обвинитель, прошу встать.

Обвинитель. Клянусь говорить правду, только правду и ничего, кроме правды.

Милые господа, прошу внимания. Золотая пропорция является, скорее всего, одной из самых известных пропорций в математике, может даже и самая шикарная и красивая, очень правильная, везде встречающая. И, наверное, никакая больше пропорция не имеет в себе столько ужасных штрихов, как она. На вопрос: «Что такое «Золотая пропорция»?» большинство людей даже предположить не могут. Итак, первым обвинением будет то, что завоевав Наше доверие, вскружила голову даже не представилось. У меня всё, господа!

Судья. Слово для защиты предоставляется подсудимой. Подсудимая, что Вы можете сказать в своё оправдание? (Учитель даёт определение золотого сечения, исполняя роль золотой пропорции).

Пропорция. Господа судьи, меня здесь обвиняют в бесполезности и вредности. Обидно мне слышать такие слова. Вы оглянитесь, посмотрите, везде увидите моё существование, и этим существованием я даю красивую жизнь для очень многого на земле! Я в цветах и, вообще, в растениях; я в шедеврах мировой архитектуры, да и вообще в строительстве; я в музыке, в поэзии, в анатомии. Даже астрономам не чужда я. А свойства мои - это моё богатство, не зная их, плохо бы пришлось человеку. Сейчас расскажу Вам по подробней. Но сперва, можно более точно преставиться?

Судья. Разрешаю.

Обвиняемая (Гордо). Деление отрезка в крайнем и среднем отношении!

Меня надо понимать так: разделить данный отрезок, на такие две части, что бы меньшая относилась к большей так, как большая ко всему отрезку!

Но для этого надо найти хотя бы один отрезок. Попробуем отыскать больший отрезок. Допустим, что сначала речь пойдёт не о построении отрезка, а о нахождении его длины. Этот вопрос (задача) будет решаться приблизительно так: если длину всего отрезка обозначим за а, а длину большей части х, то длина другой части будет равна а - х, то есть

Отсюда, х² = а(а - х) или х² + ах - а² = 0

Решив уравнение, получим



Возьмём положительный корень уравнения:

Получим

Таким образом, задача всегда имеет единственное решение.

Исходя из теоремы Пифагора, то выражение, находящееся под корнем можно расценивать как гипотенузу треугольника с катетами равными а и а/2, тогда х - разность между гипотенузой и а/2, то есть что бы разделить отрезок в заданном отношении, нужно построить треугольник с катетами а и . затем из гипотенузы этого треугольника вычесть а/2 и оставшийся отрезок равный

отложим на первоначальном отрезке а (Рис. 1).

Если принять отрезок а за единичный, то получим следующее числовое выражение:

Число - называется коэффициентом золотого сечения.

Мне кажется, я привела достаточно доказательств своей невинности.

Обвинитель. Господин судья, прошу слово.

Судья. Разрешаю.

Обвинитель. Допустим Вы везде по всюду, но какова же Ваша причастность к геометрии. Можете привести конкретный пример?

В защиту вызываются свидетели для решения этого вопроса.

Задача 1.

Построить правильный пятиугольник по данной стороне АВ = 1.

Решение:

Находим на отрезке АВ точку С золотого сечения. Из точки В как из центра проводим окружность радиусом АС, которая пересекает продолжение отрезка АВ в точке D.

Строим две окружности с центром А и В радиусом

AD = .

Одна из точек пересечения - точка Е, третья вершина пятиугольника. Потом из точки В чертим окружность радиусом АВ. Она пересекается с предыдущей окружностью в точке N, четвёртой вершине пятиугольника. Из точек А и Е проводим окружности, радиусы которых равны длине отрезка АВ (стороне правильного пятиугольника). Две последние окружности пересекаются в пятой вершине К пятиугольника.

Судья. Заседание продолжается. Слово предоставляется обвиняемой.

Обвиняемая. Что бы вспомнить меня надо проводить построения каждый раз. Что бы избежать этого воспользуемся теоремой Фалеса. Сначала вспомним, как она звучит: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на другой его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Обвинитель. Протестую. Каким образом эта теорема причастна к делению отрезка на n равных частей, допустим на 3?

Обвиняемая. Давайте посмотрим на рисунок.

Возьмём теперь другой отрезок и разделим его в соответствии с золотым сечением, используя теорему Фалеса и отрезок, уже разделённый в золотом сечении. С этим отрезком поступим как и в предыдущем случае.

Судья. (Читает приговор). Именем Высших Адептов Света Великий Суд постановляет:

Золотую пропорцию считать полностью оправданной ввиду её необходимости в жизни и в математике в частности. Суд считает, что обвинение, выдвинутое против Золотой пропорции, не обоснованно.

Вывод.

Идёт знакомство с новым материалом. Показывается важность математики в жизни.

Заседание 2

Тема: Построение правильных треугольников

Цели: обобщение изученного материала, применение математических знаний к решению задач, овладение практическими навыками использования геометрических инструментов для изображения фигур.

Форма проведения: математический вечер.

Оформление: плакаты с высказываниями о математики, в частности о золотом сечении, на люстры надеты плафоны в виде геометрических (Платоновых тел), карточки с заданиями.

На входе участников встречает учитель, на время взявший на себя ответственность швейцара. Билеты в виде золотых прямоугольников и треугольников раздаются на входе.

Приветствие ведущего:

Да здравствует, всяк сюда вошедший!

Правильные многогранники уже в глубокой древности считались символом красоты. Ведь правильно, что из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаз правильный многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

На нашем вечере Мы будем подчиваться следующими блюдами. Первое:

Лёгкое блюдо для разжигания аппетита.

Теперь предлагаю отведать второе блюдо.

(задание раздаются каждой команде. Победа за той, кто быстрей справиться с задачей)

1. построить правильный выпуклый шестиугольник. (Рис. 3. 1)

2. построить правильный выпуклый треугольник. (Рис. 3. 2)

3. построить правильный выпуклый двенадцатиугольник. (Рис. 3. 3)

4. построить правильный выпуклый восьмиугольник. (Рис. 3. 4)

5. построить правильный выпуклый шестиугольник, описанный около окружности. (Рис. 3, 5)

Рис. 3(проверка жюри)

Ведущий. Спасибо за то, что по достоинству оценили наше блюдо.

Теперь немного салатов. Будем украшать их.

(раздаётся материал для «украшения салатов» - задача)

Задача.

Построить правильный двенадцатиугольник со стороной, равный данному отрезку.

Решение

Построим равносторонний треугольник АВС, равный данному отрезку АВ. Через точку С проведём прямую, перпендикулярную отрезку АВ. Отложим на этой прямой отрезок СО, равный АВ. Тогда отрезок ОА является радиусом окружности, описанного около правильного двенадцатиугольника со стороной АВ.

Для этого достаточно доказать, что угол АОВ = 30⁰. точка С равноудалена от А, В и О, то есть является центром окружности, описанного около треугольника АОВ. Следовательно угол АОВ = Ѕ угла АСВ = 30⁰. теперь на окружности радиуса АО от любой точки последовательно отложим 11 дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного двенадцатиугольника.

Ведущий. Теперь специальное блюдо. Заливное из шестнадцатиугольника.

Построить правильный шестнадцатиуголькик со стороной, равный заданному.

Решение:

Из середины С отрезка АВ восстановим перпендикуляр и на нём отложим отрезок CD, равный Ѕ АВ. Затем отрезок DE, равный AD и ЕО, равный АЕ. Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанного около правильного шестнадцатиугольника со стороной АВ. (Рис. 4)

АЕВ = Ѕ ADB = 45⁰

АОВ = Ѕ АЕВ = 45⁰/2

т.е. АОВ = 360⁰/16.

Рис. 4

Ведущий. К сожалению наша встреча подходит к концу!

Идёт подсчёт баллов.

Всё, что хотели мы, сделали и огромное спасибо за посещения нашего вечера!!!

Заседание 3

Тема: Применение золотого сечения при построении правильных многоугольников.

Цели: овладение практическими навыками использование геометрических инструментов при построении правильных многоугольников; развитие самостоятельности и математической речи.

Форма проведения: математическая игра.

Ведущий. (приветствие. Говорит о том, что сегодняшняя игра посвящается правильным пятиугольникам и десятиугольникам.)

Наши команды уже подготовились к трудным, но интересным этапам. Они стремятся к победе. Мы начинаем первый раунд.

Первый раунд «Тёмная лошадка»

Ведущий задаёт наводящие вопросы, игроки должны угадать о каком предмете идёт речь. Задаётся 8 вопросов. (в чёрном ящике вносят циркуль)

Вопросы:

1. (10 очков) Существует легенда о греческом изобретателе Дедале (мастер, сделавший крылья Икару) и его племяннике, очень талантливом юноше, который придумал гончарный круг, первую в мире пилу и то, что лежит в этом ящике. За это он расплатился собственной жизнью, которую отнял у него дядя в порыве зависти. Дедал столкнул его с большого вала.

2. (9 очков) Самый древний предмет пролежал под землёй 2000 лет.

3. (8 очков) Под пеплом Помпеи археологи обнажили много таких предметов. Изготовлены из бронзы. В нашей стране это впервые было обнаружено при раскопках в Нижнем Новгороде.

4. (7 очков) За многие сотни лет конструкция этого предмета практически не изменилась, настолько совершенна она.

5. (6 очков) В древней Греции умение пользоваться этим предметам считалось верхом совершенства, а умение решать задачи с помощью него, признаком большого ума и высокого положения.

6. (5 очков) Этот предмет незаменим в архитектуре и строительстве.

7. (4 очка) Писатель Ю. Олеша, автор «Трёх толстяков», писал: «В бархатном ложе лежит, плотно сжав ноги, холодный и сверкающий. У него тяжёлая голова. Я намереваюсь поднять его, он неожиданно раскрывается и производит укол в руку».

8. (3 очка) «Сговорились две ноги делать дуги и круги».

Второй раунд: «Заморочки из бочки».

Ведущий. Предлагаю решить следующую задачу.

(решение будет разбираться на доске)

Задача. Доказать, что сторона правильного вписанного в окружность десятиугольника равна большей части золотого сечения радиуса этой окружности. Вписать данную окружность в правильный десятиугольник.

Решение

Пусть АВ - сторона правильного вписанного в окружность десятиугольника. Тогда

АОВ = 36⁰, а каждый из углов АОВ и АВО = 72⁰.

Проведём биссектрису АС угла А треугольника АОВ. Так как АСВ = 72⁰, то из равнобедренных треугольников АВС и АСО получим АВ = АС = ОС.

По свойству биссектрисы треугольника получаем:

ОС : ВС = ОВ : ОС, то есть ОС² = ВС*ОВ, а это и означает, радиус ОВ разделён точкой С в золотом сечении, причём ОС - большая часть радиуса (потому что АСВ >

) ВАС, откуда ОС = АВ > ВС). Таким образом, разделив радиус ОВ в золотом сечении и взяв большую его часть, мы найдём длину стороны АВ правильного вписанного в окружность десятиугольника.

Теперь от любой точки данной окружности последовательно отложим 9 хорд, равных АВ.

Раунд 3. «Ты - мне, я - тебе».

Команды обмениваются вопросами в виде заранее приготовленных задач, связанные с построением правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки.

Например.

Построить прямоугольник отношением сторон 1 : .

Решение:

Проводим отрезок АВ = 1, точкой С делим его в золотом отношении. Тогда АС = 1 - = . Продолжим отрезок АВ за точку А, и из точки А проведём окружность радиуса АС. Пересечение с продолжением АВ будет точка D. Из точки В восстановим перпендикуляр ВМ к АВ. Строим окружность с центром в точке В радиусом ВD.

ВD = 1 + =.

Окружность пересекает перпендикуляр ВМ в точке Е, длина стороны прямоугольника равна .

По окончанию игры подводятся итоги и раздаются дипломы.

Заседание 4

Тема: Золотое сечение вокруг нас.

Цели: 1. Воспитание интереса к предмету у учащихся.

2. Расширение кругозора. Показ связи математики с другими науками.

Форма проведения: математический вечер.

Оборудования: плакат с изображением античной статуи (Доридоф, Аполлон, Зевс), архитектурных сооружений (Парфенон, храм Агии Софии в Константинополе, Смольный собор в Санкт - Петербурге собор в Ульме в Германии), произведения живописи («А.С. Пушкин на акте в лицее 8 января 1815 год», «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском», «Осенний букет», 1892 г., «Портрет П.М. Третьякова» и т.д.), различные предметы (ложки, вилки, ножницы, т.д.), веточки растений.

Действующие лица: королева - пропорция, докладчики: профессор Цейзинг, Иоганн Кеплер, Леонардо да Винчи, композитор Л. Сабанеев, искусствовед Розенов.

Ход занятия

Пропорция. Здравствуйте. Кто-то называет меня «Пропорция», а Лука Пачоли назвал меня однажды «Божественная Пропорция». Я та, кто вносит гармонию и красоту в шедевры мировых произведений, в окружающую природу, в строение человеческого тела. Мой один из наиболее горячих поклонников Адольф Цейзинг говорит, что я «господствую» в природе.

Профессор Цейзинг. (доклад одного из ученика)

Давайте поговорим о строении человеческого тела. То, что части красиво сложенного нашего тела находятся в определенной пропорции. Нам это известно, ведь недаром мы употребляем термин «пропорционально сложенная фигура». Но далеко не всем известно, что здесь речь идёт о золотом сечении. Очень хорошим примером являются античные статуи для изображения человеческого тела и нахождения пропорции в нём. Идеально сложенное тело полностью отвечает этому принципу. Если разделить хорошо сложенного человеческого тела в крайнем и среднем отношении, то линия разделения окажется на уровне талии, а точнее пупа. Особенно хорошо эта пропорция видна на мужском теле.

Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела.

Но не только тело целиком делится, ещё и отдельные части его находятся в зависимости (голова, рука, кисть). Разделив в крайнем и среднем отношении голову человека, увидим, что раздел приходится на линию бровей. При дальнейшем делении образовавшихся частей последовательно получим: кончик носа, кончик подбородка и т.д.

Рука тоже делится с помощью золотого деления: плечо, предплечье, кисть, фаланги пальцев.

Пропорция. А сейчас давайте посмотрим как это правило действует на Нас. (практическая работа)

Пропорция. Дальше пожалуйста Иоган Кеплер. (золотое сечение в растительном мире)

Расположение листьев на деревьях не случайно, а подчиняется определённому математическому закону. Рассмотрим вот что. Если внимательно рассмотреть веточку с листьями, то можно заметить, что основания черенков располагаются по винтовой линии. Если соединить последовательно основания листьев ниткой, то она обовьётся вокруг стебля. Проследить расположение листьев на этой спирали, мы непременно увидим листья расположенные один над другим. Часть спирали, заключённая между такими листьями в ботанике называется «циклом».

Для краткости и удобства обозначим листорасположение в виде дроби, в числителе которого число оборотов, в знаменателе - число листьев в этом цикле. Так, дробь 3/8 показывает, что один цикл спирали трижды огибает стебель, и что в этом цикле 8 листьев. Эта же дробь показывает расхождение двух соседних листьев.

Каждый вид растений имеет своё листорасположение. И этот угол всегда подчиняется определённому закону.

Пропорция. С помощью измерения веточек растений вычислить подчиняется ли Ваша веточка этому правилу.

(выполняется второе практическое задание)

Пропорция. Наш вечер почтил своим присутствием сам Леонардо ди Сьер Пьеро да Винчи. Ему предоставляется слово.

(«Золотое сечение в эстетике»)

Долгое время считали, что в изобразительном искусстве теория художнику не нужна, а знакомство с наукой не обязательно. Многие даже считали, что это мешает свободному индивидуальному творчеству. Но мастера древней Греции, умевшие сознательно пользоваться законами золотого сечения применяли их для создания гармонии в произведениях и добились такого совершенств строения форм, выражающие их общественные идеалы, какое редко встречается в практике мирового искусства. Вся античная культура прошла под знаком золотой пропорции. Знали эту пропорцию и в древнем Египте. Знание законов золотого сечения или непрерывного деления помогает художнику творить осознанно и свободно. Используя закономерности золотого деления можно исследовать пропорциональную структуру любого художественного произведения.

Но давайте поговорим о времени, которое ближе к Нам. В 60-х годах прошлого столетия члены Рижского общества естествоиспытателей провели следующее исследование: они собрали несколько тысяч визитных карточек различных людей и определили отношение длин их неравных сторон. Среднее отношение довольно сильно подходило к золотому сечению. Прямоугольная форма книг, бумажников, окон, рамок для картин - более или менее удовлетворяет пропорции золотого деления.

В архитектуре уже сталкиваемся с более точным и сознательным применением того же принципа. Рассмотрим известную фигуру зодчества - Парфенон (Рис. 6).Длина - 31,2 метра, высота - 19,3. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным.