Рекомендации по использованию гуманитаризации при изучении золотого сечения

Размещено на http://www.allbest.ru/

78

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рекомендации по использованию гуманитаризации при изучении золотого сечения

План

золотое сечение преподавание математика

Введение

Глава 1. Золотое сечение и его свойства

1.1 История

1.2 Определение золотого сечения

1.3 Золотые фигуры

1.4 Открытие Леонардо Фибоначчи

1.5 Золотое сечение, которое нас окружает

1.5.1 Раковина

1.5.2 Растения и животные

1.6 Божественная пропорция в искусстве

1.6.1 Золотое сечение в архитектуре

1.6.2 «Золотая пропорция» живописи

1.7 Золотая пропорция в человеке

1.7.1 Пропорция

1.7.2 Золотая пропорция в человеке

1.7.3 Кровяное давление

1.7.4 Сердце и дыхание

1.8 Второе золотое сечение

1.9 Серебреное сечении

Глава 2. Обучение математике в гуманитарных классах

2.1 Место математики в гуманитарных классах

2.2 Положение теории гуманитаризации математического

образования

2.3 Построение гуманитаризованного курса математики

2.4 Психолого-педагогические особенности учащихся гуманитарных классов

2.5 Использование золотого сечения при решения задач на построение

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

21 век. В России и за её пределами в настоящее время учёными самых различных специальностей уделяется непосредственное внимание проблеме гармонии природных и искусственных систем, а так же изучению феномена золотого сечения, тесно связанным с этим. Возникающие при этом вопросы весьма разносторонни и отличаются многогранностью. Включают в себя даже такие вопросы как: структура закономерности Солнечной системы, физиологические функции человека, морфология животных, строение бытовых приборов и т.д.

Как известно, целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотая пропорция имеет довольно интересную историю, завораживает своими свойствами, поражает открытиями, которые проводятся благодаря ней. «Божественное сечение» всегда приводило в восторг античных учёных, скульпторов, художников.

Проблема, которая подтолкнула к написанию диплома по этой теме - в век научно-технической революции мы на каждом шагу сталкиваемся с глобальной неграмотностью и отсутствием вкуса, неумением людей использовать программные школьные знания на практике, а так же находить межпредметные связи.

Цель дипломной работы - изучение золотого сечения и его проявление в математике, в окружающего мире, произведениях искусства, бытовых предметах и рассмотрение вопросов гуманитаризации преподавания математики на примере темы золотого сечения.

Для этого поставим следующие задачи:

подбор и изучение литературы по этой теме;

рассмотрение понятия золотого сечения, его свойств и особенностей;

исследование связи золотой пропорции с природой, человеком, искусством;

разработка занятий по теме исследования и их апробация на уроках математики в гуманитарном классе;

разработка рекомендаций по использованию гуманитаризации при изучении золотого сечения.

Наиболее актуальным на данный момент является гуманитаризация в обучение математике. Ведь гуманитаризация предполагает усиление взаимосвязи естественно-математического образования с гуманитарным - более понятным, близким ребёнку. Так же подразумевается усиление практического и прикладного аспектов преподавания. Это означает, что в обучении математике акцент необходимо ставить на общее развитие учащегося, а именно на развитие абстрактно-логического мышления, математической речи, пространственного воображения, интуиции, эстетического чувства.

Предметом исследования нашей работы является тема золотого сечения на уроках математики в гуманитарных классах.

А.В. Дорофеева выдвигает тезис о том, «что история математики помогает формированию мировоззрения учащихся». Причем, по её мнению, «элементы истории математики привлекают школьников, склонных к гуманитарным наукам» и отстающих учащихся. Сегодня данный тезис представляется актуальным как привлечение внимания школьников с различными способностями и интересами к математике как науке.

Теоретическая значимость исследования заключается в:

- разработке модели преподавания математики в гуманитарных классах на примере темы «Золотое сечение»;

- выявлении особенностей развития мотивации к изучению математики учащихся старших классов гуманитарного профиля;

- определении системы мер, позволяющих актуализировать мотивационный потенциал школьников в ходе реализации коммуникативно-речевых ситуаций в процессе математического образования.

Практическая значимость исследования:

- предложенные рекомендации могут быть применены при овладении учащимися основными элементами школьного математического содержания;

- разработанная методика может быть использована в процессе совершенствования школьных программ по математике, учебников и учебных пособий, в вузовских методических курсах и в системе повышения квалификации учителей математики.

Глава 1. Золотое сечение и его свойства

1.1 Исторические сведения

«О, сколько мы много и, в то же время, так мало знаем о золотом делении», говорили мастера. История этого деления поразительна.

Американский математик Марк Барр 80 лет назад предложил назвать отношение двух отрезков, образующих «золотое сечение», числом Ц. Буква Ц является первой буквой в имени великого Фидия, по преданию, часто использовавший золотое сечение в своих работах. Хотя первый начал использовать пропорцию, работавший вместе с ним, скульптор Мирон. Фидий, Мирон и Поликлет разработали вместе пропорции человека для статуй.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Однако есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. Действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления, хотя деление на нём очень уж приблизительные.

Греки были искусными геометрами. Очень интересно, что они обучали своих детей алгебре при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ его были основанием для построения динамических прямоугольников (Рис. 1).



рис. 1 Динамические прямоугольники.

Платон (ок. 427 - 347 гг. до н.э.) также использовал золотое деление. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по "золотому сечению", то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления (рис. 2).

Рис. 2 Античный циркуль золотого сечения.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

Где-то в XIII веке в историю золотого сечения было вплетено имя математика монаха родом из Италии, Леонардо из Пизы. Хотя нам он известен под другим именем, а точнее по прозвищу Фибоначчи (Fibonacci - сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи). В 1202г. им была написана книга "Liber abacci", то есть "Книга об абаке". "Liber abacci" представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими ("арабскими") цифрами.

Сообщаемый в книге материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Его называли творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи.

В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «De divina Proportine» ("О Божественной пропорции") с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение, которое держится по наши дни.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д.

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Шел всё тот же XVI век. Астроном Иоган Кеплер первый начинает обращать внимание на золотое сечение как инструмент для ботаники, назвав его одно из сокровищ геометрии.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". В нем он проделал огромную работу, где измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон: деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Так же данная пропорция присутствует и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, фаланги пальцев.

С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".

В ХIХ веке (новый разгар изучения божественной пропорции) появилось огромное количество теорий о применении данного сечения в архитектуре, искусстве. Теперь после развития дизайна его начали применять и в нём: в машинах, мебели и т.д.

1.2 Определение золотого сечения

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем.

Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение - далеко не все.

Пропорция - равенство между двумя отношениями четырёх величин: a:b=c:d. Возьмём пример, предлагаемый Васютинским, где АВ, который можно разделить на две равные части №1. Это будет соотношение разных величин - АВ : АС=АВ : ВС. Эту же прямую №2 и №3 можно разделить на две неравные части в любом отношении. Эти части пропорции не образуют. А вот прямую АВ №4 можно разделить по золотому сечению, когда АВ: АС, как АВ : ВС. Это и будет искомым золотым сечением (золотым делением) или деление в крайнем и среднем отношении.

Рис. 3. Деление отрезка прямой на равные части и по золотому сечению:

№1 - АВ : АС;

№2, №3 - пропорция не образуется;

№4 - АВ : АС = АС : ВС или ВС : АС = АС : АВ (золотая пропорция)

Золотое сечение - это такое пропорциональное гармоническое деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей. Или другими словами, меньший отрезок относится к большему, как больший ко всему, т.е. а:в=в:с или с:в=в:а.

Определение в крайнем и среднем отношении становится более понятно, если выразить его геометрически. На рисунке 4 приведено геометрическое изображение золотой пропорции.



Рис. 4, а

Рис. 4, б

Отрезки золотой пропорции, если их, конечно, продолжат (рис. 4,б) дальше, выражаются иррациональной бесконечной дробью 0,618..., если с принять за единицу, а = 0,382.…На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Он также обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

Разумеется, существует и золотой треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равно числу Ф (с ним мы встретимся в разделе золотые фигуры).

Астроном Иоганн Кеплер называл эту последовательность продолжающей саму себя. «Устроена она так, - писал Кеплер, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причём та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Как можно заметить, построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Практическое знакомство с золотым сечением, как правило, начинается с деления отрезка прямой в золотой пропорции геометрическим способом (рис. 5).

Рис. 5

Из точки. В восстанавливаем перпендикуляр, равный половин АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок равный ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок АD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

В этом случае геометрическую пропорцию можно выразить следующим образом:

Где АД = х.

Если АВ = а принять за единичный отрезок, то получим следующее числовое выражение:

будем обозначать Ф. при этом

Обратим внимание удивительную инвариантность золотой пропорции:

Такие преобразования как возведение в степень не смогли уничтожить сущность этой уникальной пропорции.

Подобно числу р, Ф можно представить в виде суммы бесконечного ряда многими способами. Одно из них:

1.3 Открытие Леонардо Фибоначчи

Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

Жизнь и научная карьера Леонардо теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.

В век Фибоначчи возрождение было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император (с 1220 года) Священной Римской империи.

Покровительство Фридриха и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи:

· книга абака, написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.

· практики геометрии (1220г.)

· книга квадратов (1225г.)

По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику, чуть ли не до времен Декарта(XVII в.).

Наибольший интерес представляет для нас сочинение "Книга абака". Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий.

Сообщаемый в "Книге абака" материал поясняется на примерах задач, составляющих значительную часть этого тракта.

Как сказано выше, золотая пропорция тесно связана с последовательностью Фибоначчи. А началось всё с того, что Кеплер, спустя четыре столетия после открытия этого ряда установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел, и построив аддитивный ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7,2,9,11,20…), мы обнаружим, что отношение двух последовательных членов такого ряда так же стремится к числу Ф: чем дальше будем продвигаться от начала ряда, тем лучше будет приближение.

На страницах 123 - 124 данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу:

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц- 1 + 1 = 2; на 4-й- 2 + 1 = 3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц - 3 + 2 = 5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц - 5 + 3 = 8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Выглядит это так.

И так далее.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через F_к, то F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8, F₇=13, F₈=21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом: F_n=F_n-1 + F_n-2

При всех n > 2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу F_n-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом F_n-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).

Числа F_n, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

Суть последовательности Фибоначчи в том, что, начиная с 1, 1 следующее число получается сложением двух предыдущих.

Но почему эта последовательность так важна?

Данная последовательность асимптотически (приближаясь, все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875...и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Но, даже затратив на это Вечность, невозможно узнать соотношение точно, до последней десятичной цифры. Краткости ради, мы будем приводить его в виде 1,618.

Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачоли (средневековый математик) назвал его Божественной пропорцией. Среди его современных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое среднее и отношение вертящихся квадратов. Кеплер назвал это соотношение одним из "сокровищ геометрии". В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой фи. Ф = 1,618

Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать более понятными, если показать отношения нескольких первых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше ф на 0.6180;

2:1 = 2.0000, что больше ф на 0.3820;

3:2 = 1.5000, что меньше ф на 0.1180;

5:3 = 1.6667, что больше ф на 0.0486;

8:5 = 1.6000, что меньше ф на 0.0180;

По мере нашего продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.

Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

При делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1 : 1.618=0.618). Но это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку первоначальное соотношение - бесконечная дробь, у этого соотношения также не должно быть конца.

При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0,382.

1 : 0,382 = 2,618

Подбирая, таким образом, соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4,235; 2,618; 1,618; 0,618; 0,382; 0,236. Упомянем также 0,5. Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.

Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшие времена под названием Золотое сечение.

1.4 Золотые фигуры

Отрезки золотой пропорции выражаются иррациональной бесконечной дробью 0,618..., если с принять за единицу.

а = 0,382…как мы уже знаем числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Построение золотого прямоугольника:

Если построить квадрат со стороной АВ (рис. 6), найти середину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороны АВ в точки Е, то точка. В разделит отрезок АЕ в среднем и крайнем отношении.

Рис. 6

Рассматривая золотой прямоугольник можно заметить что, если отрезать от него квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, то мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. И если продолжать в таком порядке, то получим совершенно квадратируемый прямоугольник бесконечного порядка. Точки, делящие стороны прямоугольника в среднем и крайнем отношении, лежат на логарифмической спирали, закручивающейся вовнутрь. Полюс спиралей лежит на пунктирных диагоналях (рис. 7).



| | 0.500 | 0.618 |

Рис. 7, а. Золотая спираль

Рис. 7, б. Спираль Фибоначчи.

Спираль золотого сечения закручивается в бесконечность. Но есть ещё одна спираль, спираль Фибоначчи. Она построена из шести квадратов одного размера («конечна»). Возьмём раковину моллюска наутилуса: «Существует неписаное правило, что в любой хорошей книги по сакральной геометрии должна быть раковина нотариуса. Во многих книгах сказано, что это спираль золотого сечения, но это не верно - это спираль Фибоначчи. Можно увидеть совершенства рукавов спирали, но если посмотреть на центр и начало, то он не выглядит таким совершенным. Советую вам увидеть настоящую раковину. Два первых внутренних изгиба фактически равны, и отношение их дли равно 1, что далеко от фи. Второй и третий виток всё ближе и ближе приближается к 1,618. Потом получается эта изящная спираль. Можно подумать, что этот маленький моллюск в самом начале; похоже, он не ведал, что творил. Нет, он творит прекрасно, это не ошибка. Просто он чётко следует математике ряда Фибоначчи» (Друнвало Мелхиседек).

Эта спираль возникает и в других геометрических построениях. Возьмём золотой треугольник, стороны которого находятся в золотом отношении к основанию. Этот треугольник будет равнобедренный (Рис. 8), у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1,618 (приложение 1). Углы при основании такого треугольника равны по 72^о, что вдвое больше угла при вершине, равного 36^о. Точка пересечения биссектрисы угла при основании с противоположной стороной делит эту сторону в среднем и крайнем отношении, при этом весь треугольник разбивается на два меньших, один из которых подобен исходному. Так же и этот треугольник можно разбить на более мелкие. Продолжая это, получим бесконечную последовательность закручивающихся треугольников (логарифмическую).

Логарифмическая спираль - единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров.

Рис. 9. Золотой треугольник

Есть и золотой кубоид - это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.

Рис. 9. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы (пентакл)

Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком. Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина о том, каким образом она появилась у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его. Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции.

Существует гипотеза, что пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет, поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов - пентаграмма - стала известна раньше, чем "золотая" пропорция.

Рассмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для построения угла равного 72^о, именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника из центра описанной вокруг него окружности. Начнём с отрезка АВЕ, разделённого в крайнем и среднем отношении точкой В (рис.10).

Рис. 10

Проведём далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусом АВ, пересекающиеся в точке С. Пусть АС = АЕ. Обозначим через б равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС = АЕ, то угол АСЕ равен б. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180^о, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180^о - 2б, а угол ЕАС равен 3б - 180^о. Но тогда угол АВС равен 180^о - б, и, суммируя углы треугольника АВС, получаем:

180^о = (3б - 180^о) + (3б - 180^о) + (180^о - б),

откуда

5б = 360^о и б = 72^о.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36^о. Следовательно, что бы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую сторону ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

Число Ф, например, является отношением радиуса окружности к стороне правильного вписанного десятиугольника. Расположим три золотых прямоугольника (стороны которых находятся в золотом отношении) так, чтобы каждый симметрично пересекался с двумя другими (под прямым углом к каждому из них), видно, что вершины золотых прямоугольников совпадают с вершинами правильного икосаэдра и в то же время указывают положение центров 12 граней правильного додекаэдра. См. (приложение 2, 3)

Использование золотого сечения при решении задач на построение

Задача №1.

С помощью циркуля и линейки построить прямоугольник с отношением сторон 1 : ( - 1 ) / 2.

Решение

Поделим отрезок АВ точкой С в отношении золотого сечения. Из точки А восстановим окружность радиуса (- 1 ) / 2. Она пересекает перпендикуляр АК в точке D. Последующие построения очевидны. Они завершают чертёж прямоугольника АВЕD, отношение сторон которого 1 : (- 1 ) / 2.

Задача №2

Построить прямоугольник отношением сторон 1 : ( - 5 ) / 2.

Решение

Проводим отрезок АВ = 1, точкой С делим его в золотом отношении. Тогда АС = 1 - (- 1 ) / 2 = ( 3 -) / 2. Продолжим отрезок АВ за точку А, и из точки А проведём окружность радиуса АС. Пересечение с продолжением АВ будет точка D. Из точки В восстановим перпендикуляр ВМ к АВ. Строим окружность с центром в точке В радиусом ВD.

ВD = 1 + ( 3 -) / 2 = ( 5 -) / 2.

Окружность пересекает перпендикуляр ВМ в точке Е, длина стороны прямоугольника равна ( 5 -) / 2.

Задача №3

Построить правильный пятиугольник по данной стороне АВ = 1.

Решение

Находим на отрезке АВ точку С золотого сечения. Из точки В как из центра проводим окружность радиусом АС, которая пересекает продолжение отрезка АВ в точке D.

Строим две окружности с центром А и В радиусом

AD = 1 + (- 1 ) / 2 = (+ 1 ) / 2.

Одна из точек пересечения - точка Е, третья вершина пятиугольника. Потом из точки В чертим окружность радиусом АВ. Она пересекается с предыдущей окружностью в точке N, четвёртой вершине пятиугольника. Из точек А и Е проводим окружности, радиусы которых равны длине отрезка АВ (стороне правильного пятиугольника). Две последние окружности пересекаются в пятой вершине К пятиугольника.

1.5 Золотое сечение, которое нас окружает

Книга природы написана на языке математики.

Галилео Галилей (1564 - 1646).

Живой организм, вытянутый в длину, таит для его владельца много опасностей. Змея погибает чаще из-за своего длинного тела. Ящерица отбрасывает хвост, если ей грозит опасность или её схватили за него. Раковина закручивается по спирали. Винтообразное и спиралевидное распределение листьев.

Спирали очень распространены в природе: в семенах подсолнечника и шишках сосны, ананасах и кактусах.

Однако только совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные проявления природы.

Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (Филотаксис), семя подсолнечника, шишак сосны представляет собой ряд Фибоначчи, и, стало быть, проявляет себя закон золотой пропорции.

Паук плетёт паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. ДНК закручиваются двойной спиралью.

1.5.1 Раковина

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе.

спираль Архимеда

Рис. 11

ОБ : ОА = ОВ : ОБ = ОГ : ОВ = ... = 1.618

(ОБ + ОГ) : (ОВ + ОА) = ... = 1.618.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда (рис. 11). Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

1.5.2 Растения и животные

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Гете называл спираль "кривой жизни".

Среди придорожных трав растет особо не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок

Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В частности, было показано, что угловое расхождение ветвей многих растений определяется так называемым идеальным углом, величина которого равна 360° : Ф - 2 = 137° 30'.

Проявление чисел Фибоначчи наблюдается в числе пазух на стебле растения во время его роста. Идеальный случай можно увидеть в стеблях и цветах sneezewort'а. Каждая новая ветка прорастает из пазухи и дает начало другим веткам. Если рассмотреть вместе старые и новые ветки, в каждой горизонтальной плоскости обнаруживается число Фибоначчи.

Ирис - 3 лепестка;

Примула - 5 лепестков;

Амброзия полыннолистная - 13 лепестков;

Нивяник обыкновенный - 34 лепестка;

Астра - 55 и 89 лепестков;

Число и расположение цветков в головке того или иного представителя сложноцветных - прекрасный пример золотых чисел, находимых в природе.

Ящерица живородящая

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Яйцо птицы

Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как будет указано ниже, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом.

Суммируя известные данные о формообразовании в природе можно отметить:

«Золотое число», равное 1,618, передаёт математически своеобразную ритмичность функциональных структур.

Принцип «золотой симметрии» действует и на уровне неживой природы как определённый инструмент её упорядочения и прогрессивной эволюции.

Числа Фибоначчи математически выражают собой определённые принципы природного развития, связанные с общим законом сохранения. Эти принципы имеют место, как на организменном, так и на молекулярном уровне развития живых систем.

В то время как ряды Фибоначчи математически характеризуют прогрессивную тенденцию природного отбора, т.е. стремление природы к оптимальному функционированию её систем, принцип «золотого сечения» - экстремальное (высшее) проявление структурного и функционального совершенства этих стилей.

«Золотая» спираль с модулем Ф является математическим смыслом тайны жизни, которая оптимально выявляет себя и в растительном и в животном мире, потому что она проявление закона гармонического возрастания пульсаций.

В итоге можно заметить, что среди бесчисленного разнообразия форм в природе, с которым встречается зодчий, царит закономерность и системность, связывающая нитью, которая является золотой пропорцией.

Существует пять принципов формирования в природе:

целостность (человек, дерево, рыба…) добавляя или удаляя какую-то часть от целого, получим дефект. Происходит нарушение гармонии.

пропорции. Целое всегда состоит из частей. Части разной величины в определённом отношении находятся друг к другу и к целому.

Симметрия. Пропорциональные отношения ведут к симметрии, ритму, гармонии и красоте.

1.6 Божественная пропорция в искусстве

1.6.1 Золотое сечение в архитектуре

Рис. 12

В книгах о золотом сечении можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что если некоторые пропорции в здании кажутся образующими золотое сечение, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. Золотое сечение дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания Сената в Кремле. Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пешкова - является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры Баженова. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 году. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертежи нижнего этажа.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

Рис. 13. Парфенон.

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

Существуют математические закон архитектурной гармонии. В приложении приведён анализ трёх сооружений, принадлежащих разным эпохам и стилям в архитектуре, с помощью золотого сечения: храм Агии Софии в Константинополе - памятник Византии (приложение 4), Смольный собор в. Санкт - Петербурге (приложение 5), собор в Ульме в Германии (приложение 6). Как видно из рисунков, большинство пропорциональных соотношений этих зданий являются соотношениями золотого сечения.

Римский архитектор Ветрувий написал сочинение «Об архитектуре», включающее в себя десять книг. Особое внимание в этих книгах уделено пропорциям человеческого тела, которое Ветрувий перенёс на здания. Он считал, что без симметрии и пропорции строение храма лишено правильности, свойственно хорошо сложенному человеку.

Меры длины у различных народов являются производными от размеров члена человеческого тела, которые постоянно служили основой производимых при строительстве измерений. Длина стопы человека - фут (0,3087 м) была одна из основной античных мер.

При строительстве храма в честь Дианы, греки для колоннады взяли пропорции, свойственные стройной женщине. Толщина колонны в этой колоннаде составляла 1/8 высоты, а высота капители - 1/3 толщины. Новый ордер получил название ионический, а колонны, возводимые по канонам этого ордера, напоминали изяществом, украшениями и пропорциями стройную женщину.

Зодчие и архитекторы древности знали о золотой пропорции и сознательно применяли её. Однако теорию гармонизации пропорции в строительстве создал известный французский архитектор Ле Корбюзье. В системе, названной «Модулор», он объединил существующее предложение о пропорциях человеческого тела с математическими принципами золотого сечения.

1.6.2 «Золотая пропорция» живописи

Долгое время считали, что в изобразительном искусстве теория художнику не нужна, а знакомство с наукой не обязательно. Многие даже считали, что это мешает свободному индивидуальному творчеству. Но мастера древней Греции, умевшие сознательно пользоваться законами золотого сечения применяли их для создания гармонии в произведениях и добились такого совершенств строения форм, выражающие их общественные идеалы, какое редко встречается в практике мирового искусства. Вся античная культура прошла под знаком золотой пропорции. Знали эту пропорцию и в древнем Египте. Знание законов золотого сечения или непрерывного деления помогает художнику творить осознанно и свободно. Используя закономерности золотого деления можно исследовать пропорциональную структуру любого художественного произведения.

В. И. Суриков говорил, что в композиции есть свой закон, благодаря которому в картину ничего нельзя добавить и ничего нельзя от неё отнять.

При переносе геометрического способа деления на картину или эскиз поступают так: половину длины картины или эскиза откладывают на высоту или на продолжение высоты, если эскиз узкого формата. Полученную точку С соединяют с левым нижним углом картины, и т. д.(рис. 14)

(Рис. 14)

Линия золотого сечения в левой части картины будет находится на таком же расстоянии от левого края, как и в правой, от правого (показано пунктиром)

Фигура А.С. Пушкина в картине И.Е. Репина «А.С. Пушкин на акте в лицее 8 января 1815 год» помещена художником на линию золотого сечения в правой части картины (приложение 7).

Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения. От головы А.С. Пушкина Г.Р. Державина и от неё до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения. В нижней части картины глаз улавливает деление на три равные части. Их образует стол в левой части картины, нога Пушкина правее линии золотого сечения и правый край картины.

Если необходимо найти золотое сечение по горизонтали, то новое деление геометрическим способом высоты картины нет необходимости. Достаточно провести диагонали картины. Их пересечения с линиями золотого сечения по вертикали укажут точки, через которые следует провести горизонтальные линии золотого сечения (приложение 8). Эти линии ещё могут понадобиться при построении пейзажа.

При нахождении Ц, картина делится, в основании, на 100 частей.

Недостаток деления на 10 или 5 заключён в том, что даёт довольно приблизительные отрезки золотого сечения: 60, 40, 20 (таблица 1, ряд 1).

Таблица 1. Величины нисходящего ряда золотой пропорции

Ряд	Ряд	Ряд	Ряд
1-й	2-й	3-й	4-й
100	100	100	100
60	62	61,8	61,803
40	38	38,2	38,196
20	24	23,6	23,606
	14	14,5	14,589
	10	9	9,017
		5,5	5,574
		3,5	3,444
		2	2,128
		1,5	1,315
			0,813
			0,502
			0,311
			и т.д.

Фигура А.С. Пушкина в картине «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском» поставлена художником на линии золотого сечения в левой части полотна (приложение 9).

Но и все остальные величины по ширине вовсе не случайны: ширина печи равна 24 частям от ширины картины, этажерка - 14 частям, расстояние от этажерки до печи тоже 14 частей и - т.д. Такие же величина присутствуют и в картине Репина (приложение 7): от левого края до головы Державина 24 части, от стола до носка правой ноги Пушкина - 24 части. Такое расстояние от головы Пушкина до головы военного, с восторгом слушающего чтение поэта. От головы Пушкина до головы молодой женщины в правой части картины, с умилением слушающей декламацию, тоже 24 части, а от её головы до правого края картины - 10 частей и т.д.

Повторение равных величин, чередование равных и неравных величин в пропорциях золотого сечения создаёт в картине определённый ритмический строй, вызывающий у зрителя то или иное настроение и втягивающий его в рассмотрение картины.

Достоинство пропорции золотого сечения заключается в том, что раз поделив отрезок прямой или сторону картины геометрическим способом, получают отрезки любого уменьшения. В практической же работе художника достаточно величин, соответствующим числовым значениям: 62,38,24,14 и 10.

Но, всё же, какова бы не была прекрасна эта пропорция, рассматривать её отдельно от симметрии нельзя. Художественная форма, в основе построения которой лежит пропорции золотого сечения, и особенно сочетания симметрии и золотого сечения, является высокоорганизованной формой, способствующей наиболее ясному выражению содержания, наилучшему зрительному восприятию и появлению у зрителей ощущения красоты.

Вот несколько картин, которые были представлены мне для нахождение в них золотого сечения:

И.Е. Репин.

- «Осенний букет», 1892 г. На полотне изображена дочь Репина Вера. Браслет на левой руке делит картину в золотой пропорции по горизонтали.

- «Портрет П.М. Третьякова». Глаз Третьякова делит картину по золотому сечению (по вертикали).

- «Садко в подводном царстве» (1876 г.). Ярко выраженная представительница подводного царства делит картину по вертикали в золотом сечении. По горизонтали - борода Садко.

- «Приготовление к экзамену». Герой, заснувший с книгой в руках, делит по вертикали.

- На панораме Флоренции 1490 года река разделяла город по золотому сечению.

На следующих работах можно видеть композиционный анализ картин (приложения 10,11,12,13,14,15).

1.7 Золотая пропорция в человеке

1.7.1 Пропорция

Пропорции человека с древних времён привлекали учёных, художников, скульпторов, биологов. Они искали закономерности пропорций человеческого тела. Существует свидетельство Плиния о том, что скульптор Поликлет написал статью о правилах пропорции человеческого тела, и вылепил по ним знаменитую статую Доридофа (приложение 15), хорошо сохранившуюся до наших дней. Долгое время эта фигура служила каноном человеческого тела.

Римский архитектор Ветрувий говорил, что природа создала человека, соблюдая постоянное отношение отдельных частей к целому, так:

лицо, считая от подбородка до лба, включительно, составляет 1 / 10 части всей высоты человека;

столько же составляет длина кисти руки;

часть тела, считая от груди до начала волос равна 1/6 общей высоте фигуры человека;

высота всей фигуры, от подбородка - 1/8 всей высоты человека;

лицо состоит из трёх разных частей: первая, от подбородка до начала носа, вторая - до средней линии бровей, третья - от линии бровей до начала корней волос;

ступня ноги составляет 1/6 от всей длинны человека;

длина руки от локтя, а так же ширина груди между плечами, составляет ј высоты человека.

1.7.2 Золотая пропорция в человеке

Вообще все части человека находятся в определённом численном отношении к общей его высоте.

Центром человеческого тела является пупок, и из него как из центра может быть очерчена окружность, которых касаются пальцы распростёртых рук и ног. Кроме того, фигура человека может быть вписана в квадрат, причём общая её высота равна ширине, считая таковую с распростёртыми руками (приложение 17: Ветрувианский человек).

Рассмотрим классический пример Адольфа Цейзинга, его труд (457 страниц), под названием «Der golden Schnitt» («золотое сечение»), опубликованный в 1884 году. Цейзинг доказывает, что из всех пропорций именно золотое сечение даёт художественный наибольший эффект доставляет наибольшее удовольствие при восприятии. Он формулировал закон пропорциональности следующим образом: «Для того, что бы целое, разделённое на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть тоже самое отношение, что между большей частью и целым».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения (рис. 15). Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела:

Рис. 15, а

Отношение расстояния от головы до кончиков средних пальцев, когда руки опущены вдоль тела, и расстояние от кончиков пальцев до подошвы тоже равно золотой пропорции; высота лица (до корней волос) относится к вертикальному расстоянию между дугами бровей о нижней частью подбородка, как расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между разрезом губ и нижней частью подбородка.

(рис. 15, б)

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского, Венеры Медицейской и т.д. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название "Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве". В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга.

В том же духе выдержанны и книги «Nature's Harmonic Unity» («Гармоническое единство природы») С. Колмена (1913 г.) и «the Curves of Life» («Кривые жизни») Т. Кука (1914 г.). Последний сравнивал различные стадии и картины художников эпохи Возрождения и создаёт идеальный канон женского тела. (Приложение 17).

Вертикальная шкала справа от женской фигуры разделена сверху вниз на части в соответствии с членами возрастающего ряда от ц¹ до ц⁷. Нетрудно заметить, что эти деления совпадают с основными членениями человеческого тела.