Іменні теореми в шкільному курсі геометрії

Рис. 10

Табл. 8

Формула	у = -3х			у = 3х	у =	у =
Номер графіка

Приклад 22. Функції задані формулами у = 7, у =2,5х +3, у = +3,

у =6 - 2,5х, у = 4 , у = х

Визначте, графіки яких із них:

паралельні графіку функції у = х;

паралельні графіку функції у = -2,5х + 25

перетинає графік функції у = 2,5х - 100,

перетинає графік функції у = х-50;

Приклад 23. Записати формулами функції графік яких зображені на малюнку.

Рис. 11

Приклад 24. Графік функції у = кх - 2 паралельний графіку функції

у = - 0,2х. Знайти значення к та з'ясувати чи належать графіку першої функції точки А(5;-3) В(-3; -1,5).

Приклад 25. Задати формулою лінійну функцію, графік якої проходить через точку С(0; -7) і паралельний графіку функції у = - 2х +9.

Рис. 12

Приклад 26. Два пішоходи а і в вийшли одночасно на зустріч один одному із різних сіл. По графіку руху пішоходів. Знайти:

- час за який пройшов відстань між селами кожний із пішоходів;

- час через який від початку руху пішоходи зустрілися,

- швидкість кожного пішохода;

- відстань між селами.

Змістове наповнення курсу «Алгебри» у 8 класі має незначні відмінності від кількох попередніх курсів алгебри для основної школи [11]. Бажано звернути увагу на те, що нова програма з алгебри для 8 класу містить лише три теми: 1. Раціональні вирази. 2. Квадратні корені. Дійсні числа. 3. Квадратні рівняння.

Але змістове наповнення цих тем передбачає вивчення матеріалу, що стосується усіх змістових ліній: числа й обчислення; вирази та їх перетворення;рівняння, нерівності та їх системи; функції і графіки; елементи прикладної математики.

Зміни, що відбулися у навчальному матеріалі порівняно з попередніми роками, стосуються переважно його структурування. Зокрема, функції , вивчаються паралельно з відповідними виразами та рівняннями.

Новим у вивченні математики 8 класу є виокремлення таких змістових одиниць: дроби (замість алгебраїчні дроби); раціональні числа; числові множини; етапи розвитку числа; добуток і частка квадратних коренів; квадратний тричлен, його корені; розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. За новою програмою наприкінці теми вивчається функція , а в наступній темі - функції у = х2 і у = .

У такий спосіб функціональна лінія пронизує весь курс алгебри восьмого класу і розвивається у тісному зв'язку з тотожними перетвореннями і розв'язуванням рівнянь. Властивості функцій встановлюються на основі наочних уявлень за допомогою відповідних графіків. Лише область визначення функції обґрунтовується на основі означення. Основна мета вивчення функцій у 8 класі - формування умінь будувати і читати графіки функцій, а також характеризувати за графіками функцій їх властивості та реальні процеси, які вони описують.

Для відпрацювання умінь і навиків побудови та читання графіків функції у підручнику«Алгебра-8» можна виділити такі типові задачі:

Приклад 27. Сторони прямокутника дорівнюють m см та n см. А його площа становить 18 см2. Виразіть формулою залежність n від m.

Приклад 28. З курсу фізики відомо формулу, якою пов'язані між собою маса (m) та об'єм (v) деякого тіла з густиною() речовини, з якої виготовлене це тіло.

Використовуючи цю формулу запишіть залежність: від v, v від .

Приклад 29. Складіть таблицю значень функції у=- для всіх цілих значень 12 ? х ? 12 з кроком 2.

Приклад 30. Запишіть функцію у вигляді у=-, де у=, у=, у=,

Приклад 31. На малюнку зображено графік функції у=-.

Користуючись графіком, знайдіть:

- значення функції, якому відповідає

- значення аргументу: -3; -1,5; -1; 1.5; 3,

- значення аргументу, якому відповідає

- значення функції: 6; 2; 1,2; -1.5; -2;

- порівняйте: у(-6) та у(-2); у(-3) та у(-0,5);

Рис. 13

Приклад 32. Графік функції у=-, проходить через точку F(, 18). Чи проходить цей графік через точки: А(-1; -2), Б(-2; 1), С(; 4), К(; 6), Р(0,5; 4)

Приклад 38. Визначте при якому значенні к графік функції у=-, проходить через точку: А(1; 2), В(-0,5;6), С(-4;2), М(; 6), Е(-2; ).

Рис. 14

Приклад 39. На малюнку побудовано графік залежності часу від швидкості руху автомобіля по міжнародній автомагістралі між двома пунктами А та В. За допомогою графіка знайдіть:

Скільки часу потрібно на шлях із пункту А

до пункту В, якщо рухатись зі швидкістю:

180 км/год, 120 км/год, 90 км/год, 60 км/год. ?

З якою швидкістю потрібно рухатися щоб дістатися з пункту А до пункту В: за 1 год, за 3 год, за 6 год, за 18 год?

Якою є відстань між пунктами А та В?

Приклад 40. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій: у=- та

у = -х -1. Визначте, користуючись графічним зображенням координати точки перетину графіків функцій.

Приклад 41. Побудуйте графік функції у = х2 для -2 ? х ? 3 з кроком 0,5. Користуючись цим графіком, знайдіть значення:

o функції, якщо значення аргументу дорівнює: -2; -1; 1; 2.

o аргументу, якщо значення функції дорівнює: 9; 4; 2; 1; 0.

Приклад 42. Визначте чи проходить графік функції у = х2 через точку: А(0;1), В(-2;4), К(2,5; 5), С(-1,7; -2,89), М(-1,4; 1,96).

Приклад 43. Використовуючи властивості функції у = х2 порівняйте значення функції при вказаних значеннях аргументу: у(-1) та у(1); у(-0,5) та у(0,5); у(0) та у(-5); у(-9) та у(1); у(-5) та у(-3)

Приклад 44. 13.Знайдіть значення к при яких графіку функції у = х2 буде належати точка: А(к;4), В(к;1), К(2к,4), С(4;-2к), М(9; 3к), Д(0,1к; 0,25).

Приклад 45. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій у = х2 та

у = -х2. Зробіть висновок про взаємне розміщення графіків цих функцій.

Приклад 46. Побудуйте графік функції у = х2 та прямі у = , у = 4. Знайдіть значення х для яких точки параболи розміщені між даними прямими.

Приклад 47. Задайте формулами залежності: площі квадрата (s) від його сторони(m); довжини сторони квадрата (k) від його площі (s); площі поверхні куба (s) від довжини його ребра (х); довжини ребра куба (а) від площі його поверхні (s).

Приклад 48. Об'єм циліндра можна знайти за формулою

Рис. 15

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

v = r2h, де r - радіус основи циліндра, h - висота.

Виразіть змінну r через v і h.

Приклад 49. Використовуючи графік функції у = знайдіть значення:

, якщо х = 2,8; х = 5,6; х = 7,4;

х, якому відповідає = 1,3; = 2,1; = 2,5.

Приклад 50. Визначте, чи належить графіку функції у = точка: А(-3;9), В(9;-3), С(4;2), М(25; -5), К(1;1), Е(-1;-1)

Приклад 51. За допомогою графіка функції у = порівняйте числа:.

і ; і ; і ; і

Прикладна спрямованість функціональної підготовки учнів випускних класів.

Прикладна спрямованість шкільного курсу вивчення функції визначається аналогією з історичним розвитком поняття «функції». До 7 класу йде нагромадження знань, необхідних для введення поняття функції. Розглядаються залежності площ фігур від довжини їхніх сторін, радіусів; вирішуються завдання, у яких одна величина залежить від інший і т.д.

Цей курс можна назвати пропедевтичним. В 7 класі вперше дається визначення поняття “функція”. Дається визначення функції на основі ідеї залежності й відповідності однієї величини від іншої.

Після введення визначення поняття можна розповісти про те, де люди зустрічалися з функціональними залежностями, хто вперше ввів цей термін і що означає саме слово “функція”. Також у цьому класі вивчаються різні способи завдання функції. Можна більш докладно розповісти про табличний спосіб завдання функції як про найбільш старому: привести приклади з історії математики, розповісти про значення й роль математичних таблиць для математиків минулих сторіч.

Прикладами можуть служити таблиці квадратів, кубів чисел, арифметичних і квадратних корінь, які учні можуть побачити на форзацах своїх підручників, якими вони будуть користуватися пізніше.

В 9 класі ще раз дається визначення функції на основі ідеї залежності однієї змінної від іншої: “Функцією називають таку залежність змінної y від змінної x, при якій кожному значенню змінної x відповідає єдине значення змінної y”. Можна дати учнем завдання простежити в історії математики, на якому етапі розвитку поняття функції з'являється таке визначення й хто його вводить (Додаток 1). Крім того, у 9 класі вводиться символічне позначення функції. Учням необхідно розповісти, хто ввів цей запис.

Потрібно нагадати учням про те, що математика виникла із практичних потреб людини, звідси необхідне введення нового визначення функції. Тут потрібно сказати про проблему, з якої зштовхнулися фізики, зокрема, Поль Дирак; згадати його функцію-дельта-функцію, що виходить далеко за рамки класичного визначення функції. Необхідно також нагадати про роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явища. На цьому розвиток поняття функції не зупинилося (поняття узагальненої функції) і, швидше за все, буде змінюватися далі.

Функціональна лінія пронизує курс «Алгебри» основної школи, носить прикладний характер. Вона розвивається у тісному зв'язку з тотожними перетвореннями, рівняннями і нерівностями. Властивості функції встановлюються за їх графіками, тобто на основі наочних уявлень, і лише деякі властивості обґрунтовуються аналітично. У міру оволодіння учнями теоретичним матеріалом кількість властивостей, що підлягають вивченню, поступово збільшується. Під час вивчення функції чільне місце відводиться формуванню умінь будувати і читати графіки функцій, характеризувати за графіками функцій процеси, які вони описують.

При розв'язуванні рівнянь, нерівностей та їх систем в багатьох випадках є доцільним використння графічних методів, поєднуючи їх і формальними прийомами розв'язання. Графічна ілюстрація часто допомагає уникнути численних переборів, що виникають в процесі розв'язування задач з параметрами. При цьому потрібно вміти мислити одночасно аналітичне геометрична: вміти будувати графіки аналітичних залежностей, а будь-як властивість графіка описати алгебраїчними умовами.

Програма профільного рівня призначена для організації навчання в тих профілях, в інваріантній складовій навчального плану яких на вивчення математики відведено не менше 7 год на тиждень, і математика є одним із профільних предметів. Програму розроблено на основі Державного стандарту базової і повної середньої освіти з урахуванням особливостей відповідних профілів навчання. Її матеріал розподілено за такими змістовими лініями: числа; вирази; рівняння і нерівності; функції; геометричні фігури; геометричні величини.

Для курсу „Алгебра і початки аналізу” однією з провідних змістових ліній навчання є функціональна, тому в процесі навчання слід приділити особливу увагу функціональній спрямованості цього курсу.

Поняття функції доцільно трактувати з теоретико-множинних позицій. Дослідження властивостей функцій у тій чи іншій формі має супроводжувати вивчення математики протягом усього навчання. При цьому слід постійно звертати увагу учнів на зв'язок таких понять, як функція, рівняння, нерівність. При вивченні функцій слід зробити наголос на моделюванні реальних процесів. Особливу увагу при вивчення функцій слід приділити формуванню в учнів умінь установлювати властивості функції за її графіком, будувати ескізи графіків функцій, заданих аналітичним виразом, у формі таблиці або за експериментально визначеними даними, а також виконувати геометричні перетворення графіків. Необхідно навчити школярів за графіком функції встановлювати її неперервність, точки розриву, проміжки зростання та спадання, знакосталості, найбільше та найменше значення.

В рамках змісту шкільної математичної освіти навчання математики може бути ефективним реалізація ідей комп'ютерної підтримки процесу навчання, здійснення міжпредметних зв'язків математики та інформатики у формі інтегрованих уроків при вивченні таких, наприклад, тем:

графічне розв'язування нерівностей і систем нерівностей;

розв'язуванні лінійних і квадратних рівнянь, нерівностей та їх систем з однією та двома змінними, зокрема,графічним методом;

дослідження властивостей функцій та побудова й читання їх графіків;

обудова графіка функції y = Af(ax + b) + B за графіком функції y = f(x);

дослідження статистичних вибірок;

відсоткові розрахунки;

наближене визначення коренів многочленів і розв'язування рівнянь та нерівностей вищих степенів;

границя числових послідовностей та функцій;

дослідження функцій на неперервність;

дослідження тригонометричних та обернених тригонометричних функцій;

графічне розв'язування тригонометричних рівнянь і нерівностей;

наближене обчислення значень функції;

опрацювання статистичних даних: побудова полігонучастот, гістограм, обчислення відносних частот різних подій;

визначення центра розсіювання відносних частот;

обчислення визначених інтегралів;

визначення площ криволінійних трапецій та об'ємів тіл обертання тощо.

У 9 класі продовжується формування поняття функції через вивчення «Квадратичної функції», властивості якої мають у шкільному курсі «Математика» широкий діапазон для використання.

Учні 9 класу повинні уміти обчислювати значення функції в точці; описувати перетворення графіка функції ; ; ; ,».

Державним стандартом визначені вимоги до змісту навчання, до якого належить:

знання алгоритму побудови графіка квадратичної функції;

уміння читати властивості функції за її графіком:

уміння побудови графіка квадратичної функції;

побудова графіків функцій з використанням зазначених перетворень графіків;

використання графіка квадратичної функції для розв'язування квадратичних нерівностей,

знаходження розв'язків систем двох рівнянь другого степеня з двома змінними;

складання й розв'язування систем рівнянь з двома змінними, як математичних моделей текстових задач.

Для формування цих умінь і навиків підібрана така система вправ:

Приклад 52. Функція задана формулою .

Знайдіть: f(0); f(-3); f(4)

Приклад 53. Функція задана формулою: f(x)= 6х - 1. Знайдіть значення х, для яких: f(x)=11; f(x)>-19.

Приклад 54.Функція у = f(x) задана таблицею:

Табл. 9

х	-2	-1	0	1	2
f(x)	-4	-1	0	-1	-4

знайдіть: f(-1); f(2).

для яких значень аргументу значення функції дорівнює -4?

Рис. 16

вкажіть область визначення та область значення функції.

Приклад 55. На малюнку зображено графік функції у = f(x).

- знайдіть: f(-2); f(0); f(1); f(2),

вкажіть область визначення та

область значення функції.

Приклад 56. Тіло рухається прямолінійно. Залежність пройденого ним шляху s у(м), від часу t у (с) задано так:

- знайдіть: s (1);s (2); s (3,5); s (4); s (6)

з якою швидкістю рухалось тіло протягом перших двох секунд; між 2 і 4 с руху; між 4 і 6 с руху? Чи є рух тіла рівномірним?

побудуйте графік функції s (t).

Приклад 57. На малюнку зображено графік функції у = f(х), де -2,5 ? х ? 4. Вкажіть:

Рис. 17

нулі функції,

проміжки знакосталості функції,

проміжки на яких функція зростає; спадає;

найбільше та найменше значення функції.

Приклад 58. Накресліть графік функції, областю визначення якої є проміжок [-2; 4], щоб функція:

зростала на проміжку [-2;04] і спадала на проміжку [0; 4];

спадала на проміжку [-2; 1], зростала на проміжку [1; 4] і мала два нулі: х = 0 і х = 3;

була зростаючою і мала один нуль - число 2.

Приклад 59. Знайдіть нулі функції у = 2х2 - 2х -1

Приклад 60. Парною чи непарною є функція? у = х4- 4 х2; у = х3 -9; у = х2- 2х.

Приклад 61. На рисунку зображено графіки функцій у = f(х)+ а; у = f(х -в);

у = f(х +в); у = f(х - а).

Рис. 18

Знайдіть а і в.

Приклад 62. Побудуйте графік функції у =(х + 3)2 -1. Користуючись графіком знайдіть:

область значень функції,

усі значення х, для яких функція набуває від'ємних значень

проміжок на якому функція спадає.

Приклад 63. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій у = та у =- х2 +2,5. Скільки коренів має рівняння = - х2 +2,5?

Приклад 64. На рисунку зображено параболу, яка є графіком деякої квадратичної функції у = ах2+вх.+с. Вкажіть:

Рис. 19

знак коефіцієнта а;

координати вершини параболи;

вісь параболи;

нулі квадратичної функції;

проміжки знакосталості функції;

проміжок на якому квадратична функція зростає, спадає;

найменше значення квадратичної функції і значення х, для якого функція набуває найменшого значення;

знак коефіцієнта с.

Приклад 65. Знайдіть координати вершини параболи у = 2х2 - 6х +3. Чи перетинає ця парабола вісь ОХ?

Приклад 66. Побудуйте графіки функцій у = х2 + 2х -3; у =-х2 +4х;

Приклад 67. Побудуйте графік функції у = х2 + 6х 5. Користуючись графіком, знайдіть:

область значень функції;

усі значення х для яких функція набуває від'ємних значень;

проміжок на якому функція спадає.

Приклад 68. Доведіть, що функція у = х2 +5х +7, набуває лише додатних значень. Знайдіть найменше значення цієї функції.

Приклад 69. Щоб залишити на ніч корів на пасовищі, пастухи вирішили обгородити на ньому ділянку прямокутної форми сіткою завдовжки 200 м. Якими мають бути сторони ділянки, щоб її площа була найбільшою?

В підручнику мало завдань на встановлення формули функції за її графіком, тому бажано розв'язати такі завдання:

Приклад 70. На якому з рисунків зображено графік функції у = 1 - х2

Рис. 20

Приклад 71. На рисунку зображено графік квадратичної функції у = ах2+вх.+с, D - дискримінант квадратного тричлена ах2+вх.+с.

Рис. 21

Укажіть правильне твердження.

А) а > 0, с> 0, D> 0; В)а> 0, с> 0, D< 0

Б)а< 0, с< 0, D> 0 Г) а< 0, с< 0, D< 0

Приклад 72. На рисунку зображено графік функції у = х2+4х.+1. Користуючись ним знайдіть область значень функції.

Рис. 22

А) [-3+?); В) (- ? - 2];

Б) [-2+?); Г) (- ?+?).

Приклад 73. Графік якої функції зображено на рисунку

Рис. 23

А) у = (х - 2)2; В) у = х2 - 2;

Б) у = (х +2)2 ; Г) у = х2 +2.

Приклад 74. На рисунку зображено графік функції у = х2+4х.. Користуючись рисунком укажіть проміжок зростання функції

Рис. 24

А) [-4+?); В) [- 2+?);

Б) [-3+?); Г) (- ?- 4].

Формування та розвиток функціонального мислення учнів на уроках математики.

Як уже наголошувалося, основним завданням функціональної змістової лінії у шкільному курсі математики є формування специфічного типу функціонального мислення. Цей вид мислення дає змогу людині бачити і досліджувати причинно-наслідкові зв'язки, аналізувати процеси і явища. прогнозувати їх поведінку у майбутньому, оптимізувати їхні параметри. Він передбачає сформованість багатьох пізнавальних прийомів діяльності. Особливе значення для формування і розвитку функціонального мислення мають прийоми діяльності, математичного моделювання, образного мислення, дослідницької діяльності. В свою чергу, цілеспрямований розвиток функціонального мислення вдосконалює і збагачує зазначені прийоми пізнавальної діяльності.

Знакосимвольна діяльність є одним із найважливіших прийомів пізнавальної діяльності, зміст якої складається з використання та перетворення системи знакосимвольних засобів: заміщення, кодування, схематизація, моделювання [1.с.23; 15,с22].

Роль функціональної змістової лінії у розвитку знакосимвольної діяльності важко переоцінити.

По-перше, суттєво розширюється кількість знаків, якими кодуються математичні об'єкти: f, y=f(x) - функція, D(f)- область визначення функцій, Е(f)- множина значень функції. Їх характер і призначення суттєво відрізняються від символів, які застосовуються в інших змістових лініях.

По-друге, і це головне, нові знакові засоби відображають математичні об'єкти різної природи, які не мають прямих аналогів у попередньому досвіді. До речі, історично формування знаків і символів функціональної змістової лінії здійснювалось у процесі уточнення понять, ідей. Тому існує певна неоднозначність і варіативність у застосуванні знакосимвольних засобів. Ці обставини також потребують певної уваги.

Роль функціональної змістової лінії у реалізації прикладної спрямованості навчання математики без перебільшення є визначальною. Функції і задачі, пов'язані з ними, зокрема оптимізаційні, є одними з найважливіших моделей. Різні класи функцій відповідають різним типам залежностей: лінійним, квадратичним, степеневим тощо. Представлення цієї відповідності є одним з головних завдань функціональної змістової лінії. Дослідження властивостей основних класів функцій з широким застосуванням властивостей основних класів функцій методу математичного моделювання складає основу для їх застосувань у розв'язанні прикладних задач.

Далі наведено приклади таких задач для різних класів функцій.

Приклад 74. Мотоцикліст їде зі швидкістю 39 км/год. Знайти шлях s який проїхав мотоцикліст за t год. Побудувати графік залежності шляху від часу. Знайти по графіку:

шлях, який проїхав мотоцикліст за ; 1,5 год;

Приклад 75. При діленні числа у на число х в частці одержали 7. А в остачі 3. Задайте формулою залежність у від х. Знайти по цій формулі ділене, якщо дільник дорівнює 5; 9. Знайти дільник, якщо ділене дорівнює 66; 80.

Приклад 76. В резервуарі було 80 л води. Щогодини доливається по 50 л води. Задати формулою залежність кількості води V (в літрах), що поступає в резервуар від часу t (в годинах).

Приклад 77. На базі було 200 т вугілля. Щоденно на базу завозили по 25 т. Запишіть формулою залежність кількості вугілля M (в тонах) від часу t (в днях)

Приклад 78. На базі було 400 т вугілля. Щоденно з неї забирали по 25 т. Виразіть формулою залежність кількості вугілля M (в тонах) від часу t (в днях).

Приклад 79. Маса резервуара з рідиною m (кг) залежить від об'єму V (літрах) рідини, що в ньому знаходиться. Якщо масу пустого резервуару позначити m0 кг, а густину рідини с (кг/л), то залежність маси резервуара з рідиною від об'єму рідини можна задати формулою m(V) = m0+ сV. Побудувати графік цієї залежності, якщо відомо, що маса резервуара з 4 л води дорівнює 4,5 кг, а з 6 л - 6,1 кг. По графіку знайти:

масу резервуара з двома літрами води;

масу пустого резервуара;

об'єм рідини, якщо маса резервуара з цією рідиною дорівнює 9,3 кг.

Приклад 80. Дві особи підписують угоду із замовником на виконання деякої роботи на таких умовах: керівник має отримати 70 % платні за цю роботу, а друга особа -- 30 %.

Запишіть формулу, що виражає залежність платні керівника роботи від суми, яку отримує другий співробітник.

Нехай керівник отримав за роботу на 1600 грн. більше, ніж другий співробітник. Скільки грошей отримав кожен співробітник?

Для виконання деякої роботи довелося залучити третього співробітника -- фахівця. Домовилися, що загальна сума залишається незмінною, співвідношення між частками першого і другого працівників теж залишається незмінним, а третій співробітник отримує стільки ж, скільки перший. У скільки разів частка другого співробітника, яка обчислена по-новому, виявиться меншою від частки, обчисленої по-старому?

Приклад 81. Напруга в електричному колі змінюється за лінійним законом залежно від часу. На початку досліду напруга дорівнювала 12 В, а наприкінці досліду, що тривав 8 с, напруга зменшилася до 6,4 В. Виразіть залежність напруги U від часу t за допомогою формули і побудуйте графік отриманої функції.

Приклад 82. З гелікоптера, який не рухається, геологам скинули мішок із поштою. Початкова швидкість мішка v0 = 2 м/с. Яку відстань пролетить мішок за 1 с; за 5 с; за 7с? За який час мішок долетить до землі, якщо гелікоптер завис на висоту 510 м?

Приклад 83. Тіло, кинуте вертикально в гору з початковою швидкістю

v0 =39,2 м/с. Визначити з якої висоти тіло почне падати.

Приклад 84. Із точки А горизонтального поля під кутом 600, 450 ; 300. до горизонту вилітають з інтервалом в 1 с відповідно червона, жовта і зелена кульки з початковою швидкістю 29,4 м/с. Визначити:

час польоту кожної кульки до падіння на поле;

відстань від точки А до місця падіння кожної кульки;

найбільшу висоту підйому над рівнем моря кожної кульки.

Приклад 85. На горизонтальній ділянці землі стоїть панельний будинок. Висота панелі кожного поверху 3 м. На цій же ділянці на відстані 45 м від глухої стіни лежить м'ячик для гольфу. По м'ячику б'ють, він летить під кутом 300 до горизонту з початковою швидкістю 30м/с і вдаряється в глуху стіну будинку. Визначити:

скільки часу летів м'ячик до удару зі стіною;

на рівні якого поверху від ударився об стіну;

при піднятті м'яча чи при його опусканні пройшов удар об стіну.

Приклад 86. По озеру рухався човен, що відплив від берега. Чи може зображений на малюнку графік бути:

Рис. 25

графіком пройденого човном шляху;

графіком відстані від човна до берега;

що показує горизонтальна ділянка графіка?

Функціональна змістова лінія також має важливе значення у розвитку образного мислення. Графічне зображення функціональних залежностей є ефективним засобом цілісного їх представлення. Тому побудова графіків функцій є одним з головних завдань функціональної змістової лінії. Розв'язання цієї задачі потребує як певних аналітичних умінь, так і графічної культури. Побудова графіків за допомогою геометричних перетворень є ефективним засобом формування і розвитку прийомів образного мислення найвищого рівня, а саме, таких його складових, як переміщення образів, зміна їх структури. Побудова графіків у прикладних задачах сприяє образному уявленню процесів і явищ.

Читання графіків функцій є, в певному розумінні, оберненою задачею. Вона полягає у виділенні характеристик, властивостей функцій, тобто у розкладанні цілісного образу на складові. Особливо змістовною вона є у читанні графіків функціональних залежностей конкретних величин. У цьому випадку суттєво ускладнюється інтерпретація образу.

Далі наведено приклади завдань для різних класів, які відображають вказані прийоми діяльності.

Приклад 87. Два туристи M i N вийшли на зустріч один одному із двох пунктів, що знаходяться на автотрасі регіонального значення. По графіку руху туристів.

Рис. 26

Знайти:

через який час після початку руху туриста M вийшов в дорогу турист N;

через який час після початку руху туриста N пройшла зустріч туристів;

швидкість руху кожного туриста;

відстань між пунктами руху;

Приклад 88. Рибалка розповів, що вийшовши з дому, він деякий час йшов берегом річки і дійшов до того місця, де в неї впадає притока. Там він деякий час ловив рибу, а потім пішов далі. Він вибрав нове місце, де знову ловив рибу, варив юшку, обідав. Після обіду він відправився додому.

На малюнку зображено графік руху рибалки.

Рис. 27

Який час рухався рибалка до місця, де у річку впадає притока?

Яку відстань пройшов рибалка до місця, де у річку впадає притока?

Протягом якого часу рибалка ловив рибу у місці, де у річку впадає притока?

Який час рухався рибалка до нового місця для лову риби?

Якою є відстань між двома місцями для лову риби?

Протягом якого часу рибалка ловив рибу на новому місці?

Який час витратив рибалка на зворотний шлях?

Який час витратив рибалка на всю прогулянку?

Приклад 89. Відомо, що при розчиненні солі у воді із насиченням розчину швидкість розчинення зменшується. Позначимо через m(t) масу солі, яка ще не розчинилася до моменту часу.

Рис. 28

Який із графіків функцій, поданих на малюнку. Краще, порівняно з іншими, характеризує даний процес?

Приклад 90. Автобус рухається за маршрутом. Вартість проїзду зростає на 1 грн. через кожні 10 км. Який з графіків відповідає описаній ситуації (х км - довжина маршруту, у грн.. - вартість проїзду)?

Рис. 29

Приклад 91. З одного села в інше о 7.00 вирушив пішохід, а о 8.00 виїхав велосипедист. На рисунку зображено графіки їх руху. О котрій годині велосипедист наздогнав пішохода.

Рис. 30

Приклад 92. На рисунку зображено графік руху туристів від залізничної станції до туристичного табору. З якою швидкістю рухалися туристи від першого привалу до другого?

Рис. 31

Приклад 93. Після того, як вода в чайнику закипіла, його вимкнули. На рисунку зображено графік зміни температури води в чайнику. За який час температура води знизилась з 600 до 400?

Рис. 32

Приклад 94. На змаганнях у п'ятдесятиметровому басейні команда з 4 плавців брала участь в естафеті 4 х 50 м. На рисунку зображено графік залежності відстані кожного плавця до точки старту від часу. Якою була швидкість плавця який швидше всіх проплив дистанцію?

Рис. 33

Приклад 95. На малюнку зображено графік змінювання температури тіла Т залежно від часу

Рис. 34

Протягом якого часу температура тіла не змінювалася?

В які моменти часу температура тіла дорівнювала - 4°?

Вкажіть проміжки часу, коли температура тіла спадала?

Скільки разів протягом 10 год температура тіла

дорівнювала 3°?

Вкажіть найвищу і найнижчу температури і моменти часу, коли вони досягалися.

Приклад 96. На малюнку зображено графік функції f =(х).

Рис. 35

Вкажіть:

область визначення функції;

множину її значень;

нулі функції:

проміжки зростання і спадання функції;

найбільше і найменше значення функції на проміжку (0: 4];

проміжок, на якому функція не має ні найбільшого, ні найменшого значень;

розв'язки нерівності f(x) > 0; f(x) < 0.

кількість коренів рівняння f(x)= -1

Перелічимо прийоми математичної діяльності, пов'язаної з функціональною змістовою лінією, та спрямовані на розвинення образного мислення:

Читання графіка.

Побудова графіка функції із заданим набором властивостей. Наприклад, пропонується добудувати графік функції із заданими областю визначення, множиною значень, проміжками монотонності, тощо.

Добудова графіків. За заданою частиною графіка добудувати його так, щоб він задовольняв певну властивість (парність, невід'ємність, тощо).

Візуалізація зв'язків: наприклад - пропонується набір графіків і набір формул, потрібно зіставити кожному графіку формульне завдання функції; або пропонується набір графіків функцій і перелік властивостей функцій, потрібно кожному графіку функції зіставити певну властивість.

Словесний опис графіка, наприклад, складання оповідання за графіком.

Графічні способи розв'язування рівнянь і нерівностей.

Проілюструємо це прикладами. Приклади на читання графіків (перший із зазначених прийомів діяльності) наведено у завданнях вище.

Наступне завдання є прикладом побудови графіків із заданим набором властивостей (другий із зазначених прийомів діяльності):

Приклад 97. Побудуйте графік будь-якої функції, яка задовольняє властивості:

областю визначення якої є відрізок [0; 5], а множиною значень - відрізок [- 1; 2];

областю визначення якої є відрізок [0; 5], множиною значень - відрізок [- 1; 2], яка б зростала на відрізку [0; 3] і спадала на відрізку [3; 5], була б від'ємною на проміжку (0; 2) і додатною на проміжку (2; 5);

не має ані найбільшого, ані найменшого значення.

Добудову графіка (третій із зазначених прийомів діяльності) ілюструє наступне завдання.

Приклад 98. Дано графік функції у =f(x), визначеної на проміжку [0; 4].

Рис. 36

Побудуйте графік функції:

яка збігається з даною на проміжку [0; 4],

та визначена на проміжку [-4; 4] і є парною;

яка збігається з даною на проміжку [0; 4],

визначена на проміжку [--4; 4] і є непарною;

Візуалізацію зв'язків ілюструє таке завдання:

Приклад 99. Побудувати графік довільної функцій, яка:

- зростає на проміжку х ? -2 і х ? 2 та спадає на проміжку -2 ? х ? 2;

- спадає на проміжку х ? - 3 і х ? 1 і зростає на проміжку -3 ? х ? 1;

- спадає на проміжку х ? - 4, приймає стале значення при -4 ? х ? 2 та зростає на проміжку х? 2.

Приклад 100. На малюнку зображено п'ять прямих.

Рис. 37

Знайдіть рівняння кожної з них серед рівнянь:

у = 2х, у = - х, у =- 2х + 1, у = 2х - 2, у = - х + 2.

Функціональна змістова лінія має великий потенціал у формуванні і розвиненні дослідницьких умінь учнів. Зважаючи на те, що дослідницький підхід у навчанні має великий попит у сучасному суспільстві [9,с.23], можна стверджувати, що функціональна змістова лінія є ефективним шляхом впровадження цього підходу. Одна з основних задач цієї змістової лінії формулюється як дослідницька: «Дослідити функцію...». Читання графіків, конструювання функцій із заданими властивостями є певними видами дослідницької діяльності.

Далі наведено приклади завдань, які ілюструють можливості функціональної змістової лінії у розвиненні дослідницьких вмінь.

Приклад 101. Дослідіть, як змінюються характеристики функції у = f (х) (область визначення, множина значень, нулі функції тощо) та її властивості (зростання чи спадання, додатність чи від'ємність, парність, непарність) при заміні її на функцію:1) у =f(х + а); 2) у = f (х) + а; 3) у = k f (x); 4) y=f(|x|); 5)у = |f(x)|

Наведена вище характеристика розвинення загальних прийомів мислення за допомогою функціональної змістової лінії дає підстави зробити такі висновки. Функціональна змістова лінія має неабиякий потенціал у формуванні і розвиненні як мислення взагалі, так і окремих його видів: знакосимвольного, образного, творчого.

Функціональна змістова лінія забезпечує умови для органічної взаємодії багатьох прийомів розумової діяльності: моделювання потребує аналітичних і графічних умінь, образне мислення пов'язане з образами різної природи, дослідження потребує моделювання і графічної культури тощо.

Повноцінна реалізація функціональної змістової лінії дає змогу зробити вагомий внесок у реалізацію прикладної спрямованості навчання математики, забезпечити цілісність курсу математики для різних рівнів засвоєння навчального матеріалу.

Висновки

Функціональна змістова лінія є однією з основних в шкільному курсі математики. Осмислення її ролі у реалізації сучасних підходів до навчання (компетентністного, розвиваючого, дослідницького тощо) є актуальним методичним завданням. Основним призначенням вивчення функції в шкільному курсу математики є формування специфічного типу мислення - функціонального, розвиток логічного.

Наведена вище характеристика функціональної змістової лінії свідчить про її високий потенціал у реалізації сучасних підходів до навчання математики. Щоб наявний її потенціал міг повноцінно реалізовуватись у навчанні математики, необхідне системне дидактичне проектування цієї лінії, її зв'язків з іншими на засадах діяльнісного підходу до навчання. А для цього, насамперед, необхідне діагностичне осмислення функціонального мислення, тобто опис дій, прийомів діяльності, процедур, методів, з яких складається діяльність щодо встановлення зв'язків між величинами, їх представлення, дослідження, сутності інтерпретації, застосування. Безумовно, такий опис має бути структурованим відповідно до вікових особливостей учнів. Ілюстрацією такого опису може бути наведений опис прийомів діяльності, якими мають володіти учні після закінчення 6 класу.

Далі представлено перелік предметних прийомів діяльності для основної школи:

Розпізнавання функціональних залежностей за їхніми графіками або аналітичними виразами.

Оперування різними способами задання функцій: аналітичним, графічним, табличним, описовим.

Обчислення значень функцій за даними значеннями аргументу і значень аргументу, за яких функція набуває певного значення.

Читання графіків функцій, тобто встановлення їхніх властивостей за графіком.

Дослідження властивостей функцій, заданих аналітично.

Розпізнавання основних елементарних функцій і функцій, які одержують з них за допомогою геометричних перетворень, а також їхніх графіків.

Побудова графіків функцій.

Застосування функцій та їхніх властивостей для дослідження рівнянь, нерівностей, їх систем.

Застосування функцій та їхніх властивостей до дослідження реальних процесів.

Забезпечення усіх складових змісту викликає значні труднощі. І хоча функціональна змістова лінія є благодатною для розв'язування цієї дидактичної задачі, на практиці вдається зробити далеко не все.

Однією з головних причин цього є бажання забезпечити високий рівень строгості викладення теоретичного матеріалу. До речі, це принципово неможливо здійснити в шкільній освіті. Рівень узагальненості та абстрактності означень понять, рівень обґрунтованості тверджень мають відповідати віковим можливостям учнів, їхньому попередньому досвіду. Крім того, ці рівні мають враховувати індивідуальні відмінності учнів у способах сприйняття інформації, її обробки.

Увагу необхідно сконцентрувати на сутності понять, їх фізичному і геометричному змісті, зв'язку з іншими поняттями, застосуванні до моделювання реальних процесів і розв'язуванні прикладних задач, пов'язаних з ними. Суттєва зміна ролі візуального мислення у функціональній змістовій лінії є необхідною умовою забезпечення її засвоєння.

Отже, на формування досвіду функціональної підготовки та творчої діяльності учнів мають вплив: прикладна спрямованість навчання, експериментальна робота та організація дослідницької діяльності, моделювання у навчальному процесі історичного розвитку вчення про функції, формування відповідного інформаційного середовища.

Висновки.

Функціональне мислення дає змогу людині бачити і досліджувати причинно-наслідкові зв'язки, аналізувати процеси і явища, прогнозувати їх поведінку у майбутньому, оптимізувати їхні параметри. Він передбачає сформованість багатьох загально-пізнавальних прийомів діяльності і разом з цим сприяє їх розвитку.

Необхідне системне дидактичне проектування функціональної змістової лінії яке передбачає діагностичне проектування цілей навчання, розробку змісту навчання, спрямованість методичних шляхів навчання всіх розділів математики на широке використання цієї лінії.

Мабуть, найпопулярнішою з усіх теорем є теорема Піфагора. Причинами такої популярності є простота, краса, значення. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двох суперечностей і надає їй особливої привабливості. Окрім цього, теорема Піфагора має велике значення: вона використовується на кожному кроці, той факт, що існує близько 500 різних доказів цієї теореми доводить велику кількість її реальних реалізацій. Відкриття теореми Піфагором оточене ореолом красивих легенд. Прокл, коментуючи останнє продовження першої книги “Начал” Евкліда, пише: “Якщо послухати тих, хто повторює давні легенди, то доводиться сказати, що ця теорема походить від Піфагора; розповідають, що він у честь цього відкриття приніс у жертву бика”. Дехто розповідає, що він приніс у жертву не одного бика, а цілу сотню.

І хоча ще Цицерон помітив, що будь-яке кровопролиття було проти закону піфагорійського ордену, легенда ця зрослася з теоремою Піфагора і через більш ніж 2000 років продовжувала викликати гарячі відгуки.

Сьогодні теорема Піфагора виявлена у різних часткових задачах та кресленнях: і в єгипетському трикутнику в папірусі часів фараона Аменемхета першого (біля 2000р. до н. е.), і у вавилонських клинописних табличках епохи царя Хаммурапі (XVIII ст. до н. е.), і в давньоіндійському трактаті VII-V ст. до н. е. “Сульва сутра”. У найдавнішому китайському трактаті “Чжоу-бі суань цзинь” час створення якого точно не відомо, стверджується, що в XII ст. до н. е. Китайці знали властивості єгипетьського трикутника, а до VI ст. до н. е.- й загальний вигляд теореми. Не дивлячись на це, ім'я Піфагора щільно злилося з теоремою Піфагора. Сьогодні прийнято вважати, що Піфагор першим довів теорему, яка носить його ім'я. На жаль, його доказ не дійшов до нашого часу.

- Піфагор - філософ, математик, мислитель родом з Стародавньої Греції. Сьогодні дуже складно відрізнити його біографію від легенд, які склалися в пам'ять про цю велику людину. Але як випливає з праць його послідовників, Піфагор Самоський народився на острові Самос. Його батько був звичайний каменеріз, а от мати походила із знатного роду. Судячи з легендою, поява на світ Піфагора передбачила жінка по імені Піфія, на чию честь і назвали хлопчика. За її пророкуванням народжений хлопчик повинен був принести багато користі і добра людству. Що взагалі-то він і зробив.

- Народження теореми.

- В юності Піфагор переїхав з острова Самос в Єгипет, щоб зустрітися там з відомими єгипетськими мудрецями. Після зустрічі з ними він був допущений до навчання, де і пізнав усі великі досягнення єгипетської філософії, математики і медицини.

- Ймовірно, саме в Єгипті Піфагор надихнувся величністю і красою пірамід і створив свою велику теорію. Це може шокувати читачів, але сучасні історики вважають, що Піфагор не доводив свою теорію. А лише передав своє знання послідовникам, які пізніше і завершили всі необхідні математичні обчислення. Як би там не було, сьогодні відома не одна методика доведення даної теореми, а відразу декілька. Сьогодні залишається лише гадати, як саме древні греки виробляли свої обчислення, тому тут розглянемо різні способи доведення теореми Піфагора.

- Теорема Піфагора.

- Перш ніж починати якісь обчислення, потрібно з'ясувати, яку теорію належить довести. Теорема Піфагора звучить так: «В трикутнику, у якого один з кутів дорівнює 90 про сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи». Всього існує 15 різних способів доведення теореми Піфагора. Це досить велика цифра, тому приділимо увагу найпопулярнішим з них.

- Спосіб перший

Доведення теореми Піфагора.

1. Спосіб доведення теореми Піфагора.

Індійський математик Бхаскара ІІ подав його у формі креслення, під яким було написано лише одне слово "Дивись!".Спосіб доведення без слів "Дивись!" він прийшов із давньої Індії.

Показано два рівні квадрати із сторонами а + в і написано одне слово «дивись». В квадраті із стріною а + в намальовано чотири рівних прямокутних трикутники з катетами а і в на першому рисунку фігура вільна від трикутників, складається із двох квадратів із сторонами а і в, відповідно їх площа дорівнює a2+b2. На наступному рисунку фігура вільна від трикутників - це квадрат із стороною с, його площа дорівнює c2. Отже, оскільки квадрати рівні то c2=a2+b2, що і складає твердження теореми Піфагора.

Рис. 38

2. Спосіб доведення теореми Піфагора.

Рис. 39

Доведення Евкліда.

1. Нехай ACB -- прямокутний трикутник з прямим кутом CAB.

2. На кожній стороні BC, AB, і CA побудуємо квадрати CBDE, BAGF та ACIH в такому ж порядку. Побудова квадратів тут же вимагає попередньої теореми Евкліда, і залежить від постулату паралельності.

3. З точки A проводимо пряму паралельну до BD і CE. Вона перпендикулярно перетне відрізки BC та DE в точках K та L, відповідно.

4. Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

5. Кути CAB і BAG -- прямі; відповідно точки C, A і G -- колінеарні. Так само B, A і H.

6. Кути CBD і FBA -- обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.

7. Трикутники ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.

8. Оскільки точки A, K і L -- колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB2).

9. Аналогічно міркуючи, отримаємо CKLE = ACIH = AC2.

10. З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC2, або AB2 + AC2 = BC2.

3. ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА.

Відомо, за різними даними, понад 100 або понад 300 доведень теореми Піфагора. Наведемо ряд із них.

1.Доведення Евкліда

Рис. 40

В Евклідових «Началах», теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, C вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону протилежну до гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

1. Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

2. Кути CAB і BAG -- прямі; відповідно точки C, A і G -- колінеарні. Так само B, A і H.

3. Кути CBD і FBA -- обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.

4. Трикутник ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.

5. Оскільки точки A, K і L -- колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB2)

6. Аналогічно міркуючи отримаєм CKLE = ACIH = AC2

7. З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC2, або AB2 + AC2 = BC2.

2. За подібністю трикутників

Рис. 41

Доведення (використання подібних трикутників)

Нехай ABC -- прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на рисунку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину з стороною AB. Утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуюючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: якщо ВС= a, AC=b і AB=c, тоді і . Це можна записати у вигляді а2 = с •НВ і b2 = с •АН.

Якщо додати ці дві рівності, отримаємо а2 +Ь2 = с •НВ+ с •АН= с •(НВ+АН) = с2.

Іншими словами, теорема Піфагора: а2 +Ь2 = с2.

3. Алгебраїчне доведення

Рис. 42

Доведення

Квадрати утворюються з чотирьох прямокутних трикутників.

Тут представлено доведення засноване на теоремі існування площі фігури:

1. Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.

2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів , а розгорнутий кут -- .

3. Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною «a+b», а з іншої -- сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрату.

Що й необхідно було довести.

4. Основні тригонометричні тотожності

Довести теорему Піфагора, використовуючи основну тригонометричну тотожність.

Дано: ААВС (С = 90°)

Довести: АВ2 = АС2 + ВС2.

Рис. 43

Доведення

У трикутнику АВС (С = 90°) АС та ВС - катети, АВ - гіпотенуза. Відомо, що:

sin В =, cos В = ,

звідки маємо: АС = АВ sin В, ВС = АВ cos В. В обох рівностях піднесемо обидві частини до квадрата, отримаємо:АС2 = АВ2 sіп2 В, ВС2 = АВ2 соs2 В.

Додамо почленно ці рівності:

АС2 + ВС2 = АВ2 sіп2 В + АВ2 соs2 В,

АС2 + ВС2 = АВ2 (sіп2 В + соs2 В).

Використовуючи основну тригонометричну тотожність sіп2 а + соs2 а = 1, маємо:

АС2 +ВС2 = А В2, що і потрібно було довести.

5. Властивість січної та дотичної, проведених до кола з однієї точки

Довести теорему Піфагора, використовуючи властивість січної та дотичної, проведених до кола з однієї точки.

Дано: ААОВ (B = 90°).

Довести: АО2= ОВ2+АВ2.

Доведення.

Будуємо коло з центром у точці О і радіусом ОВ. Воно перетне гіпотенузу АО в точці D.

Рис. 44

Оскільки АВОВ, де ОВ -- радіус, то це означає, що АВ -- дотична до кола. Пряма АО є січною і перетинає коло в точках D і С.

За властивістю січної та дотичної, проведених до кола з однієї точки, маємо:

АВ2=АD•АС.(3)

Оскільки

АО=ОD+АD, АС = АО+ОС = АО+ОВ,

то

АD=АО-ОD =АО-ОВ.

Підставляємо знайдені вирази для АD та АС у формулу (3):

АВ2 =(АО-ОВ) (АО+ОВ),

АВ2 = АО2 -ОВ2,

АВ2 +ОВ2 = АО2.

що і потрібно було довести.

Доведення цікаве тим, що дає змогу побачити, як іноді допоміжні побудови допомагають отримати бажаний результат.

6. Площа трапеції

За даними на малюнку довести теорему Піфагора, а саме, що с2 = а2 +Ь2.

Доведення

На малюнку зображено прямокутну трапецію АВСD з основами СD= Ь та АВ = а; DА = а + Ь - висота трапеції.

За формулою площі трапеції маємо:

Рис. 45

SABCD = (CD+АВ)•АD = (а+ Ь)•(а + Ь) =(а + Ь)2.

Я опрацювала різноманітні джерела інформації (наукова, енциклопедична література), щоб систематизувати зібрані відомості.

Один із моїх учнів спробував себе в якості дослідника найрізноманітніших доведень теореми Піфагора через призму знань і можливостей восьмикласника. Так з'явилась ця робота.

Пропоную всім тим, хто любить математику, переконатись, що пізнання, розширення і поглиблення знань з будь-якої теми не має меж.

Сподіваюсь ви багато цікавого дізнались про життя і діяльність Піфагора, історичне минуле самої теореми Піфагора, її шлях від найдавніших часів до сьогодення.

Я вірю, що ваші знання та навички допомагають вам відчувати красу математики.

Література

1. Апостолова Г.В. Геометрія: Підручник для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. - Київ: Генеза, 2005. - 256с.

2. Єршова А.П., Голобородько В.В., Крижановський О.Ф., Єршов С.В. Геометрія 8 клас: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл. / А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов. - Харків: АН ГРО ПЛЮС, 2008. - 256с.

3. Кушнір І.А. Повернення втраченої геометрії [Текст] / І.А. Кушнір. - Київ: Факт, 2000. - 280с. - (Серія «Математичні обрії України»).

4. Кушнир И.А. Популярные доказательства теоремы Пифагора [Текст] / И.А.Кушнир. - Харьков: Вид.група «Основа», 2007. - 36 с. - (Б-ка журн. «Математика в школах України»)

5. Математична хрестоматія для 6-8 класів. Т. 1 [Текст]. - Київ: Радянська школа, 1968. - 320с.

6. Литцман В. Теорема Пифагора [Текст] / В. Литцман; под ред. И.М.Яглома; пер. с нем. В.С. Бермана. - 3-е изд. - Москва: Физматгиз, 1960. - 114 с.

7. Погорєлов О.В. Геометрія: Підручник для 7 - 11 класів середньої школи / О.В. Погорєлов. - Київ: Радянська школа, 1991. - 352с.

8. http://google.com.ua/

9. http://uk.wikipedia.org/

10. Афанасьева О.М., Бродский Я.С., Павлов О.Л. Слипенко А.К., Про функціональну змістову лінію шкільного курсу математики. - // Математика в школі, № 5,6 2007.

11. Башмаков М.И., Резник М.А. Развитие визуального мышления на уроках математики. - // Математика в школе, № 1 1991.

12. Борель Е. Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науке - // математическое просвещение, 1958 №3.

13. Богданович М.В. Концепція курсу математики для 1-4 класів // Поч.школа. - № 10. - 1990. - С. 10 - 13.

14. Богданович М.В., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в початкових класах: Навчальний посібник. - К.: А.С.К., 1998. - 352 с.

15. Богданович М., Лишенко Г., Хіман О. Формування уявлень про функціональну залежність // Поч.школа. - № 2. - 1997. - С. 19 - 26

16. Клейн Ф. Элементарная математика с точки высшей. Т.1. - м.: Наука, 1987.

17. Бычкова Б.П. Понятие функции в курсе алгебры в руссокй средней школы в ХIХ в. - // Математика в школе, 1954, №4.

18. Кларин М.В., Инновации в мировой педагогике: Обучение на основе исследования, игры и дискуссии / анализ зарубежного опыта. - Рига: НПЦ «Эксперимент», 1998Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С., Математика 5 - Харків: гімназія, 2005.

19. Мельничук Т.Й., Волкова Н.Д. Основні відомості про поняття функції //Поч.школа. - № 6. - 1976. - С. 62 - 72

20. «Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 класи”.- К.: Перун, 2005. - 64 с

21. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении. - М.: изд-во мокс. ун-та, 1988

22. Ткачева М.В., Газарян Р.Г. Сборник задач по алгебре 7-9. - Москва: «Просвещение» 2007.

23. Цукарь А.Я. Изучение функцій в 7 классе с помощью средств образного характера //Математика в школе, № 4 2000

24. Шагин В.Л., Соколов А.В. Теория, задачи, решения ответы. Функция и графики. - Москва: ВИТА 2007.

25. Янченко Г.М., Кравчук В.Р. Математика 6 - Тернопіль: Посібники і підручники 2006.

Додаток 1

Тема. Теорема Піфагора та ряд її доведень.

Предмет дослідження: теорема Піфагора та обернена теорема, різні способи доведення вказаних теорем.

Мета: знайти інші формулювання та способи доведення теореми Піфагора.

Завдання дослідження: виявити такі способи доведення теореми Піфагора, які доступні учню в межах шкільного курсу математики 8-9 класу.

Методи дослідження: аналітичний.

Теорема Піфагора є одним із ключових інструментів для розв'язування задач в евклідовій геометрії. В шкільному курсі математики передбачається доведення теореми Піфагора одним із способів. В даній роботі я намагаюсь зібрати різноманітні способи доведення славнозвісної теореми Піфагора. Першочергового розгляду заслуговують стародавні доведення, що дійшли до наших часів.